REPRESENTACIONES DE CONJUNTOSORDENADOS Y APLICACIONES

Hector Merklen, Universidade de Sao Paulo, Brasil

Estas notas fueron escritas con base en el material de una serie deconferencias dictadas en la Universidad Nacional del Sur,

Bahia Blanca, Argentina, durante

agosto y setiembre de 1997.

1. INTRODUCCION

(1.1) Extensiones de un punto.

En todo este trabajo, k denota un cuerpo conmutativo.

Sea Λ′ una k-algebra de dimension finita que, para simpli-ficar, supondremos basica y conexa, y sea M un Λ′-modulo a laizquierda (considerado como Λ′ − k− bimodulo).

Definicion 1. Llamase extension por un punto de Λ′ en M alalgebra Λ definida por

Λ =

(Λ′ M

0 k

)=: Λ′[M ].

Los idempotentes de Λ dados por las unidades matricialese11 y e22 corresponden a la unidad 1Λ′ de Λ′ y a un nuevo idem-ponente que, si llamamos e1, ..., en a los idempotentes primitivosde Λ′, debe ser denotado por en+1.

Es bien conocido que 1Λ′ y en+l definen (por multiplicacion)sendas inmersiones de Λ′ y k en Λ.

De hecho,

(0 M

0 0

)es un ideal bilateral, M , de Λ y Λ/M ∼=

Λ′ × k, de forma que Λ′-mod y k-mod resultan inmersas natu-ralmente en Λ-mod.

Los proyectivos indescomponibles de Λ (dados por las co-lumnas de sus ideales indescomponibles) son los proyectivos in-descomponibles de Λ′ y un nuevo proyectivo (el de en+1) dado

por la ultima columna

(M

k

)

2

Sea X um Λ-modulo. Entonces, X = 1Λ′X + en+1X =:

X +V indica que podemos pensar X como una columna

(X

V

)formada por un Λ′-modulo, X, y un k-espacio vectorial, V ,donde la accion por escalares de Λ se obtiene de la identidadsiguiente. (

Λ′ M

0 k

) (X

V

)=

(Λ′X + M.V

kV

)O sea: la accion de Λ esta deteminada por la accion de Λ′ enX, la de k en V y por la forma en que operan los elementosde M en V : (m, v) → mv ∈ X, la cual es definida por unaaplicacion lineal V → HomΛ′(M, X) que a cada v ∈ V asocia unΛ′-homomorfismo φv : M → X que verifica φv(m) = m.v.

Analizando esa situacion, es facil ver que la categorıa demodulos sobre la extension de un punto Λ = Λ′[M ] es equiva-lente a la categorıa coma cuyos objetos son las ternas (V, X, α)– formadas por un espacio vectorial V , un Λ′-modulo, X y unaaplicacion k-lineal α de V en HomΛ′(M, X) – y cuyos morfismosde (V, X, α) en (V ′, X ′, α′) son pares (f, φ) formados por unaaplicacion k-lineal f : V → V ′ y un Λ′-morfismo φ : X → X ′

tales que el diagrama siguiente es conmutativo.

Vα

→ HomΛ′(M, X)

f ↓ ↓ HomΛ′(M, φ)

V ′ →α′

HomΛ′(M, X ′)

La imersion de Λ′-mod en esa categoria coma asimila elmodulo X con la terna (0, X, 0), y la imersion de k-mod, asociaun espacio vectorial V con la terna (V, 0, 0).

3

(1.2) Categorıas vectorespaciales.

Para facilitar el analisis de contextos como el de extensionesde un punto y otros, Roiter y colaboradores de la escuela de Kievintrodujeron el concepto siguiente.

Definicion 2. Dada una k-categorıa de Krull-Schmidt, A y unfuntor k-lineal (generalmente supuesto fiel), | | de A en k-mod,el par (A, | |) define una categorıa cuyos objetos son los espaciosvectoriales | X | (X ∈ A) y cuyos morfismos son las imagenes| φ | de los morfismos de A.

A cada categorıa vectorespacial (A,| |) estan asociadas otrasdos la categorıa de subespacios, S(A,| |), formada por las ter-nas (V, X, α) de un espacio vectorial, V , un objeto de A, X,y una aplicacion lineal inyectiva α : V →| X | (junto con lacategorıa mas amplia S(A,| |) formada por las mismas ternaspero sin imponer la condicion de que α sea inyectiva) y la ca-tegorıa de cocientes F(A,| |) formada por las ternas (X, V, α)donde ahora α es una aplicacion k-lineal sobreyectiva de | X |en V (tambien junto con la categorıa mas amplia F(A,| |) for-mada por las mismas ternas pero sin imponer la condicion deque α sea sobreyectiva). Los morfismos de estas categorıas sondefinidos dualmente. Las categorıas de espacios y las categorıasde cocientes son equivalentes entre sı y la equivalencia es reali-zada naturalmente por el pasaje a los cokernels y a los kernels,respectivamente.

Obervacion 1. Si, en lugar de una k-categoria de Krull-Sch-midt A se da una categorıa P de objetos indescomponibles (noisomorfos dos a dos), es decir donde los endomorfismos de cadaobjeto forman una k-algebra local de dimension finita, y donde,

4

ademas, los conjuntos de morfismos son k-espacios vectorialesde dimension finita y las composiciones, aplicaciones k-bilineales,entonces ella genera naturalmente una k-categorıa como A enla cual P es el esqueleto de los objetos indescomponibles. Esnatural entonces hablar de una categorıa vectorespacial (P , | |),queriendo decir (A, | |).

Cuando se adopta el punto de vista indicado en la obser-vacion precedente, es comun llamar los objetos de P de puntos,y decir que el punto x =| X | esta ligado al punto y =| Y |cuando Hom(x, y) =: | A(X, Y ) |6= 0.

Los puntos x tales que dim x =: dimk | X |= 1 se llamandelgados, y los otros gordos.

Ejemplo 1. Sea A una k-algebra basica de dimension finita, ysea (ei)i una familia completa de idempotentes primitivos. Pode-mos pensar A como una k-categorıa cuyos objetos son los proyec-tivos indescomponibles Pi = Aei con los morfismos correspondi-entes: HomA(Pi, Pj) = eiAej (con la composicion definida porla multiplicacion de A).

Podemos pensar tambien A como una categorıa vectorespa-cial cuyos indescomponibles son los ei, con los morfismos P(ei, ej) =eiAej y donde | | asocia cada ei con el espacio vectorial Aei y esigual a la identidad para los morfismos.

Como es sabido, es posible realizar un proceso inverso delanterior definiendo una k-algebra de dimension finita a partirde una k-categoria finita cualquiera.

Ejemplo 2. Categorıas de modulos indescomponibles.

5

Sea Λ′ una k-algebra de dimension finita con quiver deAuslander-Reiten ΓΛ′ y sea P un conjunto (finito) de verticesde ese quiver. Entonces tenemos naturalmente una categorıavectorespacial de la manera siguiente. Sea | | el vector de olvidode estructura, que asocia a cada X ∈ P el k-espacio vectorialsubyacente, | X | y que es la identidad en los morfismos. En-tonces, como vimos en la observacion precedente, (P,| |) defineuna categorıa vectorespacial.

Otros ejemplos totalmente similares al anterior, y tantoo mas importantes que el en las aplicaciones, se tienen, enlas extensiones de un punto, al tomar como funtor | | el fun-tor HomΛ′(M, ) (o, respectivamente, el funtor M ⊗Λ′ dondeM es un Λ′-modulo (resp., un Λ′-modulo a la derecha) fijadocualquiera.

Ejemplo 3. Sea A = k∆ el algebra hereditaria de la aljaba∆ y supongamos que el grafo subyacente a ∆, ∆ no tiene cir-cuitos. Entonces A es un poset pues, con las notaciones anteri-ores, ∀x, y ∈ {1, 2, ..., n} existe um unico camino en ∆, σ, de x

a y.

Reciprocamente, si (I,≤) es un poset, el define una cate-gorıa vectorespacial cuyos indescomponibles forman el conjuntoI y cuyos espacios de morfismos son los siguientes.

I(i, j) = k ⇐⇒ i ≤ j

I(i, j) = 0 ⇐⇒ i 6≤ j

A I le asociamos una aljaba QI cuyos vertices son los pun-tos de I y donde hay una flecha i → j si y solo si j es sucesor

6

inmediato de i, o i predecesor inmediato de j (o sea: si, por unlado, i ≤ j y, al mismo tiempo, 6 ∃l 6∈ {i, j} verificando i ≤ l ≤ j

(ver (2.1))Entonces, el algebra de esta categorıa I, llamada algebra de

incidencia de I, kI es isomorfa al algebra

kQI/ < relaciones de conmutatividad >

definida por la aljaba de I modulo el ideal generado por las rela-ciones de igualdad de caminos paralelos, o, siguiendo a Gabriel,atada por las relaciones de conmutatividad.

