1 ． 什么叫一元一次方程 ?

2 ． 下列方程哪些是一元一次方程 ?

(1)2 4 3x (2)3 2 8x y

2(3)2 3 5x x

3

(4) 13 2

x x

新课导入

一辆快客车和一辆中巴车在公路上行驶 ,已知快客车每小时比中巴车多行 20千米 ,快客车行驶 80千米所需要的时间与中巴车行驶 60千米所需要的时间相同 ,求快客车的速度．

解 : 设快客车每小时行驶 X 千米 , 则中巴车每小时行驶 (x － 20) 千米 , 根据题意可得方程 :

80 60

20x x

怎样解这个方程？是一元一次

方程吗？

【课程标准】 1 ．了解分式方程的概念 , 和产生增根的原因． 2 ．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根． 3 ．会分析题意找出等量关系． 4 ．会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题．

教学目标

【知识与能力】 经历“实际问题－分式方程模型—解分式方程—检验合理性”的过程，发展分析问题、解决问题的能力，培养应用意识．

【情感态度与价值观】 通过学习课堂知识使学生懂得任何事物之间是相互联系的，理论来源于实践，能用所学的知识服务于我们的生活．

重点 1 ．审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分式方程的数学模型． 2 ．根据实际意义检验解的合理性．难点 1 ．会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根． 2 ．列分式方程表示实际问题中的等量关系．

教学重难点

（ 3 ）已知所得的两位数与原两位数的比值是

　，则可以列出方程为 _________________ ．4

7

（ 1 ）一个两位数的个位数字是 4 ，十位数字为 x ，

则两位数可表示为 _________________ ； （ 2 ）如果把个位数字与十位数字对调 , 那么所

得的两位数又可表示为 _____________ ；

4

7

410

104

x

x

10x ＋ 4

40 ＋ x

　甲、乙两人加工同一种服装 , 乙每天比甲多加工 1 件，已知乙加工 30 件服装所用时间与甲加工 25 件服装所用时间相同，甲每天加工多少件服装 ? 如果设甲每天加工 x 件服装，那么可列方程：

x x

30 25

1

　某学校组织学生到距离学校 15km 的东山去游玩 , 先遣队与大队同时出发 , 先遣队的速度是大队速度的 1.5 倍，结果先遣队比大队早到 0.5h ，先遣队和大队的速度各是多少？

解：设大队的速度为 xkm/h, 列方程，得

.. x x

15 15

0 51 5

30 25

1x x

15 150 5

1 5.

. x x

上面所列出的方程与一元一次方程有什么区别？

4 10 7

10 4 4

x

x

一元一次方程的分母不含未知数，而这些方程的分母上含有未知数．

　　分母中含未知数的方程叫做分式方程（ fractional equation ）．

知识要点知识要点

指出下列方程中的分式方程：

1(4) 1

3 2

x x

1

(5) 2 0xx

2 2

4 1(6)

1 4 2x x x

2 3

(1) 01 3x x

031

2)3(

x

3 5

(2)2

x x√

√

√ √

想一想一元一次方程的解法，并且解方程． x x

2 3 2

13 6

解：去分母（方程两边同乘 6）得2 （ x － 2) － (3x+2) ＝ 6去括号，得

2x － 4 － 3x － 2 ＝ 6移项，得2x － 4 － 3x － 2 － 6 ＝ 0合并同类项，得 － x ＝ 12系数化成１，得 x ＝ － 12

回顾

　　结合上面解一元一次方程的方法，想一想如何求分式方程　　　　　　　的解？

30 25

1x x

解这个分式方程应该去分母．

.. x x

15 15

0 51 5

解：方程两边同乘以 1 ． 5x ，得15 ＋ 0.75x ＝ 22.5 ，

解这个方程，得 x ＝ 10

检验 : 将 x ＝ 10 代入原方程得 :

∵ 左边 = ..

