1 ITC L. Amabile Avellino Il linguaggio della Matematica: Insiemi e operazioni Prof. Roberto Capone.
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1
ITC L. Amabile Avellino
Il linguaggio della Matematica: Insiemi e
operazioniProf. Roberto Capone
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Il concetto di insieme è un
CONCETTO PRIMITIVO proprio PRIMITIVO proprio come i concetti di punto, retta e come i concetti di punto, retta e piano introdotti nella geometriapiano introdotti nella geometria
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Il termine “insieme” in matematica indica una collezione di oggetti , più o meno come nel linguaggio comune
Si tratta di un concetto molto importante perché su di esso si fonda tutto l’edificio della matematica
La TEORIA DEGLI INSIEMI è strettamente connessa con molti settori della matematica
F UNZ IO NI
RE L A Z IO NI
A L G E BRA
T E O RIA D E I NUM E RI A NA L IS I
G E O M E T RIE
L O G IC A
TEORIA DEGLI INSIEMI
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Affinché si possa parlare di insieme in senso matematico occorre poter stabilire senza ambiguità se un oggetto appartiene o meno all’insieme
Perciò in matematica si considerano insiemi solo quei raggruppamenti di oggetti per cui è possibile stabilire, secondo un criterio oggettivo, se un oggetto appartiene o meno al raggruppamento
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5
Ad esempio è un insieme matematicamente corretto l’insieme delle città della Lombardia.Infatti tutti sanno riconoscere le differenti città della regione
Non è un insieme matematicamente corretto l’insieme dei ragazzi simpatici della classe.Ciò perché la simpatia di un compagno o di un altro è soggettiva
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Insiemi numerici
Abbiamo già incontrato alcuni insiemi ovvero dei raggruppamenti di elementi che hanno caratteristiche comuni
N l’insieme dei numeri naturaliZ l’insieme dei numeri interiQ l’insieme dei numeri razionaliR l’insieme dei numeri reali
Tali insiemi si chiamano anche insiemi numericiUn insieme privo di elementi si chiama INSIEME VUOTO e si indica col simbolo Ø
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Simbologia
Uuniverso ambienteall' rispettoA insiemedell' areComplementA C
Uuniverso ambienteall' rispettoA insiemedell' areComplement A
niproposizio tranedisgiunzio di Simbolo
niproposizio tranecongiunzio di Simbolo
che Tale /
vuotoInsieme
insiemi tradifferenza di Simbolo -
insiemi traneintersezio di Simbolo
insiemi traunione di Simbolo
zaappartenennon di Simbolo
zaappartenen di Simbolo
U
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Il simbolo di appartenenza
Considera l'insieme A delle lettere dell'alfabeto che costituiscono la parola "mamma". Le lettere a, m appartengono a tale insieme e si scrivein simboli: a A, m A,
Le lettere b e c non appartengono all’insieme e si scrive b A , c A ...∉ ∉
Attenzione all'uso dei simboli : essi esprimono sempre un legame tra
un elemento ed un insieme, mai tra due insiemi o tra due elementi. Il
nome dell'elemento è scritto a sinistra, quello dell'insieme a
destra.
Î
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Rappresentazione di un insieme
Per rappresentare un qualsiasi insieme possiamo utilizzare tre diversi metodi. Si voglia ad esempio rappresentare l’insieme che chiameremo “A” di tutti gli amicidi Marco che sono: Andrea, Marta, Simone, Matteo, Anna, Martina.
Con i diagrammi di Eulero Venn:
Attraverso larappresentazione tabulare(estensiva):Enunciando la proprietà
caratteristica (intensiva):
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1) Rappresentazione tabulare
A = {Marta; Andrea; Matteo; Martina; Simone; Anna}
2) Rappresentazione per caratteristica
A = {x | x è amico di Marco}
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3) Rappresentazione con diagrammi di Eulero-Venn
Andrea •Matteo •
Marta •Martina •
Simone Anna•
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Un insieme può essere contenuto in un altro
1 2
0
3
4BA
Si dice allora che B è un sottoinsieme di A:
B A
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Esempi
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14
Esempi
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15
Esempi
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OPERAZIONI TRA INSIEMI
Intersezione Unione Differenza Complementare Prodotto Cartesiano
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A
B
Si definisce intersezione di due insiemi A e B, l'insieme formato dagli elementi comuni ad A e B.
l’intersezione è la parte colorata
A B = {x x A e x B}
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Dati ad esempio i due insiemiA = {0,1,2,3,4} e B = {2,4,6},
l’intersezione tra A e B è data dal seguente insieme:
A B = {2, 4}
Il simbolo è il simbolo che caratterizza l’operazione. Si può leggere “A intersecato B” oppure “A e B”.
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Con i diagrammi di Venn, il risultato dell’esempio precedente sarà indicato
così:
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Esempio……Esempio……
Siano E={10, 11, 15, 16},
F={13, 15, 16, 17},
Allora I = E F = {15, 16}
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CASI PARTICOLARI DELL’INTERSEZIONE
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Si definisce unione di due insiemi A e B, l'insieme degli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi dati.
l’unione è la parte colorata
A
BA B = {x x A o x B}
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Dati ad esempio i due insiemiA = {1,2,3,5} e B = {2,3,4,6}, l’unione tra A e B è data dal seguente insieme:
A B = {1,2,3,4,5,6}
Il simbolo è il simbolo che caratterizza l’operazione. Si può leggere “A unito B” oppure “A o B”.
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Con i diagrammi di Venn, il risultato dell’esempio precedente sarà:
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Esempio……Esempio……
Siano E={1, 2, 3}
F={4, 5, 6},
Allora R = E F = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
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CASI PARTICOLARI DELL’UNIONE
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Si definisce differenza complementare fra due insiemi B ed A l’insieme degli
elementi di B che non appartengono ad A.
B
A
B
AB - A è la parte colorata in figura.
Si ha, per definizione: B – A = {x x B e x A}
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L’operazione di differenza complementare non soddisfa la proprietà commutativa, cioè:
B-A -B
Infatti...
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29
Dati ad esempio i due insiemiB = {1,2,3,5} e A = {2,3}, accade che:
B - A = {1,5}
A - B = { }
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30
Con i diagrammi di Venn, l’esempio precedente diventa:
.1 .2 .3
.5
D
A.1
.2 .3
.5
D - A
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31
Esempio……Esempio……
Siano E={a, b,c,d}
F={c, d, e, f, g},
Quindi D = E - F = {a, b}
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Si definisce prodotto cartesiano tra due insiemi A e B non vuoti l'insieme formato da tutte le coppie ordinate tali che il 1° elemento ad A ed il 2° elemento a B.
Dati gli insiemi
A={2, 4} B={a,f}
AxB={(2,a);(2,f);(4,a);(4,f)}
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Attenzione: per l’operazione
prodotto cartesiano non vale la proprietà commutativa! xx
Infatti, dati gli insiemi
A={2, 4} B={a,f}
AxB={(2,a);(2,f);(4,a);(4,f)}
BxA={(a,2);(a,4);(f,2);(f,4)}
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Proprietà delle operazioni
Le operazioni di intersezione, unione e complementazione godono delle seguenti proprietà:
di Leggi BABA
BABA
arietàComplement UAA
AA
vadistributi Proprietà C)(AB)(AC)(BA
C)(AB)(AC)(BA
toassorbimen di Legge AB)(AA
AB)(AA
aassociativ Proprietà CB)(AC)(BA
CB)(AC)(BA
acommutativ Proprietà ABBA
ABBA
aidempotenz di Proprietà AAA
AAA
De Morgan