光通信工学

1. 光ファイバ（復習）

2. フーリエ級数

余談：指導教官である私は、学部三年生のときに、「星野力」先生（現：筑波大学名誉教授）の授業でフーリエ級数を勉強した。教科書は「応用のためのフーリエ級数と境界値問題」（上）（下）チャーチル ・ ブラウン 著（鵜飼 正二 訳）であった。桜村（現：つくば市）天久保ショッピングセンターにあった古書店で教科書を買った。当時、物理としてより数学として勉強した。学部時代の授業内容はほとんど思い出せないけれど、教科書は捨てていない。 「星野力」先生は、1977年京都大学原子力研究所時代に、日立製作所の川合敏雄氏（当時）が当時普及し始めたマイクロプロセッサを使ったアレイ型計算機の構築提案を行ったことがきっかけで始まった物理学専用計算機、PACS（Processor Array for Continuum Simulation）の研究で有名。

光通信工学３0６－1

もう一度思い出してください：θとは？

-30 -20 -10 0 10 20 30

-30

-20

-10

0

10

20

30

-30 -20 -10 0 10 20 30

-30

-20

-10

0

10

20

30

z

y

y

右ねじ 電場Eベクトル：＋x軸 磁場Hベクトル：青色矢印 進行方向：白色矢印

1k

1k

1H

1H

0

0 明：山（最大）

暗：谷（最小）

白：山、黒：谷

01, 1, 10A k

-30 -20 -10 0 10 20 30

-30

-20

-10

0

10

20

30

z

y

明：山、暗：谷

0, , , 0xE x y z t

1k

1k

0

重ね合わせ

0,0,z zkk

1

cosz

k c

k k

k

合成前

合成後

光通信工学３0６－2

01, 1, 10A k

導波モード（姿態）： の場合

01, 1, 10A k

-30 -20 -10 0 10 20 30

-30

-20

-10

0

10

20

30

z

y

明：山、暗：谷

0, , , 0xE x y z t

イメージ

導波路長：無限

導波路幅：無限

2

2

2

sinD

k

スラブ導波路厚

y

光強度分布に注意！

-30 -20 -10 0 10 20 30

-30

-20

-10

0

10

20

30

z

y

明：山、暗：谷

0, , , 0xE x y z t

イメージ：無限に長い導波管

1

1sinD

k

z

y

イメージ

導波路長：無限

導波路幅：無限

スラブ導波路厚

1 2 1 2 1 2 1 22 , p zv k

z z p pD D k k v v

1 2

12

鏡の設置場所？

1 10,0,z zkk

2 20,0,z zkk

1 1 2 2cos , cosz zk k k k

光通信工学３0６－3

導波モードと伝搬定数の関係： の場合

z

y中央部が明るい導波モード

1pv

1 1cosk 伝搬定数 スラブ導波路厚 1 1sinD k

yz

y

2pv

中央部が暗い導波モード

2 2cosk 伝搬定数 スラブ導波路厚

位相速度 1 1pv

位相速度 2 2pv

関係式 1 2 2 1 1 2 1 22 , p pD D v v

次頁 2 1 1 2 1 2 1 2p pD D v v

1 1

1 1cos coszk

zt k z t z

導波モード：ある領域に閉じ込められた進行波

2 22 sinD k

伝搬定数をｋからβに書き換え

2 2

2 2cos coszk

zt k z t z

1 2 1 2D D

光通信工学３0６－4

導波モードと伝搬定数の関係： の場合

z

y中央部が明るい導波モード

1pv

y

z2pv

中央部が暗い導波モード

関係式

1,2

1 2 1 2 1 2

0 2

1 2 1 2 1 2 1 2sin sin 2 p p

D D

v v

重要：スラブ導波路

• 異なる光強度分布を持つモードが同時に導波可。

