Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана

В.Н. БАСКАКОВ, Г.Д. КАРТАШОВ

ВВЕДЕНИЕ В АКТУАРНУЮ МАТЕМАТИКУ

Москва 1998

М оск ов ск и й государ ств ен н ы й т ех н и ч еск и й ун и в ер си т ет им. Н .Э . Б аум ана

В.Н. Б аскаков , Г.Д. К арташ ов

ВВЕДЕНИЕ В А КТУ А РН УЮ М АТЕМ АТИКУ

Р ек о м ен д о в а н о р ед со в ет о м М Г Т У им. Н .Э . Б аум ана в качестве у ч еб н о г о п особи я

И зд а тел ь ств о М Г Т У им . Н .Э . Б аум ана

1998

ББК 22.17Б27

Рецензенты: Б.А. Кашташов, О.И. Тескин

Б 27 Баскаков В.Н., Карташов Г.Д. Введение в актуарнуюматематику: Учебное пособие. - М.: Изд-во МГТУ им. II. ) Баумана. 1998. - 63 с.. ил.

Рассмотрены основные вероятностные характеристики продолжительности жизни. Изложены методы расчета сложных процентов., необходимые для описания накопления капитала. Приведен ряд краткосрочных и долгосрочных моделей страхования жизни.

Для студентов и слушателей институтов повышения квалификации, интересующихся актуарной математикой.

Ил. 1 Табл. 1 Библиогр. 3 назв.

ББК 22.17

С МГТУ им. Н.Э. Баумана. 1998

ВВЕДЕНИЕ

Данное учебное пособие предназначено для студентов фа­культета фундаментальных наук, обучающихся по специальности "Прикладная математика", которые в качестве дополнительной дис­циплины выбрали курс "Актуарная математика". Оно может быть по­лезным для первоначального ознакомления с актуарной математикой. Пособие написано в предположении, что читатель знаком с основными разделами математического анализа, читаемого по программе для тех­нических вузов и университетов, а также с основами теории вероятно­стей и математической статистики.

Ответим на естественный вопрос: "Что такое актуарная мате­матика"? Это самостоятельная математическая дисциплина, имеющая свои методы исследования и областью применения. В ней фундамен­тальную роль играют теория вероятностей и методы расчета сложных процентов. Кратко поясним ее содержание на примере страхования жизни (именно этот случай будет рассматриваться в дальнейшем). Че­ловек определенного возраста заключает договор со страховой компа­нией на определенных условиях. Он покупает страховой полис за не­которую сумму денег, чтобы со временем ему или его наследникам после его смерти была выплачена большая сумма денег. Страховая компания на этой сделке тоже хочет получить определенную прибыль. Актуарная математика и призвана дать рекомендации, которые были бы привлекательными как для клиентов, так и для страховых компа­ний.

Интуитивно ясно, что для принятия разумного решения необ­ходимо знать достаточно подробные сведения о продолжительности жизни людей и степени прибыльности страховой компании; учитывать формы страхования (а их множество), уровень инфляции, правовые, юридические и др. аспекты.

Страхование жизни имеет давнюю историю. Еще в 1693 году Эдмунд Галлей впервые в мире составил таблицу продолжительности жизни, которая содержит основную статистическую информацию, не­обходимую в актуарной математике для последующих расчетов.

Широко было поставлено страхование жизни в дореволюци­онной России. Велась подготовка соответствующих специалистов, из­давались монографии и учебники по актуарной математике. Отметим, в частности, капитальное сочинение Б.Ф. Малешевского "Теория и практика пенсионных касс", книгу А. Маркова по теории вероятно­стей, в которой одна глава посвящена страхованию жизни.

После революции 1917 г. до недавнего времени актуарное об­разование и актуарная наука практически отсутствовали. В передовых же странах Америки и Европы с развитой рыночной экономикой под­готовка специалистов по актуарной математике (актуариев) осуществ­ляется во многих университетах, издаются журналы, учебная и науч­ная литература, создаются различные профессиональные объединения актуариев.

С переходом России к новым экономическим отношениям соз­дано более тысячи страховых компаний, множество банков, негосудар­ственных пенсионных фондов, огромное число коммерческих струк­тур, которые остро нуждаются в актуариях. В связи с этим чрезвычай­но актуальной стала организация актуарного образования. Работа в этом направлении начата в ряде университетах. Так, в МГУ им. М.В. Ломоносова на базе факультетов экономического, вычислительной техники, механико-математического создан центр, который по про­грамме Общества Актуариев (США) начал подготовку специалистов. В России под руководством А.Н. Ширяева создано Общество актуари­ев России, одной из задач которого является организация актуарного образования.

В МГТУ им. Н.Э. Баумана в Институте прикладной математи­ки и механики создан сектор "Актуарная и финансовая математика", и для студентов факультета фундаментальных наук представлена воз­можность выбрать в качестве дополнительной дисциплины курс "Ак­туарная математика". Важно отметить, что уже несколько лет осуще­ствляет подготовку специалистов факультет "Инженерный бизнес и менеджмент", предоставляющий возможность всем студентам полу­чить дополнительно экономическое образование.

Пособие содержит три главы. В первой главе описаны вероят­ностная продолжительность жизни, остаточная продолжительность жизни, даны таблицы продолжительности жизни. Во второй главе рас­смотрены методы вычисления сложных процентов, позволяющие рас­считывать накопление капитала. Третья глава посвящена описанию ряда схем краткосрочного страхования жизни.

Читателю следует обратить особое внимание на обозначения и терминологию, используемые в актуарной математике, тем более, что они существенно отличается от принятых в современной теории веро­ятностей и математической статистике. Это связано с тем, что основ­ные величины, встречающиеся в актуарной математики, и их обозна­чения были стандартизованы еще в 1898 году на международном акту­арном конгрессе. Такая акция была предпринята с целью упростить

4

общение между актуариями и облегчить внедрение результатов науч­ных исследований.

