13. Układy z pętla sprzężenia fazowego PLL

13.1. Wstęp

Układy z pętlą sprzężenia fazowego PLL (phase-locked-loops) znajdujązastosowanie we wielu systemach elektronicznych i to zarównoanalogowych jak i cyfrowych. Z typowych zastosowań można wymienić układy :-synchronizacji,-dzielenia i powielania częstotliwości,- syntezy częstotliwości,- demodulacji.

Układy z pętla sprzężenia fazowego są układami nieliniowymi,jednakowoż w zakresie synchronizacji mogą być dostateczniedobrze opisane za pomocą liniowych równań różniczkowych.

Rys. 13.2.1.Schemat blokowy układu pętli synchronizacji fazowej

DFFDp A

VCO

uI(t) uD(t) uF(t)

uS(t)

uG(t)

[V/rad] [V/V] [V/V]

[rad/V]

13.2. Schemat blokowy układu pętli synchronizacji fazowej

uO(t)

uG(t) φG(t)

[rad]

[rad]

[V] [V][V]

[rad]

[V]

13.3. Zasada działania układu z fazową pętlą sprzężenia zwrotnego :

• detektor fazy (DF) dokonuje porównania kątów fazowych sygnału wejściowego uI(t) oraz sygnału uG(t) z pomocniczego generatora przestrajanego napięciem VCO i wytwarza napięcie błędu uD(t) zależne od różnicy tych faz;

• po odfiltrowaniu składowych w.cz. sygnału błędu uD(t) przez filtr dolnoprzepustowy FDp i wzmocnieniu otrzymujemy wolnozmienny sygnał uS(t), który po podaniu na generator VCO przestraja go tak, aby różnica faz uległa zmniejszeniu. Sygnał uS(t) jest jednocześnie sygnałem wyjściowym uO(t);

• przez śledzenie fazy chwilowej sygnału wejściowego uS(t) uzyskujemy również śledzenie częstotliwości chwilowej tego sygnału przez sygnał generatora uG(t), czyli synchronizację częstotliwości generatora z częstotliwością sygnału.

Rozważmy sytuację, gdy na detektor fazy, pracujący jako układmnożący, zostały podane dwa przebiegi sinusoidalne :

uG(t) = UG cos[ω0 t + φG(t)] (13.3.1)uI(t) = UI sin[ω0 t + φI(t)]. (13.3.2)

Pulsacje chwilowe sygnałów uG(t) i uI(t) określają zależności :

ωI(t) = ω0 + d[φI(t)] /dt (13.3.3.) ωG(t) = ω0 + d[φG(t)] /dt (13.3.4)

Jeśli jako układ detektora fazy zastosujemy układ mnożący, sygnał wyjściowy z detektora fazy uD(t) wyraża się wówczas wzorem :

uD(t) = 1/2 kmUI UG {sin[φI(t) - φG(t)] + sin[2ω0 t + φI(t)+ φG(t)] }

gdzie : km - stała układu mnożącego (13.3.5)

Pierwszy składnik wyrażenia (13.3.5) jest sygnałem wolnozmiennym,natomiast drugi składnik ma widmo skupione wokół pulsacji 2ω0.

Z sygnału uD(t) należy zatem usunąć niepożądany składnik wielkiejczęstotliwości za pomocą filtru dolnoprzepustowego, otrzymując

uD(t) = 1/2 kmUI UG sin[φI(t) - φG(t)] = KΦ sin [Φ(t)]

Dla Φ(t) = const = Φ

uD(Φ) = KΦ sin Φ = UD max sin Φ

gdzie : KΦ = 1/2 km UI UG - wzmocnienie detektora fazy,

Φ(t) =φI(t) - φG(t) - błąd fazy

(13.3.6)

(13.3.7)

Dla małych wartości Φ zależność (13.3.7) może być aproksymowanajako

uD(Φ) ≈ UD max Φ (13.3.8)

tzn. napięcie wyjściowe detektora fazy, dla małych wartości kątaΦ, jest w przybliżeniu wprost proporcjonalne błędu fazy Φ.To przybliżenie jest stosowane w analizie pętli PLL , zakładającejjej liniową pracę.

Należy podkreślić, że współczynnik proporcjonalności UD max zależyzarówno od amplitudy oscylatora UG jak i od amplitudy sygnałuwejściowego UI.

