MarkoV.IveticRacunskahidraulikaTecenjeucevimaBeograd,1996.2DrMarkoV.Ivetic,dipl.inz.vanredniprofesorRacunska hidraulikaTecenje u cevimaRecenzenti: prof. DrBozidarBatinic,dipl.inz.,prof. DrCedoMaksimovic,dipl.inz.Prvo izdanje odobreno za stampu na osnovu odluke Vecakatedarazahidrotehnikunasednici odrzanoj 25. juna1995. godine.Izdavac: Gradjevinski fakultet Univerziteta u Beogradu,BulevarKraljaAleksandra73/IGlavni i odgovorni urednik: prof. Dr BranislavCori, dipl.inz.Prelomteksta: MarkoIveticSlike: VladimirJankoviciMarkoIveticKorice: ApplicationAppleCenterCIP Katalogizacija u publikacijiNapodna biblioteka Srbije, Beograd621.643/.646(075.8)Ivetic, Marko V.Racunska hidraulika Tecenje u cevima/Marko V. Ivetic; [slike Vladimir Janovic iMarko V. Ivetic].- Beograd: Gradjevinski fakul-tet Univerziteta u Beogradu, 1996 (Beograd:CuguraTrade). XIV,306str.: graf. prikazi;24 cmTiraz 500. Bibliograja uz sva poglavlja. Registar.ISBN 86-80049-38-7 532.542(075.8)621.65/.69(075.8)a) Cevovodi - proracun b) Hidraulika c) PumpeID = 45154060Sadrzaj1 Uvod 131.1 Metoderesavanjahidraulickihproblema . . . . . . . . . . . . 131.2 Matematickimodeli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3 Opstiprincipinumerickogmodeliranja . . . . . . . . . . . . . 171.4 Pribliznoresavanjeobicnihdiferencijalnihjednacina . . . . . . 191.4.1 Numerickodiferenciranje . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5 Osobinenumerickihmodela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.5.1 Konvergencijaistabilnostnumerickogpostupka . . . . 271.5.2 Konsistentnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.5.3 Tacnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 Ustaljenotecenjeucevima 332.1 Osnovnepretpostavke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2 Osnovnejednacine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2.1 Jednacinaodrzanjamase(jednacinakontinuiteta) . . . 352.2.2 Jednacinaodrzanjakolicinekretanja . . . . . . . . . . 362.2.3 Koecijenttrenja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2.4 Lokalniotporiucevima . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2.5 Mogucegreskekodprocenegubitkaenergije . . . . . . 442.3 Formiranjesistemajednacinazacevnumrezu . . . . . . . . . 462.3.1 Proticajiucevimakaonepoznatevelicine . . . . . . . 472.3.2 -koteu cvorovimakaonepoznatevelicine . . . . . . 502.4 Posebnielementimreze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.4.1 Hidrantiiprskaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.4.2 Pumpe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6134 Sadrzaj3 Opsteoneustaljenomtecenjuucevima 673.1 Matematickimodeli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.2 Matematickimodelkvazi-ustaljenogtecenja . . . . . . . . . . 683.3 Matematickimodelkrutogudara . . . . . . . . . . . . . . . . 723.4 Matematickimodelelasticnogudara(hidraulickiudar) . . . . 733.4.1 Promenapritiskaipijezometarskekote . . . . . . . . . 753.4.2 Brzinaprostiranjaporemecaja. . . . . . . . . . . . . . 763.5 Matematickimodelioscilatornogkretanjaivibracija . . . . . . 793.6 Granicevazenjapojedinihmodela . . . . . . . . . . . . . . . . 804 Oscilacijetecnostiucevima 834.1 Uspostavljanjeustaljenogtecenja . . . . . . . . . . . . . . . . 834.2 Oscilacijetecnostiucevikonstantnogpoprecnogpreseka . . . 854.2.1 Oscilacijebeztrenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.2.2 Oscilacijetecnostisatrenjem . . . . . . . . . . . . . . 884.3 Oscilacijetecnostiuspojenimrezervoarima. . . . . . . . . . . 914.3.1 Opsteonumerickimmodelimakrutogudara . . . . . . 985 Vodostani 1015.1 Osnovnejednacine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.1.1 Numerickimodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.2 Stabilnostradavodostana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.2.1 Vodostansaprigusivacem . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.2.2 Diferencijalnivodostan. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.2.3 Napomenezaprojektovanje . . . . . . . . . . . . . . . 1256 Hidraulickiudar 1296.1 Opispojave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.2 Osnovnejednacine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.2.1 Dinamickajednacina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.2.2 Jednacinakontinuiteta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1366.2.3 Osobinejednacinamatematickogmodela . . . . . . . . 1416.3 Pojednostavljenejednacine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1427 Metodakarakteristika 1457.1 Osnovnejednacineuformikarakteristika . . . . . . . . . . . . 146Sadrzaj 57.2 Numerickimodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1497.3 Tacnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1527.3.1 Uticajtrenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1547.4 Osnovnigranicniuslovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1597.4.1 Rezervoar,odnosno,zadatnivonakrajucevi . . . . . . 1597.4.2 Zadatproticaj. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1607.4.3 Zatvaracna(nizvodnom)krajucevi . . . . . . . . . . . 1617.4.4Cvorovi-spojevidveilivisecevi . . . . . . . . . . . . 1647.4.5 Zatvaracu cvoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1677.5 Varijantemetodekarakteristika . . . . . . . . . . . . . . . . . 1727.5.1 Metodakarakteristikasainterpolacijamapoprostoru . 1727.5.2 Metodakarakteristikasainterpolacijamapovremenu . 1777.6 Drugemetodezaanalizuhidraulickogudara . . . . . . . . . . 1807.6.1 Kompaktnaimplicitnametodavisoketacnosti . . . . . 1808 Pumpeiprelaznirezimi 1878.1 Opsteopumpama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1878.1.1 Vrstepumpi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1878.2 Teorijskeosnoveturbomasina . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1888.2.1 Jednacinaodrzanjamomentakolicinekretanja. . . . . 1888.2.2 Koecijentipumpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1938.3 Izborpumpi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1998.3.1 Spregnutiradvisepumpi-crpnestanice . . . . . . . . 2018.3.2 Ogranicenjasausisnestrane-kavitacija . . . . . . . . 2028.4 Pumpekaogranicniuslovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2058.5 Karakteristikepumpeu cetirikvadranta . . . . . . . . . . . . 2088.6 Ispadpumpeizpogona. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2148.6.1 Jednacine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2158.6.2 Klapne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2198.6.3 Momentinercijepumpeimotora . . . . . . . . . . . . 2248.7 Startpumpe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2258.8 Dodatnejednacineiuslovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2269 Zastitaodhidraulickogudara 2319.1 Uvod. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2319.2 Uzrocihidraulickogudara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2336 Sadrzaj9.2.1 Primeriizprakse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2349.3 Osnovniprincipizastite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2359.3.1 Denisanjezakonazatvaranjazatvaraca . . . . . . . . 2369.4 Smanjivanjebrzineprostiranjatalasa . . . . . . . . . . . . . . 2369.4.1 Uticaj slobodnogi rastvorenogvazduhanapromenubrzineprostiranjatalasautecnosti . . . . . . . . . . . 2379.5 Uticajsuspendovanih cesticanabrzinupropagacijetalasa. . . 2419.6 Kavitacijauprelaznimrezimima . . . . . . . . . . . . . . . . . 2449.6.1 Pojednostavljenaanalizaponasanjakavitetaucevi . . 2459.6.2 Kavitetkaogranicniuslov . . . . . . . . . . . . . . . . 2469.7 Vodostankaogranicniuslov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2489.7.1 Jednosmernivodostan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2539.8 Vazdusnakomora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2539.9 Vazdusniventili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2579.9.1 Dimenzionisanjevazdusnihventila . . . . . . . . . . . . 2599.10 Rasteretniventili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2609.11 Obilaznivodovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2639.12 Zavrsnenapomene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26410Oscilatornokretanjeivibracije 26710.1 Osnovnejednacine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26910.2 Prinudneoscilacijeianalizafrekventnogodziva . . . . . . . . 27410.2.1 Osnovnigranicniuslovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27510.2.2 Primeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28110.3 Drugemetodezaanalizuoscilatornogkretanja. . . . . . . . . 28711Regulacionekarakteristikezatvaraca 29311.1 Uvod. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29311.2 Regulacijaproticaja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29411.3 Osnove. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29411.3.1 Konstruktivnekarakteristikeregulacionihzatvaraca . . 29611.3.2 Vezaizmedjupromeneproticajaimanevrazatvaraca . 29811.3.3 Vremeodgovorasistemanaakcijuzatvaraca . . . . . . 30311.4 Kontrolapritiska . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30311.5 Primeriprimeneregulacionihzatvaraca . . . . . . . . . . . . . 30511.5.1 Zatvaraciucrpnimstanicama . . . . . . . . . . . . . . 305Sadrzaj 711.5.2 Autoregulacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30711.6 Prelaznirezimiizazvanimanevrimazatvaraca . . . . . . . . . 30811.7 Napomeneoautomatskojregulaciji . . . . . . . . . . . . . . . 309AStabilnostnumerickogmodelaoscilacijavodostana 315BVremenskiifrekventnidomen 319B.1 Prikazivanje periodicnih velicina funkcijama kompleksne promenljive319B.2 Furijeovatransformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323B.2.1 Konvolucijaikorelacija. . . . . . . . . . . . . . . . . . 324B.2.2 Funkcijaspektralnegustine . . . . . . . . . . . . . . . 326B.3 DiskretnaFurijeovatransformacija . . . . . . . . . . . . . . . 3268 Sadrzaj.PredgovorPredgovorOva knjiga je prvenstveno namenjenima studentima redovne i poslediplom-skenastaveOdsekazahidrotehnikuGradjevinskogfakultetauBeogradu, aocekujem da bi mogla biti od koristi i studentima drugih fakulteta i inzenjerima(prvenstvenoprojektantima)hidrotehnicke,masinskeidrugihstrukakojisebaveproblemimatransportai distribucijeuidakrozmagistralnecevovodei mrezepodpritiskom. Sadrzaj knjigeodgovaraprogramuHidraulike2natrecoj godini hidrotehnickogodsekaGradjevinskogfakultetauBeogradu, iprogramuRacunskehidraulikenaPoslediplomskimstudijama,aprosirenjematerijalomkojimozebitikoristanprojektantima.Velikeuzorezaovuknjigupredstavljajuknjigeobjavljeneusvetu(Par-makian, 1963, Wylie&Streeter, 1978, Chaudhry, 1982, i druge), kojesemogu naci u spiskovima literature na krajevima svakog poglavlja, a ipak, ovaknjiga knjiga ne lici ni na jednu od njih. Obaveza da u svojoj, evo vec, dvade-setogodisnjojpraksi odgovorimnasvapitanjakolegaprojektanatavelikihimalih sistema pod pritiskom, koji su u proteklom periodu radjeni kod nas i usvetu, naterala me je da procitam mnogo toga, naucim ponesto, i da stvorimsopstveni okvirzasistematizacijuznanjai stecenogiskustvaoproblemimatecenjaucevima, uprvomredu, ozastiti odhidraulickogudara. Obavezadasvetopriblizimstudentimahidrotehnikenaredovnimiposlediplomskimstudijama,konacnojeuoblicilaovuknjigu.Knjiga je podeljena u jedanaest poglavlja i dva priloga. U prvom poglavljudate se uvodne napomene o Racunskoj hidraulici, matematickim i numerickimmodelima. U drugom poglavlju obradjeno je ustaljeno tecenje i dat je pregledmatematickihinumerickihmodelazaustaljenotecenjeucevnimmrezama.Trece, cetvrtoi petopoglavljeobradjujumodelekvazi-ustaljenogtecenjaikrutogudara, saposebnimosvrtomnaproucavanjaoscilacijauvodostan-910 Predgovorima. Matematicki i numericki model hidraulickog udara obradjeni suusestom i sedmom poglavlju. U osmom poglavlju date su osnovne postavke zaproucavanjeradapumpi uustaljenomuneustaljenomtecenju. Udevetompoglavljuobjasnjenajemetodologijazastiteodhidraulickogudara. Desetopoglavlje obradjuje model oscilatornog kretanja i vibracija, a jedanaesto, reg-ulacionekarakteristikezatvaraca.Na kraju, pored zahvalnosti svima onima koji su se sa svojim problemimaobratilibasmenizastrucnisavetitehnickoresenje,pomenuobihjosnekogkojedoprineodaseovaknjigapojavi uovakvomobliku. Zahvalansamstudentimakoji sumi pokazali dajeovomogucesavladati zamanjevre-menai samanje teskocanegostoje tomeni trebaloi time pokazali damoj pedagoski trudnijebiouzaludan. Zahvalansamporodici, kolegamaiprijateljima koji su imali razumevanja za ovo sto radim. Zahvalan sam i svo-jimprofesorimaGeorgijuHajdinu, MladenuBoreliju, ZvonimiruJanezicu,Josiaki Ivasi, pokojnomkolegi MiodraguRadojkovicui starijimkolegama,Dusanu Obradovicu i Kazuji Inoeu, od kojih sam mnogo naucio o Racunskojhidraulici i matematickommodeliranju,Cedi Maksimovicui BozidaruBa-tinicu, recenzentima, na pazljivomcitanju i korisnim sugestijama, kao i na ko-risnim sugestijama mladjih kolega, Dubravke Pokrajac i Milosa Nedeljkovica.Stampanje ove knjige pomogli su JKP Beogradski vodovod i kanalizacija,Institut JaroslavCerni, Rudarski institut Beograd, RBN Bor, Hidroprojekat-HidrotehnikaBeograd,idrugi,na cemusamimzahvalan.MarkoV.IveticBeograd,decembar1995.SpisakoznakaPrikazanesusamooznakekojesekoristeuvisepoglavljauglavnomsaistimznacenjem. Ostaleoznakekojesemanjekoristeobjasnjenesunamestimagdeseprviputjavljaju.A povrsinapoprecnogpresekaceviAVpovrsinahorizontalnogpresekavodostanaa brzinaprostiranjaelasticnogtalasauceviA, B konstanteujednacinipumpeHP= H0 + AQ2+BQB karakteristikacevi umodeluhidraulickogudara_=aAg_CkoecijenttangencijalnognaponaizmedjuuidaizidaceviC+, CoznakezapozitivnuinegativnukarakteristikuCM, CP oznake za velicine sa prethodnog vremenskogtrenutkaumetodikarakteristikaCQkoecijentproticajaCr Kurantov(Courant)brojD precnik cevi (ukoliko se posebno ne naglasi, mislisenaunutrasnjiprecnikE Ukupna energija (potencijalna + kineticka) u pre-seku uidne struje u metrima (energija po jedinicitezineuida)E gubitakenergije (po jedinici tezine) uBernuli-jevojjednaciniE Jangovmodulelasticnostif frekvencijaG silatezinepijezometarskekote1112 Predgovorg gravitacionakonstantaGxkomponentasiletezineupravcustrujanjaG(f) funkcijaspektralnegustineoscilatornepromeneHPvisinadizanja(napor)pumpeHTpadturbineH0koecijentujednacinipumpeHP= H0 +AQ2+BQH0promena pijezometarske kote izazvano trenutnimzatvaranjemzatvaracapremateorijiZukovskog_=aV0g_I polarni moment inercije rotirajucih delova pumpeimotorai, j kaoindeksi, oznacavajubrojevecvorovaili pre-sekanaceviK zapreminskimodulstisljivosti(k), (k + 