10.2 Comparación de 10.2 desplazamientos (viga conjugada ...vigas continuas. En los nudos extremos...

Elasticidad y resistencia de materialesFLEXION - HIPERESTATICIDAD INDICEINDICEINDICEINDICE

10.110.110.110.1 Introducción.

10.210.210.210.2 Comparación de desplazamientos (viga conjugada).

10.310.310.310.3 Vigas continuas.

10.410.410.410.4 Pórticos y cuadros.

¿Y ahora qué?

PROBLEMAS ESTATICAMENTE DETERMINADOS: pueden resolverse sólo con las ecuaciones de equilibrio

Área: mecánica de medios continuos y teoría de estructuras / Universidad de Málaga

PROBLEMAS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS: no pueden

resolverse sólo con las ecuaciones de equilibrio

Elasticidad y resistencia de materialesFLEXION - HIPERESTATICIDAD

introducción

Se analizarán las estructuras convencionales en tracción-

compresión y FLEXION.La FLEXION

exige:0M

0F

0F

y

x

=

=

=

∑

∑

∑ como en tracción-compresión

0ρ

0δy

≠

≠ ahora habrá desplazamientos verticales y giros. . . aquellas que llamábamos de SECCIÓN ACTIVA.


. . . que, en esencia, podrán estudiarse como combinaciones de barras biempotradas, biarticuladas o empotradas-articuladas.


comparación de desplazamientos

Supóngase la siguiente barra:

La obtención de las reacciones y los esfuerzos se complica un poco;

‘faltan’ ecuaciones:


Pero ¡mucho cuidado!, puede haber ecuaciones ‘escondidas’, como en

este caso:

. . . en el que la rótula proporciona una ecuación (lo que se llama ecuaciones de equilibrio interno); la suma de momentos en la rótula

ha de ser cero.



El proceso para resolver la viga hiperestática consiste, en primer lugar, en identificar el grado de

hiperestaticidad:

Nº INCOGNITAS Nº INCOGNITAS Nº INCOGNITAS Nº INCOGNITAS –––– Nº ECUACIONES = G.E.Nº ECUACIONES = G.E.Nº ECUACIONES = G.E.Nº ECUACIONES = G.E. (recuérdese que, en ocasiones, su determinacion era un problema

suficientemente complejo)

Y luego se ‘liberan’ tantas incógnitas como grado de hiperestatismo tenga la estructura. Es decir, tántas como

sobren.

‘liberar’ una incógnita es eliminar la coacción hiperestática y sustituirla por la reacción que genera.

Habitualmente habrá varias posibilidades. Han de liberarse aquellas que se relacionen con las que quedan a través de las ecuaciones de


equilibrio. (en este caso, liberar la reacción horizontal en el empotramiento no sirve de nada)

Una vez sustituída la incógnita hiperestática adecuada, puede resolverse una viga isostática.

Pero, ¿CUAL ES LA ‘LIBERACION’ ADECUADA?



Buscar aquella opción que involucre ecuaciones de compatibilidad “más

sencillas” ¿?.

Los casos a) y b) exigen trabajar con las expresiones de flecha máxima para aplicar compatibilidad de deformaciones. El caso c) exige trabajar con giro en el punto A. En algunos casos,las ecuaciones para En algunos casos,las ecuaciones para En algunos casos,las ecuaciones para En algunos casos,las ecuaciones para

determinar el giro son más sencillas que las que determinan la flecha máxima (aunque esto no es en modo determinar el giro son más sencillas que las que determinan la flecha máxima (aunque esto no es en modo determinar el giro son más sencillas que las que determinan la flecha máxima (aunque esto no es en modo determinar el giro son más sencillas que las que determinan la flecha máxima (aunque esto no es en modo alguno una regla)alguno una regla)alguno una regla)alguno una regla)


Buscar aquella opción que involucre ecuaciones de compatibilidad más

sencillas, o ‘a gusto del consumidor’.

Obtener el giro de cada una de las dos vigas (en las que se ha

descompuesto el problema), para aplicar compatibilidad en

deformaciones.



