1 Introducción al tratamiento de datos © José Luís Contreras.

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Introducción al tratamiento de datos

© José Luís Contreras

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Enfoque

Intuitivo (nos falta estadística y tiempo)

Práctico

(queremos trabajar en el laboratorio)

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Indice

Medidas. Unidades. Cálculo de incertidumbres. Presentación de resultados. Media ponderada. Regresión lineal. Interpolación. Ejercicios

4

Medir

Comparar una cantidad con su respectiva unidad, con el fin de averiguar cuantas veces la segunda está contenida en la primera.

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Partes de una medida I

Si medimos el largo de una mesa ...

125,634

El resultado podría ser ?

125,634 cm

125,634 ± 17,287 cm

125 ± 17 cm

6

Partes de una medida II

Al medir una mesa podemos obtener

125 ± 17 cm

valor ±incertidumbre

Presentación unidades

7

Error e incertidumbre I

Muchas veces se cometen errores al medir.

Debemos corregirlos o al menos estimarlos

Xmedido

X Xreal

X

8

Error e incertidumbre II

Xmedido

X Xreal

X

Error = Xreal –Xmedido

XrealXmedido X, Xmedido X)

9

Nivel de Confianza X depende de lo seguros que queramos estar Nivel de confianza = fracción de las veces que

quiero acertar. 99%, 95%...

Xmedido

X Xreal

X

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Tipos de medidas

Medidas directas

Medidas indirectas

Las anoto de un instrumento

L1, L2

Provienen de aplicar

operaciones a medidas

directas

A = L1 x L2 L1

L2

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Tipos de errores

Medidas directas

Medidas indirectas

• Sistemáticos•Aleatorios

• Derivados de los anteriores

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Errores sistemáticos

Errores sistemáticos

Limitaciones de los aparatos o métodos

• Precisión• Calibración

731072

13

Errores aleatorios I

Factores que perturban nuestra medida.• Suma de muchas causas • Tienden a ser simétricos.• Se compensan parcialmente.• Repetir las medidas.• Estadística

medidas

Xreal

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Errores aleatorios II

Distribuciones Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios. Tienden a curvas típicas

Xreal

x xx

xx xx

xxx

x x

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Cómo estimar el resultado

Frente a errores sistemáticos.

Frente a errores aleatorios.

• Medir correctamente• Calibrar los aparatos

• Se compensan repetir varias veces la medida• La media es el valor más probable

n

i

i

n

XX

1

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Indice

Medidas. Unidades. Cálculo de incertidumbres. Presentación de resultados. Media ponderada. Regresión lineal. Interpolación. Ejercicios

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Partes de una medida II

Al medir una mesa podemos obtener

125 ± 17 cm

valor ±incertidumbre

Presentación unidades

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Tipos de errores

Medidas directas

Medidas indirectas

• Sistemáticos•Aleatorios

• Derivados de los anteriores

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Incertidumbre

Se suele expresar como:

Se suele descomponer en:

1. Incertidumbre factores sistemáticos: S1S2Destaca la de precisión

2. Incertidumbre factores aleatorios:

1. Absoluta: X

2. Relativa:X

XEr

X

XenEr

100%

20

Incertidumbre de precisión Es

En casos sencillos la estimaremos como:

A veces depende del experimentador

No es fácil definir su intervalo de confianza

La mitad (?) de la división menor de la escala

Ej: Balanza

No hay reglas sencillas para estimarla

Ej: Cronómetros

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Incertidumbre aleatoria EA

Para n medidas

nn

ntEA

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s = Desviación

típica de las medidas

Desviación típica de la media

Factor de cobertura

t de Student

22

1

2

2

13

454443

1

2221

2

21

2

n

xxs

n

ii

n 3

2

3

543

xxxs 0

3

)5()4()3(

xxxs

3

2

3

543222

2

xxx

s

s: la dispersión de los datos

Xreal

4X

¿edir la separación con respecto al valor real ?

No conocemos el valor real

¿edir la separación con respecto al valor medio ?

¿Cómo?

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s: propiedades

Es la distancia del valor real a la que estará más probablemente un nuevo dato

ctesn

Tiene las mismas unidades que el resultado

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Dispersión de la media

SI hiceramos muchos grupos de n medidas... La media es más precisa que cualquier dato, los

errores aleatorios se compensan Pero despacio .... Los errores de precisión no se compensan

n

ssX

25

t de Student

Ya tenemos y pero el intervalo... es pequeño y

conlleva un nivel de confianza variable multiplicamos por un factor

corrector.

Si es el nivel de confianza p=0.05.

Para pocas medidas s=n-1 se estima mal y el factor es mayor para compensar.

¿Quien fue Student ?

