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Prof. Dr. Wandinger 1. ElastizitätstheorieHöhere Festigkeitslehre

1.1-1

12.09.14

1. Spannungszustand

1.1 Spannungsvektor und Spannungstensor

1.2 Hauptspannungen

1.3 Mohrsche Spannungskreise

1.4 Fließbedingung

1.5 Gleichgewichtsbedingungen


1.1-2

12.09.14


● Spannungsvektor:

– Wird ein belasteter Kör-per geschnitten, so tritt in der Schnittfläche eine Flächenkraft auf, die durch den Spannungs-vektor t beschrieben wird.

– Für die Kraft dF auf ein infinitesimales Flächen-element dA im Punkt P gilt:

P

dAt

nF

1

F2

d F= t dA


1.1-3

12.09.14


– Die Orientierung der Fläche dA wird durch den Einheitsnor-malenvektor n beschrieben, der aus dem geschnittenen Körper heraus zeigt.

– Der Spannungsvektor hängt außer vom Punkt P auch vom Einheitsnormalenvektor n ab:

– Die Gesamtheit aller Spannungsvektoren t(P, n) an einem Punkt P des Körpers heißt Spannungszustand im Punkt P.

– Die Gesamtheit der Spannungszustände an allen Punkten P des Körpers heißt Spannungsfeld im Körper.

t= t P ,n


1.1-4

12.09.14


● Achsenparallele Schnitte:

x

y

z

ex

ey

ez

σx

σy

σz

τyx

τzx

τxy

τzyτ

xz

τyz


1.1-5

12.09.14


– Der Normalenvektor zeigt in Richtung einer Achse des Ko-ordinatensystems.

– Am positiven Schnittufer zeigt der Normalenvektor in Rich-tung der Koordinatenachse und am negativen Schnittufer entgegen der Richtung der Koordinatenachse.

– Für die Spannungsvektoren gilt:

[ t P , ex ]=[ x

yx

zx] , [ t P , e y]=[

xy

y

zy] , [ t P , ez ]=[

xz

yz

z]


1.1-6

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– Die Komponente des Spannungsvektors in Richtung des Normalenvektors heißt Normalspannung.

– Die Komponenten des Spannungsvektors in der Schnitt-ebene heißen Schubspannungen.

– Bei den Schubspannungen gibt der linke Index die Richtung der Schubspannung und der rechte Index die Richtung des Normalenvektors an.

– Am positiven Schnittufer zeigen positive Spannungskompo-nenten in Richtung der positiven Koordinatenrichtung.


1.1-7

12.09.14


● Allgemeine Lage der Schnittebene:

– Für den Normalenvektor gilt:

– Aus folgt:

nα

x αy

αz

x

y

z

[n ]=[nx

ny

nz]=[

cos x

cos y

cos z]

∣n∣=1

1=n x2n y

2nz

2=cos2

x cos2ycos2

z


1.1-8

12.09.14


– Kräftegleichgewicht am infinitesimalen Tetraeder:

● Volumenkräfte und sons-tige Glieder höherer Ordnung sind hier be-reits weggelassen. x

y

z

dA

P

t (P, -ex )

t (P, -ey )

t (P, -ez )

t (P, n )

t P ,ndA t P ,−exdA x

t P ,−e ydAy

t P ,−ezdAz=0


1.1-9

12.09.14


– Aus dem Wechselwirkungsgesetz folgt:

– Damit gilt:

– Mit (siehe nächste Seite) folgt:

t P ,−n=−t P ,n

t P ,ndA=t P , exdA xt P , e ydAyt P , ezdAz

dAx=n x dA , dAy=ny dA , dAz=nz dA

t P , n= t P , exnx t P , e yn y t P , eznz

[t x

t y

t z]=[

x

yx

zx]n x[

xy

y

zy]ny[

xz

yz

z]nz=[

x xy xz

yx y yz

zx zy z][

nx

n y

nz]


1.1-10

12.09.14


– Projizierte Flächen:

entsprechend:P

x

y

z

dA

dAz

αz

αz

a

hz

h

n

2 dA=a h

2 dAz=a hz=a h cos z

dAz=dA cos z=nz dA

dAx=n x dAdAy=ny dA


1.1-11

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● Spannungstensor:

– Zwischen dem Normalenvektor und dem Spannungsvektor besteht ein linearer Zusammenhang.

