118 Ⅳ.미분법

접선의방정식

①미분가능한함수 y=f(x)에대하여곡선 y=f(x) 위의점 (a, f(a))에서의접선의방정

식은

y-f(a)= (x-a)

②곡선 y=f(x)에접하고기울기가m인접선의방정식은

②m=f'(c)일때, y-f(c)=m(x-c)

(1)

안에알맞은것을채워가면서교과서에서학습한내용을확인해보세요.

평균값의정리

함수 y=f(x)가구간 [a, b]에서연속이고구간 (a, b)에서미분가능하면

=f'(c)

인 c가구간 (a, b)에적어도하나존재한다.

f(b)-f(a)b-a

미분가능한함수의증가와감소

함수 f(x)가구간 (a, b)에서미분가능할때, 그구간의모든 x에대하여

① f'(x)>0이면 f(x)는그구간에서 한다.

② f'(x)<0이면 f(x)는그구간에서 한다.(3)

(2)

미분가능한함수의극대와극소의판정법

미분가능한함수 f(x)에대하여 f'(a)=0이고 x=a의좌우에서 f'(x)의부호가

①양에서음으로바뀌면 x=a에서극대라고하며 f(a)는 값이다.

②음에서양으로바뀌면 x=a에서극소라고하며 f(a)는 값이다.(5)

(4)

이계도함수를이용한극대와극소의판정

x=a를포함하는열린구간에서이계도함수를갖는 f(x)에대하여 f '(a)=0일때

① f''(a)<0이면 f(x)는 x=a에서극댓값 f(a)를가진다.

② f''(a)>0이면 f(x)는 x=a에서극솟값 f(a)를가진다.

*

1-1.그래프에의 활용

⇡내용정리가부족한학생은교과서154~170쪽을공부하여개념을확실히익히세요.

(1) f'(a) (2) 증가 (3) 감소 (4) 극댓 (5) 극솟답

3.도함수의활용 119

｜ 함 께 하 기 ｜ ｜ 스 스 로 하 기 ｜

바 탕 다 지 기기초개념을확인하고계산능력을기르기위한문제입니다.*

다음함수의극값을구하여라.

(1) f(x)=x¤ +x (2) f(x)=-x¤ +2x-1

(3) f(x)=;3!;x‹ -x+3 (4) f(x)=;3@;x‹ -x¤ +1

2교과서 169, 170쪽

다음함수의증가와감소를조사하여라.

(1) f(x)=2x¤ -6x (2) f(x)=x› -2x¤1교과서 166쪽

다음접선의방정식을구하여라.(1) 곡선 y=x¤ -1 위의 점 (2, 3)에서의접선

(2) 곡선 y=-x¤ +2x에접하고기울기가2인접선

1. 다음접선의방정식을구하여라.(1) 곡선 y=x‹ +x 위의 점 (2, 10)에서의접선

(2) 곡선 y=-x‹ +3x에접하고기울기가3인접선

1.

[풀이]

(1) f(x)=x¤ -1로 놓으면 f'(x)=2x이므로점 (2, 3)에서의접선의기울기는

f'(2)=4

(1) 따라서구하는접선의방정식은y-3=4(x-2)

∴ y=4x-5

(2) f(x)=-x¤ +2x로놓으면(2) f'(x)=-2x+2이다. (2) 접점의 x좌표를 a라고 하면 접선의 기울기는 f'(a)=-2a+2이므로

-2a+2=2 ∴ a=0

(1) 이때, f(0)=0이므로 구하는접선의방정식은

y-0=2(x-0)

∴ y=2x

[풀이]

(1) f(x)=x‹ +x로 놓으면 f'(x)=

이므로점 (2, 10)에서의접선의기울기는f'(2)=

(1) 따라서구하는접선의방정식은y-10= (x-2)

∴ y=

(2) f(x)=-x‹ +3x로놓으면(2) f'(x)= 이다.(2) 접점의 x좌표를 a라고 하면 접선의 기울기는 f'(a)=-3a¤ +3이므로

-3a¤ +3=3 ∴ a=

(1) 이때, f(0)=0이므로 구하는 접선의 방정식은

y-0=3(x-0)

∴ y=3x

120 Ⅳ.미분법

공학 도구

기하작도용컴퓨터프로그램을이용하면함수의그래프와접선을쉽게그릴수있다. 이컴퓨

터프로그램은홈페이지 http://www.z-u-l.de에서내려받을수있다.

방법1 컴퓨터 프로그램을 이용하여 함수 f(x)=x› -x‹ -2x¤ -x+2위의 한 점에서의 접선을

그려보자 .

1단계 함수아이콘 을클릭하면 ｜그림1｜과같은함수창이열린다.함수창의‘이름’에‘f’

를‘y좌표를 나타내는 식’에‘x^4-x^3-2*x^2-x+2’를 입력한 후 확인을 클릭하

면 ｜그림2｜와같이함수 f(x)=x› -x‹ -2x¤ -x+2의그래프가그려진다.

