Lez. 5 (10/11 - PB)Elementi di Programmazione1 Lezione 5 Procedure Funzioni Passaggio di parametri.
Lezione 5 - University of Cagliari · Lezione 5 Funzioni inverse Potenze Esponenziali Logaritmi....
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Lezione 5Funzioni inverse
Potenze
Esponenziali
Logaritmi
Funzioni inverse
• Proprietà: La funzione 𝑓: 𝐴 → 𝐵 è invertibile se e solo se è bigettiva.
Esempio: 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3 allora 𝑓−1(𝑦) =𝑦−3
2
• Funzioni non bigettive possono diventarlo restringendo opportunamente dominio e/o codominio.
Non invertibile 𝑓:𝑅 → 𝑅𝑥 ↦ 𝑥2
Invertibile 𝑓: 0, +∞ → [0,+∞)
𝑥 ↦ 𝑥2
Inversa 𝑓−1 ∶ 0, +∞ → 0,+∞𝑦 ↦ 𝑦
Grafici di funzioni inverse
𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3 𝑓−1(𝑥) =𝑥−3
2𝑓 𝑥 = 𝑥2, 𝑓−1 𝑥 = 𝑥, con 𝑥 ≥ 0
Invertibilità delle funzioni trigonometriche
Restringendo opportunamente dominio e codominio si hanno le seguenti funzioni inverse:
𝑓: −𝜋
2,𝜋
2→ [−1,1]
𝑥 ↦ sin 𝑥
𝑓−1:[−1,1] → −𝜋
2,𝜋
2
𝑦 ↦ arcsin 𝑦
𝑓 𝑥 = sin 𝑥
𝑓−1 𝑥 = arcsin 𝑥
Invertibilità delle funzioni trigonometriche
Restringendo opportunamente dominio e codominio si hanno le seguenti funzioni inverse:
𝑓: 0, 𝜋 → [−1,1]𝑥 ↦ cos 𝑥
𝑓−1:[−1,1] → 0, 𝜋𝑦 ↦ arccos 𝑦
Invertibilità delle funzioni trigonometriche
Restringendo opportunamente dominio e codominio si hanno le seguenti funzioni inverse:
𝑓: −𝜋
2,𝜋
2→ 𝑅
𝑥 ↦ tan 𝑥
𝑓−1:𝑅 → −𝜋
2,𝜋
2
𝑦 ↦ arctan 𝑦
Analogamente:
𝑓: 0, 𝜋 → 𝑅𝑥 ↦ cot 𝑥
𝑓−1:𝑅 → 0, 𝜋𝑧 ↦ arcot 𝑧
Le potenze (1°)
𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, 𝑚, 𝑛 ∈ 𝑁
• 𝑎𝑚 = 𝑎 · 𝑎 · ⋯ · 𝑎, 𝑚 volte
(si legge "𝑎 elevato m" 𝑎 è la base, 𝑚 è l’esponente)
• 𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛
•𝑎𝑚
𝑎𝑛= 𝑎𝑚−𝑛
• 𝑎𝑚 𝑛 = 𝑎𝑚𝑛 = 𝑎𝑛 𝑚
• 𝑎0 = 1
• 𝑎𝑚 ∙ 𝑏𝑚 = 𝑎 ∙ 𝑏 𝑚
•𝑎𝑚
𝑏𝑚=
𝑎
𝑏
𝑚
Le potenze (2°)
• Cosa significa elevare un numero reale 𝑎 per −1?
Siano m = 0 e n = 1, allora
ma 𝑎0
𝑎1=
1
𝑎, quindi
1
𝑎= 𝑎−1 cioè 𝑎−1 è il reciproco di 𝑎.
• Quindi 𝑎−𝑚 =1
𝑎𝑚
• Se 𝑎 = 0 allora si può calcolare 𝑎𝑛 = 0
ma non si può calcolare 𝑎−𝑛 =1
𝑎𝑛=
1
0
𝑎0
𝑎1= 𝑎0−1 = 𝑎−1
Le potenze (𝟑°)
Grazie alla proprietà 𝑎𝑚 𝑛 = 𝑎𝑚∙𝑛 si possono calcolare le potenze con esponente razionale.
• 𝑎1
2 = 𝑎
infatti 𝑎 è il numero che elevato al quadrato da 𝑎:
𝑎12
2
= 𝑎1 = 𝑎
• 𝑎1
𝑚 = 𝑚 𝑎
• 𝑎𝑚
𝑛 = 𝑎𝑚∙1
𝑛 = 𝑎𝑚1
𝑛 =𝑛𝑎𝑚
Funzione potenza
• Funzione potenza: (varia la base)
𝑓 𝑥 = 𝑥𝛼 , con 𝛼 ∈ 𝑅\{0} fissato e ∀𝑥 ∈ 𝐷 ⊆ 𝑅
dove il dominio 𝐷 dipende dal particolare 𝛼 scelto.
Esempi:
• 𝑓 𝑥 = 𝑥3 ⇒ 𝐷 = 𝑅
• 𝑓 𝑥 = 𝑥−2 ⇒ 𝐷 = 𝑅 ∖ {0}
• 𝑓 𝑥 = 𝑥1
2 ⇒ 𝐷 = [0,+∞)
• 𝑓 𝑥 = 𝑥1
3 ⇒ 𝐷 = 𝑅
Esercizi
Determinare il dominio delle funzioni:
• 𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 1 −2
• 𝑓 𝑠 = 𝑠3 − 2𝑠21
4
• 𝑔 𝑡 = −𝑡 𝑡 + 1−3
Funzione esponenziale
• Funzione esponenziale di base 𝑎 (con 𝑎 ∈ 𝑅 e 𝑎 > 0) (varia l’esponente):
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝑅.
Esercizi
• Dire se ha senso definire le seguenti funzioni 𝑓: 𝑅 → 𝑅
𝑓 𝑥 =1
2
𝑥𝑓(𝑥) = 2𝑥 𝑓 𝑥 = −32 𝑥
• Dire per quali valori di x il grafico della funzione 𝑓 𝑥 = 3𝑥 interseca la retta di equazione 𝑦 = 9 e per quali valori di 𝑥 sta al di sopra della retta.
• Stesso esercizio considerando la retta di equazione 𝑦 = 6.
La funzione logaritmica
𝑐 = log𝑎 𝑏 ⇔ 𝑎𝑐 = 𝑏
con base 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1 e argomento 𝑏 > 0
• Proprietà:
▪ log𝑎 𝑎 = 1 log𝑎 𝑥1 + log𝑎 𝑥2 = log𝑎(𝑥1 · 𝑥2)
▪ log𝑎 1 = 0 log𝑎 𝑥1 − log𝑎 𝑥2 = log𝑎𝑥1
𝑥2
▪ log𝑎 𝑥 𝑘 = 𝑘 · log𝑎 𝑥log𝑎 𝑏 =log𝑐 𝑏
log𝑐 𝑎
𝑓: (0, +∞) → 𝑅 definita da 𝑓 𝑥 = log𝑎 𝑥, con 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1 è detta funzione logaritmica.
Grafico della funzione logaritmica
Esercizi
Individuare gli intervalli in cui le funzioni sono crescenti e decrescenti. Dire poi se sono iniettive nel loro dominio e, dopo averne determinato l’immagine, si dica se sono suriettive considerando 𝑅 come codominio.
𝑓 𝑥 = 2𝑥 𝑓 𝑥 = log2 𝑥
𝑓 𝑥 = cos 𝑥 𝑓 𝑥 = sin 𝑥
𝑓 𝑥 = tan 𝑥 𝑓 𝑥 = cot 𝑥