– Ein linearer Zusammenhang zwischen zwei Vektoren wird in der Mathematik als Tensor bezeichnet.

– Der Spannungstensor σ beschreibt den Zusammenhang zwischen dem Normalenvektor n und dem Spannungsvek-tor t:

– In einem Koordinatensystem wird der Spannungstensor durch die Spannungsmatrix dargestellt:

t=⋅n

[ t ]= [ ] [n ]


1.1-12

12.09.14


– Der lineare Zusammenhang zwischen Spannungsvektor und Normalenvektor wird als Cauchysche Formel bezeich-net.

● Gesetz der zugeordneten Schubspannungen:

– Aus dem Momentengleichgewicht folgt (s. Kap. 1.5):

– Der Spannungstensor ist symmetrisch. Das bedeutet, dass die Spannungsmatrix in jedem Koordinatensystem symme-trisch ist:

xy=yx , xz=zx , yz=zy

[ ]T= [ ]


1.1-13

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● Normalspannung und Schubspannung:

– Für eine beliebige Schnittfläche berechnet sich die Normal-spannung durch Projektion des Spannungsvektors auf den Einheitsnormalenvektor:

– Aus folgt für den Betrag der Schubspannung:

n=n⋅t=n⋅ ⋅n : n= [n ]T

[ ] [n ]

∣t∣2= n

2tn

2

tn=∣t∣2− n

2

t

n

σn

τtn


1.1-14

12.09.14


● Beispiel:

– Gegeben ist der Spannungstensor σ im Punkt P sowie der Normalenvektor n einer Schnittebene:

– Zu berechnen sind:● der Spannungsvektor t und sein Betrag● die Beträge von Normalspannung und Schubspannung● der Winkel zwischen Spannungsvektor und Normalenvektor

[ ]=[150 60 060 −20 −700 −70 100 ]MPa , [n ]=

13 [

21

−2 ]


1.1-15

12.09.14


– Spannungsvektor:

– Normalspannung und Schubspannung:

[ t ]=[150 60 060 −20 −700 −70 100 ] MPa⋅1

3⋅[

21

−2 ]=13 [

360240

−270 ]MPa=[12080

−90 ]MPa

n=13

[2 1 −2 ] [12080

−90 ]MPa=500

3MPa=166,7 MPa

∣t∣=1202802

902 MPa=28900 MPa=170 MPa


1.1-16

12.09.14


– Winkel:

tn=28900−166,72 MPa=1122 MPa=33,50 MPa

cos=[n ]

T[ t ]

∣t∣=

n

∣t∣=

5003⋅170

=0,9804

=11,36 °


1.1-17

12.09.14

1.2 Hauptspannungen

● Motivation:

– Der Spannungszustand in einem Punkt wird durch drei Normalspannungen und drei Schubspannungen beschrie-ben, die vom Koordinatensystem abhängen.

– Zur Bewertung der Beanspruchung werden Größen benö-tigt, die nicht vom Koordinatensystem abhängen.

– Insbesondere stellt sich die Frage, für welche Schnittebe-nen Normalspannung bzw. Schubspannung ihren größten Wert annehmen.


1.1-18

12.09.14

1.2 Hauptspannungen

● Definitionen:

– Eine Schnittebene, auf der der Spannungsvektor senkrecht steht, heißt Hauptebene.

– Die Schubspannung in einer Hauptebene ist null. Der Spannungsvektor ist parallel zum Normalenvektor.

– Die durch den Normalenvektor der Hauptebene definierte Richtung heißt Hauptrichtung.

– Die zugehörige Normalspannung heißt Hauptspannung.


1.1-19

12.09.14

1.2 Hauptspannungen

Hauptebene

Hauptrichtung

tP

Hauptspannung:

∣σn∣=∣t∣

[ t∣=[σn

00 ]


1.1-20

12.09.14

1.2 Hauptspannungen

● Eigenwertproblem:

– Für eine Hauptebene muss gelten:

– In dieser Gleichung ist der Normalenvektor n und die Nor-malspannung σ unbekannt.

– Aufgabenstellungen dieser Art werden in der Mathematik als Eigenwertprobleme bezeichnet.

– Für symmetrische Matrizen gilt:● Es gibt drei reelle Zahlen σ, für die das Eigenwertproblem er-

füllt ist. Sie heißen Eigenwerte.● Die zu den Eigenwerten gehörenden Vektoren n sind eben-

falls reell. Sie heißen Eigenvektoren.

