5

1. Элементы комбинаторики

омбинаторика – раздел математики, изучающий дискретные

объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и

перечисление элементов) и отношения на них. Комбинаторика отве-

чает на вопрос о том, сколько различных комбинаций, подчиненных

определенным условиям, можно составить из заданных объектов.

Основные понятия комбинаторики:

Перестановки. Пусть n объектов необходимо расположить в

различных порядках следования друг за другом. Каждый способ

расположения этих объектов называется перестановкой. Об-

щее количество перестановок из n объектов определяется вы-

ражением

1 1( ) ... !nP n n n

Размещения без повторений. Пусть из общего количества n

объектов необходимо отобрать группу из m объектов с учетом

порядка их следования. Каждый способ выбора этих объектов

называется размещением без повторения. Общее количест-

во возможных групп будет

!( 1) ... ( 1)

( )!

mn

nA n n n m

n m

Размещения с повторениями. Пусть n – количество раз-

личных видов объектов. В группу нужно отобрать m объектов с

учетом порядка их следования, при этом элемент каждого вида

К

6

можно использовать несколько раз. Тогда общее число таких

групп определяется выражением

m mnA n

Сочетания получаются, если из общего количества n объек-

тов необходимо отобрать группу из m объектов без учета по-

рядка их следования. Число таких групп равно

!

!( )!

mn

nC

m n m

ПРИМЕР 1. Мама оставила дочке к чаю три конфеты: Комиль-

фо, Рафаэлло и Ферреро Роше. Сколькими способами девочка может

их съесть за чаем?

Решение. Дочь может съесть свои три конфеты в различных

порядках. Общее количество способов равно числу перестановок из

трех объектов:

3 3! 1 2 3 6P .

Перечислим все возможные способы:

1) К, Р, ФР 3) Р, К, ФР 5) ФР, Р, К

2) К, ФР, Р 4) Р, ФР, К 6) ФР, К, Р

ПРИМЕР 2. В студенческой группе 25 человек. Сколькими спо-

собами группа может выбрать старосту и профорга?

Решение. Из 25 человек нужно отобрать двоих, причем поря-

док отбора имеет значение, т.к. староста и профорг ‒ различные

должности. Общее количество способов равно количеству размеще-

ний из 25 элементов по 2:

7

225

25! 25 24 23 125 24 600.

(25 2)! 23 1A

ПРИМЕР 3. Студент во время проведения финала КВН позна-

комился с девушкой из другого вуза и записал номер ее телефона на

клочке бумаги. Впоследствии он обнаружил, что две последние циф-

ры номера оторвались. Сколько времени ему понадобится, чтобы на-

верняка дозвониться до новой знакомой, если на набор каждого но-

мера уходит по 45 секунд?

Решение. Каждая из двух последних цифр номера может при-

нимать значение от 0 до 9, и цифры могут повторяться. Общее коли-

чество возможных номеров равно количеству размещений с повторе-

ниями из 10 цифр по 2 цифры:

2 210 10 100A .

Если каждый номер набирать 45 секунд, то студенту потребуется

не более 100 45 4500 секунд, или 1 часа 15 минут.

ПРИМЕР 4. Для прохождения производственной практики на

Московском НПЗ из группы, состоящей из 20 студентов, необходимо

отобрать 5 человек. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Поскольку порядок отбора студентов не имеет значе-

ния (все пятеро попадут на НПЗ), то общее количество способов рав-

но количеству сочетаний из 20 элементов по 5:

520

19 18 17 1619 3 17 16 15504.

3 2 1

20! 20 19 18 1 20 19 18 17 16

5!(20 5)! 5! 15 14 1 5 4 3 2 1C

8

Задачи к разделу 1

1.1. Из города А в город В ведут 5 дорог, а из города В в город С

‒ 7 дорог. Сколькими способами можно из города А проехать в город

С через город В?

1.2. В финале конкурса должны выступить 6 пианистов. Порядок их

выступления решили определить жребием. Сколько существует вари-

антов жеребьевки?

1.3. Код цифрового замка на портфеле содержит три набора по 10

цифр каждый (от 0 до 9). Рассеянный профессор забыл установлен-

ный им ранее код замка. Какое максимальное время придется потра-

тить ученому, чтобы открыть портфель, если на проверку каждого

кода уходит 5 секунд?

1.4. В чемпионате России по футболу приняли участие 16 команд.

Сколькими способами они могут поделить призовые места?

1.5. В чемпионате России по футболу участвуют 16 команд. Две по-

следние по итогам сезона переходят во вторую лигу. Сколькими спо-

собами команды могут перейти во вторую лигу?

1.6. В симпозиуме приняли участие 16 ученых. При встрече они все

обменялись рукопожатиями. Сколько всего состоялось рукопожатий?

1.7. Каждый из 72 студентов первого курса, присутствующих на

лекции, поговорил по мобильному телефону с двумя своими товари-

щами, находящимися в той же аудитории. Какую сумму при этом за-

работали компании сотовой связи, если каждый разговор стоил 10

рублей?

9

1.8. Сколькими способами из колоды в 32 карты, можно отобрать 8

карт так, чтобы среди них оказалось ровно три туза?

1.9. После окончания первого курса 23 студента призывного возрас-

та c факультета экономики и менеджмента имеют более двух акаде-

мических задолженностей и подлежат отчислению. Военкомат дол-

жен призвать на военную службу 9 человек. Сколькими способами

это можно сделать?

1.10. Полководец Суворов перед походом через Альпы решил женить

10 своих холостых солдат. В деревне, через которую шла армия, ока-

залось 15 подходящих по возрасту девушек. Сколькими способами

Суворов может осуществить задуманное?

1.11. В автомобильных номерах каждого региона России должно быть

три цифры и три буквы. Каково максимальное число номеров для ка-

ждого региона? (В номерах используются лишь те буквы, которые

имеются в латинском алфавите).

1.12. На стоянке такси стоят 9 машин. Сколькими способами их могут

занять четыре пассажира? Сколько существует способов рассадки,

если пассажиры должны сидеть в разных автомобилях?

1.13. Для игры в лотерее «Спортлото» необходимо отметить в кар-

точке 5 чисел из 36. Сколькими способами можно заполнить карточку

лотереи?

1.14. Сколько различных трехбуквенных слов можно составить из

слова «КАРАКАТИЦА»?

10

1.15. Сколькими способами можно рассадить 8 кроликов в четыре

разные клетки? Рассмотреть случаи: а) все кролики одинаковы (т.е

имеет значение лишь их количество, попавшее в каждую из клеток);

б) кролики различаются по именам.

1.16. В буфете университета продаются пирожные 4 видов: «Наполе-

он», «Эклер», «Песочное» и «Корзиночка». Студенка решила вместо

обеда купить 7 пирожных. Сколькими способами она может это сде-

лать?

1.17. Сколько нужно словарей, чтобы переводить с любого из пяти

языков на любой другой из них?

1.18. Какой коэффициент окажется перед слагаемым, содержащим

множитель 16 4a b , если раскрыть скобки в выражении 20(2 )a b ?

1.19. В урне лежит 3 красных, 6 черных и 7 белых шаров. Сколькими

способами можно вынуть 5 шара. (Способы отличаются количеством

выбранных шаров того, или иного цвета).

1.20. Группа из 25 студентов сдает экзамен по математике. Сколько

существует исходов экзамена. (Рассмотреть задачу с точки зрения де-

каната, для которого нет различия между студентами, и с точки зре-

ния группы).

1.21. Студент решил позвать одну из своих 5 подруг на концерт и по-

слал каждой из них по письму с приглашением? Сколько вариантов

похода на концерт есть у студента?

11

2. Алгебра событий

обытие, относящиеся к результату некоторого испытания (экс-

перимента), которое при выполнении некоторого комплекса

условий может либо произойти, либо не произойти, называется слу-

чайным событием.

Событие, которое в результате испытания:

– обязательно наступит, называется достоверным событием;

– никогда не может наступить, называется невозможным со-

бытием.

Случайные события обычно обозначаются латинскими буквами

A, B, C, D, …; достоверные события – , невозможные – .

