11. SINIFKONU ANLATIMLI1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET

1. Konu

VEKTÖRLER

ETKİNLİK VE TEST ÇÖZÜMLERİ

Nih

at B

ilgin

Yay

ıncı

lık©

1. Ünite 1. Konu (Vektörler)

A’nın Çözümleri

1.

60°30°

30°

60°F

1 = F

F4

= F

F2

= F

F3

= F

F1, F3 kuvvetleri eşit ve zıt yönlü olduğundan

bileşkeleri sıfırdır.

30°

30°

F4

= F

F2

= F

F2, F4 kuvvetleri eşit iki kuvvet olup aralarındaki

açı 60° olduğundan bileşkeleri F3 dir.

2.

x

37°

y

53°

F1 = 5 N

F2 = 3 N

F4 = 5 N

F3 = 2 N

K

F2 ile F3 zıt yönlü olduklarından bileşkeleri F2

yönünde 1 N olur. F1 ve F4 kuvvetlerinin yatay ve

düşey bileşenlerini alalım.

x

y

F1x=4 NF4x=3 N

1 N

F4y=4 N

F1y=3 N

x

y

1 N

2 N

K cismini harekete geçiren bileşke kuvvetin büyük-

lüğü R = 5 N bulunur.

3.

60°

53°

F4 = 6 N

F1 = 10 N

F3 = 5 N

30°

F3 = 5 N

3 N

6 N

8 N

Şekil I

Şekil II

Şekil II deki 3 3 N luk iki kuvvet zıt yönlü olup

birbirini götürür. Düşeydeki 8 N luk iki kuvvet de

birbirini götürür. R = 6 N bulunur.

4.

25 N

15 N

20 N

x

y

z

25 N

xyz birbirine dik koordinat sistemidir. Birbirine dik

olan 15 N ve 20 N luk iki kuvvetin bileşkesi 25

N dur. Buradan bulduğumuz 25 N luk kuvvetle x

ekseni üzerindeki 25 N luk kuvvet de birbirine dik

olup bileşkeleri 25 2 N bulunur.

Vektörler1

3VEKTÖRLER

Nih

at B

ilgin

Yay

ıncı

lık©

7.

x

y

45° 37°

10 N

M

45°

2 N

2 N

İki tane 2 N luk kuvvet arasındaki açı 90° oldu-

ğundan bileşkeleri 2 . 2 2N= eder.

x

y

M

2 N

6 N

2 N

8 N M

8 N

R = 10 N

6 N

8. F2=10 N

F3=10 N

F1=16 N

x

y

53°

53°

F2y=8 N

F1=16 N

x

y

F3y=8 N

F2x+ F3x= 12 N

Düşeydeki 8 N luk iki kuvvetin bileşkesi sıfırdır.

Yataydaki 16 N ile 12 N luk kuvvetler zıt yönlü

olup bileşkeleri 4 N dur.

5. Soruda verilen açıları Şekil I deki gibi gösterebili-

riz.

F3 = 8 N

F2 = 10 NF1 = 10 N

53° 37°

F1 = 8 N

F2y = 6 N

F1y = 8 N

F2x = 8 N

2 N

6 N

F1x = 6 N

Şekil I

Şekil II Şekil III

Şekil I deki kuvvetlerin yatay ve düşey bileşenleri

Şekil II deki gibi, bileşke Şekil III teki gibidir.

6.

x

y

45° 45°

10 N

K

İki tane 5 2 N luk kuvvet arasındaki açı 90° oldu-

ğundan bileşkeleri 10 N eder.

x

y

10 N

10 N

K

θ

F

K cisminin dengede kalması için F R 10 2 N= =

olmalıdır.

4 Ünite 1 Kuvvet ve Hareket

Nih

at B

ilgin

Yay

ıncı

lık©

x

y

1 N4 N

3 N

4 N 4 N

Şekil II

Şekil I deki F1 ve F2 kuvvetlerinin bileşkeleri

Şekil II deki gibidir. Yataydaki 4 N luk kuvvetlerin

bileşkesi sıfırdır. Düşeydeki bileşke 8 N dur.

11. 10 2 N ve 10 N luk kuvvetler bileşenlerine ayrıl-

dığında aşağıdaki şekil elde edilir.

x

y

5 N10 N

10 N

5 N

Yataydaki bileşke sıfır, düşeydeki 10 N dur.

9.

53°4 N

3 N5 N

9 N

18 N

Şekil I

Şekil I deki 5 N luk kuvvetin yatay ve düşey bile-

şenleri alındığında Şekil II elde edilir.

