luqmanhakimnadzari.files.wordpress.com file · Web viewDistribusi Poisson. 4.2.2. Distribusi...
-
Upload
truongtruc -
Category
Documents
-
view
256 -
download
1
Transcript of luqmanhakimnadzari.files.wordpress.com file · Web viewDistribusi Poisson. 4.2.2. Distribusi...
MODUL VIII
BAB IV
PELUANG DAN DISTRIBUSI PELUANG
Tujuan Instruksional Khusus
1. Mahasiswa memahami konsep peluang
2. Mahasiswa mampu memperhitungkan peluang sebuah kejadian
3. Mahasiswa mengetahui penyebaran peluang pada setiap kejadian
Pokok Bahasan
4.2.1. Ditribusi Peluang Diskrit
4.2.1.1. Distribusi Binomial
4.2.1.3. Distribusi Hipergeomertik
4.2.1.4. Distribusi Poisson
4.2.2. Distribusi Peluang Kontinu
4.2.2.1. Distribusi Normal
4.2.2.2 Distribusi Lainnya (t, F, χ2)
Daftar Pustaka:
1. . Anton Dayan., Metoda Statistik, LP3ES, Jakarta 19752. Kane, Edward J., Economic Statistics and Econometrics, An Introduction to Quantitative Economia, Harper and Row, N.Y., 1969, hal. 150 sampai dengan 154.3. Hoel, Paul G. and Jessen, Raymond J., Basic Statistics for Business and Economics, John Wiley and Sons, Inc., New York, 1971, hal. 96 sampai dengan 101.4. Ekeblad, Frederick.A., The Statistical Method in Business, John Wiley and Sons, Inc., New York, 1962, hal. 134 sampai dengan 138.5. Feller, William, An introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume I, Second edition, John Wiley and Sons, Inc., 1964, hal. 135 sampai dengan 142.
BAB IV
Distribusi Peluang
4.2. Distribusi Peluang
Setiap peristiwa akan mempunyai peluangnya masing-masing, dan peluang
terjadinya peristiwa itu akan mempunyai penyebaran yang mengikuti suatu pola
tertentu yang di sebut dengan distribusi.
Distribusi peluang untuk suatu variabel acak menggambarkan bagaimana peluang
terditribusi untuk setiap nilai variabel acak.
Distribusi peluang didefinisikan dengan suatu fungsi peluang, dinotasikan dengan
p(x) atau f(x), yang menunjukkan peluang untuk setiap nilai variabel acak.
Ada dua jenis distribusi, sesuai dengan variabel acaknya. Jika variabel acaknya
variabel diskrit, maka distribusi peluangnya adalah distribusi peluang diskrit,
sedangkan jika variabel acaknya variabel yang kontinu, maka distribusi peluangnya
adalah distribusi kontinu.
4.2.1. Ditribusi Peluang Diskrit
4.2.1.1. Distribusi Binomial
4.2.1.3. Distribusi Hipergeomertik
4.2.1.4. Distribusi Poisson
4.2.2. Distribusi Peluang Kontinu
4.2.2.1. Distribusi Normal
4.2.2.2 Distribusi Lainnya (t, F, χ2)
4-2. Distribusi binomial
Dalam bab lalu yang lalu, kami telah membahas soal pelemparan sejumlah n uang
logam sebanyak sekali atau pelemparan sekeping uang logam sebanyak n kali.
Probabilita timbulnya K dari pelemparan di atas ialah,
atau
di mana
r = 0, 1, ... , n dan x = 0, 1, ... , n.
Dalam seksi ini, kami akan memberi uraian tentang suatu teknik yang khusus untuk
memecahkan persoalan di atas bila x = 0, 1, . . . , n.
Bila probabilita timbulnya K dinyatakan dengan p dan probabilita timbulnya E
dinyatakan dengan 1-p atau q, berapakah probabilita timbulnya K sebanyak
x pada pelemparan uang Iogam sebanyak n kali?
