§1 矩阵及其运算

一、矩阵的定义

例 1 设某物质有 m 个产地， n 个销地，如

果以 aij 表示由第 i 个产地销往第 j 个销地的数

量，则这类物质的调运方案，可用一个数表表示如

下：

1. 实际例子

销地销量

产地

nj aaaa 111211

1 2 … j … … n

m

i

2

1

nj aaaa 222221

inijii aaaa 21

mnmjmm aaaa 21

记

mnmjmm

inijii

nj

nj

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

21

21

222221

111211

例 2 解线性方程组

1321 xxx

232 xx

12 321 xxx

11 x

232 xx

03 x

11 x

22 x

03 x

代替：

1211

2110

1111r1 － r2

r3 － r1

0100

2110

1001 r2 － r3

0100

2010

1001

（ 2 ）－（ 3 ）

（ 1 ）－（ 2 ）（ 3 ）－（ 1 ）

由 m×n 个数 aij ( i = 1, 2, …, m ; j = 1, 2, …, n)

有次序地排成 m 行 ( 横排 )n 列 ( 竖排 ) 的数表

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

　　称为一个 m 行 n 列的矩阵，简记 (aij)m×n ，通常用大写字母 A ， B ， C ，…表示， m 行 n 列的矩阵 A 也记为 Am×n ，构成矩阵 A 的每个数称为矩阵 A

的元素，而 aij 表示矩阵第 i 行、第 j 列的元素。

2. 定义

注意：

(1) 只有一行的矩阵 A1×n =(a1 a2 … an) 称为行矩阵

只有一列的矩阵

m

m

a

a

a

A2

1

1 称为列矩阵

(2) 两个矩阵 A 、 B ，若行数、列数都相等，则称 A 、 B 是同型的。

(3) 若 A = (aij)m×n, B = (bij)m×n 是同型的，且 aij = bij (i

= 1, 2, …, m ; j = 1, 2, …, n) 则称 A 与 B 相等，

记作 A ＝ B 。

(4) 元素全为 0 的矩阵称为零矩阵，记作 O ，

不同型的零矩阵是不相等的。

二、矩阵的运算

设 A = ( aij )m×n , B = ( bij )m×n

则矩阵 C = ( cij ) m×n= ( aij + bij ) m×n

mnmnmmmm

nn

nn

bababa

bababa

bababa

2211

2222222121

1112121111

称为矩阵 A 与 B 的和，记作 C = A+B

1. 矩阵的加法

(1) 定义

设 A ， B ， C ， O 都是 m×n 矩阵

(1) A + B = B + A

(2) ( A + B ) + C = A + ( B + C )

(3) A + O = O + A = A

(2) 性质

2. 矩阵的减法

(1) 负矩阵 设 A = ( aij ) m×n , 则称

( － aij ) m×n 为 A 的负矩阵，简记－ A

显然 A+ ( － A)= O , － ( － A) = A

(2) 减法： 设 A = ( aij ) m×n , B = ( bij ) m×n

A － B = A + ( － B ) = ( aij － bij ) m×n

mnmm

n

n

nmij

aaa

aaa

aaa

aA

21

22221

11211

)(

记为 A ，即

设是常数， A = ( aij ) m×n ， 则矩阵 ( aij ) m×n 称为数与矩阵 A 的乘积，

3. 数与矩阵的乘法

(1) 定义

设 A 、 B 为 m × n 矩阵，、 u 为常数(1) ( u ) A = ( u A) = u ( A );

(2) ( A + B ) = A + B

(3) ( + u ) A = A + u A

(4) 1·A = A

( － 1)·A = － A

(2) 性质

例 3 ：设 ,502

134

A

301

021B 求 A － 2B

解：

602

0422B

602

042

502

1342BA

104

172

设 A = ( aij ) m×s , B = ( bij ) s×n ,

其中 Cij 等于 A 的第 i 行与 B 的第 j 列对应元素的乘积之和

ijC

S

kkjikba

1

( i = 1, 2, …, m ; j = 1, 2, …, n)

sjisjiji bababa 2211

乘积 C ＝ AB 是 m×n 矩阵， C = ( cij ) m×n

则 A 与 B 的

4. 矩阵的乘法(1) 定义

例 4 ： 设矩阵

,A

012

301,B

02

11

14

求乘积 AB 和 BA

解：

02

11

14

012

3012332 BA

37

110

012

301

02

11

14

3223 AB

602

311

1216

注： AB BA 即矩阵乘法不满足交换律

例 5 ： 设 ,11

11

A ,12

12

B

,31

32

C

52

51D

试证： (1) AB = 0 ； (2) AC = AD

证：

12

12

11

11AB(1)