Суммой двух событий A и B называется событие C = A + B,

(или иначе, C = A B), которое произойдет, если произошло хотя бы

одно из этих событий: A или B (рис. 1а).

Произведением двух событий A и B называется событие

C = A B, (или C = A B), которое произойдет, если произошли од-

новременно оба события A и B (рис. 1б).

Разностью двух событий A и B называется событие

C = A – B (или C = A \ B), которое произойдет, если произошло собы-

тие A, но не произошло событие B (рис. 1в).

С

А

В

А

В

А

В

12

Рис. 1а. A + B Рис. 1б. A B Рис. 1в. A \ B

СобытиеA = \ A называется противоположным событию

A. Оно наступает тогда и только тогда, если не происходит событие A

(рис. 2а).

Если каждое появление события A влечет за собой появление

события B, то говорят, что из A следует B, и пишут: A B , или

A B (рис. 2б). Если одновременно имеют место два соотношения

A B и B A, то события A и B называют равносильными и за-

писывают A B.

События A и B называются несовместными в данном испы-

тании, если они не могут произойти одновременно, т.е. A B = .

Рис. 2а. Событие A Рис. 2б. A B

Полной группой событий называются такие события А, В,

С, …, что при всякой реализации заданного комплекса условий обя-

зательно происходит хотя бы одно из них, то есть А+ В + С + … = .

A

А

A B B B A A

В

А

А B

13

A

B

C

Замечание 1. В соответствии с данным определением события

в полной группе могут быть совместными. В литературе встречается

определение полной группы событий, включающее требование об их

несовместности.

ПРИМЕР 1. Бросается игральная кость. Событие А ‒ выпало

четное число очков, событие В ‒ выпало не более трех очков, собы-

тие С ‒ выпало пять очков. Образуют ли эти события полную группу?

Решение. Имеем

А = {2,4,6};

В = {1,2,3};

С = {5}

Тогда А+ В + С = {1,2,3,4,5,6}. То есть события А, В, С образуют

полную группу. При этом А и В ‒ совместные события.

Замечание 2. Действия над событиями могут быть проиллюст-

рированы с помощью диаграмм Bенна, которые и представлены на

рис.1 и 2.

ПРИМЕР 2. Пусть А, В и С – события, означающие попадание точки

соответственно в области А, В и С (рис. 3а). Что означает событие

АВ+ С?

A

B

C

а) б)

Рис. 3. Иллюстрации к примеру 2

14

Решение. Событие АВ+ С означает попадание в область

(АВ)С, которая заштрихована на рис. 3б.

ПРИМЕР 3. Староста студенческой группы факультета АиВТ

представил в деканат отчет, в котором говорилось: «В группе учатся

27 студентов, из которых 15 юношей и 12 девушек. Не имеют задол-

женности по математике 18 студентов, из них 9 юношей. Занимаются

спортом 17 человек, среди которых 10 юношей и 6 успевающих. Трое

юношей не имеют задолженностей и не занимаются спортом». Одна-

ко, хорошо знающий математику декан факультета, тут же указал

старосте на ошибку в подсчетах. В чем состояла ошибка старосты?

Решение. Изобразим группу студентов на диаграмме Венна.

Заштрихованная часть представляет юношей. Длинной пунктирной

линией ограничена часть студентов без задолженности по математи-

ке, коротким пунктиром ‒ спортсмены. Соответствующие области за-

нумерованы. Например, область (1) ‒ юноши, не сдавшие математику

и не занимающиеся спортом, (5) ‒ девушки, спортсменки и без за-

долженностей. Таким же образом будем обозначать количество сту-

дентов соответствующей категории.

Согласно докладу старосты:

(1) + (2) + (4) + (6) = 15 (всего юношей)

(3) + (5) + (7) + (8) = 12 (всего девушек)

(2) + (4) = 9 (юноши, сдавшие математику)

(3) + (5) = 9 (девушки, сдавшие математику)

(4) + (6) = 10 (юноши ‒ спортсмены)

(5) + (7) = 7 (девушки ‒ спортсмены)

15

(4) + (5) = 6 (успевающие спортсмены)

(2) = 3 (юноши ‒ не спортсмены и без долга)

Рис. 3. Иллюстрация к примеру 3

Из последних шести соотношений легко находится, что (4) = 6,

(6) = 4, (5) = 0, (7) = 7, (3) = 9. Подставив их в первые два равенства,

получим

(1) + 3 + 6 + 4 = 15 (1) = 2

9 + 0 + 7 + (8) = 12 (8) = ‒ 4.

Получено противоречие. Из доклада старосты следует, что коли-

чество девушек, имеющих долг по математике и не занимающихся

спортом, отрицательно. Староста, действительно, ошибся.

Задачи к разделу 2

2.1. В семье четверо детей. Совместны ли события: A ‒ в семье не ме-

нее двух сыновей; B ‒ в семье не менее двух дочерей? Образуют ли

эти события полную группу?

2.2. Монета бросается пять раз. Будут ли несовместными события:

A ‒ не менее трех раз выпал орел;

B ‒ решка выпала, по крайней мере, два раза?

Образуют ли эти события полную группу?

(3)

(1)

(2)

(6)

(4) (5)

(7)

(8)

16

2.3. Бросаются две игральные кости. Будут ли несовместными собы-

тия:

A ‒ хотя бы на одной кости выпало не более четырех очков.

B ‒ сумма выпавших очков не менее одиннадцати.

Образуют ли события полную группу?

2.4. Какие из написанных ниже утверждений верны для призвольных

событий A, B, C:

а) ABC AB + AC + BC, б) ABC A + B,

в) AB + AC + BC A + B + C, г) ( )A B C A BC ,

д) A B A B , е) A B C ABC ,

ж) AB A B , з) ( )A B C AC BC .

2.5. Судно имеет одно рулевое устройство, 4 котла и 2 турбины. Со-

бытие А означает исправность рулевого устройства, Вk исправность

k-го котла (k = 1, 2, 3, 4), событие Сi исправность i-той турбины

(i = 1, 2). Событие D судно управляемо обеспечивается при ис-

правности рулевого управления, хотя бы одного из котлов и хотя бы

одной турбины. Выразить событие D через события А, Вk и Сi.

2.6. На уборку картошки поехали 92 студента. Большинство из них

для дневного перекуса взяло с собой бутерброды, но мамы некоторых

(самых счастливых) студентов вместо бутербродов испекли им пи-

рожки с мясом. Известно, что у 47 человек были с собой бутерброды

с колбасой, у 38 – с сыром, у 42 – с ветчиной. Бутерброды и с сыром,

и с колбасой взяли 28 студентов; с колбасой и с ветчиной – 31 сту-

дент; с сыром и с ветчиной – 26 студентов. Все три вида бутербро-

17

дов взяли 25 человек. Сколько было чадолюбивых мам, которые ис-

пекли своим детям пирожки?

2.7. В группе аспирантов каждый знает хотя бы один иностранный

язык. Шестеро знают английский, шестеро – немецкий, семеро –

французский. Четыре аспиранта знают английский и немецкий языки,

трое – немецкий и французский, двое ‒ английский и французский.

Один человек знает все три языка. Сколько аспирантов в группе?

Сколько из них знают только английский язык; только французский?

2.8. Электрические цепи составлены по схемам, изображенным на

рис. 4 а), б), в), г). Событие Аk (k = 1, 2) элемент ak исправен, собы-

тие Вi (i = 1, 2) элемент bi исправен, событие С исправен элемент

c. Для каждой из схем записать событие Е по цепи проходит ток, а

также противоположное событиеE (цепь разорвана).

Рис. 4. К задаче 2.8

A2

b1

b2

b1

b2

с

a) б) a1

a2

A1

A2

a1

a2

A1

A2

с b1 с

b1

b2

A1

A2

в) г)

a1

a2

a1

a2

18

2.9. Деканат решил проконтролировать посещение лекции по высшей

математике четырьмя нерадивыми студентами. Каждый из них на

выбранной для контроля лекции может либо присутствовать, либо не

нет. Рассматриваются события:

A на лекции был ровно один из 4-x студентов;

B на лекции был хотя бы один из этих студентов;

C на лекции было не менее 2-х студентов;

D на лекции было ровно 2 студента;

E на лекции было ровно 3 студента;

F на лекции были все 4 студента.