[ ] [n ]= [n ]


1.1-21

12.09.14

1.2 Hauptspannungen

● Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten stehen senk-recht aufeinander.

● Haben zwei Eigenwerte den gleichen Wert, so ist jeder Vek-tor, der senkrecht auf dem Eigenvektor zum dritten Eigenwert steht, ein Eigenvektor. Es können also immer drei senkrecht aufeinander stehende Eigenvektoren gefunden werden.

● Die Länge der Eigenvektoren ist frei wählbar.● Werden die Eigenvektoren so gewählt, dass sie die Länge

eins haben, dann definieren sie ein kartesisches Koordina-tensystem, das sogenannte Hauptachsensystem.

● Die Einheitsvektoren des Hauptachsensystems werden im Folgenden mit e

1, e

2 und e

3 bezeichnet.


1.1-22

12.09.14

1.2 Hauptspannungen

● Berechnung der Hauptspannungen:

– Die Hauptspannungen sind die Eigenwerte des Spannungs-tensors.

– Aus der Bedingung folgt das homogene li-neare Gleichungssystem:

– Das Gleichungssystem hat nur dann eine nicht-triviale Lö-sung, wenn die Determinante null ist.

[ ] [ek ]=k [ek ]

[ x−k xy xz

xy y−k yz

xz yz z−k][

ekx

eky

ekz]=[

000 ]


1.1-23

12.09.14

1.2 Hauptspannungen

– Charakteristische Gleichung:

– Ausrechnen führt auf eine kubische Gleichung für σk :

– Die Koeffizienten I1, I

2 und I

3 werden als Invarianten des

Spannungstensors bezeichnet. Sie hängen nicht vom Koor-dinatensystem ab.

∣ x−k xy xz

xy y−k yz

xz yz z−k∣=0

k3−I 1 k

2I 2 k−I 3=0


1.1-24

12.09.14

1.2 Hauptspannungen

– Die Invarianten berechnen sich zu

– Die kubische Gleichung lässt sich leicht mit dem Taschen-rechner oder aufwändig von Hand mit den Formeln von Cardano lösen.

I 1= x y z=sp

I 2= x y y z x z− xy2− yz

2− xz

2

=∣ x xy

xy y∣∣ y yz

yz z∣∣ x xz

xz z∣I 3= x y z2 xy yz xz− x yz

2− xy

2 z− xz

2 y=det


1.1-25

12.09.14

1.2 Hauptspannungen

– Die Hauptspannungen werden mit σ1, σ

2 und σ

3 bezeichnet

und so sortiert, dass gilt: σ1 ≥ σ

2 ≥ σ

3

● Berechnung der Hauptachsen:

– Die Hauptachsen werden durch die Eigenvektoren definiert, die sich durch Einsetzen der Hauptspannungen in das Glei-chungssystem

berechnen lassen.

[ x−k xy xz

xy y−k yz

xz yz z−k][

ekx

eky

ekz]=[

000 ] , k=1, , 3


1.1-26

12.09.14

1.2 Hauptspannungen

– Da die Determinante des Gleichungssystems null ist, müs-sen nur zwei der drei Gleichungen betrachtet werden. Die dritte Gleichung ist dann automatisch erfüllt.

– Die Lösung wird bis auf das Vorzeichen eindeutig durch die zusätzliche Forderung

– Wenn die ersten beiden Eigenvektoren auf diese Weise be-rechnet wurden, gilt für den dritten:

ekx2eky

2ekz

2=1

[ e3 ]=[ e1 ]×[ e2 ]


1.1-27

12.09.14

1.2 Hauptspannungen

● Spannungstensor im Hauptachsensystem:

– Im Hauptachsensystem wird der Spannungstensor durch eine Diagonalmatrix dargestellt:

– Für die Invarianten gilt:

[ ]H=[1 0 00 2 00 0 3

]I 1=123

I 2=122 313

I 3=12 3


1.1-28

12.09.14

1.2 Hauptspannungen

● Beispiel:

– Für den Spannungstensor

sollen die Hauptspannungen und die Hauptachsen berech-net werden.

