1ºAula – Cap. 09 Sistemas de...
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• Introdução• Determinação do Centro de Massa,• Centro de massa e simetrias,• 2a Lei de Newton/sistema de partículas.• Velocidade/Aceleração do centro de massa
Referência:• Halliday, David; Resnick, Robert & Walker, Jearl. Fundamentos de Física, Vol 1.
Cap. 09 da 7a. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1996. • Tipler, Paul. Física, Vol 1 cap. 08. 4a. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2000.
1ºAula – Cap. 09Sistemas de partículas
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Movimento do Centro de Massa
O movimento dos sistemas acima é muito complicado, mas o centro de massa descreve uma parábola como uma partícula.
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O movimento dos sistemas acima é muito complicado, mas o centro de massa descreve uma parábola como uma partícula.
Movimento do Centro de Massa
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O movimento dos sistemas acima é muito complicado, mas o centro de massa descreve uma parábola como uma partícula.
Movimento do Centro de Massa
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O movimento dos sistemas acima é muito complicado, mas o centro de massa descreve uma parábola como uma partícula.
Movimento do Centro de Massa
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☺Há um ponto, denominado centro de massa do sistema, que se move
como se toda a massa do sistema estivesse concentrada nele, e as forças externas atuantes sobre o sistema estivessem agindo exclusivamente
sobre ele.☺O movimento de qualquer corpo, ou qualquer sistema de partículas, pode
ser descrito em termos do movimento do centro de massa.m1
m2
x
y M = m1 + m2
A coordenada do centro de massa é Xcm dada por:
m1 x1 + m2 x2Xcm = _______________________
m1 + m2
Centro de Massa
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Cálculo do centro de massa
21
2211
mmxmxmxCM +
+= Média ponderada das posições, tendo as massas como pesos
Exemplos:
(a)2
2121
xxxmm CM+
=⇒= xxCM
121 xxmm CM(b) ≈⇒>> x
xCM
(c) Em geral, o centro de massa é um ponto intermediário entre x1 e x2:
2CM1 xxx <<
Lm
LmmxCM 32
320
=×+×
=xxCMm
x=02mx=L
2/3 1/3
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m 0 m 4 kg 4m 3 m 0 kg 2
m 0 m 0 kg 1
333
222
111
=========
yxmyxm
yxm
m 9.0m 421
402310
m 3.2m 421
442010
=++
×+×+×=
=++
×+×+×=
CM
CM
y
x
Exemplo de cálculo de centro de massa de um sistema de partículas
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Centro de Massa: É a posição média de toda a massa do corpo ou sistema. Num corpo homogêneo e simétrico o centro de massa está no centro geométrico.
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m
m
m
2m
m
CM
1/3
2/3
⇒⇒Baricentro do triângulo:
Interseção das medianas
⇒
Exemplo: partículas de massas iguais formando um triângulo
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Centro de massa e simetrias:
Note que o centro de massa pode cair numa região onde não há massa!
• Se um corpo possui um ponto, uma linha ou um plano de simetria, o CM situa-se nesse ponto, linha ou plano.
CM
Centro de simetria
Note que para que um ponto, linha ou plano seja de simetria, é preciso que, para cada elemento de massa, exista um outro igual na posição simétrica em relação ao ponto, linha ou plano.
Planos de simetria
Linhas de simetria
CM
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CENTRO DE GRAVIDADE de um corpo é o ponto de aplicação do seu peso. Corpos que admitam eixos de simetria, o centro de gravidade localiza-se na interseção destes eixos.
Num campo gravitacional uniforme o CM coincide com o CG.
CENTRO DE GRAVIDADE
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Para placas planas e homogêneas o centro de gravidade pode ser determinado através da equação:
A1 x1 + A2 x2 A1 y1 + A2 y2Xcg = _______________________ Ycg = _____________________
A1 + A2 A1 + A2
x
y
x1 x2x
y
A1
A2
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Placas planas e homogêneas:
Determine as coordenadas ( xcg, ycg) do centro de gravidade da placa plana e homogênea da figura indicada.