Definicion 3. Categorıas SchurianUna categorıa vectorespacial C es schurian si vale la siguien-

te condicion.∀x ∈ ind C dim C(x, x) = 1

Ejemplo 4. Consideremos una categorıa vectorespacial schur-ian A que tiene un punto gordo, 2, de dimension 2 como espaciovectorial sobre k. Sea {x′, x”} una base de 2. Consideremosahora la categorıa de subespacios

S(A′, | |)

donde A′ es la subcategoria cuyo unico objeto indescomponiblees el punto 2.

Afirmacion: S(A′, | |) es equivalente a la categorıa de modulos

sobre el algebra de Kronecker Λ = k

(· →→ ·

).

Para obtener esa equivalencia de categorıas asociamos al

7

Λ-modulo

kn

U

→→V

km

el objeto (kn,2m, φ) donde la aplicacion lineal φ del espacio vec-torial kn en el espacio vectorial | 2 |m) es determinada por la

matriz

(U

V

)con relacion a la base (x′, x′, ..., x′, x”, x”, ..., x”).

En otras palabras, si representamos el espacio vectorial | 2 |m en

la forma km⊗k2, φ es la aplicacion lineal U⊗(

10

)+V ⊗

(01

).

Esa definicion del funtor para objetos se completa asociando

a un morfismo (α, β) de kn

U

→→V

km en kn′

U ′

→→V ′

km′el morfismo

(α, 1, β ⊗ id(k2).Es importante observar aquı el efecto que tiene la hipotesis

de que A es schurian, es decir, el hecho de que EndA(2) es unespacio vectorial unidimensional (que tiene como base la iden-tidad). Vemos que el espacio HomA(2m,2m′

) puede ser iden-tificado al espacio Homk(k

m, km′) ⊗ id(k2). Es este hecho que

implica que el par indicado arriba es efectivamente un morfismo

de (kn,2m,

(U

V

)) en (kn′,2m′

,

(U ′

V ′

)).

Obervacion 2. El ejemplo anterior se generaliza sin dificultadal caso de um punto 2 de dimension t cualquiera y se tiene unacategorıa S(A′, | |) equivalente a la categorıa de k-representacionesde la aljaba con dos vertices ligados por t flechas, todas con elmismo sentido.

8

Como corolario tenemos, por ejemplo, el siguiente teorema.

Teorema 1. Sea B una k-algebra de dimension finita que ad-mite um modulo indescomponible, X, satisfaciendo las propie-dades siguientes.

B(X, X) ∼= k

∃M ∈ B −mod : B(M, X) ∼= kt

Entonces, si t ≥ 3, la extension de un punto A = B[M ] essalvaje y, si t ≥ 2 A es necesariamente de tipo infinito.

Ver (2.4), Def. 10.

9

2. POSETS

(2.1) Generalidades.

En este curso (I,�) o simplemente I denota un conjuntofinito parcialmente ordenado (= poset) y n es el numero de ele-mentos de I. El lema siguiente permite identificar I con el con-junto {1, 2, ..., n} y suponer que la relacion � implica la relacion≤. Esto sera hecho sin previo aviso siempre que no lleve a con-fusiones.

Lema 1. Existe una biyeccion Iι→ {1, 2, ..., n} tal que

i � j ⇒ ι(i) ≤ ι(j) (∗)

Dem. Se hace induccion en n a partir de n = 0. Si s es maximalen I, basta aplicar la hipotesis de induccion a I\{s} y completaresa biyeccion asociando s con n. �

Diremos que el elemento x ∈ I es un antecesor (resp. unsucesor) inmediato de y, si x � y (resp. y � x) y si no existez ∈ I, z 6∈ {x, y} tal que x � z � y (resp. y � z � x).

El diagrama de Hasse (resp. quiver) de I se obtiene ponien-do los elementos minimales de I en un nivel inicial horizontal(resp. los elementos de I como vertices). En cada momento enque y es un sucessor inmediato de x se pone y en un nivel masalto que x y se les conecta por una lınea (resp. se traza unaflecha de x a y).

Si I1, ..., Is son posets disjuntos dos a dos, (I1, ..., Is) deno-tara el poset cuyo conjunto es la union de los Ii y cuya relacion deorden (como conjunto de pares ordenados) es tambien la unionde las relaciones de orden de cada Ii.

10

Diremos que I es discreto si sus elementos son incomparablesdos a dos, esto es, si x 6= y ⇒ x 6� y.

Definicion 4. Sea I un poset. Se llama ancho de I, denotadow(I) al mayor numero natural, w, tal que I tiene un subposetdiscreto con w elementos.

Es claro que si I ′ es un subposet de I entonces w(I ′) ≤ w(I).

Los lemas siguientes caracterizan los posets de anchos 1 y2.

Lema 2. Sea I = {1, 2, ..., n} verificando x � y ⇒ x ≤ y.Entonces, si w(I) = 1, (I,�) = (I,≤).

Dem. Podemos hacer induccion a partir de n = 1. Las condi-ciones implican que n = maxI. Por la hipotesis de induccion,(I \ {n},�) = (I \ {n},≤). A partir de esas observaciones, laprueba es inmediata. �

Obervacion 3. Si w(I) = 1 cada elemento x ∈ I tiene, comomaximo, un antecessor inmediato y, como maximo, un sucessorinmediato. Cuando existan, seran denotados, respectivamente,por pr(x) y por sg(x).

Lema 3. Sea I de ancho 2. Entonces I es union de dos subposetsdisjuntos no vacıos, I1, I2, ambos de ancho 1. Reciprocamente,ese hecho implica que w(I) ≤ 2.

Dem. El recıproco es inmediato de modo que trataremos sola-mente del enunciado directo y, para ello, haremos induccion enel numero n de elementos de I, a partir de n = 2.

Observemos, inicialmente, que la demostracion es inmedi-ata en el caso de que I tenga un mınimo, s. En ese caso, si

11

I \ {s} es union de los subposets I ′1, I′2, disjuntos, no vacıos y de

ancho 1, basta tomar I1 = I ′1 ∪ {s}, I2 = I ′2.

Supongamos entonces que I tiene dos elementos minimalesdistintos, s1, s2, los cuales, consecuentemente, forman un sub-poset discreto. Observamos en seguida que podemos suponerque I \ {s1} tambien tiene dos elementos minimales distintos.Pues si s2 es mınimo de I \ {s1}, y si, por la hipotesis deinduccion, I \ {s2} es union de subposets I ′1, I

′2 de ancho 1,

suponiendo, por ejemplo, que s1 ∈ I ′1, bastara tomar I1 = I ′1y I2 = I ′2 ∪ {s2} para completar la demostracion.

Finalmente, si I \ {s1} tiene dos elementos minimales dis-tintos y si es union de I ′1, I

′2, disjuntos y de ancho 1, entonces sus

elementos minimales son, respectivamente, los mınimos de esossubposets. Digamos, por ejemplo, que s2 es el mınimo de I ′2 yque s′1 es el mınimo de I ′1. Entonces, como {s1, s

′1, s2} no puede

ser discreto, concluimos que, por ejemplo, s1 � s′1 y terminamosla prueba tomando I1 = I ′1 ∪ {s1} y I2 = I ′2. �

Usaremos las notaciones siguientes que se refieren a un el-emento dado, c, de un poset cualquiera, I.

c4 = {x ∈ I/c � x}c5 = {x ∈ I/x � c}

(2.2) Problemas Matriciais.

En lo que sigue Es denota la matriz identidad de rango s.En este curso consideraremos solamente problemas matricialesde la forma descrita a continuacion (e, implıcitamente, sus for-mas duales).

12

Definicion 5. Un problema matricial horizontal de tamanon y sistema de operaciones elementales G tiene, como objetos,matrices formadas por una fila de n bloques

A = (A1 | A2 |, · · ·, | An)

en tanto que sus transformaciones son definidas por un con-junto G de operaciones elementales de lineas o de columnas.Las transformaciones del sistema son, por definicion las quepuedan obtenerse mediante aplicacion de un numero finito deoperaciones de G o sus inversas.

En la practica, cada problema matricial es una categorıatal que los conjuntos no vacıos de morfismos son isomorfismosgenerados por las operaciones elementales de G.

Definicion 6. Se llama vector de dimension o vector de coor-denadas de la matriz A a la n + 1-upla

dimA = s = (s1, ..., sn, sn+1)

donde para cada x = 1, 2, ..., n, sx es el numero de columnas deAx y donde sn+1 es el numero de filas de A.

Se llama dimension total de A a la suma de todas las com-ponentes sx.

Obervacion 4. Para interpretar correctamente casos extre-mos, es preciso utilizar una definicion mas formal del objeto A.Para cada numero natural s > 0, denotemos pon Js el intervalo{1, 2, . .., s}, siendo, por definicion, J0 = ∅. Entonces A =(A1, ..., An), donde, para cada x ∈ Jn, Ax : Jsn+1

× Jsx→ k. En

particular, si uno de los conjuntos Jx es vacıo, la matriz-bloque

13

tambien es vacıa, pero, por ejemplo, un bloque vacıo con unacolumna en el lugar x es diferente de un bloque vacıo con unacolumna en otro lugar x′.