Pada pelemparan sekeping uang Iogam sebanyak 2 kali, hanya 4 peristiwa yang
mungkin terwujud dan hal tersebut dapat dinyatakan dalam sebuah ruang sampel
sebagai berikut,
S = {(K, K), (K, E), (E, K), (E, E)}
Bila hasil kedua lemparan di atas merupakan peristiwa yang independen, maka
hasil probabilita di atas dapat dinyatakan sebagai pp, pq, qp dan qq atau secara
singkat dapat ditulis sebagai p2, 2pq, q2.
Bila sekeping uang logam dilempar 3 kali, maka hasilnya dapat dinyatakan dalam
sebuah ruang sampel sebagai berikut,
S = {(KKK), (KKE), (KEK), (EKK), (KEE), (EKE), (EEK), (EEE)}
Probabilita hasil di atas dapat juga ditulis sebagai ppp, ppq, pqp, qpp, pqq, qpq,
qqp dan qqq.
Probabilita timbulnya 1K (atau dengan sendirinya 2E) menjadi pqq + qpq + qqp =
3pq2, sehingga bila p = 1/2 dan q = 1/2, maka probabilitanya menjadi 3(1/2)(1/2)2 =
3/8. Probabilita timbulnya 2K menjadi 3p2q dan seterusnya. Persoalan pelemparan
sekeping uang logam sebanyak 3 kali merupakan sebuah eksperimen yang terdiri
dari 3 percobaan Bernoulli dengan probabilita p bagi sukses dan q bagi gagal.
Seluruh kemungkinan hasil pelemparan 3 keping uang logam ialah 2n atau 23= 8
seperti yang dinyatakan dalam ruang sampel di atas.
Bila variabel random X menyatakan timbulnya jumlah K pada pelemparan 3 keping
uang logam di atas, maka fungsi probabilita bagi variabel random X dapat
dinyatakan dalam Tabel 4.2.1.
TABEL 4.2.1. Fungsi probabilita timbulnya jumlah K pada percobaan
pelemparan dengan 3 keping uang Iogam
Pada Tabel 8.2.1., p ({s} ) = p dan p({G}) = q sedangkan p + q = 1. Probabilita
bagi sebarang titik sampel di atas dapat diperoleh dengan rnengalikan 3 probabilita
sebagai berikut,
p( {SGS } ) = p( {S} ) p ( { G} ) p ( { S} )
= p q p
= p2q
Bila kita memakai notasi b(x|3, p) untuk menyatakan probabilita sejumlah x sukses
(K) dari suatu eksperimen binomial yang terdiri dari 3 percobaan Bernoulli dengan
probabilita p bagi sukses pada tiap-tiap percobaan, maka fungsi probabilita dari
Tabel 8.2.1. di atas dapat juga dinyatakan seperti dalam Tabel 8.2 2.
TABEL 4.2.2. Fungsi probabilita timbulnya jumlah K pada percobaan
pelemparan dengan 3 keping uang logam
Probabilita b(x | 3,
p)
q3 = 3pq2 = 3p2q = P3 =
x 0 1 2 3
Jelas sudah bahwa koefisien 1, 3, 3, 1 pada tabel 8.2.2. merupakan koefisien
binomial di mana n = 3 dan x = 0, 1, 2, 3. Koefisien binomial di atas
menghitung jumlah permutasi dari x "sukses" dan 3-x "gagal" dari 3 percobaan
Bernoulli.
Pada azasnya, probabilita timbulnya x "sukses" (K) dan dengan sendirinya 3-x
"gagal" (E) pada pelemparan sekeping uang logam sebanyak 3 kali
mengandung 2 macam unsur. Unsur terjebut ialah
a. koefisien binomial yang menghitung kemungkinan jumlah permutasi x dan
3-x, bila x = 0, 1,2,3 dan
b. probabilita bagi tiap permutasi yang dinyatakan dengan factor pxq3 -x .
Alhasil, probabilita binomial selalu merupakan hasil perkalian dengan pxq3 -x
Misalnya, b(l|3, ) = p1q3-1 =
= 2 = 3(1/8) = 3/8
Secara umum, pernyataan di atas dapat disimpulkan ke dalam Teorema 4.2. 1.