Recuérdese la definición de viga conjugada del capítulo anterior:

Partiendo de los diagramas de flectores se obtienen los esquemas de carga de las vigas conjugadas:

Y recordando que el cortante (reacciones en apoyos) de la conjugada es equivalente al giro de la principal se obtienen los giros en los

extremos:

El giro total es la suma de los giros de ambas vigas:


Y ya sólo queda aplicar compatibilidad de deformaciones en

la dirección de la incógnita hiperestática

[GIRO NULO EN EL PUNTO A]

Con lo que ya puede obtenerse el valor de la incógnita hiperestática

que “sobraba”.

El signo puede inferirse del análisis de la deformada:



Cortantes y flectores se obtienen de la superposiciónsuperposiciónsuperposiciónsuperposición de las vigas

isostáticas, como ya se ha visto en el capítulo anterior.

Conocido el valor de MA, puede ‘cortarse’ por cada sección representativa de la viga, equilibrio externo, equilibrio interno…


Y sus correspondientes diagramas…



El proceso es el mismo si el grado de hiperestatismo es mayor:

En ausencia de cargas horizontales no se consideran, por despreciables,

las reacciones horizontales.

Del mismo modo, se sustituyen los apoyos por las reacciones vinculares


apoyos por las reacciones vinculares (despreciando las horizontales)

Aplicar equilibrio al conjunto, con lo que se obtienen las reacciones

vinculares.

¡Ojo!, teniendo cuidado de no convertirlo en un

mecanismo

Liberar tantas incógnitas hiperestáticas como grado de

hiperestaticidad tenga el problema (4inc-2ec = 2222)



Con lo que el problema inicial se descompone en TRES isostáticos.

Uno con la carga externa y otros dos con cada uno de los momentos

vinculares.

Obtener los GIROS de cada uno de los tres subproblemas.

(como en el caso anterior)



(se representa sólo el caso c)

Obtener los GIROS TOTALES sumando los de cada uno de los tres

subproblemas.




Y aplicar compatibilidad en la dirección de las incógnitas hiperestáticas liberadas.

En este caso las condiciones vinculares son que los giros en los

extremos son nulos.

Con lo que se obtiene un sistema resoluble:


El resto de esfuerzos se obtienen a partir de la superposición de los tres

problemas isostáticos, para cada uno del los tramos significativos:

Ambos tienen el sentido supuesto, que deriva del análisis de la

deformada:


comparación de desplazamientos.

Una de las piezas más habituales es la viga biempotrada con carga viga biempotrada con carga viga biempotrada con carga viga biempotrada con carga viga biempotrada con carga viga biempotrada con carga viga biempotrada con carga viga biempotrada con carga

uniformemente repartidauniformemente repartidauniformemente repartidauniformemente repartidauniformemente repartidauniformemente repartidauniformemente repartidauniformemente repartida

De nuevo en este caso las condiciones vinculares son que los

giros en los extremos son nulos.

Obtener las reacciones vinculares aplicando las ecuaciones de

equilibrio (puede prescindirse de las acciones y reacciones horizontales)


acciones y reacciones horizontales)

Y liberar tantas incógnitas hiperestáticas como grados de hiperestaticidad tenga el problema

(nº inc – nº ec.; 4-2 = 2222)

Y aplicar la compatibilidad en la dirección de las incógnitas

liberadas.



De ese modo el problema se descompone en tres: Uno isostático con las cargas externas y otros dos isostáticos con las incógnitas hiperestáticas introducidas como cargas externas.

Como en los casos anteriores, la compatibilidad de desplazamientos se establecerá en los giros de los extremos. Los subproblemas b) y c) ya se han

hecho en el caso anterior. El subproblema a) se resuelve a continuación:

Leyes de flectores, cortantes y giros son ya conocidos para una viga isostática

biapoyada con carga vertical constante.


Como en casos anteriores, el giro total es la suma de los giros de los tres subproblemas.

Y aplicar compatibilidad como ya se ha descrito [giros nulos en los extremos]


De donde se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (MA y MB)


Finalmente, la superposición de los tres subproblemas permite obtener las leyes de esfuerzos de la viga real



vigas continuas.

Una viga continua es aquella que, sean cualesquiera las coacciones de sus extremos, tien varios apoyos.

VANO es el tramo de viga situado entre dos apoyos.

El GRADO DE HIPERESTATICIDAD, depende del número de apoyos intermedios, las coacciones de los extremos y del número de rótulas intermedias.

