1

1. Paraqitja e sistemeve te numerimit

Sistemi numerik pozicional me i perdorshem eshte sistemi me baze 10.

Ky sistem perdor 10 simbole te ndryshme, te quajtura shifra, te cilat jane:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Çdo numer paraqitet nga nje sekuence qe perbehet nga keto shifra.

Ndersa sekuencat 105, 24, 2146 paraqesin numra ne sistemin dhjetor,

sekuencat 26A, 4?e nuk paraqesin asnje numer ne kete sistem.

Termi pozicional tregon se vlera qe i bashkangjitet cdo shifre varet nga

pozicioni i saj ne sekuence. Ne numrin 129, numri 9 eshte 9 njesi (9*1),

numri 2 eshte 20 njesi (2*10) kurse numri 1 eshte 100 njesi (1*100); pra

ky numer ne varesi te pozicionit te shifrave mund te paraqitet:

129=1*100+2*10+9*1=100+20+9

Cdo shifre i bashkangjitet nje vlere qe, pervec pozicionit, varet nga baza

e sistemit qe perdoret. Njelloj si ne rastn e mesiperm, ne sistemin dhjetor

numri 21073 paraqitet

21073=2*104 + 1*10

3 + 0*10

2 + 7*10

1 + 3*10

0

Numrat mund te paraqiten dhe ne sisteme te tjere numerimi, p.sh.

sistemi me baze 3 perdor shifrat: 0, 1 dhe 2.

Pergjithesisht nese B eshte baza e numerimit, sistemi pozicional do te

perdore B shifra me vlere: 0, 1, 2,…, B-2, B-1.

Makinat perdorin sistemin e numerimit me baze 2, te quajtur binar, pra

B=2 dhe shifrat qe perdoren jane 0 dhe 1. Dy baza te tjera qe perdoren

gjeresisht jane baza 8 (oktale) qe perdor shifrat 0,1,2,3,4,5,6,7 dhe baza

16 (hekzadecimale) qe perdor shifrat 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F ku

vlera e simboleve A deri ne F eshte nga 10 deri ne 15.

Pergjithesisht numri ne bazen B jepet si sekuence prej n shifrash dn-1dn-

2…d1do, ku vlera korresponduese eshte: 0BdBd...BdBdV 0

1

1

2n

2n

1n

1n +++∗+∗=−

−

−

−

Konvertimi nga baza dhjetore ne bazen binare ose cfaredo baze tjeter

behet duke pjestuar numrin dhjetor me bazen ne te cilen do te

konvertohet, ku do te merren parasysh heresi dhe mbetja: mbetja paraqet

shifren me me pak peshe ne sistemin qe do te konvertohet kurse heresi do

te vazhdoje te pjestohet me bazen deri sa rezultati te jete zero dhe

sekuenca e mbetjeve e renditur nga fundi do te jape rezultatin.

2

Ushtrimi 1. Jepen numrat binare 1001101, 1111010 dhe 11001011.

Te konvertohen ne sistemin dhjetor, oktal dhe hekzadecimal.

Per te bere konvertimin ne sistemin dhjetor duhet patur parasysh se cdo

numer binar ka nje peshe, e cila varet nga pozicioni i shifres ne numer.

10

01234567

2

10

0123456

2

10

0123456

2

203212120212020212111001011

122202120212121211111010

77212021212020211001101

=+++++++=

=++++++=

=++++++=

********

*******

*******

Per te bere konvertimin e numrit nga baza binare ne bazen oktale duhet

patur parasysh qe numri 8 eshte 23, keshtu qe cdo shifer oktale mund te

paraqitet nga 3 shifra binare. Bejme grupimin e biteve 3 e nga 3 duke

nisur nga e djathta dhe nese grupi i fundit nuk del me 3 shifra atehere

shtojme 0 para tij, e cila nuk ndikon ne rezultat, per te formuar grupin

prej tre bitesh.

5 1 1

101 001 001 → 10011012=1158

2 7 1

010 111 001 → 11110102=1728

3 1 3

011 001 011 → 110010112=3138

Per te bere konvertimin e numrit nga baza binare ne bazen

hekzadecimale veprohet njelloj si per konvertimin ne bazen oktale, por

ne kete rast 16=24 keshtu qe do te behet grupimi i biteve me nga 4 dhe

nese konfigurimi i tyre del nje numer nga 10 deri ne 15 atehere do te

perdoret nje nga simbolet A deri ne F.

D 4

1101 0100 → 10011012=4D16

A 7

1010 0111 → 11110102=7A16

B C

1011 1100 → 110010112=CB16

3

Ushtrimi 2. Te konvertohet ne sistemin dhjetor numri binar 11111112

Per te zgjidhur kete ushtrim mund te perdoret metoda e drejtperdrejte

duke shprehur numrin si shume produktesh te seciles shifer me peshen e

vet

10

0123456

2 127212121212121211111111 =++++++= *******

ose duhet te kemi parasysh qe numri 11111112 eshte pararendesi i

numrit 100000002, i cili rezulton:

10

7

22

7

2 1271128121100000001111111 qekeshtu 210000000 =−=−=−==

Ushtrimi 3. Jepen 273 numra.

Te gjendet numri minimal i shifrave qe nevojiten per t’i paraqitur ata ne:

a. bazen 2 b. bazen 3 c. bazen 4

Kombinimet e mundshme te n shifrave ne bazen B jane Bn, prandaj do

te kemi parasysh formulen: 273≥n

B , e cila do te zbatohet ne te tre

rastet dhe per gjetjen e n do e logaritmojme te dy anet e mosbarazimit.