TEOREMA 8.2.1.: Bila sebuah eksperimen terdiri dari n percobaan Bernoulli dengan
probabilita p bagi sukses dan q bagi gagal pada tiap-tiap percobaan, maka fungsi
probabilita variabel random X dapat dinyatakan sebagai,
b(x|n, p) = p(X = x) = ( )pxqn-x ; x = 0, 1, . . . , n (4.2.1.)
Bagi nilai-nilai n dan p yang tertentu, maka fungsi probabilita yang
dirumuskan oleh 4.2.1. di atas dinamakan fungsi probabilita. binomial f(x) atau
distribusi binomial dengan parameter n dan p atau juga dinamakan fungsi
hepadatan binomial (binomial density function).
Formula 8.2.1. tidak hanya merumuskan satu distribusi binomial, tetapi
merumuskan seluruh keluarga distribusi binomial. Istilah distribusi binomial
diperoleh dari kenyataan bahwa probabilita b(x | n, p) bagi x = 0, 1, 2,... , n
sebetulnya merupakan suku-suku dalam ekspansi binomial (q + p) n. Karena p
+ q = 1, maka kita peroleh persamaan,
b(x|n, p) = (q + p)n = 1 (4.2.2)
Contoh 4.2.1.: Setelah diadakan penyelidikan bertahun-tahun lamanya terhadap
hasil stensilan mesin Roneo, maka diketahui bahwa pada tiap penstensilan kertas
koran ukuran folio sebanyak 1450 helai akan terjadi ke-rusakan sebanyak 145
helai. Dalam menstensil 5 helai kertas koran ukuran folio di atas, berapakah
probabilita unruk menemukan 0, 1, . . . ,5 helai kerusakan ?
Probabilita hasil stensilan rusak atau tidak memenuhi kualitas standar ialah
145/1450 = 0,1 = 1/10. Bila kita anggap probabilita tersebut konstan, maka p =
1/10. Sesuai dengan Rumus 8.2.1., maka berturut-turut kita peroleh hasil sebagai
berikut,
n = 5, x = 0, p = 1/10:
b(0|5,1/10) = (1/10)0(9/10)5= 0,59049
n = 5, x = I, p = 1/10:
b(1|5, 1/10) = (1/10)1(9/10)4 = 0,32805
n = 5, x = 2, p = 1/10:
b(2|5, 1/10) = (1/10)2(9/10)3 = 0,0729
n = 5, x = 3, p = 1/10:
b(3|5), 1/10) = (1/10)3(9/10)2 = 0.0081
n = 5, x = 4, p = 1/10:
b(4|5, 1/10) = (1/10)4(9/10)1 = 0,00045
n = 5, x = 5, p =1/lO:
b(5|5, 1/10) = (1/10)5(9/10)0 = 0,00001
Contoh 4.2.2.: Bila sekeping uang logam yang setimbang dilempar sebanyak 6
kali, (a) berapakah probabilita memperoleh 5K dan (b) berapakah probabilita
memperoleh paling sedikit 5K?
(a) n = 6, x = 5, p = 1/2:
= 0,09375
(b) n = 6, x = 6, p = 1/2:
= 0,015625
Probabilita memperoleh ≥ 5K menjadi,
= 0,109375
Contoh 8.2.3.: Sebuah peti terisi dengan 50 helai kain batik dan di antara 50 helai
kain tersebut terdapat 5 helai kain yang rusak. Bila kita secara random memilih 4
helai kain dari peti tersebut, berapakah probabilita untuk memilih 0, 1, 2, 3, 4 helai
kain yang rusak?
Bila kita anggap setiap helai kain memiliki kesempatan yang sama untuk terpilih,
maka pemilihan 4 helai kain dari 50 kain harus memiliki kemungkinan kombinasi
sebanyak .
Biia x merupakan jumlah kain yang rusak, kemungkinan x kain yang rusak terpilih
dari 5 kain yang rusak menjadi dan kemungkinan 4—x kain yang baik terpilih
dari 50—5 = 45 kain yang baik menjadi . Kemungkinan kita memilih 4
helai kain dan di antaranya terdapat x kain yang rusak menjadi,
Probabilita x kain rusak dari 4 kain yang terpilih menjadi,
Hasil probabilitas di mana x = 0,1,2,3,4 dapat dilihat secara terperinci dalam
Tabel 4.2.3.