1) kaoeksponenti,oznacavajubrojeveiteracijak/D relativnahrapavostzidaceviL duzinacevim masam politropskikoecijentujednacinistanjagasaN brzinaobrtanjapumpe[ob/min]n, n + 1 kao eksponenti, oznacavaju vremenske nivoe unumerickommodeluNPSH usisnavisinapumpe(netpositivesuctionhead)NSspecicnabrzinapumpe,koecijentbrzohodostiO okvaseniobimcevip pritisakP silapritiskap/(g) visinapritiskaQV, QKzapreminskiproticajkojiulaziuvodostaniliko-moruQi,jzapreminskiproticajkrozcevkojaspaja cvoroveiijQi,jcvornapotrosnjau cvoruiQmproticajmasevazduhaQproticajuustaljenomtecenjuq bezdimenzionalniproticajrijparametar cevi u modelu ustaljenog i kvazi ustal-jenogtecenja_= LD12gA2_13Re Rejnoldsov(Reynolds)broj_=V D=V D_Re[Z] realnideokompleksnogbrojaZSPsnagapumpesin nagib cevi, je ugao koji osa cevi zaklapa sa hor-izontalomT sopstvenaperiodaoscilovanjastubatecnostiT hidraulickimomentpumpeT silatrenja(= OL)t vremet vremenskiprirastajkonacneduzineT0karakteristicnovremeubrzavanjastubatecnostiV srednjabrzinauidaupoprecnompresekucevi(= Q/A)V zapreminaVazapreminavazduhauvazdusnojkomorix rastojanjeduzosovinecevix duzina konacno velike deonice cevi koddiskretizacijepoprostorux duzinaelementarnedeoniceceviZ kotanivoavode,visinskakotatackeZVkotanivoavodeuvodostanuZamplituda oscilacija nivoa tecnosti ucevi kon-stantnogpresekailiuvodostanuuzzanemarenjetrenjaQ, veomamalavelicina, odstupanjeodtacnevred-nosti stepenkorisnostipumpe stepen interpolacije po prostoru; odgovaraKurantovombroju kod kompaktne implicitnemetode_=atx_ Darsi-Vajsbahovkoecijenttrenja(=4C)eefektivnikoecijenttrenjakojimsuobuhvaceniilokalnigubici dinamickikoecijentviskoznosti Poasonovkoecijentpoprecnedilatacije kinematickikoecijentviskoznostiZkoecijent lokalnog gubitka energije na zatvaracuPRkoecijent lokalnog gubitka energije naprigusivacuvodostanailivazdusnekomore pijezometarskakota14 Predgovor promenapijezometarskekoteizazvanapromenombrzine uida V prema teorijiZukovskog_=aVg_ gustinauidaZStepenotvorenosti zatvaraca(A/AZ,0), odnosno,bezdimenzionalnoprikazanhodzatvaracaijtangencijalninaponizmedjuuidaizidacevi faktornadrelaksacije ugaonabrzinaobrtanjapumpeVtparcijalni izvod neke velicine po nezavisnopromenljivojt(ovde,lokalnakomponentamateri-jalnogizvodabrzine)dVdtobicanizvodbrzineDVDtmaterijalniizvodbrzine_=Vt+ VVx_Poglavlje1Uvod1.1 MetoderesavanjahidraulickihproblemaUspesnoprojektovanje, koriscenjei odrzavanjehidrotehnickihobjekataza-snivase napoznavanjuHidraulike, naucno-tehnicke discipline, kojatrebadaomoguci dobijanjerelevantnihpokazateljastrujnogpoljauida, koncen-tracija suspendovanih i rastvorenih materija, kao i uticaja na objekte i okolinu.Hidraulicki problemi koji sepostavljajupredinzenjera, kaostosu: odred-jivanjekapacitetacevovoda, ili silauosloncimacevovoda, procenaenergijepotrebnezacrpljenjevode,procenaizdasnostibunara,proracunprostiranjazagadjenja u vodotoku itd., zahtevaju resenja koja imaju odredjeni nivo pouz-danostiikojasenemogudavatiproizvoljno.Put do takvog resenja hidraulickog problema podrazumeva nekoliko etapakojenemorajubitistriktnorazgranicene. Prvaetapaobuhvatalogicanopisproblema i identikaciju relevantnih velicina i njihovih veza. Sledeca etapa jeidealizacija opisa problema koja obicno podrazumeva stvaranje matematickogmodela.Do matematickih modela u Hidraulici dolazi se tako sto se osnovni zakoniMehanikeuida(zakoniodrzanjamase,kolicinekretanjaienergije)prilago-djavajuspecicnimuslovimakretanjavodeupojedinimoblastimastrujanja(otvoreni tokovi, tokovi pod pritiskom, porozne sredine) i pisu u obliku alge-barskih,diferencijalnihiliintegralnihjednacina. Dobijenejednacineopisujuidealizovanostrujnopolje usvakoj tacki i usvakomtrenutku. Promenetakodenisanogstrujnogpoljazaviseodpocetnogstanja(pocetni uslovi),stanjanagranicamaoblasti strujanja(granicni uslovi), kaoi odvrednosti1516 Poglavlje1. Uvodparametarastrujnogpolja. Akojemodelkorektnoformulisan(well-posed),jedinstvenoresenjeproblemauvekpostoji, iakojetoformalnomprimenommatematike cestoteskodokazati.Medjutim, u opstem slucaju i kada resenje postoji, ono se ne moze direk-tno naci. Tada se koriste razlicite metode koje daju priblizna resenja (modeletacnogresenja).Doizboraodgovarajucemetodezanalazenjeresenjaproblema,dolaziseuzpostovanjerazlicitihogranicenjakojamogubiti nansijska, tehnicka, ilijednostavno, ogranicenja vremena i raspolozivih sredstava. Tako, na primer,iako se radi o istomhidraulickomproblemu, tecenjuucevima, projekatrazvodne vodovodne mreze po jednoj zgradi ne vredi isto kao i projekatregionalnogvodovoda. Shodnotome,imetodeanalize cebitidrugacije.Metodoloski, nacini dobijanja pribliznih resenja mogu se grubo svrstati unekuodsledecetrigrupe:1. Empirijske metode. Ove metode zasnovane su na prethodnom iskustvu.Delesena:Cisto empirijske, zasnovane na iskustvuprojektanta, odnosno,inzenjerapojedinca. Nemozesedati generalnopovoljnaocenaonjihovojvaljanosti,jermnogozaviseodpojedinca.Empirijsko-naucnemetode, kojeseoslanjajunasistematizovanoznanje dobijeno merenjima i osmatranjima u prirodi, na izvedenimobjektimai ulaboratoriji, simulacijamai slicno. Naprimer, tuspada procena koecijenta trenja na osnovu Nikuradzeovih eksper-imenatailiMudijevogdijagrama(slika2.4)islicno. Ovemetodepredstavljajuosnovuinzenjerskogobrazovanja.2. Teorijskoanalitickemetode. Pojednostavljenjemjednacinaipara-metara matematickih modela, granica oblasti strujanja i granicnih uslovadolazi se do nivoa koji omogucava odredjivanje resenja egzaktnim mate-matickimmetodama. Koristeseza:resavanjejednostavnihzadataka,ocenuredavelicineresenjakodslozenijihzadataka,lokalna resenja u blizini singularnih tacaka, u kombinaciji sa nume-rickimmodelimai1.1. Metoderesavanjahidraulickihproblema 17testiranjenumerickihmodela.3. Simulacionemetode. Tecenjenaobjektu(prototipu)reprodukujese(simulira)naodgovarajucemmodelu.Analogni modeli. Zasnivaju se na formalnoj slicnosti matematickihmodelarazlicitihzickihprocesa. Resenje se dobijamerenjemanalognih velicina na modelu problema koji se istrazuje. Sa razvo-jem racunara i numerickih metoda, ovi modeli su denitivno prevazi-djeni. Medjutim, zbog lakseg merenja analognih velicina od hidrau-lickih,imajusvojemestouinzenjerskomobrazovanju.Fizicki modeli. Strujnopoljenaprototipu,odnosno,uprirodi,modelirasestrujanjemuidanamodelu. Geometrijskaslicnostmodela i prototipa se podrazumeva, sto u najjednostavnijem slucajuobezbedjujeslicnost strujnogpolja, odnosno, slicnost zainerci-jalne uticaje. U upotrebi su i posebni modeli kod kojih se slicnostpostizeobezbedjenjemdominantnoguticajagravitacionihsilanatecenje, Frudovi (Froude) modeli, odnosno, viskoznihsila, Re-jnoldsovi(Reynolds)modeli. Njihovznacajjeuposlednjevremesmanjen, ali sujos uvek nezamenljivi kodresavanja pojedinihproblema (na primer,lokalni problemi sa slozenom geometrijom).Numericki simulacioni modeli. Oni predstavljaju priblizna re-senja jednacina matematickih modela do kojih se dolazi primenommetoda numericke analize. Njima je posvecena ova knjiga. OblastHidraulike koja se njima bavi zove se Racunska Hidraulika (Com-putational Hydraulics).Ne treba zaboraviti da je resenje matematickog modela, bilo ono pribliznoili tacno, ipaksamoresenje matematickogmodela. Upostupkutrazenjaresenja hidrotehnickih problema, matematicki modeli u Hidraulici imajuvaznomesto. Onisugarancijazasnovanostinazickimprincipima,alinisusamisebisvrha. Resenjemoradabudeprimenljivonaprakticnehidraulickeprobleme, stosemozeznatitekposleverikacijeresenjamerenjimaiosma-tranjimauprirodiinaizvedenimobjektima(Maksimovic,1993).18 Poglavlje1. Uvod1.2 MatematickimodeliPre primene osnovnih zakona Mehanike uida potrebno je utvrditi karakter-istikeuida,strujnogpoljaioblastistrujanja,kojeuticunaslozenostopisaproblemaasamimtimi naslozenostmatematickihmodela. Dajusesamoosnovnekarakteristikezickasvojstvauidai kinematickasvojstvastru-janja,kojeseudaljemtekstukoristezarazvrstavanjematematickihmodelaposlozenosti.Fizicka svojstva uidakoja uticuna strujanje suviskoznost, gustina,stisljivosti povrsinski napon. Zavisnostgustineuidaodtemperature, pri-tiska, rastvorenihisuspendovanihmaterija, kojedajujednacinestanja, na-jviseuticunaslozenostmatematickihmodelatecenjaucevima. Tako, naprimer, kod modela hidraulickog udara, koji je najslozeniji matematicki modelobradjen u ovoj knjizi, uzimaju se u obzir stisljivost uida i deformacije u cevidabisemogleobjasnitipromenepritiskaibrzineuneustaljenomtecenju.Kinematicka svojstva strujanja. U pogledu promenljivosti po vremenustrujanjasedelenaustaljenaineustaljena.Poprostorustrujanjemozebiti uogranicenoj i neogranicenoj oblastistrujanja. Uokvirukursa Hidraulike 2 proucavajuse samo strujanja uogranicenimoblastimastrujanja,odnosno,unutrasnjitokovi.Unutrasnji tokovi sedelenalinijske(jednodimenzionalne, ili, 1D), ra-vanske(dvodimenzionalne, 2D), i prostorne(trodimenzionalne, 3D). Naziviu zagradama se mnogo vise koriste, ali nisu u duhu naseg jezika. Podela nijestroga,amoguseuvestiinovekategorije,kaonaprimer,212D,zaprostorniviseslojni tok, koji senalazi izmedjuravanskogi prostornog, koncentrisani(lumped),kojijeposlozenostiispodlinijskogitd.Kodlinijskihtokovapostoji jasnoizrazenjedanpravacpruzanjaoblastistrujanja, u kom su i brzine znatno vece od poprecnih. Kod ravanskih tokovaradi seodvapravca. Ikodlinijskogi kodravanskogneradi seobaveznoopravcimaDekartovogkoordinatnogsistema,negotomogubitiikrivelinije,odnosno,zakrivljenepovrsi.UokvirukursaMehanikeuidaizvedeni suosnovni zakoni odrzanjazaelementarnei konacnemaseuida(Hajdin, 1993), jednacinakontinuiteta,Navije-Stoksovejednacinei jednacinaodrzanjaenergijeuopstimoblicimakojetrebaprilagoditi zaresavanjeprakticnihzadataka. Prvi korakkoji sepreduzimajenjihovoosrednjavanjepovremenucimeseuklanjajedandeo1.3. Opstiprincipinumerickogmodeliranja 19neustaljenosti problemavezanzamikrorazmereturbulencije. RezultatsuRejnoldsovejednacinekojesujosuvekdostadalekooddirektneprimenezavecinuhidrotehnickihproblema.Osrednjavanjem po prostoru prelazi se od prostornog modela na linijski ilina ravanski, i to osrednjavanjem po poprecnom preseku, odnosno, po pravcuupravnomnaravanproucavanja. Lokalnoosrednjavanjepoprostoruimpli-citno je prisutno u postupku numerickog resavanja gde se kontinualne velicinedenisane u strujnom polju izracunavaju u konacnom broju izabranih tacaka.Linijski matematicki modeli mogu se dobiti osrednjavanjemosnovnihjednacinapopoprecnompreseku, ili pak, uvodjenjemvelicinareprezenta-tivnihzapoprecnipresekiprimenomosnovnihzakonaodrzanjaukojimaseone pojavljuju. Iako prvi pristup ima odredjene prednosti zbog vece opstosti,autorseopredeliozadrugipristup.Uokviruovogkursa, tecenjeucevimaseproucavaiskljucivolinijskimmodelima,jernemaprakticnepotrebezauvodjenjemravanskihmodela.UokviruHidraulike2naGradjevinskomfakultetu, tecenjeuotvorenimtokovimaproucavaselinijskimmodelima. Ravanski i prostorni modeli seneobradjujuzbogsvojeslozenosti. Uhidrotehnici ravanski modeli imajuveliki znacaj kodproucavanjatecenjauvelikimrekama, plitkimjezerimaiakumulacijama i priobalnim delovima mora. Postoji potreba i za prostornimmodelima tecenja u dubokim jezerima i akumulacijama,gde se mora uzeti uobzirstratikacija,promenljivoststrujnogpoljapovertikaliitd.PodzemnevodeproucavajuseuokviruHidraulike2linijskimi ravan-skimmodelima. Postoji potrebai zakoriscenjemprostornih(viseslojnih)modela. Kodstrujanjapodzemnihvodanajvisejeizrazenproblempozna-vanjakarakteristikaoblasti strujanja, granicnihi pocetnihuslova,stouticenaprimenljivost matematickihmodelauopste. Uporedjenjusateorijskoanalitickimmetodama,kojesuvrlopopularneuovojoblasti,azasnivajusenanerealnimpretpostavkamaohomogenosti,izotropiji,beskonacnojoblastistrujanjai slicno, numerickemetodesuuznacajnoj prednosti jersedobardeotihproblemamozeprevazici.1.3 OpstiprincipinumerickogmodeliranjaU osnovi numerickog modeliranja je priblizno resenje jednacina matematickogmodela. Jednacine se transformisu do oblika na koji se neposredno moze pri-meniti neka od osnovnih numerickih metoda (Radojkovic, Klem, 1989; Press20 Poglavlje1. Uvodetal.,1990;Petrovic,Stupar,1992).Izbor numericke metode zavisi od nacina na koji je formulisan matematickimodel.Premanacinudiskretizacijeoblasti strujanjapostojedvaosnovnapris-tupa: integralniidiferencijalni.Kod integralnog pristupa zakoni odrzanja primenjuju se na konacnu zapre-minu koja je konacno veliki deo oblasti strujanja. Dobijene jednacine matematic-kog modela vaze za te konacne zapremine, koje u opstem slucaju nisu pravilne.Naovompristupuzasnivajusemetodekonacnihelemenata,aliimnogojednostavnijemetode, kaostosumetodeobjasnjeneupoglavljima2, 3i 4oveknjige.Kod diferencijalnog pristupa dobijene jednacine vaze za proizvoljnu tackuoblastistrujanja. Osnovnizakoniseiovdeformalnoprimenjujunaelemen-tarne zapremine pravilnogoblikapase ondaoperatoromlimes-akonacnevelicine prevode na beskonacno male, a elementarna zapremina na tacku (u-idni delic). Kod formiranja numerickih modela, diferencijali se aproksimirajukonacnimrazlikama(metodakonacnihrazlika), adiferencijalnejednacine,kojevazezasvakutackuoblasti strujanja, zamenjujusekonacnimbrojemalgebarskihjednacina(diferencnihjednacina, odnosno, jednacinakonacnihrazlika).Poredovihosnovnihpostojei kombinovanemetode, kaostojemetodakonacnih zapremina, kombinovanje analitickih resenja u zoni singularnihtacaka,odnosno,ubeskonacnosti,sanumerickimmodelom,itd.Pored promenljivosti po prostoru, stanje u oblasti strujanja moze se men-jati i povremenu. Umatematicke modele touvodi jos jednunezavisnupromenljivuadiferencijalnejednacinesuskoroobaveznoiparcijalne.Numericki modeli i numericko modeliranje daleko su od toga da predstav-ljaju samo priblizna resenja necega egzaktnijeg, kao sto je matematicki model.OvaoblastjeznacajnounapredilaHidraulikuomogucivsiresavanjeslozenihproblemananovi nacini uticalanapromenunekihshvatanjai principa,kao i armaciju drugih, koji su bili zapostavljeni zbog nepostojanja racunara(kontinualna simulacija rada velikih distribucionih mreza, modeli transportazasnovani napracenjuobelezenihcestica, razliciti modeli turbulencijeitd.).Postoje slucajevi gde je numericko resenje matematickog modela, iako strogomatematickigledano,netacno,blizeonome stosedesavauprirodiitd. Viseoovomemozesenaci uknjigamaizoveoblasti (Abbott &Basco, 1989;Abbott,1991).1.4. Pribliznoresavanjeobicnihdiferencijalnihjednacina 211.4 Priblizno resavanje obicnihdiferencijal-nihjednacinaJedan deo matematickih modela (u prvih nekoliko poglavlja ove knjige) pred-stavljajuobicnediferencijalnejednacinekojesamoumalombrojuslucajevaimajuanalitickoresenje.Obicnadiferencijalnajednacina(n)-togreda:y(n)= f(x, y, y