В заключение отметим, что для желающих более глубоко оз­накомиться с методами актуарной математики в конце пособия приве­ден список литературы.

ГЛАВА 1. ВЕРОЯТНОСТНОЕ ОПИСАНИЕ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТИ ЖИЗНИ

1.1. ОСНОВНАЯ МОДЕЛЬ

Прежде всего обратимся к студентам (возможно и к другим чи­тателям), знающим основные принципы теории надежности. Легко заметить, что описание продолжительности жизни практически прово­дится так же, как наработки на отказ технических изделий, только вво­димые ниже характеристики будем называть иначе. Это поможет луч­ше понять их смысл.

Поскольку продолжительность жизни не у всех одинакова, т.е. случайна, то естественно попытаться описать ее вероятностными за­конами. Но применимы ли они здесь? Строго говоря, нет, во всяком случае, это не доказано. Уточним, о чем идет речь.

Функцию распределения можно ввести для случайной величи­ны, принимающей статистически устойчивые значения. Точнее, часто­та принятия значений наблюдаемых реализаций случайной величины в любой фиксированный интервал должна быть статистически устойчи­вой. Применительно к продолжительности жизни это трудно ожидать в силу многих причин, например, для людей разного поколения. Стра­ховые же компании обслуживают клиентов любого возраста.

Но, несмотря на это, последующие рассуждения будет осущест­влять в рамках вероятностной модели. В связи с этим кратко приведем сведения из теории вероятностей и математической статистики, необ­ходимые для разработки методов страхования жизни. Хотя предпола­гается, что читатель знаком с основными принципами теории вероят­ностей и математической статистики.

1.2. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Пусть А - случайное событие, а Р{Л) - его вероятность. Ста­тистически вероятность случайного события описывается с помощью

5

частоты Р(А) события А . Если в п опытах событие наступило точно т раз, то

Н Л ) = - . (1.1)п

На интуитивном уровне вероятность Р(А) определяется как "предел"

(не в классическом его понимании) частоты Р(А ) при неограничен­ном возрастании числа п опытов. Если этот "предел" (не в классиче­ском его понимании) частоты Р{А) принимает статистические ус­тойчивые значения, можно применять вероятностные законы.

Рассмотрим теперь операцию над двумя событиями А и В .Суммой А + В называют такое событие, которое наступает при

появлении любого события А и В (или их обоих). Произведением АВ называют такое событие, которое наступает лишь при одновре­менном появлении событий А и В .

Приведем формулу, связывающую между собой вероятности Р(А + В) и Р(АВ) .

Предположим, что были проведены п опытов, и в них события А, В, А + В и АВ появлялись соответственно тА,т в ,т А+в и тАВ раз. Тогда, согласно соотношению (1.1), частоты этих событий

Д Л ) = — , Р(В) = — ,п п

Р(А + В) = ^ ± 2 - , Р(АВ) =п п

Очевидно, чтотл+в = т А + т в - т л в .

Следовательно,Р(А + В) = Р{А) + Р(В) - Р ( А В ) . (1.2)

Устремляя в выражении (1.2) п к бесконечности и учитывая комментарии к формуле (1.1), получаем правило сложения вероятно­стей:

Р(А + В) = Р(А) + Р ( В ) - Р ( А В ) . (1.3)Введем условную вероятность

Р(А 1 В) := - А В ) , Р(В) > 0 (1.4)Р(В)

6

события А при появлении в опыте события В .Используя выражение (1.4), получаем правило умножения веро­

ятностей:Р(АВ) = Р(В ) • Р(А | В) = Р(А)Р(В \А ) . (1.5)

Пусть X - случайная величина. Обозначим F(x) := Р ( Х < х ) ,

F ( x ) z = P ( X > x ) = l - F ( x ) соответственно ее функцию распределения и дополнительную функ­цию распределения. Уточним, что распределение F(x) [/’’(*)] пред­ставляет собой вероятность, с которой случайная величина X не больше [больше] любого фиксированного числа х .

Напомним основные свойства функции распределения.1. F(-oо) = 0 .

2. F {х) Т х , т.е. неубывающая функция х .3. F(+oo) = l.Для непрерывной случайной величины X существует плот­

ность вероятностей, определяемая по формулеР(х < X < х + Ах)

f ( x ) := lirn — -̂------ --------------------------------------- . (1.6)Ax—>o Ах

Функция f ( x ) должна быть неотрицательной и нормированной на единицу:

1. Д х ) > 0 , Ух;-t-UU

2. ^ f ( x ) d x = 1.

Между плотностью вероятностей / (х) и распределениями

F (x ) ,F (x ) существуют простые связи:

dF(x) dF{x)/ « =

dx dxX

F (x )= J /(x )c& , (1.7)

7

F(x) = j f ( x ) d x .X

Из числовых характеристик в дальнейшем потребуются матема­тическое ожидание т , начальный момент второго порядка v 2, дис­

персия о-2 и среднее квадратическое отклонение сг. Для непрерывнойслучайной величины X их определяют по следующим формулам:

+00

т := ЕХ = | х / ( x )d x ,—оо

+00

v 2 := E X 2 = j x 2f ( x ) d x , (1.8)—оо

a 2 = D X = Е { Х - Е Х ) 2 = Е ( Х - т)2 =+оо

Е Х 2 - ( Е Х ) 2 — у 2 — lti2 = \ { х - т ) 2 f { x ) d x .—оо

Приведем необходимые сведения из математической статисти­ки.

