0 1!324 56 7'faculty.nps.edu/fxgirald/postscript/dgm_sphere.pdf · B£ B p¨; Q£S b¡' 9 B ' b J L...

28

Transcript of 0 1!324 56 7'faculty.nps.edu/fxgirald/postscript/dgm_sphere.pdf · B£ B p¨; Q£S b¡' 9 B ' b J L...

Page 1: 0 1!324 56 7'faculty.nps.edu/fxgirald/postscript/dgm_sphere.pdf · B£ B p¨; Q£S b¡' 9 B ' b J L £b ! L .¡% < L L .¡% < L B ' % G _ b B 7 B£ B ³ ´ L ] T§

������������ ���������������������� ��!#"$�%!'&(�)&(�+*,���-���/.0�1!324�5"6�7���'�8 ���9":�(�<;='�(���>��������;�?���@�-��A BC�D"E���GFIHJ&?� "6���)!(�

K5LNMOLQP7RTS%UWVTXZY\[^]%_N`QLNaELNb#ced@f1gNU�hickjQl#UmjNXon0LZpqUmS%rZsZS1f1YijZt[vuxw1y1w%ze{E|~}�|�w1�����6�\wv���1��w%���1�����i�7�@����|~��|������W���%�v���e�

lv��� y � } � �@�0�����N�v��z � |��$�7w%���k|��6w%� � �~}��\ E���1¡>�O¢i� � y1|���} � �£���>¤Q���1y � �v|~����|��m{�¥6¦�§¨�¨©1§t�� |ª����«>�����7w%� �e|~�:w%� � �~}¬w1���6­��Tw%� � }�� � �~}��x¢i� � y1|~��} � �£� ����ux|~¡O�7|�® � �����W��z �~¯�°~¯e|~��°~¯�|���u���±k²1©%�¨©

³µ´·¶W¸�´v¹�´vº�»6¼#½\¾£¿�½WÀ�Áe¸@Âi´1¸:Âi¾£¹�ÃvÁeºm»�¾£ºmÄ\ÁeÄ\¹:Å ¼kÆ£´%¸�Çm¾ÈºOÉ�´%»�½iÁmÂ�ÊTÁe¸6»�½i´·¹�Á�Æ£ÄW»�¾ÈÁeºÁkÊ·»�½\´�¹�½>¼kÆÈÆ£Á¨ËÌË6¼k»�´1¸?´¨Í�Ä>¼k»�¾£Áeº\¹0Áeº»�½\´�¹�¶\½i´%¸�´�ÎÐÏ�ÁoÁ^Ñ�´%¸�Ã%Á�É�´�Ëx´vÆ£Æ:ÇWºiÁ¨Ë:º¶W¸�Á�Ò\Æ£´vÉ�¹�Ë:¾£»�½�¶/Á�Æȼk¸:¹�¾£º\¿eÄ\Æȼk¸�¾�»�¾£´v¹vÓ>Ëx´ ÃvÁeº\¹�¾ÈÂi´%¸:»�½i´·¹�½>¼kÆ£ÆÈÁ¨ËÔË6¼^»�´%¸:´¨Í�Ä>¼^»�¾ÈÁeº\¹¾£ºIÕ$¼^¸�»�´v¹�¾È¼eº�ÃvÁ�Ák¸@Âi¾£º>¼^»�´v¹vÓZ¼eÄi¿�É�´vº�»�´¨Â?Ë:¾�»�½�¼0Ö�¼k¿e¸@¼kº\¿�´�É(Ä\Æ�»�¾£¶\Æ£¾£´%¸:»�Á0´vº\¹�ÄW¸�´»�½\¼k»6×>Äi¾ÈÂ�¶>¼^¸�»�¾£ÃvÆ£´v¹·¼^¸�´DÃvÁ�ºi¹~»�¸@¼e¾£º\´vÂ�»�Á(»�½\´D¹�¶i½\´%¸�¾£Ã¨¼kÆQ¹�ÄW¸�Ê�¼kÃv´�ÎÏ$½\´$¿eÆÈÁeÒ>¼kÆ\¹�Á�Æ£ÄW»�¾ÈÁeº\¹¬¼k¸�´�¸�´v¶i¸�´v¹�´%ºm»�´vÂ(Ò�Ø#¼5ÃvÁeÆ£ÆÈ´%Ã%»�¾£Á�º�ÁeÊ>ÃvÄi¸�Ñm¾£Æ£¾Èºi´¨¼k¸�Í�Ä>¼eÂW¸�¾�À

Æȼk»�´1¸@¼eÆ£¹'ÊT¸�ÁeÉÙ¼eºÚ¾£ÃvÁe¹�¼e½\´vÂW¸@¼eÆD¿k¸�¾ÈÂNÎ�Û·ºÚ´¨¼kÃ1½ÚÁkÊ(»�½i´v¹�´)´%ÆÈ´%É�´vº�»�¹O»�½i´)Æ£Á�è¼kƹ�ÁeÆÈÄW»�¾£Á�º\¹ ¼k¸�´0¼k¹�¹�Ä\É�´¨Â'»�Á?Ò/´�Ë$´vÆ£Æ�¼e¶i¶i¸�Á¨ÜW¾£É?¼k»�´¨Â'Ò�ØI¼�½\¾£¿e½iÀ�Áe¸@ÂW´%¸ ºiÁmÂ\¼eÆ�ÖQ¼kÀ¿k¸@¼eº\¿e´)¶/ÁeÆ�ØiºiÁ�É�¾È¼eÆ�Ó5ÃvÁ�ºi¹~»�¸�Ä\Ã%»�´vÂÐÊT¸�Á�Éݼµ»�´vº\¹�Ák¸�À�¶i¸�ÁmÂiÄiÃ%»�ÁeÊ�»�½\´�ÖQ´%¿�´vº\ÂW¸�´%ÀÅ ¼kÄ\¹�¹~À�ÖQÁeÒ>¼k»�»�Á)¶/Á�¾£º�»�¹7Ë:½\¾£Ã@½Ð¼kÆ£¹�Áµ¹�Ä\¶i¶\Æ£¾£´v¹�¼)½i¾£¿�½iÀ�Ák¸@Âi´%¸0ÍmÄ\¼�Âm¸@¼k»�Äi¸�´eÎÞÏ$½\´¹�½\¼eƣƣÁ^ËÚË$¼k»�´%¸6´vÍmÄ\¼k»�¾£Á�ºi¹:¼k¸�´5¹�¼k»�¾£¹~ß>´¨ÂO¾£º�¼#Æ£Á�è¼eÆNÂi¾£¹�ÃvÁeº�»�¾ÈºmÄiÁ�Ä\¹x´vÆ£´vÉ�´vº�»xʪ¼e¹�½iÀ¾£Á�º�Ë:¾£»�½�¹�Á�Æ£Äi»�¾£Á�º�Ã%Á�º�»�¾£ºWÄi¾�»�Ø?Ò/´v¾£º\¿7´vºiÊTÁe¸�Ãv´¨ÂOË$´¨¼kÇWÆ�Ø�ÎÏ$½\´�ºmÄ\É�´%¸�¾£Ã¨¼kÆQ´%ÜW¶/´%¸�¾£É�´vº�»�¹vÓi¾£ºWÑ�Á�Æ£Ñm¾Èºi¿?¼0ÃvÁ�É�¶\¼k¸�¾£¹�Á�º�ÁkÊ�Ë$´¨¼kÇ'¼eº\Â�¹~»�¸�Á�ºi¿

ÃvÁeº\¹�´%¸�Ñe¼k»�¾£Áeº(ʪÁk¸�É�¹�¼eº\Â#»�½\´�¾£É�¶>¼eÃ1»�ÁeÊ/Á^Ñ�´1¸�À�¾£º�»�´v¿k¸@¼k»�¾£Á�º7¼eº>ÂDß>Æ�»�´%¸�¾£ºi¿iÓ�Ã%Á�ºißi¸�É»�½i´0´%ÜW¶/´vÃ%»�´¨ÂI½\¾£¿e½iÀ�Áe¸@ÂW´%¸#¼eÃvÃ%Äi¸@¼eÃ1ص¼kº>Â�»�½\´0¶/Ák»�´vº�»�¾�¼kƬÊTÁe¸#Ä\¹�¾£ºi¿�¹�Ä\Ã@½o½i¾£¿�½\Æ�ض\¼k¸@¼eƣƣ´vÆNʪÁe¸�É(Ä\Æȼk»�¾£Áeº\¹à¾Èº�ºmÄ\É�´%¸�¾£Ã¨¼kÆZËx´¨¼k»�½i´%¸5¶i¸�´¨ÂW¾ÈÃ1»�¾ÈÁeºQÎ

á�â1ã'ä?åkæ~çkè�éÌêmë£ì�í%îkï�ð~ë£ï�ñiîkñWì�ò·ó¨ô£õ1ö�÷�ë£ï7ø(õ@ð�ùiî�êZú^ûWô�ð�õ1ö�ì1ú�ùmë£üeùmý-îkö�êWõ@övúeë£í1îeì~ókùWõvê�ö�ó¨ô\ü^ö~ëÈê/ú�ì~ùió^ô�ô£îvþþxó^ð�õ@ö:õ%ÿ�ñió¨ð~ë£îeïWì%úiì��>õ1í1ð~ö�ó¨ôQõ1ô£õ%ø#õ%ï�ð:ø#õ1ð~ùiî�ê/úWì��Wùiõ@ö~ë£ívó¨ô�ükõ%îkø#õ1ð~ö����

����� ������������������n gZc��'U���YWS%RÈf��'Y! #"^sNS1S%ckj\f$"^VTR%��U�f%c�UmjNX)j>s&�'ckS%R'"eUmV)(5c�U�f%gZckS+*ZS%ceX/R,"¨f%R�Yij.-0/�p21435�'Y/X76

ckVªde_?cWL 8NLT_�f1gNcÚY!*�ckSvU�f%R�YijNUmV9/#p21:�'Y/X/ckVªdÞX/cehWceV�Y;*Qc�X r<� f1gNc>=:sZS%Y!*�ceUWj@?5ckj\f1ceS -YWSAJc�X/R�sB��6DC�UWj&8Wc7pc�U�f%gZckS�KNYWS%c�"kUid�f%R�jB8E-F=+?5AJp KG3¨_/f%gZc�/#Umf1RTYWjNUWVH?5ckj\f1ceS4 -YiSI=:j>h>R�S%YWj&6�'ckj\f%UWVH1:S%ceXZR'"^f1RTYWjJ-F/K?5=4143^_NUmjNX)f%gZc9/#U�h�UWVHCDced1ceUWSL"vg�M¬UWrQYiS%Umf1YWSL�N-F/OCIMP3^_QUWS1c0rNUid@c�XYWjQ8WVTYWrQUmVTV%�OXZc�RNjZc�X'dS*�c�"^f1SvUmVT�'c^f%gZY/XZdIU%V�W/_&V�X/_;Y!X/_;Y;Z�[�Lxp�gZRTV�cDf%gZced1c+�'c^f1gNY>XNd\"^Yijif%R�j>sZcf1Y�rQc?c�d1d1ckj\f%RTUWV�f1Y>YiVTd+ -YiSO/#p21$_Zf1gNckRTS#VTR%�'R�f%U�f%R�YijNd#UWS1c�r�c]8iR�jNjZR�jB8�f1YIc��'ckSL8WcWLDKNYWS�YijZcW_f1gNc$R&^/ceX_8iV�YirNUmVT8iS1RªXQ�'U!`Wc�d:UWXZU!*/f1RThWc�d1YWVTs/f%R�Yij�f%c�"vgZjNR'a\sZc�d:hWceSb��"^Y!�_*ZVTc�^�Rc d*�Yid%d1R�rZVTc�U�f

eSf)gihjh0kSl0m�ginpopqrnps+tPu�v0wpgihx

Page 2: 0 1!324 56 7'faculty.nps.edu/fxgirald/postscript/dgm_sphere.pdf · B£ B p¨; Q£S b¡' 9 B ' b J L £b ! L .¡% < L L .¡% < L B ' % G _ b B 7 B£ B ³ ´ L ] T§

y z#{}|H~P�T�G�4���H�����H�H~7���)�\�p~#�#� ��~�|H���#|T�P���

���'�j���&�&�b�b�&���b�_�;�b�;���b�&���L���]�]�<���B�����! &¡%¢;�¤£S�B¡c¥¦��¡'�J�'�!�b¢;��§D£b�����'�����;�_�&�T�b¡'�&¢�¥}�L�!�©¨;�����b�!��b�E T¡'£S�b�L¡'ª&�T�b�� 7§��Q���_�!�L«��]�!�_�&�T�L¡%�&¢¬�&�'���S¥}�;�b��£I���!£I�]­T���<£S�� ��&�b�;ª&�'�]��£I®$¡%�b�¯�;���&¡'�]¨7¡%�B¢��°��]¡%���B��«� T�&�O�b�9�b�&�K¢!�'�!ª����j�;¡'�<�b�]�b§��&�b�T�]��£L£S�;���!�!�%�%§j�b��§D���'���]�!�_�9�B�&¡'�����L¡%�;���&�]�� T�� ¬¡%���b�&�£b�����i�b�����)�L�L�!�B£S¥}�!�L���± �B���²���;�B£S¡, T���L���b¡'�!�B£��B�p¨;�Q£S�b¡'�9�B�'���b�� J�L��£b���!�L���.¡%�<�L� �B�������'�%���G�_���b�B�7 B£����B ³�´���L�]�T§

�b¡,���'�'«>�! &�!�T�b¡'¨!���_���L�&�T &£��+£b�&¡%�L�!ª&�%��¥}�;��µI¶2·��\®$�&¡,���¸����¡'�;����¡'�>�L�&�N�!�����&���!�]«²��¥O�b�&�¢!�'�!ª�����£S�´�����b�����d�!�&�&�L�;�!���E®$�&¡'�%����¨;�]�����!�_¡'�&¢9¡%�L£I¡%�&�B�]�L�]�<�$�%¡'�_¡c�����b¡'�!��£]�¹ �!�<�b¡'�7�&�!�B£_£b�����i�L�L�!�$�]�'�]�_�]�<���_���L�&�T &£Nº ±&»½¼¯¾ �B�p¨;���L���]�]�<�b�'«²ª´�]�]�¸�&�L�!�´�;£b�� ¿¥}�!�

¥}�T�L�&�b�E���'¡%�����L�.À y�Áp ���B ²µÃ¶2·ÄÀ%Å�Æ Â �Q�T T���'£���ÇD�²�b�B��£b���_���b�B�7 B£��b�B�E£b�!�'�T�b¡'�!�J¡,£�ÈB��£�����;�B£S�b�L�B�i�L�� �¡%�N�_�'�T�]�!�d�]�'�]�_�]�<�b§jª7«<§j���%���_�]�<�I�����&�&���Ã���� ¬�L�&�]�.�_���;�S�L¡%�;���!¥��b�&¡,£$�'�7�����£b�!�'�T�b¡'�!��¡,£I T¡,£��L�b¡'ª&�T�L�� ��b���b�&��¢;�%�;ªB���d¢;�b¡, ����;¡%�<��£I£S�����L�� Eª<«��! �ÉS�!�����<�I�]�'�]�_�]�<�L£��4Ê+�B¡'£¢!�'�!ª������!£L£S���9ª&�'«_¥}�L�!�Ë�b�B���]�'�]�_�]�<�L£5�L�9�L�&��¢!�'�!ª����)¢!�L¡' ¬���;¡%�<��£+¡'£+®$�B���$�]�T¥}�;�L�]��£+���;�;�L¡c§�7�&¡%��«����� �¡%�\¡,£��b�&¡,£G�L��Ì<�&¡'�b���_�]�<�G®$�&¡'���_�L�� T������£#�L�&�$�'�7�����'¡c��«���¥´�b�&�$�_�]�b�&�T ��GÍI�%�b�B�!�&¢;����;�<�b¡'�<�B�!�B£K£S�´�����b�����#�]�'�]�_�]�<���_���b�B�7 B£O���������'�%���%¡'Î]�9Ì<�&¡%�b�Q®5�]�'�+À y�Ï� �L�&�]¡'�K¡%�B£b¡,£��L�]�B�]���;����;�<�b¡'�<�B¡c��«����!Ð!��£P�L�&�]�Ñ���&��ª����L£b�!�_�4�b���]�_�&�'��«�¡'�Q��¡c�L�&�]�\�K�&�;�T§D���!�&¥}�!�L�Q¡'�&¢����&�B�b�<�!���À%Å Ïp �;�$¡%����� �; &���T�L¡%¨;�K£b�!�'�T�L¡%�;��£S�b�����L�]¢!«;�ÇD�_�b�&¡,£\�B�!�����\®5�I¡%�<�L�b�T T�B�]�I���&�T &�����&¡'¢!�T§��!�� T�]�\ &¡'£L���;�;�L¡%�7�&�;�B£\Ò����'�]�LÐ7¡%�_�_���L�&�T Q¥}�!�

¢!���!�&�7«T£b¡'�����7ÓB��®I£G�;�_�b�&�O£S�&�B�]�L�!��Ôd¡'Ð!�Ã�]�!�<�b¡'�7�&�!�B£½£S�´�����b�����&���%���Q���<�4�_���L�&�T &£]�7 T¡,£b�]�!�T§�b¡'�7�&�!��£+Ò��!�%���bÐ7¡'���_���L�&�T &£�ºFÕ�Ò ¼¯¾ �]���Eª������;�B£S�b�L�B�i�L�� ��L�����p¨!�I�&¡'¢!�&§j�;�L T���4�;�]���B�L�;��«!�®$�&¡'�%������¡'�<�L��¡'�&¡'�&¢.�¯�'�!�b¢;�¬ T��¢!�L�]�¬�!¥Ã�'�7�����'¡c��«;�G�&�]�������]�B�!ª&�%¡'�&¢.�&¡%¢;�¿�B�!�L�!�%�'�]�5�����S¥}�;�S§�����B�]�E�!�B >�; &���T�L¡%¨;�E£b�!�'�T�b¡'�!�>�&�b�T�]�� T�&�L��£��JÊ+�&�E�'�T�]�!�%¡%��«J��¥I�L�&��£b�E�_�]�b�&�T &£Q�]��£S�&�L��£�b�����\�L�&�]«_�]�!�Qª´�I�B£b�� _®$¡%�b���!�7«���«7���I�!¥�¢!�L¡' ��;�!� ¢B�'�!�&��£��L�b�B���b�&�L�� _�!�B _�&�!�&§��]�!�T¥}�;�b�_¡'�&¢¡%¥B�&�]�� T�� d�PÇD�9�b�&¡,£#�B���´�]�#®4�5£S�����'�7 &�]�_�!�B£S�b�����L�\�L�&¡'£#ª7«��B£b¡%�&¢O�&�B£S�b�L�B�i�L�&�L�� �¡,���<£b�!�&�� &�L�!�¢!�L¡, &£]�Íã¬�³È��L£S�E£S�b�]�¸�L��®5�!�L B£9�L�&�.�]�!�B£S�b�L�B���b¡'�!�¸��¥��J¥}�&�'�%«¸Ö!Õ×���L�Q�<£S�B�&�]�L¡'���_�T T�]�O®4�

 T���Q�;�B£S�b�����b�I�b�&�O��°���¡'�]�B�]«����B ��;�]���B�L�;��«9�!¥��b�&�O�&�T &�����&¡'¢!�T§��!�� T�]�4ÕKÒ ¼ ª<«_���;�B£b¡' T���S§¡'�&¢K�b�&�$£b�B���'�%��®²®+���L�]����Ì<�B���b¡'�!�B£#�;�9�L�&�$£S�&�B�]�L�!�PÊ+�B�+£b�B�!�%�'��®¿®+���b������Ì<�B���L¡%�;�B£����;�;����¡'����'�&�!¥´�L�&�I�&�;�b¡'Î]�;�<�L���T�;�����L���b�;�L£��L��Ì<�&¡'�b�� 9¡'���������b�_�;£b�&�&���b¡,�5�_�7 &�]���!�B ��b�7�B£½�b���&�b��£S���<��Q¢!�7�T �È��L£S�+�b��£S�$¥}�!�$�B�]®$�'«¬�&�L�!�´�;£b�� E�_���b�B�7 B£5¥}�!�I���L�_�;£b�&�&�]�L¡,�O�_�T T���'£��Ê+�&�9�L�]����¡'�B T���O�!¥G�b�&���B���´�]�K¡,£Ã�;�b¢<���&¡'Î]��  �!£Ã¥}�!�'�%��®I£��IÇD� ± ����� y ®5�9¡'�<�b�L�T T�B�����b�&�

£b�&�&�]�L¡,�]���7£b�B���'�%��®²®+���L�]�#��Ì<�B���b¡'�!�B£#���B 9 T¡'£L����£b£P�b�B�4�L���;£S�;�B£�¥}�;�#��£S¡'�&¢O� ¹ ���b�b��£S¡,���9¢!�L¡' ��Ê+�&¡,£H£b����£)�b�&�4£�����¢!�#¥}�;� ± ���!�PÖ+®$�&¡,����¡'�;�L�b�T T������£��b�&�\�7�&�_���b¡,�]�!��£b���&���_�\���B � T¡,£L���B£L£S��£�¡'� T�]�L��¡'�;�b�&�5£S�B���b¡,���<���&�L¨7¡%�'¡%�B�����H�b���&�b��£S���<�L���L¡%�;����¥7�b�&�5£S�;�%�&�b¡'�!�9�;£d®5�]�'�;�!£d�b�&�½¥}�!�L�9�&�,���L¡%�;�®$�&¡,���¸�]�B�!ª&�%��£��!�B���b�¿£L���b¡,£S¥}«¿�b�B�N��Ì<�B���b¡'�!�B£�¡'�Ø�² T¡,£b�]�!�<�b¡'�7�&�!�B£Q¥F�;£S�B¡%�;�d�Ù¶³�¯���,£b� T¡,£b�]�B£L£Ã�L�&�Q�b���Q�´�!�������L¡%�_�]§�£S�b���&�&¡'�&¢�£L���&���Q���!�B  �L�&�����&�&�L�;�;��� �L�!Ð!���N�b��¢;�]�&���L���b���£b�&¡c����ª&�'��¢!�L¡' E�!�E�b�B��£S�&�B�]�L�!��ÇD� ± ���!�#Ú_®5�� T�]�_�!��£��L�L���b�K�b�&���;�]�]�&�L�;��«;�<�]°���¡'�]�B�]«!�&���� �L�!ª&�B£S�b�B��£L£+��¥#�b�&���]�!�_�&�'���b��£L���&���Q��¥}�;�+�b�&��£S�;�%�T�L¡%�;�E�!¥#ª´�]�����&�����LЬ�&�L�!ª&�'�]��£5¥}�;�+�b�&�£b�&�&�]�L¡,�]���G£b�B���'�'��®Û®5���b�]�K��Ì<�B���b¡'�!�B£�� ± ���i�L¡%�;�JÜE���;�;����¡'�B£���¥}��®@�L�]�����LÐT£O�!�B N�;�T�b�'¡'�&��£�B���b�&�������]­<�L�]�B£b¡'�!�B£+�!¥H�b�B��®4�;�bÐ��&�L��£b�]�<�L�� E�&�]�L�!�

ÝdÞàßHá�â ãOäEå�æ�ç¬èÛßdâ çEè½è+é�ê êëç�ì�ãKäíã�î�ïEç�ì�å�é�ð¯ßÊ+�&��£S�B�&�]�L¡'������£b�B���'�%��®ñ®5���b���5��Ì<�B���L¡%�;�B£+¡%� �]�!�B£b�]�L¨����b¡'�!�¬¥}�!�L�ò���L��¢!¡'¨!�����;£

ó)ôó´õ_öø÷úù�û º ô ¾½üÙý ºFþ+ÿ ô ¾ ÿ º�Å ¾

®$�&���b�

Page 3: 0 1!324 56 7'faculty.nps.edu/fxgirald/postscript/dgm_sphere.pdf · B£ B p¨; Q£S b¡' 9 B ' b J L £b ! L .¡% < L L .¡% < L B ' % G _ b B 7 B£ B ³ ´ L ] T§

������������� ������������������������������� �����!�"�$#%#&�'��������(�)��*��������� +,.-0/ 13241�5�241�6�241�798;:<2=?>�@"=?>BA4>�CED?A�D4F*>3AGD?HID4>3JK>BLMD4NO=BP , PILMNOQR@�NOA4>BSTNIU"D?F">WVK>BNK@�NID4>BCED4XYHIZEF">�X[VKFEDBP 1 PKHKC*S&D?F">3D4F"=?>�>\ HI=4D4> AGXYHIC]JO>�Z[N�LMX^D`_�L�NKQa@'NOC">�CEDbA�P�c 5�2G6�2G7ed P�HIZ[Z�f�>�X[C"V�H�U;g"C*LMD4X[NKChNIUjilknm�oTHIC'SpD4X[Qa>KPqsrut F">&g"C*XvDbAWU;NK= 1 HIC*S�wxHI=?>ac;Qzy{A d`| HKC*S�Q}yIA�P�=?>BA4@�>BLsD?X^JO>�Z[_ rt F">�~*g��$P*�]c ,�d P�D?HK�K>BA3D?F">�U;NK=?Q

�pc ,�dj- ���� 1�51�5 |j���| 1 |1�5�61�5�7�v������ �

���� 1�61�5'61�6!| ���| 1�|1�6E7�v������ � ���� 1�71�5'71�6E71�7�| � �| 1�|

�v������ 2 c�� d� F">B=4>pc �� 2 �� 2 �� d =4>B@"=?>BA4>�CED�D?F"> \ HI=4D4>BA4XYHIC�g*C"XvD&JO>BLsD?NK=bA r�t F">RA4NKg*=?L�>TD?>�=?Q�P��&c�i 2?,'d P�X[C�j� r c`� d P"HKLMD4X[C"VaNKC"Z[_}NOC.D?F">&QaNKQa>�CED?g"Q�> � g'H{D4X[NKC'A�P!XYA9VKX[JK>BC�HOA�&c�i 2?,�d�-�� �K�W  1¡ | i£¢�¤ ��1¥R1¦ �¨§ iª© c + dt F">T«*=?AGD�D?>�=?Q¬X^C ��� r c + d HOL�LMNOg"CED?AWU;NO=�D?F"> \ NO=4X[NKZ[XYA9U;NK=bLM>OP � X^D4F ¡ -®­ © +!¯ �&¢°�B±O²³Qf�>�X[C"V´D4F">W=bHKS�X[g*AHIC'S�� - ¯ © �KµO��¢T� ±�¶�·u=?HOS'y{A�D4F*>WHKC"VKg*Z[HK=�JO>�Z[N�LMX^D`_&NIU*D?F">W>BHK=GD?F�P � F"X[Z^>D4F*>³AG> LMNKC'SzLMNOCED4=?X^f"g"D4X[NKC�QRN�S�>BZ[A3D?F">�>M¸�>BLMD?A9NKU�HRJ{HI=?X[HKf"Z^>�A4g"=GU�HOLM>´F">�X[VKFEDWD4F*=4NOg"VKFzD4F">A4g"=GU�HOLM>R@'NKD4>BCOD?X[HKZ�P 1 ¦ rRt F">aZ[HOA`D´D4>B=4Q¹X[A�Hpº�HKVK=bHIC"VO>³QTg"Z^D4X[@"Z[X^>B=BP�D4F">�A4@'> LMX^«'L�HID4X[NKC�NKU� F"XYLbF � >&A4F*HIZ[Z$=4>�D4g"=?C.D4N}A4F"NK=4D4Z[_ r�j� g*H{D?X^NOC]c`� d X[A�S�>�=?X^JO>BS�U;=?NKQ�D4F">»X[C*L�NKQa@"=?>BA?AGX[f"Z[>»HIC*SaX[C!JEXYA?LMXYSR¼eH½J!X^>B=G¾`¿ED4NO�K> A�> � g*H{¾D4X[NKC'A&f!_�JK>B=GD?X[LBHIZ[Z^_]X[CED4>BVK=bH{D4X[C"V�D4F*>}Q�HKA?A´D4N]_!X^>BZ[ShD?F">}VK>BNK@�NID?>�CED4XYHIZF">BX^VOFED�> � g*H{D?X^NOCcÀU;NO=�U;g*=GD?F">�=�S�>MDbHIX[Z[A´A4>�> / �{Á 8Àd r \ NOCED4=bHI=?_}D4N.QaNOAGDeNID?F">�= � NK=?�.NOC]D4F">�C!g"Qa>�=?X[LBHIZ�AGNOZ^g�¾D4X[NKC°NKU ��� r c`� d NKC¨HpAG@*F">�=?X[LBHIZuA4F">�Z[ZÂP � >}AGF'HIZ[ZC"NID³=?>BLBHKAGD�X^DTX[C¨AG@"F*>�=?X[LBHIZuLMN!NO=?S�X[C*HID4>BAf"g�D»=bH{D?F">�=9Q�HKX^CED?HKX^C.D4F*> \ HI=4D4> AGXYHIC�LMN!NK=bS�X[C*H{D?>BA r�t F*>&QaHKX^CpQaNID?X^J{HID4X[NKC.U;NK=»S�NOX^C"V�A4N*PHIZ[f�>�X^DWHID�D?F">�>M��@'>BC*A4>eNKU�X^CED?=4N�S�g*L�X^C*VRHKCzHKS"S"XvD?X^NOC*HIZ�QaNKQa>�CED?g"QÃ> � g*HID4X[NKC�P!XYAjD?NRH½JONKXYSD4F*>´@*=4NOf"Z^>BQ�A9HKA?AGN�LMXYH{D?>BS � X^D4F�D?F">�@'NOZ[HK=WA4X[C"VKg"ZYHI=?X^D`_ rÄ NO=WHaA4@"F">B=4XYL�HKZ�A4F">BZ^ZÂP"S�>BA?LM=?X[f'> Sf!_TD?F">eL�N!NK=bS�X^C'H{D4> A9c�Å 2GÆOd P�NIU$=bHKS�X[g*A ¡ D4F">´S�X[JK>�=?VK>BC*LM>WNKU�H�JK>BLMD4NO=«*>�ZYS$P�� -ÈÇ �É ��Ê �Ë PXYAWVKX[JK>�CpHKA ¥®Ì � - �¡ L�NOA ÆlÍbÎ ÇÎ Å � Î Ê L�NOA ÆÎ Æ Ï ©Ð D»D?F">&@'NOZ^> A�P'X r > r P ÆR-�ÑeÒ�Ó ��P!D4F*X[A�X[A»H�A4NKg*=?L�>´NKU�C!g"Qa>B=4XYL�HKZ�@"=?NKf"Z[>�Q�ABP*L�HKg*AG> Szf!_zD4F">A4@'> LMX^«'L&U;NO=4Q�g"Z[HID4X[NKCp=bH{D4F*>�=9D?F*HIC]D?F">TC'H{D4g*=4>³NKU�D4F">RAGF*HKZ^Z[N �Ô� HID4>�=e> � g*HID4X[NKC*A»HKC*S]X^D?AA4NKZ[g�D4X[NKC*A r&Õ F"X[Z^>RD?F">ag*AG>RNIU3HzZ[N�L�HIZ \ HK=GD?>BA4X[HKC�LMN!NK=bS�X[C*H{D?>�A4_�A`D?>�QÖF*HOAef�>�>BChg'AG> S]D4NN{JK>B=?L�NKQa>3D4F"> AG>e@"=?NKf"Z[>�Q�AX[C�D4F*>�@*HOA`D / �I× 8 � >»F*H½JO>KPKVOg"XYS�>BS�f!_�D4F">e=4> AGg*ZvDbAuNIU$@"=?>�J!X[NKg*A� NK=?� / �B± 8 P{LbF"NOA4>�C�D?N»Q�HIX[CODbHIX[C�D4F"> \ HI=4D4> AGXYHIC´U;NK=?QTg*Z[HID4X[NKC&>�JO>�=?_ � F">�=?> r�t F"XYA \ HK=GD?>BA4X[HKCU;NK=?QTg*Z[HID4X[NKC�@�NOA4>BA�C*N�S�X^Ø}LMg"Z^D`_�D?N�D4F">�LMNOC*AGD4=?g*LsD?X^NOC�NIUWH +KÙ H{D?QaNOA4@"F">�=?XYLT@"=?X[QRX^D4X[JK>> � g*HID4X[NKC�QaN!S">�Z�HOA9AGF"N � C�X[C / �K� 8 U;NK=WD4F*>³LMNKCED?X^C!g"NOg*A9AG@�>BLMD4=bHIZ$>BZ^>BQR>BCED»QR>�D4F"N�S rt N.>�C*A4g"=?>&D4F*HID�D?F">T~'g"X[S�@*HI=4D4XYLMZ[>BA�=4>BQaHKX^C�NKCpD4F*>RA4@"F">B=4XYL�HKZ�A4F">�Z[Z�P � >T=?> � g"X[=4>&D?F*H{DD4F*>9~*g"XYSaJK>BZ^N�LMX^D`_³=?>�Q�HIX[C*A@�>�=?@�>�C*S�XYLMg*Z[HK=D4N�D?F">»@�NOA4XvD?X^NOCRJO>BLMD4NK= PIX r > r P!i Ì ¤ - ±"P � F"XYLbF_!X^>BZ[S*A3D4F">³º�HIVK=bHIC*VK>´QTg"Z^D4X[@"Z[X^>B=

Page 4: 0 1!324 56 7'faculty.nps.edu/fxgirald/postscript/dgm_sphere.pdf · B£ B p¨; Q£S b¡' 9 B ' b J L £b ! L .¡% < L L .¡% < L B ' % G _ b B 7 B£ B ³ ´ L ] T§

Ú Û�Ü;Ý�Þ�ß�àá�â{ã�ä$åBæ�ã�Þ!ç�ä�èuâ½Þ�è�à]é&Þ�Ý�ê$ë�Ý�æ�á�èìuí�îWï4ð�ñjò óô�õ�öY÷ î�øBù ÷úuû îhø�ü½ù0øuýþ�ÿ���� í Ú ñ

