14 多重積分

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14 多重積分 Multiple Integration

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14.1 逐次積分和平面上的面積

14.2 重積分和體積

14.3 積分變數變換：極坐標

14.4 質心和慣性矩

14.5 曲面面積

14.6 三重積分

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14.3 積分變數變換：極坐標 (Change of variables: polar coordinates)

例 1 以極坐標描寫平面區域以極坐標描寫圖 14.23 中的區域。

P.630Ch14 多重積分

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例 1 （續）

解a. 區域 R 是半徑為 2 的四分之一圓域，其極坐標表示法為 R = {(r,θ): 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤θ≤π/2}

b. 區域 R 是介於半徑為 1 和 3 的同心圓間的區域，其極坐標表示法為 R = {(r,θ): 1 ≤ r ≤ 3, 0 ≤θ≤2π}

本例中的區域是極扇形的特例，極扇形是指以下列不等式定出的區域，如圖 14.24 所示。


2121 ,:),( rrrrR

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圖 14.24 極扇形。


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在極坐標系中計算二重積分

若要在極坐標系中定義一個連續函數 z = f (x, y) 的二重積分，考慮以直線 θ=α ， θ=β 和圖形 r = g1(θ) ，r = g2(θ) 為界的區域 R 。第一步是對 R 作分割，我們不再把 R 分割成小的長方形，比較恰當的作法是分割成小的極扇形。在 R 上畫出一個由輻射線（從原點出發的半直線）和圓弧（以原點為圓心的圓弧）所構成的極坐標格子，每格都是一個極扇形，如圖 14.25 所示。其中完全落在 R 內的極扇形構成一個 R 的內部極坐

標分割 Δ ， Δ 的範數 ||Δ|| 就定義為所有 Δ 中各個極扇形對角線長的最大值。


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圖 14.25 區域 R 分成（極坐標）格子。


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圖 14.26 聯立不等式 r1 ≤ r ≤ r2 和 θ1≤θ≤θ2 定出極扇形。


歐亞書局 P.631Ch14 多重積分

圖 14.27 水平單純形 S 。

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定理 14.3 極坐標積分變數變換


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圖 14.28


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例 2 計算極坐標二重積分

如圖 14.29 區域 R 是介於圓 x2 + y2 = 1 和 x2 + y2 = 5 之間

的環形區域，求積分。

解　相關的極坐標範圍是和 0 ≤θ≤2π 。將

x 和 y 分別以 r cosθ, r sinθ 代入被積函數，得到


51 r

dAyxR2

drr

ddrrr

ddrrrrdAyxR

5

1

2

0

32

4

2

0

5

1

223

2

0

5

1

222

sin3

cos4

)sincos(

)sincos(

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例 2 （續）


6

cos3

155

2

2sin33

sin3

1552cos33

sin3

155cos6

2

0

2

0

2

0

2

d

d

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圖 14.29 r- 單純區域。


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例 3 極坐標積分變數變換

如圖 14.30 ，以極坐標積分求以半球面為上界而以圓域 R

x2 + y2 ≤ 4

為下界的立體區域體積。

解　在圖 14.30 中，可以看出 R 以聯立不等式

和　　　　　　　　定出。而在極坐標，相關的不等式是


2216 yxz

22,44 22 yyxy

22160 yxz

20,20 r

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例 3 （續）

高是　　　　　　　　　　　。因此，所求體積為


222 1616 ryxz

979.46338

3

16

8333

8

643243

1

)16(3

1

16,

2

0

2

0

2

0

2

0

2/32

2

0

2

0

2

d

dr

ddrrrdAyxfV R

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圖 14.30


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例 4 求極坐標系中區域的面積以二重積分求圖形 r = 3 cos 3θ 所圍出的面積。解　如圖 14.31 ， R 代表玫瑰線 (Rose curves) 的一瓣。區域 R 是一個 r- 單純區域，相關的極坐標範圍是

此瓣曲線內部的面積是


3cos30,

66 r

4

36sin

6

1

4

9

)6cos1(4

93cos

2

9

23

1

6/

6/

6/

6/

6/

6/

2

3cos3

0

6/

6/

26/

6/

3cos3

0

dd

dr

ddrrdAA R

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圖 14.31 R 的面積是 3π/4 ，總面積是 9π/4 。


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例 5 調換積分的順序


求以螺線

和 x 軸正向為界在 r = 1 和 r = 2 之間區域的面積。

解　如圖 14.32 相關的極坐標範圍是

因此可以計算區域的面積如下（先積 θ ）

3

r

rr

3021

和

333

2

1

2

1

3/

0

2

1

2

1

3/

0

rdrdrrdrdrA

rr

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圖 14.32 θ- 單純區域。


14 多重積分

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