直线与圆的位置关系（ 1 ）

主讲人——雅江学校刘柏妹

知识回顾

回答下列问题 :

1 、已知⊙ O 的半径是 2 ㎝，线段 OA=3 ㎝，则 A 点与⊙ O 的位置关系是——。

2 、已知⊙ O 的半径是 6 ㎝，线段 OA=10 ㎝，点 B 是线段 O

A 的中点，则点 B与⊙o 的位置关系是————。 3 、已知⊙ O 的半径是 3 ㎝，线段 OA=3 ㎝，则点 A在⊙ O—

— 。 4 、已知⊙ O 的半径是 2 ㎝， A 点在⊙ O 外，则 A 点到圆心

O 的距离（ ） A 、大于 2 ㎝ B 、小于 2 ㎝ C 、等于 2 ㎝ D 、无法确定

A 点在圆外

点 B 在圆内 上

A

直线与圆的位置关系（1 ）

探索新知

试一试：在纸上画一个圆，把直尺的边缘看作直线在纸上移动，你能发现直线与圆公共点个数的变化情况吗？公共点的个数最少有几个？最多有几个？公共点的个数可以分几种情况？并猜想直线与圆的位置关系有几种？

11 、如果一条直线与一个圆没有公共点、如果一条直线与一个圆没有公共点 ,,

那么就说这条直线与这个圆那么就说这条直线与这个圆相离相离 ..

这条直线叫做圆的这条直线叫做圆的割线割线 ..

33 、如果一条直线与一个圆有两个公、如果一条直线与一个圆有两个公共点共点 ,, 那么就说这条直线与这个圆那么就说这条直线与这个圆相交相交

22 、如果一条直线与一个圆只有一个公、如果一条直线与一个圆只有一个公共点共点 ,, 那么就说这条直线与这个圆那么就说这条直线与这个圆相相切切 ..这条直线叫做圆的这条直线叫做圆的切线切线 ..

这个公共点叫做这个公共点叫做切点切点

结论：直线与圆的位置关系有 3 种，即相离、相切、相交（这是用圆与直线公共点的个数来定义的，这也是判断直线与圆的位置关系的重要方法）

这两个公共点叫做交点

o

l

l

o

l

o

图 1.

图 2

图 3

切线

切点

割线

练一练

1 、已知直线 a 有两点在⊙ O 上，则直线 a 与⊙ O 的位置关系是（ ）

A 、相离 B 、相交 C 、相切 D 、不能确定 2 、直线与圆最多有＿个公共点 ，最少有＿个公

共点。 3 、若 A和 B 是⊙ O 外两点，则直线 AB 与⊙ O

一定相离，这种说法正确吗？

2 0

。。

AB

B

这种说法不正确

想一想

r

do

l

r

d

l

odr

l

o

设圆心到直线的距离为 d ，圆的半径为 r ，你能不能由 d与 r 的大小关系推测出直线与圆的位置关系？

议一议若已知直线与圆的位置关系，你能否推测出 d与 r 的大小关系？

r

do

l

r

d

l

odr

l

o

当直线与圆的位置关系是相离时 d>r

当 直线与圆的位置关系是相切时 d=r

当直线与圆的位置关系是相交 时 d<r

（这是直线与圆位置关系的性质）

r

do

l

r

d

l

odr

l

o

归纳小结 :当直线与圆相离时

当直线与圆相切时当直线与圆相交时

（从左到右反映直线与圆某种位置关系的性质，从右到左反映直线与圆某种位置关系的判定，它们是等价的关系）。

d>r

d=r

d<r

填一填

直线与圆的位置关系

图形 公共点的个数

公共点的名称

d与 r 的关系

直线的名称

相离

相切

相交

0 个

一个

两个

切点

d>r

d=r

d<r

切线

割线

o

l

l

o

l

o 交点

知识运用

问题 : 在直角三角形△ ABC 中，∠ C=90°，AC=6㎝ ,BC=8 ㎝ , 在以下情况中，以 C 为圆心、 r 为半径的圆与直线 AB 的关系如何？试说明你的结论⑴r=4 ㎝ ⑵ r=4.8 ㎝ ⑶ r=5.6 ㎝

B

A

解：过点过点 CC作作 CD AB⊥CD AB⊥ ，垂足为，垂足为 DD 。。在在 Rt ABC⊿Rt ABC⊿ 中中 , AC=6cm BC=8cm, AC=6cm BC=8cm 由勾股定理由勾股定理得得 :AB=10cm:AB=10cm 。。由由 S ABC△S ABC△ 的面积得 的面积得 AB×CDAB×CD÷2÷2=BC×AC=BC×AC÷2.÷2.所以所以 CD=(BC×AC)÷AB=(8×6)÷10=4.8cmCD=(BC×AC)÷AB=(8×6)÷10=4.8cm 。。当当 r=4cmr=4cm 时，时， CD r,﹥CD r,﹥所以圆所以圆 CC 与直线与直线 ABAB 相离。相离。当当 r=4.8cmr=4.8cm 时，时， CD=rCD=r ，，所以圆所以圆 CC 与直线与直线 ABAB 相切。相切。当当 r=5.6 cmr=5.6 cm 时， 时， CD r﹤CD r﹤ ，，所以圆所以圆 CC 与直线与直线 ABAB 相交。相交。

