复习1. 无穷小与无穷大的定义

2. 无穷小与函数极限的关系

3. 无穷小与无穷大的关系

几点注意 :

1. 无穷小和无穷大是相对于过程而言的 ;

2. 无穷小 ( 大 ) 是变量，不能与很小 ( 大 ) 的数混淆 ;3. 零是唯一可作为无穷小的数；4. 无界变量未必是无穷大 .

1. 极限运算法则(1) 无穷小运算法则(2) 极限四则运算法则(3) 复合函数极限运算法则

注意使用条件

2. 求函数极限的方法(1) 分式函数极限求法

时 , 用代入法 ( 要求分母不为 0 )

01) x x

时 , 对 型 , 约去公因子02) x x 00

时 , 分子分母同除最高次幂

3) x

(2) 复合函数极限求法 设中间变量

a. 多项式与分式函数代入法求极限 ;

b. 消去零因子法求极限 ;

c. 无穷小因子分出法求极限 ;

d. 利用无穷小运算性质求极限 ;

e. 利用换元法求复合函数的极限 ;

f. 利用左右极限求分段函数极限 .

极限求法

38 2

31lim

x

xx

)(lim xxxxx

14

12lim

x

x

x

2lim

1

nm

nm

x xx

xx

x

xx 2tan

4/)(tanlim

的极限？5, 5 5 , 5 5 5 , ......

第六节 极限存在准则两个重要极限

二、 两个重要极限

一、极限存在准则

一、极限存在准则

1. 夹逼准则

)( 0Nn

那么数列 的极限存在 , 且 nx lim nnx a

准则 I 如果数列 及 满足下列条件nn yx , nz

(1) ( 1, 2, 3 )n n ny x z n

(2) lim , lim ,n nn ny a z a

(Sandwich Theorem)

,na y a 即

上两式同时成立 ,

, azxya nnn

该准则可以推广到函数的极限

证 ,, azay nn ,0

,nnn zxy ,, azay nn

1 20, 0,N N 使得

当 时，1n N ,ny a 恒有 当 时，2n N ,nz a 恒有

1 2max{ , },N N N取 当 时，n N

,na z a

0 0N ， ， 当 时，n N 恒有

lim .nnx a

成立

,nx a 成立

注意 :

准则 I 和准则 I’ 称为夹逼准则 .

存在 , 且等于　 . )(lim)(

0

xfxxx

那么 A

准则 I' )( 0xUxo

( 或 ) 时 ,有如果当 | |x M

(1) ( ) ( ) ( ),g x f x h x

0 0( ) ( )

(2) lim ( ) , lim ( ) ,x x x xx x

g x A h x A

利用夹逼准则求极限关键是构造出 并且 的极限容易求得且相等 .

n ny z与

( ( ), ( )),g x h x ( ( )) ( ( ))n ny g x z h x与

例 1

解

由夹逼准则得

2 2 2

1 1 1lim( ).

1 2n n n n n

求

2 2 2 2

1 1,

1 1

n n

n n n n n n

2

1lim lim

11

n n

n

n nn

又 1,

2

2

1lim lim

11 1n n

n

nn

1,

.1)1

2

1

1

1(lim

222

nnnnn

1

lim(1 2 3 )n n n

n 求例 2

解

11 1 1 2

(1 2 3 ) =(33 3

) 1n n n

n n nn n

1

13

31

3

2n n n

1

3 3

1 23 1

n n n

1

3 3 n3

1

lim 3 33 nn

1

lim(1 2 3 ) 3n n n

n

(2009 年期中 )

练习 . 2 2 2

1 1 1lim

π 2π πnnn n n n

求

2. 单调有界准则

单调增加

单调减少单调数列

如果数列 满足条件nx

1 2 1 ,n nx x x x

1 2 1 ,n nx x x x

准则Ⅱ 单调有界数列必有极限 .

x1x 2x 3x 1nx nx

几何解释 :

A M

例 3 3 3 3 ( )nx n 重根式证明, .的极限存在 并求其极限

证 1 ,n nx x 显然 { }nx 是单调递增的

1 3 3,x 又 3,kx 假定 1 3k kx x 3 3 3,

{ } ;nx 是有界的 lim .nnx

存在 lim .nn

x A

＝设

1 3 ,n nx x 21 3 ,n nx x 2

1lim lim(3 ),n nn nx x

2 3 ,A A 1 13,

2A

解得

1 13

2A

( 舍去 )

1 13lim .

2nnx

(07 期中 )

2

1

lim ( !)nn

n

1

lim(1 2 3 )n n n

n (09 期中 )

设数列 满足 { }nx 10 ,x 1 sin( ) ( 1, 2, )n nx x n

证明 存在，并求该极限。lim nnx

(10 期中 )

1

lim( ( )) nn

f x

( )f x 在区间 上正值连续，求[ , ]a b

(06 期中 )

[ ]lim , lim n

nn n

n aa a

n

求 (05 期中 )

圆扇形 AOB的面积

二、 两个重要极限

证 :

即

△AOB 的面积＜ ＜△ AOD的面积

O

B

Ax1

D

C0

sin1. lim 1

x

x

x

1

2sin x 1

2x ,

1

2tan x 亦即 sin tan ,x x x

sincos 1

xx

x (0 )

2x

各项同除以 并求倒数，得：sin x

0

limcos 1,x

x

0

sinlim 1x

x

x

时的情形仅考虑 (0, )2

x

例 4 (P52,1)