, . . . y(n1)) , (1.1)moze se skoro uvek napisati kao sistem obicnih diferencijalnih jednacina prvogreda, paceseunastavkurazmatrati samoobicnediferencijalnejednacineprvogreda. Uzodredjeneizuzetkerazmatranjekojesledimozeseprimenitiinasistemediferencijalnihjednacinaprvogreda.y

i= fi(x, y1, y2, . . . , yn) i = 1, 2, . . . , n , (1.2)gde je y1= y

, y2= y

1, . . . U jednacinama (1.1) i (1.2), x, je jedina nezavisnapromenljiva. Obicnadiferencijalnajednacinaprvogreda:dydx= f(x, y) , (1.3)imaopsteresenje:y= F(x, C) , (1.4)dokogasedolazi integracijomjednacine(1.3). Cjeproizvoljnakonstantaintegracije. Uravni (x, y), resenja(1.4) predstavljenasufamilijomkrivihlinija(slika1.1).Ako je vrednost konstante C zadata (recimo, C= C0), dobija se posebnoresenje, y=F(x, C0). Obicnosezahtevadaintegralnakrivaprolazi krozneku utvrdjenu tacku (recimo, tacka A, cije su koordinate, (xA, yA)), odnosno,dazadovoljavapocetni(inicijalni)uslov,y(xA) = yA. Vrednostintegracionekonstante dobijase iz jednacine, yA=F(xA, CA). Ukolikokroz posma-tranutackuprolazisamojednaintegralnakriva,imamojedinstvenost(jedi-nost) resenja u posmatranoj tacki, sto je neophodan uslov za nalazenje odgo-varajucegposebnogresenja.Unastavkuceseobjasniti nekeodnajjednostavnijihpribliznihmetodaodredjivanjaresenjadiferencijalnihjednacina, ili rekonstrukcijeintegralnihkrivihnaosnovupocetnihuslova.22 Poglavlje1. UvodSlika1.1: Integralnekrive-resenjadiferencijalnejednacine1.4.1 NumerickodiferenciranjePreresavanjadiferencijalnihjednacinatrebavidetikakosemozenumerickiocenitiizvodfunkcijeutacki,jerondenisepravactangentenaintegralnojkrivoj. Diferenciranje je denisanosamozaglatke i neprekidne funkcije,akodbilokogizracunavanjamozemoimati samokonacanbroj vrednostifunkcije, koje, manje ili vise, ravnomerno pokrivaju celu oblast u kojoj se traziresenje. Postupakzamenekontinualnefunkcijeinjenihizvodavrednostimafunkcijeukonacnombrojutacakanazivasediskretizacija.Pretpostavicemodasuvrednostifunkcijekojeznamo,tacnevrednosti,afunkcijaglatka(i,zasada,dasunamizvodipotrebnibasutimtackama).Postoji nekolikonacinanumerickogdiferenciranja, odkojihce se raz-motritisledeci:Interpolacijafunkcijenekimpolinomomkroztackeidiferenciranjetogpolinoma,RazvijanjefunkcijeuTejlorovredNumerickaintegracija.1.4. Pribliznoresavanjeobicnihdiferencijalnihjednacina 23Slika1.2: AproksimacijafunkcijaLagranzoviminterpolacionimpolinomomprvog(a)idrugogreda(b)InterpolacijaAkosenaintervalu(i 1, i)izvrsi interpolacijafunkcijey(x)Lagranzovimpolinomomprvogreda,dobijase(slika1.2. a):y(x) xixxixi1y(xi1) +x xi1xixi1y(xi) = L1(x) , (1.5)DiferenciranjempolinomaL1(x)dobijaseprviizvod, kojijekonstantannacelomintervalu. Utackamanagranicamaintervaladobijase:y

(xi1) D+y=yiyi1xi, (1.6)y

(xi) Dy=yiyi1xi, (1.7)gdejexi= xixi1.Prethodne jednacine predstavljaju aproksimacije prvog izvoda konac-nimrazlikamaprvogreda, i toD+jerazlikaunapred, aDjerazlikaunazad. Izrazisuisti,alinijesvejednokadasekojikoristi.Poboljsanje aproksimacije prvog izvoda postize se koriscenjem Lagranzovogpolinomadrugogredanaintervalu(i 1, i + 1)(slika1.2.b):y(x) (x xi)(x xi+1)(xi1xi)(xi1xi+1)yi1 +(x xi1)(x xi+1)(xixi1)(xixi+1)yi+(x xi1)(x xi)(xi+1xi1)(xi+1xi)yi+1= L2(x) . (1.8)24 Poglavlje1. UvodUzpretpostavkudaje, xi=xi1=x, diferenciranjemprethodnejednacinedobijasezatackunapoloviniintervala,(i):y

(xi) yi+1yi12x=12(D+ + D)y, (1.9)stopredstavljasrednjuvrednostrazlikeunapredi razlikeunazadi zoveseaproksimacijaprvogizvodacentralnomrazlikom. Za tacke xi1i xi+1aproksimacijeprvogizvodaserazlikuju:y

(xi1) 3yi1 + 4yiyi+12x, (1.10)y

(xi+1) yi14yi + 3yi+12x, (1.11)itosurazlikedrugogreda,unaprediunazad.Jednacina(1.8)mozesediferenciratijosjednomdabisedobilaaproksi-macijadrugogizvoda. Zajednakeintervalexdobijase:y

yi12yi + yi+1x2= D+(Dy) = D(D+y) . (1.12)Ovaj izraz se moze koristiti kao aproksimacija drugog izvoda ubilo ko-joj od tri tacke xi1, xi, xi+1. Uzavisnosti od toga u kojoj tacki seaproksimiraizvod, zoveseaproksimacijarazlikamaunapred, central-nimrazlikama,odnosno,razlikamaunazad.TejlorovredOvo je takodje jednostavan nacin aproksimacije izvoda. Uz nesto vise racunanja,ovajnacinomogucavaiocenugreskeaproksimacijeizvoda.FunkcijaserazvijauTejlorovredokotackexi:y(xi + x) = y(xi+1) = y(xi) + xy

(xi) +x22y

(xi) + . . . (1.13)y(xix) = y(xi1) = y(xi) xy

(xi) +x22y

(xi) . . . , (1.14)i linearnim kombinacijama sa vrednostima funkcija u tackama xi, xix, xi2x i tako dalje, moze se dobiti mnostvo aproksimacija raznih izvoda razlicitetacnosti. Koecijenti uz vrednosti funkcija u pojedinim tackama dobile bi seresavanjemsistemalinearnihjednacina.1.4. Pribliznoresavanjeobicnihdiferencijalnihjednacina 25Ovaj postupak ce se iskoristiti za ocenu tacnosti aproksimacija dobijenihinterpolacijama(1.6),(1.7)i(1.9),kojespadajuuredstandardnih.Aproksimacijaprvogizvodarazlikomunazadzatackuxi, izraz (1.6),dobijasedirektnoizjednacine(1.14):yiyi1xi= y

ixi2y

i+ . . . (1.15)Aproksimacijaprvogizvodarazlikomunapredzatackuxi1,izraz(1.7),moze se dobiti naisti naciniz izraza(1.13) zavrednost funkcije utackixi1 + x = xi:yiyi1xi= y

i1 +xi2y

i1 + . . . (1.16)Prethodni izrazi pokazujudakonacnerazlikeunapredi unazad, (1.6)i(1.7), aproksimirajuprvi izvod, ali i dapostoji odstupanje (greska) redavelicinex2y

. Ovo su aproksimacijeprvogredatacnosti jer se u prvomzanemarenomclanuTejlorovogredajavljaxnaprvi stepen. Takodjesevididasamaaproksimacijanijeistauobetackejerzavisiiodclanay

(x),kojisemozerazlikovati.Naslicannacinmogusedobiti i drugi izrazi. Oduzimanjem(1.14)od(1.13)ideljenjemsa2xdobijase:y(xi+1) y(xi1)2xi= y

(xi) +x2i6y

(xi) + . . . , (1.17)stopredstavljaaproksimacijuprvogizvodacentralnomrazlikom. Ovojeaproksimacijadrugogredatacnosti.Primer1Aproksimirati prvi izvodfunkcijey=sin xuokolini tackex=/4konacnimrazlikama unapred, unazad i centralnim, za razlicite vrednosti x.Kao sto je poznato, tacna vrednost izvoda u trazenoj tacki, moze se sracunatiy