Existen dos tipos de matrices con dimension total igual a1. Las que tienen el numero de filas y todos los numeros decolumnas, excepto uno, iguales a 0, y el que no es 0 igual a 1,y las que tienen todos los numeros de columnas iguales a 0 y elnumero de filas igual a 1. Estas matrices se llamaran simples.

Dado un tal problema matricial, G define una relacion deequivalencia entre sus matrices, o sea la relacion de isomorfismode esa categorıa. Ası, denotaremos A ∼G A′ para afirmar queA′ se obtiene de A por transformaciones del problema.

Definicion 7. Dadas las matrices B, C de un problema matri-cial se define la matriz B ⊕ C estableciendo que, para cada x,su bloque de lugar x es

Bx 00 Cx

.

Una matriz no nula A se dice indescomponible si no existenmatrices no nulas B y C tales que A = B⊕C.

Es facil ver que dim(B⊕C) = dim(B) + dim(C).

Es claro que las matrices de dimension total igual a 1 sonsiempre indescomponibles. Y, tambien, que existe un solo tipode matrices indescomponibles de dimension total igual a 2: lasque tienen solo una fila y tienen todos los numeros de columnasde los bloques iguales a 0, exepto uno que es igual a 1.

14

Muchas veces es conveniente representar matrices como Amediante el diagrama siguiente, que tiene en la columna de laizquierda los espacios vectoriales ksx, ligados por una aplicaconax al espacio ksn+1, situado a la derecha, donde ax es la aplicaciondefinida por la matriz Ax con relacion a las bases canonicas.

ks1

ks2

·· ksn+1

·ksn

Observamos que si, para algun x, sx = 0, entonces ksx es elespacio 0, el bloque Ax es una matriz vacıa y ax es la aplicacion0. En cambio, si sn+1 = 0, entonces A es vacıa, todos los bloquesson vacıos y todas las ax son 0.

A una suma directa B ⊕ C corresponde la suma directa(realizada de modo obvio) de los diagramas, de forma que lasnuevas aplicaciones resultan ser de la forma siguiente.(

ax 00 bx

)Ası, vemos que es posible reconocer cuando una matriz no

nula A tiene como sumando directo una de las matrices simplesmencionadas mas arriba. Por ejemplo, la matriz de dimension

15

total 1 con sx = 1 se representa por

0.

.

.

x k 0.

.

.

0

y, por consiguiente, ella es sumando directo de A cuando elbloque Ax tiene una columna formada por ceros (columna nula).

Analogamente, la matriz simple que tiene sn+1 = 1 es com-ponente de A si y solo si A tienen una fila formada por ceros(fila nula).

Observemos finalmente que las representaciones simples dedimension total igual a 2 se representan de la manera siguiente.

0.

.

.

x k k

.

.

.

0

Por lo tanto,si ella aparece m veces como sumando directo

16

de A, entonces se puede escrbir A en la forma siguiente.x

A′1 | · · · | 0 | · · · | A′

n

−− | · · · | −− | · · · | −−0 | · · · | Em | · · · | 0

Por definicion, resolver el problema matricial G significa

determinar un representante de cada una de las clases de equiva-lencia de matrices. Esos representantes son las llamadas formascanonicas de las matrices del problema.

Ejemplo 5. Cuando el numero natural n es igual a 1, supo-niendo que G es el conjunto de todas las operaciones elemen-tales (con lineas y con columnas), entonces existen tres formascanonicas, que son exactamente las matrices simples. En efecto,como es sabido, las operaciones indicadas corresponden a trans-formaciones de la forma A 7→ V −1AU , donde U, V son matricesinversibles de tamano apropiado, de forma que toda matriz esequivalente a una de la forma siguiente.(

Em 00 0

)lo que se traduce en que cualquier matriz se descompone en sumadirecta de m matrices simples con s1 = s2 = 1, que forman laidentidad Em, un cierto numero de matrices simples con s2 = 0,formando la matriz de columnas nulas, y un cierto numero dematrices simples con s1 = 0, formando la matriz con filas nulas.

Ejemplo 6. Consideremos ahora el caso en que n = 1 y G esel conjunto de todas conjugaciones con matrices cuadradas. Esdecir, cada operacion elemental de filas es seguida por la misma

17

operacion entre columnas. En este caso tenemos transforma-ciones de la forma A 7→ U−1AU , U inversible y con el mismonumero de filas y columnas que A, de modo que, si k es alge-braicamente cerrado, las formas canonicas son la matriz 1 × 1con coeficiente 1 y las diversas formas de Jordan

λ 0 · · · 01 λ · · · 0· · · · · ·· · · · · ·· · · · · ·0 0 · · · λ

.

Obervacion 5. Como mencionamos en el comienzo de esta sec-cion, pueden ser consideradas tambien las formas duales de losproblemas matriciales horizontales. Son los problemas matri-ciales verticales, donde las matrices A son dadas en la formade una columna de bloques Ax. Como veremos, los problemasverticales describen naturalmente las representaciones de posets,o las categorıas de subespacios de la forma

(modk,B, HomB(M, ))

(donde B es mod B y M un B-modulo a izquierda. Los proble-mas matriciales horizontales tambien describen representacionesde posets, o las categorıas de cocientes de la forma

(B, modk, M⊗B )

.

(2.3) Representaciones matriciales y vectoriales de po-sets.

18

Sea I un poset con n elementos y consideremos el funtor| |: I → k-mod que asocia a cada x ∈ I un espacio vectorialunidimensional | x | con una base fijada, vx: | x |= kvx, y que acada morfismo x → y (i. e. a cada relacion x � y) la aplicacionlineal de | x | en | y | que lleva vx en vy.

Entonces, la categorıa vectorespacial S(addI, | |) tiene co-mo objetos las ternas (V,⊕m

i=1 | xi |, α), donde cada xi esta en I

y donde α es una aplicacion lineal del primer espacio vectorialen el segundo. Y tiene como morfismos los pares (f, g)

Vα−→ ⊕m

i=1 | xi |f ↓ ↓ g

V ′ α′−→ ⊕m′

i′=1 | xi′ |tq α′f = gα

donde f es simplemente una aplicacion lineal y g es la familia deaplicaciones lineales g = (gi′i) en que gi′i :| xi |→| xi′ | representael morfismo de I que lleva vxi

en vxi′ , que existe si y solo sixi � xi′.

Generalmente se agrupan los sumandos en add I asociandoentre sı los que corresponden a un mismo elemento del poset.Entonces se tienen sumas directas de la forma⊕

x∈I

| x |sx

y resulta que, g aparece como una matriz de bloques gyx dondecada uno es una aplicacion lineal del espacio vectorial

(Vx =:| x |sx

(isomorfo a ksx en el espacio vectorial V ′y =:| y |sy (isomorfo a ksy)

y es diferente de 0 solamente quando x � y. Tambien al hacer

19

esto tenemos las aplicaciones α, α′ dadas como matrices-colum-na cuyas componentes son aplicaciones lineales αx : V → Vx, oα′y : V ′ → V ′

y .

Definicion 8. Una k-representacion vectorial de I es una terna(V, (Vx)x, α) en que α es una aplicacion lineal del espacio vec-torial V en la suma directa de los espacios vectoriales Vx. Losmorfismos entre dos representaciones de I son pares de aplica-ciones lineales (f, g) que satisfacen α′f = gα, verificandose quela componente de g que va de Vx en V ′

y es nula toda vez quey 6� x.

La categorıa de las k-representaciones de I se denotara pormatad

I (k). Notese la alteracion de orden en los morfismos: esoes debido a la conveniencia de usar las representaciones dadaspor I-espacios (ver el capıtulo 3).

Definicion 9. Uma representacion matricial del poset I sobrek es una matriz dada por una columna de bloques en la formasiguiente.

A =

A1

A2

···

An

,

de tamano d × sx+1, donde d = s1 + s2 + ... + sn y donde losbloques estan asociados a los elementos xi(i = 1, ..., n) de I poruna biyeccion xi ∈ I 7→ Ai ∈ Msi×sn+1

.

Esta nocion equipara la categorıa matadI (k) al problema ma-

tricial (matI ,G) cuyas matrices son las representaciones matri-

20

ciales de I y cuyo conjunto de transformaciones, G es definidopor las siguientes operaciones elementales.

• operaciones elementales de las columnas de A

• operaciones elementales de las filas de un bloque Ai, i ar-bitrario

• suma de una fila de Ai a una fila de Aj, siempre que xj � xi

En efecto, estas operaciones traducen exactamente las op-eraciones gαf−1 cuando (f, g) es un isomorfismo.

Obervacion 6. Es inmediato que, en lugar de representacionesmatriciales verticales, como en la ultima definicion, podemosusar matrices horizontales. Se trata de dos manera equivalentesde tratar el mismo asunto. La equivalencia de categorıas se ob-tiene, en los objetos, pasando de una matriz a su transpuesta y,en los transformaciones, cambiando operaciones de filas por lasmismas operaciones hechas con columnas, y viceversa.