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Placas planas e homogêneas:
)ba()ba2(
3hycm +
+=
A ordenada “y” do centro de massa de uma placa triangular, homogênea e de espessura constante é igual a um terço da altura (figura). Mostre que a ordenada do centro de massa de uma placa trapezoidal, homogênea e de espessura constante, em função da altura h do trapézio e de suas bases a e b pode ser dada por:
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x
y
A1 A2
x2
Placa Plana com orifício:
21
2211cg AA
xAxAx
−
−=
21
2211cg AA
yAyAy
−−
=
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Placa Plana com orifício:
21
2211cg AA
xAxAx
−
−=
21
2211cg AA
yAyAy
−−
=
A figura mostra uma placa metálica uniforme P de raio 2R da qual foi retirado um disco de raio R. pelo processo de estampagem, em uma linha de produção industrial. Localize o centro de massa "CM" usando o sistema de coordenadas xymostrado.
Resp. a) xcm = R/3, ycm = 0.
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rcm = L/2
∫= dm.xM1xcm
Comprimento L e massa M
dx
λ = M/L
Se um corpo consiste de uma distribuição contínua de massa, podemos dividi-lo em porções infinitesimais de massa dm e a soma transforma-se numa integral:
• xcm
Centro de massa de corpos contínuos uniformes
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Centro de massa de corpos contínuos uniformes
∫∑ →==
xdmM
xmM
xN
iiiCM
111
Se um corpo consiste de uma distribuição contínua de massa, podemos dividi-lo em porções infinitesimais de massa dm e a soma transforma-se numa integral:
∫→ ydmM
yCM1
∫→ zdmM
zCM1
Se além disso o corpo tiver densidade uniforme:
⇒== dVVMdVdm ρ
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
=
=
∫
∫
∫
zdVV
z
ydVV
y
xdVV
x
CM
CM
CM
1
1
1
Integrais triplas!Não precisaremos por enquanto.
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Silbury Hill – Inglaterra(4600 anos atrás)
∫= zdVV
zCM1
Centro de massa de corpos contínuos uniformes
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Silbury Hill – Inglaterra(4600 anos atrás)
Exemplo: Centro de massa de corpos contínuos uniformes
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• 2a Lei de Newton para um sistema de partículas.
• Velocidade do centro de massa,
• Aceleração do centro de massa.
• Centro de massa e velocidade constante.
Referência:• Halliday, David; Resnick, Robert & Walker, Jearl. Fundamentos de Física, Vol 1.
Cap. 09 da 7a. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1996. • Tipler, Paul. Física, Vol 1 cap. 08. 4a. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2000.
Movimento do Centro de Massa
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2a Lei de Newton para um sistema de partículas:
Considere um sistema de partículas cujas massas são m1, m2, ., mn, e sejam v1, v2, ..., vn, respectivamente,suas velocidades num certo instante. Neste instante, o centro de massa possui velocidade vCM dada por uma média ponderada das velocidades das partículas do sistema:
21
2211CM mm
vmvmv
+
+=
quantidade de movimento total do sistema
movimentodequantidadev)mm( CM21 =+
A quantidade de movimento de um sistema de partículas é igual à quantidade de movimento do centro de massa, considerando que toda a massa do sistema está concentrada nele.
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• Considere duas partículas de massas m1 e m2 em uma dimensão:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
+=
←
←
)(2122
22
2
)(1212
12
1
ext
ext
FFdt
xdm
FFdt
xdm
Note como distinguimos forças internas (F1←2 e F2←1) de forças externas (F1(ext) e F2
(ext)).
)(2
)(112212
22
221
2
1extext FFFF
dtxdm
dtxdm +++=+⇒ ←←
Da 3a lei de Newton, F1←2= - F2←1
)()(2
)(12
22
221
2
1extextext FFF
dtxdm
dtxdm =+=+⇒
F1(ext) F2
(ext)
F1←2 F2←1
Somando-se as equações termo a termo:
F(ext) é a força externa resultante. As forças internas se cancelam.
1R21
2
11 Fdt
xdmam =⇒
2a Lei de Newton para um sistema de partículas:
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• Considere duas partículas de massas m1 e m2 em uma dimensão:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
+=
←
←
)(2122
22
2
)(1212
12
1
ext
ext
FFdt
xdm
FFdt
xdm
Note como distinguimos forças internas (F1←2 e F2←1) de forças externas (F1(ext) e F2
(ext)).
)(2
)(112212
22
221
2
1extext FFFF
dtxdm
dtxdm +++=+⇒ ←←
Da 3a lei de Newton, F1←2= - F2←1
)()(2
)(12
22
221
2
1extextext FFF
dtxdm
dtxdm =+=+⇒
F1(ext) F2
(ext)
F1←2 F2←1
Somando-se as equações termo a termo:
F(ext) é a força externa resultante. As forças internas se cancelam.