– Invarianten:

[ ]=[50 20 8020 110 2080 20 50 ] MPa

I 1= 5011050 MPa=210 MPa

I 2=50⋅110110⋅5050⋅50−202−802−202 MPa2

=6300 MPa2


1.1-29

12.09.14

1.2 Hauptspannungen

– Charakteristische Gleichung:

– Hauptspannungen:

– Kontrolle:

I 3=[50 110⋅50−202 −20 20⋅50−80⋅20 80 202−80⋅110 ] MPa3

=−405000 MPa3

k3−210 MPak

26300 MPa2

k405000 MPa3=0

1=150 MPa , 2=90 MPa , 3=−30 MPa

I 1= 15090−30 MPa=210 MPa

I 2=150⋅90−90⋅30−150⋅30 MPa2=6300 MPa2

I 3=−150⋅90⋅30 MPa3=−405000 MPa3


1.1-30

12.09.14

1.2 Hauptspannungen

– 1. Hauptachse:

e1 x2 e1 y

2 e1 z2 =3e1 z

2 =1 e1 z=1

3 [e1 ]=

1

3 [111]

1=150 MPa

[50−150 2020 110−150 ][e1 x

e1y ]=[−80−20 ]e1 z

[−100 2020 −40 ][e1 x

e1 y ]=[−80−20 ]e1 z

[e1 x

e1y ]=1

3600 [−40 −20−20 −100 ][−80

−20 ]e1 z=[11]e1 z


1.1-31

12.09.14

1.2 Hauptspannungen

– 2. Hauptachse:

e2 x2 e2 y

2 e2 z2 =6e2 z

2 =1 e2 z=1

6 [ e2 ]=

1

6 [1

−21 ]

2=90 MPa

[50−90 2020 110−90 ][e2 x

e2 y]=[−80−20 ]e2 z

[−40 2020 20 ][e2 x

e2 y ]=[−80−20 ]e2 z

[e2 x

e2 y ]=1

−1200 [ 20 −20−20 −40 ][−80

−20 ]e2 z=[ 1−2 ]e2 z


1.1-32

12.09.14

1.2 Hauptspannungen

– 3. Hauptachse:

[ e3 ]=1

18 [111]×[

1−21 ]

=1

32 [30

−3]= 1

2 [10

−1]


1.1-33

12.09.14


● Der Spannungszustand in einem Punkt wird vollständig durch die Hauptspannungen und die Hauptrichtungen be-schrieben.

● Welche Spannungen in beliebigen Schnittflächen auftre-ten können, lässt sich anschaulich an den Mohrschen Spannungskreisen ablesen.

● Im Gegensatz zum ebenen Spannungszustand gehören zum räumlichen Spannungszustand drei Mohrsche Krei-se.


1.1-34

12.09.14


σ3

σ2

σ1

σ

τ

τmax

M12

M13

M13

M23

A

B

C

2α1

2α3


1.1-35

12.09.14


● Konstruktion:

– Jeder der drei Mohrschen Kreise schneidet die σ-Achse in jeweils zwei Hauptspannungen.

– Die Mittelpunkte der Mohrschen Kreise liegen auf der σ-Achse.

– Mögliche Kombinationen von Normalspannung und Schub-spannung in einer Schnittebene liegen in dem grünen Ge-biet, das sich ergibt, wenn vom Gebiet des größten Kreises die Gebiete der beiden kleineren Kreise abgezogen werden.


1.1-36

12.09.14


● Spannungen in einer Schnittebene:

– Für eine Schnittebene mit dem Normalenvektor

lassen sich die Normalspannung und die Schubspannung wie folgt ermitteln:

● Die Punkte A und B liegen auf den Kreisen mit den Mittel-punkten M

12 bzw. M

23. Der Winkel 2α

1 wird positiv im Gegen-

uhrzeigersinn und der Winkel 2α3 positiv im Uhrzeigersinn

aufgetragen.

● Der Punkt C liegt im Schnittpunkt des Kreises um M23 durch

den Punkt A mit dem Kreis um M12 durch den Punkt B.

[n ]HT=[ n1 n2 n3 ]=[cos 1 cos 2 cos 3]


1.1-37

12.09.14


● Folgerungen:

– Die größte Hauptspannung σ1 ist die größtmögliche Normal-

spannung und die kleinste Hauptspannung σ3 ist die

kleinstmögliche Normalspannung.

