Теория Вероятности

Главные понятия:

Событие – это факт, который может произойти в результате испытания

Испытание – это осуществление определённого комплекса условий

Примеры испытаний Примеры событий

1. Выстрел по мишени.2. Извлечение шара из коробки с

цветными шарами.3. Решение задач на

контрольной работе.4. Бросание игрального кубика.5. Подбрасывание монеты.

1. Попадание в определённую область мишени. Промах.

2. Появление шара определённого цвета.

3. Получение определённого балла за контрольную.

4. Выпадение определённой грани (определённого числа очков от1 до 6).

5. Выпадение орла или решки.

Различают события

Перестановки- это комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающихся только порядком их расположенияn! = 1*2*3*…n (факториал)0!=1Пример: Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр1,2,3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?Ответ: На первом месте может стоять любая из трёх чисел, на втором месте уже любая из 2 чисел, а на третьем только одна. Всего вариантов 3!=6

Задачи1) Несколько стран в качестве символа своего государства решили

использовать флаг в виде 3 горизонтальных полос одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный. Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны свой, отличный от других флаг?

2) В семье 6 человек, и за столом стоят 6 стульев. В семье решили каждый вечер, ужиная, рассаживаться на эти 6 стульев по-новому. Сколько дней члены семьи смогут делать это без повторения. ?

2) Десять разных писем раскладывают по одному в десять конвертов. Сколько существует способов такого раскладывания?

2) В коридоре висят 4 лампочки. Сколько имеется различных способов освещения коридора?

Ответы

1) 1*2*3 = 6 комбинаций2) 6*5*4*3*2*1 = 720 различных способов3) 10! = 3628800 способов4) Каждая лампочка может гореть или не гореть,

тогда число всех способов освещения равно 2*2*2*2 = 16

Размещения – это комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.

=Пример: Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?Ответ: Искомое число сигналов

5*6=30 сигналов

=

-

Сочетания – это комбинации,

составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.

=

Пример: Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?Решение: Искомое число способов

=

Ответ: 45 способов

Задачи

1) «Проказница мартышка, Осёл, Козёл и косолапый Мишка затеяли сыграть квартет». Мишке поручили принести со склада 8 каких- нибудь попавшихся под лапы музыкальных инструментов из имеющихся 13 инструментов. Сколько способов выбора есть у

Мишки?2) Собрание из 80 человек выбирает председателя,

секретаря и трёх членов редакционной комиссии. Сколькими способами это можно сделать?

Ответы

1) = =

= 13*11*9 = 1287 способов

= =

=

= 13*77*76 = 76076

2) Чтобы выбрать председателя – 80 способов, для секретаря – 79 способов. А порядок выбора для комиссии не имеет значения. Сделать это можно способами

Всего способов 6320*76076 = 480800320

Выбор нескольких элементов

Задачи

1)В чемпионате участвовали 7 команд. Каждая команда играла один матч с каждой. Сколько всего было встреч?

2)Встретились 6 друзей и каждый пожал руку каждому своему другу. Сколько было рукопожатий?

3)В классе 27 учеников. К доске нужно вызвать двоих.. Сколькими способами это можно сделать, если а) первый ученик должен решить задачу по алгебре, а второй – по геометрии; б) они должны быстро стереть с доски?

Ответы

1) = 21

2) Первый способ: = 15

Второй способ: Условно переименуем друзей. Первый поздоровался со 2, 3, 4, 5, 6. Всего 5 рукопожатий. Для второго неучтёнными остались рукопожатия с 3, 4, 5, 6. Всего 4 рукопожатия и т. д. Получаем, что рукопожатий было всего 5+4+3+2+1 = 15

1

3

2

4 5

6

2

1

34

5

6

3)Для первого случая порядок выбора важен: например Коля решает по алгебре, Катя – по геометрии, а наоборот уже будет другая комбинация. Тут применимо правило умножения. По алгебре может решить один из 27 учеников, а по геометрии – уже один из оставшихся 26 учеников. Получаем 27*26 = 702 способа. Для стирания с доски порядок вызова учеников не важен, т. е. к примеру, вызов Коли и затем Кати ничем не отличается от вызова Кати и затем Коли.. Поэтому если считать как в первом случае, то любую пару учеников мы посчитаем дважды. Значит количество вызовов без учёта порядка будет ровно в два раза меньше, чем количества вызовов с учётом порядка. Ответ: а) 702; б) 351

Перестановки с повторениями – это комбинации, состоящие из одних и тех же n элементов, из которых некоторые одинаковы, и отличающихся только порядком их расположения.

Пример: Перечислите различные перестановки слова МАМА

Решение: мама, маам, ммаа. Амам, аамм, амма. Ответ: 6 перестановок

Сочетания с повторениями –это комбинации , составленные из n различных элементов, среди которых встречаются одинаковые, по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.

=

Пример: В кондитерском магазине продаётся 4 сорта пирожных: наполеон, эклеры, песочные и слоёные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных? Ответ:

=

= = =120

ВероятностьВероятностью события А называют отношение числа

благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных

элементарных исходов.

Где m – число исходов, , благоприятствующих событию А, n – число всех возможных элементарных исходов

испытания.Свойства вероятности

1) Вероятность достоверного события равна единице.2) Вероятность невозможного события равна нулю.3) Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулём и единицей.

Р(А) =

АлгоритмДля нахождения вероятности случайного события А опыта следует:1)Найти число N всех возможных исходов данного опыта;2) Найти количество N (А) тех исходов опыта, в которых наступает событие А;

3) Найти число N(A)/N; оно и будет равно вероятности события А

ПримерНабирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал её наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.Решение: Пусть событие А – нужная цифра. Абонент мог набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число всех элементарных исходов равно 10. Таким образом, искомая вероятность равна Р(А) =

Правило умножения

Для того чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А на число всех исходов испытания ВПример: В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет все три раза.Решение: По правилу умножения получаем 1/2*1/2*1/2

Задачи

1)По цели произвели 24 выстрела, причём было зарегистрировано 19 попаданий. Найти частоту попаданий2)В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Ответы1) 19/242) 10/30 = 1/3

Спасибо за внимание!