Numri n duhet te jete numer i plote prandaj nga rezultati marrim numrin

me te vogel te plote qe eshte me i madh se rezultati

Ne bazen 2 Ne bazen 3 Ne bazen 4

Ushtrimi 4. Sa shifra jane te nevojshme per te paraqitur ne bazen binare

numrat nga 0 deri ne 256.

Numri i shifrave binare duhet te jete i tille qe te mund te paraqese 257

numrat qe perfshihen ne intervalin (0, 256). Duke vepruar si ne

shembullin e mesiperm kemi:

9

0068257

2572

=

=

≥

n

n

n

.log

9

0938

273

2732

2

=

≥

≥

≥

n

n

n

n

.

log

6

106.5

273log

2733

3

=

≥

≥

≥

n

n

n

n

5

046.4

273log

2734

4

=

≥

≥

≥

n

n

n

n

4

Ushtrimi 5. Sa eshte intervali i paraqitjes se numrave te plote me 9

shifra binare? Po me 10?

Me n shifra binare mund te paraqiten numrat nga 0 deri ne 2n-1. per n

shifra formohen 2n kombinacione te cilat do te perdoren per numrat duke

filluar nga 0 deri ne 2n-1.

Me 9 shifra mund te paraqitet intervali nga 0 deri ne 129− ;

0-511

Me 10 shifra mund te paraqitet intervali nga 0 deri ne 1210− ;

0-1023

Nr shifrave Intervali

7 0-127

8 0-255

9 0-511

10 0-1023

Ushtrimi 6. Te konvertohen nga sistemi dhjetor ne sistemin binar

numrat 85, 173 dhe 280

Per te konvertuar nje numer nga baza dhjetore ne bazen binare behet

pjestimi me dy derisa heresi te behet 0. Mbetjet e pjestimeve qe kryhen

jane shifrat ne sistemin binar, te cilat duke u renditur nga mbetja e fundit

japin numrin ne sistemin binar.

Numrat e konvertuar jane:

8510=10101012 ; 17310=101011012 28010=1000110002

1 21

0 22

1 25

0 210

1 221

0 242

1 285

Mbetja

→÷

→÷

→÷

→÷

→÷

→÷

→÷

Heresi

1 21

0 22

1 25

0 210

1 221

1 243

0 286

1 2173

Mbetja

→÷

→÷

→÷

→÷

→÷

→÷

→÷

→÷

Heresi

1 21

0 22

0 24

0 28

1 217

1 235

0 270

0 2140

0 2280

Mbetja

→÷

→÷

→÷

→÷

→÷

→÷

→÷

→÷

→÷

Heresi

5

Ushtrimi 7. Te konvertohet numri 2145 ne sistemin binar.

Per te bere kete konvertim fillimisht kthejme numrin ne sistemin dhjetor

dhe me pas gjejme numrin binar korrespondues.

10

012 59545152214 =++= ***

Si perfundim kemi: 2145=5910=1110112

Ushtrimi 8. Te konvertohen numrat 10716, A516, 658 dhe 2578 ne

sistemin binar.

Per te bere keto konvertime mund t’i kthejme ato ne sistemin dhjetor

dhe me pas te bejme kthimin ne sistemin binar. Mund te vihet re se

numrat 8 dhe 16 jane fuqia e 3-te dhe e 4-t e numrit 2, prandaj cdo numri

ne bazen 8 i korrespondon nje grup prej 3 shifrash binare, kurse cdo

numri ne bazen 16 i korrespondon nje grup prej 4 shifrash binare.

Per konvertimin e numrit 10716

pra 10716=0001 0000 0111=1000001112

Per konvertimin e numrit A516

pra A516=1010 0101=101001012

Per konvertimin e numrit 658

pra 658=110 101=1101012

Per konvertimin e numrit 2578

pra 2578=010 101 111=101011112

1 21 1 23 1 27

0 214 1 229 1259

→÷→÷→÷

→÷→÷→÷

216

216

216

01117

00000

00011

=

=

=

216

216

01015

1010

=

=A

28

28

1015

1106

=

=

28

28

28

1117

1015

0102

=

=

=

6

Ushtrimi 9. Te konvertohet numri 9410 ne:

a. bazen 2 b. bazen 3 c. bazen 5 d. bazen 8 e. bazen16

Per te konvertuar numrin nga baza 10 ne nje baze cfaredo, do te behet

pjestimi i numrit ne bazen 10 me bazen ne te cilen do te konvertohet.

Mbetja do te jete shifra me me pak peshe ne sistemin e ri kurse heresi do

te vazhdoje te pjestohet perseri me bazen ne te cilen do te konvertohet

numri derisa te rezultoje 0.

Rasti 1 konvertojme 9410 ne bazen 2

9410=10111102

Rasti 2 konvertojme 9410 ne bazen 3

9410=101113

Rasti 3 konvertojme 9410 ne bazen 5

9410=3345

Rasti 4 konvertojme 9410 ne bazen 8

9410=1368

Rasti 5 konvertojme 9410 ne bazen 16

9410=5E16

121 022 125

1211 1223 1247

0294

→÷→÷→÷

→÷→÷→÷

→÷

131 033

1310 1331 1394

→÷→÷

→÷→÷→÷

353

3518

4594

→÷

→÷

→÷

181

3811

6894

→÷

→÷

→÷

5165

1694

→÷

→÷ E

7

Ushtrimi 10. Te konvertohet numri 210112 nga baza 3 ne bazen 10 dhe

ne bazen 9.