• でも、モードが異なると、伝搬定数・位相速度が異なる。

1 1cosk 伝搬定数 スラブ導波路厚 1 1sinD k 位相速度 1 1pv

1cos t z

2cos t z

2 2cosk 伝搬定数 スラブ導波路厚 位相速度 2 2pv 2 22 sinD k

ｚ方向に進む進行波

1 2 1 2D D

光通信工学３0６－5

スラブ導波路から光ファイバへ： ： の場合

かなり荒っぽい説明

中央部が明るい導波モード：LP01モード

中央部が暗い導波モード：LP11モード

たとえスラブ導波路から光ファイバになっても以下の特徴は同じ 重要：ある領域に閉じ込められた進行波の伝搬定数β・位相速度vpは

導波モード、構造で異なる。もちろん、角周波数、媒質中の屈折率でも異なる

1 1 1cos coskc

伝搬定数

スラブ導波路厚 1 1sinD k

位相速度

2 2 2cos coskc

伝搬定数

スラブ導波路厚 2 22 sinD k

位相速度

01

11

1 1pv

1 2 1 2D D

2 2pv

位相速度（光速）：自由空間中 c k k c

注意：中空なら「真空中の屈折率」、媒質がガラスなら「ガラスの屈折率」 光通信工学３0６－6

光通信工学の成り立ち： 半導体レーザ、低損失光ファイバ、光ファイバ増幅器（三種の神器）

光ファイバの構造

コア

クラッド

特徴 • 石英ガラスやプラスチックで形成 • 光を伝送するコアの部分は屈折率がクラッドより少し高い(～1%) • 光は全反射という現象によりコア内に閉じ込め • 光ファイバの伝送損失は0.2-0.3dB/km@1550nm • 10kmで約半分(3dB) • 損失を補い元の信号の大きさにもどす光ファイバ増幅器の存在 • コア系 ～ 10mm@1550nm、クラッド = 125 mm

保護樹脂

低屈折率

高屈折率

1 low

high

sinc

n

n

光通信工学３0６－7

光ファイバの分散関係式の例：ステップ形

屈折率

1n

2nCore Clad

分散関係式：ω（角周波数）とβ（伝搬定数）の関係 本講義：下図の説明のみに限定

コア径： 2a

2a等価屈折率：浸み出しが大きい（クラッドの屈折率に近づく。）

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

分散曲線の詳細：結果のみ（結構難しい） A. Yariv、多田・神谷（訳） 「光エレクトロニクスの基礎」p.80、丸善 D. Gloge, Appl. Opt., 10,2252 (1971) Fig. 3

0/

effn

k

等価

屈折

率

1n

2n

2

1 2

effn nb

n n

規格化

伝搬（位相）定数

0 2 4 6

2 2 2 2

0 1 2 0 1 2

8

0 0 0

/

/ , 3 10 /

V k a n n c a n n

k c c m s

1 2n n

伝搬定数の依存性

規格化周波数：

2.4053.832

5.136

単一モード領域

01LP

11LP

←小 大→ コア径

クラッドの屈折率

光浸み出し大

コアの屈折率

光閉じ込め大

参照：306-6 重要：伝搬定数β・位相速度vp 導波モード、角周波数、構造、屈折率で異なる

光通信工学３0６－8

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

0/

effn

k

等価

屈折

率

1n

2n

0 2 4 6

2.4053.832

5.136

分散曲線

2 2 2 2

0 1 2 0 1 2/V k a n n c a n n 規格化周波数：

2.405V

01LP

参考：原理的にコア径をいくら細くしてもLP01モードは光ファイバを導波できる。但し、細くすると等価屈折率がクラッドの屈折率に近づく。これは、光のクラッドへの浸み出しが非常に大きいことを意味する。詳細は省くが、浸み出しが大きいと曲げ損失が増加する。光ファイバ経由で長距離伝送したいならクラッドへの浸み出しを抑えることが重要。

