PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI BINOMIAL DENGAN MENGGUNAKAN ...
14 Pendugaan Parameter
-
Upload
yudha-adi-kusuma -
Category
Documents
-
view
301 -
download
19
Transcript of 14 Pendugaan Parameter
Pendahuluan
Pengertian Pendugaan Parameter.
Pendugaan adalah proses yang menggunakan sample statistik untuk menduga atau menaksir hubungan parameter populasi yang tidak diketahui.
Pendugaan merupakan suatu pernyataan mengenai parameter populasi yang diketahui berdasarkan informasi dari sample , dalam hal ini sample random , yang diambil dari populasi bersangkutan. Jadi dengan pendugaan itu , keadaan parameter populasi dapat diketahui
Pengertian Pendugaan Parameter
Pendugaan = Penaksiran Penduga adalah suatu statistik ( harga sample)
yang digunakan untuk menduga suatu parameter. Dengan penduga , dapat diketahui seberapa jauh suatu parameter populasi yang tidak diketahui berada di sekitar sample ( statistik sample )
Secara umum , parameter diberi lambang θ ( baca : theta ) dan penduga diberi lambang xxx
Kriteria penduga yang baikTidak bias Efisien Konsisten
Populasi :
Parameter
Sampel : Statistik
Statistik merupakan PENDUGA bagi parameter populasi
PENDUGA TAK BIAS DAN MEMPUNYAI RAGAM
MINIMUM
STATISTIK merupakan PENDUGA bagi PARAMETER
TARGETPENDUGA TITIK
PENDUGA SELANG
Penduga titik tidak selalu tepat menduga parameter populasi maka digunakan pendugaan dalam bentuk selang interval
Dalam setiap pendugaan mengandung PELUANG kesalahan
penduga selang konsep probability SELANG KEPERCAYAAN (CONFIDENCE INTERVAL)
Dua jenis pendugaan parameterPendugaan Titik Parameter Populasi
:Pendugaan tunggal atau titik (point
estimate) ialah pendugaan yang terdiri dari satu nilai saja.
Memberikan nilai yang kemungkinan besar berbeda dari nilai parameter yang sebenarnya.
TARGET PENDUG
A TITIK
Pendugaan Titik Parameter Populasi
Pendugaan Parameter
Pendugaan Parameter
21 xx
p
21 ˆˆ pp
Satu Populasi Dua Populasi
x p̂
21 21 pp
22
21
s
s
22
21
2s
2
Pendugaan Interval
Pendugaan tunggal yang terdiri dari satu angka tidak memberikan gambaran mengenai berapa jarak/selisih nilai penduga tersebut terhadap nilai sebenarnya.
Jika kita menginginkan suatu pengukuran yang obyektif tentang derajat kepercayaan kita terhadap ketelitian pendugaan, maka kita sebaiknya menggunakan pendugaan interval (interval estimation). Pendugaan ini akan memberikan nilai-nilai statistik dalam suatu interval dan bukan nilai tunggal sebagai penduga parameter.
TARGET PENDUG
A TITIK PENDUG
A SELANG
Pendugaan Interval
Pendugaan interval (selang) merupakan pendugaan berupa interval yang dibatasi oleh dua nilai yang disebut dengan nilai batas bawah dan nilai batas atas.
Pendugaan interval itu akan merupakan interval kepercayaan atau interval keyakinan (confidence interval) yang dibatasi oleh batas keyakinan atas (upper confidence limit) dan batas keyakinan bawah (lower confidence limit).
Untuk membuat pendugaan interval harus ditentukan terlebih dahulu koefisien keyakinan atau tingkat keyakinan yang diberi simbol 1 - .
Pendugaan Interval
Pendugaan Interval
Koefisien keyakinan atau tingkat keyakinan :Misalnya : 1 - = 0,90 = 0,10 = 10 %. /2 = 0,05 jadi Z/2 = Z 0,05 = (ZP = 0,5 - /2) =
Z 0,5 – 0,05 = Z0,45 = 1,645 (lihat Tabel Normal).