Per konvertimin ne bazen 10 i shoqerojme cdo numri peshen e vet, qe

varet nga pozicioni dhe nga baza, e cila ne kete rast eshte 3.

10

012345

3 581323131303132210112 =+++++∗= *****

Per te kthyer numrin ne bazen 9 duhet patur parasysh qe numri 9 eshte

fuqia e dyte e numrit 3, prandaj bejme grupimin e shifrave dy e nga dy.

5 1 7

12 01 21

pra 2101123=58110=7159

8

2. Aritmetika e numrave binare

Ketu trajtohen operacionet aritmetike te numrave binare pa shenje

Shuma

Shuma e numrave binare kryhet njelloj sipas rregullave te sistemit

dhjetor duke patur parasysh qe:

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=0 (me mbartje 1)

Diferenca

Dhe diferenca e tyre kryhet njelloj sipas rregullave te sistemit dhjetor

duke patur parasysh qe:

0-0=0

1-0=1

1-1=0

0-1=1 (me huazim 1)

Shumezimi

Dhe shumezimi kryhet sipas rregullave te sistemit dhjetor ku:

0�0=0

0�1=0

1�0=0

1�1=1

Zhvendosja

Operacioni i zhvendosjes, i quajtur ndryshe shift, perdoret shpesh ne

aritmetiken binare. Ky operacion konsiston ne spostimin e cdo shifre te

operandit me nje pozicion nga e majta ose nga e djathta.

9

Ushtrimi 11. Te kryhen shumat e meposhtme

1101+1110, 1011+11, 1001+1100

1101+1110

1011+11

1001+1100

Ushtrimi 12. Te kryhen diferencat e meposhtme.

1011-10, 111010-1011, 110110-101101

1011-10

111010-1011

110110-101101

1110

11

1011

+

14

3

11

+

11011

1110

1101

+

27

14

13

+

10101

1100

1001

+

21

12

9

+

1001

10

1011

−

9

2

11

−

101111

1011

111010

−

47

11

58

−

001001

101101

110110

−

9

45

54

−

10

Ushtrimi 13. Te kryhen shumezimet e meposhtme

111110011 11,1010 ,10111010 ×××

11010�������� 101

130

5

26

×

1010 ���� 11

30

3

10

×

10011 ��������1111

285

15

19

×

10000010

11010

00000

11010

101

11010

×

11110

1010

1010

11

1010

×

100011101

10011

10011

10011

10011

11 11

10011

×

11

Ushtrimi 14. Te kryhet zhvendosja e numrit 10011 nga e majta dhe nga

e djathta me 1, 2 dhe 3 pozicione.

Zhvendosja nga e majta

Me nje pozicion 100110

Me dy pozicione 1001100

Me tre pozicione 10011000

Zhvendosja nga e djathta

Me nje pozicion 1001

Me dy pozicione 100

Me tre pozicione 10

Ushtrimi 15. Te kryhet shumezimi i meposhtem me dy menyra.

110101�101

Menyra e pare eshte menyra e zakonshme

Nje menyre tjeter eshte duke perdorur operacionin e zhvendosjes.

Shumezimi nuk eshte fuqi e bazes prandaj nuk mund te merret direkt

rezultati. Shumezuesi eshte 5 dhe keshtu shumezimi mund te ndahet ne

dy operacione: nje shumezim me 4 dhe nje shume me shumezuesin

Shumezimi me 4 do te thote zhvendosje nga e majta me dy pozicione ne

bazen 2 dhe marrim 11010100.

Me pas mbledhim shumezuesin

100001001

110101

000000

110101

101

110101

×

265

5

53

×

100001001

110101

11010100

+

12

Ushtrimi 16. Sa bite jane te nevojshem per paraqitjen e prodhimit te dy

numrave me n bite.

Numri maksimal qe mund te shprehet nga prodhimi i dy numrave me n

bit do te jepet nga prodhimi i numrit me te madh me vetveten. Ky numer

eshte .12 −n

Numri maksimal i shprehur eshte:

12221212 2+−−=−×−

nnnnn )()(

Me perafersi rezulton

nnn 221212 ≈−×− )()(

Pra per te shprehur prodhimin me n bite jane te nevojshem 2n bite.

13

3. Paraqitja e numrave me shenje

Per paraqitjen e numrave negative ne sistemin dhjetor perdorim shenjen

”-” perpara modulit te tyre. Duhet patur parasysh se ne makina perdoret

sistemi binar i numerimit dhe te gjitha te dhenat paraqiten nepermjet

simboleve 0 dhe 1. Nese informacioni qe do te paraqitet eshte nje numer

negativ ai do te paraqitet nepermjet 0 dhe 1. Mund te kryhen kodime te

ndryshme te numrave negative, por do te marrim ne konsiderate 2 prej

tyre.

• Paraqitja ne modul dhe shenje

• Paraqitja ne komplementin me dy

Paraqitja ne komplementin me dy eshte me e rendesishme.

Ne paraqitjen ne modul dhe shenje moduli paraqitet ne bazen binare

njelloj si per numrat absolute, kurse shenja paraqitet nga biti me me

peshe, biti qe ndodhet me ne te majte, ku shenja pozitive perdor numrin 0

kurse shenja negative perdor numrin 1.

Numri 1101 paraqet numrin negativ me modul 101, pra -510; numri

0101 paraqet numrin pozitiv me modul 101, pra +510.

