演習問題の解答例　　1

第1章

k tT

T TT Td

dd

0

3

0100

700100

70

∫ ∫= −−

= − −( )( )(

lnln

ln ))∫

( ln ln . , .3100 3070 30

7040

0 55962 0min)× = −−

= = =k k 11865 1min−

この値および題意の値を先の積分形に代入して

tk

TT T

= −−

= −−∫ −

1 10 1865

100 3031 30100

31

1

dmin.

ln00

22 8= . min

∂∂

=−

PT

nRV nbV

，∂

∂∂∂

= ∂

∂ −

V

PT V

nRV nbV T TT

nR

V nb= −

−( )2 ，∂∂

= −−( )

+PV

nRT

V nb

n a

VT2

2

3

2，

∂∂

∂∂

= ∂

∂−

−+

TPV T

nRT

V nb

n a

VT V ( )2

2

3

2

= −

−( )T

nR

V nb 2 となり，交差微分導関数が等しいから，dPは完

全微分である．

f（x）＝ln（1＋x）とすると，マクローリン級数展開の定理（1.8節）により，

f x ff

xf

xf

nx

nn( ) ( )

( )!

( )!

( )!

= + ′ + ′′ + +00

10

202

となる．いまの場合，f（0）＝0， ′( ) =+( )( )

=+

f xx

x xd

dln 1 1

1，

′′( ) =+

= −+( )

f xx

xx

11

1

1 2/ d であるから f ′（0）＝1，f ′′（0）＝1となる．

したがって， ln( )12

2

+ = − +x xx

と展開でき，0 ＜ x 1のとき，

ln（1＋x）≃ xと近似できる．同様に ln（1－x）≃－xとなる．

f（x）＝e xとして，式（1.54）に代入すると

ex x x x

nx

n

= + + + + +11 2 3

2 3

! ! ! !

x＝1を代入して，

en

x = + + + + + + +

= + + +

111

12

13

14

15

1

1 1 0 5 0 16

! ! ! ! ! !

. .

�

6666 0 04166 0 00833 2 72+ + +. . .��

式（1）の右辺と式（2）の右辺を等しくするために，式（2）を xで微分して x＝1を代入すると式（5）が得られる．

np q px r C p q xnn r

r n r

r

nr( )+ =− −

=

−∑1

0

1 （4）

1.5

1.6

1.7

－0.5

－0.5

2

1

0

－1

－2

－3

－4

－5

2

1

0

－1

－2

－3

－4

－5

0 0.5 10－1 0.5 1

1.8

1.9

演習問題の解答例（注1）

（注1）各章の説明問題の解答例は割愛し，演習問題の解答例のみ記載する．

2　　演習問題の解答例

np q p np r C p qnn r

r n r

r

n

( )+ = =− −

=∑1

0 （5）

式（5）を式（1）に代入し，E（x）≡ m＝npが得られる．

次に，式（4）に xをかけて xで微分すると

np q px x r C p q x rb n rnn r

r n r

r

nr

r

n

( ) ( , )+ = =− −

= =∑ ∑1

0 0

xx

np n p q px x q px r b n r

r

n n

r

( ) ( ) ( ) ( , )− + + +{ } =− −1 2 1 2

==

−∑0

1n

rx （6）

式（6）に x＝1を代入し式（3）を得る．ここで，分散 σ2の定義に対して，各項を代入すると，

σ 2 2

0

2

0

2≡ − = −= =∑ ∑( ) ( , ) ( , ) ( ,r m b n r r b n r m rb n rr

n

r

n

)) ( , )

( , ) (

r

n

r

n

r

n

m b n r

r b n r m m

= =

=

∑ ∑

∑

+

= − +

0

2

0

2

0

2 22 ∵∵m rb n r b n r

r b n r

r

n

r

n

r

= =

=

= =

=

∑ ∑( , ), ( , ) )

( , )