2단계 점아이콘 을선택한후그래프위의한점을클릭하여점을찍고,새이름아이콘 을

선택한후다시점을클릭하면 ｜그림3｜과같이점A가작도된다.

3단계 함수아이콘 을클릭하여함수창을열고‘y좌표를나타내는식’에

‘diff(f,x(A))*(x-x(A))+y(A)’를 입력하고,‘붉은색’을 선택한 후 확인을 클릭

하면 ｜그림4｜와같이점A에서의접선이그려진다.

4단계 마우스오른쪽버튼을이용하여점A를끌기하여움직여보자.

｜그림4｜｜그림3｜

｜그림2｜｜그림1｜

컴퓨터로함수의접선그리기

3.도함수의활용 121

수학적개념을공학도구를이용하여이해하고탐구해보세요.*

또다른기하작도용컴퓨터프로그램을이용해도함수의그래프와접선을쉽게그릴수있다.

이컴퓨터프로그램은홈페이지 http://www.geogebra.org에서내려받을수있다.

방법2 컴퓨터프로그램을이용하여함수 f(x)=x› -x‹ -2x¤ -x+2위의한점에서의접선을

그려보자.

1단계 화면아래쪽에있는명령어입력줄(Input)에‘x^4-x^3-2*x^2-x+2’를입력한

후 Enter 키를 누르면 ｜그림5｜와 같이 함수 f(x)=x› -x‹ -2x¤ -x+2의 그래프가

그려진다.

2단계 점아이콘 을선택한후그래프위의한점을클릭하면｜그림6｜과같이점A가작도된다.

3단계 명령어입력줄(Input)에‘Derivative[f(x)]’를입력한후Enter키를누르면｜그림7｜

과같이 f(x)의도함수 g(x)의그래프가그려진다.

4단계 명령어입력줄(Input)에‘g(x(A))(x-x(A))+y(A)’를입력한후 Enter 키를

누르면 ｜그림8｜과같이점A에서의접선이그려진다.

5단계 마우스오른쪽버튼을이용하여점A를끌기하여움직여보자.

｜그림8｜｜그림7｜

｜그림6｜｜그림5｜

122 Ⅳ.미분법

다음접선의방정식을구하여라.

(1) 곡선 y=2≈ 위의점 (1, 2)에서의접선

(2) 곡선 y=e≈ +1 위의점 (0, 2)에서의접선

(3) 곡선 y=ln x+3에접하고기울기가 ;2!;인접선

(4) 곡선 y=sin2x+2 {0…x…;2“;}에접하고기울기가 1인접선

1

함수 f(x)=x‹ -ax¤ +ax가 일대일 대응이 되도록 하는 상수 a값의

범위를구하여라.2

다음 함수에 대하여 주어진 구간에서 평균값의 정리를 만족하는 상수

c의값을구하여라.

(1) f(x)=ln x [1, e] (2) f(x)=4x-x¤ [1, 5]

3

다음함수의증가와감소를조사하여라.

(1) f(x)=x+;[!; (2) f(x)=x-lnx

4

다음함수의극값을구하여라.

(1) f(x)=x‹ -12x+5 (2) f(x)=x+2 sin x (0…x…p)

(3) f(x)= (4) f(x)=ln(x¤ +2)e≈ +e—≈

2

5

기본실력을확인하고응용능력을기르기위한문제입니다.*기 본 익 히 기

한점 (x¡, y¡)을지나고기

울기가 m인 직선의 방정식

y-y¡=m(x-x¡)

{ ln|f(x)|}'=f '(x)f(x)

f'(x)=0이되는 x의값을

기준으로생각한다.

3.도함수의활용 123

함수 f(x)=ax+sinx가 극값을 갖지 않기 위한 상수 a값의 범위를

구하여라.1

점 P(1, 0)에서곡선 y=xe≈ 에그은두접선의기울기를m¡, m™라고

할때, m¡m™의값을구하여라.2

곡선 y=x‹ 위의원점이아닌한점 P에서

의접선이다시이곡선과만나는점을Q라

고할때, 점 Q에서의접선의기울기는점

P에서의접선의기울기의 4배임을보여라.

3

함수 f(x)=(x-a)ex¤이모든실수 x에대하여증가하도록상수 a값의

범위를정하여라.4

어떤 물레방아 위의 한 지점 P의 시각 t에서 지면으로부터의 높이를

ym라고하면

y=sin t+1

의관계식이성립한다. t=5일때, P지점의높이가증가하고있는지

감소하고있는지말하여라.

p15

5

다양한유형에대한활용능력을키워실력을향상시키는문제입니다.*실 력 키 우 기

x

y

OP

Q

y=x#

미분가능한함수 f(x)가

모든실수 x에대하여증가

jK f'(x)æ0

미분가능한함수

f(x)에대하여 f'(a)=0

이고 x=a의좌우에서

f'(x)의부호가바뀌면

x=a는극점이란다.