Per numrin 0 ka dy paraqitje te mundshme; mund te perdoret 0000 ose

1000 megjithese e para eshte me e perdorshmja.

Paraqitja ne komplementin me dy parashikon qe kodimi i numrave

negative te kryhet nepermjet llogaritjes se numrit te kundert nga

korresponduesi i tij pozitiv, i cili paraqitet me bitin me me peshe te

barabarte me 0.

Per te kryer komplementin e numrit:

� Kryhet invertimi i biteve ku 0 zevendesohet me 1 dhe 1 zevendesohet me 0.

� Rezultatit qe del i shtohet numri 1.

Nese marrim paraqitjen e numrit -5 ne komplementin me dy; numri

pozitiv paraqitet nga sekuenca 0101

Invertimi i biteve formon sekuencen 1010 dhe duke i mbledhur 1 do te

marrim 1011

-510=1011

14

Ushtrimi 17. Te paraqiten ne komplementin me dy me gjashte shifra

binare numrat:

+15, 1, +10, -10, -5, -21, +34, -52, 0

Numrat pozitive ne komplementin me dy me 6 bite paraqiten si numri

absolut me 5 bite, i cili paraprihet nga nje bit me vlere 0. Numrat

negative bitin e pare e kane 1, prandaj per te gjetur keta numra nisemi

nga numri pozitiv korrespondues (i cili ka te njejtin modul me numrin e

kerkuar), invertojme bitet dhe ketij numri i shtojme vleren 1.

Numri +15

210 111115 = , paraqitja e numrit + 15 eshte: 0011111510 =+

Numri –1

nisemi nga numri pozitiv 210 0000011 = dhe invertimi i biteve formon

numrin 111110

paraqitja e numrit jepet: 111110+1=111111

paraqitja e numrit –1 eshte: 111111110 =−

Numri +10

210 101010 = , paraqitja e numrit +10 eshte: 0010101010 =+

Numri -10

gjetem numrin pozitiv dhe invertimi i biteve formon numrin 110101

paraqitja e numrit jepet: 110101+1=110110

paraqitja e numrit –10 eshte: 1101101010 =−

Numri –5

numri pozitiv 210 0001015 =

invertimi formon numrin 111010 dhe paraqitja jepet: 111010+1=111011

paraqitja e numrit –5 eshte: 110110510 =−

Numri –21

numri pozitiv 210 01010121 =

invertimi formon numrin 101010 dhe paraqitja jepet: 101010 + 1 =

101011

15

Numri +34

Numri 34 ne kodin binar paraqitet 3410=1000102. Ky numer nuk mund

te paraqitet ne komplementin me dy me gjashte shifra sepse vete moduli i

tij shprehet me 6 shifra, nderkohe qe duhet te shprehej me 5 shifra.

Numri –52

Gjithashtu dhe numri –52 nuk mund te shprehet ne komplementin me

dy sepse numri korrespondues pozitiv duhet te shprehet me 5 shifra

Numri 0

Ky numer, ne komplementin me dy, shprehet njelloj si ne sistemin binar

Paraqitja e numrit 0 eshte: 000000010 =

Ushtrimi 18. Te paraqiten ne modul dhe shenje me gjashte shifra

binare numrat:

+15, 1, +10, -10, -5, -21, +34, -52, 0

Paraqitja ne modul dhe shenje me 6 bite e nje numri pozitiv jepet nga

kodi i numrit me 5 shifra binare i paraprire nga nje bit me vleren 0, kurse

numri negativ jepet nga kodi i numrit pozitiv me 5 shifra binare i

paraprire nga nje bit me vleren 1.

Numri +15 0011111510 =+

Numri –1 210 000011 = , 000001110 =−

Numri +10 dhe –10 210 0101010 = ,

10101010

00101010

10

10

=−

=+

Numri –5

1001015

001015

10

210

=−

=

Numri –21

11010121

1010121

10

10

=−

=

16

Numri +34 dhe –52

Keta numra nuk mund te paraqiten ne modul dhe shenje me gjashte

shifra binare sepse vete moduli i tyre kerkon 6 shifra per tu shprehur

nderkohe qe duhen maksimumi 5 bite per te shprehur modulin e tyre.

Numri 0

Ne modul dhe shenje ekzistojne dy paraqitje per numrin 0. ne fakt

numri 0 nuk ka shenje dhe mund te paraqitet me kodin binar me 5 shifra

dhe mund te paraprihet nga biti i shenjes qe mund te marre qofte vleren 0

qofte vleren 1.

1000000

0000000

10

10

=

=

Ushtrimi 19. Te gjendet vlera ne sistemin dhjetor e numrave te

paraqitur ne:

a. komplementin me dy b. modul dhe shenje

000001, 101101, 111111, 110000, 010101, 100010

Numri 000001

Ky numer eshte pozitiv dhe per te dyja paraqitjet, biti i pare eshte 0 dhe

numri eshte sa vlera ne kodin binar e numrit 00001.

101000001 +=

Numri 101101

Biti i pare eshte 1, gje qe tregon se behet fjale per nje numer negativ per

te dyja paraqitjet. Ne komplementin me dy moduli i numrit jepet nga

invertimi i biteve dhe numrit qe del si rezultat i shtohet 1.

102 19010011

0100111010010

=

=+

paraqitja e sekuences ne komplementin me dy: 1019101101 −=

ne modul dhe shenje kjo sekuence paraqitet nga biti i pare qe eshte biti i

shenjes dhe bitet e tjera qe paraqesin modulin ne kodin binar.