Para este problema matricial usaremos, si es necesario sercompletamente preciso, la notacion (mat′I ,G). A este problemaesta asociada, evidentemente, la categorıa de k-representacio-nes cuyos objetos son las ternas (V, (Vx)x, α) en que α es unaaplicacion lineal de la suma directa de los espacios vectorialesVx en V , y donde los morfismos son pares (g, f) que satisfacenα′g = fα, etc. En caso de necesidad, denotaremos esta categorıapor mat′ad

I (k).

Obviamente, todas estas categorıas son equivalentes dos ados.

De lo que hemos visto resulta inmediatamente la siguienteproposicion, donde Iop denota el poset opuesto a I definido enI por el orden opuesto.

21

Proposicion 1.a) Las categorıas S(addI, | |) y matad

I son equivalentes.b) El funtor

q : A 7→

ks1

·ksn+1 ·

·ksn

donde la aplicacion ai es la que tiene la matriz Ai con respectoa las bases naturales, es denso y refleja isomorfismos.

Notacion. Denotaremos con indI un conjunto de representantesde las representaciones indescomponibles de I. Por la proposicionque antecede, indI puede ser tambien el conjunto de las formascanonicas del problema matI .

Obervacion 7. Representaciones elementales.Dado un poset I, existen ciertas representaciones indes-

componibles que conviene tener siempre presentes.

Si I ′ es discreto con m elementos, la representacion (de di-mension total m + 1) formada por bloques 1 × 1 iguales a 1 esobviamente indescomponible. Como, por otra parte, siempre queun poset I ′ es subposet de un otro I, las representaciones de I ′

estan naturalmente inmersas en la clase de las representacionesde I, esto hace que esa representacion es una de las representa-ciones indescomponibles de I. En el caso particular m = 1 estarepresentacion es la representacion de dimension total 2 definidapor el elemento en cuestion que ya consideramos en (2.2).

Las representaciones simples (o sea, las de dimension totaligual a 1) y las que son definidas por subposets discretos en la

22

forma que acabamos de aclarar seran llamadas de representa-ciones indescomponibles elementales de I.

(2.4) Tipos de Representacion.

Queremos describir detallada y claramente las definicionesde tipos de representacion tame y wild. Para eso comenzamoscon las consideraciones siguientes.

Sea Λ una k-algebra cualquiera, Λ, y sea M un Λ − k[X]-bimodulo, libre de rango m sobre k[X]. Eso significa que M

es de la forma k[X]m, espacio vectorial de dimension infinita enque cada elemento de Λ opera por un endomorfismo dado poruna matriz m × m cuyos coeficientes son polinomios de k[X].Entonces, si Λ es definida por una aljaba atada: Λ = kQ/I,puede darse a M la forma usual de una representacion de (Q, I).En este caso, queda asociado en cada vertice, i, un k[X]-modulolibre ei.M , y a cada flecha una matriz rectangular finita concoeficientes en k[X].

Sea dado ahora un modulo simple sobre k[X] y supong-amos que k es algebraicamente cerrado. Consiguientemente, esemodulo simple es de la forma Sλ =: k[X]/(X − λ), donde λ esun determinado elemento de k. ¿Como podemos interpretar, eneste caso, el producto tensorial M ⊗k[X] Sλ? Resulta claro queeste se obtiene substituyendo los k[X]-modulos libres asociadosa cada vertice de Q por un k-espacio vectorial con dimensionigual a su rango, y substituyendo X por λ en cada una de lasaplicaciones lineales asociadas a las flechas. En otras palabras,los funtores − ⊗ Sλ asocian a cada escalar λ un Λ-modulo de

23

dimension finita y definen ası una famılia a un parametro condomınio de variacion k.

Por ejemplo, las representaciones regulares del algebra de

Kronecker Λ = k

(· →→ ·

)., tienen la forma siguiente.

km ·

Em

→→

Jm(λ)

· km,

donde Jm(λ) es el bloque de Jordan de rango m y valor propioλ. Ellas forman una familia a un parametro que se obtiene enla forma M ⊗k[X] Sλ, donde M es la representacion

k[X]m ·

Em

→→

Jm(X)

· k[X]m.

Analogamente, sea k < X, Y > el algebra asociativa librecon dos generadores X e Y , y sea M un Λ − k < X, Y >-bimodulo, libre de rango m sobre k < X, Y >. Si L es unk < X, Y >-modulo indescomponible de dimension finita sobrek, entonces M ⊗k<X,Y > L resultara ser un Λ-modulo finitamentegenerado. Generalmente, la accion de X e Y en L es definida pormatrices dependientes de dos variables independientes (que sepueden seguir denotando por X e Y ) que varian en k. Entonces,realizando el producto tensorial, M pasa a ser um Λ modulofinitamente generado dado por una k-representacion de (Q, I)en la cual las matrices asociadas a las flechas dependen de esosdos parametros independientes entre sı.

24

Anotamos una de las definiciones usuales de tipos de repre-sentacion.

Definicion 10. Sea C una k-categorıa de Krull-Schmidt con ob-jetos de dimension finita. Entonces, por definicion,

• C es de tipo de representacion finito si, salvo isomorfismo,tiene apenas un numero finito de objetos indescomponibles.

• C tiene tipo de representacion tame (o, decimos, C es tame)si, para cada dimension, d, existe un numero finito de Λ−k[X]-bimodulos Mj (libres y de rango finito sobre k[X])tales que, salvo un numero finito, cada Λ modulo indescom-ponible de dimension d es de la forma Mi ⊗k[X] Sλ.

• C tiene tipo de representacion salvaje (o, decimos, C essalvaje) si existe un Λ− k < X, Y >-modulo M (libre y derango finito sobre k < X, Y >) tal que el funtor M⊗k<X,Y >

− lleva modulos indescomponibles de dimension finita enmodulos indescomponibles y lleva modulos no isomorfos enmodulos no isomorfos.

Obervacion 8. Un celebre teorema de Drozd afirma que paratoda algebra Λ, de dimension finita sobre k algebraicamente ce-rrado, vale una y solo una de las tres posibilidades.

La definicion precedente se aplica, en particular, a cate-gorıas de subespacios, o de cocientes, de categorıas vectorespa-ciales, bien como a las categorıas de representaciones de posetsfinitos.

Proposicion 2. Sea I un poset de ancho menor que 3, es decirw(I) ≤ 2. Entonces I es de tipo de representacion finito y

25

sus representaciones indescomponibles son las representacioneselementales.

Dem. Induccion en n. Consideremos primero el caso en que I

tiene ancho 1. Sea A una representacion indescomponible conbloques A1, ..., An de tamanos si × sn+1. Si los si, (i = 1, ..., n)son todos nulos, o si sn+1 = 0, resulta obviamente que A es unarepresentacion simple. Si s1 = 0, A viene de una representacionde I \ {1} y A es elemental por la hipotesis de recurrencia.En el caso contrario, mediante transformaciones elementales enel primer bloque podemos suponer que la primera linea tienela forma 0 0 ... 0 1 y, en seguida, usando operaciones de filas,anular todos los elementos siguientes en la ultima columna deA. Resulta que la representacion elemental determinada por elsubposet discreto I ′ = 1 es sumando directo de A, es decir, esigual a A.

Supongamos ahora que w(I) = 2 y presentemos I comounion disjunta de dos subposets disjuntos I1, I2 de ancho 1 (verLema 3). Podemos suponer tambien que la descomposicion fuehecha de forma que el mınimo de I2 no es comparable con elmınimo de I1. Por otra parte, es facil ver que el problema sereduce al caso en que s1 y sn+1 son no nulos.

Operando como antes, podemos suponer que la primera filade A es de la forma 0 0 ... 0 1. Aplicando transformaciones defilas, podemos anular entonces todos los coeficientes que siguenen la ultima columna a lo largo de todos los bloques asociados aI1. Con relacion a los bloques asociados a I2, es posible que to-dos, o algunos de ellos, tengan nula esa columna. En la primeraalternativa deducimos, como arriba, que A es la representacionelemental de dimension total 2 dada por 1 ∈ I. En el segundocaso, sea l una fila que tiene coeficiente diferente de cero, a,

26

en la ultima columna. Entonces, o l es de la forma 0 0 ... 0 a, otiene algun otro coeficiente no nulo, b, siendo por lo tanto de laforma 0 ... 0 b 0 ... 0 a. En este ultimo caso, mediante operacionesde columna, podemos anular a, pudiendo aparecer tambien uncoeficiente diferente de 0 en la ultima columna a la altura debloques de I1. Procediendo ası con todas las filas que tengancoeficiente no nulo en la ultima columna, volvemos, en seguida,valiendonos nuevamente de operaciones fila, a anular todos loselementos de esa ultima columna, excepto, como maximo, deuno en A1 y uno de um primer bloque de I2. Observamos queen esas filas en que sobrevive un coeficiente no nulo en la ultimacolumna todos los coeficientes restantes son 0. El resultado esque A tiene como sumando directo la representacion elemen-tal definida por el subposet discreto {1, c}, es decir, como A esindescomponible, es igual a esta representacion elemental. �

Corolario 1. Si I tiene ancho 1, entonces I tiene exactamente2n+1 representaciones indescomponibles no isomorfas dos a dos(n + 1 simples y n de dimension total 2). Si el ancho es 2, esenumero es 2n + m + 1, pues debe agregarse el numero, m, depares de elementos incomparables.