평균값의정리를이용한부등식의증명

평균값의정리를이용하여다음부등식을증명하여라.

(1) |sin a-sin b|…|a-b|

(2) x>1일때, x ln x>x-1

1-1확인학습

평균값의정리를이용하여부등식을증명할수있다.

1. 평균값의정리를이용하여 |cos b-cos a|…|b-a|를증명하여보자.

⁄ a=b일때, 주어진부등식이성립한다.

¤ a<b일때, f(x)=cosx라고하면함수 f(x)는구간 [a, b]에서연속이고구간 (a, b)에서

미분가능하므로평균값의정리에의하여다음을만족하는 c가구간 (a, b)에존재한다.

f'(c)= =

¤ 그런데 f'(x)=-sinx이므로 f'(c)=-sinc이고

| |=|-sin c|…1

∴ |cos b-cos a|…|b-a|

‹ a>b일때, ¤와같은방법으로증명할수있다.

⁄, ¤, ‹에의하여주어진부등식이성립한다.

2. 평균값의정리를이용하여 x>0일때, 0<ln <x를증명하여보자.

f(x)=e≈ 이라고하면함수 f(x)는구간 [0, x]에서연속이고구간 (0, x)에서미분가능하므로

평균값의정리에의하여다음을만족하는 c가구간 (0, x)에존재한다.

f '(c)= =

그런데 f'(x)=e≈ 이므로 f'(c)=eç 이고

eç = , 즉 c=ln

따라서 0<c<x이므로주어진부등식이성립한다.

e≈ -1x

e≈ -1x

e≈ -e‚x-0

f(x)-f(0)x-0

e≈ -1x

cos b-cosab-a

cos b-cosab-a

f(b)-f(a)b-a

개념 넓히기

124 Ⅳ.미분법

3.도함수의활용 125

곡선의오목, 볼록

함수 y=f(x)는어떤구간에서

① f''(x)>0이면곡선 y=f(x)는이구간에서 볼록하다.

② f''(x)<0이면곡선 y=f(x)는이구간에서 볼록하다.(2)

(1)

안에알맞은것을채워가면서교과서에서학습한내용을확인해보세요.

변곡점의판정

곡선 y=f(x)위의점P(a, f(a))에대하여 f''(a)=0이고 x=a의좌우에서 f''(x)의부호가

바뀔때, 이점P를곡선 y=f(x)의변곡점이라고한다.

함수의그래프의개형을그리는방법

함수 y=f(x)의그래프의개형은다음을조사하여그리면편리하다.

①곡선이존재하는범위 ②곡선의대칭성, 주기 ③좌표축과의교점

④함수의증가와감소, 극값 ⑤곡선의오목과볼록, 변곡점 ⑥극한값과점근선

｜참고｜ 곡선이어떤직선에한없이가까워질때, 이직선을그곡선의 이라고한다.(3)

*

1-2.그래프에의 활용

최댓값과최솟값

연속인 함수 y=f(x)가 구간 [a, b]에서 극값을 가질 때, 함수의 최댓값과 최솟값은 다음과

같다.

① f(x)의최댓값은극댓값, f(a), f(b) 중에서 인값이다.

② f(x)의최솟값은극솟값, f(a), f(b) 중에서 인값이다.(5)

(4)

점근선을구하는방법

①분수함수 y= ( f(x)+0)의경우

f(x)=0이점근선이다. f(x) ⁄¶일때, ⁄a이면 y=a는점근선이다.

②지수함수 f(x)=a≈ (a>1)의경우

f(x)=0이므로점근선은 y=0이다.limx⁄-¶

g(x)f(x)

g(x)f(x)

⇡내용정리가부족한학생은교과서171~177쪽을공부하여개념을확실히익히세요.

(1) 아래로 (2) 위로 (3) 점근선 (4) 최대 (5) 최소답

126 Ⅳ.미분법

｜ 함 께 하 기 ｜ ｜ 스 스 로 하 기 ｜

바 탕 다 지 기기초개념을확인하고계산능력을기르기위한문제입니다.*

다음곡선의오목과볼록을조사하고, 변곡점을구하여라.

(1) f(x)=x‹ -3x-5

(2) f(x)=;3!;x‹ +x¤ -3

(3) f(x)=x-2sinx (0<x<2p)

1교과서 173쪽

함수 f(x)=x› -4x¤ -2의구간 [-2, 1]

에서의최댓값과최솟값을각각구하여라.1. 함수 f(x)=;3!;x‹ -4x의구간 [-3, 3]에

서의최댓값과최솟값을각각구하여라.

1.

