1 Licence dinformatique Algorithmique des graphes Problèmes dordonnancement. Utilisation de ce...
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1
Licence d’informatiqueLicence d’informatiqueAlgorithmique des graphesAlgorithmique des graphes
Problèmes d’ordonnancement.
Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l ’IFSIC dans le cadre de leur formation.Reproduction ou diffusion en dehors de l ’IFSIC strictement interdite sauf autorisation expresse de l’ auteur.
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2
Problèmes d’ordonnancementProblèmes d’ordonnancement
Données : Un projet composé de n tâches
n
n
ddd
AAA
,,,: durées
,,,
21
21
Chaque tâche peut être soumise à un ensemble de contraintes
Deux « tâches » fictives : début, fin (durées nulles)
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3
ContraintesContraintes
• Relations entre des événements liés à l’exécution des tâches
• Exprimées par des relations sur les dates de début d’exécution des tâches
finn
n
tttt
finAAAdeb
21
21
0(inconnu)début
tâche
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4
La tâche Aj commence au plus tôt à la fin de Ai Aj commence
ExemplesExemplesSéquentialité :
fin de Ai
tj
au plus tôt ti + di
Séquentialité avec délai :
La tâche Aj commence au plus tôt unités de temps après la fin de Ai
Aj commence
tj
au plus tôt
fin de Ai
ti + di
unités detemps après
+
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5
La tâche Aj commence au plus tard à la fin de Ai Aj commence
ExemplesExemplesDate butoir :
fin de Ai
tj
au plus tard
ti + di
Synchronisation :
La tâche Aj commence exactement à la fin de Ai Aj commence
tj
exactement
=
fin de Ai
ti + di
soit : iji dtt
iji
iij
dtt
dtt
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6
L’événement « les 3/4 de l’exécution de Aj » coïncide avec « la moitié de l’exécution de Ai »
ExemplesExemplesSynchronisation plus complexe :
tj + 0.75 dj = ti + 0.5 di
ijji
ijij
ddtt
ddtt
5.075.0
5.075.0
les 3/4 de l ’exécution de Aj
coïncide avec la moitié de l ’exécution de Ai
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7
Contraintes non-déterministesContraintes non-déterministes
Contrainte qui peut être satisfaite par un choix(non-déterministe)
Exemple : Paire de disjonction (exclusion mutuelle)
Les tâches Aj et Ai ne peuvent être simultanément en exécution
tj ti + di OU ti tj + dj
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8
Contraintes non-déterministes
Contraintes déterministes :
Système conjonctif d’inéquations de la formeréel) (nombre connue quantité uneest où ijijij aatt
Système disjonctif d’inéquations de la forme
)( OU OU )(
ET
ET )( OU OU )(
rsrspqpq
klklijij
attatt
attatt
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9
Les problèmes à contrainte déterministes sont plus « faciles »
à traiter
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10
Ordonnancements : Ordonnancements : Formulation des problèmesFormulation des problèmes
Ordonnancement :
projetdu exécution d'fin de date
tâchela de exécution d'début de date:1
0) (projet du exécution d'début de date
:où ),,,,,(Vecteur 21
fin
ii
deb
finndeb
t
Atni
t
tttttT compatible :
solution du système de contraintes (conjonctif ou non)
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11
Ordonnancements : Ordonnancements : Deux problèmes « centraux »Deux problèmes « centraux »
Déterminer un ordonnancement compatible se terminant le plus tôt possible(c.-à-d. de durée d’exécution minimale)
Problème 1 :
Problème 2 :
Déterminer un ordonnancement compatible se terminant avant une date finale donnée(c.-à-d. de durée d’exécution majorée par une durée donnée)
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12
Ordonnancements à contraintes Ordonnancements à contraintes déterministes: déterministes:
Modélisation par graphe « potentiel-tâche »Modélisation par graphe « potentiel-tâche »
Sommets tâches
Arcs (valués) inéquations
ijij att i jija
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13
Contraintes implicites :Contraintes implicites :
00: debi tti
relatives au début :
aucune tâche ne commence avant le début!