27

3. I-ESPACIOS E I-REPRESENTACIONESCOMO MODULOS

Existen otros tipos de representaciones de un poset I. Sonlas categorıas de los llamados I-espacios y las categorıas demodulos sobre el algebra de incidencia de I.

(3.1) I-espacios.

Definicion 11. Un I-espacio es un par M = (M, (Mx)x∈I)donde M es un k-espacio vectorial y Mx una familia de sub-espacios de M verificando

x � y ⇒ Mx ⊂ My.

La suma (directa) de dos I-espacios: M⊕M′ se define natural-mente componente a componente. Los morfismos de M en M′

son, por definicion, las aplicaciones lineales f : M → M ′ quepreservan los subespacios.

Con esa definicion, como es facil ver, los I-espacios consti-tuyen una categorıa de Krull-Schmidt que denotaremos I − sp.Vemos tambien con facilidad que I − sp tiene kernels: dado elmorfismo f introducido en la definicion, es claro que kerf es elI-espacio (kerf, (kerf ∩Mx)x).

Por otro lado, la categorıa de I-espacios no siempre tienecokernels. Para que eso ocurra es necesario y suficiente que,para cada x ∈ I, f(Mx) = M ′

x ∩ f(M).

28

(3.2) El funtor de reduccion.

Veamos que la categorıa de I-espacios, que parece tantomas simple que la categorıa de las representaciones, matad

I (k),es en verdad suficientemente amplia como para describir todasestas.

Eso se realiza mediante el siguiente funtor, H, llamado fun-tor de reduccion.

Definicion 12. Definimos

H : matadI (k) → I − sp

de la manera siguiente. Si V = (V, (Vx)x, α) es una k-represen-tacion, H(V) es el I-espacio M, donde

M = (M, Mx), M = V, Mx = ker(V(αy)y→ V

⊕x�y

Vy).

Y, si g = (f, g) es un morfismo de V en V′, entonces H(g) = f .

Veamos en primer lugar que la famılia H(V) es un I-espacio.En efecto, si x � y es claro que Mx ⊂ My, pues el ultimo es re-sultado de intersectar menos subespacios que el primero.

Veamos ahora que, en efecto, f es un morfismo de I-espacios.Para tanto, tomemos v en Mx y comprobemos que f(v) ∈ M ′

x.Decir que f(v) ∈ M ′

x es decir que α′z(f(v)) = 0, para todoz sucesor de x. Eso resulta de la definicion de morfismo, puesα′z(f(v)) =

∑z�t gztαt(v), que es igual a 0 porque, si t es sucesor

de z, tambien es sucesor de x.

Obervacion 9. En lo que sigue llamaremos de representacionessimples propias a las representaciones simples de I que tienenV = 0.

29

Teorema 2.

• 1) H es pleno y denso.

• 2) Para toda representacion indescomponible V de I,

H(V) = 0 ⇐⇒ V es una representacion simple propia.

• 3) Sea matadI (k)o, la subcategorıa aditiva generada por las

indescomponibles que no son simples propias. Entonces, Hinduce una r-equivalencia entre

matadI (k)o y I − sp,

es decir es denso, pleno y refleja isomorfismos.

• 4) Sea < simples propias > el ideal de matadI (k) generado

por las representaciones simples propias. Entonces, H in-duce una equivalencia de categorıas entre

matadI (k)/ < simples propias > y I − sp.

Dem. Para demostrar que H es denso definimos la aplicacionseccion de H, H−, de I − sp en matad

I (k) de la manera indicadaa continuacion. Con las notaciones anteriores, dado el I-espacioM, H−(M) es la representacion V dada por V = M , Vx =M/Mx, siendo αx la aplicacion canonica de V en su cociente Vx.Observamos que H− no es un funtor.

La densidad del funtor de reduccion decorre trivialmentedel fato H(H−(M)) ∼= M, que pasamos a demostrar.

Es claro que el espacio mayor, M , no se modifica despuesde las dos transformaciones. Ahora, un subespacio Mx es lleva-do primero en el cociente Vx = M/Mx y, despues, en el kernelde la aplicacion V → ⊕Vy, donde la suma se extiende a losy que siguen a x en el orden �. Un vector v es anulado por

30

todas esas αy si y solo si v pertenece a todos los subespaciosMy, lo cual ocurre si y solo si v esta en Mx. Esto muestraexactamente que tampoco los subespacios Mx son alterados porlas dos transformaciones sucesivas.

Veamos ahora que H es pleno. Usando nuestras notaciones,sea f : V → V ′ un morfismo de I-espacios entre las imagenes porH de dos I-representaciones. Precisamos definir una aplicacionlineal g de forma que (f, g) sea un morfismo entre dichas I-representaciones. Para tanto, precisamos definir, para cada x �y, una aplicacion lineal gxy : Vy → Vx de modo que se verifiqueαyf(v) =

∑y�z gyzαz(v).

En el caso de x ser un elemento maximal de I, tenemosque Mx es simplemente el kernel de αx y tenemos el diagramaconmutativo siguiente.

0 → Mx ↪→ V → Vx

↓ ↓ f ↓ f

0 → M ′x ↪→ V ′ → V ′

x

que nos permite definir gxx = f .

Luego, suponiendo que las componentes maticiales gxz : Vz →V ′

x ya fueron definidas para todos los z ∈ y4 diferentes de y,definimos gxy utilizando el siguiente diagrama conmutativo.

0 → Mx ↪→ V(αz)z→

⊕x�z Vz

↓ ↓ f ↓ f

0 → kerα′x ↪→ V ′ (α′x)→ V ′

x

.

Resulta claramente que, con esa definicion de g, tenemos unmorfismo de representaciones de la forma (f, g) como deseaba-mos.

31

La prueba de 2) es inmediata porque, por su definicion, Hanula solemente representaciones V que tienen V = 0.

Veamos que H refleja isomorfismos provenientes de morfis-mos de matad

I (k)o, o sea que, si f es un isomorfismo, entonces(f, g) lo es tambien. Con las notaciones anteriores, debemosmostrar que si f : Mx → M ′

x es un isomorfismo para todo x,entonces gxx : Vx → V ′

x tambien lo es. Sin perdida de general-idad, podemos suponer que la representacion V es una indes-componible de matad

I (k)o. Esto implica que cada una de las αx

es sobreyectora. En el caso que x sea un elemento maximal deI, tenemos entonces que gxx es un isomorfismo (ver el diagramaarriba que caracteriza gxx en este caso). En seguida, obtenemosesa misma conclusion para el caso general usando el diagramasiguiente.

0 → Mx ↪→ V(αz)z→

⊕x�z Vz

↓ ↓ f ↓ f

0 → M ′x ↪→ V ′ (α′

z)z→⊕

x�z V ′z

.

Resulta facilmente que α′xf = gxxαx y, como es facil probar quef lleva kerαx sobre kerα′x, y viceversa, resulta de ahı que gxx esbiyectora. �

Corolario 2. El funtor Hq de la categorıa de las representa-ciones matriciales de I en la categorıa de los I-espacios (dondeq es el funtor de b) de la proposicion 1) induce una correspon-dencia biunıvoca entre las clases de representaciones indescom-ponibles (exceptuando las simples propias), y las isoclases deI-espacios indescomponibles.

Corolario 3. Si I tiene tipo de representacion finito, el numerode representaciones indescomponibles de I es igual al numero de

32

I-espacios indecomponibles mas el numero | I | de elementos deI.

(3.3) I-espacios como modulos de algebras de incidencia.

En esta seccion, I continua denotando un poset con n ele-mentos cuyo conjunto subyacente puede ser identificado a {1, 2, ..., n}.Introducimos ademas otros dos posets adjuntando a I un ele-mento mınimo y un elemento maximo, respectivamente.

Sea Io = {0} ∪ I, con el orden que extiende el orden de I yhace de 0 un elemento mınimo. Tomaremos {0, 1, 2, ..., n} comoconjunto subyacente a Io.

Sea I∗ = I ∪ {∗}, con el orden que extiende el orden de I yhace de ∗ un elemento maximo. Tomaremos {1, 2, ..., n, n + 1}como conjunto subyacente a I∗, de modo que podemos decir que∗ = n + 1.