[풀이]

f'(x)=4x‹ -8x=4x(x¤ -2)

=4x(x+'2 )(x-'2)

f'(x)=0에서x=-'2 또는 x=0 (∵-2…x…1)

f''(x)=12x¤ -8

f''(-'2 )=16>0이므로x=-'2에서극소f''(0)=-8<0이므로 x=0에서극대그러므로f(-2)=(-2)› -4(-2)¤ -2=-2

f(1)=1-4-2=-5

f(0)=-2

f(-'2 )=(-'2)› -4¥(-'2)¤ -2

f(-'2)=-6

따라서최댓값은-2이고,최솟값은-6이다.

[풀이]

f'(x)= =(x+2)(x-2)

f'(x)=0에서　　x=-2 또는 x=2

f''(x)=2x

f''(-2)=-4<0이므로 x=-2에서극대f''(2)=4>0이므로 x=2에서 이다.그러므로

f(-3)=;3!;¥(-3)‹ -4¥(-3)=3

f(3)=;3!;¥3‹ -4¥3=-3

f(-2)=;3!;¥(-2)‹ -4¥(-2)=:¡3§:

f(2)=;3!;¥2‹ -4¥2=-:¡3§:

따라서 최댓값은 이고, 최솟값은이다.

-2 y -'2 y 0 y 1

- 0 + 0 -

-2 ↘ -6극솟값

↗-2극댓값

↘ -5

f'(x)

+ -f''(x)

f(x)

x-3 y -2 y 2 y 3

+ 0 - 0 +

3 ↗:¡3§:

극댓값↘

-:¡3§:

극솟값↗ -3

f '(x)

f''(x) - +

f(x)

x

3.도함수의활용 127

함수 f(x)= 의그래프를다음단계에따라그려라.

(1) 도함수 f'(x)를구하고, f'(x)=0의해를구하여라.

(2) 이계도함수 f ''(x)를구하고, f ''(x)=0의해를구하여라.

(3) , 의값을각각구하여라.

(4) 증가와감소를나타내는표를만들어극점및변곡점을조사하여라.

(5) 함수 f(x)= 의그래프를그려라.1x¤ +1

1x¤ +1

limx⁄-¶

1x¤ +1

limx⁄+¶

1x¤ +11

다음 함수에 대하여 주어진 구간에서의 최댓값과 최솟값을 각각 구하

여라.

(1) f(x)=x‹ -x¤ [-1, 2]

(2) f(x)=xe—≈ [-1, 3]

(3) f(x)=x+"1√-x¤ [-1, 1]

(4) f(x)=sinx(1+cos x) [0, 2p]

2

어느회사에서만든상품의가격을 1톤에 x만원으로정하면 '1ƒ00-x

톤이팔린다고한다. 1톤을만드는데 1만원이들때, 이회사의최대

이익을구하여라.

4

다음곡선의오목과볼록을조사하고, 변곡점을구하여라.

(1) y=x› -6x¤ +10 (2) y='2x+2cosx (0<x<2p)

(3) y=x+;[!; (4) y=ln(x¤ +3)

3

기본실력을확인하고응용능력을기르기위한문제입니다.*기 본 익 히 기

어떤해수욕장에서기온이 30æ가넘은후 x시간이지났을때, 이해

수욕장을방문한사람의수를 y라고하면

y=x‹ -12x¤ +21x+105 (0…x…10)

의 관계식이 성립한다. 방문한 사람의 수가 가장 많았을 때와 가장 적

었을때의 x의값을각각구하여라.

5

그래프의개형을

그려보면최댓값과

최솟값을쉽게구할

수있어.

128 Ⅳ.미분법

곡선 y=x¤ +;[!;의오목과볼록을조사하고, 변곡점을구하여라.1

함수 f(x)=ax‹ +bx¤ +cx의 x=2인점에서의접선의기울기가 5이고,

점 (1, 3)이 곡선 y=f(x)의 변곡점일 때, 세 상수 a, b, c의 값을

구하여라.

2

다음함수의그래프를그려라.

(1) y=x-'ƒx+1 (2) y=x¤ e—≈

(3) y= (4) y=2 cos x-cos2xlnxx

3

반지름의 길이가 1인 구에 외접하는 직원뿔의 부피의 최솟값을 구하

여라.5

다양한유형에대한활용능력을키워실력을향상시키는문제입니다.*실 력 키 우 기

어떤보디빌더의트레이닝프로그램을시작

한지 t개월후의몸무게를W라고하면

W=5t-20 ln(t+1)+70 (0…t…15)

의관계식이성립한다. 이보디빌더의몸무

게가 최소일 때는 트레이닝 프로그램을 시

작한지몇개월후인지구하여라.

6

아프리카의국립공원에있는치타의수는 1986년 1월 1일현재 500마

리이다. 또이제부터 t년이지난후의치타의수를N이라고하면

N=100te— +500

의관계식이성립한다. 치타의수가최대인해를구하여라.

t12

4

f ''(a)=0이고 x=a의 좌우

에서 f ''(x)의 부호가 바뀌

면점 (a, f(a))는곡선

y=f(x)의변곡점이다.