解

0

tanlim .x

x

x求

0

tanlimx

x

x

0

sin 1lim

cosx

x

x x

0 0·

sin 1lim lim

cosx x

x

x x 1

0

sinlim 1.x

x

x

解 : 因此

原式

例 5. 求0

arcsinlim .x

x

x

令 arcsin ,t x 则 sin ,x t

0lim

sint

t

t

0

1lim

t

sin t

t

1

0

tan2lim 2

2x

x

x 2

0

tan2limx

x

x思考：

0

tanlim 2y

y

y

2y x令

( ) 0

sin )lim 1

(

( ).

x

x

x

0

tan2limx

x

x

说明 : 计算中注意利用

例 6 (P52,2)

解

0

sinlim 1.x

x

x

20

1 coslim .x

x

x

求

2

20

2sin2lim

x

x

x原式

2

20

sin1 2lim2

2

x

x

x

2

0

sin1 2lim2

2

x

x

x

211

2

1.

2

20

1 coslim 1.

2

x

x

x

例 7

解

2

2

sin( 4)lim .

2x

x

x

求

2

22

sin( 4)lim ( 2)

4x

xx

x

原式

2

22 2

sin( 4)lim lim( 2)

4x x

xx

x

1 4 4

0

sinlim 1.x

x

x

解

例 8 0

sinlim 8, ?x

kxk

x 若

0 0

sin sinlim limx x

kx kxk

x kx

0

sinlimx

kxk k

kx 8

2.

1(1 )nnx n

先证 1lim(1 ) .n

n n 存在

2

1 ( 1) 11

1! 2!

n n n

n n

( 1) ( 1) 1

! n

n n n n

n n

1 1 1 1 2 11 1 (1 ) (1 )(1 ) (1 ).

2! !

n

n n n n n

1

1 1 1 1 2 11 1 (1 ) (1 )(1 ) (1 )

2! 1 ! 1 1 1

1 1 2(1 )(1 ) (1 ).

( 1)! 1 1 1

n

nx

n n n n n

n

n n n n

1 ,n nx x 显然 是单调增加的 { }nx

1lim(1 )xx

ex

{ } ;nx 是有界的

1 1 1 1 2 11 1 (1 ) (1 )(1 ) (1 ).

2! !n

nx

n n n n n

1 11 1

2! !nx n

1

1 11 1

2 2n

11

211

12

n

1

13

2n 3,

1lim(1 )nn

en

记为

( 2.71828 )e 1

lim (1 )xx

ex

以下证明

lim .nnx

存在从而

1 1 1(1 ) (1 ) (1 ) ,

[ ] 1 [ ]x x x

当 时，1x [ ] [ ] 1,x x x 有

1lim(1 )nn

en

[ ] 11lim (1 )

[ ]x

x x

而 [ ]1 1

lim (1 ) lim (1 )[ ] [ ]

x

x xx x ,e

[ ]1lim (1 )

[ ] 1x

x x

[ ] 1 11 1lim (1 ) lim (1 )

[ ] 1 [ ] 1x

x xx x

,e

1lim (1 ) .x

xe

x

[ ] [ ] 1x x x

1lim (1 ) ,x

xe

x 再证 ,t x令

1lim (1 ) .x

xe

x

1 1

lim (1 ) lim(1 )x t

x tx t

1lim(1 )

1t

t t

11 1

lim(1 ) (1 )1 1

t

t t t

.e

1lim(1 )xx

ex

1

0lim(1 ) xx

x e

可证明1,tx

令

lim( )1

t

t

t

t

例 9

解

1lim(1 )xx

ex

1lim(1 ) .xx x

求

1lim (1 )x x

原式 1[ ]x 1lim

1(1 )

x x

x

1.e

解 1lim (1 )

2x x

原式 22[ ]x 41

(1 )2x

例 10 23lim( ) .

2x

x

x

x

求

2 .e

内容小结1. 极限存在的两个准则

夹逼准则 ; 单调有界准则 .

2. 两个重要极限

0

sin(1) lim 1

1(2) lim ( 1 ) e

1

0lim(1 ) e

或

代表相同的表达式

思考题 求极限

思考题解答

1

lim 3 9x x x

x

1

lim 3 9x x x

x

11

1lim 9 1

3

xx xxx

13 31

9 lim 13

x x x

xx

09 9e

0

13. lim sin ____ ;

xx

x

12. lim sin ____ ;

xx

x

sin1. lim _____ ;

x

x

x

1

练习题

0

14. lim(1 ) ____ .n

n n

1e

0

0

arc tan3. lim ______ .

x

x

x

一、填空题 :

0

sin1. lim _____ .

x

x

x

0

sin22. lim ______ .

sin3x

x

x

sin5. lim ______ .

2x

x

x

1

06. lim(1 ) _____ .x

xx

练 习 题

04. lim cot 3 __________ .

xx x

tan2

4

2. lim (tan ) x

x

x

217. lim( ) _____ .x

x

x

x

18. lim(1 ) ______ .x

x x

0

1 cos21. lim

sinx

x

x x

3. lim ( )xx

x a

x a

二、求下列各极限 :

2 14. lim ( )

1n

n

n

n

提高题 1 1lim(sin cos ) .xx xx

221 1= lim[(sin cos ) ]x

x xx 原式

22lim (1 sin )x

xx

lim[ ]x

2(1 sin )x2

1sin x

2

2

sin x

x

e

作 业• P56 ： 1 ， 2 ， 4

作业提交时间： 2012 年 10 月 22 日上午8:00