111年命題精進方向與研究測試進程說明

指導單位：教育部

主辦單位：大學入學考試中心

報告人:國立臺灣師範大學數學系 洪有情教授107.11.6

報告大綱

二、111年學測數學考科

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前期：106年試題研發案

1.研發重點：研發素養試題，並輔以情境相同題型不同、相同概念有無情境間學生的作答反應。

2.相關諮詢：

(1)前測：請北一女、麗山高中各兩班高三學生試考，以了解題意敘意是否清楚，難度是否過難；

(2)測試前的審題：請一名高中老師審題與試答；

(3)11.24素養研討會：蒐集高中教師對素養試題相關意見。

前期：106年試題研發案

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卷一 卷二 卷三 卷四 卷五 卷六單選

1(一維數據分析)：電費累進費率

1(一維數據分析)：容器注水

1-2為題組1(邏輯推理)：機票時間

1-2為題組1(三角)：工匠鋪磚塊

1(平面向量)：容積

1-2為題組1(三角)2(三角)

2.(數與式)：飛行距離

2(三角)：圓型半徑

2(指數)：BMI值

3-4為題組3(機率)：血液檢驗4(機率)：血液檢驗

多選

2(三角函數)：駕駛視線

2(統計)：造景植栽

3.(一維數據分析)：來臺旅客數

3(統計)：造景植栽

3(組合)：停車費用

5-6為題組5(數與式、矩陣)：出國旅遊

3(函數圖形)

3(線性組合)：撞球台

6(數與式)：旅行分擔費用7(線性組合)

選填

A(機率)：忘記帶傘

A(機率)：律師收費

A(機率)：打地鼠

A(排列組合)：早餐選擇

A(三角)：太陽能板

A(三角)

非選擇題

一(統計)：外太空轉運站

一(幾何)：替代道路

一(數與式)：旅行分擔費用

一(方程組、排列組合)：停車計費

一(一維數據分析)：來臺旅客數

命製六卷，題型：單選、多選、題組題、選填、非選擇題。

相同概念，不同題型，如：卷三3 v.s.卷五非一；卷三非一 v.s.卷六5-6；卷四非一 v.s.卷五3。

相同概念，情境與否，如：卷二3 v.s.卷六7；卷四1-2 v.s.卷六1-2；卷五A v.s.卷六A。

報告大綱

二、111年學測數學考科

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(二) 第6頁：11年級的分軌建議

十二年國民基本教育課程綱要國民中小學暨普通型高級中等學校―數學領域

111學年度學測數學考科

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經8/28招聯會常委會議提案通過

111學年度學測數學考科

111學年度起之學科能力測驗數學考科分別設置數學A考科與數學B考科，學生得依能力及升學需求自由選考。規劃如下：

數學A考科 數學B考科

測驗範圍

10年級必修11年級必修A類課程內容

10年級必修11年級必修B類課程內容

施測與使用

1.兩考科分節施測，考生可自由選考。2.個別成績使用方式依大學校系之招生規定。

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數學A與數學B考科將有何不同？

111學年度學測數學考科

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數學A考科 數學B考科

測驗範圍

10年級必修11年級必修A類課程內容

10年級必修11年級必修B類課程內容

難易度 難度較高 難度較低

情境題 比例較低* 比例較高

*考慮高中學習階段之不同學習單元特性與不同大學學習銜接需求

報告大綱

二、111年學測數學考科

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今年試題研發重點

1.情境試題的單元分布

去年的情境試題研發，並未設限學科單元內容，發現多數情境會落在機率、統計、排列組合等情境。

今年可嘗試針對某些單元來命製試題，如：向量、空間、多項式、三角等單元。

2.試著在同一個主題下，命製不同層次的試題，如：

僅評量概念的單選題；

評量程序性知識的選填題；

結合概念或程序的多選擇題；

評量解題能力的非選擇題；

而這些試題，可以混合題型呈現。

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研究流程

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研究用試卷組卷

研究用試卷測試

文獻探討

研發素養題型及試題

研究用試卷閱卷

研究用試卷網路公告

召開座談會或專家諮詢

修改測試試題

研究用試卷統計分析

高中師生問卷調查專家諮詢

提出素養題型示例及說明

107年研究執行時程

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4月~6月 7月~8月 9月~10下旬 10下旬~11中旬11中旬-12月

命題與修題

研究用試卷組卷

提出宣導說明樣例

命題與修題

研究用測試

舉辦宣導座談會

提出研究成果

研究用試卷閱卷

10月初交卷 2~3場半天座談會

今年研究用試卷組卷

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命製三卷，每卷測試時間為60分鐘（含填答基本資料與後面問卷時間），預計每卷