単一モード領域：水色領域

単一モード光ファイバの特徴

• コア径を小さくすればどんな波長（周波数）の

光でも単一モード。

• 曲げ損失を考慮すると であることが望ましい。（詳細省略）

2.405V

2.405V

位相速度と伝搬定数の関係 pv

単一モードファイバのメリット（長距離用） • 位相速度（群速度：後述）が一種類。伝送に関

して波形歪が小さい。LP01モード以外のモードは、常に、クラッドへの光の浸み出しが大きいので、曲げ損失に弱く、長距離伝送に不向き。

マルチモードファイバのメリット（近距離用） • コア径を太くすることができる。光入射が容易

なので、取り扱いが簡単。詳細は省略。

b

Core Clad

屈折率

1n

2n

2a

コア

クラッド

重要だけど難しい

光通信工学３0６－9

z軸

光強度分布：中心部が明るい（LP01モードのみ） • 拡がらないビーム：平面波近似 • 誘電体の境界条件：光のクラッドへの浸み出し可

コア径 = 10 μm

光通信波長帯単一モード光ファイバ

• コア径、10μm位。波長1550nm帯で単一モード • クラッド径、 125μm • 最低損失 0.2 dB/km @ 1550 nm

光ファイバの内部

コヒーレント光：単一角周波数（単一波長）

0, cosE z t A t

遅延時間：τ

0, cosE t A t r

206

いつまでも同じ波：

簡単化： • 中心部が明るいことが既知 • 中心の電場Eのみ取り扱う

クラッド径 = 10 μm

01 伝搬定数

光強度：合成電場Eの振幅の自乗に比例 等位相面：平面

光通信工学３0６－10

z軸

光強度分布：中心部が明るい（LP01モードのみ） • 拡がらないビーム：平面波近似 • 誘電体の境界条件：光のクラッドへの浸み出し可

コア径 = 10 μm

光通信波長帯単一モード光ファイバ

• コア径、10μm位。波長1550nm帯で単一モード • クラッド径、 125μm • 最低損失 0.2 dB/km @ 1550 nm

光ファイバの内部

コヒーレント光：単一角周波数（単一波長）

0, cosE z t A t

206

どこまでも同じ波： 0, cosE z t A t z

距離：z

簡単化： • 中心部が明るいことが既知 • 中心の電場Eのみ取り扱う

進行波

伝搬定数

クラッド径 = 10 μm

01 伝搬定数

質問：単一角周波数（単一波長）で情報伝達可能？

光強度：合成電場Eの振幅の自乗に比例 等位相面：平面

光通信工学３0６－11

光信号：搬送波＋データ信号（例：振幅変調）

0cos cosz

c c ct z t

０ １ ０ １ ０ １ ０

2T データ信号：周期 Δ ：データ信号に対応

コヒーレント光：単一角周波数（単一波長）

搬送波：Carrier

データ信号

電場E

振幅変調された電場E

光強度： 電場Eの振幅の 自乗に比例

2c cT

注意：搬送波とデータ信号

周期・角周波数は異なる。 , ~ 5 @1550c c cT T T fs nm

振幅変調： 振幅 = 01010101…

送信者の位置 搬送波の周期 搬送波：Carrier

搬送波：Carrier 、Δ：データ信号

光通信工学３0６－12

時間軸

時間軸

光信号：変調前と変調後

コヒーレント光：単一角周波数（単一波長）

搬送波：Carrier

電場E

2c cT

2T データ信号：周期 Δ：データ信号に対応

振幅変調された電場E

振幅変調： 振幅 = 01010101…

変調前

変調後

質問：振幅変調された電場E • コヒーレント光？：単一角周波数（単一波長） • 答え：コヒーレント光とは言えない • 単一角周波数ではないことを具体的に説明しましょう！

１ ０ １ ０ １ ０

データ信号

0cos cosz

c c ct z t

送信者の位置

周期：搬送波 Carrier

exp cf t j t

f t

exp cj t

まず、データ信号のみに注目：周波数解析（スペクトル解析） • 周期関数のスペクトル解析：フーリエ級数 • 0101…が複数交互に発生して不自然：練習問題

光通信工学３0６－13

周期性を持つ偶関数：例

周期性を持つ任意の偶関数は、その周期に対応した角周波数をもつ基本波（余弦波）とその角周波数の整数倍の角周波数を持つ高調波（余弦波）で展開できる。余弦波は偶関数。

-15 -10 -5 0 5 10 15

-12.5

-10

-7.5

-5

-2.5

0

2.5

2T

1

If

then cosn

n

f t f t n T

f t a n t

1 1cos co1 1s 1a t t a

2 2cos co2 2s 1a t t a

3 3cos co3 3s 1a t t a

4 4cos co4 4s 1a t t a

5 0na 注意：たまたま零

基本波：n = 1 データ信号と同じ角周波数（周期）を持つ余弦波

以下、高調波（n = 2,3,4,...）を加算

データ信号：周期

0t

注意：関数 は周波数とは別物

f t

光通信工学３0６－14

周期性を持つ偶関数：例２

2T

1

If

then cosn

n

f t f t n T

f t a n t

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6,8,10,...

