1Paola Suria Arnaldi ESPONENZIALI E LOGARITMI Grafico canonico Esponenziali e Logaritmi equazioni...
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11Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
ESPONENZIALI E LOGARITMIESPONENZIALI E LOGARITMI
Grafico canonico Esponenzialie
Logaritmi
equazioni
disequazioni
Dal grafico di... al grafico di.... proprietà
logaritmi
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22Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
Proprietà delle potenzeProprietà delle potenze
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33Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
Grafico della funzione esponenzialeGrafico della funzione esponenzialecon a >1con a >1
f(x) = ex
-10
40
90
140
190
240
290
-10 -5 0 5 10
x
y
Leggiamo le proprietà sul grafico
• Domf R
• Imf R+
• Fz. monotona crescente
• Fz. Iniettiva
• Fz. Non suriettiva
• Fz. Non biiettiva
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44Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
Grafico della funzione esponenzialeGrafico della funzione esponenzialea a xx (con 0<a<1) (con 0<a<1)
f(x)=(1/e) x
f(x) = e -x
-10
40
90
140
190
240
290
-10 -5 0 5 10
x
y
Leggiamo le proprietà sul grafico
• Domf R
• Imf R+
• Fz. monotona decrescente
• Fz. Iniettiva
• Fz. Non suriettiva
• Fz. Non biiettiva
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55Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
Dall’esponenziale ai logaritmiDall’esponenziale ai logaritmi
•2x = 4 2x = 22 x = 2
•2x = 8 2x = 23 x = 3
•2x = 5 2x = 2? x = ??? x = log2 5
ax = b ↔ x = logab (con a >0 e b >0)
•2x = 4 ↔ x = log24 = 2
•2x = 6 ↔ x = log26
•log28 = x ↔ 2x = 8
•log510= x ↔ 5x = 10
Per defi.
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66Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
Proprietà dei logaritmiTeoremi dei logaritmi
•loga (m*n) = loga m + logan con a>0, m, n >0
•loga (m/n) = loga m - logan con a>0, m, n >0
•loga (mn) = n* loga m con a>0 m >0
•loga m = (logbm) / (logba) con a, b, m > 0
Convenzioni
log10a = Log a
logea= ln a, con e = 2,71828182818...
Ricorda
Ln o = non esiste!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
loga 1 = 0 , qualsiasi a
loga a = 1 , qualsiasi a
loga a2 = 2 , qualsiasi a
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77Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
Grafici logaritmici canoniciGrafici logaritmici canonici
f(x) = loga x a>1
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
-2 0 2 4 6
x
y 1,38
Leggiamo le proprietà sul grafico
• Domf R+
• Imf R
• Fz. monotona crescente
• Fz. Iniettiva
• Fz. Suriettiva (Imf ≡ R)
• Fz. biiettiva
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88Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
Grafici logaritmici canoniciGrafici logaritmici canonici
f(x) = logax con 0<a<1
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
1,38
Leggiamo le proprietà sul grafico
• Domf R+
• Imf R
• Fz. monotona decrescente
• Fz. Iniettiva (criterio rette orizzontali, oppure monotonia)
• Fz. Suriettiva (Imf ≡ R)
• Fz. biiettiva
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99Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
Equazioni esponenzialiEquazioni esponenziali• x 2 = 4 equazione di II° (la base della potenza è incognita, l’esponente è un
numero)
• 2 x = 4 equazione esponenziale (la base della potenza è un numero, l’esponente è incognito)
Partiamo dall’analisi di alcuni esempi e poi.... generalizziamo
•a x = k nessuna soluzione (qualunque a e con k appartenente ad R -)
•a x = k ↔ x = logak (qualunque a e con k appartenente ad R+)
•af(x) = ag(x) ↔ f(x) = g(x)
•af(x) = bf(x) ↔ f(x) = 0
•p a2x + q ax + k = 0 ↔ ax = t ; p t2 +q t + k = 0;.... t = .....; x = loga.....
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1010Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
DisequazioniDisequazioni
aaf(x) f(x) > k, k > k, k єє R R - - UU {0} {0} ↔ qualsiasi x ↔ qualsiasi x єє R R
aaf(x) f(x) < k, k < k, k єє R R - - UU {0}{0} ↔ ↔ nessuna soluzionenessuna soluzione
aaf(x) f(x) > k, a > 1, k > k, a > 1, k єє R R + + ↔ f(x) > log↔ f(x) > logaa k..... k.....
aaf(x) f(x) < k, a > 1, k < k, a > 1, k єє R R + + ↔ f(x) < log↔ f(x) < logaa k..... k.....
aaf(x) f(x) > k, > k, 0<a<1, k 0<a<1, k єє R R ++ ↔ f(x) ↔ f(x) << log logaa k..... k.....
aaf(x) f(x) < k, a > 1, k < k, a > 1, k єє R R + + ↔ f(x) ↔ f(x) >> log logaa k..... k.....
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1111Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
Equazioni logaritmicheEquazioni logaritmiche
loglogaf(x)=k, con k єR ↔
loglogaf(x)=0 ↔ f(x) = 1
loglogaf(x)=1 ↔ f(x) = a
loglogaf(x)=logag(x) ↔
K*loglogaf(x)+ h*loglogag(x)= p*loglogar(x); loglogaf(x)k+ loglogag(x)h= logar(x)p; logaf(x)*g(x)=logar(x)p;....... con le condizioni di
esistenza
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1212Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
Disequazioni logaritmicheDisequazioni logaritmiche
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1313Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
APPLICHIAMO I CONCETTI ALLO STUDIO DI APPLICHIAMO I CONCETTI ALLO STUDIO DI FUNZIONEFUNZIONE
• Domf: x2 – 1 > 0 ↔ |x| > 1 oppure x < -1 V x > 1; oppure (- ∞, -1) U (1, +∞);
• Zeri della funzione: f(x) = 0 ↔ ln (x2 – 1) = 0; (x2 – 1) = 1; x2 = 2; |x|=±√2;
• Segno della funzione: f(x) > 0 ↔ ln (x2 – 1) > 0; (x2 – 1) > 1; x2 > 2; |x|>√2 ovvero
x<- √2 V x > √2 ;
f(x) < 0 ↔ dove esiste, ma non è positiva!!! cioè altrove
-√2 -1 1 √2
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1414Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
APPLICHIAMO I CONCETTI ALLO STUDIO DI APPLICHIAMO I CONCETTI ALLO STUDIO DI FUNZIONEFUNZIONE
Domf : R oppure (-∞, +∞)
Zeri: f(x) = 0 ↔ ex (x2 – 3x + 2); (legge annullamento prodotto) ex = 0 V x2 –3x +2=0 → poiché ex = 0 non ha soluzione, le soluzioni sono x = 1 e x = 2;
Segno di funzione: è un prodotto di due fattori, il primo dei quali è sempre positivo → il segno della funzione dipende dalla parentesi
f(x) > 0 ↔ (x2 – 3x + 2)>0; disequazione di II grado x<1 V x > 2
f(x) < 0 ↔ (x2 – 3x + 2) <0 1 < x < 2 1 2