= cos x = 0.7071Za poredjenje sa pribliznim vrednostima izvoda, koje se daju u tabeli, zadrzavajuse samo cetiri znacajne cifre.26 Poglavlje1. Uvodx Dy D+y 0.5(D + D+)y Odstupanje/4 0.9003 0.3729 0.6366 0.0705/8 0.8261 0.5520 0.6891 0.0180/12 0.7911 0.6070 0.6991 0.0080/16 0.7718 0.6334 0.7026 0.0045/24 0.7513 0.6589 0.7051 0.0020/32 0.7407 0.6713 0.7060 0.0011/64 0.7242 0.6895 0.7068 0.0003/124 0.7160 0.6981 0.7070 0.0001U poslednjoj koloni dato je odstupanje od tacne vrednosti procene izvoda cen-tralnimrazlikama. Mozesevidetidagreskaopadaproporcionalnox2, stoseimoglo ocekivati jer se radi o aproksimaciji drugog reda tacnosti. Takodje, tacnostkoja se postize tom aproksimacijom pri relativno velikim prirastajima (recimo, /8,ili /12, mozesepostici metodomnizetacnosti ali samanjimprirastajimax.Treba reci da je ovo logicno ponasanje aproksimacija izvoda, ali nije univerzalno.NumerickaintegracijaResavamoobicnudiferencijalnujednacinu(1.3). Pretpostavimodaznamovrednosti funkcijey(x)usvimtackamadotackexi. Postupakzaodredji-vanje vrednosti y(x) u narednoj tacki, y(xi+1) = y(x +x), koristi pribliznuintegracijujednacine(1.3)naintervalu[xi, xi+1]. Naistinacinseodredjujuinarednevrednosti,y(xi+2), y(xi+3),itd._yi+1yidy=_xi+xxif(x, y)dx . (1.18)Integral nadesnoj strani jednacine(1.18)jepovrsinaispododseckanakrivojizmedjutacakaxiixi+1,iapscise.Najjednostavnijinacinpriblizneintegracije,kadaseneznavrednostpri-mitivnefunkcije(integranda) nakrajuintervala, jepravilopravougaonika(slika1.3):yi+1yi f(xi, yi) x . (1.19)Vrednost integrandauzimase utacki (xi). Aproksimacijaizvodady/dx,odgovararazliciunapred,D+dydxiyi+1yix. (1.20)1.4. Pribliznoresavanjeobicnihdiferencijalnihjednacina 27Slika1.3: Aproksimacijaintegralametodompravougaonika(a)mid-pointrule (b)trapeznopravilo (c)leap-frogSlika 1.4: Aproksimacija integrala koriscenjem vrednosti funkcije na poloviniintervalaPostupak(1.19)sezoveOjlerova(Euler)metoda.Bolja aproksimacija integrala (1.18) dobija se koriscenjem vrednosti funkcijenasrediniintervalaintegracije(xi, xi+1)(mid-pointrule):yi+1yi= x f(xi+1/2, yi+1/2) . (1.21)Ovozahtevaodredjivanjevrednostifunkcijef(x, y)napoloviniintervala(slika1.4).Ako se uvede aproksimacija i pretpostavi da je vrednost funkcije na srediniintervala, (f(xi+1/2, yi+1/2)), jednaka srednjoj vrednosti funkcije na krajevimaintervala,dobijasetrapeznopravilo:yi+1yi=x2[f(xi, yi) + f(xi+1, yi+1)] . (1.22)Prethodni izraz zahtevapoznavanje vrednosti integrandanakrajuin-tervala. Ukolikoseneznavrednostintegrandanakrajuintervala, mozese28 Poglavlje1. Uvodprethodno izracunati priblizna vrednost, yi+1, nekom jednostavnijom metodom,patadajednacina(1.22)glasiyi+1yi=x2[f(xi, yi) + f(xi+1, yi+1)] . (1.23)Ovo je najprostiji oblik prediktor-korektor metode, tzv. poboljsana Ojlerovametoda.Pravilo(1.21)mozeseprimenitinainterval(xi1, xi+1):yi+1yi1= 2x f(xi, yi) , (1.24)stodajetzv. leap-frog-metodu.Sve cetirimetode,(1.21-1.24),sudrugogredatacnosti. Izizraza(1.21)sledidayi+1yixboljeaproksimiraizvodnapoloviniintervala[xi, xi+1],negonakrajevima,pasemozenapisatidydxi+1/2=yi+1yix+ O(x2) . (1.25)Unumerickoj matematici ai uRacunskoj hidraulici, koristesei drugemetode(Pressetal., 1989), kojeposvojimdobrimosobinamanadmasujumetodeopisaneovde. Najpoznatijesu,Runge-Kuta(Runge-Kutta)metodetrecegi cetvrtogreda, Adams-Basfort-Multon(Adams-Bashforth-Moulton)metode i, posebno, Bulirs-Sterova (Bulirsch-Stoer) metoda zasnovana naRicardsonovoj(Richardson)ekstrapolaciji.Ojlerovametodase, zbogsvojejednostavnosti, najcescekoristi zailus-traciju principa numerickog resavanja diferencijalnih jednacina (napredovanjeu malim koracima na osnovu vrednosti izvoda funkcije u tacki), ali se ona nepreporucujezaprakticnuprimenu.1.5 OsobinenumerickihmodelaDa bi se prikazali principi formiranja numerickihmodela diskretizacijommatematickihmodela, koristiceseprimeruspostavljanjaustaljenogtecenjaucevi,obradjenuPoglavlju4.Polaziseodobicnediferencijalnejednacine(4.4),dQdt=1T0Q2Q2Q. (1.26)1.5. Osobinenumerickihmodela 29Koristeci referentnevelicine, T0, kojaimadimenzijuvremena, i Q, proti-caja,prelazisenabezdimenzionalnioblikdqd= 1 q2, (1.27)gde je, =t/T0, aq =Q/Q. Ovoje obicnadiferencijalnajednacinaprvogreda. Jednacinajenelinearnai imaanalitickoresenje. Doresenjasemoze doci i numerickom integracijom jednacine (1.27) uz poznavanje pocetnevrednostiproticaja.Najjednostavniji nacindasejednacinanapiseuoblikukonacnihrazlikajekoriscenjerazlikeunapred(Ojlerovametoda):qn+1qnn+1n= 1 qnqn. (1.28)Nestokomplikovanijinacinaproksimacijejednacine(1.26), gdesenelin-earni clannadesnojstranilinearizuje,izgledaovakoqn+1qnn+1n= 1 qnqn+1. (1.29)Nadesnoj strani jednacine(1.28)nalazi sepoznatavrednostproticaja, qn,avrednostproticajaqn+1mozeseeksplicitnoizracunati. Nadesnojstranijednacine(1.29)nalazi senepoznatavrednostproticaja, qn+1, paseradi oimplicitnojformulaciji1kojaje,inace,drugogredatacnosti.U nastavku ce se uporediti karakteristike ove dve metode, (1.28) i (1.29).1.5.1 KonvergencijaistabilnostnumerickogpostupkaOsnovno pitanje koje se postavlja kod pribliznog resenja jeste da li ono i podkakvimuslovimakonvergiratacnomresenju.Za uspesan zavrsetak pribliznog proracuna potrebno je da se greska racun-anjanepovecavakakoproracunnapreduje. Pretpostavljasedaproticaj utrenutku(n)iznosi qn, adaseuracunupolazi odvrednosti qn=qn+ n,gdejengreska(usledzaokruzenja, iteracijaitd). Kaorezultattoga, ni unarednomtrenutku,n+1,necesedobititacnavrednost.1Za ovu formulaciju koristi se i naziv polu-implicitna, jer se do vrednosti na narednomvremenskom koraku moze doci modikovanjem samog izraza (1.29)30 Poglavlje1. UvodZaprvumetodu,Ojlerovu,mozesenapisati:qn+1+ n+1qnn= 1 (qn+ n)(qn+ n) . (1.30)Uzpretpostavkudajeosnovnajednacina(1.28)zadovoljenazatacnevred-nosti proticaja, i uzzanemarenjejakomalihvelicina, dolazi sedoizrazaukomegurisusamogreske:

n+1n= 2qn

n, (1.31)

n+1= (1 2qn)n. (1.32)Dabi greskautrenutkun+1bilamanjaodoneun, clankoji mnozigreskumorapoapsolutnojvrednostibitimanjiod1,odnosno0 < qn< 1 , (1.33)sto prakticno znaci da prirastaj po vremenu, , mora biti manje od 1, jer jeu ovom primeru, 0 qn 1. U protivnom greska raste i to se zove numerickanestabilnost. Zbogpotrebedasezadovolji uslov(1.33), zametodusekazedajeuslovnostabilna.Naslici(1.5)prikazanisurezultatipribliznogresavanjajednacine(1.26)zarazlicitevrednostiprirastaja= 0.05; 0.1; 0.5; 0.95; 1.20.Kodpolu-implicitnemetode(1.29)primeniceseistipostupakispitivanjastabilnosti:qn+1+ n+1qnn= 1 (qn+ n)(qn+1+ n+1) , (1.34)

n+1n= qn

n+1qn+1

n, (1.35)

n+1= n1 qn+11 + qn. (1.36)Postosuiqipozitivni,metodajebezuslovnostabilna,jerje:1 qn+11 + qn 1 . (1.37)Ovojevrloprivlacnaosobinaimplicitnihi polu-implicitnihmetoda. Med-jutim, tutrebabiti obazrivjersesapovecanjemprirastaja povecavai1.5. Osobinenumerickihmodela 31Slika1.5: Pribliznaresenjajednacine(1.24)-eksplicitnametodaSlika1.6: Pribliznaresenjajednacine(1.24)-polu-implicitnametoda32 Poglavlje1. Uvododstupanje od tacnog resenja. Nestabilnost se ponekad moze izbeci vestacki,prigusivanjem i osrednjavanjem oscilacija ali se taj nacin ne preporucuje, jerjenestabilnostnacinnakoji nambrojevi ukazujudajenestokontradik-tornounumerickommodeluili unacinunakoji gakoristimo(Abbott &Basco,1989).Naslici(1.6)datisurezultatiproracunaimplicitnommetodomsaistimvremenskimprirastajimakaoi kodeksplicitnemetode. Poredpoboljsanestabilnostimozeseuocitiivecatacnostovemetode.1.5.2 KonsistentnostZa procenu tacnosti numerickog postupka potrebno je utvrditi sta predstavljapriblizna (diferencna) jednacina, koju resavamo umesto diferencijalne. Vred-nostnepoznatefunkcijeqnrazvijamouTejlorovredokotacke(n)izamen-jujemoujednacinu(1.27):_qn+dqd+d2qd222+ _qn= 1 qnqn, (1.38)odnosno,dqd+d2qd22+ = 1 q2. (1.39)Ova jednacina odgovara Ojlerovoj metodi, i zove se modikovana jednacina.Drugi clan na levoj strani predstavlja najznacajniji deo greske aproksimacijediferencijalne jednacine pribliznom. Za proizvoljno mali prirastaj, za 0, modikovanajednacinatezi polaznoj jednacini, azanumerickumetodu,cije je to svojstvo, kaze se da je konsistentna. Dakle, pojam konsistentnostiodnosisenajednacinematematickoginumerickogmodela.Akojemetodastabilnai konsistentnaonajei konvergentna, odnosno,resenje priblizne jednacine konvergira tacnom resenju diferencijalne jednacine.Ovo je uslov koji se navodi bez dokaza. Detaljnija razmatranja i dokaz mogusenaciuliteraturi(Richtmyer&Morton,1967).Primerkonvergencijepribliznogresenjatacnomdatjenaslikama(1.5)i(1.6), a moze se videti i u Poglavlju 5 na slici (5.8) gde su prikazana pribliznaresenjaoscilacijavodeuvodostanuzarazlicitevremenskeprirastaje.1.5. Osobinenumerickihmodela 331.5.3 TacnostGreska aproksimacije,12 d2qd2, zavisi od zakrivljenosti integralne linije,d2qd2,aliiodprirastaja,. Zbog cinjenicedaseuvodecem clanuredakojimseprikazuje greska aproksimacije u modikovanoj jednacini (1.39) nalazi naprvistepen,radiseotacnostiprvogreda.KodtrapeznemetodesvevelicineserazvijajuuTaylor-ovredokotacken +12:qn= qn+1/22dqd+28d2qd2 (/2)36d3qd3+ (1.40)qn+1= qn+1/2+2dqd+28d2qd2+(/2)36d3qd3+ (1.41)fn= fn+1/22dfd+28d2fd2 (1.42)fn+1= fn+1/2+2dfd+28d2fd2+ (1.43)Modikovanajednacinazaovumetoduglasi:dqd+224d3qd3= 1 q2+28d2fd2. (1.44)I ova metoda je konsistentna. Ona je drugog reda tacnosti jer se u vodecemclanugreskeaproksimacijejavlja2. Logicnojeocekivati daovametodadaje tacnije resenje jer clanovi,224d3qd3, odnosno,28d2fd2, brze tezi nuli kada 0. Moze se pokazati i da je metoda data izrazom (1.29) i konsistentnaidrugogredatacnosti.Nakraju,mozesenapisatiopstiizrazzagreskuaproksimacije:resenjediferencnejednacineresenjediferencijalnejednacine= M()m+clanovivisegredaukomeeksponent(m)odredjujeredtacnosti aproksimacije. Viseodtogasenemozeuraditi,jerparametarM,kojijevrloznacajan,nijejednostavnoodrediti.34 BibliograjaBibliograja[1] AbbottM.B., 1991, Hydroinformatics-Informationtechnologyandtheaquaticenvironment,AvebaryTechnical,Aldershot,England.[2] Abbott M.B., BascoD.R., 1989, Computational uiddynamics Anintroductionforengineers,LongmanScientic&Technical.[3] FerzigerJ.H., 1981, Numerical methodsforengineeringapplications, AWiley-IntersciencePublication,JohnWiley&Sons.[4] Hajdin G., 1993, Mehanika uida - Osnove, Gradjevinski fakultetBeograd.[5] Maksimovic,C., 1993, Merenja u hidrotehnici, Gradjevinski fakultet Uni-verzitetauBeogradu.[6] Petrovic Z.,Stupar S.,1992,Projektovanje racunarom - metod konacnihrazlika,Masinskifakultet,Beograd.[7] Press,W.H.,Flannery,B.P.,Teukolsky,S.A.,Vetterling,W.T.,1989,NumericalRecipes,CambridgeUniversityPress.[8] RadojkovicM., KlemN., 1989, PrimenaracunarauHidraulici, Grad-jevinskaknjiga,Beograd.[9] Richtmyer R.D., Morton K.W., 1967, Dierence methods for initial-valueproblems2nded.Wiley,N.Y.Poglavlje2UstaljenotecenjeucevimaUviseoblastihidrotehnikejavljasepotrebazadovodjenjemidistribucijomvode korisnicima, koji nisu koncentrisani na jednom mestu. Jedan provodnik(cevili kanal saslobodnompovrsinom)nemozedaispuni taj zadatak, paseprovodnici medjusobnopovezujui formirasesistemprovodnika, koji senazivadistribucionamreza. Uovompoglavljurazmatrajusemrezesastavl-jeneodprovodnikapodpritiskom.Bez obzira na tehnicke razlike medju distribucionim mrezama, koje zadovo-ljavajupotrebe razlicitihkorisnika, postoje i slicnosti, koje omogucavajujedinstvenprilazunjihovojhidraulickojanalizi.Najvaznijizahtevikojejednadistribucionamrezatrebadaispunijesu:dadovedeodgovarajucekolicinevodesvakomkorisnikukadamujetopotrebno,daobezbedidovoljnepritiskenasvakommestukoriscenja.Denisanjemrezekojaceseanalizirati, rasporedpotrosnjepomrezi, kaoi izborstanjakojeceseanalizirati, uci seudrugimpredmetima. Postojeodredjenapravilazaformiranjematematickog(inumerickog)modelacevnemrezedabiseubrzaoproracun,smanjiobrojnepoznatih,povecalapregled-nostrezultata, stoukrajnjoj liniji uticei nakvalitetsimulacije. Takodje,podrazumeva se da analiza pocinje sa ustaljenim tecenjem, cemu je posvecenoovopoglavlje.3536 Poglavlje2. Ustaljenotecenjeucevima2.1 OsnovnepretpostavkeCevi i cvorovi (mestagdesesusticudveili visecevi)suosnovni elementidistribucionemreze. Pretpostavkajedasu,duzjednecevi,poprecnipresecikonstantni (D =const). Mesto gde se menja poprecni presek cevi, prikljucujedruga cev, ili nalazi rezervoar, naziva se cvor. Ostali elementi mreze, kao stosuzatvaraci,pumpe,reduciripritiska,zahtevajuposebantretmanionjimacebitirecinakrajuovogpoglavlja.Postojedve osnovnevelicine kojeodredjujustanjeumrezi: pritisci uodredjenimtackamaiproticajikrozcevi. Umestopritisakakoristeseipije-zometarskekote,aprikazujuse,najcesce,u cvorovimamreze.Do matematickog modela strujanja vode u cevnim mrezama dolazi se pri-menomosnovnihzakonaMehanikeuidanaelementemrezei formiranjemsistemajednacinazacelumrezu. Mogusenapisati samodvevrstemed-jusobnonezavisnihjednacina: jednacinekontinuitetai dinamicke(odnosnoenergetske)jednacine.Osnovnepretpostavkepodkojimaseprimenjujuovizakonisu:tecenjejeustaljeno,uidjenestisljiv,sve velicine su integrisane po poprecnom preseku cevi i zamenjene repre-zentativnim, kaostosuproticaj, srednjabrzina, pijezometarskakotaitd(slika2.1).Q =_AudAV=QA =1A_A_Z +pg_dASlika2.1: OsnovnipojmoviTakodje, kod primene osnovnih jednacina na stvarne mreze, vrse se i sledecapojednostavljenja:2.2. Osnovnejednacine 37mali pojedinacni prikljucci duz cevi ne uzimaju se u razmatranje posebnonegoseukupniproticajnasvimprikljuccimaduzcevideliidodeljujesusednim cvorovimakaocvornapotrosnja;slobodnecevi (cevi kojeneformirajuprstenove) manjegprecnikasapoznatompotrosnjomiskljucujuse, anjihovi proticaji dodajusenacvornupotrosnju cvoragdejeslobodnacevspojenasaglavnom;brzinske visine se najcesce zanemaruju (o ovome ce biti reci kasnije, nastrani44).standardni lokalni gubici (promena precnika, spojevi, krivine itd.)najcescesezanemaruju,iliuzimajuintegralno(povecanaefektivnaduzinaceviilipovecankoef. trenja);lokalni gubici na regulacionim zatvaracima, reducirima pritiska i slicnimelementima, kojiaktivnouticunadistribucijuvodemorajuseuzetiuobzir;Naovaj nacindolazi se doracunskogmodelamreze, koji, iakojeznatnojednostavniji odstvarne distribucione mreze, trebadaomoguci pouzdanuinzenjerskuanalizu.2.2 Osnovnejednacine2.2.1 Jednacina odrzanja mase (jednacina kontinuiteta)Zabilokoji cvormreze,(i),morabitizadovoljenasledecajednakost:

jQij + Qip= 0 , (2.1)gdesu, Qij, proticaji krozcevi, kojespajajucvor (i) i cvorove(j), aQipcvornapotrosnjadodeljenacvoru(i). Pretpostavljasedasuproticaji poz-itivni kadajebrzinausmerenaodcvora(i)premacvoru(j), tj. kadavodaizlaziiz cvora(i). Naslici2.2prikazanje cvorukomesesusticutricevi. Ujednacinikontinuitetanegativnuvrednostimaceproticajkrozcev(i1), dokcvornapotrosnjaiproticajikrozcevi(i2)i(i3)imajupozitivnuvrednost.Jednacinakontinuitetaprimenjenanacevdajedajeduzcevi proticajkonstantan, stoseinacepodrazumevapretpostavkomonestisljivostiuida.38 Poglavlje2. UstaljenotecenjeucevimaSlika2.2: Jednacinakontinuitetaza cvor(i)2.2.2 JednacinaodrzanjakolicinekretanjaJednacina se pise za cev (ij), duzine Lij, poprecnog preseka Aij, sa cvorovima(i) i (j) na uzvodnom i nizvodnom kraju (Slika 2.3). Tecenje je u pozitivnomsmeruxose,od cvora(i)ka cvoru(j).Zapreminskei povrsinskesile, kojedelujunauiducevi (ij), trebadabuduuravnotezi.Silatezine. Odzapreminskihsiladelujesamosilatezine. InteresantnajesamonjenakomponentaupravcutecenjaGij.Gij= gLijAij sin = g [(ZT)j(ZT)i] Aij, (2.2)gdejesin =dZdx=(ZT)j(ZT)iLij.ZTjekotatezistapoprecnogpresekanaodgovarajucemkrajucevi. Sila pritiska. Deo sile pritiska po konturi cevi uravnotezuje komponentusile tezine koja deluje upravno na zid. Preostali deo sile pritiska, koji deluje upravcu tecenja, Pij, predstavlja razliku sila pritiska u presecima na krajevimacevi(i)i(j):Pij= (P)i(P)j, (2.3)2.2. Osnovnejednacine 39Slika2.3: Cev(ij)isilekojedelujunamasuuidaucevi(ij)odnosno,Pij= [(pT)i(pT)j]Aij, (2.4)gdejepTpritisakutezistupoprecnogpreseka.Komponentesilepritiskaisiletezineupravcutecenja,mogusenapisatizajedno:Pij + Gij= gAij___ZT+pTg_i_ZT+pTg_j__,odnosno,Pij + Gij= gAij (ij) , (2.5)gde ii jpredstavljajupijezometarske kote nauzvodnomi nizvodnomkrajucevi. Sila trenja. Pretpostavlja se da je tangencijalni napon ij, izmedju uidai zida cevi, konstantan po obimu cevi. Ukupna sila trenja, koja deluje u smerusuprotnomodsmeratecenja,iznosi:Tij= ijOijLij, (2.6)40 Poglavlje2. Ustaljenotecenjeucevimagde je Oijokvaseni obim cevi ij. Uvodi se koecijent tangencijalnog naponaCij:ij= Cij12Q2ijA2ij,odaklesedobijaTij= Cij12Qij|Qij|A2ijOijLij. (2.7)Dabi seobezbedilodajesilatrenjausmerusuprotnomodsmeratecenja,umestoQ2ij,piseseQij|Qij|.Cevjekonstantnogpoprecnogpresekai nemapromenebrzineduzcevi,pa je inercijalna sila, Iij, koja predstavlja promenu kolicine kretanja uida ucevi,jednakanuli.Sile tezine i pritiska, (2.5), koje izazivaju kretanje, izjednacuju se sa silomtrenja,(2.7),kojasesuprotstavljakretanju:gAij(ij) = Cij12OijQij|Qij|A2ijLij. (2.8)Nakrajusedobijaizraz:ij= rijQij|Qij| , (2.9)gdeje,rij,karakteristikacevi,jednaka:rij= CijLijOij2gA3ij= CijLijRij12gA2ij.Rijje hidraulicki radijus (= Aij/Oij). Iz jednacine (2.5) vidi se da zajednickasilapritiskai tezinedelujeusmerutecenjauida(uzvodnapijezometarskakota je veca od nizvodne) i da sam polozaj (nagib) cevi nema nikakvog uticajanato.Umesto koecijenta tangencijalnog napona Ckoristi se i Darsi-Vajsbahov(Darcy-Weissbach)koecijenttrenja(=4C), pase, zakruznucev, zakojujeA/O = D/4,dobijaizraz:rij= ijLijDij12gA2ij=8ijLij2gD5ij. (2.10)Koecijenttangencijalnognapona,odnosno,koecijenttrenja,,iizraz(2.9) koriste se za racunanje gubitka energije uidne struje na deonici2.2. Osnovnejednacine 41duzine Lij, jer su, u cevi konstantnog poprecnog preseka, razlika pijezometarskihkota, (i j), i razlikaenergija, (Ei Ej), iste. Trebaukazati natodaseustranimstrucnimpublikacijama(posebnoamerickim)podjednakoko-riste koecijent trenja, (), i koecijent tangencijalnog napona, (C), a da sezovuistimimenom, koecijenttrenja(frictioncoecientilifrictionfactor).Najcesceseobelezavajuoznakom(f), aponekadi(),stomozedovesti dozabune.Do jednacine, koja bi bila slicna jednacini (2.9), moglo bi se doci i koriscenjemenergetskejednacine, tzv. Bernulijevejednacine, zapocetaki zakraj cevi.Tadabitrebalodenisativezugubitkaenergijeikarakteristikacevi,uidaipokazateljatecenja,stouprincipunijeproblemocemugovori i veliki brojempirijskih izraza za gubitke energije. Kod neustaljenog tecenja nije mogucedoci do istog rezultata, pa se zbog toga ovde, od samog pocetka, koristi zakonodrzanjakolicinekretanjaizrazendinamickomjednacinom.2.2.3 KoecijenttrenjaPostoji vise nacina da se sila trenja, odnosno, linijski gubitak energije, parametri-zuju, stomozeuticati naoblikjednacine(2.9). PoredDarsi-Vajsbahovogkoecijentatrenja, , koji sejavljauprethodnimjednacinama, i kojiceseuglavnom koristiti u ovoj knjizi, u upotrebi su jos i Hazen-Vilijamsov (HazenWilliams),Maningov(Manning),Sezijev(Chesy)idrugi.Koecijent trenja zavisi od karakteristika unutrasnje obloge cevi, precnikai rezima tecenja. Pokazatelj rezima tecenja u cevi je bezdimenzionalna velicina,Re = V D/, Rejnoldsov (Reynolds) broj. je gustina uida, Vsrednja brz-ina, Dunutrasnji precnikcevi, adinamicki koecijentviskoznosti. Samozalaminarnotecenjemozesedatiegzaktanizraz, =64Re, (2.11)Do ovoga izraza su dosli Hagen i Poasej (Hagen, Poiseuille), nezavisno jedanoddrugog,oko1840godine.Prelazizlaminarnoguturbulentnotecenjeposledicajenestabilnostiun-utartokainedesavaseuvekpriistimvrednostimaRebroja. Izprakticnihrazloga uz ima se da je granicna, ili kriticna, vrednost, Rekr= 2000. Sa drugestrane, tek za Re brojeve vece od 4000 (5000), moze se sa sigurnoscu govoritioturbulentnomtecenju. Iakojezonaizmedju2000i 4000(tzv. prelazna42 Poglavlje2. Ustaljenotecenjeucevimazona) neodredjena, upraksi sepretpostavljadajeutoj zoni turbulentnotecenjezbogveceggubitkaenergijeimanjepropusnemocicevi.Zaturbulentnotecenjepostoji dostaizraza, odkojihneki vazesamozatzv. turbulentnotecenjeuglatkoj, aneki samozatecenjeuhrapavojcevi.Odmnostvaeksperimenatauradjenihuovoj oblasti, najpoznatiji suNiku-radzeovi uglatkimcevimai ucevimasavestacki ohrapavljenomoblogom(Schlichting,1968;Miller,1986).1911.godineBlazijus(Blasius)jesistematizovaodotadasnjeeksperimen-talne podatke i dao izraz koji vazi za oblast hidraulicki glatkih cevi (Schlicht-ing,1968) =0.3164Re1/4, (2.12)Pokazalo se da taj izraz vazi do Re 100000, odnosno, do najvece vrednostiza koju su u to vreme postojali podaci. Nikuradze je znacajno povecao fondeksperimentalnihpodatakaoglatkimcevimaobavivsi veliki broj merenjarasporedabrzinaigubitakaenergijeuhidraulickiglatkimcevimau sirokomrasponuRejnoldsovihbrojeva, 4000 Re 3.2 106. Utumacenjutihpodataka dali su svoj doprinos mnogi, a najznacajniji je Prantlov (Prandtl),koji jezakljuciodasesvi rasporedi brzinamoguaproksimirati tzv. ekspo-nencijalnimzakonomuU=_2yD_1/n, (2.13)gdejeUbrzinausredinicevizaodstojanjeodzidayjednakopoluprecnikucevi, D/2. Eksponentnsenalazi ugranicamaodn=6zaRe=4000, don = 10 za Re= 3.24106. Za vrednosti Rejnoldsovog broja manje od 100000,zakojeprakticnovazi n=7, Prantl jepokazaodasemozedirektnodobitiBlazijusovizraz(2.12).Za celu oblast glatkih cevi (sve vrednosti eksponenta n) koristi se Prant-lovuniverzalnizakonzaglatkecevi,uu=1 ln yu+ 5.5 , (2.14)gdejeu=_0/, brzinatrenja, 0, tangencijalni naponizmedjuuidaicevi, aKarmanovakonstanta, kojajejednaka0.4. Izraz(2.14) sezas-nivanaPrantlovojpretpostavcioputanjimesanja(Streeter&Wylie,1978;Schlichting, 1968) i na eksperimentalnim rezultatima Nikuradzea. Na osnovu2.2. Osnovnejednacine 43loagaritamskogzakonarasporedabrzina(2.14)dobijase1= 2 log(Re) 0.8 . (2.15)Za hrapave cevi, u oblasti potpuno razvijene turbulencije, Nikuradzeovimmerenjimasavestacki ohrapavljenimcevimanajviseodgovaraizrazkoji jepredlozioTeodorfonKarman(TheodorvonKarman)11= 2 logkD+ 1.74 , (2.16)gdejekapsolutnahrapavostcevi.Karakteristikekomercijalnihcevi neodgovarajueksperimentimaNiku-radzeauprelaznojoblastiizhidraulickiglatkihceviuhrapavecevi. Smatrase da je za tu oblast najbolji izraz Kolbruka i Vajta (Colebrook, White), kojisekoristiintegralnozaceluoblastturbulentnogtecenjaucevima:1= 2 log_k3.7D+2.51Re_, (2.17)Ovo je empirijski izraz, koji objedinjuje dva izraza, jedanza glatkucev(funkcijaRebroja) i drugi zahrapavucev(funkcijarelativnehrapavosti,k/D). Jednacinasenemozedirektnoresitipo,pasetoobicnoradiitera-tivno.Cestosekoristeizrazi,kojidobroaproksimirajuKolbrukovuformuluucelojoblastiturbulentnogtecenja. Jedanodnjihjeiovaj:1= 2 log_k3.7D+5.13Re0.89_. (2.18)Naslici (2.4) dat jedijagramzavisnosti koecijentatrenja() odRe-jnoldsovogbrojai relativnehrapavosti, poznatkaoMudijev(Moody)dija-gram(Miller, 1986), koji jetakodjedobraaproksimacijaKolbruk-Vajtovogizraza. Mudijepredlozioisvojizrazzaracunanjekoecijentatrenja = 0.0055__1 +_20000 kD+106Re_1/3__, (2.19)1fon Karman je predlozio vrednost slobodnog clana 1.68, ali Nikuradzeovim podacimabolje odgovara 1.74 (Schlichting, 1968)44 Poglavlje2. UstaljenotecenjeucevimaSlika2.4: Mudijevdijagramkoji bi trebalodavazi zaRebrojeveod4000do107i zak/Ddo0.01. Zahidraulickihrapavecevikoristiseslicanizraz = 0.189_kD_1/3. (2.20)Naovimprostorimakoristiseizraz,kojijearmisaoprof. GeorgijeHajdin = 0.115_kD+60Re_1/4, (2.21)kojiustvaripredstavljaprosirenjeBlazijusovogizrazazaglatkucev.Ovimseneiscrpljujespisakizrazazaracunanjekoecijentatrenja. Do-datnu neodredjenost predstavlja procena hrapavosti cevovoda, koja kod Niku-radzea predstavlja velicinu zrna peska nalepljenog na zid cevi, a kod cevovoda2.2. Osnovnejednacine 45Slika2.5: Lokalnigubitakenergijeneku ekvivalentnu duzinu koja obuhvata i izbocine na zidu, i odstupanje ob-likaceviodkruznog,nacinugradnjeimnogotogajos. Dajusevrlo sarolikepreporuke za procenu hrapavosti zida za razlicite materijale, pa tu treba bitioprezan.2.2.4 LokalniotporiucevimaLokalni otpori, odnosno, lokalni gubici energije, seneuzimajueksplicitnoudinamickoj jednacini. Razlogzatojecinjenicadasugubici energijenatrenje visestruko veci u vecini distribucionih mreza. Znacajniji lokalni gubicienergije mogudase ukljuce direktnoujednacinuprekogubitkaenergije,(E):E= lokv22g, (2.22)gdeje(lok), koecijentlokalnoggubitkaenergije, a(v2/2g), kinetickaen-ergijauidne struje pojedinici tezine (Slika2.5). Najcesce se koecijentlokalnoggubitkaenergijevezujeuzbrzinskuvisinuupresekunizvodnoodlokalitetakoji jeprouzrokovaogubitakenergije. Postojetostvardogovoramogucasuiodstupanjaodnjega, stotrebaposebnonaglasiti.Detaljan pregled lokalnih gubitaka energije moze se naci u literaturi (Miller,1986;Idelchik,1979). Sasvimjerazumljivoda,uslucajevimakadasezane-marujubrzinskevisine,imasmislazadrzatisamoznacajnijelokalnegubitke(regulacionizatvaraci,reduciripritiskaitd.)Lokalni gubici energije se mogu uzeti u razmatranje i indirektno, na jedanodsledecadvanacina:46 Poglavlje2. UstaljenotecenjeucevimaPovecanjekoecijentatrenjaijLijDij+