Начнем с точечной оценки вероятности р := Р(А) события А . Предположим, что были проведены п независимых опытов и в них событие А появилось точно т раз, а в остальных п — т опытах на­ступило противоположное событие А . Согласно схеме независимых испытаний с двумя исходами, это может произойти с вероятностью

Рп.т := С : Р т( 1 - РГ т,описывающей биноминальным законом.

В качестве точечной оценки вероятности р принимают частоту(1.1):

- т р:= — .

пЭта оценка несмещенная, т.е.

17* X ' ^ лм w /1 \rt~m _Ер = 2 . — С „ р (1 - р ) = р ,^ п

состоятельная, т.е. для любого е > О

+00

8

lim p \ p - p \ < s ) = \ ,

и имеет дисперсию

nОбратимся к оценкам числовых характеристик и распределению

случайной величины X .Пусть х], х 2, . . . , хп - п независимых наблюдений случайной

величины X . В соответствии с этими данными несмещенные и со­стоятельные оценки математического ожидания т и дисперсии <т2 рассчитывают по формулам

Если задан закон распределения F(x) с точностью до ряда не­известных параметров в := ( в \ ,в 2, . . . ,в к ) е 0 , г д е 0 - область до­

пустимых значений в , то для нахождения оценок в часто используют методы моментов и максимального правдоподобия. Напомним их сущность для непрерывной случайной величины X , имеющей плот­ность вероятностей f { x , d ) .

Метод моментов состоит в приравнивании ряда теоретических моментов к эмпирическим. Обычно выбирают начальные моменты v2, v3, Vjc+i и оценивают их по формулам

Приравнивая vJ к v}, j — 2,3,.. . , к + 1, составляют систему

уравнений

J= J

Затем находят теоретические моменты

Vj{xu x 2, . . . ,хп

-КОVj(6)= j x Jf ( x , e ) d x , j = 2,k + l.

Vj(e) = v j (x], х 2,..., х п), j = 2, k + l .

9

Решение этой системы в ( х {, х 2, хп) относительно в и принима­ют в качестве точечных оценок параметров 0 .

При больших значениях п метод моментов дает приемлемые для практики результаты.

Согласно методу максимального правдоподобия, вначале со­ставляют функцию правдоподобия

ПL(xx, x 2,..., х„ \ 0)'.= Y \ f ( x i ,e)

;=iили ее логарифм In L(X\, х 2,..., х п | в ) . После этого находят их мак­симум по в е © при фиксированных дг,, х 2, ..., х п. Если функция L(хх, х 2,..., х п \ в ) дифференцируема по в , то записывают необхо­димое условие максимума

г 1/91= 0, у = 1,2......Л.

dL(xx,x 2, . . . , xn | в)

При достаточно общих условиях решение 6(хх, х 2, хп) этой системы относительно в (при фиксированных лг,, х 2, ..., х п) единственно и является точной максимума функции L(x], x2,..., х п | в ) на множестве 0 . Его и полагают в качестве то­чечной оценки параметров в .

Метод максимального правдоподобия, являющийся одним из основных методов точечного оценивания, позволяет получить "хоро­шие" оценки.

Перейдем к оценке законов F(x) и F ( x ) . Введем эмпириче­скую функцию распределения

пгде d(x) - число наблюдений х ,, /' = 1, п , меньших или равных х е R .

Согласно основной теореме математической статистики (теоре­ма Гливенко), функция Fn(x) равномерно сходится по вероятности к F (x ) . Это значит, что для любого е > 0

lim Р( max | Fn (х) - F(x) |< е) = 1.п—»оО -00<Х<+<Ю

В заключение приведем два критерия согласия относительно вида функции распределения.

10

Критерий Колмогорова. Пусть х {, х 2,..., хп - независимые и одинаково распределенные наблюдения случайной величины X . Рас­пределение Р ( Х < х) неизвестно, но высказана гипотеза о том, что оно равно заданной непрерывной функции распределения F ( x ) .

Спрашивается, согласуются или нет результаты наблюдений , х 2,..., х п с гипотезой о том, что они распределены в соответствии

с законом F ( x ) .Для ответа на этот вопрос необходимо вначале определить эм­

пирическое распределение

пгде d(x) - число наблюдений хп / = 1, и , не больших х .

Затем следует найти отклонение

Fn( x ) - F ( x ) .D := шах-CO<JC<+OD

Далее задают уровень значимости /? и по известным статисти­ческим таблицам находят критическое значение Z)Kp(/7). Если ока­жется, что

D < D K р(/?),то гипотезу с уровнем значимости принимают, в противоположном случае - отвергают.

Напомним, что критерий Колмогорова применим лишь в том случае, если теоретическое распределение F(x) полностью определе­но. Однако на практике часто возникают ситуации, когда задан вид распределения Р (х ,в ) с точностью параметров 0,, в 2, . . . , в к ; в = (#,, ..., в к). В этом случае часто используют следующий крите­рий.

2Критерий хи-квадрат (X )• Вначале по опытным данным на­

ходят оценки 6t неизвестных параметров в , , i = \, к . Для этого мож­но использовать различные методы, приведенные выше. Обычно в ка­честве в,, i = 1, к , выступают два параметра - математическое ожида­ние и дисперсия. Затем всю числовую ось разбивают на I интервалов (/ ~ 8-12): ]у7._,; у } [, j = 1, t , у 0 = -оо, у , = +оо

11

Далее подсчитывают число ntj значений х j , i — l ,n , попадающих в

j -ый интервал. С помощью распределения F(x, в х, 6г ,..., в к) вы­числяют вероятности

После этого рассчитывают значение статистики 2 ^ ( n i j - n p j f

X • Za 'М nPj

Задавая уровень значимости /? , по известным статистическим

таблицам находят критическое значение X 2*v(fi) при степени свобо­

ды п - к - \ . При %2 — X 2*v(P) с уровнем значимости р считают, что опытные данные согласуются с выбранным распределением F{x, , 02,.. . , в к), в противном случае - не согласуются.