Описать события:

1) A + B; 2) AB; 3) B + C; 4) BC; 5) D + E + F; 6) BF.

Совпадают ли события BF и CF ; BC и D ?

2.10. Нефтеналивной порт имеет 5 причалов. События: A занято

четное число причалов, В занят хотя бы один причал. Описать со-

бытия A + B и AB.

2.11. Что представляют собой события ABС и A + B + С, если

а) A B и A C, б) B C и A B, в) B C и A C?

2.12. При каких условиях справедливы соотношения:

а) A + B = AB, б) A +A = A,

в) A A = A, г) (A + B) – B = A ?

2.13. Событие A состоит в том, что при сдаче экзамена по математике

хотя бы один из трех студентов получил положительную оценку. Что

представляет собой событиеA ?

19

2.14. Связь между вычислительным центром и управлением магист-

ральных трубопроводов осуществляется по трем каналам. По каждо-

му каналу может быть передан сигнал , ( 1,2,3)iA i о нормальной ра-

боте или iA ‒ об отказе. При передаче сигнал может быть искажен,

поэтому информация считается верной только в том случае, если хотя

бы два канала передали одинаковый сигнал. Выразить события: B ‒

принят сигнал о нормальной работе объекта; C ‒ принят сигнал об

отказе.

2.15. Бросается игральная кость. Рассматриваются события: A – выпа-

ло четное число очков; B – выпало нечетное число очков; C – выпало

число очков, большее трех. Описать события: (A + B)C, AC + + B,

BC + A, (A + C)B.

2.16. Из колоды в 36 карт вынимается одна карта. Определены собы-

тия: А – вынута дама; В – вынута карта черной масти; С – вынута да-

ма пик. Дать описание событий: (A+B)C, AC +B, BC + A, (A +C)B.

2.17. У студента в тумбочке вперемешку лежат серые и черные носки.

Утром, собираясь в темноте на первую пару, он наудачу берет два

носка. Пусть определены события: А – вынуты носки разных цветов,

В – ровно один из вынутых носков черный, С – вынуты носки одного

цвета, D ‒ оба вынутых носка серые, E ‒ хотя бы один из вынутых

носков серый, F ‒ не вынуто ни одного черного носка. Описать со-

бытия: (A + B)E, AC + F, BF ‒ D + A, A + BE, (B + F)C, (B ‒ D)

(E ‒ F). В каких из перечисленных случаев студент сможет поехать

учиться? (В носках различного цвета на занятиях в университете по-

являться не принято).

20

3. Классическое определение вероятности. Задача о выборке. Геометрическая вероятность

ероятность характеризует степень объективной возможности

наступления данного события. События Аi (i = 1, 2, …, m) назы-

ваются равновозможными, если при реализации некоторого ком-

плекса условий каждое из них имеет одинаковую возможность насту-

пить или не наступить. Например, при бросании монеты равновоз-

можно выпадение орла или решки, а при бросании игральной кости –

равновозможным является выпадение любого количества очков от 1

до 6.

Пусть достоверное событие представляет собой сумму n рав-

новозможных и попарно несовместных событий Аi (i = 1, 2, …, n), то

есть

1

n

ii

A

, ,i jA A i j .

Такие события образуют полную группу попарно несовместных

событий.

Допустим, что событие А представляет собой сумму некоторых

m событий, выбранных из набора событий Аi. Тогда вероятность

события А равна отношению числа m событий, благоприятствую-

щих событию А, к числу n всех равновозможных событий:

Это и есть классическое определение вероятности.

В

( )m

P An

21

ПРИМЕР 1. В урне лежат 15 шаров, из которых 6 белых и 9

чёрных. Какова вероятность, что: а) один наудачу извлечённый шар

будет белым? б) вынутые наудачу два шара окажутся белыми?

Решение.

а) Проводимое испытание имеет n = 15 равновозможных исходов

(общее количество шаров в урне). Пусть событие А – извлечённый

шар оказался белым. Для события А благоприятны m = 6 исходов

(количество белых шаров в урне). Следовательно, искомая вероят-

ность 6 2

( )15 5

m

P An

.

б) Пусть событие B – два извлечённых шара оказались белыми. Про-

водимое испытание (извлечение двух шаров) имеет 215n C равно-

возможных исходов (способов выбора двух шаров из их общего ко-

личества (15 шаров) без учета порядка следования). Благоприятен со-

бытию B выбор любых двух белых шаров. Число способов выбора 2

белых шаров (без учета порядка) из их общего количества (6 штук)

равно числу сочетаний из 6 элементов по 2: 26m C . Следовательно,

по классическому определению вероятности 26215

1( )

7

CP B

C .

Задача о выборке

Cреди N предметов имеется m отмеченных. Наудачу вы-

бирают n предметов. Найти вероятность, что среди выбран-

ных ровно k предметов окажутся отмеченными, где 0km .

22

Решение. Всего существует !

!( )!

nN

NC

n N n

способов выбрать

n предметов из N (без учета порядка). Отмеченные k предметов долж-

ны быть отобраны среди их общего числа m. Количество способов

отбора отмеченных предметов равно kmC . Среди отобранных также

должно находиться n – k неотмеченных предметов из их общего ко-

личества N – m. Существует n kN mC способов отбора неотмеченных

предметов. Тогда общее количество благоприятных исходов испыта-

ния равно произведению k n km N mC C

. Искомая вероятность равна от-

ношению числа благоприятных исходов к общему количеству исхо-

дов испытания:

n kkm N m

nN

C CP

C

ПРИМЕР 2. В студенческой группе по списку значится 20 чело-

век, среди которых 5 отличников. Совет факультета предлагает уве-

личить количество часов на изучение курса математики и решил уз-

нать мнение студентов группы по этому вопросу. Отличники под-

держивают предложение деканата, а остальные студенты считают,

что курс математики вовсе следует сократить. Из группы случайным

образом были отобраны три человека, и их мнение было принято. Ка-

кова вероятность, что среди отобранных студентов большинство

окажется отличниками, которые поддержат план Совета по увеличе-

нию объема учебной программы дисциплины «Высшая математика»?

23

Решение. Воспользуемся формулой, полученной в задаче о вы-

борке. При этом роль отмеченных предметов играют отличники, т.е.

N = 20 (общее количество студентов в группе), m = 5 (количество от-

личников), n = 3 (количество отобранных на конференцию). К благо-

приятным (для Совета) исходам относятся случаи k = 2 или k = 3

(количество отобранных отличников). Тогда искомая вероятность

2 1 3 05 15 5 15

320

5! 15! 5! 15! 5 4 15 5 4 15

83!2! 1!14! 2!3! 0!15! 2! 1 2! 1520! 20 19 18 57

17!3! 3!

C C C CP

C

.

Вероятность достаточно мала – скорее всего, количество часов

на изучение математики не увеличат.

Геометрическая вероятность

Пусть в область G наудачу бросается точка. Вероятность попа-

дания в какую-либо часть области G пропорциональна мере этой час-

ти (длине, площади, объёму) и не зависит от её расположения и фор-

мы. Таким образом, если событие А – попадание точки в область g,

являющейся частью области G, то

мера

мера

( )( )

( )

g mes gP A

G mes G .

ПРИМЕР 3. В круг радиуса R вписан правильный треугольник.

В круг наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что эта точка

окажется внутри треугольника (рис. 5).

24

Рис. 5. К примеру 3

Решение. Искомая вероятность равна отношению площади

треугольника к площади круга:

2

2

3 3 3 30,4137.

44

RP

R

ПРИМЕР 4. На отрезке [0; 2 ] наудачу выбраны два числа: x и y.

Найти вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам

х2

≤ 4у ≤ 4х.

Решение. По условиям опыта координаты точки (х; у) удовле-

творяют системе неравенств

0 2

0 2,

x

y

то есть точка (х; у) наудачу выбирается из множества точек квадрата

со стороной 2. Интересующее нас событие происходит в случае, если

точка попадет в область g, определяемой неравенствами х2

≤ 4у ≤ 4х .