4 N

3 N

4 N

9 N

18 N R = 15 N

9 N

12 N

3 Ny

fiekil II fiekil III

Şekil II de yataydaki 4 N luk iki kuvvetin bileşke-

si sıfırdır. Düşeydeki 3 N luk iki kuvvet aynı yönlü-

dür. Bunların bileşkesi 18 N luk kuvvetle zıt yönlü

olup yeni bileşkeleri Şekil III teki gibi 12 N dur.

Beş kuvvetin bileşkesi ise R = 15 N olur.

10. Sorudaki açları Şekil I deki gibi gösterebiliriz.

x

y

45°

1 N

F1 = 4v2 NF2 = 5 N

53°

Şekil I

5VEKTÖRLER

Nih

at B

ilgin

Yay

ıncı

lık©

3. Uyarı

İki vektörün bileşkesinin büyüklüğü, hiçbir zaman

vektörlerin toplamından büyük, farkından küçük

olamaz.

İki kuvvetin bileşkesinin maksimum olması için bu

kuvvetler aynı yönlü olmalıdır. Bu durumda bileşke

kuvvet Rmax = F1 + F2 ile bulunur. Bileşkenin mini-

mum olması için kuvvetlerin zıt yönlü olması gere-

kir. F1 kuvveti büyük kuvvet olmak üzere,

Rmin = F1 – F2 dir. O hâlde;

Rmax = F1 + F2 = 60

+ Rmin = F1 – F2 = 30

2F1 = 90

F1 = 45 N

F1 + F2 = 60

45 + F2 = 60

F2 = 15 N

Yanıt A dır.

4. 15 N

12 N9 N

Bileşkenin maksimum değeri bulunurken kuvvetle-

rin aynı yönlü olduğu kabul edilir.

Rmax = 9 + 12 + 15 = 36 N olur. Bileşkenin minimum

değeri için;

F2= 9 N

F1= 15 N

F3= 12 N

α

F2 + F3= 15 N

Şekildeki F2 ile F3 arasındaki α açısı ayarlanarak,

bu iki kuvvetten 12 – 9 = 3 N ile 9 + 12 = 21 N ara-

sındaki her değer elde edilebilir. O hâlde F F2 3+

kuvvetlerinin bileşkesi 15 N alınabilir. Bu nedenle

, ,F F F1 2 3 kuvvetlerinin minimum bileşkesi sıfır

olur.

Yanıt C dir.

Test 1 in Çözümleri

1.

D

E

B

C

A

A ve B vektörleriyle C ve D vektörleri eşit ve zıt

yönlüdür. Bu nedenle, A B+ ile C D+ nin bileş-

kelerinin büyüklüğü sıfırdır.

( ) ( )A B C D E A B C D E+ + + + = + + + +

0 0 E E= + + = bulunur.

Yanıt E dir.

2. Bu soru uç uca ekleme

K

Şekil I

yöntemiyle daha kolay

çözülür. Dışardaki

büyük üçgen için K

noktasını başlan-

gıç olarak alalım.

Vektörler birbirini izle-

yerek tekrar K nok-

tasına döndüğünde

Şekil I deki kırmızı renkle gösterilen vektörlerin

bileşkesinin büyüklüğü sıfırdır. Geriye iç kısımdaki

mavi renkli üç vektör kalır.

=

Şekil II

a a

a

aa

Şekil II den de görüldüğü gibi içerdeki mavi renkli

üç vektörün bileşkesinin büyüklüğü 2a dır.

Yanıt B dir.

6 Ünite 1 Kuvvet ve Hareket

Nih

at B

ilgin

Yay

ıncı

lık©

8.

A B

|A + B|=2r

C

A + B

Şekil I Şekil II

Önce A ve B vektörlerinin bileşkesini, paralelke-

nara tamamlama yöntemiyle Şekil I gibi bulalım.

Görüldüğü gibi | | 2rA B+ = dir. Ayrıca C vektö-

rünü de işleme dahil ettiğimizde

| | rA B C 3+ + =

2r r

bulunur (Şekil II).

Yanıt C dir.

9. Çözüm 1

+x

+y

F2 F3+

F1 F2+

K

Verilen kuvvetleri bileşenlerine ayırarak tablo oluş-

turalım.

x y

F F1 2+ –2 –2

F F2 3+ –2 +1

F F2 3- - +2 –1

F F F F

F F

1 2 2 3

1 3

+ - -

= -0 –3

O hâlde F F1 3- vektörü –y yönünde 3 br dir.