1.3. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТИ ЖИЗНИ

Будем в дальнейшем понимать под случайной величиной X , введенной в § 1.2, продолжительность жизни человека. Очевидно, что в этом случае случайная величина X не может принимать отрица­тельные значения, т.е. Х>0 .

Рассмотрим наибольшие значения X .Трудно ожидать, что в обозримом будущем человек проживет

1000 лет. В то же время нельзя указать наибольшее значение продол­жительности жизни человека. Если он проживет до возраста х , то по­чему не найдутся люди, которые умрут в возрасте х+\ сек. Поэтому в актуарных расчетах полагают максимальную продолжительность рав­ной 120 лет. Но это не является принципиальным. Подбирая парамет­ры, всегда можно вероятность того, что человек проживет больше 120 лет, сделать сколько угодно малой.

Интуитивно ясно, что X - Непрерывная случайная величина. Ее плотность вероятностей обозначим, как и ранее, через f ( x ) . В актуар­ной математике график функции f (x ) называют кривой смертей. Плотность вероятностей должна удовлетворять следующим ограниче­ниям:

1'. f(x) = 0 при х<0,

12

2'. j f ( x )d x = l ,о

3'. f ( x )> О, V x>0.В комментариях нуждается условие 3'. Если f (x ) = 0 на некото­

ром интервале ]а, й[, а < Ъ, то это означает, что человек заведомо не умрет в возрасте * е ]а,й[. Но таких интервалов в жизни нет.

Так же, как и раньше, введем законыF(x) =Р(Х < х) и F(x) =Р(Х>х).

Уточним, что F(x) \f (x)\ - представляют собой вероятности смерти до времени X [дожить до возраста X ] случайно выбранного человека.

Связь между законами f (x ), F(x) и F(x) определятся анало­гично (1.7) с учетом Г

, , „ , _ d F { x ) _ dF(x) dx dx ’

X

F(x )= j f ( x ) d x , (1.9)0

oo

F ( x ) = \ f { x ) d x .x

Если под X понимать «продолжительность жизни» изделия (или, выражаясь стандартизировано, наработку на отказ), то законы f(x), F(x) и F(x) будут означать соответственно плотность распреде­ления отказов, распределение отказов и распределение безотказной работы.

В актуарной математике чаще всего используют распределение F(x). Его обозначают S(x) , т.е.

S(x) = F(x), и называют функцией выживания.

Отметим ряд ее свойств:S(x) = 1,5’(-оо) = 0,

13

S(x) - дифференцируема,S(x) - строго убывает при х > 0 .

Справедливость последних двух утверждений следует из усло­вия 3' и формул (1.9).

Наряду с интегральной функцией выживания 5’(х) полезно знать условную плотность вероятностей продолжительности жизни людей, которые достигли возраста х . Перейдем к ее нахождению.

Пусть события А и В означают соответственно, что человек проживет больше времени х и человек умрет во временном интерва­ле ]х, * + Лх[. Эти события имеют вероятности

P (A)=l-F(x ) ,х+Дх ,

Р(В) = J F(x)dx = F(x + Аж) — F ( x ) .л:

Вероятность смерти человека, дожившего до возраста X , в те­чение ближайшего времени Ах > 0 , согласно (1.4), равна

Р(х < X < х + Лх\Х > х)=Р(А)

_ Р(х < X < х + Ах) _ Р{В) _ F(x + Ах)~ F(x)~ Р(А) ~ Р ( А ) ~ l - F ( x ) '

Обозначим ц х условную плотность смертей людей возраста х . Согласно определению

Р(х < X < х + Дх|ЛГ > л:)/их := lim --------------- ------- ----------= (1.10)

л>г-»о Дд:_ 1 И т F(x + A x ) - F ( x ) _ f ( x ) _ f ( x )

1-F(*)a*-»o* Ax 1 - F ( x ) S ( x ) '

Очевидно, что jux > 0 при x > 0 .В актуарной математике функция jux играет важную роль и ее

называют интенсивностью смертности. Аналогом этой характеристики в теории надежности является интенсивность отказов.

Функция / ix представляет собой закон распределения продол­жительности жизни. Установим ее связь с F(x) и S ( x ) .

Понятно, что

14

а значит,d ln(l - F(x))= - n xd x .

Тем самым получили дифференциальное уравнение относи­тельно F(x) при известной правой части - ц х . Решая его, получаем

л

ln(l - F(x))=- ^ n xcbc + In С,

F(x) = 1 - С expj - J /лхс1х 1,

где С - константа интегрирования.Поскольку F (0) = 0 , то С = 1. Таким образом,

Г V Л^ (jt) = 1 - ехр

\ о

S ( x ) = ехрл

-

V оТак как 5(+сс) = 0 , то из последней формулы получаем

+00

^f ixdx = + оо.о

В актуарных расчетах широко используют такие числовые ха­рактеристики, как среднее

ое 0 := Е Х ,

дисперсияа 2 = Е Х 2 - ( Е Х ) 2.

Определим их с помощью функции выживания. Проинтегриру­ем первую формулу в (1.8) по частям, полагаяd v - f (x)dx, v = - S ( x ) . Тогда получаем

0 +00 +оо +оо

е0 = ^x f(x )dx = - x S ( x ) | + J.S'OOctt.

Как отмечалось, функция выживания S ( x ) быстро убывает с

возрастанием х . Поэтому естественно считать, что lim x aS(x) - 0 ,

В основе актуарных расчетов лежит плотность вероятностей f ( x ) и определяемые ей функции S ( x ) , ^ x и другие характеристики. Ясно, что эти расчеты будут более простыми, если известен аналити­ческий вид функции f ( x ) с точностью ряда параметров, которые можно оценить по статистическим данным о продолжительности жиз­ни людей.