D

C

┐

说一说

根据圆心到直线的距离 d 与圆半径 r 的大小关系来判断直线与圆的位置关系 . （实际问题中常用的方法）

步骤： ① 由圆心向已知直线作垂线； ② 求出垂线段 d 的长度； ③把 d与 r 进行大小比较； ④ 最后得出结论。

练一练

1、 ⊙如果 O 的半径为 2 ㎝，圆心 O 直线 l 的距离为 d，

当 d 2 ﹤ ㎝时，直线 l 与⊙ O 的交点个数是 _____, 此时直线与⊙ O 的位置关系是 ;

当 d=2 ㎝时，直线 l 与⊙ O 的交点个数时 ，此时直线与⊙ O 的位置关系是 ；

当 d﹥2 ㎝时，直线 l 与⊙ o 的交点个数时 , 此时直线与⊙ O 的位置关系是

相交1 个

相切0 个

相离

2 个

2 、已知圆的半径为 6 ㎝，圆心到直线的距离是 4 ㎝，那么这条直线和这个圆的位置关系是（ ）。

3 、直线 l 与半径为 r 的⊙ O 相交，且点 O 到直线的距离为 5 ，则 r 满足（ ）

A 、 r 5 B﹥ 、 r 5 C﹤ 、 r=5 D 、 r≤5

4 、已知⊙ O 的面积为 9π ㎝，若点 O 到直线 l 的距离为 π ㎝，则直线与圆的位置关系是（ ）。

5 、已知圆的直径为 10 ㎝ ，直线 l 与⊙ O 只有一个公共点时，则圆心 O 到直线 l 的距离是（ ）㎝

相交

A

相离

5

课堂小结课堂小结 说一说这节课你们有哪些收获？

11 、直线与圆的三种位置关系、直线与圆的三种位置关系 :: 相离、相切、相交相离、相切、相交

22 、直线与圆的位置关系的判断方法、直线与圆的位置关系的判断方法 ::

当 当 d d ﹥﹥ r r 时，直线与圆相离时，直线与圆相离当 当 d = r d = r 时，直线与圆相切时，直线与圆相切 ..

当 当 d r ﹤d r ﹤ 时，直线与圆相交时，直线与圆相交 ..

注意： d 表示圆心到直线的距离， r 表示这个圆的半径

1 ）定义法。2 ）根据 d 与 r 的大小关系来判断。

课后作业 1 ．已知⊙ O 的半径为 10cm ，如果一条直线和圆心 O 的距离为 10cm ，

那么这条直线和这个圆的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相离

2. 在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标是（－ 3， 4 ），以 A 为圆心、半径为 3 的圆与 x 轴的位置关系是； ， 与 y 轴的位置关系是 。

3 、如图、已知∠ AOB=30°, M为 OB 边上一点 ,以M 为圆心、 2 cm 为半径作⊙ M. 若点 M在 OB 边上运动 , 则当 OM= cm 时，⊙ M 与 OA 相切．

4. 如图，在△ ABC 中，∠ A=90°， AB=AC=2cm ，⊙ A与 BC 相切于点 D ，则⊙ A 的半径为 cm 2

12 ．

B

相切相离

4

解：过 P 点作 PH AB⊥ ，垂足为 H ，

由题意可得： AB=10 海里、∠ A=30° 、∠ PBH=45°

∵∵ 在在 Rt PBH⊿Rt PBH⊿ 中 中 ∠ PBH=45° ∴∴ BH=PH

∵ Rt PAH⊿Rt PAH⊿ 中中∠ A=30° AH=PH×cot30∴AH=PH×cot30∴ °°=√3PH =√3PH

又又∵∵ AB=AAB=AH-BH=10H-BH=10海里

√∴ √∴ 3PH3PH － PH=10 PH=10 得 得 PH=10÷PH=10÷ （ √（ √ 33 －－ 11 ）≈）≈ 13·7 12 ﹥13·7 12 ﹥

∴∴ 货轮继续向东航行 . 船没有触礁的危险。

5 、如图 , 海中有一个小岛 P, 该岛四周 12 海里内暗礁 . 今有货轮由西向东航行 , 开始在 A 点观测 P 在北偏东 60 度处 , 行驶 10 海里后到达 B 点观测 P 在北偏东45 度处 , 货轮继续向东航行 . 船是否有触礁的危险？

AB H

P北

┐