3.도함수의활용 129

방정식에의활용

①방정식 f(x)=0의실근은함수 y=f(x)의그래프와 x축과의 의 x좌표이다.

따라서방정식 f(x)=0의실근의개수는함수 y=f(x)의그래프와 x축과의교점의개수와

같다.

②방정식 f(x)-g(x)=0의실근은두함수 y=f(x)와 y=g(x)의그래프의교점의 x좌표

이다. 따라서 방정식 f(x)-g(x)=0의 실근의 개수는 두 함수 y=f(x), y=g(x)의그래프의교점의개수와같다.

｜참고｜ 함수의그래프를이용하면방정식의실근의개수를구할수있다.

｜보기｜ f(x)=x‹ -3x¤ +2에서 f'(x)=3x(x-2)이므로극댓값은 f(0)=2이고, 극솟값은f(2)=8-12+2=-2이다. 한편 (극댓값)_(극솟값)=2_(-2)<0이므로 y=f(x)의 그래프는 x축과 서로 다른

점에서만난다. 즉, 방정식 x‹ -3x¤ +2=0은서로다른 실근을가진다.(3)

(2)

(1)

안에알맞은것을채워가면서교과서에서학습한내용을확인해보세요.

부등식에의활용

①어떤 구간에서 부등식 f(x)>0이 성립함을 보이려면 함수 y=f(x)의 그래프가 주어진

구간에서 x축의 위쪽에 있음을 보이면 된다. 또는 y=f(x)의 최솟값이 보다 큼을

보이면된다.

②어떤 구간에서 부등식 f(x)>g(x)가 성립함을 보이려면 두 함수 f(x)와 g(x)에 대하여h(x)=f(x)-g(x)로 놓고, 함수 y=h(x)의 그래프가 주어진 구간에서 x축의 위쪽에

있음을보이면된다. 또는 y=h(x)의최솟값이 보다큼을보이면된다.

｜보기｜ f(x)=x‹ +3x에서 f'(x)=3x¤ +3=3(x¤ +1)>0이고 f(0)=0이므로 xæ0일때,f(x) 0이다.즉, xæ0일때, 부등식 x‹ +3x 0이항상성립한다.(7)

(6)

(5)

(4)

*

2.방정식과 부등식에의 활용

⇡내용정리가부족한학생은교과서178~181쪽을공부하여개념을확실히익히세요.

(1) 교점 (2) 세 (3) 세 (4) 0 (5) 0 (6) æ (7) æ답

130 Ⅳ.미분법

｜ 함 께 하 기 ｜ ｜ 스 스 로 하 기 ｜

바 탕 다 지 기기초개념을확인하고계산능력을기르기위한문제입니다.*

다음방정식의실근의개수를구하여라.

(1) x‹ -3x¤ +5=0 (2) e≈ =2x+31교과서 180쪽

모든 실수 x에 대하여 다음 부등식이 성립하기 위한 상수 k값의 범위를

구하여라.

(1) x› >4x-k (2) x› +x‹ +x¤ +kæ0

2교과서 181쪽

방정식 2x‹ -3x¤ -k=0이 서로 다른 세실근을 갖도록 하는 상수 k값의 범위를 구하여라.

1. 방정식 4x‹ +6x¤ -k=0이 서로 다른 세실근을 갖도록 하는 상수 k값의 범위를 구하여라.

1.

[풀이]

f(x)=2x‹ -3x¤ 으로놓으면f'(x)=6x¤ -6x=6x(x-1)

f'(x)=0에서　　x=0 또는 x=1

함수 f(x)의 증가와 감소를 나타내는 표와그래프는다음과같다.

따라서-1<k<0일때, 방정식2x‹ -3x¤ -k=0은 서로 다른 세 실근을 가진다.

O 1

-1

x

y y=2x#-3x@

y=k

[풀이]

f(x)=4x‹ +6x¤ 으로놓으면f'(x)=12x¤ +12x=12x( )

f'(x)=0에서　　x= 또는 x=0

함수 f(x)의 증가와 감소를 나타내는 표와그래프는다음과같다.

따라서 일때, 방정식4x‹ +6x¤ -k=0은 서로 다른 세 실근을 가진다.

y=4x#+6x@

y=k

O x

y

y 0 y 1 y

+ 0 - 0 +

↗0

극댓값↘

-1극솟값

↗

f'(x)

f(x)

x y y 0 y

+ 0 0 +

↗ 0극솟값

↗

f '(x)

f(x)

x

극댓값

3.도함수의활용 131

삼차방정식 2x‹ +3x¤ -12x+k=0이 중근과 다른 한 근을 가질 때,

상수 k의값을구하여라. 1

다음부등식이주어진구간에서항상성립함을보여라.