В прошлом были предприняты многочисленные попытки полу­чения универсального аналитического выражения для f (х) по анало­гии законам физики. С современных позиций эти усилия представля­ются наивными. Тем не менее были предложены некоторые аналити­ческие формулы для f ( x ) , которые в той или иной степени могут быть использованы в актуарных расчетах. Приведем некоторые из них.

В 1729 г. Абрахам де Муавр предложил считать, что продолжи­тельность жизни равномерно распределена на интервале ]0, &>[, где со - предельный возраст человека, т.е.

Это наиболее простая аппроксимация истиной кривой жизни

В рамках модели Муавра легко находятся функции выживания S(x), распределение F(x), интенсивность смертности jux и требуе­мые числовые характеристики: среднее, дисперсия и др.

Очевидно, что

при любом а € R . Следовательно,

(1.12)о

Аналогично устанавливаем, что-КС

(1.13)о

— , 0 < х < со/ ( * ) = \а> _

О, х е ] 0,со[.

f i x ) .

16

Согласно (1.10)

f ix = -------- при 0 < х < со.со - х

По формулам (1.12) и (1.13) получаем

о

2 СО2 СОи

На основании опытных и статистических данных о продолжи­тельности жизни модель Муавра можно считать очень грубой. Реаль­но ее можно использовать для аппроксимации функции выживаемости на каком интервале времени.

В 1825 г. Гомпертц предложил аппроксимировать интенсив­ность смертности /лх функцией Вет , где а > В > 0 - некоторые па­раметры, т.е.

По формулам (1.11) определяем кривую смертности и функцию(Лх - Be™, х > 0.

выживания:

Дифференцированием F(x) находим кривую смертей

Определим точку максимума этой функции. Так как

dx I ааах

-О = о

лишь при

х — In — а В

и функция f (х) положительная, то х является точкой максимума.Нахождение среднего и дисперсии в модели Гомпертца приво­

дит к неберущимся интегралам, которые могут быть вычислены при­ближенно при заданных параметрах а и В . Поэтому выражения дляое 0 и а опускаем.

В 1860 г. Мэйкхам обобщил модель Гомперца, положив

Назначение дополнительного слагаемого А поясним ниже. Не­трудно проверить, что в рамках модели Гомпертца выполняются соот­ношения

Рассмотрим предельный случай В - 0 . Тогда получим экспо­ненциальный закон

с интенсивностью смертности А , независящей от возраста х . Такое можно ожидать, когда смерть вызвана несчастными случаями. Для описания доли таких смертей введен параметр А .

Расчет среднего и дисперсии в моделях Майкхама приводит также к неберущимся интегралам.

В 1939 г. Вейбулл предложил аппроксимировать интенсивность смертности степенной функцией:

/лх = А + В е ш , х > 0 .

Д х ) = Ае~Ах.

18

ц х - кхь, к > О, Ъ > 0.Согласно этой модели, как нетрудно проверить,

SX*) = е х р { - х м [ 6 + 1

F(x) = 1 - e x p j- ^ - V +l }•,

f { x ) = kxb e x p j- x M ),

Производная

dx V ' 1 6 + 1при

x =\ k ;

которая является точкой максимума графика смертей, если b > 1.Найдем среднее и дисперсию. С этой целью рассмотрим инте­

грал+со

I p { c , a ) \ - j x ^ e x p ( - c x a )dx, с > О, /3 > 0, а > 0.о

Напомним, что вычисление таких интегралов можно свести к нахождению гамма-функции

с помощью новой переменной у сх Действительно,

1 - 1x = — y a ,dx = —у а dy,

с а а с а

19

/ Л с , а ) = - _ ) у - г ^ — уас а 0 ас а

р+\

Очевидно, что

ео = / 06 + 1

ЕХ*6 + 1

,6 + 1

,6 + 1

6 + 1к

4+1

6 + 1

6 + 1v к

4+1 а6 + 1

<72 -ГЬ + lV+i ГгГ2 1 т-2f 1 ^1 к ) . [b + u \Ь + \)

Отметим, что распределение Вейбулла широко используют в теории надежности для описания наработок на отказ изделий. Особенно часто полагают 6 = 0 , тогда оно становится экспоненциальным.

В качестве кривой смертей можно порекомендовать гамма- расперделение

f ( x ) = - ^ -~ x a~xe~lk , а > - \ , Р = 0 Т{а)

0 а 2 1ео = ~7Г> а - —Т

р р г и логарифмически нормальное распределение

/ ( * ) = J - е х р |- i ь > 0 ’х > 0 -4 l n b x [ 26 j

Для лучшего понимания рассмотрим

(1.14)

П р и м е р . Доказать, что функция (1.14) является кривой смертей и найти соответствующие ей законы F(x), S(x) и ц х, а

также числовые характеристики ео и <х .Р е ш е н и е . Чтобы функция (1.14) соответствовала кривой

смертей, она должна обладать свойствами плотностей вероятностей Г

у

20

и 2'. Первое свойство очевидно. Поэтому убедимся в справедливости условия 2' нормировки на единицу:

Ж ь Н

( l n x - q 2)] dx _1.

