八年级 下册

16.1　二次根式（1）

• 本课通过现实问题提出二次根式要研究的问题，通

过用字母表示算术平方根中的被开方数，把算术平

方根一般化，得到二次根式的概念、二次根式有意

义的条件、二次根式的非负性．

课件说明

课件说明

• 学习目标：

　1．根据算术平方根的意义了解二次根式的概念；知

道被开方数必须是非负数的理由；

2．能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系．

• 学习重点：

从算术平方根的意义出发理解二次根式的概念．

2=r Rh

　　电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传得越远，从

而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：

km）与电视节目信号的传播半径 r（单位：km）之间

存在近似关系 ，其中地球半径R≈6 400 km．

如果两个电视塔的高分别是h1 km、h2 km，那么它们

的传播半径之比是1

2

2

2

Rh

Rh．你能化简这个式子吗？

式子 表示1

2

2

2

Rh

Rh公式中 中的 表示什么意义？ 2Rh2=r Rh

什么？　　

创设情境　提出问题

3S

　　（1）中式子你是怎么得到？得到的两个式子有什

么不同？

问题：

　　（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为

S 的正方形的边长为_______．

创设情境　提出问题

　　（2）中得到的式子有什么意义？

65

创设情境　提出问题

问题：

　　（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它的宽为______m．

创设情境　提出问题

5h

　　（3）中当h 的值分别为0，10，15，20，25时，得

5h

　　　到的结果分别是什么？ 表示的数怎样变化？　　　

　　t =

问题：

　　（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的

时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满

足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，则

_____．

（1）这些式子分别表示什么意义？

（2）这些式子有什么共同特征？

　　这些式子的共同特征是：

都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负

数）的算术平方根．

5h

分别表示3，S，65， 的算术平方根．

合作探究　形成知识

上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ， ． 3 S 655h

合作探究　形成知识

3 S 655h

　　把形如 ， ， ， 用来表示一个非负数的

　算术平方根的式子，叫做二次根式．　

　（3）根据你的理解，请写出二次根式的定义．　

被开方数a≥0；

根指数为2．二次根式

　　二次根式：

一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次

根式，“ ”称为二次根号．

a

合作探究　形成知识

√

√

√

初步应用　巩固知识

　　练习1　指出下列哪些是二次根式？

（1） ；

（2） ；

（3） ；

（4） ；

（5） ；

（6） 　　　 ．

5

3-

3 212 1+x

2 2-a a（ 　　）

-a b a b（ 　 ）

≥

＜

　　二次根式都是非负数的算术平方根；带有根号的

算术平方根是二次根式．

　　练习2　二次根式和算术平方根有什么关系？

初步应用　巩固知识

∴　当x≥-2时， 在实数范围内有意义．2+x

2+x

　　解：要使 在实数范围有意义，　 　　

必须　x+2≥0， ∴　x≥-2．

2+x

　　例1　当x 是怎样的实数时， 在实数范围内有

意义？

初步应用　巩固知识

　　例2　当x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意

义？ 　 呢？

2x3x

初步应用　巩固知识

（1） ；（2） ；（3）　 ．　　

解：（1）由a+1≥0，得　a≥-1；12

（2）由1-2a＞0，得　a＜ ；

　　（3）由 ≥0，得　a为任何实数．　　21-a（ ）

初步应用　巩固知识

　　例3　a 取何值时，下列根式有意义？

1+a1

1 2- a21-a（ ）

（1） ；（2） ．　　

答案：（1） a为任何实数； （2） a =1．

　　变式　a 取何值时，下列根式有意义？

2 2 1- +a a 21- -a（ ）

总结：被开方数不小于零．

初步应用　巩固知识

当a＞0 时， 表示a 的算术平方根，因此 ＞0； a a

这就是说， （a≥0）是一个非负数． a

aa当a =0 时， 表示0 的算术平方根，因此 =0；

　　问题　请比较 和0 的大小．a

比较辨别　探索性质

　分类讨论思想　

　双重非负性　

　　练习1　判断下列各式哪些是二次根式：

　 （1）　 ；

（2）　　　　 ；

（3）　 ；

（4） ．

16-

10 0+a a（ 　　）

2 1+a

0-x x（ 　　）

＞

≤

×

√

√

√

综合应用　深化提高

　　练习2　当x 是什么实数时，下列各式有意义．

3 4- x 1-x

x2-x 2 2- - -x x

（1） 　 ；（2）　　；

（3）　 ； （4） ．

综合应用　深化提高

16 4- n　　练习3　若 是整数，则自然数n 的值为

___________.0，3，4

（1）本节课你学到了哪一类新的式子？

（2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的

范围是什么？

（3）二次根式与算术平方根有什么关系？

课堂小结　

一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次

根式，“ ”称为二次根号．

a

双重非负性 0a　　≥ ．a 中的a≥0；

　　二次根式都是非负数的算术平方根，带有根号的算

术平方根是二次根式．

　　我们以前学习过的整式、分式都能像数一样进行

运算，你认为对于二次根式应该进一步研究哪些问题？

回顾总结　反思提升　

课后作业

作业：教科书第5页第1，3，5，6，7，10题．