������ ýþ�������� ������� ������������� ����������� ��!#"%$'&)( í+*Kñ "%�, � �.-0/1�����2435/6���7�����8��,8����9����8��&�� ���/1�,� �":/+( �9(;":�����=<>�, ��?�������0�@� �:!:�� 0(BAC ����D-E�9� F�����,/;���G/1 ����0��2:��2H�,�I�� �=J,�0�9���.K: �/>-0�,<�)��������/>��<+"B�� � ����9��/1�,<;<1K7�������� ������/1��J4�� �L<1�.-���<?8��, � 0"M�� �H8N��<6��/;� <;/1�0�O/1 N������2:��2P/;�Q����8��,8��0������8R��&9���S�/1�,�� G�,��<1K,(TVUXWZY4[]\4^I_`[�aLb�cNdLe`fMcNY4[�_`[

gh�I2:��i,��<;�9��/;� Jj�����=�.��8��0��/1-���<k -l� �08����m�,�G�� �@ �,<1�:��/;�9�H�,�M$'&)( í ó ñ 3��= � ��<1<n �� <;/;�G����2:/> -0� � �/1�,�o/1����I�D������S�8����9�����p������ �� ���/>��<q2:/> -0��0�/1r��S��/;�9�s����2t�������� ����u!:/18��S�/1�,�4�,��� �=��� ���<;�/1��J� �08�/6vh2:/> -0��0��=��� ����u!:/18��S�/1�,�V(TnUxw�UXWZy%z7fk{q|:}�~x|��GdD{M{%�S�.�n~x�Q|:}�~x����G���o2:/> -0� /1�,���,�������o � �S��/1�,<����������u!:/;8����/1�,�� �-l���08��t/1��i9�,<1i,�� 0"'�9 �2:�.�� ��,��K�2:�Evi,��<;�9��8��0���j�,�C�s �-l���08����m�9�O �,<1i./;��Js� ����/>��<?2:/6�#�0���0����/1�,<���&9���S�/1�,�� 0"B�S�����9��/;�9�P��o����&����� ��/1�,�� =���G���S3���4���0������ �0���@����D �,<1�:��/;�9���9 =3?�0<1<'�, @/1�P35��/>-l�73G�uK4�����D��&�� ���/1�,� �����O���&9� /;����2t���t���� ��S�/> �� ��2k(jgh�s�����O�m�,<1<;�S35/1��JI3����,2�2���� C����� ��O�F3?�H/> � ����� �/;�78��,���2:�0����/1<+(

�9���,���9�������#��E�E�0� �+�����D��� �=�k�S�¡ :�+�¢�S��£S�#¤N¥�£u�¦�¢§H¨V� �0�£S�+�¢�S� �gh��/6��/1�,<;<1K,"#3?�O�9 ��8��=��� �S�������-E�98����:�����/1�,� �,<M2��,8���/1�n"n©#"#/x( �,(1"n�L �������/>-0�,<M ����<;<+"#/1 -E�Si9�0����2L��KHª«� �,�:v��Si,���<>����� /;��JO-E����i./;<1/1�����,�G&�� �92:��/;<>�S���0�l��<> 0"k¬G"� � -l�I�� ���© ò®­¯°¦±M²

¬ ° ��G���j-0�,� ����� -E�/1�,�t���q�� /1 � �� ���0���Z-E�Si9�0��/;��J�/> ����,�C�0����/;���0<1KL���/1i./1�,<V����2t3��j � �,<;<n���E���������O����/1 �����9��<1�08³/1�o´.��-,(Ú (pµ��9�5���S3=":���S3?�0i9�0��"93?�= �/18���<;KI�, � �� 8O�@/;�� 5�0!:/1 ����� -E�9(�V�7�0� �,��<1�L�����H�0¶D-E/1�0���D��� 2��,-0-0���l�S��I-E�98O� �:�����/1�,���,�C�,�)�0�l�S��/;�9� O �� -l�·�, O2:/;�)����v�0����/1���/1�,����� 2¸/;�����0J,�l�S��/;�9�n"k3?�O/1������:2:� -E���I���9� �/1��J9��<1�,��8��,����/1��J " îÈò³¹Rí�º*ñ "%35��/>-l�-E�9������-¦�� Z����H<;�:-���<'� ��K: /1-���<?-E�.�,�l2:/1� �S���� �" î0ò ím»�ï�¼�ï½!ñ "B2:�0� ����2Q�,�¾¬¿35/;����4���E�m����v�0��-E�� �K: ���08 º�ò�ímÀ�ï�Á�ïlÂKñ "%2:�E� � ��2¸�,�4������<;�:-0�,<%��<;��8��0���@ � -l�s�� ��� í¢À�ï�Á"ñ <;/1�� ��,�o���� �����0��/>-0��<q �����¢�9-E�9(��G�.� �"  ���0������ �0���l 5�� �O �������/>-0�,<V�l�,2:/1� �i,��-E��9�C/;�� �0<;�F"k/x( �,(1"  -0�,�:v ��������N-0�,����� ��)�,��2� ���s�4 ���0<1<'�,���4-E�,�� F�l�����Z���92:/1� 0(tµ��9�j /;8���<1/1-0/6�FK73?�L�, � �� 8O����� �S�ímÀ�ïÁ"ñGÃ7Ä;Å ó ï óEÆ õ �,�I���,-l�I�0<1�08����9��" �0�=µM/;J�( ó (AC � ��:-E/>�S����2I35/;��4�����Z<1�.-���<n8��,����/1��J " ¹ " /> 5�� �=��l��� ��m�,��8��S��/;�9�IÇ��,-0�,��/>���n"nÈ òÊÉ îÉ º "����2D�����Z2:�E���0��8�/;� �,���

Ë È Ë ò³Ì îÌ Â ø�Í ï�Í ò]Ì îÌ ÀÏÎ Ì îÌ Á ï35������ Í ���0� ��� ����9�l p�����@ �����¢�,-0�C-E�9�:�m�,��8�/;� JN-E�98����9���0�����,�n�� ��8���� ��/;� J í �0� Ä ó�ÐuÆ �m�,��m���������C2:�0����/1<> ñ (�G���48�������/1��JP��<> �� ����� <;/1�� O�����4<;�:-���<58��E���/>-�" ùNÀ �,� 2 ùjÁ "5�, �3?�0<1<��, O�����4<1�.-���<���9�8���<%i,��-¦��9�� ��S������� �� ���¢�9-E�Z�,�B����O�0<1�08��0����(�gh� 2��0��2n"#�9 C/1<1<;� ���l�S����24/1�sµM/1J ( ó "��������9�8���<> G�����@J,/1i,�0�t�,

Page 5: 0 1!324 56 7'faculty.nps.edu/fxgirald/postscript/dgm_sphere.pdf · B£ B p¨; Q£S b¡' 9 B ' b J L £b ! L .¡% < L L .¡% < L B ' % G _ b B 7 B£ B ³ ´ L ] T§

ÑqÒqÓnÔMÕNÓBÖq×ÙØ:ÒqÚoÛVÜVÝIÞ0ß#Ü%Ý)ÚVà¢á#Ô%Õ�Þ�ÜVÔMÕ.Õ�Òkâ³â=Ô�ÛnÝ)ÚoÝ#ãqä%Ô Ûnà¢ÒqÑqÞ å

ξ

η

(-1, -1)

n

n

n

n

(ξ=−1) (ξ=+1)

(η=−1)

(η=+1)

(-1, +1) (+1, +1)

(+1, -1)

Side 1

Side 2

Side 3

Side 4

æVçFèZéVê�é ÛnëuìBí¦ìFî¦ï5ìhð+ñ¢òCîló:ð+ëuìBï�ôlõ�õuöø÷uí5ôl÷uùCð+ë�ìpôlú+ú+î0ûFö¡ô�ð+ìFù@ï5ìhðxñ+öøûqöø÷�ó1î¦ñxï�ô�ð+öøî¦÷�ü

ýþ ÿ � � �� � � � ���� ������ ýþ¾ÿ� � � � � ���� �������������������� �"!#�$�&%('*),+�-.!0/1'(2435� �$�768�:9�� �";��=<">�?@ �A���0� ���B�C�"-06�<"+19��EDF��9=+�-G-.�HDI���#9�J4�K��-G� �.��<L�#9:+*<M�:<L�:N,�:-O�7PQDK�"� �&� �:6�� �$�7�:-O��+H���L�1-R���� �.�G� ��<"J#� �"��-�3TS�3U+*-.!V�����W+*6�6.� �(X#�"NY+*� �"��-Z���C��68�=�[+H� �"��-4�\� J.9[�]+1�,!��A^_�=���=-O� �B+H���L�1-]+*-4!�"-1���=`1��+*� �"��-M?ba.���E� �LNY6�<"�"9=�A�c>13�DF�,+1� � J�NY�edf���0g4�YJ�-��L�c>h�"-VDK�.+H�&� �:Ne+*�"-.�&+*-.!i!#�=-.�*� �j ÿlk� � ��m J�-�<"�:���K9�<B+*���An89=+H���L�1-R�B�K!#�:�=NY�:!G-��$9��:����+*��>�?o �����7�"NY6�<"���c��� J.9�� J����E�*�p� �.���c�[+*-.!�+���!G�:<L�:N,�:-O�:3Mq"3.� 6.+*-�-.�:!Gg5>fjWrZsAtE% � %�uwvH3�Ne+�x��:��L�C-.+H��J���+�<_� �Y���=6����:� �=-O��� ���E<"�#9=+�<M�7�1<LJ#���L�1-Rg5>y+�-GzW� �0���[!#�=��68��<">5-���NY�B+*<{�"-RjW+��S8| k~} m ÿ � |�� 7����� � S8| k�} � m7� � k�} m �DK���:� � } � � �:6�� �$�7�:-O��� k zZ�f% m v�`1� �B!&64�1�L-O�[�+�-.! � � k~} m �����.�$9��[�M�����U+1� � �#9��B+H� �$!�NbJ�<L� �";H+*���AP+H������+�`��[+*-�`1���"-O� �=��68��<B+H� �"��-068��<">5-���NY�B+*<�? o ����<"��`1�"9:+*<M���1J4+*���&�7� ��J.9�� J����E�*��q4� �LNY6�<"�Ln.�:�Ne+H� � �=�[����J��7�����=�p�"-�� �4+H�DF�U9:+*-��=X#6�� �$� �M� ������+�`��[+*-�`1��64�1<L>5-��1NY�"+�<�g5>E+K� �:-.� ��� P�6����#!#J.9��+��

� � k�} m ÿI�.��k� �k~} m7m �#�Ok � k~} m7m � k å mDK���:� �&� ��� ÿ�� �:�L�"�"� zZ?@ ���L<"��Ne+*-5>�9[�����B9��$������� �.�F`1� �B!�68���"-O���:3 k� � � � � m 3�+�� �U64�O� � �"g�<L�13H�A���B�p-.+H��J���+�<O� �&9[���5�1� �� �.���M�=`1�=-.!�� �=P��&+�J.� �7P��M��g4+H�7����68���"-1�[�=3.`��";��=-0+��F�����&� �:-.� ��� P�6����#!#J.9��F����� �.�E� �5�*�[���*�k %Kt v mc�E�| k� m ÿ�� �

Page 6: 0 1!324 56 7'faculty.nps.edu/fxgirald/postscript/dgm_sphere.pdf · B£ B p¨; Q£S b¡' 9 B ' b J L £b ! L .¡% < L L .¡% < L B ' % G _ b B 7 B£ B ³ ´ L ] T§

� �p�� �¡¢#£�¤U¥H¦�§{¨:©�¦�¡5ª«§_¬�¥(¡p¬p£W­E¡« �®{¯p #©¤«¬°K±�²:³ ²µ´p¶,·�¸�¹�ºB»�¼�±�²�½W¼ ±f¾1³�¿#²:³�ÀM²:Á�²=Â4¿#³ ²µÃ4¾1ÄLÅ5Â�¾1Æ,ºBÇ*Ä�È«É�±�º"»UÊ[±�¾�ºBÊ�²µº"»TÂ.ÇH¼�Ë�³�Ç�Ä.Ç�»�¼ ±�²$»7²Ã8¾�º"Â1¼[»fÇ*³�²0²=Â.¿�¾H°U²$¿]°KºL¼ ±ÌÇÎÍ&Ç�Ë.» » ºBÇ*Â�Ï1Ë4Ç�¿#³[ÇH¼�Ë�³ ²0³�Ë�Ä"²W°K±�º"Ê[±�» ±.Ç*Ä"ÄKÐ8²:Ê�¾1ÆY²WË.»7²=Ñ�Ë�Ä» ±�¾�³ ¼ Ä"Å�ÈRÒ�ºA¼�±V¼ ±�ºB»bÊ[±�¾1º"Ê=²�Ó�¼ ±�²f¾1Â�²�Ô�¿#º"ÆY²=Â.» ºL¾1Â.Ç*Ä�ÀÇ*Á1³�Ç�Â�Á�²,Ã4¾1ÄLÅ5Â�¾1ÆYº"Ç�Ä"»:Ó«Õ4Ö7·�¸�¹�Ó�Ç*ÄB» ¾× Â�¾H°KÂ0Ç�»F¼ ±.²�ÀM²=Á1²=Â.¿�³ ²&Ê=Ç�³�¿#º"Â.Ç�Ä_Ñ�Ë�Â.Ê�¼�ºL¾1Â.»:Ó�Ð4²$Ê�¾1Æ,²

Õ4Ö ·�¸�¹�Øl٠ڽη~½ÜÛ Ú ¹ · Ú Ùi¸*Ý$¹7´EÞ¶ ·�¸�¹·�¸�Ùi¸ Ö ¹7´ ¶ ·�¸ Ö ¹àßÇ*Â4¿yÄ"º × ²=°KºB»7²�Ñ�¾1³µÕ5á1·�â#¹�ÈÉ�±�²ãÊ[±�¾1º"Ê=²h¾*Ñ&¼ ±.²ãÀM²:Á�²=Â4¿#³ ²=Ô�Í&Ç�Ë.»�»cÔ�ÀM¾1Ð.ÇH¼ ¼ ¾iÃ4¾1ºLÂO¼�»R²=Â4Ç*Ð�Ä"²:»Y¼�±�²ä»7¼ ³[Ç*º"Á�±O¼ Ñ�¾�³�°FÇ�³�¿Ç*Ã.Ã�³ ¾(å#º"ÆeÇH¼ º"¾�ÂR¾*Ñp²=Ä"²=ÆY²=ÂO¼7ÔQ°KºB»7²&º"Â1¼�²=Á1³�Ç�Ä"»:Ó5º~È ²�È"Óæ8çEè ·~é�¹#êOéVØ æ8ë�è ·�ì4¹[í�·�¸�¹�ê*ìRî ¶ïÖ�ð á ñ{ò è ·�¸:Ö ß â(á$¹[í�·�¸:Ö ß â(á$¹Qó�ôÖ óTõá ß°K±�²:³ ²bíh³ ²:Ã�³ ²$»7²:ÂO¼�»�¼�±�²&ÄL¾#Ê:Ç*Ä_ö1Ç1Ê�¾�Ð.º"Ç�ÂYÑ�¾�³U¼ ±�²�¼ ³[Ç*Â.»7Ñ�¾�³�ÆeÇH¼�ºL¾1ÂfÐ4²=¼c°U²:²=Âã÷]Ç*Â.¿ãøLÓ#Ç*Â4¿ó�ôÖ Ç*Â.¿yóTõá Ç*³�²µ¼�±�²bÍ&Ç*Ë.»�» º"Ç�ÂGÏOË.Ç1¿#³�Ç*¼ Ë�³�²�°U²:ºLÁ1±1¼[»=Óó�ôÖ Ø ù½Î·~½úÛ Ú ¹fû Ú´¶,·�¸:ÖQ¹*ü Ý ßÇ�»�» ¾5Ê=º"Ç*¼ ²$¿W°KºA¼�±ã¼�±�²Y¾�Â�²=ÔQ¿�ºLÆY²=Â4»7º"¾�Â.Ç�ÄpÀ�²=Á1²=Â.¿#³�²�ÔcÍ&Ç*Ë4» »7ÔQÀ�¾�Ð.Ç*¼7¼�¾yÏOË.Ç�¿#³[ÇH¼�Ë�³�²�ÈEÒi²,³�²�ÔÊ=Ç�ÄLļ ±4ÇH¼&ºAÑ è íκB»�ÇfÃ8¾�Ä"ÅOÂ.¾�ÆYº"Ç�ľ�ÑUÇH¼�ÆY¾1»7¼�¿#²:Á�³�²=² ù ½�Ù Ú º"Âh²$Ç�Ê[±hÄ"¾#Ê=Ç*Ä«Ê�¾5¾1³�¿#º"Â.Ç*¼ ²�Ó¼ ±.²�Ï1Ë4Ç�¿#³[ÇH¼�Ë�³ ²�ºB»K²�å�Ç�Ê�¼:ÈÉ�±�²�²:ýHÇ*Ä"Ë.ÇH¼�ºL¾1Âf¾*Ñ» Ë�³ Ñ�Ç�Ê=²µº"Â1¼�²=Á1³�Ç�Ä"»:Ó1ÆeÇ1¿#²µÃ.Ç�³7¼�º"Ê=Ë�ÄBÇ*³�ÄLÅe» ºLÆYÃ�Ä"²�Ð5Å,¼ ±.²�Â.Ç*¼ Ë�³[Ç*Ä_» ²=Ã#ÔÇ*³[ÇH¼�ºL¾1Â\Ð8²�¼c°F²=²:ÂYºLÂO¼ ²:³ º"¾�³�Ç�Â.¿,²:¿#Á1²E·�» º"¿#²(¹«Â�¾#¿#²$»�ºLÂ,¼�±�²KÂ�¾#¿�Ç*Ä�Ñ�¾�³�ÆbË�ÄBÇH¼�ºL¾1ÂMÓHÑ�¾�Ä"Ä"¾H°C»p¼ ±�²»�Ç*ÆY²&ÄLº"Â�²E¾*Ѽ ±�º"Â × º"Â�Á.Ó�º�È ²�È"Ó

þ�ÿ ç è ·�é�¹�ê1é Ø þ#ÿ ë è ·wì4¹[í�·�¸�¹#ê*ìî ¶ï Ö"ñ{ò � è ·�¸ Ö ß Ù Ú ¹[í�·�¸ Ö ß Ù Ú ¹MÛ è ·�¸ Ö ß Ú ¹�í�·�¸ Ö ß Ú ¹��=ó�ôÖ

Û ¶ïá ñ{ò � è ·7Ù Ú ß âHá=¹�í�·cÙ Ú ß â(á$¹�Û è · Ú ß â(á$¹�í�· Ú ß â(á$¹��:óTõá�������� �������������������� �!��"$#&%('*)$�����,+��Ò�ºA¼�±h¼ ±.²\Ä"¾#Ê=Ç*Äp³�²=Ã�³�²:» ²=ÂO¼�Ç*¼ º"¾�ÂW¾�Ñ�¼ ±�²Y»7¾1ÄLË�¼ º"¾�Â.»µºLÂäÃ�Ä"Ç1Ê�²1Ó8°F²bÂ.¾H°lÃ�³ ¾#Ê=²=²:¿G¼�¾GÊ=¾�Â#Ô» º"¿#²:³�¼�±�²GÏOË�²$»c¼�ºL¾1Âξ*ÑC±.¾H°à¼�¾ä»�ÇH¼�º"»7Ñ�Åi¼ ±�²R²:ÏOË.ÇH¼�ºL¾1ÂMÈãÒi²RÇ1» » Ë�ÆY²f¼�±.ÇH¼\¼ ±�²G»7¾1ÄLË�¼ º"¾�ÂMÓ- ÓM¼ ¾/.UÏ4ÈB· Ú ¹�º"»&³�²=Ã.³ ²$»7²:Â1¼�²:¿ãÄL¾#Ê=Ç�ÄLÄ"ÅhÐ5Åã±.ºLÁ1±#Ô�¾1³�¿�²=³�Ã4¾1ÄLÅ5Â�¾1Æ,ºBÇ*ÄB»:Ó - ¶ Ó¿�²10.Â�²$¿i¾�Âä¼ ±�²Ê�Ë.³ ý5º"ÄLº"Â�²:Ç�³�ÏOË.Ç�¿#³�º"Ä"Ç*¼ ²=³[Ç*Ä�Ó�÷�Ó1Ç�Â.¿,³ ²$ÏOË�ºL³�²U¼ ±.Ç*¼�¼ ±�²K²$ÏOË.ÇH¼�ºL¾1Â\Ð8²µ»�ÇH¼ ºB»20.²:¿\²=Ä"²=ÆY²=ÂO¼ Ô�°KºB»7²º"ÂR¼�±�²&Ñ�¾�Ä"Ä"¾H°KºLÂ�ÁY¿#ºB» Ê=¾�ÂO¼ º"Â5Ë�¾�Ë4»CÍ&Ç*Ä"²=³ × º"ÂG°FÇ(Å

æ8ç û 3 - ¶354 Û7698;:Y¶ÌÙ=<K¶ ü?>A@ ·~é�¹#ê1éZØ þ ÿ ç >B@ ·�é�¹DCE 8 � :e¶�ÙF:!G¶ ��ê1é ß · � ¹

Page 7: 0 1!324 56 7'faculty.nps.edu/fxgirald/postscript/dgm_sphere.pdf · B£ B p¨; Q£S b¡' 9 B ' b J L £b ! L .¡% < L L .¡% < L B ' % G _ b B 7 B£ B ³ ´ L ] T§

HJIJKMLONPKRQJSUTVIJW?XZYZ[]\*^_Y`[5WZa,b_L`Nc\dYZLON�NDI�e�efLgXM[5W?[_hJi`L$XMa,IJHJ\ jk(lDmonpmrqBsVt,uwvrtyx{z7|~}��o�~���~�dt,����};v��*��v������plDmP�~�V�o���Z�5�������D���������O�$���p���*�5���5��t���v1����mrl$�; m�����p�r����¡np�V¢V£g�1mo¢¤�plDm¥�5�������D���������5npmo�Dnpmd�2mo� �¡���¡�~��¤��¦Z�plDm&§$£V¨��$©�ªU«U©�ª¬t,­ ª v1�D���$¢¤�plDm�p��£Dn��1m�D® ª «¯® ª t,u°�p­ ª v±�$��©cªrty­ ª vw« ² ª°³`´�µ,¶·s±¸ ´ ©¹t,­ ª t,u s v2v2q s tyuwv7�F®�ªPtyu°�p­ ª vw« ² ª°³`´2µ�¶·s1¸ ´ ®ftyu s �p­ ª tyu s v2v2q s tyuwv7�º lDm°��£D��m*n¡���o���§$£V¨��©!»ª �����¬�A�g��t,¼ vZ�pl$���~���5m°¢D���¡�1£$�¡�pmo¢½����¢Vm1���������plD�n2�¡�~��`¾wn¡����n`�p�&�pl$���o�lD��kBm* m*nd�5�!¦�m*k¿n¡m*�c��npÀV�&�1���g�1m*n¡�D���DÁÂ�A�5��ty¼v±����npm¬�~�Ã��n�¢Vm*nd�fÄO�~n����f��¦A�����JkAmP�D���¡mP�¡l$����pl$m?�~� �¡m*np¦,���1mÃ�1���g¢V�Å�¡�~��$�o�B��� �pn¡�V¢V£$�1md¢Æ�~� �p�=�plDm/¦��np�P£D�����p�����Æ�¡lDnp�£DÁ�lÆ�¡lDm{��£D��m*n¡���*���§$£V¨��B��n¡mÂmo�V¦���n��1md¢=���$�~�=kBmo��À��~��w�y� m����w�¡lDm/�2��~£D�p�����Ç�������7Ám*�Dmon¡���B¢V���¡�1��� �¡�~��£D�£$�*�ÆÈ��kBm¤�2l$���~�A�2mom��Zl$��kAmo �m*nd�_�pl$���P¢V��mo�f�D���½�~���$��±�f�¡lDm!���o�1£Dn����*�?���¥�¡lDm¤�p�~Éomc��¦B�plDmfÊ�£$�¬� ����D���plDmo�`�p�&�¡lDm°��n�¢Vm*nO��¦g�plDm°����¡m*n¡�~�nR���D�Dn¡�;¨V�~�c���p�����M�ZÄ$£Dnp�plDmonp����n¡m��;�¡lDm(¢V���p�*��� �p����£D��£$�¦���n¡�r£$�����p�����¤mo�$�2£$npmd�A�rlD�~ÁlD���c�$��n������~mo�5�¡��lDmo�¬m&���B�������1�����P£D�D���*���¡�~��¤���A���V�*���g�5m1��kBm*mo�m*��m*��mo����f�2lg��n¡�~�DÁ]mo¢DÁ�mo�&���{��kB�¹¢V�~��mo�$�2�����g�f���$¢{¦,���*mo�&�~�Ã�pl$npmom�¢D�~��m*�g�2�����$�o��Ä`���$���~������pl$mË���V�*�����~���P��¦��plDm¥���D�$np�;¨V�������p�����c�c��Àmo���Å�(���¡n¡���~Ál �2¦���n¡k°��n�¢½�¡�rm1¨��¡m*�$¢¤�plDm&�p��lDmo��m��p����$�1��£$¢Vm!�p£D�D�5��np�f¦���nP¢V�ÅÌ_m*n¡m*� �r�n¡¢Dm*n��¥��¦(���D�Dn¡�;¨V�~�c���p�����$�¥���=¢V�~Ì5monpmo��½mo�~mo��m*� �¡�o�`�$���VÍ�1��V¦���n¡���~�$ÁP�n�¢V�ÅÌ_m*n¡m*� �(�����5mo�°��¦Jm*��m*��mo����*�$m�� Á$�����pn¡�����DÁ���mo�°���g¢]� £$�¢Vn¡�~�����¡m*n������*�Î m*¦���n¡mA¢V���¡�1£$�¡�2���DÁË�plDm°��£D��m*n¡���*���§$£V¨�����m1�J£$�J�D���pmA�pl$���J�Ë�c���¡lDm*�c���¡���o�����~�fmd� £D�~ ����~mo���D£V�¥��£D��m*n¡���o�����~�¹¢V�~Ì5monpmo� �˦��np�P£D�����p�����/��¦����5��ty¼v��*���{�gm¬���V�������Dmo¢?� �/���?�~� �¡m*Á�n����¡�~�����¤�$��n2���B�p�cn¡mo�1�� m*n

ÏgÐ=ÑwÒ ­ ªÒ5ÓÕÔ ©¤ª×ÖdØ Ô ®�ª�Ù?q s t,uwvVÚ uF« Ô{Û�Ü Ð q s t,uwvp© »ª Ú uÝ� t j vº lD���Ë�o���/�5mrn¡mo�*��Á��$�~Éomo¢¹�����plDm¬�1�����¡�2���*���`¢V���p�*��� �p����£D��£g��Þ¥����m*n¡À��~�/��m1�¡lD�V¢¹¦���n&�1��$�2mon2Í ����¡�~��¬���;k��(|~}��ßD���� ß�à;��� º �½¢V�����¡�~�DÁ£D���2l��5m1��kBm*m*�¬�¡lDm(��kB�˦��np�P£D�����p�����g�*��kBm��pl$�����Dn¡m1¦�m*n�p�c�A�g��t,¼ v���A�plDm½¢V�� �monpÁm*�$�*m�¦��np�����$¢¤�¡lDm¥����n¡m�¦,���¬��������n(���Dm���A�5��t j v±�D��A�plDm½Þ&n¡m*m*�Zá �¦���n¡�¹�Râ��¡lDm*n��pmonp�c�A��¦��pmo�c£$�pmo¢��¡�r¢Vmo�¡�1n¡���gm(�¡lDmo�pm�¦��np�P£D�����p�����g�w��n¡m°�plDm&���¡np��DÁ½���g¢¬�plDmkBmo��À¤¦���n¡�]�Vn¡mo�p�5mo�±�¡�~ m*�����º lDmP��£D��monp���*���Z§$£D¨_�Z©Â»ª �������¡lDm��$��np�Ë��¦w�pl$mP¦��np�P£D�����p�����?�pl$���¥���~����k������V¦��np�c���¡�~���p�Ã�gmÂ�$���¡�pmo¢ã�5m1��kBm*m*�=�plDmÂ�~�$¢D�~ ���¢V£$���Bm*��m*��mo����*�J�¡lDm!£$�D�~��=��¦�k(l$����lF¦��np�c�¬ä_� º lDm¢V���p�*��� �p����£D��£g�_¦���n¡�r£D�����¡�~��Ë�����D���~md���plg���M�¡lDmA�p����£V�p�����f���Z���f����¡m*np¦,���*mR���Z�D���VÍ�£D�D��� £Dmw���g¢kBmf�r£$�2��m*�g�2£Dn¡m¥�plg���Ë���]£$�D��� £DmP�2��~£V�¡�~��¹�gm½��¢Vmo��¡�Åågmo¢/���g¢¹�$���¡�2md¢¤�¡�¤�5���pl/mo�~mo��m*� �¡����¹�¬k°�;�¤�1��$�2���2�pm*� �(k(�~�pl¹�pl$m½¢V���$�������*�°��¦`�plDmf�$np��D�~mo�¹�º lD���w���w�¥�p�Å�¡£$���¡�~��c�2�����~����nJ�¡�½�f�1�����¡�2���*����å$�D�~�pm( ���~£$�¬mB¦��np�P£D�����p�����¬�p�¥k(lD����lc���5��t j vn¡mo¢V£$�*mo�P¦���n¬�¡lDmÂ����kBmo�2�¬�n¡¢VmonPmo�~mo��m*� �¡�o� º l�£$�o�wkAm¹�*���Ç�5��n¡np��kæ¦�n¡���ç�¡lDm¹m1¨��pmo�$�p�~ m���Å�¡m*n����p£$npm¬¢Vm* ���pmd¢¹�p�!�plDm�¢Vmo �m*�����$�¬mo� �&���g¢?���$���~�V�p���Ë��¦w��£D��monp���*���Z§$£D¨�md��k(�~�pl$�~�{�plDm�1�� �pm1¨�����¦Jå$�D�~�pm¬ �����£D��mf��m1�¡lD�V¢D�*�_m� Ág�~�g£D��k(�~�$¢D�~�DÁÂ���Â���~�$mo��n¡��Éo���¡�~��¹��nË���D�Dn¡�;¨V�~�c���¡mè ��m*�c���$�¹�p���� �mon¡�B�p£$��l/��� è ��mc| ß�d���$�w�DÁ � £D���2�2Í2â&�plDm*n¥| j ���$��n°éw���/êMmom*n½| ë�à;�Z§$£V¨Vmo�o�ÄD��n(�p�~���D�����1�~���!���$¢!Á�mo�Dm*n������Å����kBm¥£$�2m¥�p£D�$�pmo� £Dm*� �¡�~���¡lDmf�2�����D�~mfê`��¨�Í�Ä$np��mo¢Dnp����l$��§$£V¨��¦O�pl$m¥¦���n¡� ©!»ª « © ª t,­ ª vZ�7© ª t~ì ª vß Ôæí îOíß t�ì ª Ô ­ ª vï�k(lDmonpm!­ ª n¡m1¦�mon¡�f�p�?�¡lDm¤���V�*���B�1��¬�$£V�pmd¢=�2��~£D�p�����F���$¢?ì ª n¡m1¦�m*n��¥�¡�/�plDm]�2��~£D�p�����F����pl$m��Dmo�~Ál �5��n¡���DÁ½m*��m*��mo��d� º lDmË¢V���¡�2���$���¡�~ m(�pmonp�ð���A�¡�*���~md¢�� � í î`í k(lD����l¤n¡m*�Dn¡mo�pm*� �¡�R�plDm�c��¨V���r£D�ñt,�~�V�o����vBm*��Á�m*�� �����£Dm¥��¦`�plDm¥§g£V¨]ò ���*���D�����

Page 8: 0 1!324 56 7'faculty.nps.edu/fxgirald/postscript/dgm_sphere.pdf · B£ B p¨; Q£S b¡' 9 B ' b J L £b ! L .¡% < L L .¡% < L B ' % G _ b B 7 B£ B ³ ´ L ] T§

ó ôOõ�öZ÷`øVùRúAû�üZý�þoÿZüZ÷��Jý��wû;÷��Où��f÷Jö��OöVÿ`ú���� �������� � ����

� ��� ��� ��� � � �"!$#% � �&#(')% � ��# � �*# ��� �+!$,-% ��� , ��� ,.')% ��� , ��� �+!$/�% ��� / ��� / ��� /)'0%1322465

798;:=<>: % � �0�*?A@B 8;:.:=CEDF:*G�HJI KML;:=NPO Q�R>8S:UTSL-VXWYI&Z*O&[;C\I G]I <^:U_ �a` % 5 % 5 %)'0b � 5 %c!db �fe*gih NjLSZk8XR>8lIJRm n�m � m % m ' b � 5C\NoR>8;:dpqI V�CMprLSps7tI�H&:uNjvw:*:yxcO&QzR^8;:{N>8SI KMKEOJ7|7PI R>:=<�:=}YLSIJR^CEOFGSNo:*GYR^:*<^CEG;D0R^8;:{~�I VY�� <^CM:=x-<^CMZk8lN(TSL-V����8;CMKE:�CER�CMN�7P:*KMK���G;OJ79G�R>8SI RqR>8;:�LSN>:�O QUIu~�IJV�� � <^CE:yx-<^CMZk8SNzTSL;V)CMGI(Z�K\I&N^NjC\Z*I&KS�SGSC3R^:�HFO&KML;p�:�Q�OF<>pzL;KMI R>CMO&G�KM:=IFx;N�R>O�IrHF:*<^�qx-CMN^N>CEvSI R>CMH&:�N>Zk8;:=p�: h R>8;C\NtC\N�KMCM�&:��79C\Nj:U��G;OJ79GXR>Oq[w:.prLSZk8]KE:yN>NtO&Q�I(v;<^O&[SKE:=p�CEG�I(8;CMD&8-��O&<kx-:=<�Q�OF<>pzL;K\IJR>CMO&G��t� �����B OqN>CEp�v;KMC3Q��XpqIJRjR^:*<kNPQ�L;<>R>8;:=<9Q�O&<9[wO R^8XQ�OF<>pzL;K\IJR>CMO&GlN h KM:�R�LSN9CMGYR><^O-x-LSZ�:���E� ���w�.� �����i� � �-� �i�-¡F� 5$¢ �E� ���w�.� �����i�>£ � �-���i�;¡F� 5 � ó �

I&N�R>8S:(pqIFN>N�pqIJR><^CEV+I GSx¤R>8;:qx-CE¥w:=<>:=GYR>C\IJR>CMO&G+O&vw:*<kIJR>OF< h <^:=N>vl:yZ¦R^CEHF:*KM�&�.§�O&R>:(R>8SI R ¢ �� ¢ � 5>¢ � 5>¢ � ��CMN�I�HF:=Z�R>O&<9O&Q�pqI R><^CMZ*:=N9Z�OF<><^:=N>vwO&GSx-CMG;D(R>O�Iqx;CMN^Z�<^:�R^:�DF<^IFx-CM:*GYR�O&vw:*<kIJR^O&<y�B O�IFZ*Z*O&L;GYRtQ�O&<tR^8;:¨NjOFL;<kZ�:�7�:¨x-:*�SG;:© �E� �«ª&¬­U®U¯E°t±f²j³�´µ¶�· ¸ ¹ ²

º ¶ � ¸ � � � ¶ � �i� � ¸ � �i� � � ���i� � � ���i�-¡Y�I Glx »½¼�M� �¾�l�¨� ��� �i� � �����i�j£ �À¿ � �i�-¡Y�798;:=<>: ¢ h © I Glx » ¼ I&<>:.Á �ÂHF:=Z¦R^O&<kNÃO&Q�pqI R><^CMZ*:=N=�� CMGSI&KEKM�Ä7P:UCEGYR><^O-x-LSZ*:�R^8;:.O&vw:*<kIJR^O&<9I&N^N>O�Z*CMI R>:yx�79CER>8]R>8;:¨N>L;<>Q�I&Z*:�CMGYR>:=D&<kI KI&N���E� �¾Å�Æ*�r� �����i� � �-� �i�-¡Y� 5798;:=<>:ÃÇ;CEGSZ*KELlx-:=N�R>8;:ÃR><kI&Z*:ÀO Q;G;O-x-:yN�O&GUR^8;:iQ�IFZ�:�O Q�ÈoO&G;KM�&��É�:=G;O R^CEGSD9R>8;:�KEO-Z=I K&:=KE:=p�:*GYRj�79C\Nj:.DF<>C\x]H&:=Z�R>OF<�O Q�R>8;:rD&:*OFvlO&R>:=GFR^CMI&K�I&N�Ê ° h R>8S:rÁ�p�O&p�:*GYR>LSpaZ*O&p�vlOFG;:*GYRkN�I&N�Ê�Ë °I Glx�R>8S:�Z*O&<^<>:yNjvwO&Glx-CEGSDÄN�RkIJR^:zHF:=Z¦R^O&<UI&N � ° � � Ê ° 5 Ê9Ë ° � g 7P:�Z*I G"G;OJ7Ì:�V-v;<^:=N^N�R>8;:N>:*p�C3�Íx-C\N>Z*<>:*R>:.I vSv;<>O�V-CMpqIJR>CMO&GÄO Q�R>8;:¨x-CMH&:=<>DF:*GSZ*:�Q�OF<>p h;Î }l� � � � h IFN��ÏÍÐtÑ{�+� ¡¡&Ò � ° ' ¢ �y� ° � � ° � � !ÔÓ � �» ¼ ©�Õ"Ö � ° � ×F�

' Ó � ��ÙØ Ï�Ú�Ñ{� Ö Ó �� ° Ö ' ÏÍÐtÑ{� � � ° � � ° � ! �XÛ � 5

Page 9: 0 1!324 56 7'faculty.nps.edu/fxgirald/postscript/dgm_sphere.pdf · B£ B p¨; Q£S b¡' 9 B ' b J L £b ! L .¡% < L L .¡% < L B ' % G _ b B 7 B£ B ³ ´ L ] T§

Ü�Ý�Þ�ß�àzÞÀá�âcã-Ý�ä¤å�æ�ç]è*é�æfçwä�ê�ë�ßfàqèyæ�ß�à�à;Ýì�ì.ßlå�çwä¤ç�í�îfßSå�ê�Ý�Ü�è ïð9ñ;ò*ó^òqô�õqö\÷¨øoókø ù;úYû�ó.öMü-ò=ùYý>öEý�þ"ÿqøJý^ó>ö��$ø&ùSü$ý>ñSò���ø��&ókø ù��Fòzÿ���3ý^ö��EöMò*ók÷rø&ó>ò ���&ùYý^ø&öEù;òyüöMù+ý^ñ;ò�ü-ö\ø����FùSø��ÿqøJý^ó>ö��������Ôü-ö\ø���� �������������������! ��"$#&%('*) öEùSø��Mþ¤ðPò�ñSø,+&ò(öEùYý^ó-�-ü.���*ò=ü¤ý>ñ;òø ó^ókø�þ�÷/��0�ù��-ü;ø��;ñ�þ�÷>ö1�*ø�2���3�&ókü-öEùløJý>òy÷��.4 � �5� 6 � ��7 � �-8 � %:9;'< öEÿ�ö�Mø&ó-Mþ��-ðPò=�*ø&ù]ò��.;ó>òy÷>÷�ý^ñ;ò?>�ó>ò=ò*ù2@ ÷A0$�&ó^ÿB��CED '1FHG�I ���S÷>öEù��zý^ñ;ò¨ø�JK�L+&ò�ù��&ý^øJý^ö��Fù]øF÷F ôNMAOQP I;RRTS U �WVYX 9[Z,\ � F U � I � V^]`_ _acb`dfehg U � Fji _ Ik ]l_ __ �ôjmAOnP g ]o_4 � g V F ô M O )pI \�q �ôÍùnJK� ý>ñn�=ø&÷>ò=÷rð�ò��=ø ùr�s�Fÿt��-ý>òÄý>ñ;òu��ø��Fó^ø&ù��&ò�ÿ���3ý^ö��EöMò*ók÷¨öMù�ø�ðtø�þ"÷>öEÿ�ö�Mø&ó.ý-�¤ý>ñ;ò�s�FùYý>öMùv�����S÷A�*øF÷jòT�vC/D '1F$w3I ��ö ' ò ' �.J�þ�ó>òxDv�;öEó^öMù��¨ý^ñSøJýPý>ñ;òUü-ö\÷-�*ó>ò*ý>ò�ÿy�Fÿ�ò*ùYý-�;ÿ«öM÷/z�FöEùYý�ð9ö\÷jòù��Fó>ÿqø��ý{�(ý>ñ;ò=K�F÷>ö3ý^ö��Fùu+Fò|��ý-�&ó '}T~:��~1}v~��;�����y�.�����&�L�H���L�h�L�B���1���H�����s�.�N�&�L�(���s�*�L���[�;�����l�.�(���&�ô�ýPö\÷Pð/�Fójý^ñ�ò*ÿt;ñSøF÷jö��*öMù��rý>ñSø ýAJK� ý^ñX÷{�kñ;ò*ÿ�ò=÷/�&ö�+&ò=ùÄø�JK�L+&ò�ø ó^ò�0$���Mþqòs�.�Mö��*ö3ýtöEùÄý>öMÿ�ò��ö ' ò ' ��öMù��s�FùFý^ó^øF÷�ý9ý{�Xø ��MøF÷>÷>ö1�*ø�2�Sù;öEý>ò(ò�Mò*ÿ�ò*ùYý�� ÷�wò|��ý>ókø�fò�Mò*ÿ�ò*ùYý�÷{�kñ;ò*ÿ�òzù�� �����Jlø�føF÷�û÷>ò*ÿ?J�EþXöM÷9ó^ò|Dv�;öMó^ò=üoø ùSüXý^ñ;ò=0$�&ó^ÿ?��Mø ý>ö��&ùoöM÷�Sø ókø��Eò|2J�þu���&ùS÷jý>ó{���¦ý^ö��Fù 'E� ÷�ø ùoò��-ø&ÿt�Eò��0tý^ñ;òÄöMÿtSø���ý���09ý^ñ;ö\÷?�s�FùS÷>öMü-ò=ózø&ùdö����F÷^ø ñ;òyü-ó^ø�;�&ó^ö\ü�Jlø&÷>ò=üh�&ù�DT�lø&ü-ó^ö�\øJý^ò*ókø�\÷ ' CÃøT�kñò�Mò*ÿ�ò=ùFýtñSøF÷;�&ù�Eþ w òyü.�&ò�ù;ò*ö��&ñ3JK�&ók÷;J��;ýtøF÷Ãÿqø ù�þqø&÷ ï +Fò*ó>ý>òs�qù;ò=ö��Fñ3Jz�Fó^÷ ' � ñSöM÷Pü-ö\÷�Sø&ójûöEý�þyJwò�ý�ðPò*ò=ùÄòyü.�&ò�ø ùSü*+Fò*ó>ý>ò��(ù;ò=ö��Fñ3Jz�Fó^÷E�&ò�ýk÷�÷>ö��&ù;ö��z�*ø&ùYý-Mþ(ðA�&ók÷>ò9öEùÄý>ñ;ó^ò*ò�ü-öEÿ�ò=ùS÷jö��&ùl÷ '� ñ;ò=ó>ò�0$�&ó^ò��fø�3ý^ñ������&ñ$ý>ñ;ò�Eò=ù�� ý^ñY��0tý>ñ;ò ���&ÿ�ÿ?�;ùSö��=øJý>ö��&ùuÿ�ò=÷^÷^ø��&òy0$�Fó�Jz�&ý>ñuý^ñ;ò < C/Pø ùlü�¡¢>¢P£0$�&ó^ÿ?��\øJý^ö��FùS÷�ø ó^òoò|Dv�Sø�H��¤ F�wT¥ k§¦ I ���&ó^ó>òy÷�K�&ùlü-öEù��+ý{�uý>ñ;ò�òyü.�&òoù��-ü-òy÷��ý>ñSò¢���&ÿ�ÿ?�Sù;ö��=øJý^ö��FùÄó^ò|Dv�;öMó>ò=ÿ(ò=ùYý^÷A��0�ý^ñ;ò�ý�ð/��÷{�kñ;ò*ÿ�ò=÷tø&ó>ò¨+&ò=ó>þqü-ö�©wò=ó>ò=ùYý9øF÷�ý>ñ;ò < C/P0$�&ó^ÿ?��Mø ý>ö��&ùoñSø&÷�ý-�����&ÿ�ÿ?�Sù;ö��=øJý^ò.ý>ñ;ö\÷�ÿ�òy÷>÷^ø��FòUý-�Äø ýªEòyø&÷jý�ý�ð9ö1��òrøF÷�ÿqø ù�þÄùSò*ö��&ñ3Jz�Fó^÷ø&÷töMù]ý>ñ;ò�¡¢>¢P«0$�&ó^ÿ?��\øJý^ö��Fù '� ñ;òª�Fù�Eþt�L+Fò*ó^ñ;ò=øFüqø&÷^÷��.��ö\øJý^ò=ü�ð9öEý>ñÄý>ñ;ò¨¡¨>¢P¬0$�&ó^ÿ?��\øJý^ö��FùqöM÷Ãý>ñSò�øFü;ü-öEý>ö��&ùSø�lÿ�ò*ÿ(û�&ó^þ$ó>òxDT�SöEó^ò=üuý{�"÷jý-�Fó>òqý^ñ;ò]ÿ?��Eý>ö��Mò]÷-����-ý>ö��&ùl÷røJý(ý>ñSò��L+&ò=ó-\ø��;öEù���ó>ò|�&ö��&ùS÷?��09ý>ñSòXò|3ûò*ÿ�ò=ùFýk÷���ö ' ò ' ��ý^ñ;òÄòyü.�&òy÷ F ÷>ö\ü-ò=÷ I�'­) �&órñSö��Fñ-ûH�Fó^ü;ò*ó.ò�Mò*ÿ�ò=ùFýk÷¨ý^ñ;ö\÷¨ÿ�ò*ÿt�&ó^þY�L+&ò*ó^ñ;òyø&ü"öM÷�sMò=ø&ó-Mþoù;ò��TEö��&ö�J�MòzøF÷�ý^ñ;òzù3�;ÿ�Jlò=ó®��0Ãò=ü��&ò¨ý{�u+T����;ÿ�òrù��-ü-òy÷�ü;ò|��ó^ò=øF÷jòy÷�ókø�;ö\ü.Mþ�ø&÷�ý>ñ;ò�&ókü-ò=óPöMù��*ó>òyø&÷>ò=÷ '`¯±°1²2°´³/µ3¶r·/¸�¹Lº�»/¼s½l¾|µ3¿z¹,º�¾|À�¸K½Wº�½ Á d ¾|º.Â�À�»ÃÀ$¾&Ä� ñ;ò.òs�.�Mö��*ö3ý�ùløJý-�Só>ò¢��0fý>ñ;ò¨÷>ò*ÿ�öEû�ü;öM÷{��ó^ò�ý^ò®0$�Fó>ÿ���\øJý>ö��&ùÅ U �Å S �ÇÆ F U � I �ð9ñ;ò=ó>ò[Æ�÷>ö��Fù;ö��Sò=÷(ý^ñ;ò[��wò*ókøJý{�&ók÷?�Fö�+Fò*ù0öEùÈCED�÷ '�F ï I û Fji _ I �Ãÿqø úFò=÷(ö3ý�ùløJý-�Só^ø�tý-�h�S÷>òoø÷jý^ø ùlü;ø óküÄò��.�Eö1��öEýªÉf�;ù��&ò�ûNÊ¢�-ý>ý^ø(÷-�kñ;ò=ÿ�ò ';� ñ;ö\÷tþ�öEò|Mü;÷Ë�Ì � i ���������-ÍÏÎ UKÐ �� � U Ð� k�Ñ SjÒ Ð Æ F U Ð I �ð9öEý>ñ U ÐsÓ �� � UzÔ� ø&ùSü

U Ô �� � U Ô� k Ñ SÕ MÖÐ�Ó ��× Ð Æ F U Ð I �

Page 10: 0 1!324 56 7'faculty.nps.edu/fxgirald/postscript/dgm_sphere.pdf · B£ B p¨; Q£S b¡' 9 B ' b J L £b ! L .¡% < L L .¡% < L B ' % G _ b B 7 B£ B ³ ´ L ] T§

Ø|Ù Ú Û$ܱÝ�Þ.ßpà/á�â±ã�ä|å±â�Ý3æ ãlç;áxÝ ç ß�è¢Ý�ܱé�ê Ü.å�à�çëfì�í|î-í ïpð�ñòï�ó®ñ Øôpõ ï öªñ Ø õø÷�ù�ú û ðfñ û�ü ñ Ø õÏû óªñ û öªñ ôcýþ ì�í=ÿ����tí���ÿ-í������ �������&ì����-í ù � ù ��î ú í�î!ÿ�� í ù ����î{í ÷ ��ÿ ÷���� í����&ì�í��yí ÷�ù�ú ë�� ����� í ù í�î ÷��������� ÷�� í � �� �í !�#"%$#&('*)+�,� ù-/.10�2�3 4*5�673�8:9<; 6:5=6?>A@

ðõëfì�í|î-í¨ÿ-ì�í � �1� ÷���� î�� ú ú �B�jÿ���î-ÿC��� ù ���D�tí ÷ �C��î-í úE�F�6 ñ G 3 H�IJ3 H 8 3 K�I�3 K õ 3 HML�3 H 8 3 K�L�3 K õ 3 H�NF3 H 8 3 K�N13 KPO ýQ í|î-íSRT H õ K�U î-íMV�í��sÿ��2ÿ-ì�í � �1� ÷��3÷XW í�î ÷�� í � î�� ú �C��Y�í ÷�ù�ú 4 ñ R[Z õ�\Kõ�] U ÿ-ì�í � �F� ÷��^W í � �1�_��ÿ ��`a W í ù ë���ÿ-ì ÷ �C����ÿ ÷������ �&ì����-í ùbWL÷�� ��íc��dAÿ-ì�í*ÿC���tí_ef�jÿ{íM�+� ÿ��B��ëAí ��� ù �Lë ù ÿ-ì ÷ ÿ�ì�� � ì1e��î ú í|î��tísÿ-ìg� ú � ÷ î{íc��î�� ù ítÿ��h� ù �jÿ ÷�� � � � ÿ���í=� ú ��í ÿC�[ÿ{ì�í ù � ù�� � ù í ÷ î��,��iF� ù���÷�ù�ú+�1÷ �j k��dú �B�C�C��� ÷ ÿ���� ù �l��í|í í ` �g` 2 Øxô > ` þ ì��������!� ÷ î�ÿ����M� ��÷ î ��� ÿ{îC��ímd[��î!��î�� ��� íM�c��ë���ÿ-ì:� ÷ î � � ùz÷������î{í��C� ��W í ú ��ì�í ù ���tí ùz÷ ëfì�í�î{í ÿ-ì�í ù � ù�� � ù í ÷ îc�,��iF� ù�� ��dªÿ-ì�ík��� � ��ÿC��� ù ë�� ÿ{ì�ÿ{ì�íonS� ��� ������_� ����÷ ÿC��� ù �D� ÷�ù ú îC� W í¨ÿ-ì�í7� ù ��ÿ ÷�� � � ��ÿ ��`þ ì�í��jÿ ÷�ù�ú�÷ î ú�÷ ����îC� ÷ �&ì�ÿ�� ÷XW ��� ú ÿ{ì����<� ù ��ÿ ÷�� � � ��ÿ � � ùy÷ �_� ù ÿ-î�� ��� í ú � ÷�ù�ù í�îl�B� ÿ-ì�î���� � ìÿ-ì�í#����íD��d ÷ ëAí ÷ =ì�� � ì1ep��î ú í�î�q � ÿ-í|îpëfì����&ìr�,� ú �sqzí�� ÿ-ì�íAìg� � ì�d$î{í�t^��í ù � � �,� ú í=��ë���ÿ-ìg���.ÿ÷�� ÿ-í|îC� ù�� ÿ-ì�í*ëAí ��� î{í��C� ��W í úk� �Lëud$î-í=t���í ù � � �,� ú í�� `,v �¢ì ÷ � � í�í ù ��ì��Lë ù � W í|î®ÿ{ì�í ��÷ �jÿú í=� ÷�ú íw�C�g�&ìxq � ÿ-í�î�� ù�� � ÷�ùx� í ÷ ��� � ��í ú ë�� ÿ{ì�����ÿy� ÷ �sî��sq��M� ùg� �C�Kí���ÿ{î ÷��2÷ ���_��î ÷ � � 2 Øxô � ô�z > `{ íE�-ì ÷���� d[�1�M�g��� ù ÿ-ì�ícq � ÿ{í�îj� ú í W í � ���Kí úb�F�b| � �.ú 2 }~> ÷�ùzú+�;÷�ù�ú í W í ù 2 } Ø > ` { ì�� � íÿ-ì�í��-í�q � ÿ-í�îj�m�Kí�îCd[��î�� ë/í ��� �Aÿ-ì�í���îx�g��í ÷ î{í� ù �Lë ù ÿC���J���-í ú ���m�_� � ÿC��í��E� ùÇ÷ � ��÷ �C�C�B� ÷���C�zí=��ÿ-î ÷�� í � íM�tí ù ÿ,�C�&ì�í��tí ëfì�í�î{í ÿ{ì�íx�C� � �.ÿ���� ù ����î-í=t^����î{í ú ÿ�� � íx�_� ù ÿC� ù �g���g� `hv ��ë/í�-ì ÷���� ��í|í7��ì��Tî�ÿ ��� �.ì��LëAí W í|î��vÿ{ì�í��-í ú �s�m�M� � ÿ���í=� WL÷�ù ���-ìx� ù ÿ-ì�í��M��î{î-í ù ÿDd[�TîC�!� ��÷ ÿC��� ù`&�� ��� �Lë�� ù�� ÿ-ì�í ú �����_���C�C��� ù � ù 2 }�> ���_� ù ��� ú í�îAÿ{ì�í��jÿ ÷ ÿ{í WL÷ îC� ÷���� í������J��� ÷ �� � R�� U ñ�� �D� ð��[��� � ð � � R[� � U�� � R�� U ñ ���[� � ��#�� ���X� � R H�U � � R K�U õëfì�í|î-í � � R�� U �B�!ÿ{ì�í�' ÷�� î ÷�ù�� íw��� ���3ù ���r� ÷���÷ �����1�_� ÷ ÿ{í ú ë�� ÿ{ì[ÿ-ì�í������ ù ÿj�M�g� � � � � R H�U ÷�ùzú� � R K�U ÿ{ì�í�'2í � í ùzú î-í7�J� ���3ù ���,� ÷�� �D� ù H ÷�ù�ú K �zî-í=���Kí��sÿC� W í ��� � ÷�ù�ú �� ��� ÿ{ì�í ú �B�C��î-í�ÿ-í�'±í � eí ùzú î-í�í_i1� ÷�ù ����� ù �M�víM�m�_��í ù ÿ��!��d!ÿ-ì�í���ÿ ÷ ÿ-í W í���ÿ���îr�_���,����ÿ-í ú��^� �g�C� ùg� ÿ-ì�íx'2í � í ù�ú î{ít^� ÷�ú î ÷ ÿC��î{í `þ ì�íwq � ÿ-í�î�� ù��*÷ ����î�� ÷ �&ìE��î����J���-í ú � ù 2 }~> � ùFW � ��W í=�/ÿ-ì�í=ëAíM� � ìvÿ-í ú �C����J�� ñ R Ø��*� U � � 8 � ����� � ���J� � � � �� ��� � � R H�U � � R K�U õ R Ø�Ø Uëfì�í|î-í � ���?ÿ-ì�ímq � ÿ-í|î�ëAíM� � ìvÿC� ù�� ��� ` í ` � � ñ Ù î{íM��î{í��-í ù ÿj� ù ��q � ÿ{í�î�� ù��Y÷�ù�ú � ñ Ø d[� ���q � ÿ-í|îC� ù��g  ÿ � ���B� ÷������ � � ñ Ù�ý ô ��������í ú RT��í|í 2 ô�z >�U ` &���î-ÿ-ì�í�î��r�Tî-í� � ñ¢¡ Ø d[�T<¥%¦�h§ � @�¨� @©¨~ª d[�T�":£?"«¬ R Øxô U

Page 11: 0 1!324 56 7'faculty.nps.edu/fxgirald/postscript/dgm_sphere.pdf · B£ B p¨; Q£S b¡' 9 B ' b J L £b ! L .¡% < L L .¡% < L B ' % G _ b B 7 B£ B ³ ´ L ] T§

­(®(¯°�±!¯l²(³µ´1®(¶¸·�¹»ºx¼�½©¹»º©¶¾�¿�°�±c¼=¹»°�±F±1®ÀÁÀ7°g·»ºJ¶�º�Â(Ã�°g·¾�®(­(¼ Ä�ÄÅBÆ#ÇCÈ�ÉwÊgË�ÇCÉ�Ì�Í[Î�ÏgÐ_ÇCÅ�Ñ�ϸÒ�Å�ÇCÈ�ÓkÔJÉMÅ�Ï�Õ,Ç�È�É�Ö#Ñ~×FØ1ÙAÚ<Û�ÏgØ1ÉMÜ�ÉMÏEÊgËsÇ�ÉMÌ�Ý Þ~ß�Û�ÏgØxà(áãâ�ä�å�å�å�äCæçÛ�Ì�ÉÇCÈgÉmè,ÑFØ�É�Æ�Û�éJÉ=Ð ÇCÉ=Ø+ÔF×hÇCÈgÉcÊgË�ÇCÉMÌ=êlÓFëmÅBÆ�Ø1ÉMÊgÏ�É�Ø+Ë�Å�ì�ÉMÒ�ÅBÆCÉ�íxîyÑ�Ç�É,ÇCÈgÛ�Ç�ÇCÈ�ÉmÊgËsÇ�ÉMÌ�Å�ÏgÕ�Å�Æï ÉMÌCÍ[Ñ�Ì�èrÉ=ØkÅ�Ï*Û�ÏbÉMË�ÉMè,ÉMÏ^Ç�ÆCÉMÏgÆCÉ�í,ðfÏbÑ�Ç�È�ÉMÌ7Ò#Ñ�ÌjØ�Æ�ñÉ�Û�ÐjÈoÉ�Ë�É�èrÉ�Ï^Çw×FÅ�ÉMËBØ�ÆwÅ�Ç�Æ7Ü�ÉMÌ�×hÑ~Ò�ÏÆCÉ_ÇEÑ�ÍSÊ�ËsÇ�ÉMÌ�É�Ø«Ü~Û�Ë�Î�É�Æ�íµðfÏòÛ�Æ ï É�Ð_ÇCÌjÛ�ËPÉ�Ë�É�è,ÉMÏ^ÇmÍ[Ñ�Ì�è�ÎgË�Û�ÇCÅ�Ñ�Ï%Ð_Ñ�Ï�Ç�Å�ÏFÎ�Å�Ç�×óÑ�ÍwÇCÈ�ÉoÆ�ÇjÛ~ÇCÉÜ�É=Ð Ç�Ñ�Ì?Û�Ð_Ì�Ñ�Æ�Æ(ÉMË�ÉMè,ÉMÏ^Ç?É=Ø1Õ�É=Ælè�ÎgÆ�Ç?ÔJÉPÉMÏ�Í[Ñ�ÌjÐ_É�Øí�ô�ÆlÇCÈgÉPÊgË�ÇCÉ�ÌCÅ�Ï�Õ7Õ�Å�Ü�É=Æ<Ø1Å�éJÉ�ÌCÉ�Ï^Ç?Ü~Û�Ë�Î�É�ÆÍ[Ñ�ÌcÕ�ÌCÅBØ ï Ñ�Å�Ï^ÇjÆcÆ�ÈgÛ�ÌCÉ=Ø:ÔF×óÛ�ØXõ�Û�Ð_ÉMÏ^ÇcÉMË�ÉMè,É�Ï�ÇjÆmÆCÑ�è,É�Í[Ñ�Ì�èöÑ�ÍwÒ#ÉMÅ�Õ�È^ÇCÅ�Ï�Õ+Å�ÆrÇ�× ï ÅBÐMÛ�Ë�Ë�×Ì�É�÷^Î�Å�ÌCÉ=Ø�Ç�Ñ7ÌCÉ=Ð_Ñ~Ü�ÉMÌlÐ_Ñ�Ï�Ç�Å�ÏFÎ�Å�Ç�×�í�ø%Å�ÇCÈEÛ7Ø1ÅBÆ�Ð_Ñ�Ï^Ç�Å�ÏFÎ�Ñ�ÎgÆlÉMË�ÉMè,É�Ï�ÇlÍ[Ñ�ÌCè!Î�ËBÛ~ÇCÅ�Ñ�Ï»ñ�È�Ñ~Ò#ÉMÜ�ÉMÌ=ñÇCÈgÅ�Æ�ÐMÑ�Ì�ÌCÉ=Ð ÇCÅ�Ñ�ÏEÅ�Æ#Î�Ï�ÏgÉ�Ð_É=ÆCÆ�Û�Ì�×�ñFÈ�É�ÏgÐ_ÉSÕ�Ì�É�Û�ÇCË�×cÆ�Å�è ï Ë�Å�Í[×FÅ�ÏgÕ!Ç�È�ÉwÅ�Ï�Ð_Ë�ÎgÆ�Å�Ñ�ÏxÑ�Í�ÊgËsÇ�ÉMÌjÆ#Å�Ï^ÇCÑÇCÈgÉ�ÆCÐjÈ�É�è,É�Æ�íù�úüû�ýSþ�ý�ÿ��������cþ���� ����������ý���ÿ���� û�ÿ��������cþ�����ý�������ýSÿEý� Ñ�Ï^ÇCÌjÛ�Ì�×bÇCÑbÇCÈ�É�è,Ñ�ÌCÉ�ÇCÌjÛ�Ø�ÅsÇ�Å�Ñ�ÏgÛ�Ë�ÆCÑ�Ë�Î1ÇCÅ�Ñ�ϤÇCÉ=ÐjÈ�Ï�ÅB÷�ÎgÉ�Æ,É� ï Ë�Ñ�Å�ÇCÅ�Ï�Õ*Æ ï È�ÉMÌ�ÅBÐMÛ�ËDÈgÛ�Ì�Ùè,Ñ�Ï�ÅBÐMÆEÝ Ä Þ1ñ Ä ! ñ Ä�" ñ$# ! ñ$#&%=ßAñ�ÇCÈ�ÉEÎgÆ�ÉcÑ�ÍDÛ¸è!Î�Ë�ÇCÅ�ÙAÉ�Ë�É�èrÉ�Ï^Ç�Í[Ñ�Ì�è�Î�ËBÛ~Ç�Å�Ñ�ÏbÛ�Ë�Ë�Ñ~ÒPÆwÍ[Ñ�ÌwÇCÈ�ÉÎgÆCÉ�Ñ�Í?Û�ÏF×EÇ�× ï É�Ñ�Í<Õ�Ì�Å�Ø�ñJÉ�í Õgí�ñJÏ�Ñ�ÇSÑ�Ï�Ë�×xÎgÏgÆ�Ç�ÌCÎ�Ð ÇCÎgÌCÉ=Ø�Õ�Ì�Å�ØgÆPÔ�Î1Ç7Û�ËBÆCÑmÏ�Ñ�Ï�ÙpÐMÑ�Ï1Í[Ñ�ÌCè,Å�Ï�ÕÕ�Ì�ÅBØ�ÆMí' È�ÉEÕ�ÉMÏ�É�Ì�Û�ÇCÅ�Ñ�Ï*Ñ�Í�Ç�È�ÉEÕ�ÌCÅBØ+Ñ�Ï�ÇCÈ�É�Æ ï ÈgÉMÌ�ÉEÅBÆ!ÛhÐjÈ�Û�Ë�Ë�É�Ï�Õ�Å�Ï�Õ ï Ì�Ñ�ÔgË�É�èçÛ�ÏgØ*Å�Ï�ÇCÈgÅ�ÆÆCÉ�Ð Ç�Å�Ñ�ÏwÒ/É?Ø�É�Æ�Ð_Ì�Å�ÔJÉ(ÇCÈ�É ï Ì�ÑFÐMÉ�Ø1ÎgÌCÉ(Í[Ñ�Ì»Ð_Ñ�ÏgÆ�Ç�ÌCÎ�Ð ÇCÅ�Ï�ÕDÇ�È�É<Õ�É�Ï�ÉMÌjÛ�Ë�È�Å�Õ�ÈwÑ�ÌjØ1ÉMÌÅBÐ_Ñ^ÆCÛ�È�É�Ø�Ì�Û�ËÕ�Ì�ÅBØ ï Ì�Ñ ï Ñ�ÆCÉ�ØEÅ�Ï+Ý (�ñ Ä�) ßpí ' È�ÅBÆDÕ�Ì�Å�ØEÅ�Æ�Ø1É�ÌCÅ�Ü�É=ØcÍ[Ì�Ñ�è Ç�È�ÉwÅ�ÐMÑ�Æ�Û�È�É=Ø1ÌCÑ�ÏEÐ_Ñ�è ï ÌCÅBÆCÉ�ØmÑ�Í*# )É�÷^Î�Å�ËBÛ~ÇCÉ�Ì�Û�ËJÇCÌ�Å�Û�Ï�Õ�Î�ËBÛ�ÌDÉ�Ë�É�èrÉ�Ï^Ç�ÆPÛ�ÏgØ Ä #!Õ�Ì�Å�Ø ï Ñ�Å�Ï^ÇjÆMí' ÑcÐ_Ñ�ÏgÆ�ÇCÌ�ÎgÐ Ç�ÅBÐ_Ñ�Æ�Û�ÈgÉ�Ø1ÌjÛ�ËJÕ�Ì�Å�ØgÆ/Ò#É7Ð_Ñ�ÏgÆ�ÅBØ1É�Ì/Ç�È�É7Å�Ï�ÅsÇ�Å�Û�Ë�Å�ÐMÑ�Æ�Û�È�É=Ø1Ì�Ñ�ÏEÛ�ÏgØxÆCÎ�Ô©Ø1Å�Ü^ÅBØ1ÉÉ�Û�ÐjÈmÑ�Í»ÇCÈ�ÉSÅ�ÏgÅsÇ�Å�Û�Ë�Ç�ÌCÅBÛ�ÏgÕ�Ë�É�Æ/Ô^×mÛ�ÇCÌ�Å�Û�Ï�Õ�ÎgË�Û�Ì,+»Û�Õ�ÌjÛ�Ï�Õ�É ï Ñ�Ë�×^ÏgÑ�è,Å�Û�Ë�Ñ�Í»Ñ�ÌjØ1É�Ì.-�/�í10<Ì�Å�Ñ�ÌÇCÑkè,Û ï�ï Å�Ï�ÕhÇ�È�É�ÆCÉmÉ�Ë�É�èrÉ�Ï^Ç�Æ�Ñ�Ï^ÇCÑ�Ç�È�ÉxÆ ï È�É�ÌCÉmÅ�Ç!ÅBÆ�ÐMÑ�ÏFÜ�É�Ï�Å�ÉMÏ^Ç7ÇCÑoè,Û ï ÇCÈ�ÉEÇCÌ�Å�Û�Ï�Õ�Ë�É�ÆÑ�Ï^Ç�Ñ�ÛwÕ�Ï�Ñ�èrÑ�Ï�ÅBÐ#Æ ï Û�Ð_É�í ' È�ÉPè,Ñ^Æ�Ç<Î�ÏFÔ�ÅBÛ�ÆCÉ�ØrècÛ ïgï Å�ÏgÕ�Å�Æ<Ñ�Ô1ÇjÛ�Å�Ï�É�ØrÔF×!ècÛ ï�ï Å�Ï�Õ�Û�ÔJÑ�Î1ÇÇCÈgÉ�Ð_ÉMÏ^Ç�ÌCÑ�Å�ØxÑ�Í�ÇCÈ�ÉwÇ�ÌCÅBÛ�Ï�Õ�Ë�É=ÆMí+É_Ç325476�ä98:6<;xÔ�ÉoÇCÈgÉ+ÐMÉMÏ^ÇCÌ�Ñ�ÅBØòÑ�Í�ÇCÈgÉoÇ�ÌCÅBÛ�ÏgÕ�Ë�ÉkÒ#ÉoÒ�ÅBÆ�ÈãÇCÑóècÛ ï í ' È�É+Õ�Ï�Ñ�èrÑ�Ï�ÅBÐècÛ ï�ï Å�Ï�Õ,ÅBÆDÇCÈgÉMϸÕ�Å�Ü�É�ÏxÔF×= á > Ð_Ñ^Æ?8<Æ�Å�Ï�2@4BAC4 6 ;Æ�Å�ÏD8:6gÆCÅ�ÏD8FE:Ð_Ñ^ÆG8:6gÐMÑ�ÆG8<ÐMÑ�ÆH254AI476J; ä 2 Ä Þ&;K á > Ý Ð_Ñ^ÆG8:6gÆCÅ�ÏD8�A+Æ�Å�ÏD8:6gÐMÑ�ÆG8<ÐMÑ�Æ�2@4AI4L6J;pßÆCÅ�ÏD8 6 Æ�Å�ÏD8FE�ÐMÑ�ÆG8 6 Ð_Ñ�ÆM8<Ð_Ñ�Æ�2@4BAC4 6 ; å

