太赫兹雷达技术研究进展 收到 - wuli.ac.cn · 隐藏武器的探测[14]。相比于第一代系统,成像速 率大大提高,并且成像距离也由原先的4 m 扩大
1.7 赫姆霍兹定理
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CQU1.7 赫姆霍兹定理
1 、标量场
标量场由其梯度 ( 矢量 ) 场和边界唯一确定。( ) ( )u r F r
则:
0 0
( ) ( ) ( )P P
P Pu u d d r r l F r l
2 、矢量场的类型
无旋场、无散场、调和场和一般矢量场
实际工程中,如何唯一确定一个场?
CQU1.7 赫姆霍兹定理
( 1 )无旋场0 F
旋度恒为零,但散度并不为零的矢量场。无旋场仅由通量源产生的,静电场是其一例。
由斯托克斯定理有
1( ) d d 0
S F S F l
即在定义域内无旋场沿任意闭合路径 l 的环量恒为零,可见无旋场就是守恒场。
CQU
d d d
d d 0
PnQmp PnQ QmP
PnQ PmQ
F l F l F l
F l F l
d dPmQ PmQ
F l F l即
P
Q
m
n
两点间的任意两条积分路径
由图中 P 、 Q 两点间的两条路径 PnQ 和 PmQ ,构成回路PnQmP ,其上 F(r) 的环量可以写成
无旋场的线积分与积分路径无关,仅与线积分起点和终点的位置有关。
1.7 赫姆霍兹定理
CQU
由 可以定义一个标量场× = 0 ( ) = 0f F ( ) r
这种形式的二阶偏微分方程称为泊松方程。
得 的微分方程
( ) r
令 ( ) ( )b F r r
负号意指某点 的方向为该处 取得最大减小率的方向。
( )F r ( ) r
1.7 赫姆霍兹定理
在一定附加条件下(边界条件),由上式可求得 (r) 的解,再按 (1.7.1) 式解得 F(r) ,这是求解无旋场的基本方法。
( ) ( ) F r r (1.7.1)
2 = b (1.7.2)
CQU
( 2 )无散场
0 F
1.7 赫姆霍兹定理
散度恒为零,而旋度并不为零的矢量场。无散场是仅由旋涡源产生的,恒定磁场即是一例。
由高斯散度定理,有 ( )d d 0V S
V F F S
即无散场在任意闭面 S 上的净通量恒等于零。
CQU
可得无散场的二阶偏微分方程
)()( rcrF )(rcA
称为矢量场的旋度旋度方程。求解此类场的基本方法是:先解这个旋度旋度方程可得 A(r) 的通解,在一定附加条件下可得到特解,再按 (1.7.3) 式求出无散场 F(r).
F = A令 (1.7.3)
由 可定义一个矢量位函数 A(r)0 ( ) 0 F A
CQU
( 3 )调和场
2 = 0
调和场的二阶偏微分方程称为拉普拉斯方程。
( 4 )一般矢量场的旋度和散度均不为零。它由旋涡源和通量源共同产生。通常时变电磁场都是一般矢量场,而无旋场、无散场以及调和场都是它的特例。
1.7 赫姆霍兹定理
在定义域内矢量场的旋度与散度均为零。显然,调和场的场源是在定义域之外。恒定电场即是一例。
由无旋性 0 F ,引入标量位函数 ( ) ( ) F r r
再由 ( ) 0 F r ,可得
CQU
3 、赫姆霍兹定理
在闭面 S 所包围的有限区域 ( 单连域或多连域 )V 内 ,若给定了矢量场的旋度和散度,同时还给定了该矢量场在边界 S 上的法向分量 Fn 或切向分量 Ft ,则 V 内是唯一确定的。
(1)唯一性定理:
用反证法证明,假定满足给定条件的矢量场有两个 和 ,然后再论证这两个矢量场是相同的,即 。令
1( )F r
2 ( )F r
1 2( ) ( )F r F r
*1 2 F F F
1.7 赫姆霍兹定理
赫姆霍兹定理包括矢量场的唯一性定理和矢量场的分解定理。
CQU
在边界 S 上,则有
1 2| | | 0n S n S n S F F F 或 1 2| | | 0t S t S t S
F F F
由 可引入标量函数 (r) * 0 F
F
且有 2 = 0 ( 在 V 内)
0)(
S
Sn n
0)(
S
St t
①
②或
1.7 赫姆霍兹定理
S 为 φ 的等值面
在 V 内,有 *1 2 0 F F F
*1 2 0 F F F
CQU
根据条件① ,可得 2| | d 0V
V
对矢量函数 应用格林第一公式,并考虑到在 V 内有 2 = 0 ,
2d | | dS V
S Vn
( ) d ( )dS V
V S
2d ( )dS V
S Vn
1.7 赫姆霍兹定理
CQU
对于条件② ,因
d dS S
S Sn n
2| | d 0V
V 故同样得到
由于 的非负性, 意味着 = 0 ,
即
22| | d 0
VV
2112 0 FFFFF 或
S 面上 φ 相等
2d d 0S V
V S
CQU
( 2 ) 分解定理:任意一个满足唯一性定理的一般矢量 F(r) ,可以分解为无旋的 Fi(r) 和无散或管形的 Fs(r) 两个部分,即
F(r) = Fi(r) + Fs(r)
设矢量场 F(r) 的旋度和散度分别为
( ) 0
( )i
i b
F r
F r可得
1.7 赫姆霍兹定理
( ) ( ) F r c r ( ) ( )b F r r和
( ) ( )
( ) 0S
S
F r c r
F r
( ) ( ) ( ) F r r A r
引入 和 ,)(r )(rA S F A分别满足 和 i F
因此,一般矢量场可用 和 表示为)(r ( )A r
CQU
已知
在电磁场中
电荷密度
电流密度 J场域边界条件
矢量 F 的通量源密度
矢量 F 的旋度源密度
场域边界条件
(矢量 F 唯一地确定)
1.7 赫姆霍兹定理
( ) ( ) ( )u F r r A r