10-conjuntos ordenados

1ESTR

UCTU

RAS

D

ISCR

ETAS

I

Estructuras Discretas I

Conjuntos Ordenados

Dra. Norka Bedregal Alpaca

Los nmeros naturales, enteros, reales, fraccionarios, tienen definido un orden entre sus elementos. Dado un conjunto cualquiera, sobre el que se define una relacin binaria, si la relacin cumple ciertas propiedades, entonces se puede establecer un orden entre los elementos de ese conjunto

Propiedad antisimtrica:Sea R una relacin en un conjunto de X. Se dice que se cumple la propiedad antisimtrica cuando:

yxxRyyRxSi =

Propiedad de conexin:Sea R una relacin en un conjunto de X. Se dice que se cumple la propiedad de conexin cuando:

xyyxXyx

2Relacin de Orden ParcialSe dice que la relacin R definida sobre un conjunto A es un orden parcial si cumple las propiedades:

Reflexiva Antisimtrica Transitiva

Relacin de Orden TotalSe dice que la relacin R definida sobre un conjunto A es un orden total si cumple las propiedades:

Reflexiva Antisimtrica Transitiva Conexin

Relaciones de Orden

Dra.. Norka Bedregal Alpaca

CON

JUN

TOS

O

RD

ENAD

OS

Notacin: Se acostumbra denotar una relacin de orden R por el smbolo

3Conjunto Totalmente OrdenadoSe dice que el conjunto (E,

4Diagrama de HasseSi E es finito, en la representacin grfica de la relacin se obtiene un diagrama de Hasse si: Se evita el tener que poner arcos dirigidos, colocando los elementos que preceden a otros, en escalones inferiores unidos por una sucesin ascendente de aristas. No se grafican las reflexividades No se grafican las transitividades

Diagrama de Hasse


CON

JUN

TOS

O

RD

ENAD

OS

Ejemplos:({1, 2, 3, 4, 5, 6, 9}, |) es parcialmente ordenado ({1, 2, 3, 4, 5, 6,9}, menor o igual ) es totalmente ordenado

Sus respectivos diagramas de Hasse son:

Diagrama de Hasse


CON

JUN

TOS

O

RD

ENAD

OS

5 Un camino ascendente es por ejemplo {1, 2, 8, 16 } 2 est relacionado con 20, existe el camino ascendente que los une 3 no est relacionado con 16, no existe un camino ascendente

El Diagrama de Hasse asociado es:

Ejemplo:Considere el conjunto A = {1, 2, 3, 5, 6, 8, 10, 15, 16, 20, 30 } y la relacin es divisor de


Diagrama de HasseCO

NJU

NTO

S O

RD

ENAD

OS

Dada una relacin de orden sobre un conjunto se puede pasar de la representacin de grafo a la representacin de diagrama de Hasse y viceversa

Diagrama de Hasse Grafo

Grafo Diagrama de Hasse


Diagrama de Hasse

CON

JUN

TOS

O

RD

ENAD

OS

6Orden producto:Sobre Z x Z, el conjunto de los pares ordenados de nmeros enteros, se define el orden producto

Orden de ConjuntosSi X es un conjunto y , donde es el conjunto de todos los subconjuntos de X, entonces es un orden. Se le llama orden de conjuntos.

( )XP ( )X( ),P

( ) ( ) dbcadcba

7Observaciones:Sea (P,

8Minimales: 1 que es mnimo.Maximales: 4, 5, 6, 9. No hay mximo.

Ejemplo

EjemploEn el orden producto sobre el conjunto {a, b, c}


EjemplosCO

NJU

NTO

S O

RD

ENAD

OS

Ejemplos


Ejemplos

CON

JUN

TOS

O

RD

ENAD

OS

9Definicin:Sea (P,

10

Observaciones El supremo o nfimo de B, si existe, es nico

Si B = {a,b} entonces se acostumbra usar la notacin:

baBbaB

:inf:sup

Ejemplo{ }edB ,= cedfed == ;{ }baB ,= existenobacba == ;{ }fdB ,= dfdffd == ;

CON

JUN

TOS

O

RD

ENAD

OS

Supremo e nfimo


Ltices o Retculas

Definicin:Sea (L,

11

Latices o Retculas

Ltice producto:Sean ltices, entonces la ltice producto se define como:

( ) ( )2211 ,,, LL

( ) ( ) ( ) dbcadcbaLxLLdondeL 2121 ,,,, =es una ltice pues( ),L

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )dbcadcba dbcadcba 21 21 ,,,,,,

==

Ejemplo

Sea Di el conjunto de los divisores de i donde se define la relacin es divisor de, para i un nmero natural.Encuentre la ltice D = D2 x D8CO