Введем новую переменнуюIn х - а

У '= 6и правую часть выражения (1.15) запишем так:

' .2 ‘

т Ь ь Н г

(1.15)

(1.16)

(1.17)

Напомним, что

* ’ « : = Ж е х р Г т )

является плотностью вероятностей нормальной случайной величины £ с = О, - 1. Ее распределение

Р(£ < х ) = Ф(х) := je x p j - ~ J d^,

где Ф(х) - табулированная функция, причем Ф (-х) = 1 - Ф(*) •Поэтому интеграл (1.17) равен единице, а, значит, свойство 2'

выполнено.Найдем распределение

F(x) = - j L - Г.л/2жЬ о

expi(in х - аУ I dx

2 Ъ1С помощью переменной (1.16) оно приводится к виду

\nx-a' .2 1

F(x) =1

л/2~пФункция выживания

а д = 1 - / ’(х) = 1 - Ф

Согласно (1.10),

ч

In х - а= Ф

a - In jc Ъ

21

f ( ln x -fl)2]' 2b

M. '

eXPi . , 2

J a ~ Ins 'I b

Найдем теперь среднее и дисперсию. Очевидно, что0 1 "*5 f ( l n x - a ) 21 dx

I HС помощью переменной (1.16)

0 1 "f f v21

е‘ ^ Г т + а~ г[ бг . 1 1 7 (

=ехр<!— + а> ■== Iexp<j- —----- — \dy =

- Ь ь НЧ т + 4 ^ г Н 4 Ц - Ч т + в •

Аналогично находим

1 f (in д: - а)2 ] dx _-КО

2

‘ ^ И <,1+ ад2" ^ К =

= ехр{2(а + Ь2 )} -т= fexpj- —— = ехр {2 (а + Ъ2)}V2^r [ 2 J

Теперь легко определить дисперсию

сг2 = Е Х 2 - ео2 = ехр|2а + b2 |(ехр62 - l ) .Введем еще ряд важнейших вероятностных характеристик

продолжительности жизни.Страховые компании обслуживают людей разного возраста.

Естественно, их функции выживания различны, что естественно необходимо учитывать при заключении договора. Это удобно сделать с помощью другой случайной величины.

22

Рассмотрим всех людей, достигших возраста х . В актуарной математике каждого такого человека называют индивидуумом и обозначают ( х ) . При страховании более важно знать вероятностныехарактеристики не продолжительности жизни X , а остаточного времени жизни

Т(х) := X - х.Вероятностные характеристики Т(х) и X тесно связаны между

собой, только для Г(д;)они являются условными, поскольку заведомо X > х.

Найдем функцию распределения остаточного времени жизни. Используя понятие условной вероятности, как это делалось при выводе формулы (1.10) для ц х , запишем без объяснений

Р(Т(х) < 0 = Р (Х - x < t \ X > x ) = Р(Х < х + t \X > х)=

_ Р(х < Х < x + t) _ F(x + t )~ F(x) _ S(x) - S(x + 1)” P(X > x) ~ l - F ( x ) _ S(x) ' '

В актуарной математике обозначают, q x := P(T(x)<t )

вероятность смерти человека возраста х в течение ближайшего времени t .

Символом , р х обозначают дополнительную вероятность Р(т(х) > /), с которой индивидуум (х) проживет еще, по крайней мере, время t . В силу (1.18)

, Рх = Р(т(х) > 0 = 1 - Р{т{х) < 0 = • (1-19)S(x)Дифференцированием (1.18) по t получаем плотность

вероятностей остаточного времени жизни

„ . а »х l - F ( x ) S(x)

Из (1.20) ясно, что график функций У = f x ( t ) получается смещением влево кривой смертей и растяжением ее по оси у . Поясним это геометрически (рисунок).

23

Так как плотности вероятностей f ( x ) и f x{t) нормированы на

единицу, то / ( * + 1\ t > 0 , необходимо умножить н а ------ > 1.S(x)

Для страховых компаний часто необходимо бывает знать вероятность, с которой индивидуум (х) проживет время t , но умрет до наступления возраста t + и , и > 0 . Другими словами, речь идет о вероятности события {t <Т{х) < / + « } .

Обозначим, |Ах '■= P { t< T {x )< t + u).

Эту характеристику нетрудно выразить через Yqx или ур х . Действительно,

,|„ Чх = Р{т{х)<1 + u) -P{T(x)<,t )=„uqx - tqx

или,\и Ях = Р(Т (Х) >{)~ Р (Т (Х) > 1 + иУ=,Рх ~,+иРх ■

С помощью формулы (1.18) вероятность f|uqx выразим через

основную характеристику - функцию выживания S ( x ) :

24

<S(;t + /) — iSfx + 1 + u)--------------------------а д --------------------------’

В практике страхования часто возраст х исчисляется годами, а в качестве t выбирается 1 год. В этом случае в характеристиках , цх и , р х индекс I опускается:

« , : = г ( т

Л : = Р (Г М > 1 ) = % ^ .£(*)

Это замечание относится к характеристике и (|м qx . При и = 1

соответствующий индекс принято опускать:Я х “ ?+1 Я х / Я х t P x ~ t + \ P x ~~

S(x + 1) — >s(x + f + l)■ а д '

Уточним, что (| qx - вероятность, с которой индивидуум (х)

проживет t лет, но умрет на протяжении следующего года.Введем интенсивность смертности ц х (!) для Т(х) . Ее

естественно определить по аналогии /их. Тогда можно записать

p ( t< T { x ) < t + At\T(x)>t)ц х (0 = hm ---------------- -------------------=

At1 Pit < Т(х) < t + At)

= h m --------— т---------- г— - =Д/->0 Дt P \T (x )> t )

P(T(x) <t + A t ) - P(T(x ) < t) _lim

Pij'(x) > t) Д'->о At1 Six + 1)~ Six + t + At)- --------- iim __i------------- ' ----- i-----L

S{x + 1) &-*o At

_ $ X £ + 0 = _ l l n ^ + , ) = № l > )5,(x + /) dt S(x + t)

Как и следовало ожидать, получили аналог (1.10). Поэтому справедливы формулы (см. (1.11))

25

tqx = 1 - e x p j - j ,

iPx = e x p | - | / / х ( 0 л | -Перейдем к числовым характеристикам Т(х).Среднее значение остаточного времени жизни обозначают

оех :=ЕТ(х)и называют полной вероятной продолжительностью жизни.