deb i0
Inutile (redondante) si le sommet i reçoit déjà un arc de valeur positive ou nulle :
0)()0( ijijij tattt
deb i0
j 0jia0
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14
Contraintes implicites :Contraintes implicites :
iifin dtti :
relatives à la fin : le projet ne peut être terminé avant que toutes les tâches soient terminées
Inutile (redondante) si un arc de valeur di est déjà issu du sommet i :
iifiniijijijjjfin dttdaattdtt )()()(
i finid
fini
jiij da
id
jd
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15
Tâche Durée ContraintesA 6 début au plus tôt 3 jours après le début du projet
début au plus tard 2 jours après le début de BB 9 début au plus tôt 5 jours après le début du projet
début au plus tôt 4 jours après le début de CC 10 début au plus tôt 4 jours après le début du projetD 9 début au plus tôt à la fin de A
début au plus tôt 3 jours après la fin de B E 16 début au plus tôt à la fin de B
L’événement « 8 jours après le début de E »intervient au plus tôt 2 jours après le début de F
F 15 début au plus tôt à la fin de C G 13 début au plus tôt à la fin de D
début au plus tôt 8 jours après le début de F H 4 début au plus tôt à la fin de E
début au plus tôt 8 jours après le début de Fdébut au plus tôt 3 jours après le début de G
Exemple de modélisation
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16
Tâche A 6 début au plus tôt 3 jours après le début du projet
début au plus tard 2 jours après le début de BB 9 début au plus tôt 5 jours après le début du projet
début au plus tôt 4 jours après le début de CC 10 début au plus tôt 4 jours après le début du projetD 9 début au plus tôt à la fin de A
début au plus tôt 3 jours après la fin de B E 16 début au plus tôt à la fin de B
L’événement « 8 jours après le début de E »intervient au plus tôt 2 jours après le début de F
F 15 début au plus tôt à la fin de C G 13 début au plus tôt à la fin de D
début au plus tôt 8 jours après le début de F H 4 début au plus tôt à la fin de E
début au plus tôt 8 jours après le début de Fdébut au plus tôt 3 jours après le début de G
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin
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17
A 6 début au plus tôt 3 jours après le début du projetdébut au plus tard 2 jours après le début de B
B 9 début au plus tôt 5 jours après le début du projetdébut au plus tôt 4 jours après le début de C
C 10 début au plus tôt 4 jours après le début du projetD 9 début au plus tôt à la fin de A
début au plus tôt 3 jours après la fin de B E 16 début au plus tôt à la fin de B
L ’événement « 8 jours après le début de E »intervient au plus tôt 2 jours après le début de F
F 15 début au plus tôt à la fin de C G 13 début au plus tôt à la fin de D
début au plus tôt 8 jours après le début de F H 4 début au plus tôt à la fin de E
début au plus tôt 8 jours après le début de Fdébut au plus tôt 3 jours après le début de G
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3
3 debA tt
Arc (deb, A, 3)
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18
A début au plus tard 2 jours après le début de BB 9 début au plus tôt 5 jours après le début du projet
début au plus tôt 4 jours après le début de CC 10 début au plus tôt 4 jours après le début du projetD 9 début au plus tôt à la fin de A
début au plus tôt 3 jours après la fin de B E 16 début au plus tôt à la fin de B
L ’événement « 8 jours après le début de E »intervient au plus tôt 2 jours après le début de F
F 15 début au plus tôt à la fin de C G 13 début au plus tôt à la fin de D
début au plus tôt 8 jours après le début de F H 4 début au plus tôt à la fin de E
début au plus tôt 8 jours après le début de Fdébut au plus tôt 3 jours après le début de G
-2
22 ABBA tttt
Arc (A, B, -2)
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3
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19
B 9 début au plus tôt 5 jours après le début du projetdébut au plus tôt 4 jours après le début de C
C 10 début au plus tôt 4 jours après le début du projetD 9 début au plus tôt à la fin de A
début au plus tôt 3 jours après la fin de B E 16 début au plus tôt à la fin de B
L ’événement « 8 jours après le début de E »intervient au plus tôt 2 jours après le début de F
F 15 début au plus tôt à la fin de C G 13 début au plus tôt à la fin de D
début au plus tôt 8 jours après le début de F H 4 début au plus tôt à la fin de E
début au plus tôt 8 jours après le début de Fdébut au plus tôt 3 jours après le début de G
-2
5 debB tt
Arc (deb, B, 5)
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3
5
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20
