1

*** HALMAZOK ***

A HALMAZ ÉS MEGADÁSA

A HALMAZ FOGALMA

Magát a halmaz fogalmát nem definiáljuk,ugyanúgy mint ahogyan a "pontra", vagy a geometriai "egyenesre" sem adunk meghatározást. Elfogadjuk. Tetszőleges dolgok (objektumok) összességét halmaznak tekintjük; a "halmaz„ szó mintegy szinonimája a köznyelvben használt "összesség", "sokaság" stb. kifejezéseknek. Az összességbe tartozó egyes dolgok a halmaz elemei.

2

Venn-diagram:

Hh

Üres halmaz: .

Ha adott egy H halmaz, és annak h egy eleme, akkor ezt így jelöljük:

Ha az jelet áthúzzuk, azaz -t írunk, az azt jelenti, hogy nem eleme a halmaznak.

Hh

3

. HKKH

HALMAZ ÉS RÉSZHALMAZA.KH

Tulajdonságok:

HH (reflexivitás)

(antiszimmetria)

. és LHLKKH (tranzitivitás)

Valódi részhalmazok. .KH Példa. Legyen K = {egész számok}; H = {páratlan egész számok}. Nyilván .KH

4

MŰVELETEK HALMAZOKKAL Egyesítés (jele: ).A H és K halmazok egyesítése (összege vagy uniója) : H K = {x|xH vagy xK.

P(H): egy H halmaz hatványhalmaza.n elemű halmaznak 2n részhalmaza van.Példa. Legyen H ={a,b,c}, akkor P(H) ={,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}, {a,b,c}}.Alaphalmaz. X-szel jelöljük.

Metszet (jele: ).

A H és K halmazok metszete (közös része,

vagy szorzata): H K = {x|xH és xK}.

5

Megjegyzés. Ha H K = , H és K diszjunktak

vagy idegenek.

Különbség (jele: – ). A H és K halmazok különbsége:

H – K = {x| x H és x K}.

Azonosságok: HH = H (idempotencia)HK = KH (kommutativitás)H(KL)=(HK)L (asszociativitás)

6

Azonosságok:

1. H - K H 2. (H - K) K =

3. H - K = H, akkor és csak akkor, ha HK=

. és | KxXxxK

A

Halmaz komplementere. X – K halmaz a K kiegészítő (komplementer) halma-za.

Példa. A = {a, b, c, d, e}, X={a magyar ábécé betűi}.

= {a magyar ábécé betűi az a, b, c, d, e betűk kivételével}.

7

.LHKHLKH

LHKHLKH

Azonosságok:

.

Morgan De ;

Morgan De ;

;

;

;

KHKHKH

KHKH

KHKH

HH

XXHHXH

HHH

XHHHH

8

RELÁCIÓKRENDEZETT n-ESEKRendezett pár. z=(x,y) Rendezett pár transzponáltja: (x,y) (y,x).u = (x, y) és v = (a, b). u=v x=a és y=b. Rendezett n-es. (a1, a2,...,an)-nel jelöljük. (a1,a2,...,an)=(b1,b2,...,bn) a1 = b1, a2=b2, ..., an= bn.

Példák. 1. A sík pontjainak koordinátái. 2. Rendezett hármas a (Kovács, István,14112250138).3. Rendezett "n-es" egy család (hármas, négyes,stb, pl.: apa, anya, gyerek1, gyerek2).

9

HALMAZOK DIREKT SZORZATADEFINÍCIÓ. A és B direkt szorzata: A B (A kereszt B), (x, y)A B x A és y B.

1. Példa. Ha A = {a, b, c} és B = {x, y}, akkor A B={(a, x), (b, x), (c, x), (a, y), (b, y), (c, y)}. B A={(x, a), (x, b), (x, c), (y, a), (y, b), (y, c)}.Látható, hogy A B B A.2. Példa. Ha V a vezeték- , K a keresztnevek, A az adó- számok halmaza, akkor (Kovács, István,14112250138) V K A egy eleme.

Megjegyzés. Descartes-szorzat elnevezés.

10

Megjegyzés. A direkt szorzatra érvényesek

az alábbi tulajdonságok.

1.

2.

3.

4.

)()()( CABACBA

)()()( CABACBA )()()( CBCACBA )()()( CBCACBA

Több halmaz direkt szorzata is képezhető.Példa. Legyen R a valós számok halmaza. Az RR szorzat nyilván a síkbeli koordinátarendszer pontjait adja.

11

RELÁCIÓK

DEFINÍCIÓ. Az A1, A2,...,An halmazok A1A2 ... An

direkt szorzatának egy részhalmazát n-változós

relációnak nevezzük és R-rel jelöljük,azaz

R A1 A2 ... An.

A reláció tehát rendezett n-esek halmaza. Ai -t

a reláció i-edik tartományának nevezzük.

12

név (N), születési-dátum (D), matematikaosztályzat (M). NDM

Kovács Pál 72.05.06 5

Nagy Péter 70.06.18 3

Kiss Ida 80.02.23 4

. . .

. . .

Relációs adatbázis.

13

BINÉR RELÁCIÓK

Jele: aRb.

PÉLDÁK

1. Példa. Binér reláció a számok közötti

egyenlőség, a kisebb, a nagyobb reláció azaz:

a = b, a < b, a > b.