[GI = nº apoyos intermedios + hiperestaticidad externa – nº rótulas]

Se trata de la suma de varios problemas hiperestáticos que se resuelven del mismo modo que los anteriores


Se trata de la suma de varios problemas hiperestáticos que se resuelven del mismo modo que los anteriores (es decir, podrían sustituirse los apoyos extremos por reacciones vinculares y los intermedios, de modo que

la compatibilidad consistía en forzar a cero la flecha en ellos; pero ese proceso es muy complejo, dada la complejidad del cálculo de flechas)

Lo más aconsejable es fragmentar la viga en los diferentes vanos, sustituyendo el resto de la viga por su efecto, o sea, un momento.


vigas continuas.

Las reacciones vinculares se obtendrán mediante la aplicación de las ecuaciones de equilibrio a todo el conjunto (en realidad esto no es necesario si

ya se conoce el grado de hiperestaticidad del problema.

Luego se liberarán tantas incógnitas como grado de hiperestaticidad tenga el problema. Se liberarán los momentos en los apoyos, extremos o intermedios.

Para aplicar compatibilidad de desplazamientos en la dirección de las incógnitas hiperestáticas se descompondrá cada vano en los

subproblemas necesarios, en función de su grado de hiperestaticidad (tal y como ya se ha visto a lo largo del capítulo)

Esta es la descomposición


expresiones en las que Smi,i son los momentos estáticos del área encerrada

por el diagrama de momentos flectores por la distancia del centro de gravedad de este área a los puntos i o i-1, respectivamente.

Esta es la descomposición para un vano genérico:

Obteniéndose los giros en los apoyos del caso a (b y c ya se

han visto):

Los giros en los apoyos de los subproblemas b y c ya se han determinado anteriormente:


vigas continuas.

Como siempre, el giro total es la suma de los giros de todos los

subproblemas planteados.

A la hora de aplicar compatibilidad de desplazamientos en la dirección de las incógnitas hiperestáticas liberadas hay que distinguir entre nudos intermedios

En los nudos intermedios han de igualarse los giros obtenidos a

ambos lados del nudo. Ello exige igualar expresiones de vanos


que distinguir entre nudos intermedios y nudos extremos:

igualar expresiones de vanos distintos.

Desarrollando la expresión anterior se obtiene otra que relaciona los tres

momentos [Mi-1, Mi, Mi+1] que, el caso de que los vanos tengan la misma

inercia se escribe:


vigas continuas.

En los nudos extremoshan de distinguirse dosdos

casos: Momento conocido Giro conocido

Finalmente, se obtiene un sistema con tantas ecuaciones como momentos en los apoyos tenga la viga continua (los momentos son

esas incógnitas)

sustituir el momento por su valor ej.: giro nulo


esas incógnitas)

Una vez obtenidos los momentos podrán calcularse cortantes y flectores en la pieza, aplicando superposición de estados.

En el caso de que la inercia de la viga continua varíe de un tramo a otro, el proceso de cálculo es el mismo pero habrá que considerar las distintas inercias de cada tramo (especificar la inercia de cada apoyo y

distinguir, para cada apoyo, entre un vano y otro).


pórticos y cuadros.

PORTICO: Entramado geométrico plano sometido,

predominantemente, a flexión flexión –– compresióncompresión.

CUADRO: Entramado geométrico plano carente de

ligaduras externas, de características equivalentes a

un pórtico, que presenta autoequilibrio de cargas

externas

Se resuelven aplicando un método de equilibrio, que consiste en dejar como incógnitas los desplazamientos

(lineales o giros) y aplicar equilibrio de fuerzas exteriores o interiores en los puntos en los que el desplazamiento es

una incógnita.

En realidad los métodos de compatibilidad pueden emplearse para resolver pórticos y los de equilibrio para

resolver vigas, todo depende de los autores.


En los métodos de compatibilidad se liberan incógnitas hiperestáticas para resolver problemas isostáticos.

LAS INCOGNITAS SON LOS ESFUERZOS.

En los métodos de equilibrio se coacciona, en el mayor grado posible, todos los nudos de la estructura para restringir todo movimiento; luego se liberarán paulatinamente esas coacciones introducidas a mayores.