150 5

1 5 10 =1.5, 右边 =15

10=1.5,

左边 = 右边 ∴ x ＝ 10 是原方程的解

解方程：

参照上面解方程的方法，解下面两个方程：

30 25(1)

1x x

4 10 7

(2)10 4 4

x

x

30 25(1)

1x x解： 方程两边同乘以 x （ x ＋ 1 ），得

30x ＝ 25(x ＋ 1) ，

解这个方程，得 x ＝ 5

检验 : 将 x ＝ 5 代入原方程得 :

∵ 左边 =30

5 1 =5, 右边 =25

5 =5,

左边 = 右边 ∴ x ＝ 5 是原方程的解

4 10 7

(2)10 4 4

x

x解：

4× (4×10 ＋ x) ＝ 7(10x ＋ 4) ，

x ＝ 2

检验 : 将 x ＝ 2 代入原方程得 :

∵ 左边 =

4 10 2 7

10 2 4 4 右边 =7

4

左边 = 右边 ∴ x ＝ 2 是原方程的解

解这个方程，得

方程两边同乘以 4(10x ＋ 4) ，得

求分式方程的解，只要在方程的两边同乘各分式的最简公分母，将分式方程转化成整式方程（一元一次方程）来解．

如何求分式方程的解，你知道了吗？

解分式方程的一般步骤 :

　　 1 ．方程两边同乘以各分母的最简公分母，约去分母将分式方程化为一元一次方程；　　 2 ．解这个一元一次方程；　　 3 ．检验，将所求得的一元一次方程的解代入原方程左右两边．

归纳

下列各分式方程，去分母时，要乘以的最简公分母分别是什么？

( 2)x x

4(5 2)x

1( )y y

x xx x

xy y

y y y2

3 2

240 7

010 4 4

41

1

=-

+- =

++

- =- -

解下列方程．x x

2

1 18

9 81解：去分母，方程两边同乘最简公分母 (x＋9) (x＋ 9) ，得整式方程x ＋ 9 ＝ 18

解，得 x ＝ 9

检验 :将 x＝ 9代入原方程检验，发现这时分母 x－ 9和 x2 － 81的值都为 0,相应的分式无意义．因此 x＝ 9虽是方程 x＝ 9不是原方程 x＋ 9＝ 18 的解，但不是原分式方程　　　　　　　的解．

2

1 18

9 81x x

该分式方程无解．

小练习小练习

　　解分式方程时 ,对所得根必须检验．　　检验的方法可以是代入原方程检验．为了简便，通常把求得的根代入变形时所乘的整式 ( 最简公分母 )，看它的值是否为零，使它为零的根不是原方程的根，是增根，必须舍去．　

增根的定义

增根 :在去分母 ,将分式方程转化为整式方程的过程中出现的不适合于原方程的根．

产生的原因 :分式方程两边同乘以一个零因式后 , 所得的根是整式方程的根 ,而不是分式方程的根．

使分母值为零的根

一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为 0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．

归纳

问题 : 对于分式方程可以用去分母的方法求解，但求出来的根却有可能不是原方程的根，这种现象是怎么产生的 ?

（ 1 ） 解上述方程的依据是什么 ?

（ 2 ） 由 a=b 能否得出 ac=bc ?

（ 3 ）由 ac=bc 能否得出 a=b ?

【例 1 】 解分式方程

2x3

13xx2

解：方程两边同乘（ x － 3 ），得2 － x ＝－ 1 － 2 (x－ 3),解，得 x ＝ 3

检验：x＝ 3 时， (x － 3) =０， 3 不是原分式方程的解．

【例 2 】 解分式方程

解：方程两边同乘 (x－ 2)，得 1 － (x － 1) ＝－ 3 (x － 2),解，得 x ＝ 2

x＝ 2 时 (x － 2) ＝０， 2 不是原分式方程的解，原分式方程无解．

检验：

x

x x

1 1

32 2

（ 1 ）

（ 2 ） x xx x

2

1 5 9 01 1

解：方程两边同乘以最简公分母 (x ＋ 1)(x－ 1) ，得（ x － 1)2 =5x ＋ 9

解整式方程 , 得 x1= － 1, x2=8

检验 : 把 x1= － 1 ， x2=8代入原方程

当 x1= － 1 时 , 原方程的两个分母值为零，分式无意义，因此 x1= － 1 不是原方程的根．当 x2=8 时 , 左边 = 　　 , 右边 =

∴ 原方程的根是 x=8 ．

增根

左边 =右边 , 因此 x2=8 是原方程的根．

7

97

9

解分式方程的一般步骤：

分式方程去分母 整式方程

解整式方程

x ＝ a

检验

最简公分母为０最简公分母不为０a 是分式方程的解

目标

a不是分式方程的解

归纳

解下列方程 .