00

00O

31

32

11

11AC(2)

03

03

52

52

11

11AD

03

03

故　　 AC ＝ AD

比较：

(1) 在数的乘法中，若 ab = 0 a = 0 或 b = 0

在矩阵乘法中，若 AB = O A = O 或 B = O

两个非零矩阵乘积可能为 O 。

(2) 在数的乘法中，若 ac = ad ，且 a 0 c = d

( 消去律成立 )在矩阵乘法中，若 AC = AD ，且 A O C = D

　　　　　　　　　　　　　　 ( 消去律不成立 )

(1) ( A B ) C = A ( B C )

(2) A (B + C ) = A B + A C

(3) ( B + C ) A = B A + C A

(4) ( A B ) = ( A ) B = A ( B ) ( 其中 为常数 )

(2) 性质

5. 线性方程组的矩阵表示设方程组为

11212111 bxaxaxa nn

22222121 bxaxaxa nn

mnmnmm bxaxaxa 2211

可表示为

简记为 AX ＝ B 。

mnmnmm

n

n

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

2

1

2

1

21

22221

11211

nm 1n 1m

A 称为由线性方程组的系数矩阵。

将矩阵 A m×n 的行换成同序数的列，列换成同序数的行所得的 n×m 矩阵称为 A 的转置矩阵，记作 AT 或 A' 。

例如：

034

201A

02

30

41TA则

6. 矩阵的转置(1) 定义

(1) ( AT ) T = A

(2) ( A + B ) T = A T + B T

(3) ( A ) T ＝ A T

(4) ( A B ) T = BT A T

TTTn

Tn AAAAAA 1221 )(

(2) 性质

例 6 ：设 ,A

102

211

124

311

012

B 求 ( A B ) T 。

解法一：

124

311

012

102

211AB

108

129

11

02

89

)( TBA

( A B ) T = B T A T

12

01

21

130

211

412

11

02

89

,102

211

A

124

311

012

B

解法二：

三、方阵

1. 定义

则： lklk AAA kllk AA )( ( 其中： k, l 均为正整数 )

记 A·A … A = Ak

k 个

kkk BAABABABAB )())(()( k 个

行数与列数相同的 n × n 矩阵 A 称为方阵， n 称为它的阶数，简记 An 。

称为 n 阶单位矩阵，简记 E

显然nmnnm AEA

mnmnn BBE

1. 单位矩阵

nn

0

0 1

1

1

nE

2. 几类特殊方阵

2. 对角矩阵

其中 aij = 0, i j

nn

0

0 nna

a

a

22

11

特别：

称为数量矩阵nkEK

0

0 k

k

k

结论：

(1)

0

0

0

0

nna

a

a

22

11

nnb

b

b

22

11

0

0 nnnn ba

ba

ba

2222

1111

(2) k 为正整数时

0

0

nna

a

a

22

11

k0

0

k

nn

k

k

a

a

a

22

11

3. 上三角矩阵

,222

11211

nn

n

n

a

aa

aaa

0

其中 aij = 0, i > j

下三角矩阵

其中 aij = 0, i < j,

21

2221

11

nnnn aaa

aa

a

0

4. 对称矩阵

(1) 若方阵 A 满足 AT = A ，即 aji = aij ，则称 A

为对称矩阵。

(2) 若方阵 A 满足 AT = － A ，即 aji = － aij ，

则称 A 为反对称矩阵。这时 aii = 0 ( i = 1, 2,

… n)