Так как случайная величина Т(х) неотрицательна, то, как и для ЕХ (см. (1.12)), можно записать

q +00 +00ех = jp{T(x)>t)dt = J ,pxdt.

о оИспользуя затем (1.19), получим

ех =S(x) J ' ' S(x)Аналогично для второго момента (см. (1.13))

ЕТ2(х) = 2 jtP(T(x)>t)dt =О

_ +O0

= 2 J, p xdt = — - f ts(x + t)dt.о а д о

Для лучшего понимания введенных характеристик остаточного времени жизни рассмотрим ряд конкретных законов смертности.

Модель Муавра. Ясно, что х > 0 не может быть больше со . Поскольку

/ ( * ) = — , 5(дс) = 1 - — , 0<х<&>, со сото при 0 < t < со - х

х + 1S{x + / ) = ! — ■со

26

ШC ( X )

CO

1 - —_ s (x + ? )_ CO _ C 0 - X - t

' ^ x S(x) ■[_?_ c o - x

1 4 x — 1 f / ^ x — ^ —

1CO

со- x - t tc o - x c o - x

n 1 OJ — X , (O - X S , \

' / * ♦ * — 4- J^ 0 ' ' I - * 0 ^ *>CO

co-x , (o - x , . 2

- 1 - {co-x)IV — л - и/ л

E T \ x ) = \ t 2f x(t)dt = ------- f t 2dt = -J m — r Jо 0 3

cr= = E T 1 w - L ; =3 4 12c o - x

a = ^ J T 'Модель Мэйкхама. Несложно проверить, что

/ (дс) - {а + Веш ) е х р |- Ах - — (e“* - l)j,

2

S(x) = e x p j- Ax - — (e“ — l)!-.5 , a

(При Л = 0 получаем модель Гомперца, поэтому ее отдельно не рассматриваем). Запишем без объяснений ряд характеристик:

, ч e x p J - A(x + t ) - — [ехра(х + f ) -1 ]_ <S(.x + /) _ {_ a

t P

expj - A x - — (exp ax - 1)

27

= ехр\ - А 1 - - ( е а{х+,)- 1 ) + - ( е т - l ) U I а а '

= е х р | - Л / - - е шг(е°' - l) j ,

,ЯХ = 1~ Р* = l - e x p j - ^ - — e ax(eat - l ) L

Л (О Чх =[а + Zfe“<~'>]exp{- A t (е* - l)j,

МЛ1) = Ц - + \ = Л + Веа{х+,). х S(x + 1)

Модель Вейбулла. Очевидно, что

/ (х) = кхь ехрb к 6+1Ъ + 1

к 6+1

а значит,

S(x) = ехр<---------х1 Ъ + 1

е х р { - 4 Т Т < д : + ' Г, Р х = --------- — --------- --

e x p i---- — х мЬ + \

=ехр{" б ^ т ^ + ^ +1 ~ * 4+,| ’

,qx = 1 - e x p j- ^ [(* + /)4+1 - * 6+| ]

Ъ

' - + 1

f x (t) = к(х + t )b e x p j- [(* + t)M - x b+t ]J,MAt) = k(x + t)b.

В моделях Мэйкхама и Гомпертца не указаны числовые характеристики, так как их нахождение приводит к не берущимся интегралам.

28

Часто страхование жизни осуществляют на конечный период п . При этом страховка выплачивается либо в момент смерти индивидуума, если она наступила до окончания периода п, либо по истечении времени п . Другими словами, момент выплаты наступает при min {'Г(х), п \ . Такое страхование называют смешанным. Для страховой компании время тт{Г(л:), л} представляет собой момент «смерти» индивидуума. Поэтому случайную величину min {7’(х),/?} называют частичной продолжительностью жизни, а среднее значение

ex.nl := £ m in { r ( 4 n } - частичной средней продолжительностью жизни.

оДля вычисления е х,п\ необходимо определить распределение

/5(ш т{Г(х) ,«}> / ) . Очевидно, что оно сосредоточено на промежутке [О,и[ и равно нулю при t > п. Для случая t < п событие min {?’(;*:),«}> t эквивалентно тому, что Т(х) > t . Поэтому

p(m i n { n x ) , n } > t ) J ‘p - 0; t < n '[О, t > п.

Согласно формуле (1.19) получаемоех,щ= Jp(m in{7'(x),«}>/)rf/ =

оП I я 1 Х*П

О

1.4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТИ ЖИЗНИ

Введенные в § 1.3 вероятностные характеристикипродолжительности жизни, как правило, априори не известны (за редкими исключениями). Поэтому их необходимо определить с требуемой точностью и достоверностью. Исходной информацией для их оценки или выбора являются статистические данные о продолжительности жизни, которые могут иметь разнообразный характер.

29

В данном параграфе приводены соответствующие статистические оценки ряда вероятностных характеристик продолжительности жизни.

Пусть были проведены наблюдения за группой из /0 новорожденных и зафиксированы их моменты смерти х 1, х 2, . . . , х 1 . (В последующем предполагаем, что случайные величины х 1, х 2, . . . , х 1о независимые между собой. Тем самым накладываетсяограничение на подбор группы).

Обладая такими данными можно оценивать основные характеристики продолжительности жизни двумя способами.

1.Вначале, опишем первый из них. Поскольку функция выживания S(x) (или F ( x ) ) является основной, через которую выражаются основные характеристики, то естественно попытаться определить ее с приемлемой точностью по данным х 1, х 2, . . . , х / .