15 2 15

(2)3 3x x

（ 1 ） x=17 （ 2 ） x=15

2 3

(1) 03 4

x

x

小练习小练习

2

2

2 3 6(3)

1 1 11 4

(5) 11 1

2(5) 2

2 1 2

x x xx

x xx x

x x x 4

5

无解

无解

　　【例 3 】某单位将沿街的一部分房屋出租 , 每间房屋的租金第二年比第一年多 500 元 , 所有房屋的租金第一年为 9.6万元 ,第二年为 10.2万元．求出租房屋的总间数．分析 : 设出租房屋的总间数为 x 间．

第一年每间房屋的租金 元 ;

第二年每间房屋的租金 元 ;

因为第二年每间房屋的租金 =第一年每间房屋的租金 +500, 所以列方程 :

x

96000

x x

96000 102000500

x

102000

解 :设出租房屋的总间数为 x间．列方程 ,得

方程两边同乘 x, 得96000 ＋ 500x ＝ 102000

96000 102000

500x x

解 ,得x ＝ 12

检验 :当 x＝ 1 时 x≠0, x＝ 1 是原分式方程的解． 答 : 出租房屋的总间数为 12 间．

　　某单位将沿街的一部分房屋出租 , 每间房屋的租金第二年比第一年多 500 元 , 所有房屋的租金第一年为 9.6万元 ,第二年为 10.2万元．分别求两年每间出租房屋的租金 ?

第一年出租的房屋数 = 第二年出租的房屋数

等量关系 :

小练习小练习

解 :设第一年每间房屋的租金为 x 元 ,则

96000 102000

500.

x x方程两边同乘 x(x＋ 500), 得96000 (x ＋ 500) ＝ 102000x

解 ,得 x ＝ 8000

检验 :当 x＝ 8000 时 x(x＋ 500),≠0, x＝ 8000 是原分式方程的解． 则第二年每间房屋的租金为 :x+500＝ 8000＋ 500＝ 8500( 元 )答：第一年每间房屋的租金为 8000 元，第二年每间房屋的租金为 8500 元．

【例 4 】某市从今年 1月 1日起调整居民用水价格 , 每 m3水费上涨三分之一 , 小丽家去年 12月的水费是 15 元 ,今年 2月的水费是 30 元．已知今年 2月的用水量比去年 12月的用水量多 5m3, 求该市今年居民用水的价格 ?

分析 : 小丽家今年 2月份的用水量－小丽家去年 12月份的用水量 = 5m3 ．每个月的用水量 ×水的单价 = 每个月的用水费．今年的用水单价 = 去年用水单价 ×(1+ 　 ) ．所以 ,首先要表示出小丽家这两个月的用水量．每个月的用水量 =水费 /水的单价．

1

3

　　解 :设该市去年用水的价格为 x 元 /m3,则今年的水价为 (1+1/3)x元 /m3, 根据题意得：

30 155

1(1 )

3xx

答 : 该市今年居民用水的价格为 2 元 /m3．

解这个方程，得 x=1.5

经检验， x=1.5 是原分式方程的根．

4

1.5 2( )3

元

　　【例 5 】照相机成像应用了一个重要原理，

即　　　　　（ v f) ，其中 f 表示照相机镜头

的焦距， u 表示物体到镜头的距离， v 表示胶片（像）到镜头的距离，如果一架照相机 f 已固定，那么就要依靠调整 u 、 v 来使成像清晰，问在 f ， v 已知的情况下，怎样确定物体到镜头的距离 u?

f u v

1 1 1

解 : 1 1 1

f u v

方程两边同乘 fvu, 得 uv fv fu

解 ,得 fv

uv f

答 : 在 f ， v 已知的情况下，物体到镜头的距离U 的值为 ．

fv

v f

检验 : 由于 f,v 都是正数 ,且 f≠v, 所以 是原分式方程的解．

fv

uv f

（ 1 ）学校要举行跳绳比赛，同学们都积极练习．甲同学跳 180 个所用的时间，乙同学可以跳 216 个；又已知甲每分钟比乙少跳 20 个，求每人每分钟各跳多少个．

解：设甲每分钟跳 x个 ,列方程 ,得

180 216

20x x

解 ,得 x ＝ 100经检验， x=100 是原分式方程的根．

所以乙每分钟跳 x＋ 20＝ 100＋ 20＝ 120( 个 )答 : 甲每分钟跳 100 个 , 乙每分钟跳 120 个．

小练习小练习

（ 2 ）一项工程要在限期内完成．如果第一组单独做，恰好按规定日期完成；如果第二组单独做，需要超过规定日期 4 天才能完成，如果两组合作 3 天后，剩下的工程由第二组单独做，正好在规定日期内完成，问规定日期是多少天 ?