На рис. 6 эта область заштрихована. Искомая вероятность равна от-

ношению площади заштрихованной фигуры (g) к площади квадрата

(G).

R

25

Имеем 2

2

0

1 4mes( ) площадь ( ) ,

4 3

mes( ) 2 2 4

g g x x dx

G

Тогда получаем искомую вероятность:

Задачи к разделу 3

3.1. В урне лежат 7 белых и 8 черных шаров. Вынули один шар, кото-

рый оказался белым. Затем из урны взяли еще один шар. Какова ве-

роятность, что он также белый? Решить эту же задачу при условии,

что цвет первого вынутого шара неизвестен.

3.2. Брошена игральная кость. Какова вероятность выпадения «шес-

терки»? Какова вероятность выпадения числа, большего четырех?

3.3. Из слова «НАУГАД» выбирается наугад одна буква. Какова ве-

роятность, что это буква «А»? Какова вероятность, что это гласная?

Рис.6. К примеру 4

2 0

y

2

1

x

g

G

mes( ) 1.

mes( ) 3

gP

G

26

3.4. Брошены три монеты. Какова вероятность, что выпадут два «гер-

ба»? Какова вероятность, что выпадут две «решки»? Объяснить, по-

чему полученные вероятности равны.

3.5. На 6 карточках написаны буквы А, В, К, М, О, С. Карточки нау-

дачу раскладываются в ряд. Какова вероятность, что получится слово

МОСКВА?

3.6. Из пяти карточек с буквами А, Б, В, Г, Д наугад выбираются три

буквы и располагаются в ряд в порядке появления. Какова вероят-

ность, что получится слово «ДВА»?

3.7. Среди 25 экзаменационных билетов только 5 «хороших». Сту-

денты Иванов и Петров по очереди берут по одному билету. Найти

вероятности событий:

A – Иванов взял хороший билет;

B – Петров взял хороший билет;

C – оба студента взяли хорошие билеты.

3.8. Зимние шины автомобиля должны иметь определенное направ-

ление вращения, поэтому полный их комплект состоит из двух левых

и двух правых шин. При монтаже автолюбитель забыл об этом об-

стоятельстве и поставил колеса случайным образом. Какова вероят-

ность, что все колеса будут стоять правильно? Какова вероятность,

что только два колеса поставлены на нужную сторону автомобиля?

3.9. Среди 100 изготовленных деталей 4 имеют брак. Детали от-

правлены двум потребителям в соотношении 3:2. Какова вероятность,

что бракованные детали достанутся: 1) двум потребителям поровну;

2) только первому потребителю?

27

3.10. В ЕГЭ по математике для каждой из 10 задач раздела А нужно

было выбрать один правильный ответ из 4-х предложенных вариан-

тов. Сколькими способами можно было ответить на вопросы раздела

А? Какова вероятность ответить правильно на 9 вопросов из 10, если

ответы выбирать случайным образом?

3.11. Ваня и Маша стоят в очереди в столовую. Кроме них в очереди

еще 8 человек. Какова вероятность, что 1) Ваня и Маша стоят рядом;

2) между ними стоят три человека?

3.12. В ящике лежат 2 черных, 3 красных и 5 белых шаров. Наудачу

выбирают 4 шара. Какова вероятность, что среди них будет 1 черный

и 3 белых шара?

3.13. В ящике лежат 2 черных, 3 красных и 5 белых шаров. Наудачу

выбирают 4 шара. Какова вероятность, что среди них будет 1 черный,

2 белых и 1 красный шар?

3.14. В ящике для обуви лежат 10 разных пар ботинок. Наудачу взяты

два ботинка. Какая вероятность, что они образуют пару?

3.15. У студента в тумбочке вперемешку лежат 3 серых и 5 черных

носков. Утром, собираясь в темноте на занятия, он, не глядя, берет

два носка. Какая вероятность, что они окажутся одного цвета?

3.16. У студента в шкафу лежат 4 серых, 6 черных и 5 коричневых

носков. Он наугад берет три носка. Какая вероятность, что среди них

будет пара одного цвета?

28

3.17. В лифт семиэтажного дома вошли три человека. Каждый из них

с одинаковой вероятностью может выйти на любом этаже, начиная со

второго. Найти вероятности событий:

A – все пассажиры выйдут на 4 этаже;

B – все пассажиры выйдут на одном и том же этаже;

C – все пассажиры выйдут на разных этажах.

3.18. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 20. Ка-

кова вероятность, что это число будет кратно 5?

3.19. Телевизионный канал в течение каждого часа показывает четы-

ре блока рекламы по 5 минут каждый. Время показа блока назначает-

ся случайным образом. Какова вероятность, что включив телевизор,

придется смотреть рекламу? Какая вероятность, что рекламу придет-

ся смотреть не более 2 минут?

3.20. После землетрясения на участке между 40-м и 90-м километра-

ми магистрального нефтепровода произошло повреждение. Какова

вероятность, что повреждение расположено между 65-м и 70-м кило-

метрами магистрали?

3.21. В квадрат с вершинами О(0,0), А(0,1), B(1,1), С(1,0) наудачу

брошена точка M (x, y). Какова вероятность, что ее координаты удов-

летворяют условию y < 2x ?

3.22. На отрезок AB длиной 12 наудачу брошена точка M. Найти ве-

роятность, что площадь квадрата, построенного на отрезке AM, будет

заключена между значениями 36 и 81.

3.23. Монета имеет диаметр 20 мм, а толщину 2 мм. Какова вероят-

ность, что при падении она встанет на ребро?

29

3.24. Стержень длины 1 метр сломали на три части, выбирая места

разлома случайным образом. Какова вероятность, что из получив-

шихся частей можно составить треугольник?

3.25. Два танкера должны подойти на разгрузку к причалу 1 сентября,

причем прибытие каждого равновозможно в течение этих суток.

Первому танкеру на разгрузку нужен 1 час, а второму 2 часа. Како-

ва вероятность, что ни одному из танкеров не придется ждать осво-

бождения причала?

3.26. (Задача о встрече). Студент договорился встретиться со своей

подругой в вестибюле университета между тремя и четырьмя часами

дня. Первый пришедший на встречу ждет товарища 10 минут, а по-

том уходит. Какова вероятность встречи друзей, если каждый из них

может прийти в любое время в течение указанного часа?

3.27. На клавиатуру компьютера капнула капля кетчупа радиуса r см.

Найти вероятность, что она не протекла между клавишами, если кла-

виши имеют форму квадрата со стороной a см, а капля после паде-

ния не растекается.

30

4. Теоремы сложения и умножения вероятностей

ля нахождения вероятности результата операций над события-

ми используется ряд теорем.

Вероятность суммы двух событий А и B находится по фор-

муле

(1а)

Если события А и B несовместны, то формула (1а) упрощается:

(1б)

Формулы (1) также называют теоремой сложения вероятностей.

Если события А1, А2, ….., Аn попарно несовместны, то вероят-

ность их суммы равна сумме вероятностей самих событий (обобще-

ние формулы 1б):

11

( ... ) ( )n

n nk

P A A P A

.

Вероятность противоположного событияА определя-

ется по формуле

Вероятность наступления события А при условии, что произош-

ло событие B, называется условной вероятностью и находится

по формуле

( )( / )

( )

P A BP A B

P B

.

Д

( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B

( ) ( ) ( )P A B P A P B

1( ) ( )P A P A

31

Из формулы для условной вероятности следует теорема ум-

ножения вероятностей двух событий:

События А и B называются независимыми, если условные ве-

роятности совпадают с соответствующими безусловными, т.е.

Р(A) = P(A /B) и P(B) = P(B/A).

Для независимых событий А и B вероятность произведения

равна произведению вероятностей:

Для вычисления вероятности произведения n событий А1, …, Аn,

(n > 2) используется формула

1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1( ) ( ) ( / ) ( / ( )) ( / ( )) n n nP A A A P A P A A P A A A P A A A A

Если события А1,…,.Аn независимы, то вероятность их произве-

дения равна произведению вероятностей:

P(A1A2…An)=P(A1) P(A2) P(A3) … P(An). 1 2 3( ) ( ) ( ) P A P A P A

ПРИМЕР 1. В одной урне лежат 5 белых и 10 красных шаров, в

другой урне – 10 белых и 5 красных шаров. Из каждой урны вынули

по одному шару. Найти вероятность того, что хотя бы один из выну-

тых шаров ‒ белый.