' ÑcÆCÅ�è ï Ë�ÅsÍ[×xècÛ~Ç�Ç�ÉMÌjÆ�ÛrÔ�ÅsÇ=ñgÒ#ÉSÊgÌ�Æ�ÇPÛ ï�ï Ë�×EÛ,Ì�Ñ�ÇjÛ~Ç�Å�Ñ�ÏEÒ�È�É�ÌCÉ�Ô^×�N?÷JíO2 Ä ÞP;<ÔJÉ�ÐMÑ�è,É�Æ= á > ÇjÛ�ÏQ4SRAä K á > ÇjÛ�ÏD8TR�Æ�É=Ð�4SR¸ä 2 ÄHU ;Å�Ï:Ç�È�ɸÏ�ÉMÒ ÐMÑFÑ�ÌjØ1Å�Ï�Û~ÇCɸÆC×FÆ�ÇCÉ�è Ò�ÅsÇ�È:Ç�È�É�Ð_ÑFÑ�ÌjØ1Å�ÏgÛ~Ç�É�ÆV2@4»ä98&;rË�Ñ1ÐMÛ�ÇCÉ�ؤÛ~ÇW2 ) ä ) ;jí ' È�ÉÌ�Ñ�Ç�Û�ÇCÅ�Ñ�Ïxè,Û ï�ï Å�Ï�ÕcÅBÆDÕ�Å�Ü�ÉMϸÛ�Æ

4 R á Û�ÌjÐ Ç�Û�ÏYX ÐMÑ�ÆG8<ÆCÅ�Ï�2@4BAC4L6<;ÆCÅ�ÏD8 6 Æ�Å�ÏD8�E�ÐMÑ�ÆG8 6 Ð_Ñ^ÆG8<Ð_Ñ^ÆH2@4BAC4 6 ;[Z ä 2 Ä]\ ;8 R á Û�ÌjÐMÆCÅ�ÏwÝ ÐMÑ�ÆG8:6�Æ�Å�ÏD8�AbÆCÅ�ÏD8[6�Ð_Ñ^ÆG8<Ð_Ñ^ÆH254AI476J;fß�å' È�Å�Æ�Û ï�ï Ì�Ñ�Û�ÐjÈEÉMÏ�Û�Ô�Ë�É�Æ#Ç�È�É�Ð_Ñ�ÏgÆ�Ç�ÌCÎ�Ð ÇCÅ�Ñ�Ï�Ñ�Í(ÛrÕ�ÉMÏgÉMÌjÛ�Ë�ÅBÐ_Ñ�Æ�Û�ÈgÉ�Ø1ÌjÛ�ËJÕ�Ì�Å�Ø�Ø1ÉMÊgÏ�É�Ø�ÔF×æY^_ á Ä�) 2`-�/DA Ä ;9a.Eb# ) 2`-�/QA Ä ;�E Ä #�ä

Page 12: 0 1!324 56 7'faculty.nps.edu/fxgirald/postscript/dgm_sphere.pdf · B£ B p¨; Q£S b¡' 9 B ' b J L £b ! L .¡% < L L .¡% < L B ' % G _ b B 7 B£ B ³ ´ L ] T§

c d e$f`g�hjiGkml,n:o�prq�s�ojh?t$pvu1n h$u$kYw�h*g�xry$gGsjl*uzY{|~} dM� zW{��� d&�3� ��c �&�z {� }�� � z {� � d&�3��D�M����� z {� � z {| �?�T�S� z {� � � �M�:� � � �M� �?�M��� �H� �:�j�7�&���P����� �H�O� � � �P�<�H�M�T�S�����O� � ��� ��� ��� ���J ���O¡ ����¢ � � �&��� � �£�9�O�M¤�� �S� � � �O�T�M¤T� � � � ¤ � �£�r¥¦ � ��� � �M� � � �£�:�M¤&� � � � � � �&��� �S� � � � � ¤ � �£���O� � �T�7��� � � � � � �r� �§� ���M�L�M��¡?�£� �Q� � �<� � � �O�T�M¤T� � � ��H�O� � � �&�B�O�P��� �I¨ �S�&� � � � �[� ��� � �©�H�O� � � �P����¥«ªF�7�&�¬�M��¡?�£�G���S¤C� �M� � � �£�:�M¤ ��� �­���P��� ¨ �7�T� � �  � �[� ��� � � ���T� �­� �:� � �T�7��� � � � ��� �M�­� �O¤ �M��� � � � �H��� � ��� � � �[�����&�W�L�T�O�&�<�����7�9�£� �­� � �<�Y�H�O� � � �&���� ��� � �����S¤��O��� ¨ �7�T� � � � �[� �H� � � ¤ � �£� � ��� � � �S� �`� �O� � � �O�M¤�� � �&� ��� ��� � �z � } �7� zW{��� dT� zW®,¯ d°�z | } �7� zW{� � dT�b� ��c[±:�z � } c]dM� z {� � d&�3��D�M����� z � � z | �r�:�S� z � � � �M�:� � � �M� �P�S��� �H� �:�.�L�T�O�P����� �H�O� � � �P�<�²�T�S�W���O� � � � �&��� � �£�  �O�M¤³� �M� ¨ �S�&� � � � �[� ��� � � ¤ � �O�r¥ z �£��� �M� �L� �O¢ �M�T�­�£� � � � � ��� �7� � �´�O�µ� �M� � � �­�   �M�O� ����� � ��G�£� � �T�P���O�?�M�T�7�Q¶�� �O�H��· �O��� �<�M� � � �G�£� � �S��� � �V����¸ ��� ¥ � ¥OcT¥¹dG¥ºm»½¼�¾$¿�ÀºFÁLÂbÃ7ÄvÅBÆ�Â:ÇWÈ?É�Ê?ÇHˣ̰Í�ÈGË£ÃMÎJÏ Ð�ÂTÑOÂ&Å�ÂTÃMÎJÏ Ð�Ò?ÃvÌÓÏJËOÌLÂTÏWÉÔÈ?ÇYÎJÁLÂ´Ë£Õ ÈGÏ<ÒPÁLÂTÌLÇ�Ò?ÑÊPÇ�ËOÌCÒ?ϲÒ�É5ÄLÃvÕ ÎJËOÈ?Ã3ÈPÉ.Öj×�Ò?ÃvÌÙجÚÛSÜ Ý ÛSÜ.Þ�Ý Ý©ß ÝFà ÝQáâ ã ã ä å æ å ç âJæ�çâ è è é èHã[æ å ç âJæ�çâ â<å âJå âJê�é�å]æ å ç âJæ�çâ é æ é]æ å:â<ã�ã[æ å ç âJæ�çâ åHã å�ã æHã]ê ëHå]æ å ç âJæ�çã â ã ä å æ ä å ç âJä æ�çè â è é èHã[æ é�è�ã ç ë�å�è çâJå â âJå âJê�é�å]æ â�êHé å�ç é ç]ë�æ�çé]æ â é]æ å:â<ã�ã[æ åTâ�ã ã ç âJæ æHè è çå�ã â å�ã æHã]ê ëHå]æ æHã]ê ë�å�ç ã äTâJê æ�çæ æ ã ä å æ æHã]ç ã è çã æ è é èHã[æ ä å ç âJä æ�çè æ âJå âJê�é�å]æ é�è�ã ç ë�å�è çâJå æ é]æ å:â<ã�ã[æ â�êHé å�ç é ç]ë�æ�çé]æ æ å�ã æHã]ê ëHå]æ åTâ�ã ã ç âJæ æHè è çâ ã ã ä å æ å ç âJæ�çæ ã è é èHã[æ æHã]ç ã è çã ã âJå âJê�é�å]æ ä å ç âJä æ�çè ã é]æ å:â<ã�ã[æ é�è�ã ç ë�å�è çâJå ã å�ã æHã]ê ëHå]æ â�êHé å�ç é ç]ë�æ�ç

¸?�M�S�9�������G�����S¤� �M� ¡[� � � � �©����ì ¨ ¥£��c �&�.���P���Bì ¨ ¥O�9c]±T� ¢ � �H� �M�z � } �TíS�Ôî�ï�� ®�zW®.¯ d�� ��c ð&�

Page 13: 0 1!324 56 7'faculty.nps.edu/fxgirald/postscript/dgm_sphere.pdf · B£ B p¨; Q£S b¡' 9 B ' b J L £b ! L .¡% < L L .¡% < L B ' % G _ b B 7 B£ B ³ ´ L ] T§

ñ*ò*ó�ô$õ½ómö*÷ùøGò*úüûjý�þ�ÿ��vý�þvú����rôjõÿ ý�ô$õ?õGò�����ôSû�þLú�þ��jôSû��Ôò*ñ*ÿ �� ��������������������� � �! ���"�� �!# �$�%� � � �'& � # �(�

)+*-,�.0/21436587:9<;>=?/�@4/BA?*�C236.0/!@47-DFE�5G;H=6@ID%7(5J9K*�58;H7�L$@I9:*�.0L6/!@M7-DN���O*-P�=Q�SRUTVA6*�C�3�.0/!@I7�DW 7(585G/�@83X7�P�=?;HP6E�E�5G;H=�@YD%7(5Z� � � � *�P�=[�\��]��G^6� � �6_?*�P�= `# *-5G/I;H.0.HL�@�a85b*:aG/�=c;0Ped+;HE�R # R

*(� ,$�

W � =��f�gihkj<l`j ônmFoqpirtsvubwKxiyKz{ub|-}tz{oqyN~0rtzX�`�����nubmKy�u��X�����K�B�-�X���[�!��p8�$�������!��ubmKyZy-�$���[�t�!�

�������J���c��� �1¡P�aG¢6/4D%7�.H.07:£Z;HP6E2£N/4/�9:*-.HL�*:aG/¤aG¢6/J3$/�5�D%7(58CU*�P W /M7-Dna8¢6/¥@ W ¢6/�C�/M=?;>@ W L�@G@�/!=�*�,$7:9(/�RV¦¤@*�C2/�*�@8L65G/M7-D§aG¢6/J/B5G5G7�5F£¨/ML�@8/Ma8¢�/J58/�.H*-a8;H9�/M© � /B5G587(5ª�«X¬�ªt­�® � ¯ °-± � «�²v³�´Gµv¶n·¸«X¬ � ��¹`º° ± « �²v³�´Gµv¶ ¹`º &

»�/�58/ « ¬ 58/�365G/�@8/BP`aG@¨a8¢�/ W 7�C236L6a8/�=c@�aG*:aG/J9:*-5G;H*�,6.0/!@F*-P�= « ²v³�´Gµv¶ aG¢6/J/�A6* W aZ9K*�.0L�/�@F£Z¢6/�P*K9:*-;H.H*�,6.H/�R�)F¢6/ E�.H7�,�*�.§/B5G5G7�5�;>@ W 7�C236L?aG/�=¼*(@¤*�,6587(½�/�PcP�7�5GC¾L�@8;HP6EOaG¢6/k.H7 W *-.�¿`L�*�=65G*-Àa8L�58/!@BR

Page 14: 0 1!324 56 7'faculty.nps.edu/fxgirald/postscript/dgm_sphere.pdf · B£ B p¨; Q£S b¡' 9 B ' b J L £b ! L .¡% < L L .¡% < L B ' % G _ b B 7 B£ B ³ ´ L ] T§

ÁB Ã+Ä%ŧÆnÇ?ÈVɨÊ-˧ÌÍ�ΧËnÆ<Ï+Ì�Ð�Ê!Æ+Ð+È�ÑMÆ�ŧÒÓ+Å?ÎnÉ�ÐÔ<ÕBÖ(ÕB×eØGÕ�Ù�Ø4ÚBÛ(Ù�Õ!Ù¤Û�Ü8Õ¥Ý$Ù�Õ!Þ[ß0×�à�ÜbÞ?ÕBÜZØGàOØGÕ�Ù�ؤØ8á�Õ Û-âHã�à(Ü8ß0Ø8á�ä2ÙIÛ-×�Þeå%à�ÜGäæÛOå%ÜGÛ�ä�Õ�ç¨à(Ü8èå%à�ÜZÚBà�ä2é�Û-ÜGß>Ù�à(×Oê$ÕBØiç¨Õ�ÕB×�Ø8á6Õ4ØiçNà¥å%à�ÜGäkÝ�âHÛ-Ø8ßHà�×�Ù�ëYìNÛ�Ù8Õ�Ù Á�í6î?í6ï�í?ð Û-×$Þ�ñ�Ú�à�ÜGÜGÕ�Ù8é$à(×�Þ2Ø8àØ8á�Õ¨ØGÕ�Ù�Ø�ÚBÛ�Ù8Õ�Ù+ã(ß0Ö(ÕB×kßH×[ò ï`î!ó ë�ìNÛ�Ù8Õ Â á�Û(Ù+ê$Õ�ÕB×�Ý�Ù�Õ!Þ Û(Ù�Û�ØGÕ�Ù�ØVÚ�Û�Ù8ÕYå%à(Ü+Ø8á6ÕZÙ8á�Û-âHâ0à:çôçNÛ-Ø8ÕBÜÕ�õ`Ý�Û-Ø8ßHà�×�Ù+ßH×cò ö í<Á!÷?í�î�î<í�î�ïKó ëVìNÛ(Ù�Õ!Ù Á(í(î?í Û�×�Þ ï á�ÛKÖ(ÕNÛ�×�Û-âHø`Ø8ß>Ú¨Ù8à�âHÝ?ØGß0à(×�Ù�Û-×�Þ Û-ÜGÕ¨Ý�Ù8Õ�ÞkØ8àÕBÖ:Û�â0Ý�Û-Ø8ÕJØGá6ÕkÛ(ÚBÚ�Ý�ÜGÛ(Ú�ø�à�å�Ø8á6Õ�Þ?ßHÙGÚ�à(×`Ø8ßH×`Ý�à�Ý�Ù¤ùMÛ�â0Õ�Ü8è<ßH×[ä�ÕBØ8á6à?Þ¼õ`Ý�Û�×`Ø8ß0ØGÛ:ØGß0Ö(ÕBâHø�ë¤ìNÛ�Ù8Õ�ÙÂ�í6ð6í Û-×�Þ�ñ í à�×�Ø8á6ÕMà-ØGá6ÕBÜFá�Û�×�Þ í Þ?à�×6à�ØFá$ÛKÖ�ÕIÛ�×�Û-âHø`Ø8ß>ÚIÙ8à�âHÝ?ØGß0à(×�Ù¨Û�×�ÞcÛ-ÜGÕ�Ø8á<Ý�ÙFÝ$Ù�Õ!ÞUØ8àà�ê6ØGÛ-ßH× Û4õ`Ý�Û-âHß0ØGÛ:ØGß0Ö(Õ¨Û(Ù8Ù8Õ�ÙGÙ�ä2Õ�×(Ø+à-å6ØGá6ÕZÛ�Ú�Ú�Ý6ÜbÛ�ÚBøIà�å6Ø8á6ÕZÙGÚbá6ÕBä2Õ(ë§ú¡× Û(Þ6Þ?ß0Ø8ßHà�× í ìNÛ�Ù8ÕFû�ßHÙÝ�Ù8Õ�Þ¥Ø8àIØ8Õ�Ù�Ø�à�Ý6Ü�Ù8Úbá�ÕBä2ÕYà(×¥ü�à:ç�Ù+Ú�à(×(ØbÛ-ßH×6ßH×6ã¤×6à(×?ý¡Ù�ä2à<à-ØGá¥à�Ü+Ý6×�Þ?Õ�Ü�ývÜGÕ�Ù8à�âHÖ�Õ�ÞJÙ8à�âHÝ?ØGß0à(×�ÙBëþ à(Ü�ØGá6ßHÙYØ8Õ!ÙiØFÚBÛ(Ù�Õ�çNÕ¤ÚBà�ä2é�Û-ÜGÕZà�Ý�ÜY×6à?Þ6Û�â$ÿMù�� ÙGÚbá6ÕBä2Õ�çZß0Ø8áUØGá6ÕIÚBà�×`Ø8ßH×<Ý6à�Ý$Ù�Ù�éXÕ�Ú�Ø8ÜbÛ-âÕBâHÕBä2Õ�×(Ø�ä2ÕBØ8á6à?Þcß0×Sò Á�÷Kó ë���������� ��������������������������������� �"!�#%$'& á6ß>Ù�Ú�Û�Ù8Õ4ÚBà�×�ÚBÕBÜG×�Ù¨Ø8á6Õ¥Ù8à�âHßHÞ�ê$à?Þ?ø�Ü8à�ØGÛ-Ø8ßHà�×�à�åÛcÚ�à(Ù8ßH×6Õ çFÛKÖ�Õ(ëMúvØMà(×6âHø[Ø8Õ�Ù�ØGÙ4ØGá6Õ2äUÛ�ÙGÙ¤Õ!õ(Ý$Û:Ø8ßHà�×QÛ�ÙIØ8á�Õ�Ö(ÕBâHà?Ú�ß0Øiø)($ÕBâ>Þ�ß>ÙMÛ�ÙGÙ�Ý6ä2Õ!ÞeØ8àÜGÕBäUÛ-ßH×SÝ6×�Úbá�Û�×6ã�Õ!ÞQØ8á6ÜGà�Ý�ã�á6à(Ý?Ø¥Ø8á�Õ�Ú�à(ä2é6Ý?ØGÛ-Ø8ßHà�×�ë & á6Õ�ÚBà(Ù8ß0×6Õ�çNÛKÖ(ÕOÚ�à(ä�é�â0ÕBØ8Õ�Ùkà�×6Õå%Ý6âHâ�ÜGÕBÖ�à(â0Ý6Ø8ßHà�×[Û:å Ø8Õ�Ü Á!î Þ6ÛKø?ÙNà-å�ß0×`ØGÕBã�ÜbÛ:ØGß0à(×�ë�������+*, +-/.0!�12�3.4������5�3������������76�!�#8.9�:#����;=<>!3#���.?-@�!���� ;A!�BDC,�"�FE?.0!3G?$?& á6ß>ÙZÚBÛ(Ù�Õ4ß>ÙNÛÙ�Ø8Õ�Û(Þ?ø`ývÙ�ØGÛ-Ø8Õ¥Ù8à�âHÝ?Ø8ßHà�×[ØGàOØGá6Õ¥×6à(×6â0ßH×6Õ!Û-ÜIÙ8á�Û�â0âHà:ç�çFÛ:ØGÕBÜ�Õ!õ`Ý�Û:ØGß0à(×�ÙBë & á�Õ¥Õ�õ`Ý�Û-Ø8ßHà�×�ÙIÛ-ÜGÕã�Õ�à(Ù�Ø8ÜGà�é6á�ßHÚ�Û-âHâ0ø¼ê$Û-â>Û-×�ÚBÕ�ÞSÛ-×$Þ¸Ü8Õ�ä2Û�ß0× Ù8àeå%à(Ü¥Ø8á�Õ�Þ?Ý6ÜbÛ:ØGß0à(×Sà-åZØGá6ÕOßH×(ØGÕBã(ÜGÛ-Ø8ßHà�×�ë & á6ÕÖ�Õ�â0à?ÚBß ØiøH(�ÕBâ>Þ�Ø8á<Ý�ÙYÜ8Õ�ä2Û�ß0×$Ù�Ú�à(×�ÙiØbÛ-×`ØVØ8á�Ü8à(Ý6ã�á6à(Ý?ØVØ8á�Õ¤Ú�à(ä�é�Ý?ØGÛ-Ø8ßHà�×�ë & á6Õ�ã(ÕBà�éXà-ØGÕB×`Ø8ß>Û-âá6Õ�ß0ã(á(Ø�I�Ý6×�Þ?Õ�Ü8ã(à`Õ!Ù�Û�Ù8à�âHß>Þ[ê$à?Þ?ø[ÜGà-ØGÛ-Ø8ßHà�×eê6Ý6Ø4Ù8ß0×�ÚBÕ¥ØGá6ÕkßH×6ß0Ø8ß>Û-â+á6ÕBßHã�á`Ø7($ÕBâ>ÞeßHÙIã�ßHÖ�Õ�×Û�ÙYÛJÚ�à�×$ÙiØbÛ-×`ØVê�Û-×�Þ í ØGá6Õ¤Ù8à�âHÝ?Ø8ßHà�×2ÜGÕBäUÛ-ßH×�Ù+Ø8á�Õ¤Ù8Û�ä2ÕFØ8á6ÜGà�Ý6ã(á6à�Ý6Ø+ØGá6ÕZØGß0ä2Õ�ßH×`Ø8ÕBã(ÜGÛ-Ø8ßHà�×�ë

& á6Õ�Ö�ÕBâHà?Ú�ß0ØiøJ(�ÕBâ>Þ ß>Ù�ØGá6Õ�ÙGÛ-ä2ÕQÛ�Ù�Ø8á�Û-Ø�Ý�Ù8Õ�Þ ß0×'ìNÛ(Ù�Õ Á ëLK ß0âHâ0ß>Û-äUÙ8à�×�ÕBØ[Û�â ë\ò ï(î!óÜGÕ�Ú�à(ä2ä�Õ�×�Þ�Ø8á�Û-ØZØ8á6ÕJÕ�Ü8ÜGà�ÜFêXÕ¥Ú�à�ä2é6Ý6Ø8Õ�ÞcÛ:å ØGÕBÜ ð Þ6ÛKø?ÙNà-å�ßH×(ØGÕBã(ÜGÛ-Ø8ßHà�×�ë��������M� N���������������������'6�!�#8.9�:#����;N<>!�#%��.O-��!P�Q� ;A!2B8C,�"�/E'.R!�GSG��:�:C)�'!3T�B8�5��4��UVB5B8!�;Q��$

& á6ß>ÙZÚBÛ(Ù�Õ4ßHÙFÙ8ß0ä2ßHâHÛ�ÜNØ8à�ìNÛ�Ù8Õ î Õ�W6ÚBÕBé?ØFØ8á$Û:ØFØ8á6ÕMÖ(ÕBâHà<ÚBß ØiøUß>ÙYXBÕ�Ü8à�ÕBÖ(ÕBÜGø`çZá�ÕBÜGÕ¤Õ�W6ÚBÕBé?ØZßH×Û Ö�ÕBÜGøOÙ8ä2Û�â0â�ß>Ù�à(âHÛ-Ø8Õ!ÞOÜGÕBã�ßHà�קë & á6ß>ÙFß>Ù�à(âHÛ-Ø8Õ�Þ�Ü8Õ�ã�ßHà�× í à(Ü[ZiÕBØ í Õ�×�ÚBÛ�é�Ù�Ý�âHÛ-Ø8Õ�Ù¨ØGá6Õ4ü�à:ç Û-×$ÞâHß0ä2ß0ØGÙVØGá6Õ�ã(ÕBà�éXà-ØGÕB×`Ø8ß>Û-â�á6ÕBßHã�á`Ø�(�Õ�âHÞ�ØGàJÜ8Õ�ä2Û�ß0×2çZß0Ø8á6ßH×�ÛMÖ(ÕBÜGøkÚ�à(×\(�×6Õ!ÞUÚ�ßHÜGÚBÝ6âHÛ�ÜVÜ8Õ�ã�ßHà�×�ë] Ù�ß0×�ìNÛ�Ù8Õ î?í ØGá6ÕJÕBÜGÜ8à(ÜGÙNÛ-ÜGÕJÚ�à(ä�é�Ý?Ø8Õ!Þ�Û-å Ø8ÕBÜ ð Þ�ÛKø<Ù�ë

�������H^� �_`��#%���:#,a)b+�9aVC\�dce!3Ggfh�3�P��$i& á6ß>ÙJÚBÛ(Ù�ÕUÚBà�ä2Õ�Ù4å%ÜGà�ä ò î�îKó Û-×�Þ�ß>ÙJ×6à-Ø¥Û�×Û-×$Û-âHø(ØGßHÚMÙ8à�âHÝ?Ø8ßHà�×�Ø8à2ØGá6Õ¥Ù8á�Û-âHâ0à:ç çNÛ-Ø8ÕBÜFÕ!õ(Ý$Û:Ø8ßHà�×$ÙBë & á6ÕMßH×6ß0Ø8ß>Û-â�ã(ÕBà�éXà-ØGÕB×`Ø8ß>Û-âá�ÕBßHã�á`ØZßHÙÚ�à(ä2é6Ü8ß>Ù8Õ�Þ[à-å�ØiçNàOâ>Û-ÜGã�ÕJçFÛKÖ�Õ�ÙFçZß0Ø8á¼Ø8á6Õ â0ÕBå ØIçFÛKÖ�ÕJêXÕBßH×6ãOØGá6ÕkâHà:ç çNÛKÖ(ÕMÛ�×�Þ[ØGá6ÕkÜGß0ã(á`ØçFÛKÖ�ÕOêXÕBßH×6ã�Ø8á6Õ�á6ß0ã(áôçFÛKÖ�Õ í çZá�ÕB×ôÖ<ßHÕBçNÕ�Þ¸å%ÜGà�ä ØGá6Õ�×�à�Ü8Ø8á éXà�âHÕ�ë & á6Õ�çNÛKÖ(Õ�Ù¥ÜGà-ØbÛ:ØGÕÚ�âHà?Úbè<çZßHÙ8Õ�ßH×�ÛQÙ8çZß0ÜGâ0ßH×6ãQÞ6Û-×�ÚBÕ�ývâ0ßHè�Õ�å�Û�Ù8á6ßHà�×�ë ] å Ø8Õ�Ü Á�÷ Þ�ÛKø<Ù à-å4ß0×`ØGÕBã�ÜbÛ:ØGß0à(× í Ø8á�ÕcâHà:ççFÛKÖ�Õ4ßHÙZÛ�ã(Û-ßH×cà�×�Ø8á6ÕJâHÕ�å ؤÛ�×�Þ�Ø8á6ÕJá6ßHã�ácçFÛKÖ�Õ4ßHÙZà(×�ØGá6ÕJÜGß0ã(á(Ø!ë�������)j� k<>!3#���.lE'.R!�Gm!���;n�3#po��!3.0������hqr!�U\#����3�:#�$s& á�ßHÙJÚ�Û�Ù8Õ ß>ÙJÙ�ßHä2ß0â>Û-ÜMØGà�ìNÛ�Ù8Õî ÕW?ÚBÕBé?ØIØ8á�Û-Ø4ÛUä2à(Ý6×`ØGÛ-ßH×eá�Û(Ù�êXÕBÕB×�ß0×$Ú�âHÝ�Þ?Õ�Þ�ë & á6ß>Ù¤ß>ÙZØGá6Õkà(×6â0øcé6ÜGà�ê6âHÕBä\ßH×eØ8á�Õ¥Ø8Õ!ÙiØÚBÛ(Ù�Õ!Ù§Ù�Ø8Ý�Þ6ß0Õ!Þká6Õ�Ü8Õ¨çZá6ß>Úbá¥ß0×$Ú�âHÝ�Þ?Õ�ÙnØGà�éXà�ã�ÜbÛ-é�á`ø(ë & á6Õ¨ä�à(Ý6×`ØGÛ�ß0× ßHÙ+Ú�à(×6ßHÚ�Û-â`ß0×�Ù�á$Û-éXÕ¨Û-×$Þå%à�ÜbÚ�Õ!ÙFØ8á�ÕHXBà(×�Û-â�ü�à:ç'Ø8à�Þ?ÕBü�Õ�Ú�ؤà3tQØ8á�Õ¥ä2à�Ý6×`ØGÛ�ß0קë�ÿ¤Ý6Õ¥Ø8àUØGá6ÕHX�à�×�Û�âü�à:ç ß0ä2é6ßH×6ã(ß0×6ãà�×[ØGá6Õ¥ä2à�Ý�×(ØbÛ-ßH× í çFÛKÖ�ÕJÙ�Ø8ÜGÝ�ÚtØGÝ6ÜGÕ�ÙZå%à(Ü8äæÛ-×�Þ[é�Ü8à(é�Û-ã`Û:Ø8ÕJÛ�Ü8à(Ý6×�Þ�Ø8á6Õ Ù�é6á�ÕBÜGÕ�ë@uZÕ�Ù8Ý6â0ØGÙÛ-ÜGÕMÜ8Õ�é$à(Ü�ØGÕ�ÞOå%à�Ü¤Û Á�÷ Þ6ÛKøOßH×`Ø8Õ�ã�ÜbÛ:Ø8ßHà�×�é$Õ�Ü8ßHà?Þë�������Sv5 xw7!��2�1���"bH�3U\;QG��:�:yzfh�3�PV$ ] â ØGá6à�Ý�ã�ázuZà`Ù8Ù8ê<ø(ý�{¤Û�Ý6ÜGçZß Ø2XcçFÛKÖ�Õ!ÙUÛ-ÜGÕe×6à-ØÛ-×$Û-âHø(ØGßHÚcÙ8à�âHÝ?Ø8ßHà�×�Ù ØGà�ØGá6ÕeÙ�á�Û�â0âHà:ç çFÛ:Ø8Õ�Ü2Õ�õ`Ý�Û:ØGß0à(×�Ù í Ø8á6Õ�ø á�ÛKÖ(Õ�êXÕ�Ú�à(ä2Õ[ÛQÙ�ØGÛ-×$Þ6Û-ÜbÞØ8Õ!ÙiØ�Ú�Û�Ù8Õ�ë�ú¡×cÛ�×6à(×?ý¡Þ?ß0Ö(ÕBÜGã�Õ�×(ØNê�Û-ÜGà-ØGÜ8à(é6ß>Ú�ä2à?Þ?ÕBâ í Ø8á6ÕJßH×6ß0Ø8ß>Û-âã(ÕBà�éXà-ØGÕB×`Ø8ß>Û-â�á6Õ�ß0ã(á`ØY($ÕBâ>ÞÝ6×�Þ6ÕBÜGã�à<Õ�Ù¨ÛkÙ8à�âHßHÞ2êXà?Þ?øUÜ8à�ØGÛ-Ø8ßHà�×2ß0×cÛ¥Ú�à(Ý6×`Ø8Õ�ÜGÚBâ0à?Úbè<çZßHÙ8Õ�Þ?ßHÜ8Õ!ÚtØGß0à(×r|%çZá6Õ�×�Ö<ßHÕBçNÕ�Þ�å%ÜGà�äØ8á�ÕJ×6à�Ü8Ø8ácé$à(â0ÕP}të'uZÕ!Ù�Ý�â ØbÙ�Û-ÜGÕMÜ8Õ�é$à(Ü�ØGÕ�ÞUå%à(Ü¤Û ÁB Þ6ÛKøOßH×`Ø8ÕBã(ÜGÛ-Ø8ßHà�×�ë�������x~V x������5�����������3��)�7�3�P���d�"!3#�!������l�:;A�U\.0�3;��'!3.�U\T�#%$z& á6ß>ÙUÚBÛ(Ù�Õ[ß>ÙUÙ�ßHä2ß0â>Û-ÜØ8à�ìNÛ(Ù�Õ Á Õ�W6Ú�Õ�é?ØMØ8á�Û-ØJØ8á6Õ2äUÛ�ÙGÙ í I í ß>ÙJ×6à:ç Û(Ù8Ù8Ý6ä2Õ�Þ�Ø8à[êXÕOÛcÚBß0ÜbÚ�Ý�âHÛ�ÜMÚBà�âHÝ6ä2×�çZß0Ø8á

Page 15: 0 1!324 56 7'faculty.nps.edu/fxgirald/postscript/dgm_sphere.pdf · B£ B p¨; Q£S b¡' 9 B ' b J L £b ! L .¡% < L L .¡% < L B ' % G _ b B 7 B£ B ³ ´ L ] T§

�l�l�4�>�����l���\�l�h�[�e�)���%�e�%�4�"�O�[�n�V�e�>�,�\�4���F�8�e�����O�l�[�8�4�"�l�l� �V�

�� 3¡R¢D£�¤�¥�¦z§ ¨8© � ¨5¨�ª�«F¬/­D®¯¤=°®0±�°�¢8¡R 5±=°²5¡R¢D³k´p®¯¤�µA­D£n¶3·¸ 5´8 3¡R²5¹s²5º?µ2­D£ � ·¸¤A»¼¢8 5±A£�½Y P��£ 3´�¾¿µA­,¢8¤�´8²s¡0²�´D¹5£�±@±A£�ÀD±2£�¤A£´¼µ2¤� n¤A³k²,²3µA­�¤A²5¡R¢\µ2®0²�´4«/Áp£+À8±A£V¤Â£�´�µ7µA­D®¯¤7°� 5¤A£F®0´�²�±2¾\£�±@µA²Ã ¢8¾\¹�£¿»¼¢8 5¡0®0µ2 3µA®R�5£�¡0ÄpµA­D£¿À�£±AºÅ²5±2³k 5´8°�£)²3º�²�¢D±�´8²,¾8 3¡@·=Æ�ÇȤA°�­8£³k£i½@­D£�´�°²5´\ºÅ±2²5´¼µA£V¾½@®0µA­�¤�µ2££�À¿¹�±2 �¾\®R£´¼µ2¤�«É ´kµA­8£�ºÅ²5¡R¡R²�½@®0´D¹F½Y£7¤A­8 3¡R¡8¢�¤Â£@µ2­D£�¤A£�Ê�Ë�£�´8°�­D³n 3±2Ì\¤' 5¤lµ2­D£�¤ÂµA®¯°�Ìk 3¹� 5®0´�¤�µ'½@­D®¯°�­kµA²�³k£� �ͤA¢D±A£�µA­8£�¤2°�­D£�³`£� 3´�¾s®0µ2¤/´,¢D³k£±2®R°� 3¡%ÀD±2²5À�£±AµA®R£�¤/¤A¢8°�­) �¤N±2²5Ë8¢8¤�µ2´D£�¤2¤Y 3´8¾¿ 5°�°�¢D±� 5°Ä5«[Î8²5±µA­8£nºÅ²5±2³k£±+½Y£i¤A­8 3¡R¡?¾\®¯¤A°¢8¤2¤FµA­8£s®0³kÀ8 �°QµH²5º@�P 5±A®R²5¢�¤+¤Â®R³kÀD¡R®9Ï�°� �µ2®0²�´8¤+ 3´�¾x 3ÀDÀD±2²PÐ\®0³n 3͵A®R²5´�¤F®0´¼µ2±A²\¾\¢8°£�¾p®0´¼µ2²hµA­D£kµ�½Y²�¤A°�­D£�³k£�¤�Ñ[Ò?»,¤�«RÓdÔ�Õ�Í�Ó � ¨�Õ�Ñ4½@­D®R¡0£kµ2­D£n¡¯ �µÂµ2£±F®¯¤F£�� 5¡0¢8 3µA£V¾Ë,Äs°�²�³`À� 3±2®R¤A²5´s½@®0µA­¿£�ÐD �°Qµ@¤Â²�¡0¢\µ2®0²�´8¤/ 5¤Y½Y£¡R¡% �¤/¤�µ2¢8¾\®R£�¤/²3ºl H³k²�±A£=»�¢� 3¡R®9µ� �µA®R�5£=´8 3µA¢D±2£5«¬/­D±2²5¢D¹�­D²5¢DµNµ2­D®R¤7¤Â£V°QµA®R²5´eÑD¢D´D¡R£�¤2¤/£�Ð\ÀD¡R®R°®9µ2¡0Ä¿¤�µ� �µ2£�¾OÑ\´D²kÏ�¡9µ2£±2®0´D¹k®¯¤/¢8¤A£�¾O«

ÖO×dØ�×ÚÙ`ÛDÜVÝ"Þ�ß�à�á%â�ã¼äPå�ã,á[Þ�ãræYã,ÜçVܬe²k¾\®¯¤A°¢8¤A¤Y 3´�¾s®R¡0¡R¢8¤ÂµA±� �µA£7µA­D£� 5¾D�P 5´¼µ2 3¹�£�¤?²3ºe¢8¤A®R´D¹` H­D®R¹5­\Í�²5±�¾\£±Y¤A°�­8£³k£7ºÅ²�±Y¤A²5¡R�,®0´8¹

µA­8£=¤A­8 3¡R¡R²�½è½Y 3µA£±Y£�»¼¢8 3µA®R²5´8¤?½N£=£�ÐD 5³`®R´D£7µA­D£F¤A²5¡R¢\µA®R²5´s²5ºléY 5¤A£�¤ � ÑD¶\Ñ\ 5´8¾iêH¢8¤Â®R´D¹HµA­D£¾\®R�5£�±A¹�£´8°£7ºÅ²�±A³�²5º[µ2­D£+¤2°�­D£³k£5ÑDÒN»�«RÓdÔ�ÕQÑ\²�´D¡RÄ5«

Î[®R¹5¢8±A£�ê�¤A­D²�½�¤nµ2­D£x°�²�³`À8¢\µA£V¾z³n 5¤2¤i£�±A±2²5±iºÅ²5±)µA­D£SêJ° 5¤A£�¤i¢8¤A®0´D¹�µA­8£rºÅ²�¡0¡R²�½@®0´8¹²5±�¾\£�±2¤/²5º� �°°¢D±2 �°�Ä%ë'ìîí � Ód¾D 5¤A­D£�¾�ÕQÑ�ìïíð¶hÓ"¾\²5µÂµA£V¾8ÕQÑ%ìîíòñrÓd¾D 5¤A­D£�¾\Í�¾\²5µÂµ2£�¾8Õ�Ñ� 3´�¾ó4ô í � Ó"¤A²5¡R®R¾8Õ�«lÁp£@ÀD¡R²3µ�µ2­D£@³n 5¤2¤�£±2±2²5±l´D²5±2³m �¤� =ºÅ¢D´8°Qµ2®0²�´k²3º�µA­D£�À8±A²\¾\¢8°�µ ó4ô ìõ«>¬/­D£ìöí � ±2£�¤A¢D¡0µ2¤� 3±2£/²5Ë\µ� 3®R´D£�¾`Ë,Ä+¢8¤A®R´D¹F¡0®R´D£V 3±�£¡R£³k£�´�µ�¤lËD¢\µ?®R´8°±A£V 5¤A®0´D¹ ó4ô ºÅ²�±�®0´8°±A£V 5¤A®0´8¹ó ô ìxÑ,®d« £5«RÑ,®9µ�°�²�±A±2£�¤AÀ�²5´8¾D¤'µA²k H°¡R �¤A¤A®R°7£¡R£³k£´¼µ/±A£Ï8´D£�³`£�´¼µYÌ,´D²�½@´i �¤Y÷DÍ�±A£Ï8´D£³k£�´�µV« É ´°�²�´¼µA±� 5¤Âµ�Ñ[µA­D£ ó4ô í � ±A£V¤Â¢D¡0µ2¤�¤Â­8²�½@´x®0´xµ2­D£iÀ8¡0²5µ2¤�±A£�ÀD±A£V¤Â£�´¼µH²5¢D±`ìhµA­ø²5±�¾\£±H¤2°�­D£�³`£½@­D£�±A£F½Y£�Ì5££�À¿µA­D£F´,¢D³�Ë�£�±�²3ºl£¡R£³k£´¼µ�¤�°�²�´8¤�µ� 3´¼µ+ÓŹ�®0��£´hË,Ä ó ô í � Õ/ 5´8¾¿®0´8°±A£V 5¤A£Fì 5¤/®¯¤@¾\²�´D£F®0´�°¡R �¤A¤A®R°�­D®R¹5­\Í�²5±�¾\£�±Qù3¤ÂÀ�£�°�µA±� 3¡%°�²5´,��£±2¹5£´�°�£5«

¬/­D£�±A£V¤Â¢D¡0µ2¤/®R´�Î>®0¹�«lêk°²5´\Ï8±2³¸µ2­D£+¤ÂÀ�£�°�µA±� 3¡4 �°°�¢8±2 �°�Äk²3º[µA­D£+¤2°�­D£³k£�«l¬/­8£�¤A£=±2£�¤A¢D¡0µ2¤ 3¡¯¤A²x®0¡R¡0¢�¤�µ2±2 3µA£�½Y£¡R¡�µA­8£p 5¾D�P 5´¼µ2 3¹�£�¤k²5ú�£�±A£V¾�Ë,ÄJ­D®R¹5­\Í�²5±�¾\£±s¤2°�­D£�³`£V¤n²��5£�±n¡0²�½/Í�²5±�¾\£�±¤2°�­D£³k£�¤/®R´¿µA£�±A³n¤/²3º� 5°�°�¢D±� 5°Ä5«

û ²�½Y£�5£�±�ÑP®0µ'®R¤�°±A¢�°�®¯ 3¡¼µA²�¢D´8¾D£±�¤�µ� 3´8¾+µA­D£�°²�¤Âµ>®R´8°�¢8±A±2£�¾�Ë,ÄFµA­D®¯¤� 5¾8¾\®9µ2®0²�´8 3¡\ �°°�¢8±2 �°�Ä5«É ºDµ2­D£/­D®0¹�­\Í�²5±�¾\£±>¤A°�­D£�³k£?®¯¤[À8±A²�­D®0Ë8®9µ2®0��£¡RÄF£�Ð\À�£�´8¤A®0��£'ºÅ²5±>¡R£�5£�¡R¤>²5º� 5°�°�¢D±� 5°Ä�²5º8±A£�¡0£��� 3´8°£µA­8£´¿µA­D£+¤2°�­D£�³`£�¡R²�¤A£�¤/³�¢8°�­)²5º>®0µ2¤7 3ÀDÀ�£� 5¡d«

É ´�²5±�¾\£±@µ2²n³k£� 5¤A¢D±2£+°�²¼¤�µ7��£±�¤Â¢�¤@ 5°°¢D±� 5°�Ä�ÑD½Y£+°�²5´�¤Â®¯¾\£±�µA­D£�´¼¢8³HË�£±�²5ºl²�À�£�±2 3µA®R²5´8¤ 5¤2¤A²,°®R 3µA£V¾õ½@®0µA­�µA­8£�¾\®9ú%£±2£´¼µi¤2°�­D£³k£V¤«è¬/­D£�¤A®0³kÀD¡R£�¤Âµs±2£� 5¤A²5´� 3ËD¡R£)²�À�£�±2 3µA®R²5´J°�²5¢8´�µ®¯¤�üiÓ"ìrý�ì�þ�ÿ��� Õ�Ñ�½@­D£�±A£Sì ®¯¤)µA­D£S¡R²\° 3¡F 5ÀDÀD±2²PÐ,®R³n �µ2®0²�´è²5±�¾\£±¿²5´òµA­D£xì � £¡R£³k£´¼µ�¤«¬/­D®¯¤/£�¤ÂµA®R³n �µA£�®¯¤/²5Ë\µ� 3®R´D£�¾iË,Äs®0´�°�¡R¢8¾\®R´D¹`µA­D£Fì � £�� 5¡0¢8 3µA®R²5´8¤Y²5º4µA­D£+¾D£±2®0�� �µ2®0��£�¤�Ñ,Ë�£�®0´D¹üiÓ"ì þ ì � Õ�Ѽ 5´8¾k®0´�°�¡R¢8¾\®R´D¹H 3´n �¾D¾\®0µA®R²5´8 5¡%üiÓ"ì ��� ì � Õl½Y²5±2Ì+µ2²+ 5°°²5¢D´¼µ'ºÅ²�±�µA­8£�´,¢D³HË�£±²3º�µA®R³k£�Í�¤�µ2£À8¤'±A£V»�¢8®0±2£�¾�µA²+ �¾\�� 3´8°£/µA­D£@­8®0¹�­\Í ²�±2¾D£±�³k£�µ2­D²\¾O«�¬[ 5̼®R´D¹=µA­8£�£�Ð\ÀD±2£�¤2¤Â®R²5´HºÅ²5±ì � ºÅ±2²5³ ÒN»�«¯Ód¶5¨�Õ�Ñ,µA­D®¯¤@Ä,®0£�¡R¾8¤@ 3´h£�¤ÂµA®R³n �µA£�²5º[µ2­D£F½N²�±AÌs �¤7üsÓdì�ý ó þô ÕQ«

¬/­D£7³n 3®R´s®R´¼µA£±2£�¤Âµ?®¯¤'µ2²H¡R®0³k®0µNµ2­D£7´,¢D³�Ë�£�±N²5º4²5À�£±� �µ2®0²�´8¤�´D£�£�¾\£V¾kµA²` 5°�­D®R£��£7 F±2£�¤A¢D¡9µ½@®0µA­� 7¹5®R�5£�´H 5°�°�¢D±� 5°Ä��Vµ2­D®R¤>½@®R¡0¡,�� 3±2Ä�¾\£À�£´8¾D®0´D¹=²5´HµA­D£NÀD±2²5ËD¡R£³h«��e£�µl¢8¤[Ï8±�¤�µl°�²5´�¤Â®¯¾\£±µA­8£i±2£�¤A¢D¡9µ�¤+²5º7éY �¤Â£ � Ñl®0¡R¡R¢8¤�µ2±2 3µA£V¾S®0´øÎ>®R¹8«�ê� D«�¬> 3Ì,®0´8¹r 3´õ �°°�¢8±2 �°�Ä�²5º � ¨ þ  5¤FµA­D£¹5²¼ 3¡4Î>®R¹8«?ê� `¤A­D²�½�¤Yµ2­8 �µ�µ2­D£Fñ3µ2­h²5±�¾\£±�¤2°�­D£³k£F®¯¤/µA­8£F²5´D£F½@®0µA­hµ2­D£F¡0£V 5¤Âµ�²5À�£±� �µ2®0²�´8¤Ñ 3Ë�²5¢Dµ?­8 3¡0º�µA­8 3µ?²3º%µA­8£�¶�´8¾`²�±2¾\£�±'¤A°�­8£³k£7 3´�¾` 5¡0³k²¼¤�µ � µ2®0³k£�¤?¡0£V¤A¤�µA­8 5´kµA­D£@Ï�±2¤Âµ'²5±�¾\£±¤2°�­D£³k£5« É ´p s¤A®R³`®R¡¯ 3±�º" 5¤A­D®0²�´�²5´D£HÏ8´8¾D¤�ºÅ²�±�éY 5¤A£�¤=¶s 5´8¾�êDÑO 5´8¾� 3´p 5°°¢D±� 5°�Ä)¹5²¼ 3¡e²5º� ¨����ÑDµA­8 3µ@µA­D£+ìhµ2­h²5±�¾\£±@¤2°�­D£³k£�®R¤/³k²¼¤�µ�£� n°®0£�´¼µ�«

¬/­D£�¤A£/±A£V¤Â¢D¡0µ2¤>ÀD±2²��,®R¾D£N²�´D¡0ÄF¹�¢D®¯¾\£¡R®0´8£�¤lËD¢\µlµ2­D£Ä`¾\²=°²5´\Ï�±A³ µ2­D£@ 5¾\�� 5´�µ� 3¹�£�¤[®0´`¢8¤A®0´D¹ p­D®0¹�­\Í�²5±�¾\£±`¤A°�­D£�³k£i²��5£�±�¡R²�½Y£±� �°°¢D±2 �°�Ä�³k£�µA­8²,¾8¤«õÁè­8£�µA­8£±k²5´D£h¤A­D²5¢D¡¯¾õ¢�¤Â£iµA­D£­D®R¹5­D£V¤�µ[²5±�¾\£±e 5ÀDÀD±2²PÐ\®0³n �µ2®0²�´�À�²�¤2¤A®0ËD¡R£'²�±e±� �µA­8£±4¡R®0³k®0µeµ2­D£'²5±�¾\£�±e 3´8¾�±2£�Ï�´D£�µA­8£?£¡R£³k£�´�µ

Page 16: 0 1!324 56 7'faculty.nps.edu/fxgirald/postscript/dgm_sphere.pdf · B£ B p¨; Q£S b¡' 9 B ' b J L £b ! L .¡% < L L .¡% < L B ' % G _ b B 7 B£ B ³ ´ L ] T§

��� �������������� ��!#"�$����&%�!(')�*��'��,+-�.��/#0��$��.'

132 4 8 16 32 6410

−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

nI*N

L 2 Err

or

N=1 N=2 N=4 n

I=1

4 2 4 8 16 32 6410

−16

10−14

10−12

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

nI*N

L 2 Err

or

N=1 N=2 N=4 n

I=1

5�2 4 8 16 32 6410

−16

10−14

10−12

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

nI*N

L 2 Err

or

N=1 N=2 N=4 n

I=1

687:9<;#=; $8>�?A@CBEDFD�?:GFGFHIG�J�HIGF@LKMHIG�NF>*?AO�P QR?:GFSI?:J�T:?UKMHIGF@LHEK(NV>�?W�.�.XYT:HI@WZ[BEGVP\J�SC]\H_^`HIGVO�?:GDFTF>�?:@W?aD�bdcfehg�i�^�P NV>jNV>�?kcCNV>lHIGVO�?:G8DFTm>�?:@W?UbMn&o)prq_isKMHIG�BRi8t8BEDV?UqI��u[i�t#BEDV?�v*�[BEJ�OwT_i�t#BEDV?�xkKMHIGBUHIJ�?�O�BayjP\J�NV?:SIGmB�NVP\HIJ{z

|_}M~����h1��`�����M� 4 ������� 4 �M������������������{�����C�[�U���3���*��1�|���1�|�1 �d|_� 4 ����������������}M��� �������

Page 17: 0 1!324 56 7'faculty.nps.edu/fxgirald/postscript/dgm_sphere.pdf · B£ B p¨; Q£S b¡' 9 B ' b J L £b ! L .¡% < L L .¡% < L B ' % G _ b B 7 B£ B ³ ´ L ] T§

�.�.�8������ .¡£¢�.¤¦¥�§�¨�©�ª(§�¨(¤8«­¬#���h©*§����&��8®¯®°��¥�¨�¤±¨#².³���¥8«­�.�.© ´�µ

¶_·M¸�·º¹º»�¼-¶a½_¾s¿·MÀ*¶hÁ ´*ÂÃ�´�Ä�Ã)´*Å&Ã�´[µ{Ã�Æ Ç[È ·É½°·d¶-Ê�À�Ë�À�¼E» ¹º¹MÌÍ»3¿Î[» Ë{½�»�Ê�À�Ï3¾�¶W½�Ϧ¾�¶aÀh»Ð¸�Ï¿À�¼E»[½�ÀÏ�¼E¿À�¼hÏ ÑÒ» Ó�Ó�¼_Ï�Ô·º¸�» ½_·ºÏ�Ë ÃAÕ×Ö Á Ç�Ø�´*Ù[Èmà »�Ë�¿Ú¼�ÀRÛ�Ë�À¦½�Ü�À,À�¹MÀ�¸�À�Ë{½�¶_·MÝ�ÀÍ»�Þ�Þ�Ï�¼E¿·ºË�Ê�¹ºÌß½_Ï»�ÞEÜ�·MÀ�Î�Àk»WÓ�¼�»3ÞI½_·dÞ�»�¹�¹ºÀ�Î3À�¹�Ï�Ñ�»�Þ�ÞR¾�¼E»�Þ�Ì�à�áwË�¹ºÌwÑ�Ï�¼�Ó�¼_Ï3â�¹MÀ�¸h¶�¼�À�ã{¾�·º¼_·ºË�ÊWÎ3À�¼�ÌwÜ�·ºÊ�Ü�»�Þ�Þ�¾�¼E»�ÞRÌÏ�¼j¹MÏ3Ë�Ê�½_·º¸�ÀÒ·MË{½�À�Ê�¼E»[½�·MÏ3ËÐÞ�» ˦Ï�Ë�À°âsÀ�Ë�ÀRÛ�½wÑ�¼_Ï3¸ä¾�¶_·ºË�Êå»�Î�À�¼_Ì�Ü�·MÊ3ܦÏ�¼E¿À�¼C¶�ÞEÜ�À�¸�À à ·Fà À3à ÃÕçæè´*Ù à�éAÜ�À°¼�À�¶_¾�¹É½E¶AÏ�â½E» ·ºË�À�¿�Ü�À�¼_ÀÒ¶_¾�Ó�Ó�Ï�¼_½A½_Ü�À°Î[» ¹º·d¿·É½:Ì�Ï Ñ�½_Ü�À*¶aÀ°Ê3¾�·º¿�À�¹º·MË�À*¶�à

ê8ëdì8ëîíÒï�ðÍñ�ò­ósð{ô[õsð&ö�÷�ðÍø�ù�ô[úûósð{ô[ü�ý�ü�þ�ï�ð,ÿ�ô[ð{ð&ö��Mü�ø�ùsô[ú� ¶A»�¶_À�Þ�Ï�Ë�¿å½_À*¶:½��UÀl¶_Ü�» ¹º¹(À�Î[» ¹º¾�» ½_Àw½_Ü�À°¿·���À�¼_À�Ë�ÞRÀ*¶UâsÀ�½���À�À�Ëå½�Ü�À°¿·ºÎ�À�¼�Ê�À�Ë�ÞRÀjÑ�Ï�¼�¸<¾�

¹d»[½_·ºÏ�Ë Ã� ã�à ����� à »�Ë�¿��l¼_À�À�Ë�� ¶�Ñ�Ï�¼�¸<¾�¹d»[½�·MÏ3Ë Ã� ãsà � ´* � à ¶a¾�â�:À�ÞR½�½_Ï°Î[» ¼�·MÏ3¾�¶�» Ó�Ó�¼_Ï�Ô·º¸h»[½_·ºÏ�Ës¶» Ës¿,¶_·M¸�Ó�¹º·ÉÛ�Þ�»[½�·MÏ3Ë�¶�à � ¶-»�âs»�¶_·º¶jÑ�Ï�¼l½_Ü�·º¶-ÞRÏ3¸�Ó�» ¼�·º¶_Ï�Ë��UÀ�¶aÜ�»�¹M¹�»�Ê3» ·ºË;�¶_À��U»�¶_À�¶ ´�Ã8Æû Ës¿���à���·º¼�¶a½ à ��À�À�Ô»�¸�·MË�À ½�Ü�À�½���ÏÐÑ�Ï3¼_¸�¾�¹º» ½_·ºÏ�Ë�¶l¾�¶_·ºË�ÊÐÑ�¾�¹M¹�» Ë�¿`¿·d» Ê3Ï�Ë�»�¹�¸h»3¶_¶l¸h»��½_¼�·dÞRÀ�¶�à! &À*ÞRÏ3Ë�¿ à ��ÀÒÀ�Ô�» ¸�·MË�ÀÒâsÏ�½_ܱÑ�Ï3¼_¸�¾�¹d»[½_·ºÏ�Ës¶C¾�¶_·MË�ÊåÀRÔ�»�ÞR½w» Ës¿±·MË�ÀRÔ�»�ÞR½j·MË{½�À�Ê�¼E»[½�·MÏ3˽_ÏåÞ�Ï�¸�Ó�¾½�À-½_Ü�À�¿·º¶�ÞR¼�ÀR½�À-Ï�Ó�À�¼E»[½_Ï3¼�¶�à � ¹M½_Ü�Ï�¾�Ê3Ü�½�Ü�À�¶_ÀÒ¶_·M¸�Ó�¹º·ÉÛ�Þ�»[½�·MÏ3Ë�¶C»�Ë�¿¦» Ó�Ó�¼�Ï�Ô·M¸h»"�½_·ºÏ�Ës¶W» Ó�Ó�À�»�¼�½�Ï�âsÀ°¸�·ºË�Ï�¼U½_Ü�À�Ì�Üs»�Î�À-»�¶_·MÊ3Ë�·MÛsÞ�»�Ë3½W·º¸�Ó�»�ÞR½AÏ3Ë�½�Ü�À-ÓsÀ�¼aÑ�Ï3¼_¸h»�Ë�ÞRÀlÏ Ñ�½_Ü�À¿·ºÎ�À�¼_Ê3À�Ë�Þ�Àl»�Ë�¿��l¼_À�À�Ë�� ¶UÑ�Ï�¼�¸<¾�¹d»[½�·MÏ3Ë�¶�à#�$&%�$('�$*)�+,(,.-�/10324+527698�:<;�=">?:",�@A:B232C@A:�DE048GFáwË�À<Ï�Ñ)½_Ü�À ¸�Ï3¶a½l·º¸�¸�À�¿·d»[½�ÀH�A»�̶W½_Ï�·M¸�Ó�¼�Ï[Î�À<½_Ü�À À1IåÞ�·MÀ�Ë�ÞRÌ¦Ï Ñk½_Ü�À�¿·d¶_Þ�Ï�Ë{½_·ºË&¾�Ï�¾�¶

�-» ¹ºÀ�¼KJ&·M˦¸�ÀR½�Ü�Ï¿¦·º¶W½_Ïå» Ó�Ó�¼_Ï�Ô·º¸h»[½_Àl½�Ü�ÀÒ¸h»�¶�¶W¸h»[½�¼_·MÔ ÃMLßÃN ã�à&� Ç � à â{Ìл忷d» Ê3Ï�Ë�»�¹O�­Ï�¼¹º¾�¸�ÓsÀ*¿M�UÑ�Ï�¼�¸¦àOPrÀ-Ñ�Ï3¼_¸ ½�Ü�ÀÒ¿·d» Ê3Ï�Ë�»�¹(»�Ó�Ó�¼�Ï�Ô·M¸h»[½�·MÏ3ËåÏ Ñ�½_Ü�À°¸h»3¶_¶A¸h»[½�¼_·MÔ�â&Ì�¶_·M¸�Ó�¹ºÌ¶_¾�¸�¸ ·ºË�Êå»�¹M¹#Ï�Ñ�½_Ü�À°À�Ë{½_¼�·MÀ*¶AÏ Ñ.À�»3ÞEÜ�¼�Ï��è» Ës¿�¶a½_Ï3¼_·ºË�Ê ½_Ü�ÀÒ¶_¾�¸ ·MËн_Ü�Àl¸h»�·M˱¿·d» Ê3Ï�Ë�»�¹Và��·ºÊ�¾�¼_À Ä ¶_Ü�Ï��C¶k½_Ü�À-À�¼�¼�Ï�¼E¶�Ï�â½E» ·ºË�À�¿�¾�¶_·MË�Ê�½_Ü�ÀjÑ�¾�¹º¹8» Ës¿�¿·d» Ê3Ï�Ë�»�¹s¸h»�¶�¶�¸�» ½_¼�·ºÞ�À�¶kÑ�Ï�¼

½_Ü�À�¿·ºÎ�À�¼_Ê3À�Ë�Þ�À�» Ë�¿Q�l¼_À�À�Ë�� ¶°Ñ�Ï3¼_¸h¶ ÃO ã&¶�à �����R�4� ´� � à Ï�Ë`½�Ü�ÀTS�UWV ´ Ê�¼�·º¿ Ñ�Ï3¼��U»�¶_À�¶ ´�ÃÆà » Ë�¿���à�éAÜ�À�¶_À�¼�À�¶_¾�¹M½�¶l¾�¶_À�ÀRÔ�»�ÞR½lË&¾�¸�À�¼�·dÞ�» ¹.·ºË{½_À�Ê3¼�» ½_·ºÏ�Ë8à éAÜ�À�¶_À ¼_À*¶a¾�¹M½�¶°¶_Ü�Ï�� ½�Ü�»[½½_Ü�À�¼�Àj·d¶k¹º·É½_½_¹ºÀl¿�·G�(À�¼�À�Ë�Þ�Àjâ�ÀR½��UÀ�À�Ëå¾�¶_·MË�Ê »-Ñ�¾�¹º¹#» Ë�¿å¿�·º»�Ê�Ï�Ës» ¹�¸h»�¶�¶�¸�» ½_¼�·ÉÔ Ñ�Ï�¼Uâ�Ï ½_Üå½_Ü�À¿·ºÎ�À�¼_Ê3À�Ë�Þ�À�»�Ë�¿X�l¼_À�À�Ë�� ¶-Ñ�Ï3¼_¸h¶<Y�Ï3Ë�¹ºÌ,·ºËQ�U»�¶_À Æ ����·MÊsà Ä âN�-¿Ï&À�¶°½_Ü�À�¼_À�¶_À�À�¸ ½�ϱâsÀ�»¿·���À�¼_À�Ë�ÞRÀC�WÜ�À�¼�Àw½�Ü�ÀZ�l¼�À�À�Ë[� ¶UÑ�Ï3¼_¸¯·d¶W»�¿�Î�À�¼E¶_À�¹ºÌå»��(À�ÞI½�À�¿Ðâ&Ìh½_Ü�·º¶C»�Ó�Ó�¼�Ï�Ô·M¸h»[½�·MÏ3Ë8à#�$&%�$&%5$*\]F�:�^1D�-B/_0324+527`4>?/KF5:�^_Da`1>MDb/E;�0c:"Dd8�=">éAÜ�À°À�Î[» ¹º¾�» ½_·ºÏ�ËÐÏ Ñ�½_Ü�ÀÒ¿·d¶�ÞR¼�ÀR½_À°Ï3ÓsÀ�¼�» ½_Ï3¼�¶ à À�à Ê�à Ãe ã�à&� Ç � à ¼_À*ã{¾�·M¼�À�¶�½�Ü�ÀÒÞRÏ3¸ Ó�¾½�» ½_·ºÏ�Ë�¶

Ï Ñ�·ºË{½_À�Ê�¼E» ¹d¶�à�fwÀ�¶_Ó�·M½_À)½�Ü�À)Ñ­»3ÞI½�½_Ü�» ½g�UÀk¿ÀRÛsË�À)½�Ü�À�¶_Ï�¹º¾½_·ºÏ�Ë°Ï3Ë9h8À�Ê�À�Ës¿¼_À_�b�-»�¾�¶�¶��bh8Ï3â�»[½_½_Ïã{¾�»�¿�¼�» ½_¾�¼�À-ÓsÏ3·MË{½�¶ à ½�Ü�À<ÞR¾�¼_Î&·º¹M·ºË�À�»�¼WÊ�À�Ï�¸�ÀR½�¼_Ì Ã ¼_À_i�À�ÞR½_À*¿�â&Ì�½_Ü�À°½�¼�»�Ë�¶aÑ�Ï�¼�¸�» ½_·ºÏ�ËWj3»3ÞRÏ��â�·d» Ë Ã »�Ë�¿h½�Ü�Àw½_À�¼�¸h¶A»�¶�¶aÏÞR·d»[½�À�¿��W·M½_Ü�½_Ü�À9��Ï3¼_·ºÏ�¹º·d¶)Ñ�Ï3¼�Þ�ÀwÞR¼�À�» ½_ÀlÓsÏ3¹MÌ&Ë�Ï3¸�·º»�¹º¶�Ï Ñ�Ü�·MÊ3Ü�À�¼Ï�¼E¿À�¼w» Ës¿¦Ï[Î�À�¼c�m·MË{½_À�Ê�¼E»[½�·MÏ3Ë�·d¶jË�À�À�¿�À�¿¦½�Ï�·ºË3½�À�Ê3¼�» ½_À�¿Ð½�Ü�À�¶_ÀÒ½�À�¼�¸h¶jÀ�Ô»3ÞI½�¹MÌ3àlk ˱ѭ»�ÞR½ à ½_Ï·ºË3½�À�Ê3¼�» ½_Àh» ¹º¹)Ï ÑU½_Ü�Àå¸h»[½_¼�·dÞRÀ�¶ÒÀRÔ�»�ÞR½_¹ºÌͼ_À*ã{¾�·M¼�À�¶9mnVo��p Õnq ´ �cr Æ ã{¾�»3¿¼�» ½_¾�¼�À�ÓsÏ3·MË{½E¶ Ã�WÜ�À�¼_À�pÒ·d¶-» Ë,·ºË{½_À�Ê�À�¼-ÞRÏ3Ë�¶a½�» Ë{½°¿À�Ë�Ï ½_·ºË�Ê�½_Ü�À�Ñ­»�ÞR½_Ï3¼lÏ�Ñ)½_Ü�À�¸h»[Ô·º¸<¾�¸ Ï3¼�¿�À�¼l¸�» ½_¼�·ÉÔ#à��Ï3¼�½_Ü�ÀW¶_Ó�Ü�À�¼�·dÞ�» ¹¶_Ü�» ¹º¹ºÏ��s�U» ½_À�¼�À*ã3¾s»[½_·ºÏ�Ës¶aplV Ä�à Þ�Ï�¸�·ºË�ÊjÑ�¼�Ï�¸ ½�Ü�À7��Ï�¼�·MÏ3¹M·d¶�½_À�¼_¸¦àg��Ï�¼Ü�·ºÊ�Ü�¹ºÌͶcJ�À_�UÀ�¿ÍÀ�¹ºÀ�¸�À�Ë{½�¶ à Ü�Ï��UÀ�Î3À�¼ à ½_Ü�·º¶lÑ­»3ÞI½_Ï3¼w·ºË�Þ�¼_À*»�¶_À�¶W½�Ï Ù â�À�Þ�»�¾�¶_À<Ï Ñk½_Ü�À�·º¸ Ós»�ÞI½Ï Ñ�½_Ü�À-½_¼E» Ë�¶aÑ�Ï�¼�¸h»[½_·ºÏ�Ëtj3»3ÞRÏ�â�·º»�Ë�¶�à