– Die größtmögliche Schubspannung ist

– Wenn sich die drei Hauptspannungen nur wenig unter-scheiden, ist die größtmögliche Schubspannung klein.

max=1−3

2


1.1-38

12.09.14


● Hintergrund:

– Ausgangspunkt für die Theorie der Mohrschen Spannungs-kreise ist das Gleichungssystem

– Dieses lineare Gleichungssystem wird nach den Kompo-nenten n

1 , n

2 und n

3 des Normalenvektors aufgelöst.

n12

n22

n32

= 1

1 n12 2 n2

2 3 n32 = n

12 n1

2 2

2 n22

32 n3

2= n

2tn

2


1.1-39

12.09.14


– Mit σ = σn und τ = τ

tn folgt nach einiger Rechnung:

−23

2 2

2=1− 23

2 2

n122−3

2 2

1−n12

−31

2 2

2=2−31

2 2

n223−1

2 2

1−n22

−12

2 2

2=3−12

2 2

n321−2

2 2

1−n32


1.1-40

12.09.14


– Diese Gleichungen beschreiben Kreisscharen in der σ-τ-Ebene mit den Mittelpunkten

– Die rechten Seiten der Gleichungen definieren die Radien der Kreise in Abhängigkeit von n

1, n

2 bzw. n

3.

– Wegen 0 ≤ n2k ≤ 1 liegt jede der Kreisscharen innerhalb ei-

nes Rings. Ein Spannungspunkt (σ, τ) muss in der Schnitt-menge der drei Kreisscharen liegen.

M 23=23

2, 0 , M 13=31

2, 0 und M 12=12

2, 0 .


1.1-41

12.09.14


● Ebener Spannungszustand:

– Beim ebenen Spannungszustand ist eine der drei Haupt-spannungen null.

– Spannungspunkte in einer Schnittebene senkrecht zu der Ebene, die von den Hauptachsen aufgespannt wird, deren Hauptspannungen nicht null sind, liegen auf dem Mohr-schen Spannungskreis durch die beiden von null verschie-denen Hauptspannungen.

– In den folgenden Abbildungen ist jeweils eine solcheSchnittebene rot eingezeichnet.


1.1-42

12.09.14


σ3

σ2

σ1

σ

τ

1

2

3σ

1 = 0:

2

3

τmax


1.1-43

12.09.14


σ3

σ2

σ1

σ

τ

1

2

3σ2 = 0:

1

3

τmax


1.1-44

12.09.14


σ3

σ2

σ1

σ

τ

1

2

3σ3 = 0:

1

2

τmax


1.1-45

12.09.14

1.4 Fließbedingung

● Hydrostatischer Spannungszustand:

– Ein Spannungszustand, bei dem alle drei Hauptspannungen den gleichen Wert haben, heißt hydrostatischer Span-nungszustand:

– Bei einem hydrostatischen Spannungszustand ist jede Rich-tung eine Hauptrichtung.

– Der Spannungstensor wird in jedem Koordinatensystem durch eine Diagonalmatrix dargestellt:

1= 2=3=0

[ ]=[0 0 00 0 00 0 0

]=0 [1 0 00 1 00 0 1 ]=0 [ I ]


1.1-46

12.09.14

1.4 Fließbedingung

– Die Mohrschen Kreise sind Punkte. Die Schubspannung ist in jeder Schnittebene null.

– Da Fließen durch die Schubspannung verursacht wird, kann bei einem hydrostatischen Spannungszustand kein Fließen auftreten.

– Ein hydrostatischer Spannungszustand kann auch bei ei-nem duktilen Werkstoff einen Trennbruch verursachen.

● Spannungsdeviator:

– Jeder Spannungstensor σ lässt sich in einen hydrostati-schen Anteil σ

h und einen deviatorischen Anteil σ

d aufspal-

ten: = h d


1.1-47

12.09.14

1.4 Fließbedingung

– Der hydrostatische Anteil ist definiert durch

mit der mittleren Normalspannung

[ h ]=[m 0 00 m 00 0 m

]m=

13 x y z =

13 123 =

13

sp


1.1-48

12.09.14

1.4 Fließbedingung

– Für den deviatorischen Anteil folgt:

– Im Hauptachsensystem gilt:

[ d ]=[ ]−[ h ]=[ x−m xy xz

xy y−m yz

xz yz z−m]

[ d ]H=[1−m 0 0

0 2−m 00 0 3−m

]


1.1-49

12.09.14

1.4 Fließbedingung

– Der deviatorische Anteil des Spannungstensors ist ebenfalls ein symmetrischer Tensor. Er wird als Spannungsdeviator bezeichnet.