Решение. Пусть событие А – из первой урны вынут белый шар,

событие B из второй урны вынут белый шар. Решим задачу двумя

способами.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )Р А B P B P A B P A P B A

( ) ( ) ( )P A B P A P B

32

1-й способ. Интересующее нас событие С – хотя бы из одной

урны вынут белый шар ‒ можно выразить через события А и B:

С = А + B. (Заметим, что событие С происходит также и в случае, если

оба шара белые). Используя формулу суммы событий, получим:

P(С) = P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB).

Так как события А и B независимы, то

P(AB) = P(A) P(B) P(A+B)=P(A)+P(B) – P(A)P(B).

По условию задачи 5 1 10 2

( ) ; ( )15 3 15 3

P A P B , поэтому веро-

ятность события С равна 1 2 1 2 7

( )3 3 3 3 9

P C .

2-ой способ. Событие С является противоположным собы-

тиюС ни из одной урны белый шар не вынут, т.е. оба шара ‒ чер-

ные. Поэтому

2 1 7( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1

3 3 9 P C P C P A B P A P B .

Здесь были использованы формулы вероятности противоположных

событий: 1 2

( ) 1 ( ) 13 3

P A P A ; 2 1

( ) 1 ( ) 13 3

P B P B .

ПРИМЕР 2. Цепь, изображенная на рисунке, состоит из четырех

элементов a1, a2, a3, a4. Вероятности работоспособности элементов

соответственно равны 0,9; 0,8; 0,6 и 0,85. Какова вероятность прохо-

ждения тока по цепи?

33

Решение. Пусть событие С ‒ по цепи идет ток. Обозначим че-

рез (I) часть цепи, состоящую из элементов a1 и a2, а через (II) ‒ часть

цепи, состоящую из элементов a3 и a4. Части (I) и (II) расположены в

цепи параллельно, поэтому для прохождения тока по всей цепи

должна быть исправна хотя бы одна из цепей (I) или (II). Поэтому

С = А + B,

где событие А ‒ исправна часть (I), а событие B ‒ исправна часть

(II).

В цепи (I) элементы расположены последовательно. Для прохож-

дения по ней тока оба элемента a1 и a2, должны быть исправными.

Вероятность этого события

1 2( ) 0,9 0,8 0,72 p A p p .

Аналогично, цепь (II) исправна, если исправны оба элемента a3 и a4.

Вероятность этого события 3 4( ) 0,6 0,85 0,51 p B p p . Здесь

удобней найти вероятность противоположного события C (ток по

цепи не идет). Событие C произойдет, если неисправны сразу обе

части цепи (I) и (II). В силу независимости элементов цепи

( ) ( ) ( ) (1 ( ))(1 ( )) (1 0,72) (1 0,51) 0,1372 p C p A p B p A p B .

Тогда искомая вероятность ( ) 1 ( ) 1 0,1372 0,8628 p C p C .

a1 a2

a4 a3

(I)

(II)

Рис.7. К примеру 2

34

ПРИМЕР 3. В урне лежат 12 белых, 8 красных и 10 синих ша-

ров. Не глядя, вынимают два шара. Какова вероятность, что вынуты

шары разных цветов, если известно, что среди них не оказалось сине-

го шара?

Решение.

1-й способ. Событие А – вынуты два шара разных цветов; со-

бытие B пара не содержит синий шар. Нас интересует условная ве-

роятность события А при условии, что событие B произошло:

( )( / )

( )

P ABP A B

P B.

Для вычисления вероятностей воспользуемся подходящими

комбинаторными формулами: 220230

( ) C

P BC

; 1 112 8

230

( )

C C

P ABC

. Здесь

230C – всего способов вынуть 2 шара из 30,

220C – способов вынуть 2

не синих шара из 20, 112C – способов выбора одного белого шара из

12, 18C – одного красного шара из 8.

Следовательно 1 1 212 8 30

2 230 20

48( / )

95

C C CP A B

C C.

2-ой способ. Будем теперь рассуждать несколько иначе. По-

скольку известно, что синие шары не вынимались, то всего существу-

ет n = 20 возможных вариантов исхода опыта. Событие Аi – i-й выну-

тый шар белый, событие Bi – i-й вынутый шар – красный (i = 1, 2).

Если первым вынут белый шар, а вторым красный, то вероятность та-

35

кого события 1 2( ) ( ) P C P A B 1 2 112 8

( ) ( / )20 19

P A P B A . Если первым

вынут красный шар, а вторым белый, то вероятность этого события

1 2( ) ( ) P D P B A 1 2 18 12

( ) ( / )20 19

P B P A B .

Нас устраивают оба рассмотренных события, т.к. порядок из-

влечения шаров не имеет значения. Тогда, учитывая несовместность

событий C и D, получаем искомую вероятность извлечения шаров

разных цветов при условии, что ни один синий шар не вынут:

( / ) ( ) ( ) ( ) P A B P C D P C P D 12 8 8 12 48

20 19 20 19 95 .

ПРИМЕР 4. В коробке лежат две конфеты с вареньем и четыре с

суфле. Конфеты одинаковы по внешнему виду. Сестры Маша и Даша

поочередно съедают по одной конфете (начинает Маша). Девочки до-

говорились, что той, которой первой достанется конфета с вареньем,

придется в этот день убирать квартиру. Какова вероятность, что квар-

тиру придется убирать Даше?

Решение. Маше придется убирать квартиру (событие A), если

конфета с вареньем попадется ей либо на первом круге испытания

(событие A1), либо на 2-м (событие A2), либо на 3-м (событие A3):

1 2 3 A A A A .

Поскольку на двух девочек приходятся всего 6 конфет, более

трех кругов испытаний проводить не придется. Обозначим через

, ( 1,2,3)iM i событие, состоящее в том, что Маша при своей i-той

попытке взяла «плохую» конфету с вареньем. Через , ( 1,2,3)iD i

36

обозначим событие, состоящее в том, что «плохую» конфету на i-той

попытке взяла Даша. Событие A2 произойдет, если в 1-й раз Маша

вынула конфету с суфле (событие 1M ), затем такую же вынула Даша

( 1D ), а уж затем Маше на 2-ой попытке досталась конфета с вареньем

(событие 2M ). Событие A3 произойдет, если при первых четырех по-

пытках вынимались конфеты с суфле. При этом «хорошие» конфеты

оказались бы разобранными, и Маше при ее очередной, 3-ей по счету,

попытке обязательно досталась бы «плохая» конфета с вареньем.

Запишем выражения для событий A1, A2, A3 через исходы каж-

дой из попыток:

1 1,A M

2 1 1 2, A M D M

3 1 1 2 2 3 A M D M D M .

События 1 2 3, ,A A A несовместны. Поэтому

1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) p A p A p A p A .

По теореме умножения имеем:

1 12 1

( ) ( ) ,6 3

p A p M

2 1 1 1 2 1 14 3 2 1

( ) ( ) ( / ) ( / ( )) ,6 5 4 5

p A p M p D M p M M D

34 3 2 1 1

( ) 16 5 4 3 15

p A .

Теперь получаем искомую вероятность

1 1 1 9 3

( )3 5 15 15 5

p A .

37

Таким образом, Маша (которая брала конфету первой) будет

убирать квартиру с вероятностью 3/5, а Даша ‒ с вероятностью 2/5.

(Быть первым всегда труднее!)

Задачи к разделу 4

4.1. В урне лежат 3 черных и 5 белых шаров. Из урны по очереди вы-

нимают три шара. Событие A ‒ первые два шара белые, а 3-й черный;

событие B ‒ среди вынутых шаров два белых, а один черный? Какова

вероятность этих событий? Какая из вероятностей больше и почему?

4.2. В ящике шкафа лежат 10 красных и 6 синих носков. Студент, не

глядя, вынимает из ящика два носка. Какова вероятность, что выну-

тые носки окажутся одного цвета и студент сможет поехать на заня-

тия в институт?