5.

x

m

n y

z

k

m vektörüyle y vektörü eşit büyüklükte ve zıt

yönlü olduğundan m y+ toplamının büyüklüğü

sıfırdır. Benzer şekilde n z+ ve x ,+ işlemleri-

nin büyüklüğü de sıfırdır. Geriye yalnızca k vektö-

rü kalır. O hâlde tüm vektörlerin bileşkesi k vektö-

rüdür.

Yanıt D dir.

6.

a2

a3

a1

a5

a4

Şekilde verilen vektörler kapalı çokgen oluştu-

rulduğundan bu beş vektörün bileşkesi sıfırdır.

Geriye yalnız a6 vektörü kalır. O hâlde;

a a a a a a a1 2 3 4 5

0

6 6+ + + + =+1 2 34444444 4444444

dır.

Yanıt E dir.

7.

2L

M

2

R

K

Mvektörünün yarısını, L vektörünün iki katını

aldıktan sonra şekildeki gibi, uç uca ekleme yön-

temiyle bileşke bulunur.

2

2R K M L= + +

işleminin büyüklüğü şekildeki gibi 2 birim bulunur.

Yanıt B dir.

7VEKTÖRLER

Nih

at B

ilgin

Yay

ıncı

lık©

11.

x

L

53°

|K| = 12 br

y

Lx

Ly

L vektörünün x ve y ekseni üzerindeki bileşenle-

ri Lx ve Ly dir. Aynı zamanda Ly vektörü ile K

vektörünün büyüklükleri eşittir. Şekilden;

Ly = L . sin53°

12 = L . 0,8 &

L = 15 birim bulunur.

L K Lx = + olduğundan;

Lx = L . cos53° &

Lx = 15 . 0,6 = 9 birim bulunur.

Yanıt A dır.

12. M vektörünün önünde (–) işareti olduğundan ters

çevrilir. Şekil I den de görüleceği gibi,

0K L M+ - = dır.

–M

LK

Şekil I

N

–P

Şekil II

R

Şimdi de önünde (–) işareti olan P vektörünü ters

çevirelim. N P- işleminin sonucu Şekil II deki R

vektörüdür. Bu da M- vektörüne eşittir. O hâlde;

K L M N P M+ - =-+ - dir.

Yanıt B dir.

Çözüm 2

F2 F3+

F1 F2+

K

A

1

3

3

1 2 ( )

.

( )

olur

A F F

A F F

F F 2 += + -

= -

A nin büyüklüğü şekildeki gibi –y yönünde ve 3

birimdir.

Yanıt B dir.

10.

T

X – Z

X + YY

–Z

X

y

x

Verilen vektörleri şekildeki gibi bileşenlerine ayı-

ralım. X Y+ vektörünün bileşenleri X = 3 birim,

Y = –1 birimdir. X Z- vektörünün bileşenlerinden

–Z = 3 birim olduğundan Z = –3 birim olur.

Ayrıca T = –3 birimdir. X ve T vektörleri ise zıt

yönlüdür.

Bu nedenle | | 0X T+ = dır. Buradan;

| | | | | |X Y Z T X Y ZT+ + + = + + +

0 ( 1) ( 3)

4 br

= + - + -

=-

bulunur. –4 birim olan vektör 2 numaralı vektördür.

Yanıt B dir.

8 Ünite 1 Kuvvet ve Hareket

Nih

at B

ilgin

Yay

ıncı

lık©

5. F3 vektörü ters çevrilip F4 – 2

ile bileşenleri alındığında 2 F5

elde edilir.

Yanıt E dir.

6.

2F1

F1 + F2

–F2 + F1

F F1 2+ vektörü ile F F2 1- vektörünün tersini

toplayalım.

2F F F F F1 2 2 1 1+ - + = bulunur. O hâlde F1, I numaralı vektördür.

Yanıt A dır.

7. +y

+x

–y

–x

2F

3F

4F4F

3F

5F kuvvetinin yatay ve düşey bileşenleri alınıp

bileşkeleri alındığında, –y yönünde 4F bulunur.

Yanıt E dir.

8. k y x,+ + =

m n x+ =

3k y x m n x,+ + + + + =

x x

Yanıt D dir.

Test 2 in Çözümleri

1.

F1 kaldırılırsa A cismi II yönünde hareket eder.

Yanıt B dir.

2. F F1 2- işlemi için F2 vektörü ters çevrilerek

bileşkesi alınır.

y

x

9 N

9 N 12 N

12 N

y

x

21 N

21 N

Yanıt E dir.

