ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τµήµα Αυτοµατισµού

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου

Ειδικά θέµατα

• Ανάλυσης συστηµάτων

• Σύνθεσης συστηµάτων ελέγχου

• Μελέτης στοχαστικών συστηµάτων

∆. Καλλιγερόπουλος

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου

Ανάλυση συστηµάτων

• Μαθηµατική µοντελοποίηση φυσικών συστηµάτων –

Μέθοδος Lagrange

• Ολική συνάρτηση µεταφοράς – ∆ιάγραµµα ροής –

Τύπος του Mason

• Γενικευµένος τόπος ριζών –

Συστήµατα µε θετική ανάδραση

Σύνθεση και εσωτερική κατάσταση συστηµάτων

• Αναλυτική σύνθεση

• Ελεγξιµότητα και παρατηρησιµότητα

• Έλεγχος κατάστασης

Μελέτη στοχαστικών συστηµάτων

• Εκτίµηση παραµέτρων – Parameter Estimation

• Αναγνώριση συστηµάτων – System Identification

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου

Μάθηµα 1 Μαθηµατική µοντελοποίηση φυσικών συστηµάτων – Η µέθοδος Lagrange

∆. Καλλιγερόπουλος

1.

4

Μαθηµατική Μοντελοποίηση – Μέθοδος Lagrange

Τα φυσικά φαινόµενα

Κάθε φυσικό φαινόµενο ορίζεται από:

• τα φυσικά του µεγέθη,

• τους φυσικούς του νόµους,

• τα υλικά του στοιχεία.

Τα φυσικά µεγέθη (natural magnitudes) ενός φαινοµένου αποτελούν µαζί µε τις παραγώγους τους τις θεµελιακές µετρήσιµες υλικές ποσότητες που χαρακτηρίζουν το φυσικό φαινόµενο. Τα θεµελιακά αυτά φυσικά µεγέθη ενός φαινοµένου είναι δύο: το ένα αποτελεί µέγεθος ποσοτικό και το άλλο µέγεθος ενεργειακό του φαινοµένου.

Οι φυσικοί νόµοι (natural laws) του φαινοµένου χαρακτηρίζουν τις σχέσεις που διέπουν τα θεµελιακά µεγέθη του και είναι επίσης δύο: ο πρώτος θεµελιακός φυσικός νόµος είναι ποσοτικός και αφορά στην αρχή της διατήρησης της ύλης, ενώ ο δεύτερος θεµελιακός νόµος είναι ενεργειακός και αφορά στην αρχή της διατήρησης της ενέργειας.

Τα υλικά στοιχεία (material elements) του φαινοµένου εκφράζουν τις ενεργειακές ιδιότητες των υλικών που εµφανίζονται στο φαινόµενο, χαρακτηρίζονται από συντελεστές και χωρίζονται σε τρεις κατηγορίες: το πρώτο υλικό στοιχείο αφορά στην τριβή, στην απώλεια ενέργειας. Το δεύτερο υλικό στοιχείο αφορά στην αποθήκευση, στη συσσώρευση ενέργειας, ενώ το τρίτο υλικό στοιχείο αφορά στην απόδοση ενέργειας, υπό άλλη µορφή.

Μεταξύ των φυσικών µεγεθών, των φυσικών νόµων και των υλικών στοιχείων υπάρχουν αναλογίες, που προκύπτουν από τον κοινό χαρακτήρα (ποσοτικό ή ενεργειακό) των φυσικών µεγεθών, νόµων και στοιχείων.

Οι σχέσεις όλων των πρώτων υλικών στοιχείων, που αφορούν απώλεια ενέργειας, είναι σχέσεις αναλογίας, οι σχέσεις όλων των δεύτερων υλικών στοιχείων, που αφορούν συσσώρευση ενέργειας, περιέχουν ολοκλήρωση, ενώ οι σχέσεις όλων των τρίτων υλικών στοιχείων, που αφορούν απόδοση ενέργειας, περιέχουν παραγώγιση.

Ορισµός Ανάλογα (analog) ονοµάζονται εκείνα τα φυσικά µεγέθη και στοιχεία διαφορετικών φαινοµένων που συνδέονται µεταξύ τους µε τις ίδιες µαθηµατικές σχέσεις.

1.

5

Φαινόµενο: Μηχανικό Περιστροφικό Ηλεκτρικό Μαγνητικό Θερµικό Υδραυλικό

Μεγέθη: 1.

Ποσοτικό

µέγεθος

Μετατόπιση

x

Γωνία

περιστροφής

φ

Ηλεκτρικό

φορτίο

Q

Μαγνητική

ροή

Φ

Θερµότητα

Q

Όγκος

ρευστού

Q 1η

παράγωγος Ταχύτητα

dtdx

=υ

Γωνιακή

ταχύτητα

dtdϕω =

Ηλεκτρική

ένταση

dtdQi =

Τάση

dtdu Φ

=

Παροχή

θερµότητας

dtdQq =

Παροχή ρευστού

dtdQq =

2η

παράγωγος Επιτάχυνση

2

2

dtxddtd

=

=υγ

Γωνιακή

επιτάχυνση

2

2

dtd

dtd

ϕ

ωα

=

=

dtdi

dtdu

_

_

2.

Ενεργειακό

µέγεθος

∆ύναµη

dxdWF =

Ροπή

ϕddWM =

Ηλεκτρική

τάση

dQdWu =

Ένταση

Φ=

ddWi

Θερµοκρασία

dQdW

=θ

Πίεση

dQdWp =

Νόµοι: 1.

Ποσοτικός

νόµος

_

_ .

0=∑ i

σε κόµβο

0=∑u

σε βρόχο

0=∑ q

σε σύστηµα

0=∑ q

σε σύστηµα

2.

Ενεργειακός

νόµος

0=∑ F

σε σώµα

0=∑M

σε σώµα

0=∑u

σε βρόχο

0=∑ i

σε κόµβο

_ 0=∑ p σε επιφάνεια

Υλικά

στοιχεία:

1. Στοιχείο

απώλειας

ενέργειας

Τριβή

κίνησης

υBF =

Τριβή

περιστροφής

ωBM =

Ηλεκτρική

αντίσταση

iRu =

Αγωγιµότητα

uR

i 1=

Θερµική

αντίσταση

Rq=θ

Υδραυλική

αντίσταση

Rqp =

2. Στοιχείο

αποθη-

κευσης

ενέργειας

Ελαστικότητα

dtK

KxF

∫=

=

υ

Ελαστικότητα

dtK

KM

∫=

=

ω

ϕ

Ηλεκτρική

χωρητικότητα

∫=

=

idtC

CQu

1

Αυτεπαγωγή

∫=

Φ=

udtL

Li

1

1

Θερµική

χωρητικότητα

CQ

=θ

Υδραυλική

χωρητικότητα

CQp =

3. Στοιχείο

απόδοσης

ενέργειας

Μάζα

dtdM

MFυγ

=

=

Ροπή

αδράνειας

dtdJ

JMωα

=

=

Ηλεκτρική

αυτεπαγωγή

dtdiLu =

Χωρητικότητα

dtduCi =

_

_

1.

6

Η µέθοδος Lagrange

Η αναλογία µεταξύ µεγεθών και φυσικών στοιχείων οδήγησε τον Lagrange στη διαπίστωση αναλογίων µεταξύ των εσωτερικών ενεργειών που χαρακτηρίζουν τα φυσικά φαινόµενα και στη διατύπωση, µε µία µαθηµατική εξίσωση, ενός ενιαίου νόµου, ανάλογου των θεµελιακών ενεργειακών νόµων όλων των φυσικών φαινοµένων:

0=∑W .

Παράδειγµα: Οι εσωτερικές ενέργειες του µηχανικού φαινοµένου

Στο µηχανικό φαινόµενο:

µεταβλητή x είναι η µηχανική µετατόπιση,

εξωτερική δύναµη F είναι η µηχανική δύναµη που επενεργεί στο σώµα, και

αντιστοιχεί σε επιβαλλόµενη εξωτερική ενέργεια W : όπου dx

dWF =

στα τρία υλικά στοιχεία τριβής, ελαστικότητας και µάζας αντιστοιχούν οι εξής

εσωτερικές ενέργειες και δυνάµεις:

• Τριβή, στοιχείο απώλειας ενέργειας:

εσωτερική δύναµη τριβής: υυ

BddDF == ,

όπου D εσωτερικές απώλειες ισχύος: 2

21 υBD = .

• Ελαστικότητα, στοιχείο αποθήκευσης ενέργειας:

εσωτερική δύναµη ελαστικότητας: KxdxdVF == ,

όπου V η αποθηκευµένη εσωτερική δυναµική ενέργεια: 2

21 KxV = .

• Μάζα, στοιχείο απόδοσης ενέργειας:

εσωτερική δύναµη αδράνειας: γυ

MJdtd

dxdJF =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

== για σταθερό Μ,

όπου J η αποδιδόµενη εσωτερική κινητική ενέργεια: 2

21 υMJ = .

1.

7

Ο πίνακας των ανάλογων µεγεθών, δυνάµεων και στοιχείων των φυσικών φαινοµένων µπορεί να συµπληρωθεί τώρα µε έναν πίνακα ανάλογων εσωτερικών ενεργειών.

Φαινόµενα: Μηχανικό Περιστροφικό Ηλεκτρικό Μαγνητικό Θερµικό Υδραυλικό

Γενικευµένη

µεταβλητή

x

Μετατόπιση

x

Γωνία

περιστροφής

φ

Ηλεκτρικό

φορτίο

Q

Μαγνητική

ροή

Φ

Θερµότητα

Q

Όγκος

ρευστού

Q

Γενικευµένη

ταχύτητα o

x

Ταχύτητα

υ

Γωνιακή

ταχύτητα

ω

Ηλεκτρική

ένταση

i

Τάση

u

Παροχή

θερµότητας

q

Παροχή ρευστού

q

Γενικευµένη

δύναµη F ∆ύναµη

F

Ροπή

M

Τάση

u

Ένταση

i

Θερµοκρασία

θ

Πίεση

p

Απώλειες

ισχύος

)(o

xDD =

2

21 υB

2

21 ωB

2

21 Ri

2

21 uR

2

21 Rq

2

21 Rq

Γενικευµένη

δυναµική

ενέργεια

)(xVV =

2

21 Kx

2

21 ϕK

2

21 QC

2

21Φ

L

2

21 QC

2

21 QC

Γενικευµένη

κινητική

ενέργεια

)(o

xx,JJ =

2

21 υM

2

21 ωJ

2

21 Li

2

21 Cu

_

_

1.

8

Η εξίσωση Lagrange

Η εφαρµογή του γενικού ενεργειακού νόµου 0=∑W οδηγεί στη διατύπωση

µιας ενιαίας µαθηµατικής εξίσωσης για όλα τα φυσικά φαινόµενα. Η γενική αυτή εξίσωση του Lagrange (Lagrange’s equation) είναι:

Fx

DxV

xJ

x

Jdtd

=∂

∂+

∂∂

+∂∂

−⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂oo

Τα µεγέθη της εξίσωσης αυτής ορίζονται γενικά ως εξής:

x Μια γενικευµένη µεταβλητή του συστήµατος, ένα ποσοτικό µέγεθος ανάλογο της µετατόπισης x των µηχανικών συστηµάτων.

dtdxx =

o

Η χρονική µεταβολή της µεταβλητής x, ανάλογη της ταχύτητας υ των µηχανικών συστηµάτων.

dxdWF = Μια γενικευµένη εξωτερική δύναµη, ένα ενεργειακό µέγεθος,

ανάλογο της µηχανικής δύναµης, που προκαλεί τη µεταβολή x.

)(o

xDD = Η εσωτερική ισχύς που αντιστοιχεί στις ενεργειακές απώλειες του συστήµατος, ανάλογη των µηχανικών τριβών.

)(xVV = Η εσωτερική ενέργεια που αποθηκεύεται στο σύστηµα, ανάλογη της δυναµικής ενέργειας των µηχανικών συστηµάτων.

)(o

xx,JJ = Η εσωτερική ενέργεια που αποδίδει το σύστηµα, ανάλογη της κινητικής ενέργειας των µηχανικών συστηµάτων.

Η εξίσωση Lagrange γράφεται για κάθε βαθµό ελευθερίας του συστήµατος.

Έτσι αν n ο βαθµός ελευθερίας, τότε η γενικευµένη µεταβλητή x θα παίρνει

τιµές n ανεξάρτητων µεγεθών: nxxx ,...,, 21 ,

όπως και η γενικευµένη δύναµη F τιµές: nFFF ,...,, 21 .

1.

9

Παραδείγµατα Παράδειγµα 1: Μαθηµατικό οµοίωµα µηχανικού συστήµατος

∆ίνεται µηχανικό σύστηµα τριών σωµάτων.

Να γραφούν οι διαφορικές εξισώσεις του συστήµατος εφαρµόζοντας τη µέθοδο Lagrange.

Λύση

Εφαρµόζοντας τη µέθοδο Lagrange ορίζουµε τα χαρακτηριστικά µεγέθη του συστήµατος:

Βαθµοί ελευθερίας: 3=n (τρία σώµατα),

γενικευµένες µεταβλητές: οι µετατοπίσεις 1x , 2x , 3x ,

γενικευµένη δύναµη: η εξωτερική δύναµη FF =1 .

Απώλειες ισχύος: 214

233

2322

2211 )(

21)(

21)(

21)(

21 oooooo

xBxBxxBxxBD ++−+−= ,

δυναµική ενέργεια: 233

2311 2

1)(21 xKxxKV +−= ,

κινητική ενέργεια: 233

222

211 )(

21)(

21)(

21 ooo

xMxMxMJ ++= .

Οπότε:

o

o 11

1

xMx

J=

∂

∂ , o

o 22

2

xMx

J=

∂

∂ , o

o 33

3

xMx

J=

∂

∂ , 0321

=∂∂

=∂∂

=∂∂

xJ

xJ

xJ ,

)( 2111

xxKxV

−=∂∂ , 0

2

=∂∂xV , 33311

3

)( xKxxKxV

+−−=∂∂ ,

14211

1

)(ooo

oxBxxB

x

D+−=

∂

∂ , )()( 322211

2

oooo

oxxBxxB

x

D−+−−=

∂

∂ ,

33322

3

)(ooo

oxBxxB

x

D+−−=

∂

∂ .

Άρα οι εξισώσεις Lagrange είναι:

1. FxBxxBxxKxM =+−+−+ 1421131111 )()(ooooo

2. 0)()( 32221122 =−+−−oooooo

xxBxxBxM

3. 0)()( 333223331133 =+−−+−−ooooo

xBxxBxKxxKxM .

1.

10

Παράδειγµα 2: Μαθηµατικό οµοίωµα ηλεκτρικού κυκλώµατος

Έστω ηλεκτρικό κύκλωµα δύο βαθµίδων RC µε είσοδο )(te και έξοδο )(tu .

Θεωρείστε ως µεταβλητές τα φορτία των βρόχων 1Q , 2Q .

Βρείτε τις εξισώσεις του συστήµατος µε τη µέθοδο Lagrange.

Λύση

Για την εφαρµογή των εξισώσεων Lagrange ορίζουµε τα χαρακτηριστικά µεγέθη:

Βαθµοί ελευθερίας: 2=n (δύο βρόχοι),

γενικευµένες µεταβλητές: τα φορτία 1Q , 2Q ,

γενικευµένη εξωτερική δύναµη: η πηγή τάσης eF =1 .

Απώλειες ισχύος: 222

211 )(

21)(

21 oo

QRQRD += ,

δυναµική ενέργεια: 22

2

231

1 21)(

21 Q

CQQ

CV +−= ,

κινητική ενέργεια: 0=J .

Οπότε:

021

=∂

∂=

∂

∂oo

Q

J

Q

J , 021

=∂∂

=∂∂

QJ

QJ ,

)(121

11

QQCQ

V−=

∂∂ ,

2

221

12

)(1CQ

QQCQ

V+−−=

∂∂ ,

11

1

o

oQR

Q

D=

∂

∂ , 22

2

o

oQR

Q

D=

∂

∂ ,

Άρα οι εξισώσεις Lagrange είναι:

1. eQRQQC

=+− 11211

)(1 o

2. 0)(122

2

221

1

=++−−o

QRCQQQ

C

και 2

3

CQ

u = .

1.

11

Η µέθοδος Lagrange – Σύνοψη

Η γενική εξίσωση Lagrange

Fx

DxV

xJ

x

Jdtd

=∂

∂+

∂∂

+∂∂

−⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂oo

Όπου: x Γενικευµένη µεταβλητή

dxdWF = Γενικευµένη εξωτερική δύναµη

)(o

xDD = Εσωτερική ισχύς απωλειών (τριβές)

)(xVV = Εσωτερική αποθηκευµένη ενέργεια (δυναµική ενέργεια)

)(o

xx,JJ = Εσωτερική αποδιδόµενη ενέργεια (κινητική ενέργεια)

Φαινόµενα: Μηχανικό Περιστροφικό Ηλεκτρικό Μαγνητικό

Γενικευµένη µεταβλητή

x

Μετατόπιση

x Γωνία

φ Φορτίο

Q Μαγν. ροή

Φ Γενικευµένη ταχύτητα

o

x

Ταχύτητα

υ

Γων. ταχύτητα

ω

Ένταση

i

Τάση

u

Γενικευµένη

δύναµη F ∆ύναµη

F

Ροπή

M

Τάση

u

Ένταση

i

Απώλειες

)(o

xDD =

2

21 υB

2

21 ωB 2

21 Ri 2

21 uR

Γεν. δυναµική

ενέργεια

)(xVV =

2

21 Kx

2

21 ϕK

2

21 QC

2

21Φ

L

Γεν. κινητική

ενέργεια

)(o

xx,JJ =

2

21 υM

2

21 ωJ

2

21 Li

2

21 Cu