1.2.2 空间中的平行关系（ 1 ）

一 . 平行直线

1. 平行直线的定义：同一平面内不相交的两条直线叫做平行线 .

2. 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行 .

3. 公理 4 ：平行于同一直线的两条直线互相平行，此性质又叫做空间平行线的传递性 .

公理 4 的符号表述为：a//c ， b//c a//b.

公理 4 反映了两条直线的位置关系 .

公理 4 主要用来证明两条直线平行，它是证明两直线平行的重要依据 .

4. 等角定理：

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等 .

已知：如图所示，∠ BAC 和∠ B1A1C1 的边 AB//A1B1 ，AC//A1C1 ，且射线 AB 与A1B1 同向，射线 AC 与A1C1 同向，求证：∠ BAC= B1A1C1.∠

证明：对于∠ BAC 和∠ B1A1C1 在同一个平面内的情形，在初中几何中已经证明， 下面证明两个角不在同一平面内的情形。 分别在∠ BAC 的两边和∠ B1A1C1 的两边上截取线段 AD=A1D1 和AE=A1E1. 因为， 所以AA1D1D 是平行四边形，

1 1/ /AD AD

所以 1 1/ /AA DD

同理可得 1 1/ /AA EE

所以 DD1E1E 是平行四边形。

在△ ADE 和△ A1D1E1 中 .

AD=A1D1 ， AE=A1E1 ， DE=D1E1 ， 于是△ ADE A1D1E1≌△ ，

所以∠ BAC= B1A1C1.∠

5. 空间四边形的有关概念：

（ 1 ）顺次连结不共面的四点 A 、 B 、 C 、D 所构成的图形，叫做空间四边形；（ 2 ）四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；（ 3 ）所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；（ 4 ）连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线。

如图：空间四边形 ABCD 中， AC 、 BD

是它的对角线

空间四边形的常见画法经常用一个平面衬托，如下图中的两种空间四边形 ABCD

和 ABOC.

6 ． 异面直线所成的角：已知两条异面直线 a 、 b ，经过空间任意一点 O 作直线 a’//a ， b’//b ，由于 a’ 、 b’ 所成的角的大小与点 O 的选择无关，我们就把 a’

与 b’ 所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角 .

a

b

P？ Oa′a′ Oθ

b′

若两条异面直线所成角为 90° ，则称它们互相垂直。异面直线 a 与 b 垂直也记作 a b⊥

异面直线所成角 θ 的取值范围： 0 90 ] （ ，

空间两条直线的位置关系有三种：

位置关系 共面情况 公共点个数相交直线 在同一平面内 有且只有一个平行直线 在同一平面内 没　有异面直线 不在任何一平面内 没　有

H

GF

E

D

C

B

A

例 1. 已知：如图，空间四边形 ABCD 中，E ， F ， G ， H 分别是边AB ， BC ， CD ， DA 的中点，求证：四边形 EFGH 是平行四边形。证明：在△ ABD 中，因为 E ， H 分别是 AB ，AD 的中点，所以EH//BD ， EH= BD ，2

1

H

GF

E

D

C

B

A

同理， FG//BD ， FG= BD ，2

1

所以 EH//FG ， EH=FG ，

所以四边形 EFGH 是平行四边形。

例 2 ．如图：在长方体 ABCD － A1B1C1

D1 中，已知 E ， F 分别是 AB , BC 的中点，求证： EF A1C1.∥证明 : 连结 AC.

在△ ABC 中 , E, F 分别是 AB, BC 的中点 .

所以 EF AC∥F

EA B

C

C 1

B 1

D 1

A 1

D

又因为 AA1 BB1 ∥ 且 AA1 = BB1 BB1 CC1 ∥ 且 BB1 = CC1

所以 AA1 CC1 ∥ 且 AA1 CC1 ∥

即四边形 AA1C1C 是平行四边形

所以 AC A1C1∥

从而 EF A1C1.∥

F

EA B

C

C 1

B 1

D 1

A 1

D

E 1

E

A B

C

C 1

B 1

D 1

A 1

D

例 3. 如图 , 已知 E,E1 分别是正方体ABCD － A1B1C1D1 的棱 AD, A1D1 的中点 .

求证：∠ C1E1B1 = CEB.∠分析：设法证明 E1C1 EC, E1B1 EB.∥ ∥

(1) 下列结论正确的是（ 　） A. 若两个角相等，则这两个角的两边分

别平行 B. 空间四边形的四个顶点可以在一个平面

内 C. 空间四边形的两条对角线可以相交 D. 空间四边形的两条对角线不相交

D

练习 题

(2) 下面三个命题 , 其中正确的个数是（ ）① 三条相互平行的直线必共面；② 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③ 若四边形有一组对角都是直角，则这个四

边形是圆的内接四边形A. 1 个 B. 2 个C. 3 个 D. 一个也不正确

D

(4) 若空间四边形的对角线相等 , 则以它的四条边的中点为顶点的四边形是（　）A. 空间四边形 B. 菱形C. 正方形 D. 梯形

(3). 空间两个角 α 、 β, α 与 β 的两边对应平行 , 且 α ＝ 600, 则 β 等（ 　）A. 60° B. 120°

C. 30° D. 60° 或 120°

D

B

6. 如果 OA∥O1A1, OB∥O1B1 , 那么∠ AOB 与∠ A1O1B1 ( )

A. 相等 B. 互补C. 相等或互补 D. 以上答案都不对

　 5. 设 AA1 是正方体的一条棱，这个正方体中与 AA1 平行的棱共有＿＿＿条．3

C

7. 如图，已知 AA1, BB1, CC1 , 不共面且 AA1 BB1, BB1 CC1 ,AA1=BB1, ∥ ∥

BB1= CC1.

求证：△ ABC A1B1C1.≌ △AA1

BB1

CC1

F

EA B

C

C 1

B 1

D 1

A 1

D