測試三個題組，如下表：

卷一 卷二 卷三題組一

＜船行駛至對岸＞三角、平面向量1.單選（行駛方向）2.單選（行駛最短距離）

＜斜坡＞三角1.單選（斜坡夾角）2.多選（讀圖判斷斜坡）

＜聲壓與分貝＞指對數1.單選（噪音聲壓）2.單選（聲壓與分貝關係式）

題組二

＜無縫密鋪＞三角1.單選（哪些正n邊形可無縫鋪）2.多選（凸五邊形的性質）3.選填（長度近似值）

＜變數變換＞多項式1.多選（BMI的變數變換）2.多選（某函數的變數變換）3.單選（拋物線圖形的變換）

＜行進中的颱風＞三角、多項式、平面向量1.單選（最接近的時刻）2.單選（最接近的距離）3.多選（藤原效應）

題組三

空間向量1.多選（衛星軌道坐標）2.多選（夾角、向量、面積）3.非選（最近距離）

＜服飾快遞路線＞排列組合1.單選（快遞路線）2.非選（21間分店的快遞路線）

< 成本函數>多項式1.多選（判斷多項式值）2.非選（可獲利的最大值）

報告大綱

二、111年學測數學考科

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燈泡與等分線

15＃本試題為研究測試專用，仍需經評估與調整，尚非為大考中心正式考試之確定型式。

有一燈泡崁在離地面 4 公尺的天花板上，下圖是通電後此電源照射的範圍，其中照射到地

面為一個圓。假設我們把此燈泡設為一點 O， 4AB 為此圓的直徑且 AOB 。

1. 試選出 在哪一個範圍？（單選）

(1) 0 30 (2) 30 45 *(3) 45 60

(4) 60 75 (5) 75 90

燈泡與等分線

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(適用 108 課綱 B 版 )

1. 有一燈泡掛在離地面 3 公尺的垂直牆面，此燈泡與牆面成 60 度角，如下示意圖。

當通電後，光源照在地面形成光影。假設整個光影均在地面上，則此光影的邊界

為下列哪一個曲線？

(1) 直線 (2) 圓 (3) 拋物線 *(4) 橢圓 (5) 雙曲線

牆面

3

公尺

地面

＃本試題為研究測試專用，仍需經評估與調整，尚非為大考中心正式考試之確定型式。

燈泡與等分線

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2. 現有一間建物，其室內為長 18 公尺、寬 12 公尺、高 4 公尺的長方體。