102 1301101 =

paraqitja e sekuences ne modul dhe shenje: 1013101101 −=

17

Numri 111111

Ne komplementin me dy invertojme bitet dhe mbledhim me 1

102 1000001

0000011000000

=

=+

paraqitja e sekuences ne komplementin me dy: 101111111 −=

Ne modul dhe shenje:

102 3111111 =

paraqitja e sekuences ne modul dhe shenje: 1031111111 −=

Numri 110000

Ne komplementin me dy:

102 16010000

0100001001111

=

=+

paraqitja e sekuences ne komplementin me dy: 1016110000 −=

ne modul dhe shenje:

102 1610000 =

paraqitja e sekuences ne modul dhe shenje: 1016110000 −=

Numri 010101

Ky numer eshte pozitiv dhe per te dyja paraqitjet, biti i pare eshte 0 dhe

numri eshte sa vlera ne kodin binar e numrit 10101.

1021010101 +=

Numri 100010

Ne komplementin me dy:

102 30011110

0111101011101

=

=+

paraqitja e sekuences ne komplementin me dy: 1030100010 −=

Ne modul dhe shenje:

102 200010 =

paraqitja e sekuences ne modul dhe shenje:

102100010 −=

18

Ushtrimi 20. Te paraqiten numrat e ushtrimit te mesiperm ne

komplementin me dy dhe ne modul dhe shenje me 8 bite

Per te dyja keto paraqitje duhet patur parasysh qe vlera e numrit duhet te

mbetet e pandryshuar si ne vleren absolute ashtu edhe ne shenje

Per numrat pozitive ne te dyja keto paraqitje mjafton qe te shtojme dy

bite me vlere 0 nga e majta e numrit. Ne kete menyre shenja e numrit nuk

ndryshon dhe vlera absolute e tij mbetet konstante.

Per numrat negative ne rastine komplementit me dy, meqenese shenja

duhet te mbetet e pandryshuar duhet te shtohen dy bite me vlere 1 nga e

majta e numrit dhe ne kete menyre vlera absolute e numrit nuk ndryshon.

Ne rastin e paraqitjes ne modul dhe shenje biti i pare duhet te mbetet 1

kurse vlera absolute, e cila ndjek bitin e shenjes duhet te paraprihet nga

dy bite me vlere 0. ne kete menyre unk ndryshon as vlera absolute e

numrit as shenja e tij.

Numri me 6 bite C2 me 8 bite MS me 8 bite

000001 00000001 00000001

101101 11101101 10001101

111111 11111111 10011111

110000 11110000 10010000

010101 00010101 00010101

100010 11100010 10000010

Ushtrimi 21. Per ciftet e meposhtme te numrave tregoni me te madhin

nese numrat paraqiten ne:

a. komplementin me dy b. modul dhe shenje

111010 101101

1111010 11010

101010 000101

a. Ne rastin kur numrat paraqiten ne komplementin me dy

Cifti i pare perbehet nga dy numra negative. Modulet e tyre jane:

0100111010010

0001101000101

=+

=+

19

Numri i dyte ka modulin me te madh. Meqenese kemi te bejme me dy

numra negative atehere i pari eshte me i madh se i dyti.

Cifti i dyte perbehet nga dy numra negative te shprehur perkatesisht me

7 dhe 5 bite. Para se te kryejme veprimin duhet t’i shprehim te dy numrat

me te njejtin numer bitesh.

11010=1111010 keshtu qe keta dy numra jane te barabarte.

Cifti i trete perbehet nga nje numer negativ dhe nje numer pozitiv

keshtu qe i dyti eshte me i madh.

111010 > 101101

1111010 = 11010

101010 < 000101

b. Ne rastin kur numrat paraqiten ne modul dhe shenje

Cifti i pare perbehet nga dy numra negative, prandaj shikojme modulet e

tyre, te cilet jane respektivisht 11010 dhe 01101. numri i pare ka

modulin me te madh keshtu qe ai eshte numri me i vogel.

Cifti i dyte perbehet nga dy numra me numer te ndryshem bitesh

prandaj i shprehim ata me 7 shifra binare. I dyti paraqitet

11010=1001010. modulet e numrave jane respektivisht 111010 dhe

001010. numri i pare ka modulin me te madh keshtu qe eshte me i vogli.

Cifti i trete perbehet nga nje numer negativ dhe nje numer pozitiv

keshtu qe i dyti eshte me i madh.

111010 < 101101

1111010 < 11010

101010 < 000101

20

4 Veprimet ne numrat me shenje

Paraqitja e numrave me shenje, ajo ne komplementin me dy dhe ajo ne

modul dhe shenje, perdorin algoritme te ndryshme per kryerjen e

operacioneve aritmetike.

Shuma e numrave ne komplementin me dy kryhet njelloj si per

shumat e numrave absolute. Algoritmi kryhet mbi te gjithe bitet e

numrave qe do te mblidhen duke perfshire dhe bitin e shenjes. Rezultati

eshte numri qe del dhe ne qofte se nga mbledhja do te gjenerohet nje bit

nga mbartja e numrave me me peshe ai nuk do te merret parasysh.

Shuma e numrave ne modul dhe shenje varet nga shenja dhe vlera

absolute e numrave qe do te mblidhen. Nese numrat kane te njejten

shenje atehere do te mblidhen modulet e tyre dhe biti i shenjes do te jete i

njejte me ate te numrave qe do te mblidhen. Nese numrat kane shenje te

kundert atehere do te kryhet diferenca e moduleve te tyre duke zbritur

nga me i madhi me te voglin dhe shenja do te jete si ajo e numrit me

modulin me te madh.