TABEL 4.2.3. Probabilitas memilih x = 0, 1, ... , 4 kain yang rusak dari 4 kain
yang terpilih dari 50 kain.
x
= f(x)
Frekuensi kumulatif
F(x)
0
1
2
3
4
= 0,64696
= 0,30808
= 0,04299
= 0,00195
= 0,00002
0,64696
0,95504
0,99803
0,99998
1,00000
Tabel 4.2.3. di atas dapat digambarkan dengan sebuah grafik seperti yang
terdapat dalam Diagram 4.2.1.
DIAGRAM 8.2.1. Probabilita memilih x = 0, 1,... , ! kain yang rusak
dari 4 kain yang dipilih secara random dari 50 kainf(x) 0,64696
0,6 0,5 0,4 0,3 0,308080,2 0,1
0,04299 0,00195 0,00002 x0 1 2 3 4
Contoh 4.2.4.: Bila sebutir dadu dilempar 4 kali, berilah distribusi binomial f(x) di
mana x merupakan jumlah timbulnya mata dadu 6. Kemungkinan nilai x adalah 0,
1, 2, 3, 4. Probabilita jumlah timbulnya mata dadu 6 di mana x = 0, 1, ... , 4 dapat
dihitung dengan rumus 4.2.1. Hasilnya dapat diikuti dalamTabel 4.2.4.
TABEL 4.2.4. Probabilita jumlah timbulnya mata dadu 6 dalam percobaan pelemparan sebutir dadu
sebanyak 4 kali.
4.1.2. Rata-rata (mean) dari distribusi binomial
Jika nilai parameter n dan p telak diketahui, maka perhitungan rata-rata dari distribusi binomial
dapat dilakukan dengan mudah sekali.
Contoh 8.5.1.: Bila sebutir dadu dilempar sebanyak 4 kali, probabilita memperoleh hasil mata
dadu 6 bila x = 0, 1,2,3,4, dapat dilihat pada Tabel 8.2.4. Berapakah H dari distribusi binomial di
atas? Sesuai dengan rumus 7.2.3., kita peroleh,
µ = + 2
+ 3
= = 0,667.
Hasil di atas menyatakan bahwa secara rata-rata, kita berharap untuk memperoleh 0,667 "mata
dadu 6" pada pelemparan sebutir dadu sebanyak 4 kali. Dengan lain perkataan, pelemparan dadu
sebanyak 4 kali, kadang-kadang menghasilkan 0 "mata dadu 6", kadang-kadang 1 "mata dadu
6", kadang-kadang 2 "mata dadu 6", atau 3,4 "mata dadu 6", tetapi secara rata-rata kita akan
memperoleh hasil sebesar 0,667 bagi "mata dadu 6" tersebut. Bila t merupakan suatu tanda
arbriter yang dapat disisipkan ke dalam persamaan binomial 5.3.1., maka kita akan memperoleh
persamaan
(q + tp)n = (tp)xqn-x +
+ (4.5.1.)
Bila kita mencari turunan kedua sisi persamaan 4.5.1. di atas terhadap 6, maka akan diperoleh,
np(q + tp)n-1 =
x
(4.5.2.)
Bilamana kita persamakan t=1 dan maka, np = µ (4.5.3.)
Contoh 4.5.2.: Hitunglah soal dalam contoh 4.5.1. yang baru lalu dengan rumus 4.5.3. Dalam
contoh di atas, n = 4 dan p = 1/6,
µ = np = E(X)
=
=
Ternyata hasilnya adalah identik dengan hasil dalam contoh 8.5.1
Jelas sudah bahwa perhitungan rata-rata binomial mudah sekali dilakukan bila parameter n dan
p diketahui. Dalam hal ini, kita hanya perlu mengingat sebuah teorema yang dinyatakan sebagai
berikut,
TEOREMA 8.5.1.: Rata-rata Binomial. Bila p merupakan probabilita sukses pada tiap-tiap
percobaan Bernoulli dari sebuah eksperimen binomial, maka rata-rata daripada jumlah sukses
dalam sejumlah n percobaan dapat diberikan sebagai, µ = E(X) = np
4—6. Varians dan deviasi standar distribusi binomial.