B début au plus tôt 4 jours après le début de CC 10 début au plus tôt 4 jours après le début du projetD 9 début au plus tôt à la fin de A
début au plus tôt 3 jours après la fin de B E 16 début au plus tôt à la fin de B
L ’événement « 8 jours après le début de E »intervient au plus tôt 2 jours après le début de F
F 15 début au plus tôt à la fin de C G 13 début au plus tôt à la fin de D
début au plus tôt 8 jours après le début de F H 4 début au plus tôt à la fin de E
début au plus tôt 8 jours après le début de Fdébut au plus tôt 3 jours après le début de G
-2
4 CB tt
Arc (C, B, 4)
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3
5
4
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21
C 10 début au plus tôt 4 jours après le début du projetD 9 début au plus tôt à la fin de A
début au plus tôt 3 jours après la fin de B E 16 début au plus tôt à la fin de B
L ’événement « 8 jours après le début de E »intervient au plus tôt 2 jours après le début de F
F 15 début au plus tôt à la fin de C G 13 début au plus tôt à la fin de D
début au plus tôt 8 jours après le début de F H 4 début au plus tôt à la fin de E
début au plus tôt 8 jours après le début de Fdébut au plus tôt 3 jours après le début de G
-2
4 debC tt
Arc (deb, C, 4)
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3
5
4
4
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22
D 9 début au plus tôt à la fin de A début au plus tôt 3 jours après la fin de B
E 16 début au plus tôt à la fin de B L ’événement « 8 jours après le début de E »
intervient au plus tôt 2 jours après le début de FF 15 début au plus tôt à la fin de C G 13 début au plus tôt à la fin de D
début au plus tôt 8 jours après le début de F H 4 début au plus tôt à la fin de E
début au plus tôt 8 jours après le début de Fdébut au plus tôt 3 jours après le début de G
-2
6 AD tt
Arc (A, D, 6)
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3
5
4
4
durée de A : 6
6
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23
D début au plus tôt 3 jours après la fin de B E 16 début au plus tôt à la fin de B
L ’événement « 8 jours après le début de E »intervient au plus tôt 2 jours après le début de F
F 15 début au plus tôt à la fin de C G 13 début au plus tôt à la fin de D
début au plus tôt 8 jours après le début de F H 4 début au plus tôt à la fin de E
début au plus tôt 8 jours après le début de Fdébut au plus tôt 3 jours après le début de G
-2
1239 BBD ttt
Arc (B, D, 12)
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3
5
4
4
durée de B : 9
6
12
![Page 24: 1 Licence dinformatique Algorithmique des graphes Problèmes dordonnancement. Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l IFSIC dans.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081602/551d9db6497959293b8db177/html5/thumbnails/24.jpg)
24
E 16 début au plus tôt à la fin de B L ’événement « 8 jours après le début de E »
intervient au plus tôt 2 jours après le début de FF 15 début au plus tôt à la fin de C G 13 début au plus tôt à la fin de D
début au plus tôt 8 jours après le début de F H 4 début au plus tôt à la fin de E
début au plus tôt 8 jours après le début de Fdébut au plus tôt 3 jours après le début de G
-2
9 BE tt
Arc (B, E, 9)
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3
5
4
4
durée de B : 9
6
12
9
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25
E L’événement « 8 jours après le début de E »intervient au plus tôt 2 jours après le début de F
F 15 début au plus tôt à la fin de C G 13 début au plus tôt à la fin de D
début au plus tôt 8 jours après le début de F H 4 début au plus tôt à la fin de E
début au plus tôt 8 jours après le début de Fdébut au plus tôt 3 jours après le début de G
-2
628 FEFE tttt
Arc (F, E, -6)
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3
5
4
4
6
12
9
-6
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26
F 15 début au plus tôt à la fin de C G 13 début au plus tôt à la fin de D
début au plus tôt 8 jours après le début de F H 4 début au plus tôt à la fin de E
début au plus tôt 8 jours après le début de Fdébut au plus tôt 3 jours après le début de G
-2
10 CF tt
Arc (C, F, 10)
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3
5
4
4
6
12
9
-6
durée de C : 10
10
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27
G 13 début au plus tôt à la fin de Ddébut au plus tôt 8 jours après le début de F
H 4 début au plus tôt à la fin de Edébut au plus tôt 8 jours après le début de Fdébut au plus tôt 3 jours après le début de G
-2
9 DG tt
Arc (D, G, 9)
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3
5
4
4
6
12
9
-6
durée de D : 9
10
9
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28