例 7 ： 设 A 为任一方阵，证明 : A+AT 为对称阵， A － AT 为反对称阵

证： 由于TTTTT AAAA )()( AAT TAA

TTTTT AAAA )()( AAT

)( TAA

故A+AT 为对称阵， A － AT 为反对称阵

(1) 方阵 A 对应的行列式记为 |A | 或 det A

若 |A| 0 ，则称方阵 A 是非奇异 ( 非退

化 ) 的，否则，称 A 是奇异 ( 退化 ) 的。

3 、比较方阵与行列式

(2) | A | = n | A |

(3) | A B | = | A | | B |

(3) | A B | = | A | | B |例如：

21

11,

43

21BA

,57

51

AB 有 30

57

51||

AB

而 321

11||,10

43

21||

BA

所以 | A B | = | A | | B |

(4) | A m | = | A | m

| A 1 A 2 … A m

| = | A 1| | A 2 | … | A m |

推广：

四、分块矩阵

　　　　　　如果用若干条贯穿矩阵的横线和

纵线将矩阵 A 分成若干小块，这样的小块称为

矩阵 A 的子块或子矩阵，而 A 可以看成是以

子块为元素的矩阵，称 A 为分块矩阵。

1. 定义

例如：

0341

2053

6211

A

，

0341

2053

6211

0341

2053

6211

A11 A12

A21 A22

例 8 ：设

，

0101

1100

0010

0001

A

1000

2100

1000

0101

B

利用分块矩阵求 A+B ， AB 。

0101

1100

0010

0001

A

1000

2100

1000

0101

B

解：将 A 、 B 分块成

21

0

AA

E

2

1

0 B

EB

11

1222 －－

BA

221

1

BAA

EBEBA则

,10

021

BE而

1101

1200

1010

0102

BA故

10

21,

00

01,

01

11,

01

002121 BBAA

2

1

21 0

0

B

EB

AA

EAB

00

01

01

0011BA

10

21

01

11

01

00221 BAA

21

31

01

00

20

31

22111

1

BAABA

EB

01

00而

10

21,

00

01,

01

11,

01

002121 BBAA

2001

3100

1000

0101

AB故

考察： AT

5413

2041

3162

A对于

1211 AA

2221 AA

5

4

1

3

2

0

4

1

3

1

6

2

TA有12

T

11T

A

A

22T

21T

A

A

2. 分块矩阵的转置

A

注：设矩阵 A = ( aij ) mn 分块为

TA则

tAAA 11211

tAAA 22221

stss AAA 21

tA

A

A

1T

12T

11T

tA

A

A

2T

22T

21T

st

s

s

A

A

A

T

2T

1T

若方阵 A 除主对角线上的子块外，其余子块都为 O ，且主对角线的子块均为方阵，

则称 A 为准对角矩阵。

0

0( Ai 为方阵， i = 1,2,… ， m)

即：即：

A

mA

A

A

2

1

3. 准对角矩阵

定义：

例如：

3

2

1

A

A

A

0

0

为准对角矩阵。

210000

112000

015000

000600

000041

000023

准对角矩阵与对角矩阵有类似的性质

例如：

0

0A

mA

A

A

2

1

0

0kA有

km

k

k

A

A

A

2

1

( Ai 为方阵， i = 1,2,… ， m)

§2 矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换定义 1 对矩阵施行下列三种变换称为矩阵的

初等行变换(1) 互换两行 ( 记作 ri rj );

(2) 以数 0 乘以某一行 ( 记作 × ri );

(3) 将第 j 行各元素乘以数后加到第 i 行的对应元素上去 ( 记作 ri + rj )

相应地，矩阵的三种初等列变换的记号只需将 r 换成 c 。

二、初等矩阵

定义 2 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到

的矩阵称为初等矩阵。

(1) ri rj

ci cj 也得到 P (i, j)

1

1

01

1

10

1

1

第 i 行

第 j 行

),( jiP

(2) × ri

× ci 也得到 P ( i ())

1

1

1

1

0

0

第 i 行))(( iP

(3) ri + rj

cj + ci 也得到 P ( i, j ( ) )

1

1

1

1

第 i 行

第 j 行))(,( jiP

定理 1

对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左侧乘以一个相应的初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右侧乘以一个相应的初等矩阵；

例如：

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

A

设 A 是一个 m × n 矩阵

(1) Ar1 r2

34333231

14131211

24232221

aaaa

aaaa

aaaa

P(1, 2) A

34333231

14131211

24232221

aaaa

aaaa

aaaa

100

001

010

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

(2) Ac3 c4

33343231

23242221

13141211

aaaa

aaaa

aaaa

A P(3, 4)

0100

1000

0010

0001

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

33343231

23242221

13141211

aaaa

aaaa

aaaa

三、矩阵的秩1. k 阶子式

定义 3 设 A 为 m×n 矩阵，在 A 中任取 k 行

k 列 (1 k min (m, n)) ，由这 k 行，

k 列的交叉处的 k2 个元素 ( 按原来的

前后顺序 ) 所构成的 k 阶行列式，称为

矩阵 A 的一个 k 阶子式。

例如：

5000

4320

0101

A

一个 2 阶子式 550

01

例如：

5000

4320

0101

A

一个 2 阶子式 550

01

一个 3 阶子式 10

500

420

001

(1) A 的每个元素 aij 都是 A 的一个一阶子式

(2) 当 A 为 n 阶方阵时， n 阶子式即为 | A |

注：

2. 矩阵的秩

例如：

5000

4320

0101

A 中有一个 3 阶子式

010

500

420

001

r(A) = 3

定义 4 矩阵 A 的不为 0 的子式的最高阶数称为矩阵 A 的秩，记为 r (A) 。( 显然 r (A) min (m, n) )