(1) 4x‹ …3x› +1 (-¶, ¶)

(2) ln(x+1)>x- (0, ¶)x¤2

3

-p<x<p에서 x에 대한 방정식 sin x=kx가 서로 다른 세 실근을

갖기위한상수 k값의범위를구하여라.2

곡선 y=2x‹ -3x¤ 과 직선 y=12x+k가 오직 한 점에서 만나기 위한

자연수 k의최솟값을구하여라.4

모든실수 x에대하여부등식 e≈ æ2x+k가항상성립할때, 상수 k값

의범위를구하여라.6

삼차함수 y=f(x)의 도함수 y=f'(x)의

그래프가 오른쪽 그림과 같고, f(0)=1,

f(3)=3일 때, 방정식 f(x)=0의 실근의

개수를구하여라.

5

기본실력을확인하고응용능력을기르기위한문제입니다.*기 본 익 히 기

O 3 x

y

y=f'{x}

두함수

f(x)=2x‹ +3x¤ -12x와

g(x)=-k의 그래프가 접

하는 경우는 극댓점에 접하

는 경우와 극솟점에 접하는

경우가있다.

y=e≈에접하고

기울기가 2인접선을

찾아봐~.

132 Ⅳ.미분법

x>0일때, 부등식 cos ¤ x+2 cos x>3-2x¤이성립함을보여라.4

방정식 x‹ -3x+a=0이 서로 다른 세 실근을 가질 때, 세 근을 작은

수부터 차례대로 a, b, c라고 하자. 이때, |a|, |b|, |c|의 대소

관계를말하여라. (단, a>0)

2

x에 대한 두 방정식 lnx=kx와 e≈ =kx가 모두 실근을 갖지 않을 때,

상수 k값의범위를구하여라.3

사차함수 f(x)=x› -2x‹ +kx가극댓값을가질때,상수 k값의범위를

구하여라.1

x>0일때, 다음세부등식의대소관계를말하여라.5

곡선 y=x‹ -x¤ 밖의한점 (0, k)에서곡선에세개의접선을그을수

있을때, 상수 k값의범위를구하여라.6

다양한유형에대한활용능력을키워실력을향상시키는문제입니다.*실 력 키 우 기

, ln(x+1), xx1+x

방정식 f(x)=g(x)의근은 두함수 y=f(x),

y=g(x)의그래프의교점의 x좌표란다.

그래프를 그린 후 k값의 범

위를구한다.

3.도함수의활용 133

직선위의운동에서의속도와가속도

수직선위를움직이는점 P의좌표 x가시각 t의함수 x=f(t)로나타날때, 시각 t에서의점

P의속도를 v, 가속도를 a라고하면

① v= =f'(t) ② a= =f''(t)

｜보기｜ 수직선위를움직이는점 P의좌표 x가시각 t의함수 x=2t‹ -15t¤ 으로나타날때,

t=2에서의속도 v와가속도 a는　　v= =6t¤ -30t, a= =12t-30

따라서 t=2일때, 속도는 , 가속도는 이다.(2)(1)

dvdt

dxdt

dvdt

dxdt

안에알맞은것을채워가면서교과서에서학습한내용을확인해보세요.

평면위의운동에서의속도와가속도

좌표평면 위를 움직이는 점 P의 x좌표와 y좌표가 각각 시각 t의 함수 x=f(t), y=g(t)로나타날때

①시각 t에서의점P의속도 v ¯와속력 |v|는

v={ , }, |v|=æ{≠ } 2+

②시각 t에서의점P의가속도 a와그크기 |a|는

a={ , }, |a ¯|=æ{≠ }2+ (4)d¤ xdt¤

d¤ ydt¤

d¤ xdt¤

(3)dxdt

dydt

dxdt

*

3.속도와 가속도에의 활용

읽기 자료

뉴턴은 1704년출판된‘광학’의부록‘곡선의구적에대하여’에서다음과같이주장하였다.

“수학적양은대단히작은부분으로이루어진것이아니고연속적인운동에의하여그려진것이다. 선은그작은

부분을연결해서생긴것이아니고점의연속적인운동에의하여이루어졌으며, 면은선의운동으로이루어지고,

시간은연속적인흐름에의하여생긴다.”

뉴턴은운동에서속도, 가속도의개념을수학적으로설명하기위하여유율의개념을도입하였다. 즉, 흐르는양인

유량을시간의함수로보고, 유량의변화량을흐름의속도로생각하여이것을유율이라고하였다. 뉴턴은유량을

x, y로 유율을 Hx, Hy로 나타내었다. 또 유율을 계산하기 위하여 무한히 작은 변화를 생각한 후 이를 모멘트

(moment)라고하였다. 이것은오늘날의변수와함수의증분을뜻한다.

⇡내용정리가부족한학생은교과서182~186쪽을공부하여개념을확실히익히세요.