0 0

2

0

1

nn

np m np

np n p np

n

∑ − =

= − +{ } −

=

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

21 1

∵

∵

pp p npq( )1 − =

式（3）

（7）

となる．したがって， σ = npq と証明できる．

最初に 1次元の変数変換

x u（x）

を考える．いま，（x0, x0＋dx）の微少区間を考えると，

x0 u（x0）

x x0 + d

u x x u xux

xx

0 00

+( ) = ( ) + ∂∂

d d

すなわち，

dx d duux

x= ∂∂

となる．次に，2次元の変数変換 x, y u（x, y）, v（x, y）を考える．

x

y

D C

A B

D´

C´

A´

B´

x0＋dx

y0＋dy

y0

x0u

v

x0, y0 u（x0, y0）, v（x0, y0）　　　（A A´）

x0＋dx, y0 u（x0＋dx, y0）, v（x0＋dx, y0）　　　（B B´）

1.10

演習問題の解答例　　3

u x yux

x v x yvx

xx y x y

0 0 0 00 0 0 0

, , ,, ,

( ) +∂∂

( ) +∂∂

d d

x0＋dx, y0＋dy u（x0＋dx, y0＋dy）, v（x0＋dx, y0＋dy）　　　（C C´）

u x yux

xuy

y v x yvx

xv

0 0 0 0, , ,( ) +∂∂

+∂∂

( ) +∂∂

+∂∂

d d dyy

yd

x0, y0＋dy u（x0, y0＋dy）, v（x0, y0＋dy）　　　（D D´）

u x yuy

y v x yvy

y0 0 0 0, , ,( ) +∂∂

( ) +∂∂

d d

v3

v1

v2

0 u1 u2 u3A′

B′

D′

C′

面積 S（ABCD）および S（A´B´C´D´）は，

S（ABCD）＝dxdy

S u vu v u v v v u u

′ ′ ′ ′( ) = − − −+( ) −( )

A B C D 3 32 2 1 1 2 3 3 2

2 2 22 21 3 3 1−

+( ) −( )u u v v

uuy

y uux

x uux

xuy

y u u1 2 3 1 2= ∂∂

= ∂∂

= ∂∂

+ ∂∂

= +d d d d, ,

vvy

y vvx

x vvx

xvy

y v v1 2 3 1 2= ∂∂

= ∂∂

= ∂∂

+ ∂∂

= +d d d d, ,

S u u v vu v u v v

′ ′ ′ ′( ) = +( ) +( ) − − −+

A B C D 1 2 1 22 2 1 1 2

2 22 vv u u u v

u v

1 1 1 2 2

1 1

22

2

112

12

1 1

( )−

+( )

= − −

+ − − 11 112

121 2 2 1 2 2 2 1 1 2( ) + + − −

= −

= ∂

u v u v u v u v u v

uux

vy

uy

vx

x y

ux

uy

vx

v∂∂∂

− ∂∂

∂∂

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

d d

yy

x y J x yd d d d≡

すなわち，変換後の微少領域の面積は元の | J |倍となっている．このとき行列式 | J |は u, vの x, yに対する

ヤコビアン（Jacobian）とよばれ，

Ju vx y

= ∂∂( , )( , )

とも書かれる．

①変数変換の場合，例えば極座標の場合 x＝r cos θ，y＝r sin θのように u, v x（u, v）, y（u, v）の形で書かれ

ることが多い．（u＝r, v＝θ）上の議論で，x, yと u, vを入れ替えると，

1.11

4　　演習問題の解答例

Sxu

yv

xv

yu

u v

x

( )′ ′ ′ ′ = ∂∂

∂∂

− ∂∂

∂∂

=

∂∂

A B C D d duu

xv

yu

yv

u vx yu v

u v

∂∂

∂∂

∂∂

= ∂∂

d d d d( , )( , )

以下のように近似する．

S x y( )′ ′ ′ ′A B C D d d

d d d d dS x yx yu v

u v= = ∂∂( , )( , )

例として極座標の場合をとりあげよう．

d d d d dS x y

xr

x

yr

yr

r= =

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=−θ

θ

θθ θ

θ

cos sin

sin rrr r r

cosθθ θd d d d=

この式は，極座標系における面積素辺は，dr×rdθであることから容易に理解できる．

dθ drr

② 3次元の場合も，ヤコビアンを ∂（x, y, z）/∂（u, v, w）と定義すればよい．以下の図に示す球座標の場合，

u＝r，v＝θ，w ＝fであり，変換は x＝r sin θ cos f，y＝r sin θ sin f，z＝r cos θによりなされる．図より，

dV＝dr×rdθ×r sin θ dfとなることが直感的に理解できる．

ヤコビアンで求める場合は以下のようになる．

d d d d d d dV x y z J r

xr

x x

yr

y y= = =

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂

θ φ

θ φ

θ φ

zzr

z z

r

r r

∂∂∂

∂∂

=

−

θ φ

θ φ

θ φ θ φ θ

d d d

sin cos cos cos sin siin

sin sin cos sin sin cos

cos sin

φ

θ φ θ φ θ φ

θ θ

r r

r

r

− 0

d dd dθ φ

演習問題の解答例　　5

J r r r= + +2 2 2 2 2 2 2 2cos sin cos sin sin sin cosθ θ φ θ θ φ θ ssin sin sin sin cos