Diferenca e numrave ne komplementin me dy kthehet ne formen X-

Y=X+(-Y). Numrit te dyte i nderrohet ne fillim shenja dhe rezultati i

mblidhet numrit te pare. Gjithashtu mund te kryhet dhe diferenca e

drejtperdrejte e biteve njelloj si ne diferencen e numrave absolute.

Diferenca e numrave ne modul dhe shenje njelloj si dhe per shumen

do te varet nga moduli dhe shenja e numrave qe do te zbriten. Nese

shenja e numrave do te jete e kundert do te kryhet mbledhja e moduleve

te tyre kurse biti i shenjes do te jete njelloj si ai i numrit te pare. Nese

shenja e numrave do te jete e njejte do te kryhet diferenca e moduleve te

tyre, nga me i madhi do te zbresim me te voglin kurse biti i shenjes do te

varioje ne varesi te ketyre diferencave.

Prodhimi i numrave ne komplementin me dy kryhet ne kete menyre:

merren vlerat absolute te numrave te cilat do te shumezohen me njera-tjetren.

Shenja e rezultatit varet nga shenja e numrave qe shumezohen: nese jane me te

njejten shenje atehere shenja eshte pozitive dhe nese jane me shenje te kundert

shenja eshte negative. Ne rastin kur shenja eshte negative per rezultatin duhet te

konvertohen bitet dhe te behet mbledhja e ketij rezultati me 1.

Prodhimi i numrave ne modul dhe shenje kryhet duke bere prodhimin

e moduleve te numrave dhe nese shenja e prodhimit eshte pozitive biti i

shenjes vendoset 0, nese shena e tij eshte negative, biti i shenjes vendoset 1

21

Ushtrimi 22. Te kryhen shumat e meposhtme per numrat e paraqitur ne

komplementin me dy.

100101+010111, 001011+010010, 111010+101111

100101+010111

4

23

27

−

+

−

001011+010010

29

18

11

+

111010+101111

23

17

6

−

−

−

Ushtrimi 23. Te kryhen shumat e meposhtme per numrat e paraqitur ne

modul dhe shenje.

011010+101011, 001011+010010, 010101+111011

011010+101011

15

11

26

−

011010+101011=001111

001011+010010

29

18

11

+

001011+010010=011101

111100

010111

100101

+

011101

010010

001011

+

1010011

101111

111010

)(

+

01111

01011

11010

−

11101

10010

01011

+

22

010101+111011

6

27

21

−

−

010101+111011=100110

Ushtrimi 24. Te kryhen diferencat

111101-011010, 010111-001010, nese numrat shprehen:

a. ne komplementin me 2 b. ne modul dhe shenje

111101-011010

Ne komplementin me 2

100101+1=100110

29

26

3

−

−

−

Ne modul dhe shenje

55

26

29

−

−

−

Ne kete rast shkaktohet overflow

010111-001010

Ne komplementin me 2

110101+1=110110

13

10

23

−

Ne modul dhe shenje

00110

10101

11011

−

1000111

100110

111101

)(

110111

11010

11101

+

0011011

110110

010111

)(

+

23

13

10

23

−

Ushtrimi 25. Te kryhen shumezimet e meposhtme nese numrat shprehen

ne komplementin me 2

110101 ��0101, 011000����� 0110

110101 ��������0101

Kryejme shumezimin e moduleve te tyre. Meqenese numrat jane me

shenje te kundert rezultati do te kete shenje negative.

Moduli i numrit te pare eshte: 001010+1=001011

Numri i mesiperm eshte moduli i rezultatit dhe meqenese rezultati eshte

negativ atehere gjejme komplementin e tij duke shtuar gjithashtu dhe

bitin e shenjes.

1001000+1=1001001

110101 ��0101= 1001001 (-11) �5=(-55)

011000�������� 0110

011000����� 0110=010010000 24 � 6=144

01101

01010

10111

−

110111

1011

0000

1011

101

1011

×

10010000

11000

11000

00000

110

11000

24

Ushtrimi 26. Te llogaritet shprehja, duke i konsideruar numrat te

shprehur ne komplementin me 2

01100010111100101110101001 ×−×+× )(

Ne fillim zgjidhim shprehjen brenda kllapave.

Llogaritim prodhimin 11001011×

Termi i dyte eshte –2 prandaj mjafton te kryejme nje zhvendosje nga e

majta per te shumezueshmin moduli i te cilit rezulton 10110. Termi do te

jete negativ prandaj gjeme komplementin e numrit 010110.

101001+1=101010

Per te perfunduar veprimin brenda kllapave kryejme mbledhjen

1010+101010

Te dy keta numra duhen shprehur me te njejtin numer shifrash prandaj

termin 1010 e shprehim me 6 bite. 1010=111010

Numrin qe rezulton nga veprimet brenda kllapave e shumezojme me

numrin 1001. Te dy keta numra jane negative prandaj duhet te gjenden

vlerat absolute, te cilat jane 0111 dhe 011100.