Równanie (13.3.7) opisuje charakterystykę detektora fazy, którajest funkcją sinusoidalną o okresie 2π, a jej nachylenie w punkcieΦ=0 ma współczynnik kΦ (rys.13.3.1)

Φ

uD

uDmax

-uDmax

π

-π

Rys.13.3.1. Charakterystyka detektora fazy.

arctg (kΦ)

Sygnał na wyjściu filtru dolnoprzepustowego, po odfiltrowaniu sygnału niepożądanego 2ω0, ma postać (funkcja korelacji sygnałów):

dtthK

tKtuKt

F

FDF

t

0

F

tsinK

h(t)*sinKth*)(u

gdzie : KΦ = 1/2 km UI UG - wzmocnienie detektora fazy,KF - transmitancja filtru dolnoprzepustowego w paśmie

pracy pętli fazowej (KF 1), Φ(t) =φI(t) - φG(t) - błąd fazy h(t) = L-1 [H(s)] - odpowiedź impulsowa filtru o transmitancji H(s).

(13.3.9)

Jeśli obydwa sygnały są nieskorelowane (Φ(t) =φI(t) – φG(t) = 0, cooznacza, że sygnał wejściowy jest sinusoidą, a sygnał z generatora – cosinusoidą) wówczas napięcie na wyjściu filtru będzie równe

Jeśli natomiast obydwa sygnały są w pełni skorelowane (Φ(t) =φI(t) – φG(t) = 90o , co oznacza, że zarówno sygnał wejściowy jak i sygnał z generatora są sinusoidami) , wówczas napięcie na wyjściu filtru będzie równe

F F Φ m I G F

1u ( ) K K k U U K

2t

Fu ( ) 0t

W większości przypadków praktycznych w paśmie przenoszenia filtrudolnoprzepustowego KF = 1 i wówczas

F Φ m I G

1u ( ) K k U U

2t

(13.3.10)

(13.3.11)

Sygnał z wyjścia filtru dolnoprzepustowego jest wzmacnianyi podawany na wejście generatora VCO jako sygnał sterujący uS(t)

F F0

K sin ( )* K sin ( )t

Su t A K t h t A K t h t dt

(13.3.12)

Sygnał ten jest jednocześnie jednym z sygnałów wyjściowych pętli fazowej

uO(t) = uS(t) (13.3.13)

(wyjście to jest stosowane w detektorach sygnałów zmodulowanychczęstotliwościowo)

Pulsacja generatora VCO powinna być liniową funkcją napięciasterującego w całym zakresie częstotliwości pracy pętli fazowej (rys. 13.3.2)

ωG(t) = ω0 + KV uS(t) (13.3.14)

uS

ωG

ω0

Rys.13.3.2. Charakterystyka przestrajania generatora VCO

arctg(KV)

d[φG(t)] /dt = KV uS(t) = KV A [sin ( ) * h(t)]= FK K t

Podstawiając K = KV A KF KΦ , jako wzmocnienie pętli fazowejotrzymujemy ostateczne równanie opisujące związek pomiędzyfazą sygnału generatora VCO φG , a różnicą faz Φ(t) = φI(t) - φG(t) pomiędzy sygnałem wejściowym i sygnałem z generatora VCO

d[φG(t)] /dt = { sin[ ( ) - (t)]* h(t)} I GK t dtthK t

0tsin

Powyższe równanie można zapisać w innej postaci

d[Φ(t)] /dt = d[φI(t)]/dt - h(t)]*)([sin tK

= d[φI(t)]/dt - dtthK t

0tsin

(13.3.15)

(13.3.16)

(13.3.17)

Porównując zależność (13.3.11) z zależnością (13.3.4) i korzystającz zależności (13.3.9) otrzymujemy

V F0

K A K sin ( )t

K t h t dt

Dla Φ = (-π/2 do π/2 ) +/- 2π n - w pętli występuje ujemne sprzężeniezwrotne ( nachylenie charakterystyki detektora fazy jest dodatnie, zmniejszające błąd fazy Φ układu (pętla w synchronizacji)Dla Φ poza tym zakresem występuje dodatnie sprzężenie zwrotne(nachylenie charakterystyki detektora fazy jest ujemne), zwiększającebłąd fazy Φ ( pętla nie jest w synchronizacji)

Pętla PLL opisana równaniami (13.3.6) i (13.3.7) jest układem silnie nieliniowym z powodu nieliniowości charakterystyki detektorafazy. Nachylenie charakterystyki detektora uD = f(Φ) (rys.13.3.1)ulega nie tylko znacznym zmianom co do wartości (13.3.7) , leczrównież zmienia swój znak przy zmianie błędu fazy od Φ = - doΦ= + (rys. 13.3.1).