sin sin c

θ φ θ θ φ

θ θ

2 2 2 2

2 2 2

+

= +

r

r r oos sin

sin

2

2

θ θ

θ= r

d d d dV r r= 2 sin θ θ φ

ヤコビアンをもう一度定義しておこう．n個の独立変数の xi,（i＝1, 2, 3, …, n）の関数 uiが n個ある ui（x1, x2,

x3, …, xn）（i＝1, 2, 3, …, n）とする．ヤコビアンは以下のように定義される．

∂∂

=

∂∂

∂∂

( , , , , )( , , , , )u u u ux x x x

ux

u

n

n

1 2 3

1 2 3

1

1

1

…

…

xxux

ux

ux

ux

ux

ux

n n2

1

3

1

1

1

2

1

2

2

2

3

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−�

�∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂

−

− −

ux

ux

ux

ux

ux

n n

i

j

n n

2

1

2

1

1

1

2

� � � � �

uux

ux

ux

ux

ux

u

n n

n

n

n

n n n

− −

−

−

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

1

3

1

1

1

1 2

�

xxux

ux

ux

n

n

n

n

i

j

3 1�

∂∂

∂∂

=∂∂

−

det

{ui}が {yi}を媒介して {xi}の関数であれば（また，{ui}, {yi}, {xi}は独立であるとする），

∂∂

=∂∂

∂∂=

∑ux

uy

yx

i

j

i

k

k

jk

n

1

これはある意味 n行×n列の行列の積 C＝ABとみなせる．それぞれの行列式は

det C＝det（AB）＝（det A）（det B）

したがって，

∂∂

=∂( , , , , )

( , , , , )( , ,u u u u

x x x xu u un

n

1 2 3

1 2 3

1 2 3

,, , )( , , , , )

( , , , , )(

uy y y y

y y y yx

n

n

n

∂∂∂1 2 3

1 2 3

1 ,, , , , )x x xn2 3

熱力学でよくでてくる偏微分を定義する．uが独立変数（x, y, z, …）の関数 u（x, y, z, …）である．上のヤコビ

アンの定義で u1＝u, u2＝y, u3＝z, … x1＝x, x2＝y, x3＝z, …としてヤコビアンを求めると，x, y, z, …は独立変数

なので，

1.12

1.13

θdr

d��

dθθ

r sin θ

O

z

x

y

6　　演習問題の解答例

∂∂

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂=

( , , , )( , , , )u y zx y z

ux

uy

uz

yx…

…

� � �

�0

∂∂∂

∂∂

= ∂∂= =

yy

yz u

x1 0

0 0 1 0

0 0 0 1 0

� �� � �

� �

�

� � � � � �

したがって，

∂∂

= ∂∂

ux

u y zx y zy z, ,

( , , , )( , , , )

第2章

a） xmoldm

1 dm(10 cm)

1000 mmol1 m3

3

3

×

×

oolmmolcm3

= x

b） 5 4 184 182.7 10calg

Jcal

gmol

×

×

×

.

= ×4 3 104.J

mol

c） 11

3.6g

cmkg

10 g10 cm

1 m3 3

6 3

3

×

×

= ×1 36 104.

kgm3

d）1 kWh＝103 W × 3600 s＝3.6 MJ

① J K－1 mol－1　② 25 °C　③ v/m s－1　④ 3 nm

m na

ba b a b M/ ( / ) ( / )= = =g

molg

molより，モル質量M

※分子量ではないことに注意．

PFA

mA

hh

mhV

h= = ×

= = = ×g ggρ 1.35951 10

kgm

43

× ×

=( . .0 760 9 80665m)ms

101325 Pa2

RPVT

= =×( ) × ( ) ×−1 000 10 24 795 1

3

. .Pa dm molm

10 dm3

3 33

KJ mol K

= − −

298 158 315 1 1

..

1 10 10 10 10 102 3 2 3hPakg

m sg

kgm

cmg

cm s2 2= × × = =− −− −× = =3 6 310 10 1

dyncm

bar mbar2

したがって，PA＝1000 hPa＝1 bar

m = =

×

= =1 N kg m

ss

mkg 10

2

2

g1

9 800 102

.. 22 g

式（2.17）に代入して， F Gm m

r= =

×( ) × ( )− −1 2

2

11 2 26 670 10 1 00. .N m kg kg

1.

2

000 10 mN

2×( )

= ×−

−

3

56 670 10.

2.7

2.8

2.9

2.10

2.11

2.12

2.13

2.14