l= (ij + )LijDij, =DijLij

l.PovecanjeefektivneduzineceviijLijDij+

l= ijLij + LDij,L =Dijij

l.Drugi nacin je uobicajen u prirucnicima za instalacije vodovoda i kanalizacijepozgradama, gdeselokalni gubici dajukaoekvivalentneduzinecevi (naprimer, krivina90oodgovara10mcevi, i sl.). Izbor bilokogodovadvanacinaneuticenaoblikjednacine(2.9),jersu,ikoecijenttrenja,iduzinacevi,sadrzaniuparametrurij.Nedostatakovakvogpristupaje utomestolinijski i lokalni gubici nezavisenaistinacinodRebroja.2.2.5 MogucegreskekodprocenegubitkaenergijeJedna odtajni hidrotehnicke struke je i odredjivanje koecijenta trenja,odnosno, linijskoggubitkaenergije, koji direktnoodredjujepropusnumoccevovoda. Svevelicineodkojihzavisi koecijenttrenjaimajuizvestanste-pen neodredjenosti. To posebno vazi za hrapavost cevi, mada nije ogranicenosamonato.Prema izrazu (2.10), odstupanje stvarne vrednosti precnika cevi od onogasta se u racunu uzima, za samo 1 % odrazava se kao greska od 5 % u procenigubitka energije. Odstupanje od 1 % se tolerise kod celicnih cevi, dok je zacevioddrugihmaterijala,toivise. Ukatalozimasaspecikacijamaopremeobicnostojeuporedodimenzijeuincimaimilimetrimaitonasledecinacin(BERMAD,1994):Sizes: 4,6,8(100,150,200mm)2.2. Osnovnejednacine 47iakosuodgovarajucevrednosti 101.6, 152.4i 203,2mm. Ovonetrebash-vatiti kaocepidlacenjenegosamokaoilustracijukvalitetapodatakasako-jima se racuna. Ne treba zaboraviti da nominalni precnik, DN, predstavljapogodan zaokruzen broj koji oznacava cevi,prirubnice,zatvarace i ostale el-emente koji odgovarajujedni drugima. Kodnarucivanjacevi i armaturauveksespeciciraspoljni precnikcevi. Vezasastvarnimdimenzijamatihelemenatajesamopriblizna(Kentish, 1982). Takodje, vrlocesto, naovimprostorimaugradjujusecevi kojesetrenutnomogunabaviti, poduslovomdasenerazlikujumnogoodprojektovanih.Odredjivanjereprezentativnehrapavosticevinijelakzadatak. ZavelikeRe brojeve, greska u proceni hrapavosti od 100 %, daje gresku u koecijentutrenjaigubitkuenergijeizmedju10i20%. Zbogmogucihvelikihrazlikauprocenamahrapavosticeviueksploatacionimuslovima, mogucesuvelikerazlikeuprocenamaprojektovanogkapaciteta(Yen,1977).Apsolutnahrapavostcevi, k, nijesamovelicinamikroizbocinanazidu,negojemeramakronepravilnosti duzcevi, nacinaspajanja, kvalitetaspo-jnica, polaganja u rov, istalozavanja, odstupanja precnika od nominalne vred-nostiitd.Postojetabelesapreporucenimvrednostimahrapavosti, kojeseodnosenanovecevi,odredjenikvalitetizradeiodredjenutehnologiju. Tipodacisudobijeni uglavnom na bazi laboratorijskih merenja, a vrlo malo ih je, na bazimerenjaueksploatacionimuslovima.Iakosupreporucenevrednosti hrapavosti zanekematerijalejakoniske,0.001 mm za staklene i neke vrste plasticnih cevi, odnosno, 0.02 mm za novecelicnecevi, neophodnojeimati odredjenurezervuzbognapredpomenutihrazloga. Kodproverekapacitetadistribucionemrezepreporucujese0.5mmkao minimalna vrednost, i to samo za cistu, hlorisanu i neagresivnu vodu. Uostalimslucajevima,minimalnavrednostbitrebalodabude1mm.Kinematickikoecijentviskoznostiuidazavisiodtemperature(T), stoutice navrednost Re broja, i navarijacijukoecijentatrenja, narocitouoblasti hidraulicki glatkih cevi. Za T= 10oC, kinematicki koecijent viskoznostije,= 1.308 106m2/s,azaT= 20oC,je,= 1.007 106m2/s. Akoseradisakonstantnomvrednosti, tomozedadovededodogreskeodoko5%kodprocenekoecijentatrenja.Naosnovusvegaovogamozesedatiinekolikoprakticnihnapomena.Pod uslovom da se precnik cevi poznaje sa 0.5 % neizvesnosti, mogucagreskaprocenekoecijentatrenjazanovecevi, uoblasti hidraulicki48 Poglavlje2. Ustaljenotecenjeucevimaglatkihcevi (kao i uprelaznoj oblasti kada je procenjena vrednostmanjaod1.2vrednostizaglatkucev),jeoko10 %.Akojeprocenjenavrednostkoecijentatrenjaizmedju1.2i 1.5putavrednost za glatku cev, moguca greska procene prelazi 10 %, takodje zanove cevi. Zbog promena tokom eksploatacije moze se desiti povecanjekoecijenta trenja za 25 do 50 %, mada i vece promene nisu tako retke.Akojeduzinacevivecaod500D(ili1000D),radiseotzv.,dugackojcevi, i tada se standardni lokalni gubici energije (ulaz ucev, kriv-ina, izlazi slicno) moguzanemariti. Naprvi pogledovodelujekaogrubaaproksimacija, ali svepostajejasnijekadaseimauvidukolikaje neizvesnost kod odredjivanja koecijenta trenja cevi.Sto se nalazimoblizevrednostimazaglatkucevmogucegreskesumanje, aonerastukakorasteuticajrelativnehrapavosti.Standardni koecijenti lokalnihgubitakasuredavelicine 1, (

=O(1)),akoecijenttrenja 0.02, stodajeLD 0.02 500 = 10iz cega se vidi da , kod dugackih cevi, lokalni gubici dostizu najvise oko10%linijskihgubitakaenergije,stojemanjeodneizvesnosti procenesamogkoecijentatrenja.2.3 Formiranje sistema jednacina za cevnu mrezuNaslici(2.6)prikazanajeuopstenashemajednecevnemreze. Oznacenisucvorovi (od1do12)i cevi (uzagradama, od1do16). Ucvorovima1i 12nalazeserezervoari, aucvorovima2, 3, 6, 8i 10postoji odredjenacvornapotrosnja.Nivoi u rezervoarima moraju biti poznati, a nepoznate velicine su pijezome-tarske kote u preostalim cvorovima i proticaji u svim cevima. Broj jednacina,tipa(2.1)i(2.9),kojesunaraspolaganju,odgovarabrojunepoznatihijed-nak je (I IR+J= 26), gde je I= 12, broj cvorova, IR= 2 broj rezervoara,aJ= 16,brojcevi.Broj jednacina, kojetrebasimultanoresiti, mozesesmanjiti njihovimgrupisanjem. Postojivisenacinadasetouradi,sveuzavisnostiodtoga sta2.3. Formiranjesistemajednacinazacevnumrezu 49Slika2.6: Shematskiprikazjednecevnemrezeseizaberekaoosnovnavelicina. Kaoosnovnenepoznatevelicinemoguseuzeti,iliproticaji,ilipijezometarskekote,ilinestotrece.2.3.1 ProticajiucevimakaonepoznatevelicineJednacinekontinuitetamogusenapisatizasvecvorovemreze, kojihimaI,aliodtogaje(I IR)medjusobnonezavisnihjednacinaJi

j=1Qij + Qip= 0 i = 1, , (I IR) , (2.23)gde je Ji, ukupan broj cevi koje se susticu u cvoru i. Broj jednacina kontinu-iteta je dovoljan za resavanje svih nepoznatih proticaja, samo u najprostijemslucaju,tzv.,granatemreze. Uopstemslucaju,kodprstenastemreze,kadanijeunapredpoznatputvode,potrebnesudodatnejednacine.Koristi se uslov da je algebarski zbir svih gubitaka energije po zatvorenojkonturi, kojucinecevi, jednaknuli. Zbogzanemarenjabrzinskihvisinaucevima, kaoi lokalnihgubitakakodpromenaprecnikacevi i naspojevima,pijezometarskekotenakrajevimasvihcevi kojesesusticuujedancvorsuiste. Usvajasepozitivansmerkretanjapokonturi, i akojepretpostavljeniproticajutomsmeru,gubitakenergijeseuzimasaznakom+,aakojeusuprotnom,uzimasesaznakom(slika2.7).Takosezaprsten(l)mozenapisatienergetskajednacinal :

j(l)Eij(l)= 0 , (2.24)50 Poglavlje2. UstaljenotecenjeucevimaSlika2.7: Prstengde je Eij(l) gubitak energije u cevi ij, a dobija se iz jednacine (2.9) i uslovaEij= ij.l :

j(l)rij(l)Qij(l)|Qij(l)| = 0 , (2.25)Broj nezavisnih jednacina jednak je Kl, broju prirodnih prstenova koji semedjusobnonepreklapaju. Uslucajevimakadapostojebardvarezervoara(odnosno,dvacvorasapoznatompijezometarskomkotom),uvodisepojampseudoprstena, gdeprstenzavrsavajednaktivnacev(pseudocev), kojaspajadvarezervoara. Pseudo-prstensemozeshvatitiikaokoriscenjeuslovada je,po bilo kojoj putanji koja spaja dva rezervoara,zbir gubitaka energijejednakdenivelacijiizmedjutadvarezervoara.Brojjednacinazapseudoprstenovejednakje(IR1).Ukupan broj jednacina (I +Kl1) je jednak broju nepoznatih proticajaucevima,stosemozei dokazati. Odtihjednacina, (I IR)sulinearne, aostalesunelinearne,kojejeupostupkuresavanjamogucelinearizovati.Prethodnarazmatranjamoguseilustrovatiprimenomnamrezusaslike(2.6). Brojnepoznatihproticajaucevimaje16. Jednacinekontinuitetasepisuza cvorove: 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 i 11 ,iukupnoihje10.Nezavisnihenergetskihjednacinapozatvorenimkonturama(prstenovima)ima5(slika2.8), i tosu: (2-4-5-8-3-2), (4-6-5-4), (5-6-7-8-5), (7-9-11-8-7)i (3-8-11-10-3)2, gdebrojevi oznacavajubrojevecvorova. Redosledcvorovaoznacavasmersumiranjagubitakapokonturi,aponavljanjeprvog cvoranakraju,znacidaseradiozatvorenojkonturi.Poslednjajednacinajezaprstenkojizatvarapseudocevspajajucirezer-2Ovojesamojednamogucnostizboraprstenova, i toonakojaukljucujenajmanjenepoznatihvelicina. Radiseoprstenovima,kojisemedjusobnonepreklapaju,ikojisejos zovu prirodni prstenovi.2.3. Formiranjesistemajednacinazacevnumrezu 51Slika2.8: Pseudoceviprstenovivoareucvorovima, 1 i 12 . Jednacinasesvodinatodajesumagubitakaenergijeduzlinije(1-2-3-10-11-12),jednaka,(112).HardiKrosovametodaprstenovaHardi Kros (Hardy Cross, 1936) je, davno pre uvodjenja racunara u inzenjerskupraksu, predlozio dva postupka resavanja jednacina tecenja u cevnim mrezama.Jedanodnjih,kojisezasnivanaenergetskimjednacinamapoprstenovima,upravoonimkojesekoristekaodopunskejednacinezaproticajeucevima,(2.24),imavelikuprakticnuvrednostiduguistorijuuspesneprimene.3Jednacine kontinuiteta se ne pisueksplicitno, ali se pocetni proticajimorajupretpostavititakodajeusvakomcvoruzadovoljenajednacinakon-tinuiteta.Jednacina(2.25), sapretpostavljenimpocetnimvrednostimaproticaja,obicnonijezadovoljenazasveprstenove,pasemozenapisati:l :

j(l)rij(l)Q(0)ij(l)|Q(0)ij(l)|= 0 . (2.26)Sviproticajiucevima,koje cineprsten(l),korigujusezaistuvrednost,Ql,takodasezadovoljiuslov(2.25).l :

j(l)rij(l)(Q(0)ij(l) + Q(1)l)|Q(0)ij(l) + Q(1)l| = 0 . (2.27)TojeosnovnaidejaHardi Krosovemetodeprstenova, kojasejoszoveiQ- metoda. Uzpretpostavkurelativnomalekorekcijeproticaja, (Q),3Ova metoda se u ruskoj literaturi zove metoda Lobaceva, ali i metoda Lobacev-Kros(Abramov, 1974).52 Poglavlje2. Ustaljenotecenjeucevimazanemarujeseclangdese(Ql)javljanadrugi stepen, ajednacina(2.27)selinearizuje. Dobijasekorekcija,Ql,zasvakiprstenmreze,posebno.Q(1)l=