Las algebras de incidencia de I∗ e Io, de acuerdo con loque vimos en nuestro Ejemplo 3 de la seccion (1.2), se obtienenampliando el algebra de incidencia de I como se indica a con-tinuacion.

kIo =

k k · · · k

0·· kI

·0

kI∗ =

k

·kI ·

·0 0 0 0 0 k

Analicemos rapidamente, por ejemplo, la categorıa de mo-

dulos a la derecha sobre kI∗, denotando los proyectivos indes-componibles, como es usual, por P1, ..., Pn, P

∗. En tal caso, el

33

top de Pi sera denotado por Si y el de P ∗ =: Pn+1 por S∗ =:Sn+1, y sus respectivas envolventes inyectivas por Qi, Q

∗ =:Qn+1, respectivamente. En caso de que queramos trabajar conkIo-modulos, deberemos usar esas mismas notaciones para losproyectivos, simples, inyectivos (excepto que, en vez de usar elındice n + 1 usaremos, en este caso, el ındice 0). Es de esperarque esta practica no lleve a ninguna confusion.

El quiver de kI∗ es formado por el quiver de I al cual se leagrega un pozo ∗, como indicamos a continuacion.

12·· ∗·n

y los kI∗-modulos a la derecha son dados por las representa-ciones de este quiver. Por lo tanto, son dados por sistemas(Xi,j φi) donde Xi es el espacio vectorial situado en el vertice i

y donde, para cada par i � j, jφi es una aplicacion lineal de Xi

en Xj de tal modo que se verifican las relaciones de transitividad:

tφj jφi =t φi siempre que i � j � t.

Por ejemplo, Pi tiene el espacio k en cada vertice j tal quei � j, 0 en los otros vertices y la aplicacion identidad en cadaflecha que liga dos copias de k.

Observamos que P ∗ es el unico proyectivo simple, y que eles exactamente el socle de cada uno de los otros proyectivos.

Usando la dualidad usual y el poset (I∗)op, vemos que elinyectivo indescomponible Qi tiene el espacio vectorial k en cada

34

vertice j tal que j � i, 0 en los otros vertices y la aplicacionidentidad en cada flecha que liga dos copias de k.

Definicion 13. Por definicion, modspkI∗ es la subcategorıaplena definida por los kI∗-modulos a la derecha que tienen socleproyectivo.

Debe se observar que modspkI∗ contiene todos los proyec-tivos, de modo que es una categorıa que posee coberturas proyec-tivas.

Lema 4.

• a) Para todo Pi, socPi = P ∗.

• b) kI∗ es l-hereditaria, es decir, todo homomorfismo nonulo entre proyectivos indescomponibles es un monomor-fismo.

• c) Q∗ es el I-espacio siguiente.

k

·· k

·k

.

• d) Existe una equivalencia de categorıas, ρ entre I − sp emodspkI∗.

• e) Si M es un I-espacio que no tiene sumandos direc-tos proyectivos simples, entonces soc(M)∼= (P ∗)sn+1. (Obs.Valen las propiedades analogas para el caso del algebra deincidencia kIo.)

35

Dem.

a) Sea i 6= ∗ y analicemos la parte de la representacion de Pi quecorresponde a la flecha que liga i con ∗. Es inmediato comprobarque el simple Si no puede ser un submodulo de Pi.

b) Sea f : Pi → Pj un morfismo no nulo. Como su imagentendra P ∗ en el socle, f |P ∗ 6= 0 y, por consiguiente, f es unmonomorfismo.

c) Inmediato.

ρ se define asociando M = (M, (Mi)i) con la representacionobvia, que tiene Mi en i, M en ∗ y donde cada jφi es la in-clusion de Mi en Mj cada vez que i � j. Nuevamente vemosque P ∗ es el unico simple contenido en ρ(M), lo que pruebaque esa representacion esta en modspI

∗. La definicion de ρ paramorfismos es la natural: al morfismo f corresponde la familia((fi)i, f

∗), donde f ∗ = f y donde las fi son sus restricciones acada Mi. Es claro que ρ es fiel y pleno, pero tambien es denso.En efecto, si el kI∗-modulo (Yi,j φi) tiene socle proyectivo, tene-mos que todas las jφi asociadas a un par i � j con i 6= j debenser inyectivas. Pues, si hubiera un elemento no nulo, vi ∈ Yi,en el kernel de jφi, obtendrıamos que el modulo contiene porlo menos una copia del simple Si, lo que constituye una con-tradiccion. Por lo tanto, nuestro modulo es isomorfo a ρ(N),donde N = (Y ∗,j φi(Yi)i).�

Obervacion 10. En lo que sigue, con base en este teorema,podremos identificar I − sp con modspkI∗. La categorıa dualde I − sp es la categorıa de los I-cocientes, I − fsp, formadapor los objetos M = (M, (Mi)i) en que todas las jφi : Mi →Mj son sobreyectoras. Resulta que esta categorıa es equivalente

36

exactamente a la subcategorıa de los kIo modulos cuyo top esinyectivo.

Definicion 14. Llamanse funtores de reflexion a los funtores

I − sp5−

→ I − fsp I − fsp5+

→ I − sp.

El primero asocia el I-espacio M = (M, (Mi)i) con el I-cocien-te (M, (M/Mi)i) y el segundo asocia un I-cociente de la forma(N, (N/Ni)i) con el I-espacio (N, (Ni)i).

El lema siguiente es de demostracion inmediata.

Lema 5. 5− y 5+ son equivalencia inversas entre sı.

37

4. POSETS DE TIPO DE REPRE-SENTACION FINITO

(4.1) El algoritmo de derivacion de Nazarova y Roiter.

Lema 6. Sea I un poset. Si w(I) ≥ 4, I tiene tipo de repre-sentacion infinito.

Dem. Daremos la demostracion simple que vale cuando k tieneinfinitos elementos. La demostracion general puede verse en elartıculo de Dlab y Ringel ([?]).

Dado λ ∈ k consideremos la representacion siguiente de unposet discreto de 4 elementos.(

λ | 1 | 1 | 01 | 1 | 0 | 1

)Un calculo facil muestra que todo endomorfismo de esa repre-sentacion es formado por matrices escalares. �

A partir de este hecho, vemos que los unicos posets cuyotipo de representacion (finito o infinito) es aun indeterminadoson los posets de ancho 3. Veremos que de hecho hay posets deancho 3 de tipo de representacion finito y tambien los hay detipo de representacion infinito.

Por ejemplo, si I es un poset discreto de 3 elementos, I

tiene tipo de representacion finito. En efecto, su categorıa derepresentaciones es equivalente a la de una aljaba de tipo D4.

En [?] Nazarova y Roiter disenaron un algoritmo, llamadoalgoritmo de derivacion en un elemento maximal, que permitedecidir si un poset dado de ancho 3 es de tipo de representacionfinito o no. El algoritmo se describe a continuacion.

38

Sea I un poset tal que tiene un elemento maximal c parael cual se verifica w(I \ c5) ≤ 2, condicion que es obviamentesatisfecha si w(I) = 3.

Definicion 15. Se define el poset derivado de I en c, ∂cI obe-deciendo a las determinaciones siguientes. El conjunto ∂cI esI \ {c} ∪ Sc, donde Sc es un conjunto disjunto de I que admiteuna biyeccion con el conjunto de los subposets discretos de I dela forma {r, s, c}.

Para facilitar la exposicion, denotemos r∨ s el elemento deSc asociado por esa biyeccion a la terna {r, s, c}. Entonces, elorden de ∂cI se define extendiendo el orden de I \{c} por mediode las condiciones siguientes.

Si t ∈ I \ {c} y {r, s, c} es discreto, escribimos t � r ∨ s siy solo si t � r o t � s.

Escribimos r ∨ s � t si vale simultaneamente que r � t ys � t.

Finalmente, si {r′, s′, c} es discreto, escribimos r∨s � r′∨s′

si cada elemento de {r, s} es � que alguno de los elementos r′

o s′.

Ejemplo 7. Sea I un poset discreto de tres elementos {a, b, c}.Tenemos, sucesivamente:

I1 = ∂cI = {a, b, a ∨ b}, I2 = ∂a∨bI1 = {a, b}, I3 = ∂bI2 = {a},

I4 = ∂aI3 = ∅.

39

Ejemplo 8. Sea I el poset

1 3 6↑ ↑2 5

↑4

1 es un punto maximal y las ternas discretas que lo con-tienen son las siguientes.

136 135 134 126 125 124.

Entonces, derivando con respecto a 1 tenemos el siguiente poset.

6 → 2 ∨ 6 → 3 ∨ 6↑ ↑ ↑5 → 2 ∨ 5 → 3 ∨ 5↑ ↑ ↑4 → 2 ∨ 4 → 3 ∨ 4

↑ ↑2 → 3

.

El teorema principal con relacion a este algoritmo (que pro-baremos siguiendo a Gabriel en [?]), afirma, entre otras cosas,que el numero de indescomponibles de I− sp es igual al numerode indescomponibles de ∂cI mas el numero de elementos de∂cI\c5 mas 1. Por lo tanto, resulta que para que I tenga tipo derepresentacion finito es necesario y suficiente que la aplicacionreiterada del algoritmo termine en el conjunto vacıo.

Vale la pena observar tambien que el poset derivado de-pende mucho del elemento maximal elegido. Por ejemplo, en

40

el caso de I del ejemplo anterior, si derivamos con relacion alpunto maximal 6, tenemos el poset siguiente.