3. F1 vektörü ters çevri- F

6 F5

–F1

lip F6 ile bileşkeleri

alındığında F5 bulu-

nur.

Yanıt A dır.

4. x, y, z ve p nin bileşkele-

k

2y

ri sıfırdır. Geriye kalan k

ve , nin bileşkesi 2 y vek-

törüne eşittir.

Yanıt A dır.

9VEKTÖRLER

Nih

at B

ilgin

Yay

ıncı

lık©

12.

8 vektörün bileşkesi

sıfırdır.

120°

2F

2F2F

Yanıt A dır.

13.

x y

F1 –3 2

F2 4 –1

F3 2 2

F F F1 2 3+ + 3 3

Cismin +y yönünde hareket edebilmesi için +x

yönündeki 3 birimlik kuvveti dengeleyen bir F4

kuvveti gereklidir. Bu kuvvet M vektörü gibidir.

x y

F F F1 2 3+ + 3 3

M –3 –2

F F F M1 2 3+ + + 0 1

Yanıt C dir.

9.

x + y

y + z

x y y z x z+ - - = -

x + y

–y – z

x – z

Yanıt C dir.

10.

4

F4 kuvveti III numaralı çizgi gibi olursa bileşke –x

yönünde çıkar.

Yanıt C dir.

11.

p

n

k

m = k +

m = n + p

k m,+ =

n p m+ =

m m

k n p m m3,+ + + + =

Yanıt C dir.

10 Ünite 1 Kuvvet ve Hareket

Nih

at B

ilgin

Yay

ıncı

lık©

17. F1 yönünde hareketin olması için V yönündeki

kuvvet uygulanmamalıdır.

Yanıt A dır.

18. I. , ,Z Y T vektörleriZ

XX + Z = T

eşit değildir.

II. X Y+ işlemi Y

vektörüne eşit

değildir.

III. 2

T Y- işleminin sonucu T ye eşit olup

2X Z T Y+ =

- dir.

Yanıt D dir.

14. F1 ve F5 in bileşkesi, F2

F1F2

F5F4

ve F4 bileşkesine eşit ve

zıt yönlüdür. Geriye yal-

nızca F3 kalır.

Yanıt C dir.

15. x y

A ................. (1) 2 2

2A B+ –2 0

2A B- - ................. (2) 2 0

(1) (2) 2 2A A B B+ = - - =- 4 2

B- 2 1

A B- 4 3

3 br

4 br

A – B|| = 5 br

Yanıt B dir.

16. F1 ve F2 kuvvetlerinin +y yönündeki toplam

bileşenleri 4 birimdir. F3 ve F4 kuvvetlerinin –y

yönündeki bileşenleri 5 birimdir. Cismin +x yönün-

de hareket edebilmesi için +y yönündeki bileşen-

lerin de 5 birim olması gerekir.

Yanıt C dir.

11VEKTÖRLER

Nih

at B

ilgin

Yay

ıncı

lık©

4. F2

F3

F1

A)

F1

F4

2F3

C) D)F2

–F4

–F3

E)F4

F3

–F2

Yanlış olan B seçeneğidir.

Yanıt B dir.

5. 12 N luk kuvvetle 4 N luk kuvvet zıt yönlü olup

bileşkeleri 12 N luk kuvvet yönünde 8 N dur.

8 N ve 6 N luk kuvvetler birbirine dik olduğun-

dan bileşkeleri 10 N dur. Bu 10 N la diğer 10 N

luk kuvvetler birbirine dik olduğundan bileşkeleri

10 2 N olur.

Yanıt E dir.

6. F2 ve F3 ün bileş- F3

F4

F2

–F1

R2,3 = –F1

kesi F1- e eşittir.

Sola doğru 2 F1-

ve F4 kuvvetle-

rinin bileşkesi II

numaralı vektör

olur.

Yanıt B dir.

Test 3 ün Çözümleri

1. y

60° K

x60°

30°

2 N

5 N

5 N

3 3 N

5 N

İki 5 N luk kuvvet arasındaki açı 120° olup bileşke-

leri yine 5 N dur ve bu kuvvet 2 N luk kuvvette tam

zıt bir kuvvettir.

y

30°x

60°

3 Ny

xR = 6 N

Yanıt B dir.

2. F F F1 2 3- - =

2F F F F1 2 3 3- - + =

Yanıt E dir.

3.

A

D

C

B

A

E

B

E = A + B C = D + A + B

Verilen işlemlerden I ve III doğrudur.

Yanıt D dir.