X Xs

XsX

nt

)()1( 444 pttt

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Coeficientes tn

n 1 2 3 4 5 10 20 40

tn

P=0.1 6,31 2,92 2,35 2,13 2,01 1,81 1,72 1,68 1,64

tn

P=0.05 12,7 4,30 3,18 2,78 2,57 2,23 2,08 2,02 1,96

tn

P=0.01 63,6 9,92 5,84 4,60 4,03 3,16 2,85 2,70 2,58

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t de Student

Ya tenemos y pero el intervalo... es pequeño y conlleva un nivel de confianza variable multiplicamos por un factor corrector.

Si es el nivel de confianza p=0.05.

Para pocas medidas s=n-1 se estima mal y el factor es mayor para compensar.

¿Quien fue Student ?

X Xs X

sX

nt)()1( 444 pttt

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Un poco de Historia:Student

Inglaterra - Irlanda Control de calidad

industrial Extraemos un número

pequeño de muestras de un lote grande.

¿ Representan al producto ?

W. Gosset 1876-1937

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Ejemplo

Me peso varios días seguidos en iguales condiciones

Día L M X J V Masa

(kg)73 72 74 72 73

kgM 8,725

)7372747273(

30

Ejemplo


Día L M X J VMasa

(kg)73 72 74 72 73

kgM 8,72

15

8,72738,72728,72748,72728,7273 22222

1

n

kgn 837,01

78,241 ttn

kgtE nA 041

5

8370782

51

4 ,,

,

31

Incertidumbre total

Combinaremos las incertidumbres en cuadratura:

Propiedades

22

21

2 X22SA EEX

ASASA

SASASA

EEEEE

EEEEEE

22

22

,

,

32

Resumen medidas directas

22SAfinal EEX

SMedia división

mínima nn

ntEA

11

XX final

33

Ejemplo


Día L M X J VMasa

(kg)73 72 74 72 73

kgM 8,72

kgEA 97,0

kgES 50,

kgM 091,15,097,0 22

kgM 091,1800,72 Presentación incorrecta !

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Medidas indirectas I

Dependen de otras mediantes expresiones matemáticas

Ej: Area de un cuadrado = (Lado)2

A = L2

L = 5 cm cm2 , ¿? Recordando derivadas...

LdL

dAA

L

A

LdL

dA

0

lim

35

Medidas indirectas II

Significado L

Válido si L pequeño

Interpretación geométrica

LLALdL

dA 22

L

L

L

L

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Medidas indirectas III

Area de un rectángulo

A = L1 x L2

L1 conocido perfectamente

Y si L1, ,L2 inciertos ?

2112

LLALdL

dA

L2

L2

L1

L2

L1

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Medidas indirectas IV

Errores independiente se compensan parcialmente

?1221 LLLLA

L1 x L2L1 x L2

L2 x L1

L2

L1

222

21 LLLLA

38

Medidas indirectas V

,, 21 XXfY

2

22

2

11

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

39

Derivadas parciales

1X

Y

Como varía Y si varía sólo X1

,, 21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32zxy

V

M

hrV 2

40

Casos simples

21 XXY 222

1 XXY

XcY XcY

21 XXY 2

2

2

2

1

1

X

X

X

XYY

2

1

X

XY

nXY X

XnYY

41

Ejemplo (casi) completo I

n0 1 2 3 4 5

M (g) 14.3 14.5 14.7 14.4 14.1

Usando una balanza se mide 5 veces la masa de una esfera de radio r = 1.0 0.1 cm. Se pide calcular su densidad.

V

M

1

23

42

gEEM AS 282022 .gES 05.0

ggEA 27805

2240782 .

..

Ejemplo (casi) completo II

n0 1 2 3 4 5

M (g) 14.3 14.5 14.7 14.4 14.1


gM 400.14

gM 282040014 ..

43

Ejemplo (casi) completo III


3

3

4rV rrr

r

VV

22

4

33,12,4 cmV

r

r

V

VE VR

33.0,

44

Ejemplo (casi) completo IV


?0335,14377,33cm

g

V

M

22

V

V

M

M

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1. NO tengo tanta precisión en como pretendo

2. ¿ Si tengo una incertidumbre de unidades...Por qué doy diezmilésimas en

Presentación de resultados

Los resultados se presentan redondeados

?0335,14377,33cm

g

3)0,14,3(cm

g

?0,14377,33cm

g

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Cifras significativas

Cifras significativas Todas salvo los ceros a la izquierda Sobreviven a un cambio de notación

Ejemplos:

c.s. 3 0,670 c.s 2 0,67

c.s. 3 670 c.s. 2 67

s. c. 3 10 123 c.s. 3 0,123

c.s. 3 10 123 c.s. 3 1233-

3

48

Reglas (arbitrarias) de Redondeo

La incertidumbre se expresa con 2 cifras significativas.

El valor se expresa con tantos decimales como la incertidumbre.

Valor e incertidumbre se expresan con las mismas unidades y potencia de 10.

49

Comparación de resultados

Resultados compatibles

Resultado más preciso.

Review of particle porperties (PDG). Phys. Rev. D 45 Part II (1992) I.11

50

Calculadora

51

Excel

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