LAS INGOGNITAS SON LOS DESPLAZAMIENTOS O GIROS.

Fundamento del método:Fundamento del método:

Una barra tiene impedidos todos los movimientos de sus extremos si está biempotrada. Por tanto, se supone que todas las barras del pórtico están biempotradas, pero como eso no es en realidad cierto, se van

liberando los posibles desplazamientos de los nudos extremos, es decir, los giros y la flecha (desplazamiento) relativa entre ambos extremos. ESA ‘LIBERACION’ PERMITE MOVIMIENTOS QUE HAN

DE HABER SIDO OCASIONADOS POR ESFUERZOS.



Inicialmente, se va a inmovilizarinmovilizartodo lo posible cada una de las

barras del pórtico, es decir, suponerla biempotrada y calcular los momentos del empotramiento

ficticio que se ha supuesto.

Luego se libera el giro del

Para ello, lo mejor es “mirar” cada una de las barras del pórtico desde

dentro del mismo y seguir cada barra


Luego se libera el giro del extremo izquierdo de cada barra.

dentro del mismo y seguir cada barra siguiendo el sentido horario. El

extremo izquierdo de cada barra es el origen de la coordenada X.

La liberación de ese giro exige que exista un momento aplicado en ese punto; además se provocará un momento

de empotramiento en el extremo opuesto de giro:

Al mismo tiempo, el extremo i, al seguir empotrado, presenta giro nulo, es decir:



Con lo que el giro en el extremo i-1, resulta:

Lo que implica la existencia de estos dos momentos en los extremos (dicho de otro modo, al ‘liberar’ el nudo (dicho de otro modo, al ‘liberar’ el nudo (dicho de otro modo, al ‘liberar’ el nudo (dicho de otro modo, al ‘liberar’ el nudo

izquierdo aparecen estos momentos)izquierdo aparecen estos momentos)izquierdo aparecen estos momentos)izquierdo aparecen estos momentos)

Formulando K=(4�E�I)/L [rigidez a flexión de la viga], se pueden escribir los momentos en función de los

giros y la rigidez.


A continuación se libera el extremo derecho de la barra seleccionada.

Como en el caso anterior, si se libera el giro en ese extremo se

provocará otro en el extremo opuesto. El giro debido a los

momentos extremos es:

El extremo i-1, como sigue siendo un empotramiento, tendrá giro nulo.

Con lo que el giro en i es, definitivamente:



Lo que quiere decir que, debido al giro en i-1 se generan dos momentos; uno en cada

extremo:

El paso siguiente es permitir el desplazamiento relativodesplazamiento relativodesplazamiento relativodesplazamiento relativo entre los puntos

extremos de la viga

El descendimiento del apoyo se traduce en un giro positivo de los extremos (el resultado es el mismo si


positivo de los extremos (el resultado es el mismo si se hace ascender el otro extremo), de valor:

En consecuencia serán iguales los momentos extremos, pudiéndose obtener el giro de los extremos

a partir de ellos.

Por último, se superponen los tres procesosse superponen los tres procesosse superponen los tres procesosse superponen los tres procesos o subproblemas generados; los momentos

extremos pueden obtenerse como suma de los esfuerzos de cada problema.


Se aplica equilibrio de momentos en los nudos cuyos giros se desconocen y equilibrio

de fuerzas en la dirección de los desplazamientos que se desconocen.


Con esto se obtiene un sistema de ecuaciones con tantas incógnitas como giros y

desplazamientos relativos se hayan liberado.

Tras conocer los giros y desplazamientos se obtienen los momentos extremos.


Y a partir de los momentos extremos pueden conocerse los esfuerzos de cada barra

superponiendo estados: primero se obtienen los esfuerzos considerando cada barra como

isostática y luego los esfuerzos debidos a los momentos extremos, al igual que se hizo con las

vigas hiperestáticas, al principio del capítulo.

Desplazamientos de las barras:Desplazamientos de las barras:

Se considera que las barras no varían su longitud.

Se desprecia la deformación debida al axil en relación con la debida a la flexión.

Según lo anterior el pórtico a) es intraslacionalintraslacional (se considera que sus barras no se desplazarán).

Y el pórtico b) es traslacionaltraslacional (puede desplazarse y el desplazamiento es como el de la figura)

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