13.4. Pętla w stanie synchronizacji

13.4.1. Liniowy model pętli fazowej

Fazowa pętla sprzężenia zwrotnego jest układem silnie nieliniowymz powodu nieliniowości charakterystyki przejściowej detektora fazy.Jeśli założymy, że pracujemy w stanie synchronizacji

ωG(t) = ωI(t)

wówczas

φI(t) - φG(t) = Φ = const

(13.4.1.1)

(13.4.1.2)

W stanie synchronizacji

2

(13.4.1.3)

• napięcie wyjściowe z detektora fazy

D ΦU K

• sygnał sterujący generatorem VCO

S F D ΦU K AU AK

• zmieniona częstotliwość (pulsacja) generatora f

(bo KF=1 w paśmie pracy PLL)

ω = ω0 + KV US

(13.4.2.1)

(13.4.2.2)

(13.4.2.3)

13.4.2. Zakres trzymania

• pętla PLL jest w stanie synchronizmu z częstotliwością sygnału wejściowego fI, więc mamy :

• po uwzględnieniu zależności na US otrzymujemy :

• maksymalne napięcie wyjściowe detektora fazy U0 występuje

dla = π/2 i dla = , czemu odpowiada maksymalna możliwa do uzyskania zmiana częstotliwości generatora :

ωI = ω =ω0 + KV US

I 0

V ΦK K A

2

πAKK ΦVMAX0

(13.4.2.4)

(13.4.2.5)

(13.4.2.6)

• maksymalny zakres częstotliwości sygnału, dla którego układ PLL pozostaje w stanie synchronizmu wyraża się wzorem :

gdzie:L2 jest zakresem trzymania równym :

L0ΦV0I Δ2

πAKK

2ωL = KVKA

ω0 - KV A KF KΦ π/2 < ωG < ω0 + KV A KF KΦ π/2

(13.4.2.7)

(13.4.2.8)

• poza zakresem trzymania nie jest możliwe uzyskanie synchronizmu, ponieważ powstaje różnica kątów fazowych

0011 θtωθtωΦ

zmieniająca się gwałtownie w funkcji czasu, co powoduje duże zmiany u0, które jest silnie tłumione w filtrze FDp, w wyniku czego uS jest bardzo małe i nie przestraja generatora VCO.

(13.4.2.9)

US - napięcie

przestrajające

generator

2ωZ = zakres zaskoku

ω0-ω L

ω0 ω0+ ωZ ω0+ω L

AK2

πΦ

2ωL = zakres trzymania

nachylenie=1/KV

ω I

Rys. 13.4.2,1.Zakresy trzymania oraz zaskoku generatora VCO

ω0 - ωZ

AK2

πΦ

Przykład 13.4.2,1 :Rozważmy pętlę PLL, w której amplitudy sygnału wejściowegoi generatora są równe i wynoszą UI = UG = 0,75 V.Układ mnożnika ma liniową charakterystykę mnożenia i daje na swym wyjściu napięcie 2V (DC), jeśli obydwa napięcia wejściowemają wartość 2V (DC).Generator VCO bez sygnału zewnętrznego (uS=0V) pracuje na częstotliwości 10 MHz. Częstotliwość ta liniowo zmniejsza się do zera, jeśli napięcie sterujące osiągnie uS = -1V.Wzmocnienie wzmacniacza A = 0 dB (1 V/V).Ile wynosi różnica faz pomiędzy sygnałem wejściowym i sygnałem generatora, jeśli częstotliwość sygnału wejściowego wynosi fI=11 MHz a pętla jest w synchronizacji ?Ile będzie wynosiła różnica faz, gdy częstotliwość sygnału wejściowegofI = 9 MHz ?Jak zmienią się wartości różnicy faz, gdy wzmocnienie wzmacniaczaA = 6dB (2V/V) ?