Misalnya : 1- = 0,98 dan n = 25 = 0,02 /2 = 0,01jadi t/2 ; v = t/2 ; n – 1 = t 0,01 ; 25 –1 = t 0,01 ; 24 = 2,492
( lihat tabel Distribusi t).
Koefisien keyakinan atau tingkat keyakinan :
Menaksir Rataan
Pendugaan Titik untuk Rataan
Populasi Penduganyaµ
cenderung akan menjadi penduga µ yang amat tepat, jika n (ukuran
sampel) besar
x2 n
s x
2
2
CONTOH
Lihat di tabel dengan nilai
1-0,025 =0,9750 z
= 1,96
Dari soal sebelumnya, tentukan selang kepercayaan 99% untuk rataan nilai matematika semua mahasiswa tingkat sarjana
Rataan Populasi
Rataan contoh merupakan PENDUGA tak bias bagi
s2 merupakan penduga tak bias bagi 2
x
1.96
x 1.96
x
SAMPLING ERROR
Dugaan Selang
nzx
nzx
22
n
stx
n
stx nn )1()1( 22
2 diduga dengan s2
ContohSurvei dilakukan terhadap 20 RT disuatu kota untuk menduga besarnya rata-rata biaya pendidikan (juta Rp/thn/RT). Datanya diperoleh sebagai berikut:
RT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Biaya(juta Rp) 2,30 4,50 4,00 5,00 3,80 7,20 6,25 5,75 6,70 7,80
RT 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Biaya(juta Rp) 6,80 5,30 8,00
15,10
13,20 4,50 2,00 4,70 5,75
10,10
a. Dugalah rata-rata biaya pendidikan per RT per tahun
b. Buatlah selang kepercayaan 95%, asumsikan biaya pendidikan mengikuti sebaran normal.
Jawab:a. Penduga rata-rata biaya pendidikan
b. Selang kepercayaan 95%44.6ˆ x
093,2
732407,020/275422,3/
)19;2/05,0(
db
x
t
nss
970,7905,4
732,0093,244,6732,0093,244,6
xx
Nilai s Dicari dari rumus
Contoh.Dua buah mesin A dan B dibandingkan dlm konsumsi BBM-nya. Random sampling mesin A sejumlah 50 dan B sejumlah 75 dipakai. Ternyata rata-rata konsumsi BBM mesin A adalah 36 mil/galon dan mesin B 42 milegalon. Carilah interval kepercayaan 96% bagi μB- μA bilamana diketahui standard deviasi populasi bagi A= 6 dan B = 8 mil/galon
Interval Kepercayaan Selisih Rata-Rata Populasi (σ diketahui)
Contoh:Diket.XsA=36, XsB = 42; nA=50 dan nB =75. σA=6 dan σB=8
Interval kepercayaan 96% bagi μvB- μA :
3.43 < μB- μA < 8.57 .
Jadi probabilitasnya tinggi bsahwa sampel A ditarik dari populasi yg memang rata-ratanya lebih tinggi dibandingkan B
B
B
A
AABAB
B
B
A
AAB nn
zxxnn
zxx22
02.0
22
02.0 )()()(
50
36
75
6405.2)3642()(
50
36
75
6405.2)3642( AB
Proporsi
Proporsi contoh merupakan PENDUGA tak bias bagi p
p̂
p
1.96
p̂ 1.96
p̂
SAMPLING ERROR
Dugaan Selang / interval
11
)ˆ1(ˆ)ˆ1(ˆˆ
22 n
ppzx
n
ppzp
Selang kepercayaan (1-)100% bagi p
ContohDari sampel dengan n = 100 mahasiswa PTS “ABC”.
Ternyata 25 mahasiswa memiliki IPK ≥ 3. Buatlah dugaan untuk proporsi mahasiswa PTS “ABC” yang memiliki IPK ≥ 3 dengan interval keyakinan 95%.