Rezultati eshte pozitiv prandaj marrim 011000100

Ne prodhimin e fundit 0110001011× marrim

100100)1(

101010

111010

+

11000100

11100

11100

11100

111

11100

×

10000100

1011

101100

1100

1011

×

25

Meqenese faktoret jane pozitive atehere marrim 010000100

Rezultati i fundit qe do te kryhet eshte diferenca

011000100 – 010000100

Gjejme te kundertin e numrit te dyte dhe ia shtojme te parit

101111011+1=101111100

001000000 (1)

101111100

011000100

+

Si perfundim marrim numrin 001000000

Duke i shprehur numrat ne sistemin dhjetor

64121121167 =×−−×+−×− ))((

1064001000000 =

26

5 Paraqitja e numrave me presje

Per paraqitjen e numrave me presje ne sistemin dhjetor perdoret simboli

“.” ose “,” i cili ndan pjesen e plote nga ajo pas presjes. Duke u zbatuar

formula e paraqitjes se numrave, numrat pas presjes paraqiten si fuqi

negative e numrit 10.

Ne sistemin binar do te shohim dy tipe paraqitjesh te numrave

Paraqitja me presje fikse e trajton nje sekuence bitesh me nje pozicion

fiks te presjes brenda kessaj sekuence. Per te bere konvertimin e numrave

absolute veprohet si ne konvertimet nga binar ne decimal dhe anasjelltas.

Per numrat me shenje ne presjen fikse mund te perdoret paraqitja ne

komplementin me dy ose paraqitja ne modul dhe shenje. Ne fillim

perdoret algoritmi per numrat absolute dhe me pas:

Per paraqitjen ne komplementin me dy kryhet invertimi i biteve dhe

mbledhja me 1

Per paraqitjen ne modul dhe shenje fiksohet biti i shenjes.

Paraqitja me presje levizese bazohet ne paraqitjen eksponenciale te

numrave ne formen:

e

bmN ∗±=

Ku b eshte baza, e eshte eksponenti dhe m eshte mantisa. Per paraqitjen e

numrit perdoret nje forme e normuar e cila mantisen e ka me te vogel se 1

P.sh. -210.376=-0.21376*103

11011.101=0.1011101*24

Makinat per shenjen perdorin nje bit, i cili merr vleren 1 per numrat

negative dhe 0 per numrat pozitive.

Mantisa paraqitet si numrat absolute

Eksponenti paraqitet ose ne komplementin me dy ose ne modul dhe

shenje.

27

Ushtrimi 27. Te konvertohen ne sistemin numerik dhjetor numrat

absolute te shprehur ne sistemin binar me presje fikse me 8 bite ku 4

perdoren per pjesen e plote dhe 4 per pjesen pas presjes.

01011101, 10100111, 11011001

01011101

ne paraqitjen me presje marrim

01011101=0101.1101

10

43210123

8125.5

2*12*02*12*12*12*02*12*0

0101.1101

=

=+++++++=

=

−−−−

10100111

10100111=1010.0111

10

43210123

4375.10

2*12*12*12*02*02*12*02*1

1010.0111

=

=+++++++=

=

−−−−

11011001

11011001=1101.1001

10

43210123

5625.13

2*12*02*02*12*12*02*12*1

1101.1001

=

=+++++++=

=

−−−−

Ushtrimi 28. Te konvertohen ne sistemin numerik dhjetor numrat e

paraqitur ne komplementin me 2 me presje fikse me 8 bite ku 3 perdoren

per pjesen e plote dhe 5 per pjesen pas presjes.

10110101, 01101100, 11111001

10110101

Ky numer eshte negativ dhe moduli i tij eshte 01001011 ne baze te

invertimit te biteve dhe mbledhjes me 1. Ne paraqitjen me presje moduli i

numrit shprehet

01001011=010.01011

10

5421 3437522121212*1010.01011 .*** =+++=−−−

Meqenese numri eshte negativ marrim:

10-2.3437510110101 =

28

01101100

Ky numer eshte pozitiv prandaj paraqitja e tij eshte e njejte me numrin

absolut

10

3201 375321212121011.0110001101100 .**** =+++==−−

10375301101100 .+=

11111001

Ky numer eshte negativ dhe moduli i tij eshte 00000111 ne baze te

invertimit te biteve dhe mbledhjes me 1. Ne paraqitjen me presje moduli i

numrit shprehet:

00000111=000.00111

10

543 21875021212100111000 .***. =++=−−−

1021875011111001 .−=

Ushtrimi 29. Te konvertohen ne sistemin numerik dhjetor numrat e

paraqitur ne modul dhe shenje, me presje fikse me 8 bite, ku 3 perdoren

per pjesen e plote dhe 5 per pjesen pas presjes.

11100100, 00101110, 10011001

11100100

Ky numer eshte negativ dhe moduli i tij eshte:

1100100=11.00100

10

301 12532121210010011 .***. =++=−

Duke marre parasysh dhe shenjen 10-3.12511100100 =

00101110

Ky numer eshte pozitiv dhe paraqitja e tij eshte njelloj si enumrave

absolute

10

4320 437512121212*101.01110 .*** =+++=−−−

104375100101110 .+=

10011001

Ky numer eshte negativ dhe moduli i tij eshte

0011001=00.11001

10

521 7812502121211100100 .***. =++=−−−

1078125010011001 .−=

29

Ushtrimi 30. Te llogaritet intervali i numrave te paraqitur me presje

fikse ku perdoren m bite per pjesen e plote dhe n bite per pjesen pas

presjes ne rastet

a. paraqitja e numrave absolute

b. paraqitja ne komplementin me dy

c. paraqitja ne modul dhe shenje

a. paraqitja e numrave absolute

Numri me i madh i parqitshem eshte sekuenca prej m+n bitesh te

barabarta me 1

Per pjesen e plote kemi 2m

-1 kurse per pjesen pas presjes duke perdor

induksioni matematik mund te marrim vleren 1-2-n

. Numri minimal eshte

numri 0.