小昭想在其天花板安裝若干盞燈泡，使得通電後，其室內地面的每一點

均有光線直接照射到。首先他將天花板的長邊畫出 m條等分線，寬邊畫

出 n條等分線。

若任意兩條等分線（不含天花板的邊線）的交點各安裝 1 盞，下列哪些

,m n值，可以讓室內地面的每一點均有光線直接照射到。（多選）

(1) 8, 5m n (2) 8, 11m n (3) 9, 5m n

*(4) 11, 17m n *(5) 17, 11m n

＃本試題為研究測試專用，仍需經評估與調整，尚非為大考中心正式考試之確定型式。

以三角單元為例

可結合的情境有：

試題A：開車的視野

題組B：險升坡、險降坡

題組C：多邊形砌磚

題組D：鋪地板

試題E：太陽能板發電

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道路篇

建築篇

照射篇

＃本試題為研究測試專用，仍需經評估與調整，尚非為大考中心正式考試之確定型式。

以三角試題為例-開車時的視野

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試題 A

駕駛在座位上的位置及高度會影響他能看見的前方視野。我們可以畫一條視線找出司機的視野。

視線是一條從司機眼睛通過車身前緣延伸至地面的假想線，在視線下方的區域是司機的盲點

（即司機看不到的地方）。已知這輛貨車司機的眼睛位於地平面 A 點正上方 1. 5 公尺，司機的

視線與水平線夾 18 25，若某位身高 1 公尺的幼童，站在貨車前方地平面 B 點處（如下圖），關

於地面上水平距離 AB的選項，請選出司機是看不到幼童的選項。

（參考數值： sin18 25 0.3168 ， cos18 25 0.9487 ， tan18 25 0.3330 ）

*(1) 0.5 公尺

* (2) 1 公尺

(3) 2 公尺

(4) 3 公尺

(5) 4 公尺

評量直角三角形的邊角關係

＃本試題為研究測試專用，仍需經評估與調整，尚非為大考中心正式考試之確定型式。

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以三角試題為例-險升坡、險降坡

題組 B

坡度是用以表示斜坡的斜度，常用於標記丘陵、屋頂和道路斜坡的陡峭程度。這

個數值往往是以三角函數中正切函數（ tangent）的百分比數值來陳述，即「爬升

高度除以在水平面上的移動距離 100% 」。

100% tan 100%h

αd

坡度 ； : :h d爬升高度， 在水平面上的移動距離（見下圖）

險升坡與險降坡標誌，用以促使車輛駕駛人小心駕駛，

設於道路坡度在百分之七以上之路段。

α

d

h

＃本試題為研究測試專用，仍需經評估與調整，尚非為大考中心正式考試之確定型式。

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以三角試題為例-險升坡、險降坡

B-1.（單選題）

根據上述條件，當你看到險升坡標誌時，道路的斜坡與水平面夾角的最小值為 α，則 α最接近

下列哪一個選項。

(1) 3

*(2) 4

(3) 5

(4) 6

(5) 7

夾角α sinα cosα

3 0.0523 0.9986

4 0.0698 0.9976

5 0.0872 0.9962

6 0.1045 0.9945

7 0.1219 0.9925

評量直角三角形的邊角關係

＃本試題為研究測試專用，仍需經評估與調整，尚非為大考中心正式考試之確定型式。

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B-2.（多選題）

有一道路行經甲、乙、丙、丁四地，下圖為關於甲、乙、丙、丁四地的地形剖面圖，根據圖中

的資料判斷坡度，選出正確選項。

(1) 由甲地到乙地路途中，不會看到險升坡號誌

*(2) 由乙地到丙地路途中，會看到險降坡號誌

*(3) 由丙地到丁地路途中，會看到險升坡號誌

*(4) 由甲地到丁地全程中，會有在 1 公里的路程內先後看到險升坡與險降坡號誌

(5) 由甲地到丁地全程中，不會有坡度大於 10%的路段

以三角試題為例-險升坡、險降坡

讀圖分析判斷

＃本試題為研究測試專用，仍需經評估與調整，尚非為大考中心正式考試之確定型式。

以三角試題為例-結合多邊形

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題組 C

將長邊為 1 單位的長方形磚塊對齊排列可以砌出長條形的牆面，如圖一，而古代工匠知道將

磚塊以某個固定的角度相接就可以砌出近似圓形的牆面。例如圖二是用 10 塊磚砌成一層圓形

的牆面，相鄰兩塊磚之間固定夾 θ 角。

已知相鄰兩塊磚之間夾 30時可以砌成近似圓形的牆面。

C-1. 此近似圓形牆面每一層需要用幾塊磚才能砌成？

(1) 6

(2) 8

(3) 10

*(4) 12

(5) 15

正多邊形邊數與外角角度關係之應用

＃本試題為研究測試專用，仍需經評估與調整，尚非為大考中心正式考試之確定型式。

以三角試題為例-結合多邊形

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C-2. 此近似圓形牆面內部所能容納最大圓形的半徑是多少？

(1) cos15

(2) 1

2cos15

(3) 1

2sin15

* (4) cos15

2sin15

(5) sin15

2cos15

評量直角三角形的邊角關係

＃本試題為研究測試專用，仍需經評估與調整，尚非為大考中心正式考試之確定型式。

以三角試題為例-鋪地板

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題組 D

D-1.（多選題）

小英想以正 n邊形地磚無縫密鋪家中的地板，為求簡單美觀，若選用的每一塊地磚

皆相同，請問 n可以是下列哪些數？

*(1) 3 *(2) 4 (3) 5 *(4) 6 (5) 8

評量正ｎ邊形的每一內角相接處之和是否為360度

＃本試題為研究測試專用，仍需經評估與調整，尚非為大考中心正式考試之確定型式。

以三角試題為例-鋪地板

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D-2.（多選題）

最近數學家發現一種新的可以無縫密鋪平面的凸五邊形 ABCDE，即僅利用凸五邊形

ABCDE，即可將平面鋪滿，其示意圖如下。觀察下列圖形，即可知此五邊形的內角，

試選出正確的選項。

*(1) 此五邊形有一內角為 90 *(2) 2 360A C (3) 2 360C D

(4)3

sin2

C *(5) tan 1E

觀察圖形，求出角度、邊長的關係

＃本試題為研究測試專用，仍需經評估與調整，尚非為大考中心正式考試之確定型式。

以三角試題為例-鋪地板

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D-3.（選填題）

承上題，EA

AB的近似值為 ○5 .○6 。（求至小數點後第一位）

註： 2 1 . 4 ， 3 1.7 ， 5 2.2 ， 6 2.4 答案：1.9

運用正弦定理

＃本試題為研究測試專用，仍需經評估與調整，尚非為大考中心正式考試之確定型式。

以三角試題為例-結合太陽能板

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試題 E

T 市某天下午日照下，建築物陰影的長度為建築物實際高度的一半，如圖一， tan 2 。此時在一個

空曠的平地上，一塊長方形的太陽能板立在空中，面向太陽，如圖二。板面與地平面夾角為 ，其

中1

tan7

。此時，太陽光照射太陽能板後，在地面上形成一個邊長為 3 公尺的正方形陰影。假設

此時板面立在空中 2 個小時，且在這 2 小時中，太陽能板每 1 平方公尺的面積可以發電 0.1KW。

則此太陽能板在這 2 小時可以發電 ○4 .○5 KW。（四捨五入至小數點後第一位， 2 1.414 ， 3 1.732 ）

答案：0.8利用圖形，找出角度列式

＃本試題為研究測試專用，仍需經評估與調整，尚非為大考中心正式考試之確定型式。

感 謝 聆 聽敬 請 指 教T H A N K Y O U F O R L I S T E N I N G