G début au plus tôt 8 jours après le début de F H 4 début au plus tôt à la fin de E
début au plus tôt 8 jours après le début de Fdébut au plus tôt 3 jours après le début de G
-2
8 FG tt
Arc (F, G, 8)
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
![Page 29: 1 Licence dinformatique Algorithmique des graphes Problèmes dordonnancement. Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l IFSIC dans.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081602/551d9db6497959293b8db177/html5/thumbnails/29.jpg)
29
H 4 début au plus tôt à la fin de Edébut au plus tôt 8 jours après le début de Fdébut au plus tôt 3 jours après le début de G
-2
16 EH tt
Arc (E, H, 16)
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
durée de E : 16
16
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30
H début au plus tôt 8 jours après le début de Fdébut au plus tôt 3 jours après le début de G
-2
8 FH tt
Arc (F, H, 8)
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
![Page 31: 1 Licence dinformatique Algorithmique des graphes Problèmes dordonnancement. Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l IFSIC dans.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081602/551d9db6497959293b8db177/html5/thumbnails/31.jpg)
31
H début au plus tôt 3 jours après le début de G
-2
3 GH tt
Arc (G, H, 3)
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
![Page 32: 1 Licence dinformatique Algorithmique des graphes Problèmes dordonnancement. Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l IFSIC dans.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081602/551d9db6497959293b8db177/html5/thumbnails/32.jpg)
32
-2
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
Contraintes implicites : début
Déjà toutes prises en compte
![Page 33: 1 Licence dinformatique Algorithmique des graphes Problèmes dordonnancement. Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l IFSIC dans.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081602/551d9db6497959293b8db177/html5/thumbnails/33.jpg)
33
-2
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3
5
4
4
12
-6
8
6
9
10
9
16
8
3
Contraintes implicites : fin
Tâches A, B, C, D, E : durées déjà prises en compte
durées :
6
9
10
9
16
6, 9, 10, 9, 16
![Page 34: 1 Licence dinformatique Algorithmique des graphes Problèmes dordonnancement. Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l IFSIC dans.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081602/551d9db6497959293b8db177/html5/thumbnails/34.jpg)
34
-2
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3
5
4
4
12
-6
8
6
9
10
9
16
8
3
Contraintes implicites : fin
Tâche F :
durée : 15 15 Ffin tt Arc (F, fin, 15)
15
![Page 35: 1 Licence dinformatique Algorithmique des graphes Problèmes dordonnancement. Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l IFSIC dans.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081602/551d9db6497959293b8db177/html5/thumbnails/35.jpg)
35
-2
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3
5
4
4
12
-6
8
6
9
10
9
16
8
3
Contraintes implicites : fin
Tâche G :
durée : 13 13 Gfin tt Arc (G, fin, 13)
15
13
![Page 36: 1 Licence dinformatique Algorithmique des graphes Problèmes dordonnancement. Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l IFSIC dans.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081602/551d9db6497959293b8db177/html5/thumbnails/36.jpg)
36
-2
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3
5
4
4
12
-6
8
6
9
10
9
16
8
3
Contraintes implicites : fin
Tâche H :
durée : 4 4 Hfin tt Arc (H, fin, 4)
15
13
4
![Page 37: 1 Licence dinformatique Algorithmique des graphes Problèmes dordonnancement. Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l IFSIC dans.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081602/551d9db6497959293b8db177/html5/thumbnails/37.jpg)
37
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4
le graphe « Potentiel-Tâche »
![Page 38: 1 Licence dinformatique Algorithmique des graphes Problèmes dordonnancement. Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l IFSIC dans.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081602/551d9db6497959293b8db177/html5/thumbnails/38.jpg)
38
Résolution des problèmesRésolution des problèmes
possède les propriétés suivantes :1. Il est compatible2. Si T est un ordonnancement compatible, alors
ii ti : En particulier,fin est minimum
Problème 1
),,,,( 1 finndeb avec ii : valeur maximale des chemins
de deb à i
Ordonnancement « au plus tôt »