éAÜ�À�ã{¾�À�¶a½_·ºÏ�Ë ½�Ïè»�¿�¿¼_À*¶_¶ÍÜ�À�¼�Àß·º¶A�WÜ�»[½r·º¶Í½_Ü�À�À1�(À�ÞI½rÏ ÑhÀ�¸�Ó�¹ºÏ[Ì&·MË�ÊL·ºË�À�Ô»3ÞI½,·ºË�½_À�Ê�¼E»[½�·MÏ3ËèÏ�Ë�¹MÌ Ã »3¶¦·º¶±½_¼E»�¿·M½_·ºÏ�Ë�»�¹M¹ºÌf¿Ï3Ë�Àß·MË ÞRÏ3Ë{½_·ºË{¾�Ï�¾�¶±¶_ÓsÀ*ÞI½�¼�»�¹°À�¹ºÀ�¸�À�Ë{½,¶�ÞEÜ�À�¸�À�¶Á Ç�ÃA´�µ{ÃkÆ�´ ÃkÆ Ç[È àvujÀ�¼�ÀW��À¦¶aÜs» ¹º¹A¶_·º¸ Ó�¹MÌß¾�¶_Àн_Ü�À±¶a½_¼E» ·ºÊ�Ü{½aÑ�Ï3¼c�A» ¼E¿`ã{¾�»�¿¼E»[½�¾�¼�À�»�¶�¶_Ï&Þ�·G�»[½�À�¿W�W·M½_ܱ½�Ü�ÀZh�À�Ê�À�Ë�¿¼�À1���-» ¾�¶�¶w�Rh�Ï�â�» ½a½_Ï Ë�Ï¿À*¶ à ½_ÏåÀ�Î�»�¹M¾s»[½_ÀÒ½_Ü�ÀÒ·ºË�Ë�À�¼jÓ�¼�Ï¿¾�ÞR½�¶j»�Ë�¿ ý_Ü&¾�¶ à ½�Ü�ÀÒ¿·d¶_Þ�¼_À�½_À-Ï�Ó�À�¼E»[½�Ï�¼E¶�à��·ºÊ�¾�¼_À Å ¶_Ü�Ï��C¶C½�Ü�À ¸�»3¶_¶wÀ�¼�¼�Ï�¼CÏ3â½�»�·MË�À*¿Í¾�¶_·ºË�Ê�À�Ô»3ÞI½-» Ë�¿,·MË�À�Ô�»�ÞI½l·MË{½�À�Ê�¼E»[½�·MÏ3˦Ñ�Ï�¼

½_Ü�À°¸�» ½_¼�·ºÞ�À�¶WÏ�Ñ�½�Ü�ÀÒ¿·ºÎ�À�¼_Ê3À�Ë�Þ�Àl»�Ë�¿�½_Ü�ÀH�l¼�À�À�Ë�� ¶UÑ�Ï�¼�¸�¶CÏ�Ë�½_Ü�À9S U V ´ Ê3¼_·d¿åÑ�Ï3¼x�U»�¶_À�¶´�Ã�Æ�à » Ë�¿T��àzyUÏ ½�Ü�½�Ü�À°¿·MÎ3À�¼�Ê�À�Ë�ÞRÀ-» Ë�¿�½_Ü�ÀC�l¼�À�À�Ë�� ¶kÑ�Ï3¼_¸h¶WÞ�¹MÀ*» ¼�¹MÌ�¹ºÏ3¶_À-»3Þ�Þ�¾�¼�»3ÞRÌ��WÜ�À�Ë

Page 18: 0 1!324 56 7'faculty.nps.edu/fxgirald/postscript/dgm_sphere.pdf · B£ B p¨; Q£S b¡' 9 B ' b J L £b ! L .¡% < L L .¡% < L B ' % G _ b B 7 B£ B ³ ´ L ] T§

{<| }a~��[�g��z���"�[�.�<�[�g�5�a���]���a�a�A���O�[�.�a��g�O�

��� 4 8 1610

−3

10−2

10−1

N

L 2 Err

or

Full−Div Full−GreenDiag−Div Diag−Green

� � 4 8 1610

−16

10−14

10−12

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

N

L 2 Err

or

Full−Div Full−GreenDiag−Div Diag−Green

�<� 4 8 1610

−11

10−10

10−9

10−8

10−7

10−6

10−5

10−4

10−3

N

L 2 Err

or

Full−Div Full−GreenDiag−Div Diag−Green

�����Z���� �N�3�3�����K d¡�¢4£�¢3¤� d¥B¦a§C¦�¨d¨E¢4¨?¡�£�©B�Bª�¦�©�«_¬��B­E¡�£�®¯©�¡°�3®4¢4£��3�5±(²z³M�3£B©´¤��B����±�¢_³Mµl�3­E­Mµl�K d¨E¡�ª�¦�­c�¶ �<¡�£´ E¥B¦O�z}O·¸¤�¢4¨Eµ��B�°�K d¡�¢4£B­c¹��¥B¦a¦w¨d¨E¢4¨�£�¢4¨Eµ�­.�3¨d¦a¡������B­� E¨E�K E¦�©�¤&¢4¨N E¥B¦a©B¡ �1¦�¨E®4¦�£Bª�¦O¤&¢4¨dµº±&­d¢4��¡�©l��¡�£B¦c³�3£B©� d¥B¦]}a¨E¦�¦�£�» ­�¤�¢4¨Eµº±�©B¢3 � E¦�©x��¡�£�¦K³e¤&¢4¨.�1³?¼��3­d¦�½4�<«"³�¼.�3­E¦a¾��B�3£�©!ªc³�¼.�3­E¦a¿�¹M�a���"¨E¦�­E���  E­�ª�¢4¨d¨E¦�­EÀ"¢4£B© d¢´¢4£B¦]©��w¬7¢3¤e¡�£1 E¦�®4¨E�K E¡�¢4£�¹

Page 19: 0 1!324 56 7'faculty.nps.edu/fxgirald/postscript/dgm_sphere.pdf · B£ B p¨; Q£S b¡' 9 B ' b J L £b ! L .¡% < L L .¡% < L B ' % G _ b B 7 B£ B ³ ´ L ] T§

ÁOÂOÃ�ÄaÅHÃzÆOÇÉÈÂOÊWËgÌ[ÍtÎ<Ï�Ì[Í�Ê�Ð�Ñ.ÄgÅ�Î�Ì[ÄaÅ5ÅÂ�ÒÓÒCÄMË[Í?Ê�Í.ÔOÕgÄMË�Ð�ÂOÁOÎ Ö<×

�٠4 8 1610

−3

10−2

10−1

100

N

L 2 Err

or

Exact−Div Exact−Green Inexact−Div Inexact−Green

Ú Ù 4 8 1610

−16

10−14

10−12

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

N

L 2 Err

or

Exact−Div Exact−Green Inexact−Div Inexact−Green

Û<Ù 4 8 1610

−11

10−10

10−9

10−8

10−7

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

N

L 2 Err

or

Exact−Div Exact−Green Inexact−Div Inexact−Green

Ü�Ý�ÞZß?à�ß ÍNá3â3ã�ä�âKådæ�ç4èCç3éMådêBëíìîë�ïEïEç4ï[æ�èBðBä�ñwë�ðCò1óxä�ôEæ�èBõ´ëbö�â3ñbåí÷ øzùgâ3èBð�æ�è�ë�ö�â3ñbåí÷�ç_ù[æ�è1åEë�õ4ïEâKåEæ�ç4èé�ç4ïgådêBëíñ�ç4ú�ûBä�åEâKådæ�ç4èZç3éMådêBëíç4û"ë�ïRâKådç4ïEôOæ�è�ådêBëíÃzÆOÇÉé&ç4ïdúíäBã°âKådæ�ç4èBôwügË�êBë�ë�ïEïEç4ï[èBç4ïdú�ôOâ3ïEë¯æ�ã�ã�äBô�åEïEâKåEë�ðé�ç4ïgådêBëíðBæ á1ë�ïdõ4ëwè�ñwë�é&ç4ïdúÉ÷&ôdç4ã�æ�ðCã�æ�èBëcùaâ3èBð�ådêBë�Æaïdë�ëwè�ý ôOé&ç4ïdúÉ÷&ð�ç3ådådë�ðHã�æ�èBëcù.é&ç4ïzâ1ùaÑ�â3ôdë7þ4ÿ�ò"ùgÑ�â3ôdë���ÿâ3èBð!ñKù[Ñ.â3ôEë���üMÄaã�ã�ïEë�ôdäBã åEô[ñ�ç4ïEïdëwôdû"ç4èBð!ådç´ç4èBë]ð�â�ó!ç3éeæ�è1ådëwõ4ïEâKåEæ�ç4è�ü

Page 20: 0 1!324 56 7'faculty.nps.edu/fxgirald/postscript/dgm_sphere.pdf · B£ B p¨; Q£S b¡' 9 B ' b J L £b ! L .¡% < L L .¡% < L B ' % G _ b B 7 B£ B ³ ´ L ] T§

��� ��� ����������� ����� ���������� ���"!#�$ %�&����$�

')(+*-,)./*0,2143�57698#*-,:8;14.=<>5?8;*-@7,BADCE@?F�1�G=1�<�HI8+J)1K<;1�(+'2L-8;(M*0,)N�*O645?8;1K8+J)5�8M8;J21PN�*0G=1�<+.714,)641RQ�@=<;S*O(DST@7<+1U<+@7V2')(W8X8+@?F�5�<>N2(D(W')6>JY5�Z2Z2<;@[3�*-S\5�8+*0@=,)(�H$*]A 1=A0H�8+J)1U<;1�(+'2L-8;(K@=V�8>5�*0,21�N^')(W*0,2."8+J21N�*0G=1�<+.714,)641_Q�@7<+S`5=Z2ZI1�5�<K8;@aVI1bL-1 (+(\5�cI1 698;1�NYV:d^8+J21e5=Z2Z2<;@[3�*0S\5?8;*-@7,)(R8;J)5�,Y8+J)@7(+1/@=Q8+J)1gfM<;141�,Bh (XQ�@7<+SbAji�J)*0(K*O(DST@:(k8T,2@�8;*0641�5=V2L-1UQ�@=<_lm57(W1 ( � 5�,nNjoqpsr*-.:(4Aqt?VY5=,)NYt=6�H<;1�(+Zn1 698+*0G=1�L-d2uRFvJ214<;1_8;J21gfM<+1�14,Bh (DQ�@=<;SwG?5=<+*01�(K(W')V)(k8>5�,:8+*O5�L0L0daVI1x8kFm141�,^8;J21b1x325=6x8K5�,nN*0,21x325=6x8v*-,:8+1�.=<>5?8;*-@7,BA

y=z0{:zO|:z~}X���?�x�]�:�4�I�>�R�?�4�>�>���T���+�>�x��� �����?�9�i�J21�<;1�(+'2L-8;(*0,Dr*-.:(4A��5=,)NDtE*0,)N�*O645?8;1�8;J)5?8$8;J21�fM<;141�,Bh ( Q�@7<+SbH����nAOpk� � uxH?*0($(+'2Zn1�<+*0@=<*0,

5=6�6x'2<>5=64dX8;@R8;J21MN2*-G714<;.=14,n6x1vQ�@7<+SbH����IAOps�7uxH7@=QB8+J)1MN�*O(;6x@=,:8;*-,�'2@7')(�f#5=L-1�<+��*0,\Q�@=<;SX'2LO5?8;*-@7,*-Q)14G714<;d78;J2*0,2.E*O($N�@=,21�1x325=6x8+L0d=H?*�A 17A-H[Q�')L-L�S\5=(;(�ST5�8+<;*0641�(5�,)NR@?G=14<+��*-,:8+1�.=<>5?8;*-@7,�8;@E1�G[5=L-'n5?8+18+J)1�N�*O(+64<+148+1v@7Zn1�<;5�8+@=<>($1x3257698+L0d=A$C�@?Fm14G714< H?Q�@=<m5�L0Ln6�5=(+1�(�H�8+J)1EN�*0G=14<;.=1�,)6x1�Q�@7<+S�ZI14<+Q�@=<;ST(5�L0ST@7(W8R5=(MF�1�L-L�14G=1�,"FvJ21�,�N�@=*0,2.g5�L0L�@=ZI14<>5?8;*-@7,)(M1x325=6x8+L0d"5�,)N�*-8X5�Z2ZI1�5=<;(�8+@bVI1\ST@=<;1<;@=V2')(W8#8+@bZI14<+Q�@=<;ST5=,)6x1T1�,2J)5�,n6x*0,2.g5�Z2Z2<;@[3�*-S\5�8+*0@=,)(M(W'n6>Ja57(�N�*05=.=@7,)5�L$S\5=(;(#S\5?8+<;*O6x1�(5�,nN_*0,21x3257698�*0,78;14.7<;5�8+*0@=,BA

� 57(W1 NP@7,_8;J21�(+1#<+1 (W'2L-8;(mFm1�(WJ)5=L-L�'n(W1�8+J21RN2*-G714<;.=14,n6x1�Q�@7<+S�Fv* 8;J/*0,2143�57698�*-,:8;14.=<>5?8;*-@7,5�,nNKN2*05=.=@=,n5�L2S\5=(;($S\5?8;<+*O6x1 ($Q�@=<�8;J21�<;14S\5�*0,)N�1�<�@�QI8+J)1�Z)5�ZI14<�5=($8;J21�(+1E5�Z)Z2<+@[3�*0S\5?8+*0@=,n(J)5[G71�5R,214.7L-*0.=*0V2L01m*0STZ)5=6x8�@=,\57646x')<;576xdRV2'28�5#S\5?¡k@=<�*-STZ)57698�@7,K14¢P6x*014,)64d=A£�8�(WJ)@='2LONKVn1,2@=8+1�NBH7J2@?Fm14G714< H�8;J)5?8�8+J21�Z2<+@7V2L014S\(�Fm1�J)5[G71�6x@=,n(W*ON�14<;1�N\5=,)N\@7,\FvJ2*06>J_F�1�Jn5[G=1vV)57(W1 N8+J)*0(v6>J2@7*0641�5=<+1�L-*0ST* 8;1�N/5�,)N_* 8v*O(�,)@�8v6xL01�5�<mFvJ2*O6>J_Q�@7<+SD'2LO5?8+*0@=,P8+@T6>J2@�@7(+1�Q�@=<�Z2<;@=V)L-1�ST(@�Q 5RSK@7<+1E.=14,)14<>5�L),n5?8+')<+1Xps1=A .)A0H7Z)<+@7V2L-1�S\(�Fv*-8+JUN2*0(;6x@7,78;*-,�'2@7')(�(+@=L0'�8+*0@=,n(;uxA¤a1EJ)@=ZI1�8+@5=N)N�<+1 (+(�8;J2*0(�*-,/Q�'�8;'2<+1�Fm@=<;��A

¥�¦O§B¦©¨XªI«�¬n­:®?¯I­:«°=­"±2«�²´³�µ ±�¶·]¸s·sµ;¹º³�µ »�²�¹£¼,e8+J)*0(�(+1�6x8+*0@=,eFm1K(+J2@?F½64@=,�G=1�<+.714,)641R<+1 (W')L 8>(�Q�@7<#5=L-L$(+14G=1�,�6�5=(+1�(�ARlm57(W1 (X�7H � HB5�,nN

obJ)5[G71T5=,)5�L0d:8+*O6\(W@7L-'28+*0@=,)(R5=,)N¾(W@gFm1\')(+1\8+J)1�(+1P645=(+1�(�8+@T¡k')N�.71\8+J)1P5=6464'2<>5=6xd"@�Qv@='2<<;1�(+'2L 8>(_�:')5=,78;* 8>5?8;*-G714L0d=A�lm57(W1 (P�)HEt2H�5�,)NÀ¿2H�@7,º8+J21�@�8+J)14<_Jn5�,)N�H�5�<;1e@=,2L0dq')(W1 Nº8+@¡k')N�.71_8;J21b6x@=,�G714<;.=14,n6x1P@=Q�8+J21b(;6>J214ST1b�7'n5�L0* 8>5?8+*0G=1�L-d7H�5=(K5�,)5=L-d:8;*06/(W@7L-'28+*0@=,)(X8+@�8+J21 (W16457(W1 (�5�<;1�'2,2��,2@?Fv, Avlm57(W1DÁK*O(�'n(W1 N/8+@#¡k')N�.71�8+J)1X<;@=V2')(W8+,)1�(;(�@�Q�@='2<M(+6>J)14ST1#Q�@=<�,)@=,��(+SK@�@=8+JU(+@=L0'�8;*-@7,)(mFvJ2*06>Jb5�<;1M<+1�Z2<+1 (W1�,:8;5?8;*-G71�@�Q$(k8;141�Z_Q�<;@=,:8;(�5=,)NP@=8+J21�<m'),)N�14<+��<+1 (W@7L-G71�NZ2J21�,2@=ST1�,)5D8kd:Z)*06�5�L0L-dP5=<+*O(W*0,2.K*-,U8+J)1#5�8+ST@7(+Z2J21�<+17A�Â�L0LB(W1�G=14,U8+1 (k8�6�5=(+1�(�5�<;1�*0,:8+1�.=<>5?8+1 NQ�@=<DL-@7,2.eZI14<;*-@�N2(X@�Qv8;*-ST1P8;@"G?5�L0*ON25?8;1\8+J21/(k8>5�V2*0L0* 8kd¾@�Q�8;J21/(;6>J21�SK17A�lm5=(+1�(_�=H � H�5�,nNo/<+1 �:'2*-<;1K,2@/Ã)L 8;14<;*-,).UFvJ21�<+1 5=(Rlm5=(+1�(M�nH�t�H 5=,)Na¿/5=<+1DÃ)L-8+1�<+1 N"1�G=14<;d�� �7� 8;*-ST1P(W8+14Zn(4AÄ 1 (W'2L-8;(vQ�@=<�lm5=(+1XÁD5�<;1M(+J2@?Fv,/Vn@=8+JbFv* 8;Jg5�,)N/Fv*-8+J2@7'�8vÃ)L-8+14<;*0,2.)A

y=zO|7z�Å7zÇÆ��)È��)É���É�È�É]���?�#ÊIÉ]�)Ë�Ìr�*0.=')<+1\¿g(+J2@?F�(�8+J21PS\57(+(#1�<+<;@=<#,2@7<+SÍ57(�5/Q�'2,)6x8+*0@=,¾@�Qm8+J21P5=Z2Z2<;@[3�*-S\5?8;*-@7,"@7<;N�1�<�H

Î H�Q�@7<blm5=(+1�(e�=H � Hv5=,)NÏo2A½i�J21"<+1 (W'2L-8;(PQ�@=</lm57(W1j�"5�<;1bQ�@=</5º� � N25[dY*-,:8;14.=<>5?8;*-@7,FvJ2*O6>Je6x@7<+<;1�(+Zn@7,)N2(m8;@_5P6x@7STZ2L-148+1R<;14G7@=L0'�8+*0@=,b@=Q8;J21X64@7(+*-,21�F�5[G=1R5=<+@7'2,)NU8+J)1X(WZ)J214<;1=Ar2@7<Xlm5=(+1�( � 5�,)Nao2H�8;J21T<+1 (W')L 8>(�5�<;1XQ�@7<Xt_N25[d"*-,:8+1�.=<>5?8;*-@7,)(EFvJ)*06>Ja*0(M8;J21T8+*0ST1KQ�<;5=SK1<;1�6x@7STSK1�,)N�1 N_*0,�Ð o � Ñ A

r2@=<�8+J21�L05�8W8;14<�8kF�@X6�5=(+1�(�Fm1E@7V)(+14<;G=1v1x3�ZI@=,21�,:8+*O5�Ln64@=,�G=1�<+.714,)641�<;5�8+1�(�'2,:8+*0L)8;J21E14cI1 698@�Q2<;1�576>J2*0,2.�S\5=6>J2*0,21mN�@='2V)L-1�Z2<+1 6x*O(W*0@=, A$l�@=STZ)5=<+*0,2.v8;J21�(+1�<;1�(+'2L-8;( 8+@E8+J2@:(W1�Z2'2V2L0*0(+J21 NR*0,Ð ��Ò[Ñ psr*0.)A$o�*-,P8+J)5�8�Z)5�ZI14<9u�Fm1�(+141v8;J)5?8m@='2<�,)@�N)5�LnÓ#f#ÔÕST@�N�14L�6x@7,�G=14<;.=1 (�5?8�5RJ2*-.7J214<<>5?8+1E8+J)5=,P8;J214*0<v6x@=,:8;*-,�'2@7')(�(+ZI1�698;<;5=Ln1�L-1�ST14,:8mST@�N�1�L]A$£¼,U57N2N�*-8+*0@=,BH�64@=STZ)5�<;*0,2.R8>5�V2L01�£+£@�Q�8;J)5?8$Z)5=Zn1�<�Fm1�(+141�8+J)5�8@7'2< ,2@�N25=L:Ó#f#ÔÖSK@�N�1�L7ZI14<+Q�@=<;S\( VI1x8+8+1�<�8;J)5�,D5�L0L=8;J21�ST@�N�1�L0(L0*0(W8+1 NT*-,eÐ ��Ò[Ñ Q�@=<�5�L0L28+J)<+1�1�8+1�(W8�6�5=(+1�(�143�6414Z�8�Q�@=<�8;J21E×#lmÂ Ä (+Zn1 698;<;5=L�8+<>5�,)(WQ�@=<;SØST@�N�1�L]A

Page 21: 0 1!324 56 7'faculty.nps.edu/fxgirald/postscript/dgm_sphere.pdf · B£ B p¨; Q£S b¡' 9 B ' b J L £b ! L .¡% < L L .¡% < L B ' % G _ b B 7 B£ B ³ ´ L ] T§

Ù$Ú$ÛBÜÝDÛ�Þ$ß´à�Ú$ábâ�ã äUå�æ�ã ä�áBçsè�Ü�Ý\å ã ÜÝ�Ý�ÚBéêé�Ü)â äIágä�ë$ì�Ü)âBçsÚ$Ù$å í�î

ï�ð2ñò2ó�ô2õ�ö�÷#ø#ù�úTó�ô�û4ö�ü4ó=úTý)õ�ñ;û�þBÿ+ó�ÿ��2û�������jþ+ýnû ü9ÿ;ñ;õ=ö=ÿ;ñ;õ=ò)þ��ó7ñ+ú úTó�ô�û4ö�õ7þ��ó7ö-ö0ó� �þ��� ÿ � þ�û��:ð)õ=ö � òbõ=ü�üxð2ñ>õ=ü����ó=ñ��mõ=þ+û î������+î����! �"$#&% úTó=ñ;û#õ=ü4ü4ð2ñ>õ?ÿ+û�ó=ñ��mõ7þWû í'�(���+î��)�+*,*-". û�ñ;þ+ð)þ ���+î��)�0/�"$#&% õ�ò)ô"ö-û þ+þ�õ7ü4ü4ð2ñ;õ�ÿ+û1�ó=ñ2�mõ=þ+û43 �����+î��)�05�" . û4ñ>þWð)þ �6�Wî$���0/$"�#-7�8 � � þüxó7úTý)õ�ñ � þ+ó=ò � þ:9)õ=þ+û�ôYó=òºõ�òºû��:ð � . õ�ö0û4ò:ÿ\ò�ð2ú29Iû4ñPó;�<7ñ � ôYýnó � ò:ÿ;þ\ÿ+óaÿ��2û=�>����� 8�?�íúTó�ô�û4ö�< � . û4ò'9@�Pó=ð2ñ � üxó:þ+õ;�2û�ô2ñ;õ=öA<7ñ � ôCB�D�E îF%)G E î íH�IG2J ELK �;�;�M#&7N ó� mû . û�ñ % � òPO î K�Qÿ,�2û\õ=ü�üxð2ñ>õ=ü��/ó;�ÿ,�2û���������þ+ýnû ü9ÿ+ñ>õ�öÿ;ñ;õ=ò)þ��ó7ñ+ú úTó�ô�û4ö � þ�þ��2ó� vò

ÿ+ó . õ�ñ,��þWð)9nþkÿ>õ�ò:ÿ � õ�ö0öR��ô�û�ýnû�ò)ô � ò)<aó=ò^ÿ,�2ûbô � ñ;û�üxÿ � ó=òYóS�ÿ,�2ûCTnó� U � ÿ,�Yñ;û�þ+ýnû ü9ÿKÿ+ó"ÿ��2ûüxó�ó7ñ;ô � ò)õ�ÿ+û�õSV�û þ 7W8 � � þ � þý)õ�ñ+ÿ � üxð2öOõ�ñ;öX�MþWÿ+ñ �RY@� ò)<Z�ó7ñ[�mõ7þWû î \�2û�ò�ÿ��)û] �õ . û^<7ó�û�þ ÿ��2ñ;ó=ð)<F�ÿ��)ûPýnó7ö-û þ 7 �Eó�ÿ+ûPÿ��)õ�ÿXÿ��)û_ô � ñ+û ü9ÿ � ó=ò¾ó;mÿ,�2ûC �õ . û þ>�)õ=þRò2óeû-_�û�üxÿDó7ò�ÿ,�2ûUõ7ü4ü4ð2ñ;õ7ü-�eó;ó=ð)ñM÷#ø#ù úTó�ô�û4ö`9Iû�ü�õ�ð)þ+ûRÿ,�2ûDýIó=ö0û�þ#õ=ñ+ûDò2ó�ÿ�ÿ+ñ;û�õ?ÿ;û�ô � ò"õ=ò@�bþ+ýIû�ü � õ�ö` �õa� % ô�ð2ûDÿ+ó_ÿ��2û�mõ�ñ+ÿ+û þ � õ�ògü4ó:ó7ñ;ô � ò)õ�ÿ+ûRþ���þkÿ;û4ú 7\b ð2ñ+ÿ��2û�ñ+úTó7ñ+û % ð2ò2ö �RY û�ÿ��)ûDþ+ý)�2û4ñ � ü4õ�öø#õ�ð)þ;þ � õ�òc<7ñ � ôUÿ��2û� üxó7þ;õS�)û�ô�ñ>õ�öF<=ñ � ô>�)õ7þ ò)óEý2ñ;û-�û�ñ+ñ;û�ôRô � ñ;û�üxÿ � ó=ò)þ 7 �mÿ � ò)ü4ñ+û õ=þ+û�ô�ö0û . û4öOþBó;)ñ+û þWó7ö-ð2ÿ � ó=òd mû^e)ò)ôÿ��nõ?ÿ�ó7ð2ñE÷#ø#ù úTó�ô�û4öf9nû üxó=úTû þ�úTó=ñ;ûXõ=ü�üxð2ñ>õ?ÿ;û#ÿ��)õ=òbÿ��2û1�������½úKó�ô�û�ö 7 ��ó7úTý)õ�ñ � òg<ó=ð)ñ G Eh3 í ñ+û þWð)ö ÿd � ÿ��aÿ��2û � ñ 8#î$�;ij�Ib � < 74?g7 i � òkO î KaQ # mû�e)ò)ô�ÿ��2û\õ7ü4üxð)ñ;õ7ü-�góSmó=ð2ñúTó�ô�û4ö�ÿ+ó=9Iû � � î$���0l " üxó7úTý)õ�ñ;û�ô�ÿ+ó � � î����! " �ó=ñ�ÿ,�2ûC������ úTó�ô�û4ö 7nm òosõ=üxÿ % ó=ð2ñúTó�ô�û4ö õ�ÿ�ÿ�� � þvñ;û�þ+ó=ö0ð�ÿ � ó=ò � þ�úTó7ñ+û�õ=ü�üxð2ñ>õ?ÿ;ûEÿ,�)õ�ò/ÿ,�2û � ñ 8#îapS�)7

4 6 8 12 16 24 32

10−14

10−12

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

100

N

L 2 Err

or

Case 1

Case 3

Case 2

q�r�s2t!u@t â�vaw�x:w�y(y(z&yW{}|[{�~X�$�a���(��z&��z}~0��vaw]|(��{,����{}�0{}�$�ay(z��$���Z{,����z&�dz&y(�aw�y��@�d�S~Xz&y�è+{}|�w�|]�&�@�$�{}�a����{,~R��w�y����$�a�$�S{}�a������{���|�z}~)������w��&y�{,����z&�a|��Sy�w�|��Sw������ �-w�� ���nâ�vaw[�@�^�=�[�&y(������|��a|(w��M�

�;�¡ F�X¢@�¤£�¥g¦S§�¨ª©�¦S©�¨ª«�¬�­A©(¥g®�¯m òDÿ,�2û�ý2ñ;û . � ó=ð)þ�þ+û�üxÿ � ó=ò� �û�ÿ;û�þWÿ+û ôKü�õ=þ+û�þÿ,�)õ?ÿ��nõ . û�õ�ò)õ=öR�:ÿ � üvþ+ó=ö0ð�ÿ � ó=ò)þ�õ;<7õ � ò)þWÿ[ \� � ü}�

ÿ+óTüxó7úTý)õ�ñ;û�õ=ò)ôd°kð)ô)<=û�ÿ��2û�õ=ü�üxð2ñ>õ=ü��Dó; ó=ð)ñmò)ó�ô)õ�ö�÷Mø#ùwþ;ü}�2û4úTû 7 N ó� �û . û4ñ % ÿ,�2û#úTó=ñ;ûñ;û4ö0û . õ�ò:ÿ��mõ7þWû þ ?A%�±�% õ�ò)ô i)% ô�ó�ò2ó�ÿ\õ�ö0ö-ó� þ+ð)ü}�jþ � úTý2ö0ûUõ=ò)õ�öX�:ÿ � ü_þ+ó=ö0ð�ÿ � ó=ònþ 7jm ò)þkÿ;û�õ7ô mûMû . õ�ö0ð)õ?ÿ;û�ÿ,�2ûRüxó7ò . û4ñ,<=û�ò)üxûMü}�)õ�ñ>õ=üxÿ+û�ñ � þkÿ � ü�þ�ó; ÿ,�2ûRþ+ü}�)û4úTûd�7ðnõ�ö � ÿ>õ?ÿ � . û�öR��9@�Pñ;ð2ò2ò � ò)<ÿ��)û#ü�õ=þ+û�þmð)þ � òg<Tô � _�û4ñ;û4ò:ÿvñ+û þWó7ö-ð2ÿ � ó=ò)þ 7fm òbõ=ô)ô � ÿ � ó7ò % mûMþ��2ó� ñ;û�þ+ð2ö-ÿ;þ��ó7ñZ�mõ7þWû p \� � ü}�üxó7ò:ÿ;õ � ò)þTþWÿ+û4û�ýÏþWó7ö-ð�ÿ � ó7ò²<7ñ;õ7ô � û4ò:ÿ;þTþ+ð)ü}�qõ7þKÿ��2ó:þWû/ÿ,�)õ?ÿ\ú � <F�:ÿ_õ�ñ � þ+û/ô2ð2ûbÿ+óo mû�õ?ÿ,�2û4ñ�ñ;ó=ò:ÿ;þ 7m ò b � <7þ 7kp�% K % õ�ò)ô²³�ÿ��2ûbö0û-�ÿPý)õ=ò2û4öOþ\þ��)ó� ÿ��2ûgü4ó=ò:ÿ+ó7ð2ñ;þDóS�ÿ��2ûgú\õ7þ+þ % ÿ��)ûgú � ô@´

ô�ö0ûTý)õ�ò2û�ö0þ � ö0ö-ð)þWÿ+ñ>õ?ÿ;ûKÿ��2û4µ4ó7ò)õ�ö . û4ö0ó�ü � ÿ���üxó=úTýIó=ò2û�ò:ÿ % õ=ò)ôeÿ,�2ûTñ � <;�:ÿ�ý)õ=ò2û4öOþ#þ��2ó� ½ÿ��2ûúTû4ñ � ô � ó7ò)õ�ö . û4ö0ó�ü � ÿ��Pü4ó=úTýIó=ò2û�ò7ÿ 7^8 �2û>µ4ó7ò)õ�ö . û4ö0ó�ü � ÿ��Pü4ó=úTýIó=ò2û�ò7ÿ � þmÿ��2ûd¶eü4ó=úTýIó=ò2û�ò7ÿ

Page 22: 0 1!324 56 7'faculty.nps.edu/fxgirald/postscript/dgm_sphere.pdf · B£ B p¨; Q£S b¡' 9 B ' b J L £b ! L .¡% < L L .¡% < L B ' % G _ b B 7 B£ B ³ ´ L ] T§

·;· ¸W¹»º�¼f½�¾[¿]ÀSÁ�Â+Ã�Ä�Áf¼@ÅWÂ!Æ^À$¼WÆW¾ÈÇ>¼`º�É+ÊWº�Äf¿`Æ

ËXÌÎÍ�ÏgÐ)Ñ�Ò,ËXÓ�ÔSÕ�Ó-Ö@Ö;Ò}×�ËXÌgÔ�Ø,Ñ�ÍdÙ\ÐgËXÓ}ÐÚË¡Í4Ô;Í,Í�Ö�Ó�ËXÔSØ�Ñ�×ÛÙ\ËRØ�ÐÎØ�Ð)Ñ'ÕRÖFÌ)Ü;ËRØ�ÝA×�Ñ'Þ²ÔSÌg×ÚËXÍ1ÏAÖMÍ�ËRØ�ËXß;ÑÙ\Ð)Ñ�ÌHØ,Ò,ÔaßFÑ�ÕXËRÌgÜ�Ù�Ñ�Í�Ø\Ø�Ö�Ñ$Ô;Í�Ø\ËRÌ=Ô4×�ËXÒ�Ñ$Ó&Ø,ËRÖFÌ'ÏAÔSÒ}ÔSÕXÕRÑ�Õ!Ø�Ö4Ø�ÐgÑ2à�áMÝgÔSØ�Ö;Ò$â^ã�Ð)Ñdä4Ñ�Ò,Ë¡×�ËRÖFÌgÔSÕß;Ñ�ÕRÖ�Ó�ËåØ�æ�Ó-Ö;ä4Ï0Ö;Ì)Ñ�ÌMØ�ËXÍ^Ø�Ð)Ñç1Ó�Ö;ä4ÏAÖFÌ)Ñ�ÌMØ�ËXÌCÍ�Ï)Ð)Ñ�Ò�Ë¡Ó�Ô;ÕgÓ-Ö@Ö;Ò}×�ËXÌgÔ�Ø,Ñ�Í[Ù\ÐgËXÓ}Ð�Ë¡Í�ÔFÍ�Í�Ö�Ó-Ë¡Ô�Ø�Ñ$×Ù\ËRØ�Ð4Ø�ÐgÑ�Õ¡Ô�Ø�ËRØ�ÝA×�ÑZè�ÔSÌA×4ËXÍ�ÏAÖMÍ�ËRØ�ËXß;Ñ\Ù\Ð)Ñ�Ì4Ø�Ò}Ôaß;Ñ�ÕRËXÌ)Ü�é»Ò�ÖFäêØ,Ð)Ñë@ÖFÝ�Ø�Ð:ì`ÖFÕRÑ�Ø,ÖdØ�ÐgÑ�íZÖFÒ�Ø,Ðì`Ö;ÕXÑ;â