Stała układu mnożącego km może być obliczona z zależności (4.11)

Mamy zatemkm = U0/(Ux Uy) = 2V/4V2 = 0,5V-1

Wzmocnienie detektora fazy wynosi (13.3.7)

KΦ = 1/2 km UI UG = 1/2 x 0,5x 0,75x0,75 = 0,1406 V/rad

a nachylenie charakterystyki KV generatora VCO (13.3.14)

0 m x yu k u u

KV = (ωG- ω0)/ΔuS = 2π x10 MHz/ 1V= 6,28 x 107 rad/V sek

0I 0I G 7

V Φ

2π (11MHz-10MHz) rad- 0,7112 40,8

K K A 6,28x10 x 0,1406 x1 Vsek

Mamy zatem na podstawie (13.4.17)

Powyższy wynik daje różnicę faz początkowych obydwu przebiegów.Pamiętając, że dla prawidłowej pracy układu mnożnika, jeśli sygnałwejściowy jest sygnałem o sinusoidalnym to synal generatoramusi być przebiegiem cosinusiodalnym, możemy obliczyć różnicęfaz pomiędzy sygnałem wejściowym i sygnałem generatora jako równą

900- 40,80 = 49,20

Jest to różnica faz znacznie bliższa zeru, a zatem układ będzie bliższysynchronizacji.

Jeśli fI = 9 MHz, wówczas Φ=-40,80, a różnica faz pomiędzy sygnałemwejściowym i sygnałem generatora wyniesie 900+40,80=130,80,Będzie zatem zbliżona do kąta 1800, czyli stanu niezsynchronizowanego.Dla A = 6dB, otrzymujemy odpowiednia Φ = 20,40 i Φ = -20,40

13.5. Wpływ transmitancji filtru na właściwości śledzące pętli

W stanie synchronizacji błąd fazy jest mały

2

(13.5.1)

i wówczas zależności

d[φG(t)] /dt = )(*(t)K h(t)]*)([sin thtK

(13.3.16) i (13.3.17) przyjmą postać

(13.5.1)

d[Φ(t)] /dt = d[φI(t)] - h(t)]*)([sin tK

≈ d[φI(t)] - h(t)*)(tK (13.5.2)

Powyższe przybliżone równania są liniowe, zatem stosującprzekształcenie Laplace’a otrzymujemy równania algebraiczneo postaci

s φG(s) = )((s)K sH (13.5.3)

s Φ(s) = s φI(s) - H(s))(sK (13.5.4)

gdzie : φG(s), Φ(s), H(s) są transformatami Laplace’a.

)((s)]-(s)[K G sHI

φG(s),

Na podstawie (13.5.3) można wyznaczyć transmitancję zamkniętej pętli fazowej

H(s)Ks

)(

)(

)()(

sHK

s

ssG

I

G

(13.5.5)

Podobnie można wyznaczyć na podstawie (13.5.4) transmitancjęodniesioną do błędu fazy Φ(s)

)(1H(s)Ks)(

)()( sG

s

s

ssG

I

(13.5.6)

oraz na podstawie (13.3.15) transmitancję generatora VCO

s)(

)( V

S

G K

sU

s

(13.5.7)

Z przeprowadzonej analizy wynika, ze w stanie synchronizacji, przy|Φ0| << π/2, schemat blokowy pętli może być zastąpiony modelemliniowym przedstawionym na rysunku 13.4.2.

KF = H(s)

1/s

KΦ

KV

φI(s)

φG(s)

+

-

Φ(s)

[V/rad] [V/V]

[rad/Vsek]

UD(s)

Rys. 13.4.2. Liniowy model pętli fazowej w stanie synchronizacji

A

[V/V]U0(s)

uG(s) φG(s)

Właściwości śledzące pętli fazowej w liniowym zakresie pracyzależą w istotny sposób, jak można się o tym przekonać na podstawie zależności (13.5.5) i (13.5.6) od transmitancji zastosowanego filtrudolnoprzepustowego KF(s).Wyróżnia się przy tym kilka najbardziej typowych układów filtrówdolnoprzepustowych pierwszego rzędu. Jak wynika to z zależności (13.5.5) zastosowanie filtru pierwszego rzędu daje w efekcie transmitancję zamkniętej pętli fazowej drugiego rzędu.W literaturze przedmiotu pętle fazowe klasyfikuje się na podstawietransmitancji pętli fazowej otwartej

Otw

( ) H(s)G (s) K

( ) sG

I Otw

s

s

(13.5.8)

przy czym liczba biegunów GOtw(s) określa rząd pętli, natomiast liczbabiegunów w początku układu współrzędnych określa typ pętli.

Najczęściej rozważa się pętle fazowe pierwszego rzędu (bez filtru)lub pętle drugiego rzędu z typowymi pasywnymi lub aktywnymifiltrami pierwszego rzędu. Poniżej przedstawiono kilka typowychfiltrów stosowanych w pętlach fazowych.