NJU

NTO

S O

RD

ENAD

OS


Latices o Retculas

Solucin:

D2 D8

D

CON

JUN

TOS

O

RD

ENAD

OS


12

En una latis el supremo y el nfimo se pueden definir como operaciones que satisfacen las siguientes propiedades:

Latices o RetculasCO

NJU

NTO

S O

RD

ENAD

OS


Latices o Retculas

Definicin:Sea (L,

13

Ltices Isomorfas

Definicin:Sean ltices, y sea una funcin biyectiva ( ) ( )2211 ,,, LL 21: LLf f es un isomorfismo entre las ltices dadas si:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )bfafbaf

bfafbaf

21

21

=

=

Luego se dice que las ltices son isomorfas y se denota por:

( ) ( )2211 ,,, LL

21 LL

CON

JUN

TOS

O

RD

ENAD

OS


( ),LObservaciones:

Sea una ltice, entonces se cumple:

abaybbaba ==

Dadas ltices, y es un isomorfismo entre las ltices

( ) ( )2211 ,,, LL 21: LLf

)()( 21 bfafbaSi Ya que

)()()()()()(

2

11

111

bfafafbafbfbafabaybbaba

==

==

Ltices Isomorfas

CON

JUN

TOS

O

RD

ENAD

OS


14

Esto significa que dos ltices son isomorfas si el diagrama de Hasse de una de ellas se obtiene reetiquetando los vrtices de la otra

Ltices Isomorfas

Ejemplo

CON

JUN

TOS

O

RD

ENAD

OS


Definicin:Una latis es distributiva si cumple las siguientes propiedades:

Ltices Distributivas

EjemploLas siguientes latices son distributivas:

CON

JUN

TOS

O

RD

ENAD

OS


15

No todas las latices son acotadas

Ltices Acotadas

Ejemplo

En ZxZ con la relacin de orden:

Las operaciones de supremo e nfimo:

CON

JUN

TOS

O

RD

ENAD

OS


Ltices Acotadas

CON

JUN

TOS

O

RD

ENAD

OS


16

Definicin:Sea una latis acotada, con elemento mnimo m y elemento mximo MSe dice que el elemento a posee complemento si existe un elemento a tal que:

Una latis es complementada si todo elemento posee complemento

Ltices ComplementadasCO

NJU

NTO

S O

RD

ENAD

OS


Teorema:Sea E una latis acotada, entonces:

Ltices Complementadas

CON

JUN

TOS

O

RD

ENAD

OS


17

La latis D20 no es complementada, 2 y 10 no tienen complementoEjemplos

Ltices Complementadas

Las siguientes latices son complementadas

CON

JUN

TOS

O

RD

ENAD

OS


Determine si D30 es una latis complementada

Ejercicio

Ltices Booleanas

Definicin

Una latis distributiva y complementada recibe el nombre de latis de Boole o Algebra de Boole

CON

JUN

TOS

O

RD

ENAD

OS


18

Ejemplos La latis D20, es distributiva, no es complementada por tanto no es lgebra de Boole

El conjunto {0, 1} con las operaciones booleanas y el complemento booleano es una latis de Boole

El conjunto potencia de {a, b, c} con la operacin de inclusin de conjuntos es una latis de Boole

Ltices BooleanasCO

NJU

NTO

S O

RD

ENAD

OS


Ejercicios PropuestosEjercicio 1.-Estudia en cada caso si la relacin dada es o no un orden sobre el conjunto dado.

CON

JUN

TOS

O

RD

ENAD

OS


19

Ejercicios PropuestosEjercicio 2.-Demuestra que el orden de inclusin en P(A) solo es lineal cuando A es vaco o unitario.

Ejercicio 3.-Dibuja el diagrama de Hasse de P({a, b, c, d}).

Ejercicio 4.-Sea (A,*) un conjunto ordenado y finito. Demuestra que si * es un orden total, entonces (A,*) es un conjunto bien ordenadoEjercicio 5.-Dibuja diagramas de Hasse que representen los siguientes conjuntos ordenados

CON

JUN

TOS

O

RD

ENAD

OS


Ejercicios PropuestosEjercicio 6.-Estudia los elementos extremos y extremales en los siguientes conjuntos de nmeros, ordenados por la relacin de divisibilidad.

a) {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}b) {2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}c) {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12} d) {2, 3, 4, 6, 8, 12}

CON

JUN

TOS

O

RD

ENAD

OS


20

Ejercicios Propuestos

Ejercicio 7.-Razona en cada uno de los casos siguientes si se tiene una latice, tomando como orden la relacin de inclusin.

CON

JUN

TOS

O

RD

ENAD

OS


FIN

CON

JUN

TOS

O

RD

ENAD

OS


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