Varians distribusi binomial dapat diberikan dengan rumus
(8.6.1)
Contoh 4.6.1.: Hitunglah varians soal 1 dalam contoh 8.5.1. Sesuai dengan rumus
8.6.1.,
+ (3)2
Dengan sendirinya, deviasi standar distribusi binomial di atas menjadi,
Sebetulnya, jika kita mengalikan kedua sisi rumus 8.5.2. dengan t, kita akan memperoleh
npt(q + tp)n-1 = 1
Bila kita mencari turunan kedua sisi persamaan di atas terhadap t, maka
np(q + tp)n-1 + n(n — 1)p2t(q + tp)n-2
x2 (8.6.3.)
Bila kita mempersamakan t = 1 dan karena q + p = 1, maka sisi kanan dari persamaan 8.6.3.
dapat disingkat menjadi,
sehingga kita memperoleh persamaan,
np(q + tp)n-1 n(n – 1)p2t(q + tp)n-2
(8.6.4.)
Bila t = 1, sisi kiri dari 8.6.4. dapat disingkat menjadi,
np + n(n — 1)p2
sehingga 8.6.4. di atas dapat diubah menjadi,
np+n(n—1)p2 (8.6.5.)
Karena
maka
(8.6.6.)
atau (8.6.7.)
Deviasi standar rumus 8.6.7. menjadi,
(8.6.8.)
Contoh 8.6.2.: Hitunglah varians dan deviasi standar soal 1 dalam contoh 8.6.1. dengan
rumus 8.6.7. dan 8.6.8.
Karena n = 4, p = 1/6 dan q = 5/6, maka sesuai dengan rumus 8.6.7. variansnya menjadi,
= npq
= 4( 1/6)(5/6)
= 4(5/36) = 20/36 = 5/9
dan deviasi standarnya menjadi,
=
4.2 Distribusi hipergeometris.
Soal dalam contoh 8.2.3. sebetulnya agak berbeda dengan contoh-contoh soal lainnya yang
terdapat dalam seksi 8—2. Sengaja kami cantumkan soal contoh 8.2.3. tersebut ke dalam seksi 8
—2. agar dapat dipakai sebagai batu loncatan untuk mempelajari distribusi hipergeometris di seksi
ini.
Dalam contoh 8.2.3. tersebut, kita memiliki persoalan di mana pemilihan 4 helai kain dari
sebuah peti yang terisi dengan 50 helai kain dilakukan tanpa pemulihan (without replacement).
Dengan lain perkataan, kita memilih secara random dan sekaligus 4 helai kain dari sebuah peti
yang terdiri dengan 45 helai kain yang baik dan 5 helai kain rusak.
Dalam hal di atas, kita sebetulnya memiliki sebuah populasi yang terbatas N = 50 dan random
sampel n = 4 yang dipilih sekaligus tanpa pemulihan (without replacement). Bila random sampel n
= 4 di atas dipilih dengan sistim pemulihan (with replacement), maka hal sedemikian itu
merupakan bentuk distribusi binomial. Secara singkat, persoalan di atas dapat dinyatakan dalam
sebuah teorema mengenai distribusi probabilita hipergeometris dengan parameter n, p dan N.
TEOREMA 8.8.1.: Bila sebuah populasi N memiliki sejumlah K unsur yang sama dan N — K unsur
lain yang sama, dan bila sejumlah n unsur dipilih secara random tanpa pemulihan, maka
probabilita unsur yang terpilih akan terdapat sejumlah k unsur K menjadi,
h(k|n, p, N) = f(k) = (8.8.1.)
Perumusan di atas dirumuskan bagi k yang tidak melebihi n atau K. Bila k > K atau k > n, maka
hasil rumus 8.8.1. di atas akan sama dengan nol!'