规定：

注：

(1) 非奇异矩阵 A ，有 | A | 0 ， A 的秩就等于它的阶数， A 又称为满秩矩阵。

(2) 奇异矩阵 A ，也称为降秩矩阵。

定理 2 若矩阵 A 中至少有一个 k 阶子式不为 0 ，而所有 k+1 阶子式全为 0 ，则 r ( A ) = k 。

零矩阵的秩为 0 ，即 r (O) = 0

3. 初等变换求矩阵的秩

定理 4.3 对矩阵施行初等变换，矩阵的秩不变例：

00000

10300

13230

22021

阶梯形r ( A ) = 3

43333

32012

66242

20121

A

进一步：

A

00000

00100

00010

00001

称为 A 的标准形

注：若 A 为 n 阶满秩方阵，则 A 的标准形为 n 阶单位阵 E 。

00000

10300

13230

22021

§3 　　逆　矩　阵

一、逆矩阵的定义

定义 1

AB = BA = E

则称 B 为 A 的逆矩阵，并称 A 可逆。

设 A 是一个 n 阶方阵，若存在 n 阶方阵 B

使

显然 A 为 B 的逆矩阵，即 A 与 B 互为逆矩阵。

例如： ,52

21

A

12

25B

有

12

25

52

21

10

01

52

21

12

25

所以 B 是 A 的逆阵，同时 A 也是 B 的逆阵。

例 1 设 a11 a22 … ann 0,

nna

a

a

22

11

0

0

n

nn

E

a

a

a

1

122

111

0

0

由于：

1

22

11

nna

a

a

0

0

1

122

111

nna

a

a

0

0

所以

例 2 若方阵 A1 A2 … Am 均可逆，可证

1

2

1

mA

A

A

0

0

1

12

11

mA

A

A

0

0

定理 1 ( 唯一性 )

若方阵 A 的逆矩阵存在，则唯一，用 A － 1 表示

证：设 B 、 C 均是 A 的逆矩阵，则

B

所以 A 的逆矩阵唯一。

= BE = B(AC) = (BA)C = EC = C

矩阵

nnnn

n

n

AAA

AAA

AAA

A

21

22212

12111

* 称为 A 的伴随矩阵

定义 2: 设 A = (aij)n×n , Aij 是 |A | 中元素 aij

的代数余子式 ( i, j = 1, 2, …, n );

二、矩阵可逆的条件

即：

nnnn

n

n

AAA

AAA

AAA

21

22212

12111

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

||00

0||0

00||

A

A

A

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

nnnn

n

n

AAA

AAA

AAA

21

22212

12111

||00

0||0

00||

A

A

A

A A* = A* A = |A | E

定理 2方阵 A 存在逆矩阵 |A | 0*1

||1

AA

A 且

求逆矩阵的第一种方法：

*1

||1

AA

A

方阵 A 满足

|A | 0 时，

例 3 求矩阵

52

21A 的逆矩阵

解： 0152

21|| A

故 A 可逆，又A11 ＝ 5 ， A12 ＝－ 2 ， A21 ＝－ 2 ， A22 ＝ 1

则

12

25*A

所以 *1

||1

AA

A

12

25

比较：

(1) 在数的乘法中，若 ab = 0 a = 0 或 b = 0

在矩阵乘法中，若 AB = O A = O 或 B = O

两个非零矩阵乘积可能为 O 。(2) 在数的乘法中，若 ac = ad ，且 a 0 c = d

( 消去律成立 )在矩阵乘法中，若 AC = AD ，且 A O C = D

( 消去律不成立 )

例 4 　设 A 是可逆阵，证明：(1) 　若 A X = A Y X = Y

(2) 　若 A B = 0 B = 0

证：A － 1 ( A X ) = A － 1 ( A Y )

