18 series de taylor e de maclaurin
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Prof. Roberto Cristóvã[email protected] 18
Séries de Taylor e de Maclaurin
Série de Taylor e de Maclaurin
Se tiver uma representação (expansão) em série de potências em isto é, se
então seus coeficientes são dados pela fórmula
Série de Taylor
Substituindo essa fórmula para de volta na série, então teremos a chamada série de Taylor da função em (ou em torno de ou centrada em )
Série de Maclaurin
Para o caso especial , a série de Taylor torna-se
e recebe o nome especial de série de Maclaurin
Exemplo 1
Encontre a série de Maclaurin da função e seu raio de convergência. Solução: Se entãoAssim para todo Logo a série de Maclaurin é
Exemplo 1
Fazendo temos
Pelo Teste da Razão a série converge para todo , e o raio de convegência é
Investigação
Sob quais circunstâncias uma função é igual à soma de sua série Taylor? Em outras palavras, se tiver derivadas de todas as ordens, quando é verdade que
Polinômio de Taylor de grau n
é o limite da sequência das somas parciais. No caso da série de Taylor, as somas parciais são:
é chamado polinômio de Taylor de grau de em
Ilustração
Para os polinômios de Taylor em 0 com e 3 são
Teste de Comparação no Limite
Graficamente
Teorema
Se , onde é um polinômio de Taylor de grau de em e
para , então é igual à soma de uma série de Taylor no intervalo
Exemplo 3
Encontre a série de Taylor de em
Solução:
Exemplo 4
Encontre a série de Maclaurin para senx.Solução:
Exemplo 5
Encontre a série de Maclaurin para cosx.Solução:
Exemplo 6
Encontre a série de Maclaurin para xcosx.Solução:
Exemplo 7
Represente f (x)=senx como a soma de sua
série de Taylor centrada em /3.
Solução:
Exemplo 7
Represente f (x)=senx como a soma de sua
série de Taylor centrada em /3.
Solução:
Exemplo 7
Gráfico
Exemplo 8
Encontre a série de Maclaurin para onde é um número real.Solução:
Exemplo 8
(Série Binomial)
Converge se .
Notação radicional:
Série Binomial
Se é um número real e , então
Exemplo 9
Encontre a série de Maclaurin para afunção
e seu raio de convergência.
Solução
Série binomial com . Substituindo por :
Solução
A série converge para , ou seja, .
Portanto o raio de convergência é
Tabela
Exemplo 10
Calcule com erro inferior a 0,001.Solução:
Exemplo