第一节 整数线性规划问题第一节 整数线性规划问题

• 整数线性规划问题举例

• 解整数线性规划问题的困难性

整数线性规划问题整数线性规划问题

• 整数线性规划（ ILP ）具有下述形式

为整数xx

bAxts

xc

,0..

min

• 0-1 整数线性规划模型

nix

bAxts

xc

i ,...,2,1;10..

min

或

• 混合整数线性规划

pix

ix

bAx

ts

xc

i ,...,2,1,

n,...,2,1,0..

min

为整数

1. 1. 整数线性规划问题举例整数线性规划问题举例

• 例 3.1.1

某财团有 B万元的资金，有 ( 2)n n 个可以考

虑的投资项目，假定每个项目最多投资一次。其中

第 j个项目需投资金额为 jb 万元，将会获得的利润

为 jc 万元，问应如何选择项目才能使得获得的总

利润最大？

例例 3.1.1 3.1.1 投资决策问题投资决策问题

• 分析• 变量—每个项目是否投资

• 约束—总金额不超过限制

• 目标—总收益最大

10或jx nj ...,2,1

Bxbn

jjj

1

n

jjj xc

1

max

例例 3.1.1 3.1.1 投资决策问题投资决策问题

• 数学模型

1

1

max

0. .

0 1; 1,2...,

n

j jj

n

j jj

j

z c x

b x Bs t

x j n

或

旅行售货员问题旅行售货员问题

• 此外，运筹学还有一个著名的问题：

旅行售货员问题（ TSP ）

旅旅旅旅旅旅旅旅TSP旅

2. 2. 解整数线性规划问题的困难性解整数线性规划问题的困难性

为整数xx

bAxts

xc

,0..

zmin

整数规划

0..

zmin

x

bAxts

xc

可行解是松弛问题的可行解最优值大于等于松弛问题的最优值

松弛的线性规划问题

2. 2. 解整数线性规划问题的困难性解整数线性规划问题的困难性

LP 的可行集合

费用下降方向

LP 问题的最优解

ILP 问题的最优解

2. 2. 解整数线性规划问题的困难性续解整数线性规划问题的困难性续• 最优解不一定在顶点上达到• 最优解不一定是松弛问题最优解的邻近整数解• 整数可行解远多于松弛问题的顶点，枚举法不可

取• 解 ILP 问题要远难于解松弛的 LP 问题• 如果松弛的 LP 问题无解，显然原 ILP 问题无

解。反之，不一定成立。• 如果松弛的 LP 问题无界呢？可以证明原 ILP

问题也无界