rij(l)Q(0)ij(l)|Q(0)ij(l)|2

rij(l)|Q(0)ij(l)|. (2.28)Korigovanjem svih proticaja po prstenu, za istu vrednost, i vodeci racunaoznacimaproticaja,neremeteseuslovikontinuitetaza cvorove.Postupak se ponavlja za sledeci prsten, i tako redom, dok se odstupanje zasveprstenovenedovedeispodprihvatljivegranice. Nepoznatevelicinenisuproticaji u cevima, nego korekcije proticaja, Ql, po prstenovima, kojih imaznatnomanjenegocevi(uprimerusaslike2.6,toje6).Odredjivanje korekcija Ql moze se raditi sukcesivno, kako je to predlozioHardiKros,ilisimultano(Epp,Fowler,1970),za stajepogodnijiracunar.Postupak identikacije prirodnih prstenova je dosta tesko isprogramirati,takodaseovametodapreporucujezamanjemrezei kadasekoristi rucnikalkulator, ili kada se kao pripremljeni ulazni podaci unose i podaci o prsten-ovima.2.3.2 -koteucvorovimakaonepoznatevelicineI ovaj postupak je razmatran od strane Hardi Krosa, ali je data prednost Qmetodi, zbog manjeg broja jednacina. Broj jednacina je jednak broju cvorovau kojima se ne znaju -kote, i, kao sto se moglo videti, kod prstenaste mrezemanjijeodbrojacevi. Svejednacinesuistogtipa(doduse,nelinearne), stoje povoljno kod izbora algoritma proracuna. Takodje, kod velikog broja cevi,razlikaubrojujednacina,uodnosunaQ-metodu,nijetakoznacajna.Jednacine(2.9)izrazavajusedirektnoprekoproticaja:Qij= SGN(ij)_|ij|rij_1/2, (2.29)gde, SGN(i j), znaci znak(i j). Pritomsukonvencijeokoznakaproticaja za cev i za cvor ovim uskladjene. i je pijezometarska kota cvora zakoji pisemojednacinukontinuiteta, ajjepijezometarskakotanasuprot-nomkrajucevi. Jednacine(2.29), zaproticaje, zamenjujuseujednacinu2.3. Formiranjesistemajednacinazacevnumrezu 53kontinuitetaza cvor(i),irezultatje:

jSGN(ij)_|ij|rij_1/2+ Qip= 0 . (2.30)Broj jednacinatacnoodgovarabrojunepoznatihpijezometarskihkotau cvorovima. Nemapotrebezauvodjenjem,donekleneodredjenih,pojmovakao prstenovi i kvazi-prstenovi, niti zahteva da se pocetne vrednosti proticajazadajutakodabudezadovoljenuslovkontinuiteta.Zbog iterativnog postupka resavanja prethodnog sistema jednacina, potreb-nojeimati nekupocetnuvrednost zaproticaje. Tomozebiti proizvoljnavrednost, kojaje razlicita odnule. Obicnose pretpostavljajupocetnevrednostikojeodgovarajunekojkonacnojbrziniV0(recimo,1m/s).Q(1)ij=D24V0,kojanemoradabudebliskatacnomresenju, jertonemauticajanabrzinukonvergencije.MetodaNjutn-RafsonaJednacine (2.30) su nelinearne i jedan od nacina da se one rese je linearizacijai iterativnopriblizavanje tacnomresenju. Razvijanjemjednacine (2.9) uTejlorovredoko(k)-teiteracijedabi sedobila(k + 1)iteracija, jednacineselinearizuju. Toje,inace,matematickaosnovaNjutn-Rafsonove(Newton-Raphson)metode.Uopstemobliku,zafunkcijuf(x),uokolinitackex(k),vazif(x(k+1)) = f(x(k)) +f(x(k))x_x(k+1)x(k)_+ (2.31)Zaf(Q) =i j, denisanojednacinom(2.9), uokolini tacke, Q(k), izadrzavanjemsamo clanasaprvimizvodom,dolazisedoizraza:(k+1)i(k+1)j= rijQ(k)ij |Q(k)ij | + 2rij|Q(k)ij |(Q(k+1)ijQ(k)ij) . (2.32)Akosejednacini (2.32)dodai oduzmeprviclannadesnoj strani dolazi sedolinearizovanogoblikadinamickejednacinezacev(ij)Q(k+1)ij=(k+1)i(k+1)j2rij|Q(k)ij |+Q(k)ij2. (2.33)54 Poglavlje2. UstaljenotecenjeucevimaSlika2.9: OdredjivanjeproticajakrozcevovodizmedjudvarezervoaraNaslici (2.9)datjeprimerodredjivanjaproticajaucevovoduizmedjudvarezervoaraAi B, sakonstantnimnivoima, Ai B. Resenje(nepoznatiproticaj) nalazi se u preseku dve linije, karakteristike cevovoda rABQ|Q| (1),i horizontalne linije (2), koja predstavlja raspolozivu denivelaciju (AB).Posto je na iterativnom nivou (k), za proticaj Q(k), vrednost rABQ(k)|Q(k)|razlicita od (AB), povlaci se tangenta na krivu (1) do preseka sa linijom(2). Tako se dolazi do sledece iterativne vrednosti proticaja Q(k+1). Ovim sejednanelinearnajednacina, kaostoje(2.9), upostupkuresavanja, zamen-jujejednacinomprave, kojajetangentanakrivuutacki(k)ukojojseznapribliznoresenje.Udistribucionimmrezamaizrazzaproticaj(2.33)uvrstiseujednacinukontinuiteta (2.1) i dolazi se do sistema linearizovanih jednacina kontinuiteta:12

j(k+1)i(k+1)jrij|Q(k)ij |+ Qip +12

jQ(k)ij= 0 i = 1, 2, . . . (I IR) , (2.34)ciji jebroj jednakbrojucvorovasanepoznatimpijezometarskimkotamaumrezi.44Do slicne jednacine dolazi se ako se jednacina (2.9) linearizuje metodomPikara(Pickard) (Radojkovic, Klem, 1989):Qij =ijrij|Qij|,2.3. Formiranjesistemajednacinazacevnumrezu 55Postupak razvijanja funkcije u Tejlorov red iskoristice se i za linearizacijuslozenijihelemenatacevnemreze,kao stosuzatvaraci,pumpeislicno.Sistem linearnih jednacina (2.34) moze se resiti direktno, najbolje, nekomod metoda koja vodi racuna o tome da se radi o retkoj i simetricnoj matrici,ili,iterativno(Pressetal.,1989,RadojkoviciKlem,1989). Resenjesistema(2.34),dajevrednostipijezometarskihkota,((k+1)i),naosnovukojihtrebasracunati odgovarajuce vrednosti proticaja, (Q(k+1)ij). Ovimse postupak,ilustrovannaslici(2.9),simultanoradizasveceviudistribucionojmrezi.Tacno resenje sistema (2.34) ne obezbedjuje zadovoljenje jednacine konti-nuiteta za sve cvorove u mrezi, jer jednacine koje se resavaju vec predstavljajuaproksimacijuosnovnihjednacina. Sakorigovanimproticajima,izjednacine(2.29), sistem jednacina (2.34) ponovo se resava sve dok se ne postigne zado-voljavajucatacnostpoproticajima.Za resavanje (2.34), najcesce se koristi metoda sukcesivnih nadrelak-sacija (SOR - Successive OverRelaxation), koja predstavlja poboljsanje Gaus-Zajdelove (Gauss-Seidel) iterativne metode zaresavanje sistemalinearnihjednacina,uvodjenjemparametranadrelaksacije().Zaobjasnjenjemetodesukcesivnihnadrelaksacija, kojapredstavljado-datni(tzv. unutrasnji) iterativniciklus,najpre ce se sistem jednacina (2.34)napisatiumatricnomoblikuA x = b , (2.35)gde je A matrica koecijenata dimenzije (I IR) (I IR), x vektor nepoz-natihpijezometarskihkota, abvektor slobodnihclanova. MatricaAserastavljanatridelaA = U+D+L , (2.36)gdejeDdijagonalni deomatriceA, UgornjatrougaonamatricaodA, sanulama na glavnoj dijagonali i ispod nje, i L donja trougaona matrica od A,sa nulama na glavnoj dijagonali i iznad nje. Iterativni postupak odredjivanjavektoranepoznatih,x,Gaus-Zajdelovommetodom,mozeseprikazatikaox(n+1)= x(n)(L +D)1(n), (2.37)odnosno,

j(k+1)i(k+1)jrij|Q(k)ij |+ Qip = 0 .56 Poglavlje2. Ustaljenotecenjeucevimadokjemetodomsukcesivnihnadrelaksacijax(n+1)= x(n)(L +D)1(n), (2.38)gde je (n), u oba slucaja, rezidual jednacine (2.35) na iterativnom nivou (n),odnosnoAx(n)b = (n), (2.39)a,parametarnadrelaksacije,kojisekreceugranicama1 < < 2. PremaGesleru(Gessler, 1979), zasisteme jednacinasapijezometarskimkotamakao nepoznatimvelicinama, optimalna vrednost je, opt=1.85. PojavamatriceLnadesnojstranijednacine(2.38)ukazujedasekoristeivrednostipijezometarskihkotananivou(n + 1),akosuraspolozive.Akosepostupak(2.38)primeninajednacine(2.34),dobijase(n+1)i= (n)i+ ____

j(m)j2rij|Qij| Qip12

j Q(k)ij

j12rij|Q(k)ij|(n)i____, (2.40)gde(m)mozebiti (n + 1)ili (n), uzavisnosti odtogadali jeutomcvoruvecsracunatanovavrednost pijezometarskekoteili nije. Vrednosti proti-cajauimeniocusume, j, nemenjajusetokomovogiterativnogpostupka(imajueksponent(k)). Kadaseispunikriterijumkonvergencijeunutrasnjegiterativnogciklusa, (2.40), racunajusenovevrednosti proticaja, Q(k+1)ij, irij|Q(k+1)ij|, na osnovu(2.29), odnosno, (2.33), uspoljasnjemiterativnomciklusu. Akoseproticaji razlikujuodvrednosti izprethodnogspoljasnjegiterativnogciklusa, ponavljaseunutrasnji iterativni ciklussakorigovanimproticajima,uvrscenimujednacinu(2.40).Kriterijumkonvergencijeunutrasnjegiterativnogpostupkaglasimax|(n+1)i(n)i| < ( 0.001m) , (2.41)aspoljasnjeg,max|Q(k+1)iQ(k)i| < Q. (2.42)Problemikonvergencijeitacnostiiterativnihmetodaresavanjalinearnihsis-tema jednacina, kojima pripadaju i Gaus-Zajdelova i SOR metoda, obradjenisunadrugimmestima(Radojkovic,Klem,1989;Pressidr,1989).2.3. Formiranjesistemajednacinazacevnumrezu 57Proracunpocinjeodcvorovaukojimasupoznatepijezometarskekote,itosureferentni cvorovi. Tosurezervoari, prekidnekomore, vodotornjevi islicno. Pijezometarskekotesenemenjajuutim cvorovima,i= Zref. (2.43)Posebnu paznju treba obratiti kratkim cevima sa malim gubicima energijei brzinama bliskim nuli. Tada je konvergencija sporija, a postoji opasnost oddeljenjasanulom.HardiKrosovametodacvorovaIako pomenuta u originalnom radu Hardi Krosa, metoda cvorova nije mnogokoriscenasve dopojave racunara, jer, pomisljenjuautora, nije dovoljnoocigledna,kao sto je to metoda prstenova. Da se pokaze da to nije bas tako,a sa druge strane, da se sacuva od zaborava delo H. Krosa, objasnice se ovajjednostavan postupak za iterativno resavanje sistema jednacina, cija je bitnaosobinaidaselakopamti. UsvomraduHardiKrosjeovumetodunazvaoMethod of balancing ows, pa bi, mozda, umesto metoda cvorova, prikladnijinazivbio: Metodaizravnanjaproticaja.Smisaopostupkajesledeci:Ujednacinekontinuitetauvodesekorekcijepijezometarskekotedabiuslovkontinuitetabiozadovoljenzasvaki cvor.Koristi se linearizovana jednacina kontinuiteta za cvor (i), u sledecem obliku:

jijrij|Qij|+ Qip= 0 . (2.44)Posle (k) iteracija, akose vrednosti pijezometarskihkotarazlikujuodtacnihvrednosti, jednacinakontinuitetazacvor(i)nijezadovoljena. Mozesenapisatisledecajednakost:

j(k)i(k)jrij|Q(k)ij |+ Qip + Q(k)i= 0 , (2.45)gdejeQivrednostodstupanjaproticajaza cvor(i).58 Poglavlje2. UstaljenotecenjeucevimaSledeci(iterativni)korakjeodredjivanjekorekcijepijezometarskekote,(k+1)i, ucvoru(i), dabi seeliminisaloodstupanjeproticaja, Q(k)i, naiterativnomnivou(k):

j(k)i+ (k+1)i(k)jrij|Q(k)ij |+ Qip= 0 . (2.46)Izprethodnedvejednacinelakosedobijevezaizmedju(k+1)iiQ(k)i:(k+1)i

j1rij|Q(k)ij |= Q(k)i. (2.47)Konacno, dobija se izraz za vezu pijezometarskih kota u cvoru (i) na dvasukcesivnaiterativnanivoa,jerje(k+1)i= (k)i+ (k+1)i. (2.48)Slicno razdvajanju na spoljasnji i unutrasnji iterativni ciklus kod metodeNjutn-Rafsona, i ovde se, inace jedinstveni iterativni ciklus, moze razdvojiti,i vrednost proticajauimeniocujednacine(2.47) neobnavljati nasvakomiterativnomkoraku.Dabi seubrzalakonvergencija, mozeseuvesti faktornadrelaksacije, ,kojimsemnozikorekcijapijezometarskekote,((k+1)i):(k+1)i= (k)i+ __Qij