Pętla pierwszego rzędu, typu pierwszego (bez filtru)

1)(0 sH

Ks)(

)()(

K

s

ssG

I

G

(13.5.9)

(13.5.10)

Pętla drugiego rzędu, typu pierwszego z pasywnym filtrem całkującym

ssHsH

11 1

1)()(

1-1

11

2

11

Kss)(

KsG

(13.5.11)

(13.5.12)

Rys. 13.5.1. Pasywny filtr całkujący

R1 C

gdzie τ1 = R1C

Pętla drugiego rzędu, typu pierwszego z pasywnym filtrem proporcjonalno-całkującym

Rys. 13.5.2. Pasywny filtr proporcjonalno-całkujący

R1

C

R2

(13.5.13)

gdzie : τ1 = R1C, τ2 = R2C.

s

ssHsH

)(1

1)()(

21

22

12 1 2

2 2

1 2 1 2

(1 ) ( )( )

1s s

K sG s

K K

Powyższą transmitancję można wyrazić w unormowanej postaci jako

200 0

2 20 0

2( )

s 2 s

sK

G s

gdzie

01 2

K

2

1 2

11

2

KK

K

- pulsacja swobodnych drgań pętli

- współczynnik tłumienia

(13.5.14)

(13.5.15)

Pętla drugiego rzędu, typu drugiego z aktywnym filtrem proporcjonalno-całkującym

Rys. 13.5.3. Aktywny filtr proporcjonalno-całkujący

(13.5.16)

gdzie : τ1 = R1C, τ2 = R2C.

s

ssHsH

1

23

1)()(

R1

R2 C

12 1

2 2

1 1

(1 )( )

s s

K sG s

KK

Wzór powyższy w postaci unormowanej ma postać2

0 02 2

0 0

2( )

s 2 s

sG s

gdzie :

01

K

2

12

K

(13.5.17)

(13.5.18)

Przykład 13.5.1.

Dla pętli PLL, o danych z przykładu 13.1.1. zaprojektować filtrproporcjonalno-całkujący tak aby stała czasu filtru wynosiła około 100 okresów przy 10 MHz a dobroć Q =1/2.

Na podstawie obliczeń wykonanych w przykładzie 13.4.1 możemy napisać

KΦ = 1/2 km UI UG = 0,1406 V/rad KV = 6,28 x 107 rad/V sek

Przyjmując A = 1, KF0=1 obliczmy

K0 = KV A KΦ = 0,1406 x 6,28 x107 = 0,882968 x 107 [1/sek]

Układy z pętlami fazowymi wykazują bardzo korzystne właściwościzmniejszenia stosunku szum/sygnał na wyjściu układu w porównaniu do wejścia. Bardzo korzystne właściwości szumowe wykazują pętlePLL z filtrem proporcjonalno-całkującym o transmitancjach H2(s)i H3(s) ponadto charakteryzują się małymi statycznymi błędami fazy.Z tego powodu są najczęściej stosowanymi w praktyce.

13.6. Dochodzenie do stanu synchronizacji – zakres chwytania

Wyznaczenie zakresu chwytania pętli synchronizacji fazowej jestraczej zagadnieniem bardzo złożonym. Zakres chwytania możebyć estymowany za pomocą wzorów przybliżonych

)]([2

)( GIVGI jFAKK

13.7. Detektory fazy

Można wyróżnić następujące typy układów detektorów fazy:- układy mnożące,- układy kluczowane,- układy próbkująco-pamiętające,- układy cyfrowe

Detektory fazy z układem mnożącym (modulatory zrównoważone)

iC1 iC2

RC

iC5

Ux

-EEE

Uy

T1 T2

iC3iC4

RC

iC6

T3 T4

I0

T5 T6

u2R

+ECC

uRCL uRCP

Przypadek 1

TyTx tutu ;

gdzie : φT = kT/q - potencjał termiczny elektronu

T

xC

T

xCCC

T

xC

T

xCCC

tui

tuhiii

tui

tuhiii

22tg

22tg

6634

5521

3421

42312

CCCCC

CCCCCRCPRCLR

iiiiR

iiiiRuuu

tutuI

Rtu

iiRu yx

T

CT

xCCCR 2

0652

42

Dla dwu przebiegów przesuniętych w fazie

tUtu

tUtu

yy

xx

0

0

cos

cos

cos8

)( 20

202 yx

T

CRR UUI

RtuU

Wartość średnia napięcia na wyjściu detektora wynosi :