![Page 39: 1 Licence dinformatique Algorithmique des graphes Problèmes dordonnancement. Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l IFSIC dans.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081602/551d9db6497959293b8db177/html5/thumbnails/39.jpg)
39
),,,,( 1 finndeb
ii : valeur maximale des chemins de deb à i
est compatibleEn effet :
Dans le problème (MAX,+), les valeurs optimales i
constituent la SOLUTION minimale du système d’équations
),(max:1
01
ijvi jj
i
![Page 40: 1 Licence dinformatique Algorithmique des graphes Problèmes dordonnancement. Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l IFSIC dans.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081602/551d9db6497959293b8db177/html5/thumbnails/40.jpg)
40
),,,,( 1 finndeb
ii : valeur maximale des chemins de deb à i
est compatible
),(max:1
01
ijvi jj
i
jiji aij :),(:Donc
![Page 41: 1 Licence dinformatique Algorithmique des graphes Problèmes dordonnancement. Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l IFSIC dans.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081602/551d9db6497959293b8db177/html5/thumbnails/41.jpg)
41
),,,,( 1 finndeb 2. Si T est un ordonnancement compatible, alors
ii ti :
En effet :
Le vecteur T est solution du système d’équations
),(max:1
01
ijvtti
t
jj
i
![Page 42: 1 Licence dinformatique Algorithmique des graphes Problèmes dordonnancement. Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l IFSIC dans.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081602/551d9db6497959293b8db177/html5/thumbnails/42.jpg)
42
),,,,( 1 finndeb
2. Si T est un ordonnancement compatible, alors
ii ti :
De plus :Dans le problème (MAX,+), les valeurs optimales i
constituent la solution MINIMALE du système d’équations
),(max:1
01
ijvtti
t
jj
i
![Page 43: 1 Licence dinformatique Algorithmique des graphes Problèmes dordonnancement. Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l IFSIC dans.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081602/551d9db6497959293b8db177/html5/thumbnails/43.jpg)
43
),,,,( 1 finndeb
2. Si T est un ordonnancement compatible, alors
ii ti :
Donc :
),(max:1
01
ijvtti
t
jj
i
Dans le problème (MAX,+), les valeurs optimales i
constituent la solution MINIMALE du système d’équations
![Page 44: 1 Licence dinformatique Algorithmique des graphes Problèmes dordonnancement. Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l IFSIC dans.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081602/551d9db6497959293b8db177/html5/thumbnails/44.jpg)
44
Résolution des problèmesRésolution des problèmes
L’ordonnancement défini par
)',',,','( 1 finndeb avec
ii
findeb
Ffindebi
F
':,
,',0' i = valeur maximale des chemins de i à fin
possède les propriétés suivantes :
1. Il est compatible
Problème 2 Soit F une date finale donnée, Ffin
2. Si T est un ordonnancement compatible avec
ii ti ':Ft fin
Ordonnancement « au plus tard » relatif à la date finale F
![Page 45: 1 Licence dinformatique Algorithmique des graphes Problèmes dordonnancement. Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l IFSIC dans.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081602/551d9db6497959293b8db177/html5/thumbnails/45.jpg)
45
),,,,( 1 finndeb
ii : valeur maximale des chemins de i à fin dans le graphe G
Dans le problème (MAX,+), les valeurs optimales i
constituent LA solution MINIMALE du système d’équations
),(max:1
01
jivi jj
i
valeur maximale des chemins de fin à i dans le graphe transposé Gt
![Page 46: 1 Licence dinformatique Algorithmique des graphes Problèmes dordonnancement. Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l IFSIC dans.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081602/551d9db6497959293b8db177/html5/thumbnails/46.jpg)
46
)',',,','( :où D' 1 finndeb
est compatible
),(max:1
01
jivi jj
i
ijji aji :),(:Donc
ijji aFFji '':),(:d-à-c
ijij aji '':),(:d-à-c
![Page 47: 1 Licence dinformatique Algorithmique des graphes Problèmes dordonnancement. Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l IFSIC dans.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081602/551d9db6497959293b8db177/html5/thumbnails/47.jpg)
47
)',',,','(' 1 finndeb
2. Si T est un ordonnancement compatible, alors
ii ti ':
Démonstration analogue à celle du problème 1(détails dans le polycopié)
![Page 48: 1 Licence dinformatique Algorithmique des graphes Problèmes dordonnancement. Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l IFSIC dans.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081602/551d9db6497959293b8db177/html5/thumbnails/48.jpg)
48
Ce n’est JAMAIS le cas! (sauf, peut-être, si toutes les tâches avaient des durées nulles)
Algorithmes de résolutionAlgorithmes de résolution
• BELLMANN-KALABA : toujours possible
• DIJKSTRA ?
