4

1. Halmazok és halmazok számossága.Halmazmûveletek és logikai mûveletek kapcsolata.

Vázlat:I. Halmazok, részhalmazok

n elemû halmaz részhalmazainak számaII. Halmazok számossága: véges, végtelen (megszámlálhatóan, illetve nem megszámlálhatóan

végtelen) halmazokIII. Halmazmûveletek (komplementer, unió, metszet, különbség, Descartes-szorzat), mûveletek

tulajdonságaiIV. Logikai mûveletek (tagadás, diszjunkció, konjunkció), mûveletek tulajdonságaiV. Halmazok és logikai mûveletek kapcsolata

VI. Alkalmazások

Bevezetés:A halmazelmélet a matematikán belül viszonylag új területnek számít, precíz kidolgozására csaka XIX. század végén került sor. Ahhoz, hogy a halmazelmélet önálló tudományággá váljon, annaka felismerése kellett, hogy a matematika minden ága különbözõ halmazokkal foglalkozik.

Kidolgozás:

I. Halmazok, részhalmazok

A halmaz és a halmaz eleme alapfogalom, ezeket a kifejezéseket nem definiáljuk. De a halmazmegadásának szigorú követelménye van: egy halmazt úgy kell megadnunk, hogy minden szóbajöhetõ dologról egyértelmûen eldönthetõ legyen, hogy az adott halmazhoz tartozik vagy sem.A halmazokat nyomtatott nagybetûvel, a halmaz elemeit kisbetûvel jelöljük a következõ módon:A = a; b; c, ebben az esetben a ŒA, x œA.

Halmaz megadási módjai:

• Elemeinek felsorolásával: A = 0; 2; 4; 6• Az elemeit egyértelmûen meghatározó utasítással: B = egyjegyû páratlan számok• Szimbólumokkal: A = xΩx2 - x - 6 = 0, B = xΩx2 > 9• Venn-diagrammal:

A

1

2

DEFINÍCIÓ: Két halmaz egyenlõ, ha ugyanazokat az elemeket tartalmazzák.

DEFINÍCIÓ: Az elem nélküli halmazt üres halmaznak nevezzük.Jele: vagy ∆.

DEFINÍCIÓ: Az A halmaz részhalmaza a B halmaznak, ha A minden eleme a B halmaznak is eleme.Jele: A Õ B.

5

DEFINÍCIÓ: Az A halmaz valódi részhalmaza a B halmaznak, ha A részhalmaza a B-nek, de nemegyenlõ vele.Jele: A Ã B.

Tulajdonságok:• Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza: ∆ Õ A.• Minden halmaz önmaga részhalmaza: A Õ A.• Ha A Õ B és B Õ A, akkor A = B.• Ha A Õ B és B Õ C, akkor A Õ C.

TÉTEL: Az n elemû halmaz összes részhalmazainak száma: 2n (n ŒN).

BIZONYÍTÁS I.: A bizonyítást teljes indukcióval végezzük, amelynek lényege, hogy elõször belát-juk egy konkrét n esetére az állítást, majd azt mutatjuk meg, ha az állítás igaz egy tetszõlegesn-re, akkor igaz az õt követõ (n + 1)-re is, azaz bizonyítjuk az állítás öröklõdését.Az üres halmaznak egyetlen részhalmaza van: önmaga (20 = 1).Egy egyelemû halmaznak 2 részhalmaza van: az üres halmaz és önmaga (21 = 2).Egy kételemû halmaznak 4 részhalmaza van: az üres halmaz, 2 egyelemû halmaz és önmaga(22 = 4).Tegyük fel, hogy egy k elemû halmaznak 2k db részhalmaza van. Bizonyítani kell, hogy ezöröklõdik, vagyis egy (k + 1) elemû halmaznak 2k + 1 db részhalmaza van.Tekintsük az elõbbi k elemû halmazt. Ekkor ha az eddigi elemek mellé egy (k + 1)-edik ele-met teszünk a halmazba, akkor ezzel megkétszerezzük a lehetséges részhalmazok számát, hi-szen az új elemet vagy kiválasztjuk az eddigi részhalmazokba, vagy nem. Vagyis a (k + 1)elemû halmaz részhalmazainak száma 2 ◊ 2k = 2k + 1, amit bizonyítani kívántunk.

BIZONYÍTÁS II.: Az n elemû halmaznak 0n⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

db 0 elemû, 1n⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

db 1 elemû, 2n⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

db 2 elemû, …

1n

n⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

db n - 1 elemû, nn⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

db n elemû részhalmaza van, mert n elembõl k db-ot kiválasztani

nk⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

-féleképpen lehet.

Így az összes részhalmazok száma: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠...

0 1 2 1n n n n n

n n.

Vizsgáljuk meg n2 -t:

( ) 0 1 1 2 2 1 1 02 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 10 1 2 1

nn n n n n nn n n n nn n

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠, ami

egyenlõ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠...