12 Ünite 1 Kuvvet ve Hareket

Nih

at B

ilgin

Yay

ıncı

lık©

10. x y

k- 1 2

k ,+ 2 0

m –2 2

k k, ,+ - = 3 2

m,+ 1 4

m,+ kesikli çizgilerle gösterilenlerden II gibidir.

Yanıt B dir.

11. Verilen işlemlerden II ve III doğrudur.

Yanıt D dir.

12. Cisim yatay doğrultuda hareket ettiğine göre F1

ve F2 kuvvetlerinin düşey bileşenleri eşit demek-

tir.

F1 . sin30° = F2 . sin60°

F1 · 21 = F2 ·

2

3

F

F3

2

1=

Yanıt C dir.

13. F3 ile F2 zıt yönlü olup R2,3 = 10 N olur. R2,3 ile F1

eşit iki kuvvet ve aralarındaki açı 120° olduğun-

dan R2,3,1 = 10 N olup F4 ile zıt yöndedir. R2,3,1 ile

F4 zıt yönlü olduğundan R1,2,3,4 = 20 N bulunur.

Yanıt A dır.

14. F2 kuvveti ters çevrilirse tüm kuvvetlerin bileşke-

si sıfır olur.

Yanıt B dir.

7.

yatay

20 N

15 N

5 N

M

düşey

Düşey kuvvetlerinin bileşkesi sıfırdır. Yatay kuv-

vetlerin bileşkesi;

15 3 5 3 10 3 N- = bulunur.

Yanıt B dir.

8. x y

K 1 1

L –3 0

M 1 –3

R1 –1 –2

x y

X –1 –2

Y 2 2

Z –1 1

R2 0 1

x y

R R1 2+ –1 –1

Yanıt C dir.

9. x y

F1 2 –3

F2 2 0

F3 3 2

F4 –1 2

F5 –2 –1

R 4 0

F2 yalnızca x eksenine etki etmektedir. F2 kal-

dırılırsa bileşkenin x yönündeki değeri küçülür,

ancak cismin hareket yönü değişmez.

Yanıt B dir.

13VEKTÖRLER

Nih

at B

ilgin

Yay

ıncı

lık©

19. F2 ve F3 kuvvetlerinin yatay bileşenleri birbirini

götürür. Aynı F2 ve F3 kuvvetlerinin düşey bile-

şenlerinin toplamı –y yönünde 3 birimdir. Nokta-

sal X cisminin F1 yönünde hareket etmesi için +y

yönünde 3 birimlik kuvvet gereklidir. Bu, Şekil II deki

5 numaralı kuvvettir.

Yanıt E dir.

20.

X

A ekseni

B ekseni

XA

XB

XA = 2 2 birim

XB = 3 birim

X

X

3

2 2

B

A= bulunur.

Yanıt B dir.

21. α < β olduğundan bileşke vektör K vektörüne daha

yakındır. Bileşke vektör her zaman büyük vektöre

yakın olduğundan

| K | > | L | dir.

Yanıt C dir.

22. x y

F F1 2+ –1 0

F F2 3- - –2 0

F3 1 1

F F F F F F1 2 2 3 3 1+ - - + = –2 1

Yanıt D dir.

15. F F F1 2 5+ =

F F F3 4 5+ =

F F F F F F31 2 3 4

F F

5 5

5 5

+ + + + =1 2 344 44 1 2 344 44

Yanıt D dir.

16. İki kuvvet arasındaki açı büyüdükçe bileşke küçü-

lür. X, Y, Z noktalarına etki eden bileşke kuvvet-

lerin eşit olduğu söyleniyor. O hâlde F3 kuvve-

ti en büyük, F1 kuvveti ise en küçük olmalıdır ki

bileşkeleri eşit olabilsin.

Yanıt E dir.

17. Bileşkenin maksimum değeri bulunurken kuvvet-

lerin aynı yönlü olduğu kabul edilir.

23 = 5 + 7 + F

F = 11 N bulunur.

5 ve 7 N luk kuvvetlerin bileşkesi bir yönde 11 N

olacak şekilde ayarlanırsa 5, 7 ve 11 N luk üç kuv-

vetin bileşkesi sıfır olur.

5 N

7 N

11 NF = 11 N

R = 0

Yanıt A dır.

18. x y

F F1 2+ 3 0

F F1 2- –1 2

F F1 2- + 1 –2

2F F F F F1 2 1 2 2+ - + = 4 –2

F2 kuvveti ise II numaralı çizgi gibidir.

Yanıt B dir.