( A － 1 A ) X = ( A － 1 A ) Y

EX = EY X = Y

(1) A X = A Y由

所以(2)由 AB =0 ，有 A － 1 (AB) = A － 1 0

所以 B =0( A － 1 A ) B = 0

(1) 若 A ， B 均为 n 阶方阵，且 A B = E ( 或 B A

=E ) ，则 B ＝ A － 1

证：

|A| |B| = |E| = 1 |A| 0

A － 1 存在，且 A － 1 = A － 1E = A － 1(AB)

= (A － 1A) B = EB = B

设 A B = E

同理可证 B A =E 的情形

三、逆矩阵的性质

(2) ( A － 1 ) － 1 = A

(3) 若 A 可逆， 0 为常数，则 11 1

)( AA

(4) 若 A ， B 均为 n 阶可逆矩阵，则 (AB) － 1 = B －

1A － 1 。

特别：当 |A| 0 ，有 (A m ) － 1 = (A － 1 ) m(m 为正整数 )

若 A1 ， A2 ，…， Am 均为 n 阶可逆矩阵，

则 ( A1 A2 … Am) － 1 = Am－ 1 … A2

－ 1 A1

－ 1

推广：

证明：因为 (AB)(B － 1A － 1)

= A E A － 1 = E

所以 (AB) － 1 = B － 1A － 1

= A ( B B － 1 ) A － 1

(5)||

1|||| 11

AAA

这是因为 | A － 1 | | A | = | E | = 1

四、初等行变换求逆矩阵 ( 方法二 )

1. 初等矩阵都是可逆矩阵，且其矩阵仍然是初等矩阵

),()],([ 1 jiPjiP

))1

(())](,([ 1

iPiP

))(,())](,([ 1 jiPjiP

定理 3 若方阵 A 可逆，则存在有限个初等矩阵 P1,

P2,…Pm, 使 A = P1 P2 … Pm

证：因为 A 可逆，则 r(A) = n ，标准形为 En ，

A = P1 P2 … Pm

P1 P2 … PsEPs+1… Pm = A

即

存在有限次初等变换使 A 化为 En ，

有限次初等变换使 En 化成 A ，

反之，也存在

P1 ， P2 ，…， Pm ，使

故存在有限个初等矩阵

11

12

1 PPPm

表示为：

A = P1 P2 … Pm

EA

E 11

12

1 PPPm A － 1

( A E ) ( E A － 1 )初等行变换

例 4 设 ,

343

122

321

A 求 A － 1.

解：

100343

010122

001321

)( EA

r2 － 2r1

r3 － 3r1

103620

012520

001321

111100

012520

011201

111100

563020

231001r1 － 2r3

r2 － 5r3

111100

2/532/3010

231001)21

(2 r

)1(3 r

r1 + r2

r3 － r2

故

111

2/532/3

2311A

对 A 也可通过初等列变换求 A － 1

E

A 初等列变换

1A

E

A = P1 P2 … Pm

注：

表示为：

11

12

1 PPPm EA

E A － 1 11

12

1 PPPm

对于 n 元线性方程组

AX = B

则 X ＝ A － 1B

|A| 0 ， A － 1 存在若

五、逆矩阵的应用

1. 解线性方程组

例 5 ：解方程组x1 + 2 x2 + 3 x3 = 1

2 x1 + 2 x2 + x3 = 1

3 x1 + 4 x2 + 3 x3 = 3

解：方程组简记为

,

343

122

321

A ,

3

1

1

B,

3

2

1

x

x

x

X

X = A1 B

由于 | A | = 2 0, A 可逆，故

A X = B

其中

而 ,

111

25323

2311

A

3

2

1

x

x

x

X BA 1

111

25323

231

3

1

1

3

9

8

即 x1= 8, x2= 9, x3= 3.

2 、解矩阵方程

31

52

41

213

124

021

X例 6 ：解矩阵方程解：矩阵方程简记为 A X = B

31

52

41

213

124

0211

1BAX

17

213

124

021

A 0 A － 1 存在

31

52

41

652

1211

245

17

1

356

3716

615

17

1

例 7 解矩阵方程 AX + E = A2 + X

其中： ,

101

020

101

A E 为三阶单位矩阵

解：由 AX + E = A2 + X

即 ( AE ) X = ( A E )( A + E )

得 AX X = A2 E

,

001

010

100

EA而 所以 AE 可逆 .

故 X = A + E

100

010

001

101

020

101

201

030

102

( AE ) X = ( A E )( A + E )

所以 (A － E) － 1( AE ) X = (A － E) － 1( A E )( A + E )