0 1 2 1n n n n n

n n-nel a binomiális tétel miatt.

II. Halmazok számossága

DEFINÍCIÓ: Egy A halmaz számossága az A halmaz elemeinek számát jelenti. Jele: ΩAΩ. Egyhalmaz számossága lehet véges vagy végtelen.

DEFINÍCIÓ: Egy halmaz véges halmaz, ha elemeinek számát egy természetes számmal megadhat-juk. Ellenkezõ esetben, azaz ha a halmaz elemeinek számát nem adhatjuk meg természetesszámmal, akkor végtelen halmazról beszélünk.

6

DEFINÍCIÓ: A végtelen halmazok között találhatunk olyat, melynek elemei sorba rendezhetõk,tehát megadható az 1., 2., 3., 4., … eleme. A pozitív természetes számokkal megegyezõszámosságú halmazokat megszámlálhatóan végtelen halmazoknak nevezzük.A megszámlálhatóság és a sorba rendezhetõség egy végtelen halmaznál ugyanazt jelenti.Minden olyan halmaz megszámlálhatóan végtelen számosságú, amelynek elemei és a termé-szetes számok között kölcsönösen egyértelmû megfeleltetés létesíthetõ.Megszámlálhatóan végtelen számosságúak: egész számok, páros számok, négyzetszámok,racionális számok.

DEFINÍCIÓ: A valós számok számosságával megegyezõ számosságú halmazokat nem megszám-lálhatóan végtelen vagy kontinuum számosságú halmazoknak nevezzük. Pl.: irracionálisszámok halmaza, számegyenes pontjainak halmaza, intervallum pontjainak halmaza.

TÉTEL: Számosság és halmazmûveletek kapcsolata (logikai szita): A, B és C véges halmazok szá-mosságára érvényesek a következõk:

ΩA » BΩ = ΩAΩ + ΩBΩ - ΩA « BΩ

Ω A B∪ Ω = ΩUΩ - ΩA » BΩ

ΩA » B » CΩ = ΩAΩ + ΩBΩ + ΩCΩ - ΩA « BΩ - ΩA « CΩ - ΩB « CΩ + ΩA « B « CΩ

III. Halmazmûveletek

DEFINÍCIÓ: Azt a halmazt, amelynek a vizsgált halmazok részhalmazai, alaphalmaznak vagyuniverzumnak nevezzük. Jele: U vagy H.

DEFINÍCIÓ: Egy A halmaz komplementer halmazának az alaphalmaz azon elemeinek halmazát

nevezzük, amelyek az A halmaznak nem elemei. Jele: A . (Fontos tulajdonság: =A A .)

DEFINÍCIÓ: Két vagy több halmaz uniója vagy egyesítése mindazon elemek halmaza, amelyeklegalább az egyik halmaznak elemei. Jele: ».

DEFINÍCIÓ: Két vagy több halmaz metszete vagy közös része pontosan azoknak az elemekneka halmaza, amelyek mindegyik halmaznak elemei. Jele: «.

DEFINÍCIÓ: Két halmaz diszjunkt, ha nincs közös elemük, vagyis a metszetük üres halmaz.A « B = ∆.

DEFINÍCIÓ: Az A és B halmaz különbsége az A halmaz mindazon elemeinek halmaza, amelyeka B halmaznak nem elemei. Jele: A \ B.

DEFINÍCIÓ: Az A és B halmaz Descartes-féle szorzata az a halmaz, amelynek elemei az összesolyan rendezett (a; b) pár, amelynél a ŒA és b ŒB. Jele: A ¥ B.

U

A

AU U

A B

A

B U

A B

Komplementer halmaz Két halmaz uniója Két halmaz metszete

7

U

BA

U

A B

Diszjunkt halmazok A és B halmaz A \ B különbsége

Halmazmûveletek tulajdonságai

Kommutatív(felcserélhetõ)

A » B = B » A A « B = B « A

Asszociatív(csoportosítható)

(A » B) » C = A » (B » C) (A « B) « C = A « (B « C)

Disztributív(széttagolható)

A » (B « C) = (A » B) « (A » C) A « (B » C) = (A « B) » (A « C)

De-Morgan azonos-ságok A B A B∪ = ∩ és A B A B∩ = ∪

További azonossá-gok

A » ∆ = AA » A = AA » A = UA » U = U

=A A

A « ∆ = ∆A « A = A

A « A = ∆A « U = A

IV. Logikai mûveletek

DEFINÍCIÓ: Az állítás (vagy kijelentés) olyan kijelentõ mondat, amelyrõl egyértelmûen el lehetdönteni, hogy igaz vagy hamis.

DEFINÍCIÓ: Az igaz és a hamis a kijelentés logikai értéke.Ha az A állítás igaz, a B állítás hamis, akkor úgy is mondhatjuk, hogy az A logikai értékeigaz, B logikai értéke hamis. Jelekkel: ΩAΩ = i és ΩBΩ = h.Az igaz értéket szokták 1-gyel, a hamis értéket 0-val jelölni.