1R21
2
11 Fdt
xdmam =⇒
2a Lei de Newton para um sistema de partículas:
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( ) )(2
22112
extFdt
xmxmd=
+⇒=+ )(2
22
221
2
1extF
dtxdm
dtxdm
Usando aDefinição:
21
2211
mmxmxmxCM +
+= tal que
2
2
2
2
21)( )(
dtxdM
dtxdmmF CMCMext =+=
onde M=m1+m2 é a massa total do sistema.
O sistema age como se toda massa estivesse concentrada no ponto xCM (centro de massa)
2
2)(
dtxdMF CMext = Em particular, se F(ext)=0, a velocidade do CM é
constante.ctev
dtdx
CMCM ==
2a Lei de Newton para um sistema de 2 partículas
F1(ext) F2
(ext)
F1←2 F2←1
F(ext)M⇒
xCM
2211CM21 xmxmx)mm( +=+
2a Lei de Newton para um sistema de partículas:
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Exemplo em que o centro de massa tem velocidade constante
Dois patinadores no gelo (sem atrito com o chão) encontram-se inicialmente a uma distância de 12 m. Eles puxam as extremidades de uma corda até se encontrarem. Em que ponto eles se encontram? O resultado depende das forças exercidas por eles?
Só há forças internas ao sistema ⇒ O centro de massa tem velocidade constante.
m=80 kg m=60 kg
⇒=+
×+×= m 1,5m
60806012800
CMxOs patinadores se encontrarão a 5,1 m da posição inicial do patinador da esquerda, não importam as forças exercidas por eles.
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Movimento do centro de massa.
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Movimento do centro de massa.
![Page 30: 1ºAula – Cap. 09 Sistemas de partículassistemas.eel.usp.br/docentes/arquivos/2166002/LOB1018/1_a... · • Halliday, David; Resnick, Robert & Walker, Jearl. Fundamentos de Física,](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022021718/5b876b927f8b9a2d238c9713/html5/thumbnails/30.jpg)
Movimento do centro de massa.
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Movimento do centro de massa.
Um projétil é disparado sobre um campo horizontal, comuma velocidade inicial de 24,5 m/s sob um ângulo de 36,9º. No ponto mais elevado da trajetória o projétilexplode e se divide em dois fragmentos de massas iguais. Um deles cai na vertical até o solo. Em que ponto outro fragmento atinge o solo?
Resp. R = 58,8 m e x = 1,5R = 88,2 m.
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2
2)(
dtdM CMext rF =
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
=++++++
=
=++++++
=
=++++++
=
∑
∑
∑
=
=
=
N
iii
N
NNCM
N
iii
N
NNCM
N
iii
N
NNCM
zmMmmm
zmzmzmz
ymMmmm
ymymymy
xmMmmm
xmxmxmx
121
2211
121
2211
121
2211
1
1
1
L
L
L
L
L
L
∑=
=⇒N
iiiCM rm
Mr
1
1
2
2
2
2
22
2
221
2
1
)(
dtdM
dtdm
dtdm
dtdm CMN
N
ext rrrrF =+++= L
O sistema responde à resultante das forças externas como se a massa total M estivesse toda concentrada no centro de massa.
2a Lei de Newton para um sistema de partículas
Generalização para 3 dimensões:
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Considere a situação ao lado, em que uma patinadora empurra um corrimão (força F) e adquire velocidade e energia cinética no processo. Nessa situação:
a) Energia (muscular) é gasta pela patinadora, que se transforma em energia cinética. Há apenas transferência de energia entre partes do sistema, não entre o sistema e o ambiente externo.
b) A situação envolve um sistema de partículas e não uma partícula apenas: as diferentes partes da patinadora movem-se diferentemente.
Para analisar essa situação, utilizamos a 2a lei de Newton para um sistema de partículas, em que este é substituído por toda sua massa concentrada no Centro de Massa
dtdM CM(ext) vF =
Forças externas e mudanças de energia interna:
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O trabalho realizado pela força no centro de massa ao deslocá-lo de uma distância d se traduz numa mudança da energia cinética da patinadora:
KFd Δ=φcos
mecEUKFd
Se parte do trabalho é utilizada para aumento de energia potencial (p. ex., a patinadora sobe uma rampa), o resulta se generaliza:
Δ=Δ+Δ=φcos
intcos EEFd mec
Essa energia foi perdida pela patinadora, que despendeu energia interna na mesma proporção:
Δ−=Δ=φ
Forças externas e mudanças de energia interna: