§18.1 线性规划的有关概念

道路交通规划

生产安排规划

资源调配

科学配餐

营养学家指出，成人日常饮食每天至少要摄入 0.075kg 碳水化合物， 0.06kg 蛋白质和 0.06kg 脂肪．现有 A,B两种食物，在每千克 A中含 0.105kg 碳水化合物， 0.07kg 蛋白质、 0.14kg脂肪，花费为 28 元；在每千克 B中含 0.105kg 碳水化合物， 0.14kg 蛋白质， 0.07kg 脂肪，花费为 21 元，为了满足营养学家指出的日常要求，同时使花费最低，需要同时食用食物 A和食物 B多少 kg?整理数据，列表得：

食物（千克）

碳水化合物（千克）

蛋白质（千克）

脂肪（千克）

A 0.105 0.07 0.14

B 0.105 0.14 0.07

最少摄入量 0.075 0.06 0.06

分析：

营养学家指出，成人日常饮食每天至少要摄入 0.075kg 碳水化合物， 0.06kg 蛋白质和 0.06kg 脂肪．现有 A,B两种食物，在每千克 A中含 0.105kg 碳水化合物， 0.07kg 蛋白质、 0.14kg脂肪，花费为 28 元；在每千克 B中含 0.105kg 碳水化合物， 0.14kg 蛋白质， 0.07kg 脂肪，花费为 21 元，为了满足营养学家指出的日常要求，同时使花费最低，需要同时食用食物 A和食物 B多少 kg?

0.105 0.105 0.075

0.07 0.14 0.06

0.14 0.07 0.06

0

0

x y

x y

x y

x

y

解：设每天食用食物 A为 xkg ，食物 B为 ykg ，所需花费为 z元． 28 21z x y

关于变量 x、 y的一组一次不等式，称为线性约束条件

这个函数称作目标函数

在线性约束条件下求目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题

min z

x,y称作决策变量

一次函数

下列是线性规划的是：

3 1

2

, 0

x y

x y

x y

+

2A.max 10 5z x y

1 2 3

1 2

1 2 3

3 2 8

2 2

, , 0

x x x

x x

x x x

+ +

+

1 2 3B.min 2 3z x x x

1

12

2, 0

x y

x y

x y

C. 2z x y

2

2 4 7

, 0

xy y

x y

x y

D.min 4 2z x y

下列不是线性规划的是：

3 1

2

, 0

x y

x y

x y

+

A.max 10 5z x y

1 2 3

1 2

1 2 3

3 2 8

2 2

, , 0

x x x

x x

x x x

+ +

+

1 2 3B.min 2 3z x x x

1

12

2, 0

x y

x y

x y

C. 2z x y

2

2 4 7

, 0

x y

x y

x y

D.min 4 2z x y

一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产 1 车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐 4t 、硝酸盐 18t ，产生的利润 10000 元；生产 1 车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐 1t 、硝酸盐 15t ，产生的利润为 5000 元．现库存磷酸盐 10t 、硝酸盐 66t ，在此基础上生产这两种混合肥料．问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？

解：设 x、 y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，最大的利润为 z元，

4 10

18 15 66

0

0

x y

x y

x

y

＋＋

max 10000 5000z x y 则有线性规划问题：

某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为 3000元、 2000 元，甲、乙产品都需要在 A 、 B 两种设备上加工．在每台 A 、 B 上加工 1 件甲所需工时分别为 1h 、 2h ；在每台 A 、B 上加工 1 件乙所需工时分别为 3h 、 1h ． A 、 B 两种设备每月有效使用台数分别为 400h 和 500h ．如何安排生产可使收入最大？