Ne kete rast intervali eshte:

( )nm −− 220,

b. paraqitja ne komplementin me dy

Numri maksimal qe paraqitet ne komplementin me dy eshte sekuenca

prej m+n-1 bitesh me vlere 1 te paraprira nga nje bit me vleren 0

0111….11

Ky numer eshte: nmnm −−−−

−=−+− 222112 11 )()( Numri me i vogel eshte sekuenca prej m+n-1 bitesh me vlere 0 e

paraprire nga nje bit me vleren 1. i cili ka vleren –2(m-1)

Intervali i paraqitur ne komplementin me dy:

), )( nm −−− 22 (-2 11)-(m

c. paraqitja ne modul dhe shenje

Numri maksimal qe mund te shprehet eshte i njejti si ne paraqitjen ne

komplementin me dy ashtu dhe ne modul dhe shenje. Numri minimal ne

modul dhe shenje jepet nga sekuenca per m+n bitesh me vlere 1.

), )( nmn −−−−+ 22 2(-2 11)-(m

30

Ushtrimi 31. Te konvertohen ne bazen binare me presje fikse me 5 bite

per pjesen e plote dhe 5 bite per pjesen pas presjes, numrat e meposhtem

te paraqitur ne komplementin me 2 dhe ne modul dhe shenje.

+5.46875, -11.28125

+5.46875

Paraqitja e ketij numri eshte e njejte si ne komplementin me dy ashtu

dhe ne modul dhe shenje.

Per pjesen e plote 00101510 =+

Per pjesen pas presjes

11250

1512750

175128750

18751293750

0937502468750

→=×

→=×

→=×

→=×

→=×

.

..

..

..

..

01111468750 10 =.

Paraqitja e numrit eshte:

0010101111468755 10 =+ .

-11.28125

Meqenese eshte numer negativ per te gjetur paraqitjen e tij ne

komplementin me dy duhet te gjejme paraqitjen e modulit.

Per pjesen e plote 10111110 =

Per pjesen pas presjes

11250

0502250

025021250

11251256250

0562502281250

→=×

→=×

→=×

→=×

→=×

.

..

..

..

..

01011010012812511 10 =.

31

Gjejme paraqitjen ne komplementin me dy duke invertuar bitet dhe me

pas duke i mbledhur rezultatit vleren 1.

1010010110+1=1010010111

Ne komplementin me dy: 10100101112812511 10 =− .

Per paraqitjen ne modul dhe shenje mjafton qe modulit te numrit ti

vendosim perpara vleren 1

Ne modul dhe shenje: 11011010012812511 10 =− .

Ushtrimi 32. Te konvertohen ne sistemin binar numrat e shprehur ne

bazen binare me presje levizese, e cila perdor 1 bit per shenjen, 7 bite

per eksponentin (i shprehur ne modul dhe shenje), 8 bite per mantisen.

� 0 0001101 11010001

� 1 1001011 11000000

� 0 1000001 10100000

0 0001101 11010001

Ky numer eshte pozitiv sepse biti i pare eshte 0

Eksponenti eshte 0001101 qe i shprehur ne modul dhe shenje

korrespondon me numrin:

1013001101 +=

Mantisa eshte:

10

8421 816406250222211010001 .=+++=−−−−

Perfundimisht marrim:

6688281640625011010001 0001101 0 13=∗+= .

1 1001011 11000000

Ky numer eshte negativ sepse biti i pare eshte 1

Eksponenti eshte 1001011 qe i shprehur ne modul dhe shenje

korrespondon me numrin:

10111001011 −=

Mantisa eshte:

32

10

21 7502211000000 .=+=−−

Si perfundim 4-11 106632-0.7511000000 1001011 1 −

∗−≈∗= .

0 1000001 10100000

Ky numer eshte pozitiv sepse biti i pare eshte 0

Eksponenti eshte 1000001 qe i shprehur ne modul dhe shenje

korrespondon me numrin:

1011000001 −=

Mantisa eshte:

62502210100000 31 .=+=−−

Si perfundim:

3125020.62510100000 1000001 0 -1 .+=∗+=

Ushtrimi 33. Te konvertohen ne sistemin binar numrat e shprehur ne

bazen binare me presje levizese, e cila perdor 1 bit per shenjen, 7 bite

per eksponentin (i shprehur ne komplementin me dy), 8 bite per mantisen.

1 1001011 10110100

0 0001110 10001110

1 1111111 11010000

1 1001011 10110100

Ky numer eshte negativ sepse biti i pare eshte 1

Eksponenti eshte negativ dhe duke invertuar bitet dhe duke mbledhur

me 1 rezulton

10531001011 −=

Mantisa eshte:

10

6431 70312502222 .=+++−−−

Si perfundim:

-532-0.70312510110100 1001011 1 ∗=

33

0 0001110 10001110 Ky numer eshte pozitiv sepse biti i pare eshte 0

Eksponenti eshte pozitiv

10140001110 +=

Mantisa eshte:

10

7651 55468750222210001110 .=+++=−−−−

Si perfundim:

908820.554687510001110 0001110 0 14=∗=

1 1111111 11010000

Ky numer eshte negativ sepse biti i pare eshte 1

Eksponenti eshte negativ dhe duke invertuar bitet dhe duke mbledhur

me 1 rezulton

1011111111 −=

Mantisa eshte:

10

421 8125022211010000 .=++=−−−

Si perfundim:

4062502-0.812511010000 1111111 1 -1 .−=∗=