Interval duga: p(0,206 < P < 0,335)
ContohSebelum memutuskan untuk memperkenalkan produk baru
pada tahun 1985, perusahaan coca cola memperkenalkan produk baru (tanpa diberi label) kepada 40,000 pelanggan di 30 kota. Sekitar 55% pelanggan lebih menyukai produk baru dibanding produk lama. Jika diasumsikan 40,000 pelanggan tersebut sebagai sebuah contoh acak dari populasi pelanggan coca cola di 30 kota:
Tentukan selang kepercayaan 95% bagi p (proporsi konsumen yang menyukai produk baru tersebut!
Tentukan selang kepercayaan 95% bagi proporsi konsumen yang lebih menyukai produk lama!
*Sumber : Mendenhall, W (1987)
*sedikit modifikasi soal
Selisih rataan dua populasi
Dugaan Selang
1
21
1
21
21211
21
1
21
21 22)()(
nnzxx
nnzxx
Syarat :
12 & 2
2
diketahui
Tidak
diketahui
12 & 2
2
Tidak sama
sama
Formula 1
Formula 2
1 - 2
21 xx
1-2
1.9621 xx
SAMPLING ERROR
1.9621 xx
a. Jika 1 dan 2 tdk diketahui dan diasumsikan sama:
21
2)(2121
21
2)(21
11)(
11)(
22 nnstxx
nnstxx gabvgabv
2dan 2
)1()1(21
21
222
2112
nnvnn
snsnsgab
Formula 1
b. Jika 1 dan 2 tdk diketahui dan diasumsikan tidak sama: Formula 2
2
22
1
21
)(21212
22
1
21
)(21 22)()(
n
s
n
stxx
n
s
n
stxx vv
11
2
2
2
22
1
2
1
21
2
2
22
1
21
nnsnn
s
ns
ns
v
Contoh Dua buah perusahaan yang saling bersaing dalam industri kertas karton saling mengklaim bahwa produknya yang lebih baik, dalam artian lebih kuat menahan beban. Untuk mengetahui produk mana yang sebenarnya lebih baik, dilakukan pengambilan data masing-masing sebanyak 10 lembar, dan diukur berapa beban yang mampu ditanggung tanpa merusak karton. Datanya adalah :
Dugalah beda kekuatan karton kedua perusahaan, dan hitung standar errornya
Buatlah selang kepercayaan 95% bagi beda kekuatan karton kedua perusahaan
Persh. A 30 35 50 45 60 25 45 45 50 40
Persh. B 50 60 55 40 65 60 65 65 50 55
Diberi pakan tertentu
Ditimbang kondisi awal : bobot kelinci
Ditimbang kondisi akhir : bobot kelinci
Setelah periode tertentu
Perubahan akibat pemberian pakan : selisih bobot akhir –
bobot awal
d
d
Dugaan selang
n
std
n
std d
nDd
n )1()1( 22
Selang kepercayaan (1-)100% bagi d
Dugaan Selang
Beda nilai tengah bagi contoh berpasangan: d
Selang kepercayaan (1-)100% bagi d
n
std
n
std d
nDd
n )1()1( 22
Pasangan 1 2 3 … n
Sampel 1 (X1) x11 x12 x13 x1n
Sampel 2 (X2) x21 x22 x23 x2n
D = (X1-X2) d1 d2 d3 dn
iii
i
d xxin
dds 21i
2
2 ddan )(
Selisih dua proporsi
p1 - p2
21 ˆˆ pp
p1-p2
1.9621 ˆˆ pp
SAMPLING ERROR
1.9621 ˆˆ pp
Dugaan Selang
2
22
1
1121
2
22
1
1121
)ˆ1(ˆ)ˆ1(ˆ)ˆˆ(
)ˆ1(ˆ)ˆ1(ˆ)ˆˆ(
22 n
pp
n
ppzpp
n
pp
n
ppzpp
Selang kepercayaan (1-)100% bagi p1 - p2