1 ∨ 3↑ 3 5

1 ∨ 2 ↑ ↑|

1 2 4

Derivando ahora con relacion a 1∨ 3 tenemos el poset siguiente

1 ∨ 2 3 5↑ ↑

1 2 4

y, despues, los siguientes posets previa derivacion con respecto,sucesivamente, a 1∨2, 3∨5, 3∨4, 5∨1, 5, 3∨1, 2∨1, 3∨4, 3, 4∨1llegando a un poset discreto de 3 elementos que es de tipo finito.

3 ∨ 5↑

3 ∨ 43 5↑ ↑

1 2 4

3 ∨ 4

3 5↑ ↑

1 2 4

41

5 ∨ 1

3 5↑ ↑2 4 1

3 5↑ ↑2 4 1

3 ∨ 1↑

32 ∨ 1

↑2 1 4

3 2 ∨ 1↑2 1 4

3 ∨ 4↑ ↑2 4 1

3↑2 4 1

4 ∨ 1

2 4 1

2 4 1.

42

Obervacion 11. El teorema de Kleiner (ver [?]) afirma que unposet I es de tipo de representacion finito si y solo si no contieneningun subposet pleno crıtico, siendo que los posets crıticos deKleiner son los siguientes.

• K1 (1,1,1,1)

• K2 (2,2,2)

• K3 (1,3,3)

• K4 (1,2,5)

• K5 (N,4)

donde, con un numero, n, indicamos el poset de ancho 1 con n

elementos, y con N, el poset· ·↑ ↑· ·

.

Es interesante observar que al agregar un vertice a los primeroscuatro, obtenemos respectivamente, aljabas cuyos grafos son losdiagramas de Dynkin D4, E6, E7 y E8.

El algoritmo de Nazarova-Roiter permite probar facilmen-te que los cinco posets crıticos de Kleiner tienen tipo de rep-resentacion infinito. Por ejemplo, derivando K2 tres veces esposible obtener como resultado el K1, que ya sabemos que es detipo de representacion infinito. Ver (4.4).

Obervacion 12. El algoritmo de derivacion de Nazarova y Ro-iter, con respecto a un elemento maximal, se extiende natural-mente al caso de un elemento mimimal, c, tal que w(I \c4) ≤ 2.El conjunto derivado se denota por c∂I y es formado por los el-ementos de I \ {c}) y por elementos nuevos denotados r ∧ s,

43

uno para cada par r, s tal que r, s, c sea discreto. El funtor dederivacion correspondiente es denotado por c∂. Es claro quetambien vale para este caso el analogo del teorema de Gabriel.

(4.2) I-espacios sp-inyectivos

En esta seccion, siguiendo a Gabriel, analizamos algunosotros aspectos de la categorıa de I-espacios.

Definicion 16.

• a) Un morfismo de I-espacios f : M → M′ se dice propiosi, para cada x ∈ I, f(Mx) = M ′

x ∩ f(M).

• b) Un monomorfismo propio de I-espacios, f : M → M′ sellama esencial si, para todo morfismo g, g es un monomor-fismo propio si y solo si gf es un monomorfismo propio.

• c) Un I-espacio, Q es sp-inyectivo si, para todo monomor-fismo propio f : M → M′ y para todo morfismo g : M →Q, existe un morfismo g′ : M′ → Q tal que g = g′f .

• d) Un morfismo de I-espacios u : M → Q es una sp-envolvente inyectiva si u es un monomorfismo propio esen-cial y si Q es sp-inyectivo.

Proposicion 3. Dado el poset I, los I-espacios sp-inyectivosindescomponibles son

• Q∗, la envolvente inyectiva de P∗.

• para cada x ∈ I el I-espacio Qx que tiene 0 en los lugaresde x5 y k en los vertices restantes.

44

Ademas, el I-espacio Q es sp-inyectivo si y solo si 5−(Q)es un kIo-modulo inyectivo. Y, finalmente, se tiene que todoI-espacio M tiene una sp-envolvente inyectiva.

Dem. Es inmediato comprobar que un monomorfismo f de I-espacios es propio si y solo si5−f es un monomorfismo. De aquıresultan de inmediato las dos ultimas afirmaciones. Entonces,las dos primeras se obtienen simplemente calculando la imagenpor 5+ de los kIo-modulos inyectivos indescomponibles. �

Proposicion 4. Sea I un poset de ancho menor o igual que2. Entonces, las representaciones indescomponibles de I queno son simples propias se corresponden biyectivamente con losI-espacios proyectivos indescomponibles, Px, x ∈ I, mas la en-volvente inyectiva de P∗, Q∗, o, equivalentemente, con los I-espacios sp-inyectivos indescomponibles, Qx, x ∈ I ∪ {∗} y lassumas Qr + Qs, obtenidas considerando Qr, Qs contenidos enQ∗, que corresponden a cada subposet discreto {r, s}.

Dem. Recordemos que las representaciones indescomponiblesque no son simples propias son: las simples, las de dimension2 y las de dimension 3 definidas por cada subposet discreto deancho 2. Las afirmaciones resultan facilmente si calculamos lasimagenes de esas representaciones por el funtor de reduccion H.

45

(4.3) El teorema de derivacion de Gabriel

En esta seccion demostraremos un teorema de Gabriel queesencialmente consiste en la legitimacion del algoritmo de Na-zarova y Roiter.

Usaremos las notaciones siguientes.

I es un poset con n elementos

Ic = I \ c5

c es un elemento maximal de I tal que w(Ic ≤ 2)

I ′c = ∂cI

Jc = I ′c \ c5

(I − sp)c es la subcategorıa plena de los I-espacios que notienen ningun sumando directo indescomponible M con Mc = 0.

Definicion 17. ∂c : I − sp → I ′c − sp es el funtor que, a cadaI-espacio M, asocia el I ′c-espacio (Mc, (Mc ∩Mx)x, (Mc ∩ (Mr +Ms)r∨s), y a cada morfismo de I-espacios, f , la restriccion de f

al subespacio asociado al elemento c.

Para facilitar la exposicion de la demostracion del teoremade Gabriel, definimos tambien, de manera completamente analogael funtor siguiente.

Definicion 18. ∂c : I − sp → I ′c − sp es el funtor que, a cadaI-espacio M, asocia el I ′c-espacio M, (Mx)x, (Mr +Ms)r∨s), y esla identidad en los morfismos.

.

Teorema 3. (Gabriel)Con las hipotesis y notaciones que preceden, tenemos.

46

• a) ∂c es denso y pleno

• b) La restriccion de ∂c a (I − sp)c refleja isomorfismos.

• c) | (ind(I − sp)) |=| (ind(I ′c − sp)) | + | I ′c \ c5 | +1.

Dem. Observamos inicialmente que si se restringe el funtor ∂c aIc−sp resulta un funtor de esa categorıa en Jc−sp. Denotaremos

esa restriccion porˆ∂c.

Afirmacion 1. El funtorˆ∂c define una equivalencia entre Ic−sp

y la categorıa de los Jc-espacios sp-inyectivos.

Es claro que el funtor es fiel y pleno. Para completar la de-mostracion nos apoyamos en que, por la hipotesis, w(Ic) ≤ 2, demodo que los Ic-espacios indescomponibles son los sp-inyectivosy las sumas de los pares correspondientes a subposets discretosde ancho 2. Por otro lado, los Jc-espacios sp-inyectivos inde-scomponibles estan enumerados por los elementos de Jc juntocon el inyectivo de dimension maxima. En otras palabras, ambascategorıas tienen el mismo numero de objetos indescomponiblesy, por lo tanto, es suficiente comprobar que la imagen por elfuntor de cada indescomponible de Ic− sp es un sp-inyectivo deJc − sp.

Consideremos inicialmente un indescomponible proyectivoPx, x ∈ Ic. El modulo Px tiene el espacio k en todo vertice Y

tal que x � y, y el espacio 0 en los demas vertices. Su imagenpor el funtor depende de como es el poset Ic \ x4. Si este posettiene un maximo, s, entonces, como resulta directamente de las

definiciones,ˆ∂c(Px) = Qs . En cambio, si Ic \ x4 tiene dos

elementos maximales r y s, entonces resulta que la imagen esQr∨s.

47

Supongamos ahora que el indescomponible es de la formaPr +Ps, donde {r, s} es un subposet discreto de Ic. Este espaciotiene un k en todo lugar que siga a r o a s. Su imagen por elfuntor depende del poset Ic \ (r4 ∪ s4). Si este poset tiene un

maximo, s′, se tiene queˆ∂c(Pr + Ps) = Qs′. Si, en cambio, el

poset tiene dos elementos maximales r′ y s′, entonces la imagenresulta ser Qr∨s′.

Finalmente, es claro que la imagen de P∗ es precisamenteQ∗. �

Denotemos por |c la restriccion de la la categorıa de I ′c-espacios a la categorıa de Jc-espacios, es decir, si V es un I ′c-espacio, V|c es la familia de los mismos espacios vectoriales perodefinida solamente para los elementos de Jc.