ÔFî

ï î

Ó�î

ð�ñ�ò2óAôMó õ+ö}÷(ø[ùaú0õ!û&ü�ý�û&þaÿ(÷�û���ý��aø��Zö}÷(÷����ø�åý�� À þ� ��-ø��û��� ý��������������ø�� À ö}ü����� ��-ø��û���� ý����Rÿ��� !�-ý"�!û&ü &ÿ����$#&%�')(\ö}ü���ö*�,+-'/. À10 ��+-')(�2 À ö}ü��3���4+5'/6!7�ö8�åý(ø�ÿ]ö$(�9:��ö����ü�ý�ø &ÿ�ö,ý���û&ü3����ø;!ø��$�Xÿ�û!��=<1>�?*�@'A��9�>�B!9*��ú

C ËXÜ;ÝgÒ�ÑED:Í�Ð)Ö�ÙZÍ�Ø�Ð)Ñ�Ò�Ñ$Í�ÝgÕåØ}Í�é»ÖFÒGF�ÔFÍ�Ñ3H:é»ÖFÒdÔAI�JC×)ÔaæcËXÌFØ,Ñ�ÜFÒ,ÔSØ�ËXÖ;Ì=ÝgÍ�ËXÌ)ÜLKNMPORQ�I�SRTÔSÌA×$UF·RTaÒ�Ñ$Í�Ï0Ñ�Ó-Ø�ËXß;Ñ�ÕXæ;âfã�Ð)Ñ�Ó�Ö;ÌMØ�ÖFÝ)Ò}Í�ÔSÒ,Ñ]Í�Ð)Ö�Ù\Ìdé»Ò,Ö;ä�Ôß@ËRÑ�Ù\ÏAÖFËRÌMØWÓ�Ö;Ò,Ò�Ñ$Í�Ï0Ö;ÌA×�ËRÌgÜ\Ø�Ö�Ø�Ð)ÑíZÖFÒ�Ø,Ðnì`Ö;ÕXÑWV(ÞXQ�èFîYMPVZJ@Q�[\JFî&â^ã�ÐgÑ�Í�ÑdÒ�Ñ$Í�Ý)ÕRØ,Í�Ó-Ö;ÌR]gÒ�ä Ø�ÐgÔSØ\Ø�Ð)Ñ�Ù�Ôaß;Ñ>Í�Ø�Ò,ÝgÓ&Ø,Ý)Ò�Ñ$Í�Ò�Ñ�ä�ÔSËXÌØ�ÐgÑ�Í,ÔSä4Ñ�é»Ö;Ò[ÔSÕXÕMØ�Ð)Ò,Ñ�Ñ�ß�ÔSÕXÝ)Ñ�ÍWÖSé^K â`_�Ö�Ù]Ñ�ß;Ñ�Ò�Ø�Ð)Ñ�Ù�Ôaß;Ñ]ÏgÔ�Ø�Ø�Ñ�Ò,Ì1Ó�ÕRÑ$ÔSÒ,ÕRæ ï Ñ�Ó�Ö;ä4Ñ�Í ï Ñ�Ø�Ø,Ñ�ÒÒ,Ñ�Í�Ö;ÕXß;Ñ�×cÙ\ÐgÑ�ÌÛËRÌgÓ�Ò�Ñ$Ô;Í�ËRÌgÜaK â2ã�Ð)Ë¡Í�ËXÍ�ä4ÖFÍ�Ø>Ö ï ß@ËRÖFÝgÍ�ÌgÑ�ÔSÒØ�ÐgÑ�í�Ö;Ò�Ø�Ðjì`ÖFÕRÑbVIÓ�Ñ�ÌMØ�Ñ�Ò�Ö;éØ�ÐgÑ\Ï)ÕRÖ;Ø,Í}îfé»Ö;Ò`Ø,Ð)Ñ\ß;Ñ�ÕRÖ�Ó-ËRØ�æ�Ó-ÖFä4ÏAÖFÌ)Ñ�ÌMØ,Í�â`ã�Ð)ÑZÓ-ÖFÌFØ,Ö;Ý)Ò}Í`ÔSÒ,Ñ\Ô ï ËåØdc�Ô;Ü;Ü;Ñ$×�é»ÖFÒ�KeMfO ï Ý�Øï Ñ�Ó-ÖFä4Ñ1Í�ä�Ö@Ö;Ø�Ð)Ñ�Ò�é»ÖFÒ:KgMhI�S)â C ËRÌgÔ;ÕRÕXæiT0é»ÖFÒ:KgMPUF·4Ù�Ñ1Í�Ñ�Ñ1Ø�ÐgÔSØ�Ø,Ð)Ñ�Í,ÔSä4Ñ1ÏgÔ�Ø�Ø�Ñ�Ò,ÌgÍ

Page 23: 0 1!324 56 7'faculty.nps.edu/fxgirald/postscript/dgm_sphere.pdf · B£ B p¨; Q£S b¡' 9 B ' b J L £b ! L .¡% < L L .¡% < L B ' % G _ b B 7 B£ B ³ ´ L ] T§

j�k�lXmonpl4q�rts1k�uwv`xzyL{�|}xzy}uX~Z�dm`nE{�xzmon&n1kX���Gm@vzy^u�yd���`m@vX~Zk�j�{ ���

�*�1����W�i�p������R�w�����A�����������������i�����\�R 8�$¡R�1�W���@�L�*�@ �¢\���3�� 8�¤£$�@���¥��£W�&���8�R�� ���@ ��\�R¦i�R�\�1��§1�=�@�1���������=�R¦E�W�*�i�&¢\�� 8¦i���a ������@¨©��ª

�\«

¡�«

��«

¬X­®$¯@°&¯ �d±�²�³�´�µ^�}¶!·�¸�¶!¹�º�²z¶�»1¸�¼�³�½¾±�²�²�¿À�³»©¸�Á"Â�¹�Ã�Ä*³À�¶�ÅÆ ¸�Ç�¿½�Æ�È�È�À�³�Á"Â�±�·�È�Ä�Ã�Ä*³À�¶�Å�Æ ¸�Ç�¿º�Æ�É!¼*¸"Á}¶!·É!º�Æ�È$Ê&Ë�Ì)Í�±�·�È3±*Á,Î-Ì/Ï�Â1Ð�Á�Î-Ì)Í�Ñ�Â@±�·�È3Å�Á4Î5Ì/Ò!Ó:±8»©¸�³ºY±$Í�Ô:ÈÕ±Ç�Æ�·�¸�³É!º�±8¸�Æ�¶!·3Ä�Æ�³Ö}³�È$»=º�¶!½¿=×1Ø�Ù*Á@ÌA¿�Í�Ï!Ô�Ø�Ô*Á"µ

Ú �=¦i�@ ��������R�ÕÛ¾�^���@�� ������@¨©���d��Ü@ÝÞ�i���,ßYÜà�i z�á��â��R��ã¾�=������¦\ 8�����=�i�á�Õ�`�R�©ä}�� 8�����X 8�����i¨=�1���=�i�@�Û�����3���R�¾���i�����\�R ��o���R�ÕÛ��$Üà ��\£-���R��¢&�=��Û�å^�i�=����æ�çXè�é\«Y�5æ���iâRè8â\«*§ÕÛ��R�� 8�Þ���R��å^���iê���Ü����R�£W�i�R�������=�a 8�����=�1���ë�Õ�Gæ�çzè�é\«,�Pæ���iâ@è � â�«!ªoìë�R�:í@�ÕÛî�=£3å@��R¦\��@¦p�\�¤���@�:£W�\�R���8���=�L�����@��������@�3 8�����R¨���=�R¦aÛë��¢i�3��8 ����!���@ ����ïÛ��R�����AÛÞ�W�����p�=���8�R�3ð@¦i�R 8�p�i ��\�R�@�w�8�R�W£W�=�&ñ�¨��Õ��������1���æàép�óò�ô�ß\«!ª4ìë�R�����i�����\�R ���Üà�\ Þ�õ�ö�3�� 8���i¦\�i��¤�p¨����8¨�Y÷���¦\¦i���Wñ4�R���o÷�@���YÜà�\ ,�8�R�á£W�\����*�\�����i�@ 8��¡R�R�4Üà�i 4�8�R��¢i��¨�1�*��ã$���i£Wå��\�R���������i��ÛÞ��¨=¨�ªoø"�@�� ����i����R¦G�ù���E���: ���£3�Õ¢\���o£$�������Üz���R�Þ÷���¦\¦i���1�R���8�Y¢������¡R¨=�:��L���R�G���i�����\�R 8�Þ�����¤�=�@�* 8���\���=�R¦p�õÜà�R ����R�� ë��� �\� ��£W�&�����@���@����@���*�i���8�i�R ��ë�*�i£WåR¨=�*�8��¨=ãi§R 8�����R¨���=�R¦W��w�*¨=���i �¨=㤢&�����=¡R¨=�á���i�R�����=¢i�áÛë��¢i�á��8 ����!���@ �����ªÚ �=¦i�@ ���úE���R�ÕÛ¾�Þ���@�� ������@¨©���ë��ÜYÝÞ�i���G�E�ÕÜ����� ï�w��ôE�R��ãL����8��¦i ��Õ�8��\�b���ï�1�ä^�� ����\�¾ 8������ñ

¨=�1���=�i�@�ÞÛ�����a���R�:�*�i���8�i�R ��,���R�ÕÛ��EÜà 8�i£û�p¢��=��Û�å^�i�=���Þ���i 8 �����å^�i�@�R��R¦������8�R�áü¾�i ����Lý��i¨=�æ�çzè�é�«¾�hæZâ@è�úiâ�«!ª�ø"�A���i���� ��i���¾�8�E���R�påR 8��¢&��\�@���ÛÞ�a���i������§R���@�$ 8�����R¨©���¾Üà�\ ����þ�a���R�ÕÛ

Page 24: 0 1!324 56 7'faculty.nps.edu/fxgirald/postscript/dgm_sphere.pdf · B£ B p¨; Q£S b¡' 9 B ' b J L £b ! L .¡% < L L .¡% < L B ' % G _ b B 7 B£ B ³ ´ L ] T§

ÿ�� ���������� ����������������������������� �!��"�#���� !�

$&%('�$)$&%+*-,.'0/1*324$&576+89$76:57*�2)'�57*<;(*�=?>A@:@:>A@:=B$&CD;:57*�'?EGF�C�,H@I'�$)$&%+>A2)57*�2&C?JA6�$7>KC1@�,H%:>L8M%I>A2>A@+246:N-8O>K*�@P$Q$&CG2&6:R:RSC?5&$Q$&%+*TF�U�@+'�V<>L8O2)C?WX$&%:*T2&U�2Y$7*OV[Z]\X%+>A2^;:5&*�'�E�F�C�,H@_C�WX$&%+*`,.'0/1*24$&576+89$76:5&*�2H>L2HV<C124$aC?;�/�>KC16+2X;�UTJACPC1E�>K@:=`'�$H$&%:*^V<'12&2�Z�bc@+8O5&*�'?2&>K@+=<de$7CDf�g<57*�2&6:Jh$M2H>A@['F�5M'�V-'�$7>A8^>KV<R:57C�/?*�V<*O@P$i,H>K$&%G$7%:*3,.'0/1*^2Y$75&6(89$&6+5&*�2i;S*�8OC?V<>K@+=TV<C?57*j8OC?%:*�24>A/?*1Zk\X%:>L2l>A2R+'?54$7>A8O6:JA'?5&JAU[@:C�$7>A8O*�'?;:JK*j>K@m$&%+*jV-'?272 8nC1@1$7C?6:5M2a,H%+*O57*j,.*32&*O*^$&%+'�$ $&%:*35&C?$7'�$&*�F_ol5&*�*OE8n57C1272 R+'�$4$&*�5&@I57*OV-'�>A@+2)>A@P$7'189$^>A@+24$&*�'1F_C�WH;:57*�'�E�>A@:=[C�pq>A@P$&C�F:>A24$&>A@+89$j;:JKC1;+2Q'12)>K@sr�>A=+Zt '+Z!bc@+8n57*�'124>A@:=jduW�6:5&$&%:*�5.$&C-v ÿ 24>A=?@+>hw(8�'�@P$&JAU->AV3R+5&C�/1*�2x$&%:* ,X'0/?*lR+'�$&$&*O57@+2�Z�\X%:* V<'12&28nC1@P$&C?6+572�W�C?5�$&%:*ldzy{f�g^2&8M%:*�V<*k'�57*a;S*O=1>K@:@+>K@:=^$&C35&*�/?*�'�J+'j24*�V^;:JL'�@+8O*iC?W|;:5&*�'�EP}~C�p]C?W$&%+*Q,.'0/1*)R+'�$&$&*�5&@|ZH\X%:>L2i8�'�@[;S*j2&*O*O@[;�UBJKC�C?E�>A@:=`'�$i$&%:*Q;SC�$&$&C1V�JA*nW�$i$&>ARGC�W!$&%+*^8n57C1272OZr:C15idey�v ÿ $7%:*Q,X'0/?* R+'�$4$&*�5&@D57*OV-'?>K@+2i8nC?V<R:JA*n$7*OJAUT>A@P$7'?8n$i,H>K$&%:C16�$k'�@�U]>K@+F:>A8�'�$&>AC?@DC?W;:57*�'?E1}~C�p!Z

'1�

;(�

8��

�|�Y�^�+��� ���M�������S���9�O���9�0�����M�����0���a�M���!�K���Y�h�~� � ���L�n�Y�����Y� �� Q�K�H��¡0¡0���&� � �M�0¡k�O�L�n�Y���O�4� �� Q�K����¢9�n�c���9�¢9����¡^£�¤k¥§¦H�M�0¡3�n�x¨©¥sª ��« ��¨©¥§¦4� � �M�0¡3�&��¨{¥s¬9­l�7�h���Y���^¦Y® ¡��Y Q���O���Y¢9�~�7�����9�3�����Y¯��4¡^�A���9��A°�±�²n�+¥��L³�±�´9³n�~�

\X%:*j57*�2&6:JK$72iW�C?5k$&%:*�24*^$&%:57*O*<8O'124*�2i2&%:C�,µ$&%('�$ >K@+8O5&*�'?2&>K@+=-$&%:*3C?5MF�*�5iC�Wx$&%:*<'�R:R+5&C0¶�>K}V-'�$7>KC1@|·+d¸·�*�>h$7%:*O5a>AV<R:57C�/?*�2�$7%:*^2&V3C�C?$&%:@:*�2&2XC?W�$7%:*^8nC1@P$&C?6+5X8O6:57/?*�2XC15a'�JAJKC�,a2�W�C15X$&%:*

Page 25: 0 1!324 56 7'faculty.nps.edu/fxgirald/postscript/dgm_sphere.pdf · B£ B p¨; Q£S b¡' 9 B ' b J L £b ! L .¡% < L L .¡% < L B ' % G _ b B 7 B£ B ³ ´ L ] T§

¹!º!»|¼�½j»�¾!¿ÁÀ�º!Â[ÃÄ�Å]Æ�Ç�Ä�Å�Â|ÈÊÉ�¼½-Æ�Ä�¼�½�½�º|ËÌË)¼+Ã�ÅSÂDÅ�Í!μ+Ã|Èʺ!¹!Æ Ï?Ð

Ñ7Ò�Ó&Ô?ÕAÖ�×&ØAÔ?ÙBÔ�ÚÛ+Ù:ÒOÑkÓ&Ü�Ý�ÕAÒlÞXÝ0ß?Ò�ÓOà!áXâ:ØLÓHØLÓHã+Ý�Ñ&×&ØLÜnÖ+ÕAÝ?Ñ&ÕAä-Ù:Ô�×7ØAÜOÒ�Ý?å:ÕKÒ ØAÙ�æ.Ý?Ó&Ò�Ó Ð Ý�Ù+ç[è+à�écÙæ.Ý?Ó&Ò Ð:ê ×&â:Ò]ß?ÒOÕAÔ�ÜnØK×Yä_ÜOÔ?ë<ãSÔ?Ù:Ò�Ù1×MÓ^ÒOì�â:ØKå+Øh×3ß?ÒOÑ7ä_ÕKÔ�ÜOÝ?ÕKØAíOÒ�çIÞ.Ý0ß1Ò-Ú�Ô?Ñ7ë-Ý�×7ØKÔ1Ù+Ó)×7â+Ý�×<Ý�Ñ7ÒÒnì�×7Ñ&Ò�ë3Ò�ÕKäDÞ.ÒOÕAÕ!Ñ&Ò�Ó4Ô1ÕKß1Ò�çDå�äDÔ1Ö:Ñ Ù:Ô�ç:Ý�Õ�î[×7âmÔ1Ñ7ç�Ò�Ñlï ð ñòÓ&ÜMâ+ÒOë<Ò?à3æ.Ý1Ó4Ò3èTØAÕAÕKÖ+Ó4×&ÑMÝ�×7Ò�Ó×&â+Ò)å:Ñ&Ò�Ý�ó�ç�Ô�ÞHÙ]Ô�Ú�×7â:Ò)ÞXÝ0ß?Ò ÓY×7Ñ&Ö+Ün×&Ö:Ñ7Ò ÞHâ:ÒOÙ[ØAÙ+Ó&Ö�ô`ÜnØAÒOÙP×aõ?Ñ7ØAç]Ñ7Ò�Ó&Ô?ÕAÖ�×&ØAÔ?ÙBØAÓXÖ(Ó4Ò�ç�àö ØAÙ+Ý?ÕKÕAä ê Þ.Ò�Ó4â+Ô�Þ÷Ñ7Ò�Ó&Ö:Õh×MÓ-Ú�Ô1ÑTÝIÙ:Ô?Ù:ø~Ó&ë<ÔPÔ?×&âùÓ&Ô?ÕAÖ�×&ØAÔ?ÙùÜnÔ1ë<ã+Ý�Ñ7ØKÙ+õm×7â:Ò�ÜOÔ?ÙP×&ØAÙ�Ö:Ô?Ö+Ó

Ó&ã(Ò�Ü9×&ÑMÝ�Õ�Ò�ÕKÒ�ë<ÒOÙP×)ë3ÒO×&â:Ô�çûú�ü�ý�ñ�þ Ý�Ù(çG×7â:Ò-ç�ØAÓ7ÜnÔ1ÙP×&ØAÙPÖ+Ô?Ö+Ó)ð Ý�ÕAÒOÑ7ó�ØKÙ_ë<Òn×7â:Ô�çÿú�ïlð ñ�þnàö ØKõ1Ö:Ñ7Ò�Ó����-Ý�Ù+ç����QÓ&â:Ô�ÞÁã:Ñ7Ô�Û+ÕAÒ�ÓHÔ?Ú!×&â:ÒQë-Ý1Ó&ÓaÝ?ÕKÔ1Ù:õ3×&â:Òjý��PÖ+Ý�×7Ô?ÑaÝ�Ú�×&ÒOÑkÔ?Ù:Ò Ú�Ö+ÕKÕ�Ñ&Ò�ß?Ô?øÕAÖ�×&ØAÔ?Ù¸ú�� Ï ç:Ý0ä�Ó7þ�Ö+Ó&ØKÙ+õj×7â:ÒQÓ7Ý�ë<Òl×&ØAë3ÒOø~Ó4×&Ò�ãDÝ�Ù+ç]õ?Ñ7ØAç_ú��� �� ê î� ���èPþ9à

0 90 180 270 360

0

50

100

λ

φ

ÝPþ 0 90 180 270 360

0

50

100

λ

φ

åSþ������������� É����! #"�$�Ã�%& #'(���)�+*,��-/.10&243)%& �Å65879�:3!.1;+�:<=3) �;#>@?4A9��B��+7��!C/0&2EDGF4HI>���0&A�JKHL>@M

<=.1;N�PO|Æ�ÅS¿RQ�C 3)%&.17�3�S9- 3! �;)C/0&2E��0&AUTVO�»�¾!¿WQ�C 3!%�.17�3�S9- 3! �;)C/0&2&$

0 90 180 270 360

0

50

100

λ

φ

ÝPþ 0 90 180 270 360

0

50

100

λ

φ

åSþ���������V�V� É����! #"�$�Ã�%& #'(���)�+*,��-/.10&243)%& �Å65879�:3!.1;+�:<=3) �;#>@?4A9��B��+7��!C/0&2EDGF4HI>���0&A�JKHL>@M

<=.1;N�PO|Æ�ÅS¿RQ�C 3)%US9- 3) �;!C/0&2E��0�A�TVO�»�¾!¿WQ�C 3)%XS&- 3! �;!C/0�2&$

écÙ ö ØAõ+à4���jÞ�Ò ÜnÔ1ë<ã+Ý�Ñ7Òa×7â:ÒQü�ýxñeÝ�Ù+çBïlð ñuÚ�Ô?Ñ7ë^Ö+ÕAÝ�×&ØAÔ?Ù+Ó�Ö+Ó&ØKÙ:õ3Ù:Ô3Û+ÕK×&Ò�Ñ&ØAÙ:õ+àZYiÔ�×&Ò×&â(Ý�×B×&â:Ò_ÓY×7ÒOÒOã õ?ÑMÝ?ç�ØAÒOÙP×Tã:Ñ7Ô�ç�Ö+ÜOÒ�Ó[ðlØKå:å(ÓTã:â+ÒOÙ:Ô1ë3Ò�Ù+ÝsÞHâ+ØAÜMâ õ1ÕKÔ1å+Ý�ÕAÕAäÿØAë<ã+Ý?Ün×7ÓT×&â:ÒÓ&Ô?ÕAÖ�×&ØAÔ?Ù`ØAÙ]×&â:Ò)ü�ýxñ Ú�Ô?Ñ7ë^Ö:ÕLÝ�×7ØKÔ1Ù-ÞHâ:ØAÕKÒk×&â:Ò)ï ð ñzÚ�Ô1Ñ&ëjÖ:ÕAÝ�×&ØAÔ?Ù`â(Ý�Ù+ç�ÕAÒ�Ó�×7â:ØAÓ.õ1Ñ7Ý1ç�ØKÒ�ÙP×ë<Ô?Ñ7ÒTõ1Ñ7Ý1ÜnÒnÚ�Ö+ÕKÕAämå�äIÕAÔ�Ü�Ý�ÕAØKí�ØKÙ+õG×&â+Ò]ØAë<ã+Ý?Ün×jÔ�Úi×&â:Ò]Ô1Ó7ÜnØAÕKÕLÝ�×7ØKÔ1Ù+ÓOàI[aÔ�Þ.ÒOß1ÒOÑ ê ØAÙqÑ7Ò�Ý?ÕKØK×Yä êÞ.Ò-Þ�Ô1Ö:ÕAçmÙ:Ô?×QÖ+Ó4Ò<×7â:Ò]ü�ý�ñ Ú�Ô?Ñ7ë ÞHØh×7â:Ô?Ö:×QÛ+ÕK×&ÒOÑ7ØAÙ:õGÝ�Ù+ç_Ó&ÔDØKÙ ö ØKõ(à\���<Þ.Ò`ÜnÔ1ë3ã(Ý�Ñ7Ò×&â+Ò^×YÞ.Ô`ë<Òn×7â:Ô�ç:ÓiÞHØK×&â�×&â:Ò^].Ô�ä�ç�ø!_�Ý?Ù+ç�Ò�ß?ÒOÙBÛ+ÕK×&Ò�ÑlÝ?ã:ã:ÕAØKÒ�çDÒOß1ÒOÑ7ä`���-×7ØKë<ÒjÓ4×&Ò�ã+Ó�àláXâ:Òü�ý�ñ Ú�Ô?Ñ7ë^Ö+ÕAÝ�×&ØAÔ?ÙGåSÒOÙ:ÒOÛ:×7Ólõ1Ñ&Ò�Ý�×&ÕAäBÚ�Ñ&Ô1ë Û+ÕK×&ÒOÑ7ØAÙ:õTÞHâ:Ò�Ñ&Ò�Ý?ÓkØh×)ØLÓiÖ+Ù+ÜnÕAÒ�Ý?ÑlÞHâ+Òn×&â+ÒOÑk×&â:Òï ð ñ�Ú�Ô?Ñ7ë^Ö:ÕLÝ�×7ØKÔ1ÙjåSÒOÙ:ÒOÛ:×7ÓxÝ�×xÝ�ÕAÕ�à ö Ô?Ñ�×7â:ÒHß?Ò�Ñ&ä^Ó&ØAë3ã+ÕKÒaÜ�Ý?Ó&ÒHÔ�Ú�Ý?ç�ß1Ò�Ü9×7ØKÔ1ÙjÔ?Ú�Ý ÜOØKÑMÜnÖ:ÕLÝ�ÑÜnÔ1ÕKÖ+ë3Ù ê ×&â:ÒlÛ+ÕK×&Ò�Ñ&Ò�çTï ð ñ Ó&ÒOÒ�ë-Óx×7Ôjâ(Ý�Ù+ç�ÕAÒlÕKÔ�ÜOÝ?Õ�õ?ÑMÝ?ç�ØAÒOÙP×7ÓXÓ&ÕKØAõ?âP×7ÕKä-ë<Ô?Ñ7ÒkÝ1ÜOÜOÖ:Ñ7Ý�×&Ò�ÕKä

Page 26: 0 1!324 56 7'faculty.nps.edu/fxgirald/postscript/dgm_sphere.pdf · B£ B p¨; Q£S b¡' 9 B ' b J L £b ! L .¡% < L L .¡% < L B ' % G _ b B 7 B£ B ³ ´ L ] T§

aVb cedf�gNhjiZk#lVm�n�o�p�mNg�qensrtl�gereivuwg+f�x�yefjpNk+r

z|{~}V��z|{��4�~��z:�8�:���,�j�������Z}V�|ze���~z:{��E�:��}��|��������+z:{��X�j�=�6���|�����P�E�@z|���^�Z��|����z|{��(��}��1zZz:{�}9zz|{����w�w������|�������=�j�8}��=���L�P�����@���| �����¡\¢E{������£z:{��¤�����¥����|�§¦���}9z|�����¨���������=�I¡�����©~}V���=��P�����|�8�: G����¡~�Nª4{���«��:��«6�8�|z��������=�j��}V�s�P���~�@���| 9}9z:�=���,�,}&�����Vz4©~�Uz|�������^«~���@z�}V�Gz#���£¡��=��©�}V���¦��^�8�:����}V�4¢¬��}9z:{��8��«��:���j���1z:�=���®­��P¯��P��«jz,«~���|{~}V«������¨{�¦��:�|���8}����£z:�:}���°��=��¡�±1²Z©�¦�z³��z,¢E���=��P���@z�}V�������\©~�£�=�^«6���|z:}V�Gz������^���@�G�|��}V�����^�j�j������¢E{�����{L}V�:�^¦��|���vz|�\�|�=�§¦���}Vz|�^�����P´µ�|��}V���¶ �9¢(�����G ����� ��=��¡v��|���Gz:��²��j�8�~�@�=z����P¦��:�:�8�Gz:��²�}V�~��{��j�j�:}�¦�������·�¦��^«��,�j¦��¸z|��z:��«6��¡���}V«�{G�­��� ¡~�=²�����¦��Gz:}��=���E}������P��}���z:�=�������8²��|�8�,¹ º9»¼±P�

½�¾�¿�¾ÁÀ8ÂLÃeÄ�ÅVÆ^Ç~È(ÉEÊ)ËÆ�Ì�Í9Ê)ÎNÏIÇ6ÎÑиÅ�Å�Ò�Í9Ä�Å�ÓÔ z������=�^«6���|z:}V�GzUz|�£¦����j�8���@z:}V�~�\¢E{�}VzU�P�s���Pz:��²����¬}V����²6���=z|���|����¡£{~}��U���\z:{��^}��8�8¦���}��P�

�V�¬}£«�}��@z:���8¦���}V�w�|��{����^��Õ�z:{����w�������|«~���P��}V���=�Ö���^«~���@z�}V�Gz�����w{���¡�{v���:���8�����8z|{��j����¢E{����|����=z|���|����¡¤���×�V�¼z|���I���8���j���`����×�|���� ��=��¡¸�����j´Ø�=������}���«��:��©����8�,��� Ô �LÙe��¡��ÖÚ a ¢¬�³�@{��9¢�z|{���P�s���Pz:�§�V�E���=z|���|����¡\���Iz|{����P���G ��8�:¡������P�,��}9z:�³�V�UÛ¬}��|� a � Ô �Lz|{�������¡�¦��|��²N¢¬�£«����Vz�z|{���|����¦jz|�����£}V�¼z|���¬}�«�«����G����¡�����z:�8�:�=��¡��8 ��8�:�sÜ#Ú�Ýwz|���^���@z|��«��U­)��}��|{�����±1²�Ú�Ý�Ýwz:�=�^�w��z:�8«���­��j��z@´z|����±1²�Ú�Ý�Ý�Ý×z:�=�^�×�@z|��«���­���}��@{�����´µ�j�Vz|z|����±1²�}�����¦��@����¡^�������=z|���|����¡Ö­��|�������~±1�ZÞ������Vz|�wz:{�}9z}V«�«��=������¡§z|{��w���=z|���¬z|���^�V�¼z|����­��8 ��8�:�ÖÚ�Ý�z|�������@z|��«��:±#�:���|¦��=z:�4����}��j���8�|��}��|�X���Ö}��8�8¦���}��P��V�~z�¢#�w���:�j���:�e���~�,}V¡�����z:¦��j�4����+z|{��4{���¡�{�����zt���:���8�Z�|��{��8�^��­�ßáàãâ a ±P�+Û#����}V�:����²V¢¬�4���8���z|�\}�«�«����v�|¦jä³�P���8�Gz����=z|�8�:����¡�z|�¤�=�~�@¦��:�³�@z:}V©��=����z��v¢E��z:{���¦jz×�9 ��8�|´Ø��}V�^«�����¡³z:{��³�@���=¦�z|�������Ù����X}V����z:{���z:���@zU�8}��@���4�P¯j«������:�����=�¤z:{����(«�}�«~���(¢#�×���¦�����z:{����|����¦jz|������z:�³©~�§��z�}V©����w����z|{��(���=z|���|����¡�z:�=�^�Xå�æ^çèº�Ý�Ýwé§ê1Õ�{��9¢¬�8 ��8��²9����¬�@���^«��=���P�=z���¢#�X}�«�«�����z|{��X����z:�8�#�8 ����|�¸Ú�Ý�Ýz|���^���@z|��«�������(Û¬}��|���tº~²�ëj²�}V��� b � Ô z4�|{���¦����,©6�X�^����z:�=�������³z|{�}Vz#�=z¬���#«~�G�|�|�=©��=�Xz|�§}& ������

4 8 16 3210

−16

10−14

10−12

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

N

L 2 Err

or

Tf=10 ∆ t

Tf=100 ∆ t

Tf=1000 ∆ t

Unfiltered

ì�í�î�ï�ð�ñGï p�ò�óeô�ó�õ)õ!ö1õ~÷�øs÷Nù=ú&û&üµý)þ/ö1ûEö�ù�ý)ò&ó�ø!ÿ9÷:ý)þ ÷ � ÷�ÿ&ÿ�õ!ö���þ��(÷:ý)þ/ö1û4ö1õ��&ó�õ@l�×l��þ ý!ò¬÷�û�� �þ ý!ò�ö1ú�ý� � ý)ó�õ!þ/û����������&ó�û&ö�ý)ó�ø+ý!ò�ó � � ý)ó�õeý!þ��Eó��������������! Øl"�������! Ølj÷�û#�$���������! Nõ)ó�ÿ&õ!ó�ø!ó�ûPý � � ý)ó�õ!þ/û��(ó&%Pó�õ(')���* �9÷�ø!ò&ó+� � þ/û�ó-,Øl������ * �&ö�ý�ý!ó+� � þ/û&ó�,Øl9÷�û��.������� * �&÷�ø!ò#/0��ö�ý)ý)ó+� � þ/û&ó�,~ý!þ��Eó+ø�ý!ó�ÿ&ø@l9õ!ó�ø)ÿ�ó�üµý)þ %Pó � '1�6f�ó�ø)ú � ý!øN÷�õ!óø!ò�ö��ûUù=ö1õ�2�÷�ø)ó43#ù=ö1õN÷65!�9÷+'�þ/ûPý!ó+�1õ!÷:ý!þ/ö1û��

���=z|���|����¡¤}V�=z|��¡��Pz:{��8��©�¦jz�z|{����w¢¬��¦����Ö�:�7G¦����|���P¯�}��PzU���Gz|�8¡��:}Vz|�����\���tz|{��^�����:�P�:�Pz:����«6�8��}9´z|���:�×�=�Lz:{��¸�w�w� ����|�§¦���}Vz|�������98X�9¢#�� ��8��²����L«���}��Pz|���P�³�=z§������}��×�^���:�³���8�����������8}��Zz|�¦��|���=���P¯�}��Pz(�=�Gz|��¡���}9z:�=���¸¢E�=z|{����=z|���|����¡³}��4���(�j���������¤z|{��×�8���Gz|����¦���¦��E�|«6���1z:�:}����8���8�^����z�^�Pz:{��j���

Page 27: 0 1!324 56 7'faculty.nps.edu/fxgirald/postscript/dgm_sphere.pdf · B£ B p¨; Q£S b¡' 9 B ' b J L £b ! L .¡% < L L .¡% < L B ' % G _ b B 7 B£ B ³ ´ L ] T§