– Für die Invarianten des Spannungsdeviators gilt:

I d 1=sp d =0

I d 2=1−m 2−m 2−m 3−m 3−m 1−m

=−16 [ 1−2

22−3

23−1

2 ]

=−16 [ x− y

2 y− z

2 z− x

2 ]−xy2−yz

2−xz

2

I d 3=det d


1.1-50

12.09.14

1.4 Fließbedingung

● Fließbedingung:

– Die Fließbedingung ist ein Kriterium dafür, ob bei einem ge-gebenen Spannungszustand Fließen auftritt.

– Für einen einachsigen Spannungszustand gilt:● Elastischer Zustand (kein Fließen):● Plastischer Zustand (Fließen):

– Die Verallgemeinerung auf einen räumlichen Spannungszu-stand ist:

● Elastischer Zustand (kein Fließen):● Plastischer Zustand (Fließen):

2Re2

2=Re2

f k

f =k


1.1-51

12.09.14

1.4 Fließbedingung

– Dabei ist eine skalarwertige positive Funktion des Spannungstensors und k eine Kon-stante, die vom Material abhängt.

– Da der hydrostatische Anteil keinen Einfluss auf das Fließen hat, muss gelten:

– Bei einem isotropen Material muss die Fließbedingung un-abhängig vom Koordinatensystem sein. Sie hängt daher nur von den Invarianten des Spannungsdeviators ab:

f = f x , y , z ,xy , yz , xz

f = f d

f d = f I d 2 , I d 3


1.1-52

12.09.14

1.4 Fließbedingung

– Die einfachste Fließbedingung lautet (von Mises, 1913):

– Einsetzen der Formel für die zweite Invariante des Span-nungsdeviators ergibt

– Für den einachsigen Spannungszustand mit σ2 = σ

3 = 0 folgt:

– Der Vergleich mit zeigt:

– Daraus folgt für die Fließbedingung:

−I d 2=k

1−2 22−3

23−1

2=6 k

212=6 k

12=Re

2 k=13

Re2

12 [ 1−2

22−3

23−1

2 ]=Re2


1.1-53

12.09.14

1.4 Fließbedingung

– Mit der Vergleichsspannung

lautet die Fließbedingung:

V , M= 12 [ 1− 2

22− 3

2 3− 1

2 ]=−3 I d 2

= 12 [ x− y

2 y− z

2 z− x

26 xy

2 yz2 xz

2 ]

V , M=Re


1.1-54

12.09.14

1.4 Fließbedingung

– Die Vergleichsspannung σV, M

nach von Mises stimmt mit der

Vergleichsspannung σV, GH

nach der Gestaltänderungshypo-

these (Maxwell 1856, Huber 1904, Hencky 1924) überein:

– Die Vergleichsspannung nach von Mises ergibt bei duktilen Werkstoffen eine gute Übereinstimmung mit der Beobach-tung.

V , M=V ,GH


1.1-55

12.09.14

1.4 Fließbedingung

● Fließbehinderung:

– Verantwortlich für das Fließen bei duktilen Werkstoffen ist die Schubspannung.

– Bei einem räumlichen Spannungszustand kann trotz großer Normalspannungen die größtmögliche Schubspannung klein sein, so dass kein Fließen auftreten kann.

– Dieser Fall wird als Fließbehinderung bezeichnet. Bei Fließbehinderung kann auch bei einem duktilen Werkstoff ein Trennbruch auftreten.


1.1-56

12.09.14

1.4 Fließbedingung

● Oktaederspannungen:

– Die Vergleichsspannung nach von Mises ist eine fiktive Spannung, d.h. es gibt keine Schnittebene, in der diese Spannung als Spannungskomponente auftritt.

– Zur Ermittlung einer Spannungskomponente, an der abge-lesen werden kann, ob Fließen auftritt, werden zunächst Schnittebenen gesucht, deren Normalspannung σ

n mit der

mittleren Normalspannung σm übereinstimmt.

– Im Hauptachsensystem gilt: m=13 1 2 3


1.1-57

12.09.14

1.4 Fließbedingung

– Aus

folgt: Die mittlere Normalspannung σm tritt als Normalspan-

nung in Ebenen mit dem Normalenvektor

auf.