Condition pour (MAX,+) :
Tous les arcs ont des valeurs 0
jamais possible
![Page 49: 1 Licence dinformatique Algorithmique des graphes Problèmes dordonnancement. Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l IFSIC dans.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081602/551d9db6497959293b8db177/html5/thumbnails/49.jpg)
49
Algorithmes de résolutionAlgorithmes de résolution
• BELLMANN-KALABA : toujours possible
• DIJKSTRA ? jamais possible
• L’algorithme ORDINAL-RACINE ?
Conditions : graphe sans circuit sommet de départ racine du graphe
![Page 50: 1 Licence dinformatique Algorithmique des graphes Problèmes dordonnancement. Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l IFSIC dans.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081602/551d9db6497959293b8db177/html5/thumbnails/50.jpg)
50
Un graphe potentiel-tâche est-il sans circuit?
Pas nécessairement!
Mais :
Il ne doit pas avoir de circuit de valeur > 0
![Page 51: 1 Licence dinformatique Algorithmique des graphes Problèmes dordonnancement. Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l IFSIC dans.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081602/551d9db6497959293b8db177/html5/thumbnails/51.jpg)
51
Il ne doit pas avoir de circuit de valeur > 0
ab
cd
x
y
z
t
0)( tzyxv
)(0
vtzyx
ttt
ztt
ytt
xtt
da
cd
bc
ab
Contradiction!
![Page 52: 1 Licence dinformatique Algorithmique des graphes Problèmes dordonnancement. Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l IFSIC dans.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081602/551d9db6497959293b8db177/html5/thumbnails/52.jpg)
52
Il ne doit pas avoir de circuit de valeur > 0
Si tous les arcs sont de valeur > 0(sauf peut-être ceux issus de deb ou aboutissant à fin)alors le graphe potentiel-tâche est sans circuit
ou
il n’y a pas d’ordonnancement compatible
![Page 53: 1 Licence dinformatique Algorithmique des graphes Problèmes dordonnancement. Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l IFSIC dans.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081602/551d9db6497959293b8db177/html5/thumbnails/53.jpg)
53
Méthode préconisée :Méthode préconisée :
si on soupçonne des circuits, deux phases:
1. « supprimer » les arcs de valeur 0 (non issus de
deb) Appliquer l’algorithme ordinal-racine.
2. « réintroduire» les arcs de valeur 0
Pour chaque arc, procéder aux ajustements des valeurs des extrémités.
![Page 54: 1 Licence dinformatique Algorithmique des graphes Problèmes dordonnancement. Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l IFSIC dans.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081602/551d9db6497959293b8db177/html5/thumbnails/54.jpg)
54
Principe de l’algorithme ordinalPrincipe de l’algorithme ordinal(rappel)(rappel)
C’est du Marimont à partir des points d’entrée, avec prise en compte des valeurs des arcs
• deb « marqué » 0• Soit x un sommet non marqué, dont tous les prédécesseurs sont marqués.