4.3. Решить ту же задачу, если носки лежат в двух ящиках, причем в

первом 5 белых, 11 черных и 8 красных носков, а во втором, соответ-

ственно, 10, 8 и 6. Студент один носок берет из первого ящика, а дру-

гой из второго.

4.4. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,8 , а вто-

рым стрелком – 0,6. Стрелки выстрелили одновременно. Какова веро-

ятность событий: а) только один из них попадет в цель; б) хотя бы

один из стрелков промахнулся?

4.5. В условиях задачи 4.4 стрелки делают по два выстрела. Какова

вероятность хотя бы одного попадания в цель?

4.6. Найти вероятность, что наудачу выбранное двузначное число

окажется кратным: а) 2 или 5, б) 2 и 5 ?

38

4.7. В лабораторию для анализа поступило 7 канистр с бензином. Из

сопроводительных документов известно, что три из них содержат

бензин типа А, две – типа В и две – типа С. Наугад вскрыли три боч-

ки. Какова вероятность обнаружить в них бензин всех трех типов?

4.8. Первый пресс штампует стандартные болты с вероятностью 0,9, а

второй – с вероятностью 0,95. На первом прессе изготовили 3 болта, а

на втором – два. Какова вероятность, что все 5 болтов стандартные?

4.9. Вероятность появления неисправности в автомобиле «Лада При-

ора» в течение одного дня равна 0,05. Какова вероятность, что в ав-

томобиле не возникнет ни одной неисправности в течение трех дней?

4.10. Глубинный манометр испытывают на герметизацию. Проводят

не более 5 испытаний, при каждом из которых манометр выходит из

строя с вероятностью 0,05. После первой поломки манометр ремон-

тируется, а после второй – признается испорченным. Какова вероят-

ность, что после пяти испытаний манометр будет признан негодным?

4.11. В нефтеносном районе бурят одновременно 6 скважин. Каждая

из скважин вскрывает месторождение независимо от других с веро-

ятностью 0,1. Какова вероятность вскрытия месторождения? Изме-

нится ли эта вероятность, если работает одна буровая установка, ко-

торая прекращает бурение при вскрытии месторождения? Сколько

нужно пробурить скважин, чтобы вероятность вскрытия месторожде-

ния превысила 0,7?

4.12. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Студент Кара-

пузов может ответить на первый вопрос с вероятностью 0,9; на вто-

рой ‒ 0,6; на третий вопрос – с вероятностью 0,8. Какова вероят-

39

ность, что студент Карапузов сдаст экзамен, если для этого надо: а)

ответить на все вопросы; б) ответить хотя бы на два вопроса?

4.13. Студент успел подготовить к экзамену 20 вопросов из 25. Како-

ва вероятность, что из трех заданных вопросов студент будет знать не

менее 2?

4.14. Два стрелка сделали по одному выстрелу по мишени. Вероят-

ность попадания первого стрелка равна 0,6; второго – 0,7. Найти ве-

роятности событий:

A – только один стрелок попал в мишень;

B – хотя бы один из стрелков попал в мишень;

C – ни один из стрелков не попал;

D – по крайней мере один из стрелков не попал в мишень.

4.15. Электрические цепи составлены по схемам, изображенным на

рис. 8 а), б), в), г), д), е). Вероятность работоспособности элемента ak

равна pk . Элементы работают независимо друг от друга. Для каждой

из схем найти вероятность прохождения тока по цепи.

a3

a6

a3

a4

a) б) a1

a2

A1

A2

a1

a4

a2

a5

a3

a4

a5

г)

A1

A2

a1

a2

в)

a5

a3

a4

a1

a2

40

Рис. 8. К задаче 4.15

4.16. Гардеробщица выдала номерки четырем джентльменам, сдав-

шим свои цилиндры, но затем перепутала головные уборы и повесила

их наугад. Найти вероятности событий:

A – каждый джентльмен получит свой цилиндр;

B – ровно три джентльмена получат свой цилиндр;

C – ровно два человека получат свой головной убор;

D – ровно один получит свой цилиндр;

E – никто не получит своего цилиндра.

4.17. Какое из двух событий более вероятно: событие А – при одно-

временном бросании 4 игральных костей появится хотя бы одна

«единица» или событие В – при 24 бросаниях двух костей хотя бы

один раз выпадут две «единицы»?

4.18. Двое поочередно бросают монету. Выигрывает тот, у кого

раньше выпадет «орел». Определить вероятности выигрыша для каж-

дого игрока.

4.19. Три человека по очереди подбрасывают монету. Тот, у кого

раньше выпадет «решка», выигрывает. Какова вероятность выигрыша

каждого из игроков?

a1

a2

a3

a4 a2

a3

a1 д) е)

41

4.20. Двое поочередно бросают игральную кость. Выигрывает тот, у

кого раньше выпадет «шестерка». Определить вероятности выигрыша

для первого и для второго игроков.

4.21. Вероятность получения студентом Н.Ч. положительной оценки

на экзамене равна 0,2. Сколько пересдач потребуется студенту Н.Ч.

для того, чтобы сдать экзамен с вероятностью, большей 0,8?

4.22. Студент может сдать экзамен по математике с вероятностью 0,5.

Если он воспользуется шпаргалкой, то его шансы повысятся до 0,7.

Однако с вероятностью 0,3 шпаргалка будет обнаружена, и студента с

экзамена удалят. Звонок другу повысит вероятность сдачи до 0,8. Од-

нако в этом случае с вероятностью 0,25 он будет застигнут за этим

неблаговидным занятием, а на пересдаче его шансы понизятся в два

раза. Как лучше поступить студенту?

4.23. В целях экономии государственных средств Иван-царевич ре-

шил, что он должен жениться на девушке, день рождения которой

совпадает с его днем рождения. Сколько девушек ему придется опро-

сить, чтобы среди них оказалась хотя бы одна потенциальная невеста

с вероятностью не менее 0,5?

42

5. Формула полной вероятности. Формула Байеса

сли событие А может наступить только при появлении одного из

несовместных событий (гипотез) Н1, Н2, …, Нn, образующих

полную группу, то вероятность события А вычисляется по формуле

полной вероятности:

где Р(Нi) – вероятность гипотезы Нi (очевидно, что должно выпол-

нятся равенство 1

( ) 1

n

ii

P H ). Вероятность Р(А/Нi) представляет со-

бой условную вероятность наступления события А, если гипотеза Нi

верна.

С формулой полной вероятности связана формула Байеса, по-

зволяющая «переоценить» вероятности гипотез Н1, Н2, …, Нn, если

известно, что в результате опыта событие А произошло. А именно,

если вероятности гипотез до опыта (априорные вероятности) были

Р(Н1), …, Р(Нn), а в результате опыта произошло событие А, то ус-

ловные вероятности гипотез (апостериорные вероятности) мо-

гут быть найдены по формулам:

,

Е

1

( ) ( ) ( / )n

i ii

P A P H P A H

1 2( ) ( / )

( / ) , , , ...,( )

k kk

P H P A HP H A k n

P A

43

где вероятность события А находится по формуле полной вероятно-

сти:

1

( ) ( ) ( / )

n

i ii

P A P H P A H .

(При этом, поскольку события Н1, Н2, …, Нn несовместны и образу-

ют полную группу, по-прежнему, справедливо соотношение

1

1( / )

n

kk

P H A ).

ПРИМЕР 1. В одной урне лежат 6 белых и 4 черных шара, в

другой – 4 белых и 3 черных. Из 1-й урны наудачу переложили во 2-

ую урну один шар, а после перемешивания из 2-ой урны наудачу дос-

тали один шар, который оказался белым. Какова вероятность: а) что

из первой урны во вторую был переложен белый шар? б) что выну-

тый из 2-ой урны белый шар первоначально находился в первой ур-

не?

Рис. 9. К примеру 1

Решение. а) Пусть событие А – из второй урны вынут белый

шар. Рассмотрим две гипотезы: гипотеза Н1 – из первой урны был пе-

реложен белый шар, гипотеза Н2 – был переложен черный шар. Вы-

44

числим вероятности этих гипотез: 1 26 3 4 2

( ) , ( )10 5 10 5

P H P H .