7 9,11,13,...

cos @ 2

cos 2 @ 0

cos3 @ 2 3

cos 4 @ 0

cos5 @ 2 5

0

2 7 , 0

a t a

a t a

a t a

a t a

a t a

a

a a

-15 -10 -5 0 5 10 15

-5

-4

-3

-2

-1

0

矩形波：無限和

周期関数

基本波 n = 1

0t

高調波 n = 3,5,7,…

データ信号：周期

光通信工学３0６－15

-15 -10 -5 0 5 10 15

-12.5

-10

-7.5

-5

-2.5

0

2.5

周期性を持つ奇関数：例

周期性を持つ任意の奇関数は、その周期に対応した角周波数をもつ基本波（正弦波）とその角周波数の整数倍の角周波数を持つ高調波（正弦波）で展開できる。正弦波は奇関数。

2T

1

If

then sinn

n

f t f t n T

f t b n t

1 1sin sin 1b t t b

2 2sin2 sin2 1b t t b

3 3sin3 sin3 1b t t b

4 4sin4 sin4 1b t t b

5 0nb 注意：たまたま零

0t

以下、高調波（n = 2,3,4,...）を加算

データ信号：周期

基本波：n = 1 データ信号と同じ角周波数（周期）を持つ正弦波

注意：関数 は周波数とは別物

f t

光通信工学３0６－16

フーリエ級数展開：偶・奇関数

2

f t f t n T

T

2T

0

1

2

cos sinn n

n

f t a

a n t b n t

0nb 0na

追加：直流（DC）成分

奇関数： 偶関数：

周期性：絶対必要！

偶奇関数を問わない

フーリエ級数展開：

/ 2

/ 2

/ 2

/ 2

2 cos

1 cos

2 sin

1 sin

T

nT

t

T

nT

t

a T f t n tdt

f n d

b T f t n tdt

f n d

フーリエ係数（振幅）：これが知りたい！

矩形波

• 一般には偶関数とも奇関数とも言えない

• でも、周期性はある

周期

0t

フーリエ級数展開：一般型

1

1

cos

sin

n

n

n

n

f t a n t

f t b n t

偶関数

奇関数 角周波数

注意：関数 は周波数とは別物

f t

光通信工学３0６－17

1 0 2

1 2 0

, 2

t Tf t

T t

f t f t n T T

1

フーリエ級数展開：例題

1

0t

周期

0

1

/ 2

/ 2

0 / 2

/ 2 0

0

0

cos sin2

20, sin

2 21 sin sin

1 11 sin sin

n n

n

T

n nT

T

nT

t

af t a n t b n t

a b f t n tdtT

b n tdt n tdtT T

n d n d

4 :

0 :n

n n oddb

n even

-15 -10 -5 0 5 10 15

-0.75

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

0.75

1

15n

t

篠崎、富山、若林「現代工学のための応用フーリエ解析」p.7、現代工学社

フーリエ係数：奇関数

周期波形 2T

T

2T

光通信工学３0６－18

-15 -10 -5 0 5 10 15

-8

-6

-4

-2

0

2フーリエスペクトルとは？

2 2 1

1

0

2 2 1

cos sin sin

, tan

2 sin

, tan

n

n

n

n

n nn n n

a b A

a b a b

f t n t

a b

A

A a

a

b

A

0A 1 2 3, , ,...A A A

11, 1 基本波

第２次高調波

第３次高調波

第４次高調波

角周波数

データ信号

2T

フーリエ

スペクトル

振幅：フーリエスペクトル（赤：正実数）

振幅の自乗：フーリエパワースペクトル

0

1

cos sin2

n n

n

af t a n t b n t

重要：スペクトル解析の目的は何？

• フーリエ級数を求めると「どのような振動（角周波数）成分」の波が「どの程度の強さ」で含まれているかを知ることができる

• フーリエスペクトル：各振動成分の振幅情報

とにかく周期関数！

フーリエ級数：周期性

周期波形：単振動の合成 22 , 2

33 , 3

44 , 4

radian

光通信工学３0６－19