(1) -36 (2) -6 (3) { }2 (4) { }2d¤ ydt¤

dydt

답

134 Ⅳ.미분법

｜ 함 께 하 기 ｜ ｜ 스 스 로 하 기 ｜

바 탕 다 지 기기초개념을확인하고계산능력을기르기위한문제입니다.*

수직선위를움직이는점 P의좌표 x가시각 t의함수 x=2t‹ -3t¤ -12로

나타날때, t=3에서의속도와가속도를구하여라.1교과서 184쪽

수직선위를움직이는점 P의좌표 x가시각 t의 함수 x=t› -4t‹ +t로 나타날 때,

t=5에서의속도와가속도를구하여라.

1. 수직선위를움직이는점P의좌표x가시각t의 함수 x=t‹ +5t¤ +2t-1로 나타날 때,t=3에서의속도와가속도를구하여라.

1.

[풀이]

시각 t에서의 점 P의 속도를 v, 가속도를 a

라고하면

v= =4t‹ -12t¤ +1

a= =12t¤ -24t

따라서 t=5일때, 속도는 201이고, 가속도는 180이다.

dvdt

dxdt

좌표평면 위를 움직이는 점 P의 x좌표와y좌표가 각각 시각 t의 함수 x=t‹ +3t,

y=-2t¤ +1로 나타날 때, 점 P의 시각t에서의속도와가속도를각각구하여라.

2.

[풀이]

x=t‹ +3t, y=-2t¤ +1에서

=3t¤ +3, =-4t

이고

=6t, =-4

따라서시각 t에서의점 P의속도를 v, 가속도를 a¯라고하면

v=(3t¤ +3, -4t)

a¯=(6t, -4)

d¤ ydt¤

d¤ xdt¤

dydt

dxdt

[풀이]

시각 t에서의 점 P의 속도를 v, 가속도를 a

라고하면

v= =3t¤ + +2

a= = +10

따라서 t=3일때, 속도는 이고, 가속도는 이다.

dvdt

dxdt

좌표평면 위를 움직이는 점 P의 x좌표와y좌표가각각시각 t의함수 x=2t¤ , y=t‹

으로나타날때,점 P의시각 t에서의속도와가속도를각각구하여라.

2.

[풀이]

x=2t¤ , y=t‹ 에서

=4t, =

이고

=4, =

따라서시각 t에서의점 P의속도를 v¯, 가속도를 a¯라고하면

v ¯=(4t, )

a¯=(4, )

d¤ ydt¤

d¤ xdt¤

dydt

dxdt

3.도함수의활용 135

x축위를움직이는점 P의시각 t에서의좌

표 x가 오른쪽 그림과 같이 x=f(t)로 나

타날때, 다음중옳은것을모두골라라.

1

좌표평면위를움직이는점P의 x좌표와 y좌표가각각다음과같이시각

t의 함수로 나타날 때, 점 P의 시각 t에서의 속도와 가속도의 크기를

각각구하여라.

(1) x=t¤ -t+3, y=-t¤ -t-1

(2) x=cos 2t, y=sin2t

2

좌표평면위를움직이는점 P의 x좌표와 y좌표가각각시각 t의함수

x=t+cos t, y=1-sin t

로나타날때, 점 P의최대속력을구하여라.

4

어떤 배가 시속 3 km로 등대 P의 앞을 직선 항로로

지나가고있다. 이배가등대 P와가장가까웠을때의

거리가 4 km이었다. 이로부터 1시간후의등대 P와

배와의거리가멀어지는속도를구하여라.

5

기본실력을확인하고응용능력을기르기위한문제입니다.*기 본 익 히 기

O 2 4 5 6 7

2

t

x=f{t}x

ㄱ. t=3일때의속도는양수이다.

ㄴ. t=5일때의속도는 0이다.

ㄷ. t=6일때의점 P는 x축의양의방향으로움직이고있다.

ㄹ. t=7일때의점 P의좌표는음수이다.

4`km3`km/h

P

지면에서 초속 30 m로 쏘아 올린 물체의 t초 후의 지면으로부터의

높이를 h m라고 하면 h=30t-5t¤ 의 관계식이 성립한다.이 물체가

도달하는최고높이를구하여라.

3

속력은속도의

절댓값이야.

136 Ⅳ.미분법

수평면과 a의각을이루는방향으로초속 vº로던진돌의 t초후의위치를

P(x, y)라고하면 x좌표와 y좌표는각각다음과같이나타난다. 물음

에답하여라.

x=vº(cosa)t, y=vº(sina)t-;2!;gt¤

{단, vº>0, g>0, 0<a<;2“;}

(1) 돌이최고점에도달하는시각을구하여라.

(2) y=0일때의속력을구하여라.