Contoh 8.8.1.: Pecahkanlah soal contoh 8.2.3. dengan rumus 8.8.1. Dalam contoh 8.2.3. tersebut,
N = 50, n = 4, K = 5. Sesuai dengan rumus 8.8.1. kita memperoleh,
f(k) =
=
Bila k = 0, maka kita.peroleh hasil,
f(0) =
= 0.64696
Hasil probabilita bagi k = 1, 2, 3, 4 dapat dihitung dengan cara yang sama dan hasilnya dapat
dilihat dalam Tabel 8.2.3.
Contoh 8.8.2.: 8 bola merah dan 12 bola putih dimasukkan ke dalam sebuah peti. Bila 5 bola
dipilih secara random dari dalam peti tersebut, berapakah probabilita 3 dari bola tersebut adalah
bola merah?
Di sini, N = 20, n = 5, K = 8 dan k = 3. Sesuai dengan rumus 8.8.1., kita peroleh,
f(3) = =
Contoh 4.8.3.: Seorang nelayan telah menangkap 10 ekor ikan dan di antara kesepuluh ekor ikan
tersebut, 3 ekor sebenamya terlalu kecil untuk dapat diterima oleh koperasi perikanan laut.
Meskipun demikian, nelayan tersebut ingin mengadu untung dengan jalan memasukkan saja
ketiga ekor ikan tersebut bersama-sama dengan ketujuh ekor ikan lainnya. Bila pengawas ikan dari
koperasi nelayan memilih secara random 2 ekor ikan dari kesepuluh ekor di atas, berapakah
probabilita pengawas tersebut tidak akan memilih ikan yang terlalu kecil tersebut?
Di sini, N = 10, K = 3, n = 2 dan k = 0. Sesuai dengan rumus 8.8.1., kita memperoleh hasil,
f(0) =
=
= 0,4666
Contoh 4.8.4.: Jumlah rusa yang terdapat dalam sebuah hutan ditaksir dengan metode "tangkap-
lepas -tangkap-pula". Pertama kali, 10 ekor rusa tertangkap secara random dan setelah ditandai,
kesepuluh rusa tersebut dilepaskan pula. Pada kedua kalinya, 12 ekor rusa tertangkap (dianggap
sebagai sebuah sampel random dari semua rusa yang terdapat dalam hutan) dan ternyata 4 ekor
dari kedua-belas rusa tersebut adalah rusa yang telah tertangkap pada pertama kalinya.
Bila terdapat 30 ekor rusa dalam hutan tersebut, berapakah probabilita 4 ekor rusa akan
tertangkap dua kali?
Disini, N = 30, K= 10, n = 12 dan k = 4. Sesuai dengan rumus 8.8.1., maka
f(4) =
=
=
4.3 Distribusi Poisson
Apabila diketahui bahwa dalam distribusi binomial nilai p ( peluang) sangat kecil dan dan nilai
n sangat besar sehingga np -> µ dengan µ suatu bilangan terhingga positip, maka rumus
binomial tersebut menjadi :
P( x = k) = , k = 0, 1, 2, ………..
Rumus ini disebut rumus distribusi Poisson.
Contoh :
Menurut pengalaman sebuah mesin cetak merek Anu setiap mencetak 1000 lembar ada 1 lembar
yang cacat. Ketika mesin itu dioperasikan mencetak 250 lembar, berapa nilai kemungkinan akan
terdapat kerusakan sebanyak
a. Kurang dari 5 lembar
b. Antara 3 dan 5 lembar.
Penyelesaian :
Nilai peluang rusak p = 0,001; n 250 , µ = n.p = 0,25
Dengan rumus P( x = k) = ,
P(0) = 0,7788; P(1) = 0,1947; P(2) = 0,0243; P(3) = 0,0020; P(4) = 0,0001; P(5) = 0,0000, maka
a. P( k < 5 ) = P(0) + P(1) + P(2) + P(4) = 0,9999
P( 3 < k < 5 ) = P(3) + P(4) + P(5) = 0,0021