– Das sind insgesamt acht Ebenen, die den Flächen eines Oktaeders entsprechen.

– Die mittlere Normalspannung wird daher auch als Okta-edernormalspannung σ

okt bezeichnet.

m= n=1 n12 2 n2

2 3 n3

2

[n ]H=1

3[±1 ±1 ±1 ]

T


1.1-58

12.09.14

1.4 Fließbedingung

1

2

3

σokt

τokt


1.1-59

12.09.14

1.4 Fließbedingung

– Die Schubspannung in einer Oktaederfläche berechnet sich zu

– Sie wird als Oktaederschubspannung bezeichnet.

– Fließen tritt ein für (Nádai, 1933).

okt=13 1− 2

2 2− 3

2 3−1

2= 2

3 −I d 2

=13 x− y

2 y− z

2 z− x

26 xy

2 yz2 xz

2

= 29 −3 I d 2 =

23

V , M

okt=23

Re


1.1-60

12.09.14


● In diesem Kapitel wird der Nachweis der Symmetrie des Spannungstensors nachgeholt.

● Es wird gezeigt, dass die Symmetrie aus dem Momenten-gleichgewicht für einen aus dem Körper herausgeschnit-tenen Quader folgt.

● Das Kräftegleichgewicht für den Quader führt auf ein Sys-tem von partiellen Differenzialgleichungen für die Span-nungskomponenten.

● Da die Symmetrie des Spannungstensors nachgewiesen werden soll, müssen die Gleichungen zunächst ohne Verwendung der Symmetrie formuliert werden.


1.1-61

12.09.14


● Betrachtetes Element:

– Aus dem Körper wird ein be-liebiger Quader mit achsen-parallelen Kanten heraus-geschnitten.

– Die Flächen werden mit A, B, C, D, E und F bezeich-net.

– Auf den Flächen greifen die Spannungsvektoren t an.

– Am Volumen greift eine Vo-lumenkraft f an.

xy

z


1.1-62

12.09.14


A B

D

CE

F

x

yz

ft(B)

t(F)

t(A)

t(E)

t(D)

t(C)

(xA

, yC

, zE ) (x

B , y

C , z

E )

(xB

, yD

, zE )

(xB

, yD

, zF )

(xA

, yD, z

F )

(xA

, yC

, zF )


1.1-63

12.09.14


● Kräftegleichgewicht :

– Mit folgt:

∑ F=0 : ∫yC

yD

∫zE

zF

t B t A dz dy∫x A

x B

∫zE

zF

t Dt C dz dx

∫x A

x B

∫yC

yD

t F t E dy dx∫x A

xB

∫yC

yD

∫zE

zF

f dz dy dx=0

t=⋅n

∫yC

yD

∫z E

z F

B − A ⋅exdz dy∫x A

x B

∫zE

zF

D− C ⋅e ydz dx

∫x A

xB

∫yC

yD

F − E ⋅ez dy dx∫x A

xB

∫yC

yD

∫zE

zF

f dz dy dx=0


1.1-64

12.09.14


– In Komponenten lautet diese Gleichung:

∫yC

yD

∫z E

z F

[ x B− x A

yx B− yx A

zx B− zx A]dz dy∫x A

xB

∫zE

zF

[ xy D− xyC

y D− yC

zy D−zy C ]dz dx

∫x A

xB

∫yC

yD

[ xzF − xzE

yzF − yzE

z F − z E ]dy dx∫x A

xB

∫yC

yD

∫zE

zF

[f x

f y

f z]dz dy dx=[

000 ]


1.1-65

12.09.14


– Für die Differenzen gilt:

[ x B− x A

yx B− yx A

zxB−zx A ]=∫x A

xB

∂∂ x [

x

yx

zx]dx , [

xy D− xy C

y D− y C

zy D− zyC ]=∫yC

yD

∂∂ y [

xy

y

zy]dy

[ xzF − xz E

yzF − yz E

z F − z E ]=∫zE

zF

∂∂ z [

xz

yz

z]dz


1.1-66

12.09.14


– Einsetzen ergibt:

– Das Integral ist nur dann für beliebige Integrationsintervalle null, wenn der Integrand null ist:

∫x A

x B

∫yC

yD

∫zE

zF ∂∂ x [

x

yx

zx] ∂

∂ y [ xy

y

zy] ∂

∂ z [ xz

yz

z][

f x

f y

f z]dz dy dx=[

000 ]