В случае выполнения гипотезы Н1 во второй урне оказываются 5 бе-

лых и 3 черных шара, поэтому условная вероятность вынуть белый

шар из второй урны равна 15

8( / ) P A H . При реализации гипотезы Н2

во второй урне оказываются 4 белых и 4 черных шара, и условная ве-

роятность вынуть белый шар равна 24 1

( / )8 2

P A H .

По формуле полной вероятности получаем:

1 1 2 223

( ) ( ) ( / ) ( ) ( / )40

P A P H P A H P H P A H .

Теперь по формуле Байеса можно найти вероятность гипотезы

Н1 (из 1-й во 2-ую урну был переложен белый шар) при условии, что

произошло событие А (из второй урны вынут белый шар):

1 11

( ) ( / ) 3 / 5 5 / 8 15( / )

( ) 23 / 40 23

P H P A HP H A

P A.

б) Для нахождения вероятности того, что вынутый белый шар

первоначально находился в первой урне, удобно считать, что на всех

белых шарах в первой урне поставлена метка (рис. 9). Рассмотрим два

несовместных события: B1 – из второй урны вынут белый шар с мет-

кой, B2 – вынут белый шар без метки. Тогда событие А (из 2-й урны

вынут белый шар) представляет собой сумму событий B1 и B2:

1 2. A B B В задаче требуется найти условную вероятность события

B1 при осуществлении события А. Имеем по формуле Байеса:

45

1 11

( ) ( )( / )

( ) ( )

P B A P BP B A

P A P A.

Вероятность события А была найдена выше. Вероятность собы-

тия B1 найдем по формуле полной вероятности:

1 1 1 1 2 1 2( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) P B P H P B H P H P B H .

Здесь, по-прежнему, 1 23 2

( ) , ( )5 5

P H P H . Заметим, что при

выполнении гипотезы Н1 во второй урне оказывается 4 белых шара

без метки, один ‒ с меткой и 3 черных шара, поэтому условная веро-

ятность 1 11

( / ) .8

P B H При выполнении гипотезы Н2 во второй урне

оказываются 4 белых шара без метки и 4 черных шара, поэтому ус-

ловная вероятность 1 2( / ) 0.P B H В результате получаем:

13 1 2 3

( ) 0 .5 8 5 40

P B

Теперь по формуле Байеса может быть найдена искомая вероят-

ность того, что вынутый белый шар первоначально лежал в первой

урне, т.е. произошло событие B1 при условии А:

13 40 3

( / ) .23 40 23

P B A

ПРИМЕР 2. Фермер поручил двум охотникам застрелить волка,

пообещав им в случае успеха 35000 рублей. Первый, более опытный,

охотник попадает в зверя с вероятностью 0,9, а второй – с вероятно-

стью 0,6. Охотники встретили волка и одновременно выстрелили.

46

Волк был поражен одной пулей. Как охотники должны поделить

премию?

Решение. Пусть событие А – волк поражен одной пулей. Рас-

смотрим две гипотезы: гипотеза Н1 – попал первый охотник, гипоте-

за Н2 – попал второй охотник. Событие А может быть выражено через

события Н1 и Н2 следующим образом:

2 11 2 A H H H H .

С учетом несовместности двух слагаемых и независимости собы-

тий Н1 и Н2 по формулам сложения и умножения вероятностей на-

ходим:

2 11 2 0,9 0,4 0,1 0,6 0,42( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A P H P H P H P H .

Условная вероятность события А (одно попадание) при осущест-

влении гипотезы Н1 (попадание первого охотника) равна вероятно-

сти промаха второго охотника: 21( / ) ( ) 0,4 P A H P H . Аналогично,

условная вероятность события А при осуществлении гипотезы Н2

равна вероятности промаха первого охотника: 12( / ) ( ) 0,1P A H P H .

Тогда по формуле Байеса

1 11

0,9 0,4 6

0,42 7

( ) ( / )( / )

( )

P H P A HP H A

P A,

2 22

0,6 0,1 1

0,42 7

( ) ( / )( / )

( )

P H P A HP H A

P A.

Премию охотники должны поделить в той же пропорции, в какой

находятся условные вероятности их попадания: 1

2

6 1 6:

7 7 1

( / )

( / )

P H A

P H A.

47

Таким образом, первый охотник должен получит 6/7 частей премии,

или 30000 рублей; второй охотник должен получить 1/7 часть пре-

мии, то есть 5000 рублей. (Такой, на первый взгляд, не вполне спра-

ведливый дележ связан с тем, что вероятность попадания 1-го охот-

ника велика, так что одно попадание, скорее всего, именно на его

счету. Если бы попаданий было два, премию надо было делить по-

ровну).

Задачи к разделу 5

5.1. Имеются два одинаковых ящика с шарами. В первом ящике 2 бе-

лых и 1 черный шар, во втором – 1 белый и 4 черных. Наудачу выби-

рают ящик и вынимают из него шар. Какова вероятность, что выну-

тый шар окажется белым?

5.2. Приборы зафиксировали утечку газа на участке газопровода, 40%

которого расположено под землей и 60% – под водой. Вероятность в

течение суток обнаружить утечку на подземном участке равна 0,7, а

на подводном – 0,8. Какова вероятность, что утечка газа будет обна-

ружена не позже, чем через сутки?

5.3. В воскресенье рано утром Петя решил пригласить одну из своих

подруг покататься на лыжах. Маша и Вера согласятся на раннюю

прогулку с вероятностью 0,1, а Лена – с вероятностью 0,05. Петя слу-

чайным образом набрал номер одной из трех своих подруг, и получил

резкий отказ. Какова вероятность, что он позвонил Лене?

5.4. В семье три дочери – Маша, Люба и Наташа – договорились, что

каждый вечер одна из них будет мыть посуду. Старшая дочь, Маша,

48

моет посуду 3 раза в неделю, а остальные девочки – по два раза. Ве-

роятность, что Маша разобьет тарелку, равна 0,02. Для Любы и На-

таши эти вероятности соответственно равны 0,03 и 0,04. Родители не

знают, кто мыл посуду вечером, но услышали звон разбитой тарелки.

Помогите родителям выяснить, какая из дочерей с наибольшей веро-

ятностью мыла посуду в тот вечер.

5.5. Два завода поставляют трубы для скважин. Завод А поставляет

30% общего количества труб, и из них 95% стандартных. Завод В по-

ставляет 70% труб, а стандартных среди них 90%. Взятая наудачу

труба оказалась нестандартной. Какова вероятность, что она изготов-

лена на заводе А?

5.6. Участок нефтепровода состоит из линейной части и резервуарно-

го парка. Каждая из составляющих необходима для работы всего уча-

стка. Вероятность безотказной работы в течение времени T линейной

части равна 0,9, а резервуарного парка – 0,8. Отказы в двух состав-

ляющих участка: а) несовместны; б) независимы. Произошла авария.

Какова вероятность, что она возникла только из-за неисправности

линейной части?

5.7. Из 20 студентов, сдающих экзамен, 8 подготовлены отлично

(знают все 40 вопросов), 6 – хорошо (знают 35 вопросов из 40), 4 –

средне (знают 25 вопросов) и 2 – плохо (10 вопросов). Вызванный

наугад студент ответил на все три вопроса билета. Найти вероят-

ность, что он подготовлен: а) хорошо, б) плохо.

5.8. Из 18-ти стрелков пятеро попадают в мишень с вероятностью 0,8;

семеро – с вероятностью 0,7; четверо – с вероятностью 0,6 и двое – с

49

вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок не попал в мишень. К

какой группе вероятнее всего принадлежит этот стрелок?

5.9. Страховая компания разделяет водителей по трем классам: класс

Н1 – низкого риска, класс Н2 – среднего риска, класс Н3 – высокого

риска. 30% водителей попадает в первый класс, 50% – во второй

класс и 20% – в третий класс. Вероятность в течение года попасть в

аварию для водителя класса Н1 равна 0,01; для водителя класса Н2

равна 0,02, а для водителя класса Н3 равна 0,08. Водитель Иванов в

течение года попал в аварию. Какова вероятность, что он относится к

классу Н1; к классу Н2; к классу Н3?