解 : 设规定日期是 x 天，列方程，得

1 1 33( ) 1

4 4

x

x x x解 ,得 x ＝ 12

经检验， x=12 是原分式方程的根． 答 :规定日期是 12 天．

（ 3 ）甲、乙两地相距 19 千米，某人从甲地去乙地，先步行 7 千米，然后改骑自行车，共用了2 小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的 4 倍，求步行的速度和骑自行车的速度．

解 : 设步行的速度是 x km/h ．列方程 , 得

7 19 7

24x x

解 ,得

答 :步行的速度为 5 千米 / 时 ,骑自行车的速度为 20 千米 / 时．

x=5

经检验 ,x=5 是原分式方程的根． 所以骑自行车的速度为 :4x＝ 4×5＝ 20(km/h)

（ 1 ）审——仔细审题，找出等量关系 ;

（ 2 ）设——合理设未知数 ;

（ 3 ）列——根据等量关系列出方程 ( 组 );

（ 4 ）解——解出方程 ( 组 );

（ 5 ）验 ;

（ 6 ）答——答题．

归纳列分式方程解应用题的基本步骤 :

1 ．解分式方程的一般步骤：

分式方程去分母 整式方程

解整式方程

x ＝ a

检验

最简公分母为０最简公分母不为０a 是分式方程的解

目标

a不是分式方程的解

课堂小结

（ 1 ）审——仔细审题，找出等量关系 ;

（ 2 ）设——合理设未知数 ;

（ 3 ）列——根据等量关系列出方程 ( 组 );

（ 4 ）解——解出方程 ( 组 );

（ 5 ）验 ;

（ 6 ）答——答题．

2 ．列分式方程解应用题的基本步骤 :

2 57

mx

x m

1 ．已知方程 　的解是 x=2 ，

则 m 的值为 ______ ．

mx

x m

2 5

7 0

－ 3

随堂练习

≠ ≠

±2

x

m

x

x

3

1

3

2

2 ． 方程 没有实数解， 则值是（ 　）

A ． 0 B ． 1 C ． 4 D ． 8

x m

x x

3 1

4 4

D

R21

12

RR

RR 1 2

1 2

AR R

.R R

2 1

1 2

R RB

R R.

1 2

1C.

R R

1 2

1 2

DR R

.R R

3 ．已知　　　 （ R1 、 R2均为正数） ，则

　 R 的值为（　　）

1 2

1 1 1

R R R

D

4 ．关于 x 的方程 　　有实数

根，则 a 的取值范围是（ ）

A ． a>2 B ． a＞ 0 且 a≠2

C ． a≠ 2 D ． a≠±2

x a x

x a x

21 1 1

≠ ≠

±2

D

5 ．解下列方程：

1 2

(1) 0x 1 x 1

( )

5 x2 1

2x 5 5 2x

x( )

x x

3

3 23 3

x 1

3

无解

x 10

3

6 ．当 x 为何值时 , 分式 的值相等 ?x x

x x

1

1 3与

解 : 由题意得 ,

1

1 3

x x

x x=

解 ,得 x ＝－ 3

经检验， x= － 3 是原分式方程的根．

所以当 x＝－ 3 时 , 分式 的值相等．

1

1 3

x x

x x与

　　 7 ． 甲、乙两车同时从 A地出发，到相距120 千米的 B地去，若甲车与乙车速度之比为2︰ 3 ，且甲车比乙车晚到 2.5 小时，求两车速度．

解 :设甲车速度为 x千米 /小时 ,则乙车速度为 千米 /小时．列方程 ,得

3

2x

120 120

2 532

.xx

解 ,得x ＝ 16

经检验 ,x=16 是原分式方程的根． 所以乙车速度为 : (千米 /小时 )

3 316 24

2 2x

答 : 甲车速度为 16 千米 / 小时 , 则乙车速度为 24 千米 / 小时．

　　 8 ．轮船在顺水中航行 80 千米所需的时间和逆水航行 60 千米所需的时间相同．已知水流的速度是 3 千米 / 时，求轮船在静水中的速度．

解 : 设轮船在静水中的速度为 x 千米 / 时 , 列方程 , 得

80 60

3 3x x

解 ,得x ＝ 21

经检验， x=21 是原分式方程的根．

答 :轮船在静水中的速度为 21 千米 / 时．

CC