DEFINÍCIÓ: A kijelentéseket összekapcsolhatjuk. Azokat a kijelentéseket, amelyeket más kijelenté-sekbõl lehet elõállítani, összetett kijelentéseknek nevezzük.

DEFINÍCIÓ: Ha az összetett kijelentések logikai értéke csak az õt alkotó állítások logikai értékétõlés az elõállítás módjától függ, akkor logikai mûveletekrõl beszélünk.A logikai mûveleteket igazságtábla segítségével végezhetjük el.

DEFINÍCIÓ: Az állítás tagadása egyváltozós mûvelet. Egy A kijelentés negációja (tagadása)az a kijelentés, amely akkor igaz, ha A hamis és akkor hamis, ha A igaz.Jele: A vagy ÿA.

DEFINÍCIÓ: Állítások diszjunkciója: logikai „vagy”: Két kijelentés diszjunkciója pontosan akkorigaz, ha legalább az egyik kijelentés igaz, különben hamis.Jele: A ⁄ B.

DEFINÍCIÓ: Állítások konjunkciója: logikai „és”: Két kijelentés konjunkciója pontosan akkorigaz, ha mindkét kijelentés igaz, különben hamis.Jele: A Ÿ B.

8

Logikai mûveletek igazságtáblája

tagadásnegáció

vagydiszjunkció

éskonjunkció

A A A B A ⁄ B A B A Ÿ B

i h i i i i i ih i i h i i h h

h i i h i hh h h h h h

Logikai mûveletek tulajdonságai:

Kommutatív(felcserélhetõ)

A ⁄ B = B ⁄ A A Ÿ B = B Ÿ A

Asszociatív(csoportosítható)

(A ⁄ B) ⁄ C = A ⁄ (B ⁄ C) (A Ÿ B) Ÿ C = A Ÿ (B Ÿ C)

Disztributív(széttagolható)

A ⁄ (B Ÿ C) = (A ⁄ B) Ÿ (A ⁄ C) A Ÿ (B ⁄ C) = (A Ÿ B) ⁄ (A Ÿ C)

De-Morgan azonos-ságok A B A B∨ = ∧ és A B A B∧ = ∨

További azonossá-gok

A ⁄ A = AA ⁄ A = i

=A A

A Ÿ A = AA Ÿ A = h

V. A halmazok és a logikai mûveletek kapcsolataA definíciókból és a mûveleti tulajdonságokból látható, hogy sok hasonlóság van a halmazok ésa kijelentések, valamint a velük végezhetõ mûveletek között.Az alaphalmaz részhalmazai és a kijelentések egymásnak megfelelõ fogalmak. A mûveleteknéla halmazok uniójának a kijelentések közti diszjunkció (logikai vagy), a halmazok metszeténeka kijelentések közti konjunkció (logikai és), a komplementer halmaznak a kijelentés tagadása felelmeg.A halmazoknál az unióképzés és a logikai kijelentéseknél a diszjunkció azonos mûveleti tulajdon-ságokkal rendelkeznek. Hasonlóan a halmazoknál a metszetképzés és a logikai kijelentéseknél akonjunkció tulajdonságai megegyeznek. Ugyanígy a halmazoknál a komplementer képzése, vala-mint a kijelentéseknél a tagadás azonos tulajdonságokkal rendelkeznek. Így mondhatjuk, hogy ahalmazoknál az unió-, a metszet- és a komplementer-képzés hasonló struktúrát alkot a matematikailogikában a diszjunkció, a konjunkció és a negáció mûveletekkel. Az ilyen típusú struktúra neveBoole-algebra. Hasonló struktúrája van az eseményalgebrának. Ha valamilyen állítást bebizonyí-tunk halmazokra, kijelentésekre (és eseményekre), akkor az állításnak a megfelelõje igaz a másikkét területen is.

VI. Alkalmazások• Biológiában a rendszertan, kémiában a periódusos rendszerbeli csoportosítás is halmazel-

méleti fogalmak. Mûveletek: melyik csoport melyiknek részhalmaza?• Vércsoport szerint az emberek különbözõ halmazokba sorolhatók. Mûveletek: ki kinek adhat

vért?• Európa országai hivatalos nyelvük alapján halmazokba sorolhatók. Mûveletek: melyik or-

szágban hivatalos nyelv az angol vagy a német?

9

• Az érettségin a nem kötelezõ tárgyak választása szerint is halmazokba sorolhatók a vizsgá-zók. Mûveletek: ki vizsgázik kémiából és biológiából is?

• A halmazelmélethez hasonlóan épül fel az eseményalgebra és a matematikai logika.• A függvényekkel kapcsolatban is használjuk a halmazokat (értelmezési tartomány, érték-

készlet).• Egyenletek értelmezési tartományának vizsgálatakor számhalmazok metszetét képezzük.