Marquer x avec la valeur (définitive)
)(max deur prédécesse
yxyxy
x a
![Page 55: 1 Licence dinformatique Algorithmique des graphes Problèmes dordonnancement. Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l IFSIC dans.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081602/551d9db6497959293b8db177/html5/thumbnails/55.jpg)
55
Exemple : le problème modélisé précédemment
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4
deb
On ne soupçonne pas de circuit (malgré des arcs de valeur <0)
![Page 56: 1 Licence dinformatique Algorithmique des graphes Problèmes dordonnancement. Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l IFSIC dans.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081602/551d9db6497959293b8db177/html5/thumbnails/56.jpg)
56
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4
Algorithme ordinal
(0)
(4)
(3)
(8)
(14)
(20)
(29)
(17)
(33) (42)
Ordonnancement au plus tôt
Deb A B C D E F G H fin
0 3 8 4 20 17 14 29 33 42
![Page 57: 1 Licence dinformatique Algorithmique des graphes Problèmes dordonnancement. Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l IFSIC dans.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081602/551d9db6497959293b8db177/html5/thumbnails/57.jpg)
57
findeb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4
Algorithme ordinal à partir de la fin
Ordonnancement au plus tôt
Deb A B C D E F G H fin
0 3 8 4 20 17 14 29 33 42
(0)(4)
(13)
(20)
(22)
(21)
(34)
(32)
(38)
(42)
Valeurs max vers fin 42 32 34 38 22 20 21 13 4 0
Ordonnancement au plus tard 0 10 8 4 20 22 21 29 38 42
![Page 58: 1 Licence dinformatique Algorithmique des graphes Problèmes dordonnancement. Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l IFSIC dans.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081602/551d9db6497959293b8db177/html5/thumbnails/58.jpg)
58
On rajoute une contrainte supplémentaire
H ne se termine pas plus tard que 4 u.t. après la fin de F
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4
11198 HFFH tttt
Arc (H, F, -11)
-11
Durée de F = 15, durée de H = 8
![Page 59: 1 Licence dinformatique Algorithmique des graphes Problèmes dordonnancement. Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l IFSIC dans.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081602/551d9db6497959293b8db177/html5/thumbnails/59.jpg)
59
On rajoute une contrainte supplémentaire
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4(0)
(4)
(3)
(8)
(14)
(20)
(29)
(17)
(33) (42)-11
Mise à jour de l’ordonnancement au plus tôt
?
?11 HF tt NON! 2211 HF tt
22
![Page 60: 1 Licence dinformatique Algorithmique des graphes Problèmes dordonnancement. Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l IFSIC dans.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081602/551d9db6497959293b8db177/html5/thumbnails/60.jpg)
60
On rajoute une contrainte supplémentaire
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4(0)
(4)
(3)
(8)
(14)
(20)
(29)
(17)
(33) (42)-11
Mise à jour de l’ordonnancement au plus tôt
?
?8 FG tt NON! 308 FG tt
22 30
![Page 61: 1 Licence dinformatique Algorithmique des graphes Problèmes dordonnancement. Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l IFSIC dans.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081602/551d9db6497959293b8db177/html5/thumbnails/61.jpg)
61
On rajoute une contrainte supplémentaire
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4(0)
(4)
(3)
(8)
(14)
(20)
(29)
(17)
(33) (42)-11
Mise à jour de l’ordonnancement au plus tôt
?
?3 GH tt OUI!
22 30
![Page 62: 1 Licence dinformatique Algorithmique des graphes Problèmes dordonnancement. Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l IFSIC dans.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081602/551d9db6497959293b8db177/html5/thumbnails/62.jpg)
62
On rajoute une contrainte supplémentaire
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4(0)
(4)
(3)
(8)
(14)
(20)
(29)
(17)
(33) (42)-11
Mise à jour de l’ordonnancement au plus tôt
?
?13 Gfin tt NON!
22 30
4313 Gfin tt
43
![Page 63: 1 Licence dinformatique Algorithmique des graphes Problèmes dordonnancement. Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l IFSIC dans.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081602/551d9db6497959293b8db177/html5/thumbnails/63.jpg)
63
On rajoute une contrainte supplémentaire
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4(0)
(4)
(3)
(8)
(14)
(20)
(29)
(17)
(33) (42)-11
Mise à jour de l’ordonnancement au plus tôt
?
6 FE tt OUI!
22 30
43
![Page 64: 1 Licence dinformatique Algorithmique des graphes Problèmes dordonnancement. Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l IFSIC dans.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081602/551d9db6497959293b8db177/html5/thumbnails/64.jpg)
64
On rajoute une contrainte supplémentaire
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4(0)
(4)
(3)
(8)
(14)
(20)
(29)
(17)
(33) (42)-11
Mise à jour de l’ordonnancement au plus tôt
?
?15 Ffin tt OUI!
22 30
43
![Page 65: 1 Licence dinformatique Algorithmique des graphes Problèmes dordonnancement. Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l IFSIC dans.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081602/551d9db6497959293b8db177/html5/thumbnails/65.jpg)
65
On rajoute une contrainte supplémentaire
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4(0)
(4)
(3)
(8)
(14)
(20)
(29)
(17)
(33) (42)-11
Mise à jour de l’ordonnancement au plus tôt Mise à jour terminée.
