集合集合集

合 集合

1.1.3 集合之间的关系（一）1.1.3 集合之间的关系（一）

已知： M ＝ {-1 ， 1} ， N ＝ {-1 ， 1 ， 3} ， P ＝ { x | x2

-1=0} ．

问：（ 1 ）哪些集合用列举法表示的？

　 （ 2 ） 哪些集合是用性质描述法表示的？

　　（ 3 ）考察集合中的元素，集合 M 与集合 N ， P

有什么关系？

子集：如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B

的元素，那么集合 A 叫做集合 B 的子集．

　　　记作 A B （或 B A ），

　　　读作 “ A 包含于 B” （或“ B 包含 A” ）．

　　

B A

我们常用平面上一个封闭曲线的内部表示一个集合，若集合 A 是集合 B 的真子集，则如左图所示，这种图形通常叫做 Venn 图 .

真子集：如果集合 A 是集合 B 的子集，并且集合 B 中至少有一个元素不属于 A ，那么集合 A 是集合 B 的真子集． 　 记作 A B  （或 A B ）， 　　 读作 A 真包含于 B （或 B 真包含 A ）．　

空集：不含任何元素的集合，记作 ．

例如：（ 1 ） { x | x2 < 0 } ＝ ；

（ 2 ） { x | x ＋ 1 ＝ x ＋ 2 } ＝ ．

规定：空集是任意一个集合的子集，也就是说，

对任意集合 A ，都有 A ．

性质(1) A A

任何一个集合是它本身的子集； (2) A

空集是任何集合的子集； (3) 对于集合 A ， B ， C ，如果 A B ， B C ，则 A

C ； (4) 对于集合 A ， B ， C ，如果 A B ， B C ，则 A

C ．

判断：集合 A 是否为集合 B 的子集，若是则

　　　在（ ）打√，若不是则在（ ）打 × ．

（ 1 ） A ＝ { 1 ， 3 ， 5 } ， B ＝ { 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ，6 } ； ( )

（ 2 ） A ＝ { 1 ， 3 ， 5 } ， B ＝ { 1 ， 3 ， 6 ， 9 } ； 　　 ( )

（ 3 ） A ＝ { 0 } ， B ＝ { x | x2 ＋ 2 ＝ 0 } ； ( )

（ 4 ） A ＝ { a ， b ， c ， d } ， B ＝ { d ， b ， c ， a } ． ( )

√

×

√

×

解：（ 1 ）集合 A 的所有子集是 ， { 1 } ， { 2 } ， { 1 ， 2 } ；

例 1 （ 1 ）写出集合 A = {1 ， 2} 的所有子集及真子集；

（ 2 ）写出集合 B = {1 ， 2 ， 3} 的所有子集及真子集；

（ 3 ）若集合 M 由 4 个元素构成，那么它的子集共有多

少个？真子集的个数呢？

A 的真子集是 上述子集中，去掉 { 1 ， 2} ．

解：（ 2 ）集合 B 的所有子集是 ， { 1 } ， { 2 } ， { 3 } ， { 1 ， 2 } ， { 2 ， 3 } ， { 1 ，3 } ， { 1 ， 2 ， 3 } ；

例 1 （ 2 ）写出集合 B = {1 ， 2 ， 3} 的所有子集及真子

集．

B 的真子集是 上述子集中，去掉 { 1 ， 2 ， 3 } ．

解：（ 3 ）若集合 M 由 4 个元素构成，那么它

的子集共有 16 个；真子集的个数为 15 个．

例 1 （ 3 ）若集合 M 由 4 个元素构成，那么它的子集共

有多少个？真子集的个数呢？

如果一个集合中有 n 个元素，那么它的子集有多

少个？真子集有多少个？

解：集合的所有子集个数是 2n ；

所有真子集个数是 2n 1 ．

练习 写出集合 A ＝ {a ， b ， c } 的所有子集及真子集

．

本节课我们学习的内容

（ 1 ）集合之间的关系：子集、真子集；

（ 2 ）若集合 A 中的元素个数为 n ，那么集合 A 的子

集的 个数为 2n ，其真子集的个数为 2n1 ．

　　教材 P 12 ，练习 A 组第 3 、 4 题．