2. Példa. xRy: "x szülője y-nak”

3. Példa. p | a: "p osztója a-nak”

Az xRy reláció értelmezési tartománya az {x} halmaz, képtartománya az {y} halmaz.

14

Reláció inverze: xRy inverze yR’x.PÉLDÁK inverz relációra:1. Ha az R a "szülője" reláció, akkor R' a "gyermeke” kapcsolatot fejezi ki.2. A kisebb reláció inverze a nagyobb: a < b b > a. 3. Az = reláció inverze önmaga, mivel x=y y=x.

A binér reláció tulajdonságai:.

1. R reláció reflexív: ha xRx. Ha nem, irreflexív.

Példa. A reláció reflexív, mert x x.

A < reláció irreflexív, mert x < x nem teljesül.

15

2. R szimmetrikus, ha xRyyRx, ellenkező esetben aszimmetrikus.Ha xRy és yRx x=y, akkor antiszimmetrikus.Példa. Az = reláció szimmetrikus, hiszen x=y ugyanazmint y= x. (antiszimmetrikus is.)3. R tranzitív, ha xRy, yRz xRz. Példa. A < reláció tranzitív. (a<b, b<c a<c)EKVIVALENCIA ÉS RENDEZÉSa) Ekvivalencia Egy X alaphalmaz elemei közt értelmezett R relációt ekvivalencia-relációnak nevezünk, ha R reflexív, szimmetrikus és tranzitív. Jelölése: x ~ y.

16

Tulajdonságai:

1. x ~ x

2. (x ~ y) (y ~ x)

3. (x ~ y és y ~ z) (x ~ z)

Példák.1. A valós számok körében értelmezett egyenlőség. a) a=a b) a=b b=a c) a=b, b=c a=c2. Ha egy ház lakóinak halmazát H-val jelöljük, akkor az "x ugyanabban a házban lakik, mint y”

17

Egy X alaphalmaz elemei közt értelmezett R

relációt akkor mondunk parciális (vagy

részben) rendezési relációnak, ha R reflexív,

antiszimmetrikus és tranzitív. Jelölése: x y.

(olv. x megelőzi y-t)

1) x x;

2) (x y és y x) (x =y)

3) (x y és y z) (x z)

18

PÉLDÁK1. Példa. A természetes számok N halmazában az oszthatóság rendezési reláció.

2. Példa. Egy X halmaz részhalmazainak halmaza:P(X). A tartalmazás binér relációja nyilván rendezési reláció.

3. Példa. Legyen N a természetes számok halmaza. Ez a halmaz a "" relációval rendezett halmaz: N ={1,2,3,4,...}.

Megjegyzés. A bináris relációk, mint halmazok között elvégezhetők a szokásos halmazműveletek.

Legyenek R1 és R2 bináris relációk. Akkor

21 RR 21 RR 21 RR 1R

szintén bináris relációk.

19

FÜGGVÉNYEK

A FÜGGVÉNY FOGALMA

DEFINÍCIÓ. Legyen az f reláció első tartománya X,

második tartománya Y, és tegyük fel, hogy

minden xX-hez pontosan egy olyan yY

létezik, melyre xfy. Ekkor f minden X-beli x

elemhez egy jól meghatározott yY elemet rendel.

Jelöljük ezt az y-t f(x)-szel, azaz y = f(x). Az ilyen relá-

ciókat X-ből Y-ba képező függvényeknek vagy leké-

pezéseknek nevezzük.

20

X: f értelmezési tartománya, jele: Df

Y: f képtere (értékkészlete), jele: Rf

f függvény: f : x y, vagy x y

XY

f

Az x elemhez tartozó értéket f(x)-szel jelöljük,

és azt mondjuk, hogy f(x) az x elem képe.

21

és z Z és létezik olyan yY,

hogy y=f(x), z=g(y)}. Tegyük fel, hogy RfDg. A gfreláció egy függvény és összetett függvénynek hívjuk.

Xxzxfg ),{(DEFINÍCIÓ. f: X Y, és g: Y Z két függvény.

AZ ÖSSZETETT FÜGGVÉNY

A függvény grafikonja

Jelölje f(X) az X-beli elemek képeinek halmazát Y-ban.

Nyilvánvalóan f(X)Y. Legyen f: XY és legyen X’ részhalmaza X-nek, azaz

legyen X’ X. Akkor az {f(x)|xX’} halmazt az f

grafikonjának nevezzük.

22

DEFINÍCIÓ. Ha f injektív leképezés, akkor az f(X)

képhalmaz minden y eleméhez egyértelműen hozzá

tudjuk rendelni az y egyetlen ősképét,

vagyis az egyetlen olyan xX elemet,

melyre f(x)=y. Így egy újabb leképezést nyerhetünk,

melynek értelmezési tartománya f(X), képtere pedig X.

Ez a függvény az f inverze, és f -1 -gyel jelöljük.

A FÜGGVÉNY INVERZEHa az f függvény olyan, hogy különböző elemek képekülönböző, azaz xl x2 esetén f(xl) f(x2), akkor azt mondjuk, hogy az f függvény injektív.

23

X Yf- -1

Nyilvánvaló, hogy minden xX-ra f-1(f(x))=x és minden y f(Y)-ra y=f(f -1(y)).