5.10. В одной урне лежат 5 белых и 3 черных шара, в другой – 2 бе-

лых и 7 черных. Из 1-й урны наудачу переложили один шар во 2-ую

урну, после перемешивания из 2-ой урны также наудачу вынули один

шар. Какова вероятность, что вынут белый шар? Если известно, что

из 2-й урны вынут белый шар, то какова вероятность, что: а) из 1-ой

урны во 2-ую был переложен белый шар; б) вынутый белый шар пер-

воначально лежал в 1-ой урне?

5.11. У людей бывают четыре группы крови. При переливании крови

больному необходимо учитывать совместимость по этому параметру.

Человеку с IV-й группой можно перелить кровь донора любой груп-

пы; больным с III-й или II-й группой можно переливать либо кровь

той же группы, либо I-й группы. А человеку с группой I подойдет

лишь кровь той же группы. 40% населения страны имеют I группу, II

и III группы имеют по 25% населения, а 10% людей имеют IV группу.

Найти вероятность, что: а) случайно взятому больному можно пере-

50

лить кровь одного случайно взятого донора; б) случайно взятому

больному можно провести переливание крови, если имеются два слу-

чайных донора.

5.12. На экзамен пришли 16 успевающих студента и 8 двоечников.

Двоечник в среднем использует шпаргалку в 80% случаев, а успе-

вающий студент только в 40%. После экзамена преподаватель нашел

в аудитории шпаргалку. Какова вероятность, что ее уронил двоечник?

5.13. Один стрелок поражает цель с вероятностью 0,8, другой – с ве-

роятностью 0,6 и третий – с вероятностью 0,5. После залпа всех трех

стрелков в мишени оказалось 2 пробоины. Какова вероятность, что

промахнулся третий стрелок?

5.14. В условиях предыдущей задачи после залпа трех стрелков в

мишени оказалась только одна пробоина. Какова вероятность, что

промахнулись 1-й и 3-й стрелки?

5.15. Студент во время экзамена для решения сложной задачи решил

воспользоваться мобильным телефоном, в котором записаны номера

десяти его друзей. Пятеро адресатов могут решить задачу с вероятно-

стью 0,3, четверо с вероятностью 0,5 и лишь один (обучающийся по

специальности «прикладная математика») с вероятностью 1. Первый

же звонок другу позволил студенту правильно решить задачу. Какова

вероятность, что он дозвонился до друга-математика?

5.16. 20% проблем с загрузкой компьютера связаны с ошибками, до-

пущенными компанией Microsoft, и в одном случае из пятидесяти при

этом приходится заново переустанавливать систему. 35% проблем

связаны с наличием вируса (переустановка требуется в одном случае

51

из 20). В остальных случаях проблемы возникают из-за действий

пользователя, и переустановка требуется в одном случае из 30. Ваш

компьютер вышел из строя. Какова вероятность, что в этом виновата

компания Microsoft, и Билл Гейтс принесет вам свои извинения?

5.17. В первой урне лежат 3 белых и 8 черных шаров, во второй – 4

белых и 5 черных. Из первой урны наудачу переложили два шара во

вторую урну, после чего из второй урны наудачу достают один шар, и

он оказывается белым.

1) Какова вероятность, что из первой урны во вторую переложили

два белых шара?

2) Какова вероятность, что вынутый из второй урны шар первона-

чально находился в первой урне?

5.18. Из двух монет одна имеет брак, и поэтому вероятность выпаде-

ния орла для нее равна 0,6. Наудачу взятая монета была подброшена

два раза, и каждый раз выпадал орел. Какова вероятность, что была

взята бракованная монета?

5.19. Решить задачу 5.18, если известно, что монета подбрасывалась:

а) три раза; б) n раз.

5.20. В первой корзине лежат 4 белых и 2 подосиновика, во второй –

1 белый и 3 подосиновика. Ребенок переложил из первой корзины во

вторую два гриба, после чего из второй наудачу достал два гриба,

оказавшихся белыми. Какова вероятность, что при этом же условии

из первой урны во вторую переложили белый и подосиновик; два по-

досиновика?

52

5.21. В первой урне лежат 9 белых и 1 черных шаров, во второй – 2

белых и 7 черных, в третьей, соответственно, 6 и 3. Из первой урны

наудачу переложили один шар во вторую, а после перемешивания из

второй урны переложили один шар в третью. Из третьей урны науда-

чу достали один шар, оказавшийся белым. Какова вероятность, что

при этом из первой урны во вторую переложили белый, а из второй в

третью – черный шар? Какова вероятность, что вынутый шар перво-

начально находился в первой урне; во второй?

5.22. Имеются три партии деталей по 20 штук в каждой. Число стан-

дартных деталей в 1-й, 2-й и 3-й партиях равно соответственно 20, 15

и 10. Из наудачу выбранной партии извлечена деталь, оказавшаяся

стандартной. Деталь возвратили в ту же партию и после перемешива-

ния вторично извлекли из нее еще одну деталь, которая тоже оказа-

лась стандартной. Найти вероятность того, что детали извлекались из

третьей партии.

5.23. Экзаменатор решил помочь нерадивому студенту сдать экзамен

по теории вероятностей. Вместе с двумя обычными билетами, ответы

на которые студент не знает, он заготовил еще два билета с таблицей

умножения на 2. Студент должен любым способом распределить эти

4 билета по двум кучкам. После чего, преподаватель наугад выбирает

одну кучку, из нее случайным образом вынимает один билет и дает

студенту. Как студент должен распределить билеты по кучкам, чтобы

вероятность сдать экзамен была для него максимальной (таблицу ум-

ножения на 2 он знает)?

53

5.24. Из двух близнецов первым на свет появился мальчик. Какова

вероятность, что следующим тоже появится мальчик, если среди всех

близнецов вероятность рождения двух мальчиков и двух девочек со-

ответственно равна p и q, а для разнополых близнецов вероятность

рождения первым мальчика или девочки одинакова?

5.25. На шоссе одна за другой расположены две автозаправочные

станции: сначала компании «ВР», а затем – компании «Лукойл». 60%

всех проезжающих шоферов принимают решение воспользоваться

заправкой «ВР». При этом вероятность, что им это удастся сделать,

равна 80% (остальные из-за большой очереди или отсутствия требуе-

мого сорта бензина едут дальше). 15% из проехавших мимо автоза-

правочной станции «ВР» и 80% из тех, кому не удалось заправить на

ней автомобиль, останавливаются затем на станции «Лукойл». Веро-

ятность заправить автомобиль на АЗС «Лукойл» равна 85%. Останов-

ленный инспектором ГАИ после двух автозаправочных станций ав-

томобиль оказался заправленным. Какова вероятность, что его владе-

лец воспользовался услугами «ВР»?

5.26. У студента Вовы мобильный телефон звонит в среднем 5 раз в

час. Декан вызвал студента с объяснениями по поводу академической

неуспеваемости и в течение 6 минут проводит с ним разъяснитель-

ную беседу. Если мобильный телефон студента Вовы за это время не

зазвонит, то декан примет решение об отчислении студента с вероят-

ностью 0,2, а если зазвонит, то с вероятностью 0,4. Какова вероят-

ность, что после разговора с деканом студент будет отчислен?

54

5.27. В передаче «Поле чудес» игроку показывают три шкатулки, в

одной из которых лежит приз. Игрок указывает на одну из шкатулок,

после чего Якубович открывает одну из оставшихся, оказавшуюся

пустой. Что лучше для игрока: сохранить прежний выбор, или вы-

брать третью шкатулку?

5.28. Трое царских сыновей выпустили по одной стреле из лука. Для

Бориса-царевича вероятность попасть стрелой в пруд с Царевной-

лягушкой равна 0,2, а в обычный пруд 0,6. Для Василия-царевича эти

вероятности, соответственно, равны 0,4 и 0,3. Для Ивана-царевича

эти вероятности равны 0,8 и 0,1. После испытания одна из стрел ока-

залась в пруду с Царевной-лягушкой. Какова вероятность, что это

была стрела Ивана-царевича?