1

원점O를중심으로하고반지름의길이가 r인원주위를매초x라디안의

일정한 비율로 회전하는 점 P가 있다. 점 P의 x좌표와 y좌표는 각각

시각 t의함수

x=r cosxt, y=r sinxt

로나타날때, 점 P의속력을구하여라. (단, r>0, x>0)

4

다양한유형에대한활용능력을키워실력을향상시키는문제입니다.*실 력 키 우 기

수직선위를움직이는점 P의좌표 x가시각 t의함수

x=ln(t¤ +4)

로나타난다. 점 P의가속도가 0일때의속도를구하여라.

2

키가 1.8 m인 어떤 사람이 높이가 3m

인 가로등 밑에서 출발하여 매분 60 m

의 속도로 일직선으로 걸어가고 있다.

이사람의그림자끝부분이움직이는속

도를구하여라.

5

P

수직선위를움직이는점 P의좌표 x가시각 t의함수

x='3 sin2t+cos2t

로나타날때, 점 P의최대속도및그때의시각 t를구하여라.

(단, 0<t<p)

3

최고점에도달한

순간물체의 y방향

속도는 0이되겠구나~.

생활속의미분적사고

읽기 자료

변화를연구하는미분학에서는미분적사고를필요로한다. 왼쪽

그림과같이곡선 y=x¤ +1의아주작은부분만을따로떼어직선으

로생각하는것은미분적사고의한예이다.

우리생활전반에걸쳐찾을수있는미분적사고를살펴보자.

1. 박물관의토기

박물관에진열되어있는토기는멋진곡면이지만토기

를발굴할당시에는모두조각나있었을것이다. 이작은

조각은곡면의일부이지만거의평평하다.

2. 지구표면

인공위성에서찍은사진을보면알수있듯이‘지구는둥글다.’는

것은사실이다. 하지만‘내가서있는부근’만을생각하면평평하다.

3. 컴퓨터단층촬영

병원에서사용하는컴퓨터단층촬영(CT)은사

람의몸의내부를얇게자른형태로계속하여사진

을찍어나간후그중에서필요한부분의사진을한

장씩보는것이다.

4. 디지털과아날로그

본래소리는공기의파동이므로연속적인곡선형태를지닌다. 이

것을디지털정보로변환하면불연속적인정보로바뀌게된다. 이렇

게저장된정보를다시복원하려면연속하는두점을직선으로이

어주면원래의곡선과유사하게된다.

이때, 접선을 이용하면 일부가 훼손된 부분을

복구할수도있다.

O x

y

3

-3 3

6

9

신호 결손

접선으로 보정

3.도함수의활용 137

138 Ⅳ.미분법

대 단 원 확 인 하 기

다음함수에서 를구하여라.

(1) y= (2) x="√y¤ +y+5

(3) y=sin(ln x) (4) y=e-x¤

1-'x1+'x

dydx1

★

다음함수의이계도함수를구하여라.

(1) y=x(x-3)(5-x¤ ) (2) x=sin‹ x

(3) y=xe;[!; (4) y=ln(x¤ +3)

2★

x축 위의 점 (k, 0)에서 곡선 y=(x-1)e≈ 에 두 개의 접선을 그을 수 있도록 상수

k값의범위를정하여라.4★★★

다항식 x¤ ‚ ‚ -200x¤ +px+q가 (x-1)¤으로나누어떨어질때, 두상수 p, q의값을

각각구하여라.3★★

계산

계산

이해

이해

함수 f(x)=e—≈ sin x (0…x…2p)의극댓값과극솟값을구하여라.5★★

추론

대단원확인하기(Ⅳ) 139

단원을최종적으로마무리하는문제입니다. 각자의실력을확인해보세요.*

함수 f(x)=x‹ 일때, 구간 [a, a+h]에서의평균값의정리

f(a+h)=f(a)+hf'(a+hh) (a>0, 0<h<1)

를만족하는 h에대하여 h의값을구하여라.limh⁄0

6★★

곡선 2x¤ +3y¤ =30위를움직이는점 P(x, y)의 x좌표가매초 3의속도로움직인다.

점P의 x좌표가 3일때, y좌표의속도를말하여라. (단, y좌표는양수이다.)9★★

함수 f(x)=2x‹ +ax¤ +bx+c의극대점및극소점의좌표가각각 (-2, 1),

(-1, 0)일때, 세상수 a, b, c의값을구하여라.8★★

문제 해결

다음함수의그래프를그려라.

(1) f(x)=x› -4x‹ +4x¤ -1 (2) f(x)= xx¤ +1

7★★

문제 해결

10000 L의물이들어있는물탱크에서 50분동안밑바닥으로부터물을빼려고한다.

이때, 물을빼기시작한지 t분후의물탱크안에남아있는물의부피를 V(t)L라고

하면

V(t)=10000 {1- }2 (0…t…50)

의관계식이성립한다. 이때, 물을빼기시작한지 10분후물탱크안의물의부피의

변화율을구하여라.

t50

10★★★

문제 해결

이해

의사소통