22 30
43
Nouvelle date finale « au plus tôt » : 43
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66
Mise à jour de l’ordonnancement au plus tard/date finale 43
On rajoute une contrainte supplémentaire
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4(0)(4)
(20)
(22)
(21)
(34)
(32)
(38)
(42)
(13)
Mise à jour des valeurs
-11
?11 FH NON! 1011 FH
10
?
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67
On rajoute une contrainte supplémentaire
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4(0)(4)
(20)
(22)
(21)
(34)
(32)
(38)
(42)
(13)
Mise à jour des valeurs
-11
?3 HG OUI!
10
?
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68
On rajoute une contrainte supplémentaire
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4(0)(4)
(20)
(22)
(21)
(34)
(32)
(38)
(42)
(13)
Mise à jour des valeurs
-11
?8 HF OUI!
10
?
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69
On rajoute une contrainte supplémentaire
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4(0)(4)
(20)
(22)
(21)
(34)
(32)
(38)
(42)
(13)
Mise à jour des valeurs
-11
?16 HE NON!
10
?
2616 HE
26
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70
On rajoute une contrainte supplémentaire
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4(0)(4)
(20)
(22)
(21)
(34)
(32)
(38)
(42)
(13)
Mise à jour des valeurs
-11
?6 EF OUI!
10
?
26
![Page 71: 1 Licence dinformatique Algorithmique des graphes Problèmes dordonnancement. Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l IFSIC dans.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081602/551d9db6497959293b8db177/html5/thumbnails/71.jpg)
71
On rajoute une contrainte supplémentaire
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4(0)(4)
(20)
(22)
(21)
(34)
(32)
(38)
(42)
(13)
Mise à jour des valeurs
-11
?9 EB NON!
10
?
26
359 EB
35
![Page 72: 1 Licence dinformatique Algorithmique des graphes Problèmes dordonnancement. Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l IFSIC dans.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081602/551d9db6497959293b8db177/html5/thumbnails/72.jpg)
72
On rajoute une contrainte supplémentaire
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4(0)(4)
(20)
(22)
(21)
(34)
(32)
(38)
(42)
(13)
Mise à jour des valeurs
-11
?4 BC NON!
10
?
26
394 BC
35
39
![Page 73: 1 Licence dinformatique Algorithmique des graphes Problèmes dordonnancement. Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l IFSIC dans.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081602/551d9db6497959293b8db177/html5/thumbnails/73.jpg)
73
On rajoute une contrainte supplémentaire
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4(0)(4)
(20)
(22)
(21)
(34)
(32)
(38)
(42)
(13)
Mise à jour des valeurs
-11
?4 Cdeb NON!
10
?26
434 Cdeb
35
39
43
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74
On rajoute une contrainte supplémentaire
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4(0)(4)
(20)
(22)
(21)
(34)
(32)
(38)
(42)
(13)
Mise à jour des valeurs
-11
?5 Bdeb OUI!
10
?26
35
39
43
![Page 75: 1 Licence dinformatique Algorithmique des graphes Problèmes dordonnancement. Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l IFSIC dans.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081602/551d9db6497959293b8db177/html5/thumbnails/75.jpg)
75
On rajoute une contrainte supplémentaire
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4(0)(4)
(20)
(22)
(21)
(34)
(32)
(38)
(42)
(13)
Mise à jour des valeurs
-11
?2 BA NON!
10?
2635
39
43
332 BA
33
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76
On rajoute une contrainte supplémentaire
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4(0)(4)
(20)
(22)
(21)
(34)
(32)
(38)
(42)
(13)
Mise à jour des valeurs
-11
?3 Adeb OUI!
10
?
2635
39
43
33
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77
On rajoute une contrainte supplémentaire
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4(0)(4)
(20)
(22)
(21)
(34)
(32)
(38)
(42)
(13)
Mise à jour des valeurs
-11
10
2635
39
43
33
Terminée
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78
On rajoute une contrainte supplémentaire
deb
F
B
C
A D
E
G
H fin3 -2
5
4
4
6
12
9
-6
10
9
8
16
8
3
15
13
4(0)(4)
(20)
(22)
(21)
(34)
(32)
(38)
(42)
(13)
-11
10
2635
39
43
33
Nouvel ordonnancement « au plus tard »/date finale 43 :Deb A B C D E F G H fin
Ancien 0 10 8 4 20 22 21 29 38 42 Nouveau 0 10 8 4 21 17 22 30 33 43