j1rij|Qij|__. (2.49)Koecijentnadrelaksacijetrebadabudeveciod1,amanjiod2. Postojinekoliko (komplikovanih) nacina da se odredi optimalna vrednost koecijenta. Medjutim, najsigurniji nacinjeprobanje, pocevsi od1. Kadakorekcijapijezometarskekote, , pocnenaizmenicnodamenjaznak, nalazimoseblizuoptimalnevrednosti.Kljucna jednacina ovog postupka, (2.49), razlikuje se od jednacine (2.40),samounacinulinearizacijepolaznejednacine(2.9). UjednomslucajutojePikarovametoda, audrugomNjutn-Rafsonova. Stogaseneradi onekojsustinski novoj metodi, negopreojednostavnomi logicnominzenjerskompristupuresavanjuproblema, koji imai svojukomplikovanijumatematickupodlogu.2.3. Formiranjesistemajednacinazacevnumrezu 59Primer1Karakteristike cevi, cvorova i potrosnje vode u cvorovima distribucione mrezeprikazanenaslici(2.6),datesuutabelama. Odreditipijezometarskekoteucvorovima i proticaje u cevima za datu potrosnju uz pretpostavku ustaljenogtecenja.Zaproracunsekoristi Njutn-Rafsonovametoda(2.40). Kriterijumi zakonvergencijuiterativnogpostupkaiznosezaunutrasnjiciklus 0.001mzaspoljasnjiciklus Q 0.01l/s.Prvihnekolikoiteracija, kaoi konacnoresenje, kojesedobijaposle18iteracija,prikazanojetabelarno.cvor Zkota Qp[m] [m] [l/s]1 207.0 210.0 2 170.0 303 160.0 204 150.0 5 150.0 6 150.0 207 150.0 8 150.0 159 170.0 10 150.0 2011 160.0 12 201.0 205.0 cev cvorovi L D k[m] [mm] [mm]1 1-2 100 250 0.52 2-3 350 200 0.53 2-4 250 150 0.54 4-5 150 150 0.55 4-6 300 150 0.56 5-6 200 150 0.57 6-7 200 150 0.58 5-8 200 150 0.59 8-7 200 150 0.510 3-8 250 200 0.511 7-9 250 150 0.512 8-11 250 200 0.513 3-10 250 150 0.514 9-11 200 150 0.515 10-11 250 150 0.516 11-12 250 250 0.560 Poglavlje2. Ustaljenotecenjeucevimacvor Zkota iteracijeu[m][m] n = 0 n = 1 n = 2 . . . n = 181 207.0 210.0 210.00 210.00 . . . 210.002 170.0 210.0 209.01 208.73 . . . 208.413 160.0 210.0 205.59 205.17 . . . 204.944 150.0 210.0 206.14 205.75 . . . 205.455 150.0 210.0 205.25 205.05 . . . 204.926 150.0 210.0 204.46 204.59 . . . 204.657 150.0 210.0 204.69 204.75 . . . 204.788 150.0 210.0 204.87 204.83 . . . 204.819 170.0 210.0 204.76 204.81 . . . 204.8210 150.0 210.0 203.86 204.00 . . . 204.1211 160.0 210.0 204.82 204.85 . . . 204.8512 201.0 205.0 205.00 205.00 . . . 205.002.4 PosebnielementimrezeUprethodnimodeljcimaobjasnjenojenekolikopostupakazaodredjivanjeproticaja i pijezometarskih kota u distribucionim mrezama, uz pretpostavkudasemrezasastoji odcevi, cvorovai rezervoara. Elementi mreze, kaostosuzatvaraci, pumpe, reduciripritiskaitd., zahtevajuposebantretman, kojizavisiodmetodenakojojsezasnivaalgoritam.Unastavkuceseobjasniti kakosematematicki opisujudvavaznael-ementa, hidranti i crpne stanice, dabi se ukljucili usistemjednacinasapijezometarskimkotamakaonepoznatimvelicinama. Takodje, pokazacesekakoseiterativni postupakmozeprimeniti najednucevnakojoj senalazizatvaraczaregulacijuproticaja.2.4.1 HidrantiiprskaciLokalni gubitakenergijenaregulacionomzatvaracu, koji senalazi nacevi(ij), mozesejednostavnouzeti uobzirukljucivanjemuparametarcevi rijujednacini (2.9), ali sezbogfunkcijekojuimatoneradi. Protivpozarnihidranti i prskaci (koriste se i u hidrotehnickim melioracijama) predstavljajulokalneotporesapoznatimkoecijentimalokalnihgubitaka, i sapoznatomnizvodnom pijezometarskom kotom, koja odgovara koti hidranta, ZH. Svi seoni tretirajuusustini naisti nacin. Proticaj zavisi odpijezometarskekote2.4. Posebnielementimreze 61uzvodnoodhidranta,H:H ZH=

Hv22g= rHQ2, (2.50)gde je

H, koecijent lokalnog gubitka energije na hidrantu,5izrazen u odnosuna brzinsku visinu u cevi, v2/2g. rHje parametar hidranta i iznosi

H/(A22g).RazvijanjemuTejlorovredi ovajednacinasemozelinearizovati. RezultatjeQ(k+1)=(k+1)HZH2rHQ(k)+Q(k)2, (2.51)stopooblikupotpunoodgovaralinearizovanoj dinamickoj jednacini (2.33)za cev, odakle se vidi da se hidrant moze posmatrati zajedno sa cevi na kojojsenalazi.Akojegubitakenergijenatojcevirelativnomali,izraz(2.51)vazizatucev, aHjejednakopijezometarskojkoti nauzvodnomkrajucevi, (k+1)i.Akojeucevi, nakojoj senalazi hidrant, znacajangubitakenergije, trebakorigovatijednacinu(2.33),stavljanjem(rij + rH)umesto(rH).Uvodjenjeelemenata,kao stosuhidranti,neuticenakonvergencijuiter-ativnogpostupka.Primer2Za dva stepena otvorenosti zatvaraca, odnosno, za dve vrednosti koecijenatalokalnihgubitakanazatvaracu,

Ha=50, i

Hb=100, odrediti proticajekrozcevovod, prikazannaslici 2.10,cijajeduzina, L12=3000m, precnik,D12=0.5mi hrapavost, k=0.4mm. Pijezometarskakotaucvoru(1),5Trebanapomenuti dasedenicijakocijenta

Hrazlikujeoddenicijekoecijentalokalnog gubitka energije, H, kako je to uobicajeno u Mehanici uida, kojom se Hvezujeuznizvodnubrzinskuvisinu. PrimenomBernulijevejednacinenapresekeispredi izahidranta lako se dolazi do relacije:

H= (1 + H)A2A2H1 ,gdesuAi AHpoprecni preseci cevi i otvorahidranta. Netrebadacudevrednosti

Hmnogoveceod1,jersekodlokalnoggubitkanazatvaracunevodieksplicitnoracunaopovrsinipresekakrozkojiuidproticenegoounutrasnjempresekuprirubnicekojomsezatvaracprikljucujenacev. Takodje, vrednostikoecijenatalokalnihgubitakazajedanzatvarac se razlikuju ako je iza zatvaraca puna cev ili je slobodno isticanje.62 Poglavlje2. Ustaljenotecenjeucevimanauzvodnomkrajucevi, iznosi 1=100.00m, anizvodnoodzatvaraca,2= 95.00m.Slika2.10: Primer2Proticajseracunaiterativno,modikovanimizrazom(2.51):Q(k+1)12=(k+1)1ZH2(r(k)12+ rH)Q(k)12+Q(k)122.Polaznavrednost parametracevi odredjuje se prekokoecijentatrenjaizizraza(2.18),zabrzinuV0= 1.0m/s. Pocetnavrednostproticajaje,Q(0)12=V0A = 0.1963m3/s.(0)= 0.01945 r(0)12= LD1A22g= 154.8Ha= 50 rHa=HaA22g= 66.1Q(1)12=100.00 95.002(154.8 + 66.1)0.1963+0.19632= 0.1558m3/s(1)= 0.01962 r(1)12= 156.2Q(2)12=100.00 95.002(156.2 + 66.1)0.1558+0.15582= 0.1501m3/sQ(3)12=100.00 95.002(156.2 + 66.1)0.1501+0.15012= 0.1500m3/sZadrugi stepenotvorenosti zatvaracapolazi seodistepocetnevrednostiproticaja,Q(0)= 0.1963m3/s:Hb= 100 rHb=H2A22g= 132.22.4. Posebnielementimreze 63Q(1)12=100.00 95.002(154.8 + 132.2)0.196+0.1962= 0.056 + 0.098 = 0.1425m3/s(1)= 0.01970 r(1)12= 156.8Q(2)12= 0.1319m3/sQ(3)12= 0.1315m3/s2.4.2 PumpeKada se na cevi (ij) nalazi pumpa (ili crpna stanica), radom pumpe energijauidasepovecava. Naslici (2.11)prikazanjenajjednostavniji slucajcrpnestanicesajednompumpom,kojadelicevovodnadvadela: usisniipotisni.Slika2.11: Povecanjemehanickeenergijeuidaucevi delovanjempumpe-osnovnipojmovi.VisinadizanjaHP, (takodjesekoristi terminnapor pumpe) jerazlikaenergija po jedinici tezine, na potisnoj strani, Enz(nizvodno od pumpe - nz)inausisnojstrani,Euz(uzvodnoodpumpe-uz),HP= EnzEuz. (2.52)Saslikesevididajejedandeoenergije,kojudodajepumpa,potrebanzbograzlikepotencijalnihenergijaurezervoarimaBi A, adajevisinadizanja,HP,vecaodtoga,zboggubitkaenergijeuusisnomipotisnomcevovodu.Razlika(B A), sezovegeodetskarazlikai nezavisi odproticaja.Gubici energije zavise od proticaja. Od lokalnih gubitaka posebnu ulogu imagubitaknazatvaracunapotisnojstranipumpe,jerseobicnonjimereguliseproticaj.64 Poglavlje2. UstaljenotecenjeucevimaSlika2.12: Krivaotporacevovoda.Proticaj pri komeceraditi pumpa(crpnastanica), nijeunapred, i zasvagda,odredjen,veczavisiodkarakteristikeotporacevovoda(dijagramnaslici 2.12). Ordinate krive otporacevovodapredstavljajupotrebne visinedizanjazarazliciteproticajezaprostcevovod,kojispajadvarezervoara,AiB.Izbor odgovarajuce pumpe svodi se na uskladjivanje karakteristike cevovodai karakteristike pumpe, koja se takodje moze prikazati gracki, ili funkcional-nomzavisnoscuvisinedizanjapumpeodproticaja.Kodukljucivanjapumpeuproracun, moraseznatismertecenjaucevi.Karakteristikecentrifugalnihpumpi, kojesenajvisekoristeuvodosnabde-vanju,izgledajukaonaslici(2.13). Uobicajenoje(mada,neiobavezno)dasezavisnost,HP= f(QP),aproksimiraparabolom:HP= H0 + AQ2P+ BQP, (2.53)gdejeparametarAuveknegativan. Parametriuprethodnomizrazuzaviseod tipa pumpi u crpnoj stanici, njihovog broja, kao i od toga kako su pumpepovezane, serijski ili paralelno, ocemucebiti reci i uPoglavlju8. Viseopumpama i crpnim stanicama, moze se naci u knjizi Radojkovic i dr. (1989).Funkcionalnazavisnost (2.53), mozeselinearizovati, cimeseuklapauprikazaniracunskialgoritam.Za cev na kojoj se nalazi pumpa (slika 2.14), sa smerom tecenja od cvora(i)ka cvoru(j),mozesenapisatiij + HP= rijQij|Qij| . (2.54)2.4. Posebnielementimreze 65Slika2.13: Karakteristikejednecentrifugalnepumpeij + (H0 + AQ2ij + BQij) = rijQij|Qij|Slika2.14: Crpnastanicanacevi(ij)66 Poglavlje2. UstaljenotecenjeucevimaLinearizacijomizrazadobijase(k+1)= (k)+_2rij|Qij| (2AQ(k)ij+ B)_(Q(k+1)ijQ(k)ij) , (2.55)gdeje = ij. Nakraju,zaproticajunarednojiteracijidobijaseQ(k+1)ij=(k+1)i(k+1)j+ rijQ(k)ij |Q(k)ij | + (H0A(Q(k)ij)2)2rij|Q(k)ij | (2AQ(k)ij+ B). (2.56)(k+1)ii (k+1)jsupijezometarske kote na uzvodnomi nizvodnomkraju cevi,koje se resavajuuunutrasnjemiterativnomciklusumetodomsukcesivnihnadrelaksacija.Clan (2AQp+B) je manji od nule, tako da bez obzira na znakminus uimeniocujednacine(2.56), nemaopasnosti oddeljenjasanulom.Ukolikoje(ij +H0)manjeodnule,dobiobiseproticajunegativnomsmeru. Tada se usvaja da je proticaj kroz pumpu jednak nuli, sto se tehnickiobezbedjujepostavljanjemnepovratnogventilaucrpnojstanici.Ako je cev na kojoj se nalazi pumpa kratka, i ako je gubitak energije mali,((k+1)i(k+1)j),jepribliznojednakoH(k+1)PpasemozenapisatiQ(k+1)P=H(k+1)P2AQ(k)P+ B+A(Q(k)P)2HP02AQ(k)P+ B. (2.57)Kadajecvor (i), zakoji pisemojednacinukontinuiteta, nizvodni cvorzacevnakojojjepumpa, izraz(2.56)trebapromeniti, jerjeproticajkrozpumpu negativan proticaj za cvor (i). Ako je (ji +H0) manje od nule,energijakojupumpadodajeuidunijedovoljnadaobezbedi tecenjekrozpumpudaseusvajadajeproticajjednaknuli.MozesepokazatidasledeciizrazvazizaobaslucajaQ(k+1)ij=(k+1)i(k+1)j+ rijQij|Qij| + (H0AQij|Qij|)2rij|Qij| (2A|Qij| + B), (2.58)gdeje=+1, kadajecvor(i)nauzvodnomkrajucevi, a= 1, kadajecvor(i)nanizvodnomkrajucevi.Kaokodostalihiterativnihmetodaresavanjasistemajednacinai ovdejepotrebnoimati nekupocetnuvrednost. Zacevnakojoj senalazi crpnastanica,mozesepretpostavitidapocetniproticajodgovaraHP= H0/2.Bibliograja 67Cevisacrpnimstanicama,kodkojihsuzajednickekarakteristikepumpiaproksimiranekvadratnomparabolom(2.53), neuticunakonvergencijuit-erativnog postupka. Potrebno je samo obezbediti da je (A Q2+B Q) uvekmanjeodnule. Kodmetodeprstenovatonijeslucaj. Crpnestaniceznatnousporavajukonvergenciju,anekadajeipotpunoonemogucavaju.Metoda prstenova i -metoda imaju svoje prednosti i mane koje suprilicnoizbalansiranekadaseradi ojednostavnimelementimamreze, kaostosutocevi, cvorovi i rezervoari. Kadasepredjenaslozenijeelemente,-metodapostajesuperiorna,stoobjasnjavacinjenicudajeonaugradjenauvecinukomercijalnihprogramazaanalizuradadistribucionihmreza.Bibliograja[1] AbramovN.N.,1974,Vodosnabzenie,Stroiizdat,Moskva.[2] AllenT., DitsworthR.L., 1972, FluidMechanics, McGraw-Hill Ko-gakushaTokyo.[3] BERMAD, Bermad control valves for waterworks, industrial & irrigationapplications,Evron,Israel.[4] EppR.,FowlerA.G.,1970,Ecientcodeforsteady-stateowsin