:<;<=?>A@B=DC<EGFH;<IKJ�LNMPOQ�LNM�I?RTSU>�@VO#LN>A@�@H;?WXWY>ZJNM[I9MU\<]�>ZJ?RT;<:<O ^`_

a?bdc$egfhc.i6jKkNlegfhkm n"o6p`qHr+os1t�uwvxo6pzyHt�nZuw{A|Z}x|~o�An~}x{�q~oo���t-p�|"�-o{�o���t�t�n"o6y�px�-�.�"��}�t-u�p`�.}z�~��vxo��u��~s}�t�uwpx�Ypxy

})n"uw�xnH��px���Ho���}`s�s1�Z�-}zt�o��"pH�"}z�?�"uw{-s1p`�`t-u����"p`�Z{���}z�wo��-��u��Py�px�-�.�Z�w}zt�uwpx�gy�p`��t�nZo�{�p`���Ht-u�p`�Ppxyt�nZo�{�|"nZo��-uws}z�N{�nZ}z�w�wp����!}zt�o��o���Z}�t-u�p`�Z{�!�6�"�-v�uw�wu��"o#}z�����Z}`�H��uw��}�t�o�-}x��o��wo��$o���t-{�}z�-o��~{�o#�t�pPs1p�vxo� t�n"o){�|Zn"o��-ox�~�Z{�uw�"��}x�9uws�p`{-}zn"o#�H��}z�U�x�-u��9}x{ t-n"o.qZ}`{�u�{ y�p`��t�nZo.�x�-u��P�`o��"o�-}zt�uwpx�?���u�t�n�t�nZo�o���Z}zt�uwpx�Z{g{�px�wvxo#��u�� �!}x��t-o{�uw}x��y�p`���¡t�p�}�v`pxu���|"�-pxqZ��o�${g��u¢t-n�s1p�px���Huw�Z}�t-o{�u��"�`�"��}z�-u¢t-u�o#{��A£��.o}xs�n�s��"�-v�uw�wu��"o#}z��o��wo��$o���tNt-n"o {�p`���Ht-u�p`�Z{N}x��o6��o|"�-o{�o���t�o#��q�¤Y¥N}x�x��}z�"�`o|[px�w¤��Zpx�$uw}x�w{gu���}¦|"�Z��o��¤��"pH�"}z��y�px�-�§��u�� ox�w� t�n"oh{�px�w�Ht-u�p`�Z{g}z�-o9�xuwvxo��px�¨���Z}x�H��}�t-�"�-o|[pxuw�`t�{4}z�~�.p`|~o�-}zt�uwpx�Z{<{��Zs�nV}x{D�Hu�©[o��o��t�u�}�t�uwpx�$}z�~�.uw��t�o��`�-}zt�uwpx�)q~o#s1p`�)o �V}�t-��u�ª����V}zt��-u¢ªpx|[o���}�t-u�p`�Z{�)m n"o$o#�`�~}�t�uwpx�~{�}x��oV{-}�t-uw{��Zo�«uw�¬}K�Hu�{�s�px��t�uw���"px�~{�o��o�$o���tYy�px�-�­��u�t�n«t�n"oo��wo��$o�`tKs1p`�`t-u����"u�t+¤�q~ou��"�®u��$|[p`{�o�¨�!o}x����¤`�¯m n"uw{§�Ho#s1px�Z|"��o#{�}x����t�n"o«o��wo��$o���t-{§}z�~��V}z�`o{�t-n"oVy�px�-�.�Z�w}zt�uwpx�¬n"u��`n"�w¤«|Z}x�-}x���wo��4}`{Y�!o��w�°}x{Y�!o��w����{��"u�t�o�¬y�p`�.}x�Z}z|Ht-u�v`o${�px�w�Ht-u�p`�t�o#s�n"�"u����"o{�}`{ �"pgs1p`�Z{+t-�-}xu���t�{6p`�Po��o�$o���t�s1p`�Hy�px�-�$u¢t+¤Vu�{��"oo�Ho#�U�m n"o�}xss1�"��}xs�¤9pzy t�nZo�{�s�nZo��$ox���xuwvxo��¦uw�¦t+�6pK�V}�t-n"o��V}zt�u�s�}z�w�w¤ho���"uwv�}z�wo���t�q"�Ht$s1p`�B�

|"�Ht�}�t-u�p`�Z}z�w��¤g�"u¢©�o��-o���t!y�px�-�${��nZ}x{!q[o�o��Pu��w�w�Z{+t-�-}zt�o#�gq�¤gs1p`�Z{�u��Ho��uw�"��t-n"o�{�p`���Ht-u�p`��pxyUt�n"o{�t-}z�~�"}z���h{�o1tYpzy!q~o�Zs�n"�V}z�-�H{�|"��p`|~p�{�o#��uw��± ² ^�³ �$´�p9{�u��`�"u¢�[s�}z��tY�Hu�©[o��o�Zs1o$� }x{�y�px�"�~�q[o1t+�!o�o���t-n"o�|[o���y�px�-�V}z�Zs�o§pxy�t�n"o9t+�!p¦y�px�-�.�Z�w}zt�uwpx�Z{g}x�¢t-n"px�Z�xn�t�n"o«�Hu�v`o��-�xo�Zs1o§y�px�-�{�o�o��V{!�$px�-o��-pxqZ�Z{+t!t�p)|[o���y�px�-�$}x�Zs1o�o��ZnZ}z�Zs�u��Z�B}z|Z|"��p�ªHuw�V}�t�uwpx�~{��<m n"o���o#{��"��t-{ s�px�H�Z�-�t�nZo�o1ªH|[os1t�o�µn"u��`nH��px���Ho��1¶�{�|~o#s�t-�-}x�4}xs�s��"��}xs1¤¬}z�Z�¦uw�w���Z{�t���}�t-ogt-n"oP}`�Hv�}z��t-}x�xo{�pzy��Z{�u��"�{��Zs�nP�$o�t�n"pH�"{ t-pVo1·gs1uwo���t-��¤�{�px�wvxo��`o�px|Zn�¤H{�uws}z�~¸Zp��¹|Z��p`q"��o�V{��mNp��"�Z�"o���{+t�}z�Z�U�`n"p��!o�vxo�����n"o�t�n"o�Dt�nZo�}z|"|"�-p`}`s�n.|"�-px|[p`{�o�.n"o��-o |"�-p�v�u��Ho#{D}��-o}x��u�{�t�u�s

}z��t�o���~}�t�uwvxo°t�p�o1ªHu�{+t-u��"���$o1t-n"pH�"{<qZ}x{�o�.px�){�|"nZo��-uws}z��nZ}z�-�$px�"u�s�{Apx�<s1p`��t�uw���Zpx�Z{A{�|[os1t���}z�o��wo��$o�`t§�$o1t�nZp��Z{��-o���"uw��o#{Vo1ª�t-o��Z{�u�v`o9y��"��t�n"o�Pv�}x��u��"}�t-u�p`�?�ºm n"ohu��"nZo��-o���tP|"�-px|[o���t�uwo{pzy�t�n"oK|"�-px|[p`{�o�¦t-os�n"�Zuw���"o`�4ox� �Z�w�°n"uw�xn®|Z}z��}z�w�wo��!o1·gs1uwo��Zs�¤x�4nZu��`nH��p`�-�"o��$}xs�s��"��}xs1¤¦}z�~�{��"|"|[px��t6y�p`� }`�"}z|"t�uwvxox���"p`�H��s�px�Hy�p`���$uw�"�B{�px�w�Ht-u�p`�Vt�o#s�n"�"u��`�Zo{�"}z�-o�{��H·gs1uwo���t6t-pB� }z�-��}z��t{��Zs�nPo�ªHnZ}z�Z{�t�uwvxoY{�t��Z�"u�o#{�}z�Z�P�!o�nZpx|[o�t�p$��o|~p`��t�p`�§{��Zs�nK��o#{��Z�¢t�{ u��§t�nZoY�"o}x�6y��"t��"�-ox�

» cB¼9fhe�½¾i6¿�À9Á§Â¯¿�f9ÃJ?Ä�Å~Æ�Ç�ÈTÉ"Ê�Ë#É(Ä�Ì�ÇNÍ�F"Î�CDÏ�Ð�Ç�Ê-É(Å+Ñ�Ë�Ò�Ò Ó°Ê�Ô�Õ�Ö�Ì�×�Ò�Å+Ø�Ð�Å+ÈZÄ�Ù�È"È�ÚzÌ�Ö�È(Ì�Ç�Û-É(Ä�Å?;�Ü Ô�Å[Ì�Ñz:AÊ+Ý�Ê�Ò�I?Å+È�Å�Ê�Ç�Ô�Ä�Û�×NÄ�Ù�Ô�Ä

È�Ë#Ú�ÚzÌ�Ç(É(Å�ØYÉ(Ä�Ù�ÈA×UÌ�Ç(Õ�É(Ä�Ç�Ì�Ë#Ð�Ä.Ú#Ç�Ì�Ð�Ç�Ê�Þ�Å�Ò�Å+Þ�Å+Ö1É<Q[MZß�à�á�à�â�ã1ä�å�:°æ`J?Ä�Å4É0×UÌ�ÒçÊ�ÈTÉDÊ�Ë#É(Ä�Ì�Ç(È4Ê�Ô�ÕÖ#Ì�×NÒ�Å+Ø�Ð�ÅÚ�Ê�ÇTÉ�ÙçÊ�Ò�È�Ë�Ú�ÚzÌ�ÇTÉ�Ì�ÑD>AF";DOIAè�=?><I?Q`>�Ë�Ö#Ø�Å+Ç�Ô+Ì�Ö1É�Ç�Ê�Ô&É�F"ã1é�á�â�à-ß�ê&ß�à�ã1â�á#æ�J?Ä�Å�È�Å+Ô+Ì�Ö�ØKÊ�Ë#É(Ä�Ì�Ç�Í�ë�O#LAÏÊ�Ò�È�Ì.Ê�Ô�Õ�Ö�Ì�×�Ò�Å+Ø�Ð�ÅYÈ(Ë�Ú�ÚzÌ�Ç(É ì�ÓBÉ�Ä�Å�>AÒ Ñ�Ç�Å+ØVQ"æ�O�Ò�Ì1Ê�ÖVF�Ì�Ë�Ö�Ø�Ê-É(Ù�Ì�ÖKÊ�È�Ê.OÒ�Ì1Ê�Ö�I?Å+È�Å�Ê�Ç�Ô�ÄgF�Å+Ò�Ò�Ì�×�Ê�Ö�Ø�ÛÑ�Ë�Ç(É(Ä�Å+Ç�Þ�Ì�Ç(Å1Û�×NÙ�È�Ä�Å+ÈHÉ�Ì�Å&í#Ú�Ç(Å+È�ÈZÄ�Ù�È"Ð�Ç�Ê-É(Ù É�Ë�Ø#Å�ÑwÌ�ÇHÉ(Ä�ÅUÄ�Ì�È�Ú#Ù É�Ê�Ò�Ù É0Ó°Ì�Ñ�É(Ä�Å?=AÅ+Ú�Ê�Ç(É(Þ�Å+Ö�É"Ì�ÑxEYÊ-É(Ä�Å+Þ�Ê-É(Ù�Ô�Ê�ÒE�Ì�Ø�Å+Ò�Ù�Ö�Ð<Ê-ÉHÉ(Ä�Å�JHÅ+Ô�Ä�Ö#Ù�Ô�Ê�Ò�]�Ö�Ù Ý1Å+Ç�È(Ù É0ÓDÌ�Ñz=AÅ+Ö�Þ�Ê�Ç(Õ<Ù�Ö4>AË�Ð�Ë#È(É~â�à�à#ê�Ø�Ë#Ç�Ù�Ö�ÐN×�Ä#Ù�Ô�Ä4Ú�Ê�Ç(É(È"Ì�Ñ�É�Ä#ÅUÚ�Ç�Å+È�Å+Ö1É×UÌ�Ç(Õ�×�Å�Ç(Å<Ô+Ì�Þ�Ú�Ò�Å&É�Å+Ø�æ

î ¿�ï�¿ î ¿�fhcB¿Ykê�æ�FUæ"ðUÊ�È�È(ÙUÊ�Ö�ØgOzæZINÅ+ì�Ê+Ó�Û~LNÙ�Ð�Ä#ß0Ì�Ç�Ø#Å�Ç6Ê�Ô+Ô+Ë�Ç�Ê-É(Å�Ø�Ù�È(Ô+Ì�Ö�É(Ù�ÖË#Ì�Ë�È!Æ�Ö�Ù É(Å�Å+Ò�Å�Þ�Å+Ö1É!È(Ì�Ò�Ë#É(Ù�Ì�Ö$Ì�Ñ?É�Ä�Å�â�=M[Ë#Ò�Å�Ç?Å+ñ�Ë�Ê-É�Ù�Ì�Ö#È�ÛHòó1ôõ&öz÷�ø"ó�ù�úZó1û�üzô#ý0÷�ý�þ�ó�öz÷1ø�ÿ�������þ������� HÛ#â�å#ê&ß�â���å�ÍTê�é�é���Ï&æ

â#æ��!æ Oxæ#ð�Å&Ó�Ê�Ö�Ø�ë�æ JDæ�;AØ#Å�Ö`Û�Ä�Ú#ßwÝ1Å�Ç(È�Ù�Ì�Ö�Ø�Ù�È�Ô+Ì�Ö1É�Ù�Ö�Ë�Ì�Ë�ÈAC<Ê�Ò�Å+Ç�Õ�Ù�Ö�Þ�Å&É(Ä�ÌØ#È�ÑwÌ�Ç?Ä1Ó#ÚzÅ+Ç�ìzÌ�Ò�Ù�Ô<Ô+Ì�Ö�È(Å�ÇTÝ�Ê-ßÉ(Ù�Ì�Ö�ÒçÊ�×NÈ�Û[úZó�ûAüzô#ý���õ�����ý��#ó����°þ¢ö��?ü1üzø þ������������#÷�ö�þ�� �4÷�ö���!Uö�"1þ¢ö�����õ&þ¢ö�"#�����Û�â�å�é-ß0â���á�Í(ê�é�é�á1Ï�æ

ä#æUë�æzð�Ì�ÓØ�ÛzJ?Ä�Å4Å+Ç(Ñ�Ô&ß0Ò�Ì�Ð6Æ�Ò É(Å+Ç<Ê�Ö�Ø�É�Ä�Å°Ê�ÈTÓ#Þ�Ú#É(Ì�É(Ù�Ô�È�Ì�Ñ"É�Ä�Å4M~Ë�Ò�Å+ÇAÊ�Ö�Ø�$�Ê�Ö�Ø#Å+Ý1Å+ÖYÈ(Å�ñ�Ë�Å+Ö�Ô+Å6Ê�Ô�Ô+Å+Ò�Å+Ç(ßÊ-É(Ù�Ì�Ö�È�Û&%Dó�ô���ý0ó�ö�òó1ôõ&öz÷�ø"ó�ù'�.÷�ý�����û!÷1ýwþ����!ÍTê�é�é�á1Ï&æ

ã�æ?Oxæ =6æ#ð�Ë�Ç(Õ�Ê�Ö�Ø�JDæ#LAÊ�Ê�Ô�ÕzÛ�J?Ä�Å<ØÓ#Ö�Ê�Þ�Ù�Ô+È?Ì�Ñ�×?Ê+Ý1ÅDÔ+Ò�Ì�Ë�Ø�È?Ë�Ú1×�Ù�Ö#Ø�Ì�Ñ"Ô+Ì1Ê�È(É�Ê�Ò�Ì�Ç(Ì�Ð�Ç�Ê�Ú�Ä1Ó1Û(�.ó�ö�ý��ø �)*��÷�ý�����õ�+,��--þ�� ./102 �Ûxê+ã1ä��-ß�ê+ã1å�å�Í�â�à�à�à1Ï�æ

å#æUðAæ-S�ÌÔ�Õ�ì�Ë�Ç(Ö Ê�Ö�Ø6SAæ Whæ�OÄ�Ë�Û�J?Ä�Å�INË�Ö#Ð�Å+ß��<Ë#É(É�Ê�Ø#Ù�È�Ô+Ì�Ö�É(Ù�Ö�Ë�Ì�Ë�È[C<Ê�Ò�Å�Ç(ÕÙ�Ö4Þ�Å&É(Ä�ÌØ4Ñ�Ì�Ç�Ô+Ì�Ö�È�Å+Ç(Ý�Ê-É�Ù�Ì�ÖÒçÊ�×NÈ�34$!æ�Þ6Ë�Ò É(Ù�Ø�Ù�Þ�Å+Ö�È�Ù�Ì�Ö�Ê�ÒxÈ(ÓÈ(É(Å+Þ�È�Ûxò#ó�ôõ&öz÷1øZó(ù ú~ó�û�üxôý0÷�ý�þ�ó1öz÷�ø�ÿ5������þ�� �6879zÛ`ê�é�é-ß�â�â�ã�ÍTê�é�é��1Ï&æ

á#æUðAæ�SUÌ�Ô�Õ�ì�Ë�Ç(Ö$Ê�Ö�Ø)SAæ W«æHOÄË`Û"INË#Ö�Ð�Å&ß:�<Ë#ÉTÉ�ÊY=AÙ�È(Ô+Ì�Ö�É(Ù�ÖË#Ì�Ë�È6C<Ê�Ò�Å�Ç(ÕÙ�ÖBE�Å&É�Ä#ÌØ�È4Ñ�Ì�Ç°SUÌ�Ö1Ý1Å+Ô&É�Ù�Ì�Ö#ß=AÌ�Þ�Ù�Ö�Ê-É(Å+Ø�Q~Ç�Ì�ì�Ò�Å+Þ�È�Û`òó�ô#õ&öz÷�ø"ó(ù�;&��þ���ö�ýwþ <���ú~ó�û�üxôý�þ¢ö�"1Ûzâ�à�à#ê'= É�Ì�Ê�Ú�ÚzÅ�Ê�Ç�æ

Page 28: 0 1!324 56 7'faculty.nps.edu/fxgirald/postscript/dgm_sphere.pdf · B£ B p¨; Q£S b¡' 9 B ' b J L £b ! L .¡% < L L .¡% < L B ' % G _ b B 7 B£ B ³ ´ L ] T§

>�? @'A:BDCFE4GIH6J�KDL�M�NDKFCPO'L5QRJ�C'Q'GTS*C�BDU�V'B4NFH�Q

W�X U X LZY1[�\8]1^`_ba�cdY1efM X H'_bg1h�i JFH'Y1hkj�_b^`e1h�ele1^ m(h�inh�Y1o�h�cdp1p1ibq r�^`stcuan^`q�Y1_�v�q�i�Y1q�Y1w`^`Y1h�cdixo�q�Y1_nh�ibydcuan^`q�Ywzc�{D_�J(|�}�~���� �}�~������R�b�������'����~�}�~������2�����PJ1�����kj:��������������� � X

� X5��X �6X @'^`incdw`e1q1J�E4cd[�i�cdY1[�hkj�@�cdw`h�ib��^`YR_np�h�okanincdw�h�w`h�s�h�Y�aPs�hkang�q�e1_�q�Y�]�Y1_babin]1okab]1inh�eR\8]2cde1in^`wzcuabh�i�cdw�[�in^`e�_ J� �����k��}� 9�n�������F����~�}�~�������}� �¡���¢��n������£8¤&¥¦J&����§dj���§�¨��b��������� X

� X5��X �6X @'^`incdw`e1q1J�E4cd[�incdY1[�hkj�@�cdw`h�in�8^`Y©s�hkang1q8e1_Zq�Y©_np1g�h�ib^`o�cdw2[�h�q8e1h�_n^`oD[�in^`e�_ ªPabg1h,_ng2cdw`w`q�{«{,cuanh�iZh�\8]2cujab^`q�Y1_ J � �����k��}� ��b�������'����~�}�~�������}� �¡5��¢������ �6£���¬PJ2����¨uj���¨�������­�­�­�� X

��­ X���X �6X @'^`incdw`e1q1JdC®_bp�h�okabi�cdw8h�w`h�s�h�Y�a4_ng1cdw`w`q {�{,cuanh�i4s�q8e1h�w�q�Y�_bp1g1h�in^`o�cdw�[�h�q�e�h�_b^`o5[�in^`e�_ Jd¯k�2~����k��}�~�������}� � �����k��}� �������°I���©� �k����}� �|���~���� ±��I�²�*³�  ����±��I�&´�J���¨��uj:��­�������­�­�� � X

��� X���X �6X @'^`i�cdw`e1qcdY1e*N X L X B,q�_ns�q�Y1e�J�Cµ_no�cdwzcd¶1w`hI_np�h�okanincdwPh�w`h�s�h�Y�aDcuabs�q�_np1g1h�ib^`oIe�·�Y1cds�^`o cdw&o�q�inh'v�q�iQDS¹¸9J1^`Y�p�inh�p2cdi�cuab^`q�Yº��»#c�·���­�­���� X

��� X G X @'qda�anw`^`h�¶tcdY1et¼ X M X KDh�_babg2c�y�h�Y�J2M�p�h�okabi�cdw(»*hkang�q�e1_Zv�q�i�KD·�p(h�ib¶(q�w`^`o,¸Zinq�¶1w`h�s�_ J � �����k��}� ��n�6�����½����~�}�~�������}� 9}���±¾,����  ����±�|�}�~���� �©}�~���� �nJP£�¿�ÀPJ����uj������©����­�­�� � X

��� X ¼ X ¼ X K'cdon�(J(U X C X U5q y�^`w`w`h�J2U X ¸ X U5in^`h�[�w`h�¶�J1¼ X N X�Á ^`h�g1w�J�¸ X ¼ X BFcd_bo�g�J(cdY1e�G X E X S¹^`w`w`^zcds�_nq�Y�J�G'h�_no�ib^`p�jab^`q�YÂqdvFang�h#Q�Ã5C�BÄo�q�s�s]1Y1^ a�·ºo�w`^`stcuanhxs�q8e1h�wR��Ã,Ã�»#���kJ,Q'Ã5C�BÅN4h�o�g�Y1^`o�cdw'QDqdanh#Q'Ã5C�BFÆuNFQ,j������ÇIM�NDBIJ�Q'cuab^`q�Y2cdw9Ã5h�Y8abh�iDv�q�i,C�ans�q�_bp1g1h�in^`oIB,h�_nh�cdinong�J�U5q�]1w`e1h�i�J�Ã,H X ����������� X

��§ X ¼ X M X KDh�_babg2c�y�h�Y�J&CÈM�a�cd¶1w`h�¸9h�Y2cdw a�·#»*hkabg1q�e�v�q�i,ang�h©Ã5q�s�p1ibh�_b_n^`¶1w`h�Q'c�y�^`h�ibj�M�anq���h�_'LZ\�]1cuan^`q�Y1_ X AbA XH'Y1hkj:G'^`s�h�Y1_b^`q�Y2cdw&G'q�stcd^`Y�GFh�o�q�s�p�q�_n^ ab^`q�Y�M�o�g1h�s�h�_ J�É1¯b¾'| �1Ê É&� � Ê �����'� Ê £�ÀPJ�¨����uj:¨�����JP����� W�X

��� X ¼ X M X KDh�_�ang1c�y�h�Y�J2CTM8ancd¶1w`h�¸9h�Y2cdw a�·�»*hkang�q�etv�q�i5abg1hRÃ5q�s�p1ibh�_n_n^`¶�w`h'QFc�y�^`h�i�j�M8abq���h�_DLZ\�]1cuan^`q�Y1_ X A�AbA X»*]1w ab^PG'^`s�h�Y1_b^`q�Y2cdw&G'q�stcd^`Y�GFh�o�q�s�p�q�_n^ ab^`q�Y�M�o�g1h�s�h�_ J&É1¯�¾�| �1Ê É&� � Ê �����'� Ê ¿�¬PJ�¨��uj:����JP������� X

��¨ X N X ��X KFq�[�cdY¦cdY1e#N X L X B,q�_ns�q�Y�e�J�N,g1h6e�h�_bo�in^`p�ab^`q�Y#qdv�abg1h6Q'c�y8·#q�p�h�i�cuab^`q�Y2cdw9[�w`q�¶2cdw�cuans�q�_bp1g1h�in^`op1ibh�e�^`o�ab^`q�Y�_�·�_�anh�s�_,_np�h�okanincdw�v�q�inh�o�cd_baDs�q�e�h�w�J�|����2~���  ¢ºË*��}�~���� �IÌ,��Íu��� ÎT£�£�ÏPJ(� W ��¨uj��������*�b������� � X

� W�X » X A�_n�ucdY1e2cdi�cdY�^�J1G X U X KFcd^`e�y�q�[�h�w�J1cdY1e�¼ X ¸ X U5q�·�e�J1M8ancd[�[�h�inh�e�_bp(h�okabi�cdw(h�w`h�s�h�Y�a�s�q�e�h�w2{D^ abgtcdp1p1w`^ jo�cuan^`q�Y#abq�ang1h6q�o�h�cdY1^`o6_ng2cdw`w`q�{T{�cuanh�iIh�\�]1cuan^`q�Y1_�J4¯��2~����k��}�~�������}�  � �����k��}� 1������°����� �k����}� 9|���~���� ±���²��³5  ����±���¿2¬4J1�����uj�§1��§*����������� X

��� X B X ¼�cd��q�¶�j�Ã5g1^`h�Y�J(¼ X ¼ X K'cdon�(J�cdY�e#G X E X Sl^`w`w`^zcds�_bq�Y�J2M8p(h�okabi�cdwPabi�cdY1_�v�q�ibsÅ_bq�w`]�an^`q�Y�_Dabq©ang�h�_bg2cdw`w`q {{,cuabh�iDabh�_baF_nhka J � �����k��}� ��b�©�Z���F�(��~�}�~�������}� �¡5��¢������ �6£�£�ÏPJ&��¨d§dj���� W ����������� X

��� X ¼ X EPhky�^`Y�J�» X A�_n�dcdY�e2cdi�cdY1^�J8cdY�e©G X U X K'cd^`e�y�q�[�h�w�J�C«Y1q�Y1o�q�Y�v�q�ins�^`Y�['_np�h�okanincdw1h�w`h�s�h�Y�a9q8o�h�cdY©s�q8e1h�w�J¯��2~�� �k��}�~�������}�  � �����k��}� ��k����°����©���k���n}� (|�� ~�����±����²��³�  ����±����2¤4J�§����uj:����������­�­�­�� X

��­ X ¼ X @ X E�^`]ºcdY�e®Ã X S X M�g8]�J�CÐg1^`[�g�j�q�ibe1h�iIe1^`_no�q�Y�an^`Y8]1q�]1_6@�cdw`h�in�8^`Yºs�hkabg1q8e¦v�q�iR��GÐ^`Y1o�q�s�p1inh�_b_n^`¶1w`hÑ q�{F_�J � �����k��}� ��n�©�����'����~�}�~�������}� P¡���¢���������£��(¬PJ1� W�W j:����¨�����­�­�­�� X

��� X K X »#c�J�Cµ_np�h�o�abi�cdw(h�w`h�s�h�Y�a,¶2cd_b^`Yxs�q8e1h�w�v�q�i�abg1h�_bg2cdw`w`q {l{,cuanh�i�h�\8]2cuan^`q�Y�_ J � �����k��}� 4�b�������'����~�}�½~�������}� �¡5��¢������ �£�¬�ÏPJ&�����ujn��§����b��������� X

��� X C X »*o�G'q�Y1cdw`e�cdY1et¼ X B X U�cuabh�_ J1M�h�s�^ j�E4cd[�incdY1[�^zcdY^`Y�anh�[�incuan^`q�Ytqdv�cR[�ib^`e1p�q�^`Y8aZ_ng1cdw`w`q {Â{,cuanh�i5s�q8e1h�wq�Y�abg1hI_bp1g1h�inh�J&|����2~���  ¢®Ë*��}�~������IÌ�� Í ����ÎÒ£�£�¥PJ(����­uj���� W ����������� X

��� X U X QFhka�c�J ��X �6X @'^`i�cdw`e1q1J�cdY1elA X » X Q'c�y�q�Y&JFCFY2cdw ·�_n^`_�qdvIabg1h#N4]1in��h�w j�Ó2{,cd_t_no�g�h�s�h�v�q�i©abg1h*a�{�qdje1^`s�h�Y1_b^`q�Y2cdw©_ng1cdw`w`q {Ô{,cuanh�i®h�\8]2cuab^`q�Y1_Õ^`YÐ_np1g�h�ib^`o�cdwxo�q8q�ine1^`Y1cuanh�_ J � �����k��}� ��n�µ�Z���F�(��~�}�~�������}� ¡5��¢������ �6£��(�PJ(��­��uj�������������� W � X

�d§ X ¼ X ¸9h�e1w`q�_n��·�J5Ö,���k�1��¢������n}� �³�  ����±�×R¢���}����� ��J2M�p1ib^`Y1[�h�ibj�OZh�inwzcd[1J�QFhk{ÙØ�q�ib�*�b����� W � X��� X ¸ X E X BDq8h�JPC'p�p1inq�r�^`stcuabh©B,^`h�stcdY1Y¦_nq�w y�h�in_�J�p2cdincds�hkanh�i�y�h�okanq�ib_6cdY�eºe1^ m(h�inh�Y1o�h©_bo�g1h�s�h�_ J � �����k��}� 

�b�t�����'����~�}�~�������}� &¡5��¢������ �I¤(�PJ���� W j:� W ���b������� � X��¨ X ¼ X @ X M�h�wzc�J2M�p�h�okanincdw&s�q8e1h�w`^`Y1[�cua5abg1hIQFcuan^`q�Y2cdw&»*hkanh�q�ibq�w`q�[�^`o cdw�Ã5h�Y8abh�i J(|¦���2~²��  ¢�Ë*��}�~���� �FÌ�� Í ����Î

£�¬�À4J(��� W �uj�����������������­�� X� W�X C X ¼ X M�^`s�s�q�Y1_�JuG X » X U5]�inin^`e�[�h�Jd» X ¼�cdibi�cd]1e�J�à X @'^`i�cdibe�J�cdY�e6S X S�h�in[�h�Y�J�N,g1h�L5Ã,»�S � s�h�e1^`]�s©j

i�cdY�[�h�p1ibh�e�^`o�ab^`q�YRs�q�e�h�w`_�e1hky�h�w`q�p�s�h�Y�a4qdv1abg1hZY�]1s�h�ib^`o cdw�v�q�ins6]1wzcuan^`q�Y�_PcdY1eIabg1h5^`s�p2cdokaPqdv�^`Y1o�inh�cd_nh�einh�_bq�w`]�an^`q�Y&J(|���~���������  ��Ú�¢�}���±¾'~��©�����1��� �k����¡5��¢������ �'¤&¬PJ1���uj:¨�­������������ X

��� X » X N9c�·�w`q�i J8¼ X N4in^`¶�¶1^zc�J8cdY1et» X A�_n�ucdY1e2cdincdY1^�J�N,g1hD_np�h�okanincdw�h�w`h�s�h�Y�a5s�hkang�q�ev�q�iZabg1hF_ng2cdw`w`q�{Â{�cuanh�ih�\�]1cuan^`q�Y1_Fq�Y�abg1hI_np�g1h�inh�J � �����k��}� 9�n�������F����~�}�~�������}� �¡���¢��n�����£���¬4J����uj���­���������� W � X

��� X K X » X N4]�v�qºcdY1e«¸ X ��X�� ^`_no�g�h�i�J5N4h�i�cd_bo�cdw`h#M�p�h�okanincdw'L�w`h�s�h�Y�a©C'w`[�q�ib^ ang�s�_©cdY1e«A�s�p1w`h�s�h�Y8ancuab^`q�Y1_ J^`Y«¡��b�������n±��²��Ú����b��~����x¾©�P|tÛ�¯�Ü�ÜZÜÝÉ���Þ�Þl����� �����b�������#���Âß��`Úu�º¡D���������k�}����n�*°I� ~�ÎZ���nà��²��Úá}���±�����'����~��²��Ú X A�L�L�LlÃ5q�s�p1]�abh�i'M8q�o�^`hka�·�J&Ã,G'B,H�»Ô����������� X

��­ X U X O�cdY�E�h�h�i�J&N4q�{,cdine�_�ang1h6]1w ab^`stcuanhRo�q�Y1_nh�i�y�cuab^ y�h©e1^ m(h�inh�Y1o�h_bo�g1h�s�h X O6ª�CÈ_nh�o�q�Y1e¦q�ine�h�i'_nh�\�]�h�wabqt@'q�e�]1Y1q y(â _'s�hkabg1q8e�J � �����k��}� ��n�©�����'����~�}�~�������}� P¡���¢��������I�(¿�J���­��kj�����¨������ W ��� X

��� X K X O5cdY�e1hky�h�Y&J � cds�^`w ·Iqdv(_bp(h�okabi�cdw1ã2w abh�in_9v�q�i9e1^`_bo�q�Y�ab^`Y�]1q�]�_5p1inq�¶�w`h�s�_�J � �����k��}� (����É&� ��� �2~�� ä�������½����~��²��Út�4J&�����uj���������������� � X

��� X G X E X Sl^`w`w`^zcds�_bq�Y�J�¼ X U X G'incd��h�J�¼ X ¼ X K'cdon�(J�B X ¼8cd��q�¶&J1cdY1e�¸ X Q X M8{,cdinåkabi�cd]1¶�h�i J8C¹_bancdY1e2cdine©abh�_ba�_nhkav�q�iIY�]1s�h�ib^`o cdw�cdp1p�inq r�^`stcuab^`q�Y1_Ianqxang1h�_bg2cdw`w`q {Ò{,cuanh�iRh�\�]1cuan^`q�Y1_�^`Y�_np1g1h�ib^`o cdw�[�h�q�s�hkani�·8J � �����k��}� �b�t�����'����~�}�~�������}� &¡5��¢������ �©£�¬(¿�J1�����kj����d§��b��������� X