Lema 7. Sea V un I-espacio de (I − sp)c. Entonces,

∂cV |c↪→ ∂cV |c

es la sp-envolvente inyectiva de ∂cV |c.

Dem. Es claro, por la hipotesis, que ∂cV |c es un Jc-espacio, entanto que ∂cV |c es un Jc-espacio sp-inyectivo y, de las defini-ciones de los funtores, resulta que la inclusion indicada es unmonomorfismo propio. Tenemos entonces que ∂cV |c= W⊕W′,donde W es la sp-envolvente inyectiva. Como consecuencia,V = W ⊕W ′ y Vc ⊂ W ′.

Introducimos los I-espacios U y U′ mediante las defini-ciones siguientes.

48

U = W Ux = Vx ∀x ∈ c5

Uz = Wz ∀z ∈ Ic

U ′ = W ′ U ′x = 0 ∀x ∈ c5

U ′y = W ′

y ∀z ∈ Ic

.

Tenemos entonces que V = U ⊕ U′ pero, como V estaba en(I − sp)c, resulta U′ = 0 y W′ = 0. �

Para probar que el funtor de derivacion es denso, definimosuna seccion suya, que denotamos por ∂−c . Dado un I ′c-espacio,W, sea U una sp-envolvente inyectiva de W |c. Entonces, us-ando nuestras notaciones usuales, definimos W− por las condi-ciones siguientes.

W− = U

W−x = Wx ∀x ∈ c5

W−z = Uz ∀z ∈ Ic

.

Por su definicion, U es de la formaˆ∂cU

′ y entonces resultafacilmente que ∂cW

− ∼= W. Recordar que, por definicion desp-envolvente inyectiva, la inclusion de W en U es un mono-morfismo propio.

Mostremos ahora que el funtor de derivacion, ∂c es pleno.Como el se anula en los indescomponibles que tienen asociado a c

el espacio 0, podemos suponer que tenemos dado un morfismo f

de ∂cV en ∂cV′, con V y V′ en (I−sp)c. Usando la propiedad de

las sp-envolventes inyectivas, tenemos el diagrama conmutativosiguiente.

49

∂cVc ↪→ ∂cV |c↓ f ↓ g

∂cV′ |c ↪→ ∂cV

′ |cque nos lleva al siguiente diagrama conmutativo.

Vc ↪→ V

↓ f ↓ g

V ′c ↪→ V ′

de donde deducimos facilmente que ∂cg = f . Ahora, es claroque, si f era un isomorfismo, entonces necesariamente su re-striccion a Jc-espacios es un isomorfismo y, por lo tanto, g resultaser un isomorfismo. Esto prueba el item b) del teorema.

Finalmente, es claro que el funtor de derivacion anula ex-actamente los indescomponibles V que tienen Vc = 0, que sonexactamente los Ic-espacios indescomponibles. Como sabemos,el numero de estos es exactamente el numero de elementos deI ′c \ c5 mas 1.

Esto termina la demostracion del Teorema 3.

(4.4) Aplicacion: los posets crıticos de Kleiner tienentipo de representacion infinito.

Recordemos que los posets crıticos de Kleiner son los de lasformas (1, 1, 1, 1), (2, 2, 2), (1, 3, 3), (N, 4) y (1, 2, 5).

Ya vimos que (1, 1, 1, 1) tiene tipo de representacion infinitoy es interesante comprobar que el algoritmo de Nazarova y Roi-ter llevarıa, en este caso, a que (1, 1, 1, 1) tiene tipo de rep-

50

resentacion finito. El hecho es que el algoritmo no puede seraplicado porque no se verifica la hipotesis de que w(I \ c5) ≤ 2.

El algoritmo de Nazarova y Roiter puede ser aplicado a losotros cuatro conjuntos crıticos de Kleiner, porque todos ellostienen ancho 3.

Derivando (2, 2, 2) con relacion a un elemento maximal, seobtiene un poset que contiene un subposet pleno de la forma(1, 1, 1, 1).

Derivando (1, 3, 3) con relacion al elemento maximo de unade las cadenas de longitud 3 se tiene un poset con un subposetpleno de tip[o (2, 2, 2).

Derivando (N, 4) con relacion al maximo de la cadena delongitud 4 se tiene un poset que contiene un subposet pleno detipo (1, 1, 1, 1).

Derivando (1, 2, 5) con relacion al maximo de la cadena delongitud 5 se obtiene un poset que contiene un subposet plenode la forma (N, 4). �

(4.5) La derivacion de Zavadski con relacion a un parconveniente.

Obervacion 13. En lo que sigue nos basamos en la exposicionde Simson ([?]). Sin embargo, para simplificar, realizamos variasalteraciones en las definiciones y en los argumentos pues esta-mos interesados solamente en la demostracion del teorema deKleiner. El algoritmo de derivacion que presentamos a contin-uacion fue introducido en el artıculo [?]. Vease tambien [?]

51

Notacion. En lo que sigue denotaremos por Iab el poset sigu-

iente.Iab = I \ a4 \ b5.

Definicion 19. Diremos que, dados a, b ∈ I, (a, b) es un parconveniente en I si las condiciones siguientes son verificadas.

1. a 6� b

2. | Iab |≤ 1

3. Si c ∈ Iab , entonces {a, c} y {b, c} son discretos.

Definicion 20. Sea (a, b) un par conveniente en I. Se defineel poset derivado de I en (a, b), ∂(a,b)I =: I ′(a,b) de la manerasiguiente.

El conjunto es

∂(a,b)I = {b5 ∪ a4 ∪ C}

donde o C = ∅, si Iab = ∅, o C = {c−, c+}, si Ia

b = {c}.Y el orden es definido por las condiciones siguientes donde

usamos subındices I, I ′ para individualizar, cuando nos parezcaconveniente, el � de I o el � de I ′. Ademas, se estipula que si,entre elementos diferentes x, y, existen las dos relaciones x � y

y y � x, entonces ellos deben ser idenficados en el conjuntoderivado.

Si Iab = ∅, x �I ′ y ⇔ x �I y, o x = a, y = b.

Si Iab = {c},

52

a � b

a � c+

c− � b

c+ � t (t ∈ a4, c �I t)s � c− (s ∈ b5, s �I c)

.

En particular, si b �I a, debemos tener a = b en I ′(a,b)

.

Esta nueva operacion de derivacion es acompanada tambiencon un algoritmo para asociar I ′(a,b)-espacios a I-espacios dados.Una diferencia importante con relacion al caso ya consideradode derivacion con relacion a un elemento maximal es que nuestranueva aplicacion no es un funtor: solo esta definida en los objetosde la categorıa.

Definicion 21. Sea (a, b) un par conveniente en I. Definimos

∂(a,b) : I − sp → I ′(a,b) − sp

de la manera siguiente. Dado el I-espacio V, elegimos inicial-mente un espacio suplementar, U , de Vb en Va + Vb: Va + Vb =U⊕Vb y definimos ∂(a,b)(V) = W por las condiciones siguientes.

W = V/U

Wc− = ((Vb ∩ Vc) + U)/UWc+ = (Va + Vc)/UWt = (Vt + U)/U (t ∈ a4 ∪ b5)

.

Observemos que W es realmente un I ′(a,b)-espacio y que, enel caso de que sea b �I a, se tendra Wa = Wb, como debe ser deacuerdo con la identificacion a = b.

53

Notacion. En lo que sigue, si no hay posibilidad de confu-siones, simplificaremos la notacion escribiendo ∂ en vez de ∂(a,b).

Teorema Fundamental Supongamos que (a, b) es un par con-veniente en I. Entonces valen las proposiciones siguientes.

1. ∂(V ⊕V′) = ∂V ⊕ ∂V′

2. Si V es un I-espacio indescomponible, entonces

∂V = 0 ⇔

V ∼= Pa

o en (kI∗ −mod)sp

V ∼= Pa + Pc

3. Si V es un I-espacio indescomponible con ∂V 6= 0, en-tonces ∂V es un I ′(a,b)-espacio indescomponible y ∂ defineuna biyeccion entre estas dos familias de espacios indescom-ponibles.

4. | ind(I − sp) |=| ind(I ′(a,b) − sp) | + | Iab | +1

Es facil ver que

References

[D-R] V. Dlab & C. M. Ringel, On algebras of finite repre-sentation type, J. Algebra 33 (1975) 306-394.

[Ga] P. Gabriel, Representations indecomposables des en-sembles ordonnes, Sem. Dubreil (Algebre) 1972/73,13/01-13/04.

[K] M. Kleiner - Partially ordered sets of finite type, Zap.Nauchn. Sem. Leningrad Otdel. Mat. Inst. Steklov.(LOMI) 28 (1972) 32-41.

54

[N-R] L. A. Nazarova & A. V. Roiter, Representations of par-tially ordered sets, Zap. Nauchn. Sem. Leningr. Otdel.Mat. Inst. Steklov (LOMI) 28 (1972) 5-31.

[S] D. Simson, Linear representations of partially orderedsets and vector space categories, Gordon and Breach(1992) xv+499pp.

[Z] Zavadski

[Z-K] Zavadski & Kirichenko

55