∂∂ x [

x

yx

zx] ∂

∂ y [ xy

y

zy] ∂

∂ z [ xz

yz

z][

f x

f y

f z]=[

000 ]


1.1-67

12.09.14


● Momentengleichgewicht:

– Das Momentengleichgewicht um den Ursprung des Koordi-natensystems lautet:

∫yC

y D

∫z E

z F [xB

yz ]×[

x B

yx B

zx B]−[x A

yz ]×[

x A

yx A

zx A]dz dy∫x A

x B

∫zE

zF [x

y D

z ]×[ xy D

y D

zyD]−[xyC

z ]×[ xy C

yC

zy C ]dz dx

∫x A

xB

∫yC

yD [ xyzF

]×[ xz F

yz F

z F ]−[xyzE

]×[ xz E

yz E

z E ]dx dy∫x A

x B

∫yC

y D

∫zE

zF

[xyz ]×[

f x

f y

f z]dz dy dx=[

000]


1.1-68

12.09.14


– Für die x-Komponente der Gleichung folgt:

∫yC

yD

∫z E

z F

[ y zx B−zx A−z yx B− yx A dz dy

∫x A

xB

∫zE

zF

[ yDzy D−yC zy C −z yD− y C ] dz dx

∫x A

xB

∫yC

yD

[ y z F − zE −zF yz F zE yz E ] dx dy

∫x A

xB

∫yC

yD

∫zE

zF

y f z−z f y dz dy dx=0


1.1-69

12.09.14


– Ersetzen der Differenzen durch Integrale ergibt:

– Ausdifferenzieren führt auf:

∫x A

x B

∫yC

yD

∫zE

zF

y∂ zx

∂ x−z

∂ yx

∂ x−z

∂ y

∂ yy

∂ z

∂ z dz dy dx

∫x A

xB

∫yC

yD

∫zE

zF

∂∂ y yzy − ∂

∂ z z yz y f z−z f ydz dy dx=0

∫x A

x B

∫yC

yD

∫zE

zF

[ y ∂ zx

∂ x

∂zy

∂ y

∂ z

∂ z f z zy− yz ]dz dy dx

−∫x A

xB

∫yC

yD

∫zE

zF

z ∂ yx

∂ x

∂ y

∂ y

∂ yz

∂ z f ydz dy dx=0


1.1-70

12.09.14


– Unter Berücksichtigung der aus dem Kräftegleichgewicht gewonnenen Beziehungen folgt:

– Diese Gleichung ist nur dann für beliebige Integrationsgren-zen erfüllt, wenn gilt:

– Entsprechend folgt aus den beiden übrigen Komponenten des Momentengleichgewichts:

∫x A

x B

∫yC

yD

∫zE

zF

zy− yz dz dy dx=0

zy=yz

zx= xz , yx= xy


1.1-71

12.09.14


– Unter Berücksichtigung der Symmetrie des Spannungsten-sors lauten die aus dem Kräftegleichgewicht gewonnenen partiellen Differenzialgleichungen für die Komponenten des Spannungstensors:

∂ x

∂ x

∂ xy

∂ y

∂xz

∂ z f x = 0

∂xy

∂ x

∂ y

∂ y

∂yz

∂ z f y = 0

∂xz

∂ x

∂yz

∂ y

∂ z

∂ z f z = 0


1.1-72

12.09.14


● Randbedingungen:

– Auf dem Rand St des frei-

geschnittenen Körpers muss der Spannungsvek-tor mit der aufgebrachten Flächenlast t

0 überein-

stimmen:

– Für freie Oberflächen gilt:

t0

n

SS

t

SE

tt=⋅n= t0 auf S t

t=⋅n=0 auf S– Am eingespannten Rand

SE ist der Spannungsvek-

tor unbekannt.


1.1-73

12.09.14


● Zusammenfassung:

– Aus dem Momentengleichgewicht folgt die Symmetrie des Spannungstensors.

– Aus dem Kräftegleichgewicht folgen drei partielle Differen-zialgleichungen für die sechs Komponenten des Span-nungstensors. Sie allein reichen nicht aus, um das Span-nungsfeld in einem Körper zu berechnen.

– Weitere Gleichungen folgen aus der Kinematik und dem Materialgesetz.

– Damit können auch Verschiebungsrandbedingungen be-rücksichtigt werden.

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