Возможны два варианта.А. Есть достаточные основания считать, что вероятность

Р (Х < х) описывается полностью определенной функцией FT ( х ) .Индекс «Т» означает, что FT(x) распределение теоретическое. Оно может совпадать или нет с реальным законом F ( x ) . При этом задача сводится к проверке по результатам наблюдений х 1, х 2, . . . , х / гипотезы о том, что

При конечном объеме выборки /0 установить точно справедливость (1.21) нельзя. Однако с приемлемой для практики точностью это можно осуществить с помощью критерия Колмогорова, который кратко был описан в § 1.2.

Напомним, что для этого необходимо определить эмпирическое распределение

F(x) = FT(x). ( 1.21)

(1.22)

где d(x) - число xn i = 1,/0 , меньших или равных х . После этого найти отклонение

D = max F(x) - FT (x ) .

30

По величине D судят о том, с каким уровнем значимости [i выполняется гипотеза (1.21). Если значение (3 приемлемо для последующих расчетов, то полагают F(x) = Fr (x) . Остальные вероятностные характеристики продолжительности жизни определяют по формулам, приведенным в § 1.2.

Понятно, что вариант А является привлекательным, поскольку все необходимые расчеты можно реализовать аналитическими методами. Однако он не всегда реализуем.

Б. Имеются достаточные доводы предполагать, что закон F(x) = Р (Х < х) описывается распределением FT(x,6>), вид которого известен с точностью ряда параметров в = , . . . , 6 к ).Например, есть основания считать, что описание продолжительности жизни можно проводить в рамках модели Гомперца. Тогда, как было показано в § 1.3,

где в = (а, В), а> В > 0 - неизвестные параметры.В варианте Б задача сводится к ответу на вопрос: можно (и как)

или нет подобрать такие параметры в , чтобы с приемлемой точностью F(x) = FT (х, 9) ?

Для ответа на этот вопрос можно воспользоваться критерием хи-квадрат. Его сущность кратко была описана в § 1.2.

Вначале в соответствии с методами моментов, максимального правдоподобия (описанными в § 1.2) или другими методами по результатам наблюдений л:,, х 2, .. . , х^ получают оценки

в = [в\, в 2 неизвестных параметров в .Затем числовую ось разбивают на / частей точками

у х < у-, <.. .< у/_ | (выбор числа I и концов отрезков y t i = 1,1 - 1 здесь не обсуждается) и подсчитывают число rrtj наблюдений

x t , i = 1, /0 , принадлежащих промежутку

1у/-1 ’У* ] ' J ~ 1’ ̂- 1’ У о = -00’ У> ~ +0° • Кроме того, вычисляют вероятности

P j := F T (Уу • # ) - F t 1У j - \ , e \ j = H , y , = + ^

и31

FT(x,0) = l - e x p j - ^ ( e “ - l )

g 2 _ у P) )2

T\ l*Pj '

Зная величину x 1 > степень свободы l0 — к — 1 и объем выборки /0 , по известным статистическим таблицам определяют уровень значимости. Если он приемлем для последующих расчетов, то полагают

F ( x ) ^ F T( x j ) .Остальные вероятностные характеристики продолжительности

жизни находят аналитическими методами по формулам раздела 1.3.2. Второй путь не предполагает нахождение аналитических

законов продолжительности жизни, а использовать их статистические аналогии. Он дает вполне приемлемые для практики результаты, поскольку, как правило, объемы /0 наблюдений достаточно большие.

В качестве оценки распределения F(x) полагают эмпирическое

распределение F(x) (см. (1.22)). Согласно теореме Гливенко, оно дает хорошие приближения для F(x) при больших значениях /0 . Тогда оценка функции выживаемости будет

а д = 1 - / ,(х). (1.23)Эту оценку можно записать иначе. Обозначим L(x) число

живых представителей наблюдаемой группы в возрасте х . Очевидно, что

Jo '

> * ) ’1=1

где 1(A) - индикатор события А ;

j l - событие А наступило,

[О -в противном случае.С помощью функции L(x) оценку (1.23) можно представить в

виде

S(x) = 1 - F(x) = у L(x). (1.24)'о

Введем функциюlx := EL(x)

32

и установим ее связь между 1Х и S ( x ) . Очевидно, что0̂

1Х = Е Ц х ) =г = \

= ^ i P {x i > x ) = ' ^ dS (x ) = loS (x )- О-25)ы \ 1= 1

Таким образом, функция выживания 5(х) представляет собой среднюю долю живых индивидуумов (х) некоторой фиксированной группы новорожденных.

В актуарной математике часто используют вместо S(x)функцию 1Х , фиксировав начальный размер группы /0 .

Зададим аппроксимацию кривой смертей с помощью функции

/*•По результатам наблюдений xt ,i = 1,/0 подсчитаем число Dx ,

умерших в возрасте от х до х + 1 лет. Очевидно,

, D X = L ( x ) ~ L{x + i ) - ^ t l { x < x i < x + t ). 0-26)/=1

Характеристика t Dx представляет собой случайную величину. Найдем ее среднее

, d x :=EtDx.Учитывая (1.25), запишем

, d x := E{L(x) - L { x + t))= EL(x) - E L { x + t) == lx - l x+l=lo(S(x ) ~ S { x + t)} (1.27)

При t -1, dx =: d x =lx - /х+1 = /0 {S(x) - S(x +1)) (1.28)

В силу формулы ЛагранжаS(x + l ) - S ( x ) = S ’(4),

где £ - некоторое значение из ]х,д: + 1[.Естественно предположить, что в течение года производная

5”'(*) мало меняется. Заменим в последней формуле S'(^) на S ' ( x ) . При этом соотношение (1.28) можно представить в виде

d x = - l 0S \ x ) = l0f ( x ) ,

33

■Г/ \ ^ X ^ х + \f ( x ) ~ — = -*- х+1 . (1.29)‘о ‘о

Выразим остальные вероятностные характеристики продолжительности жизни (см. § 1.3) через функцию 1Х. Заменяя в них S ( x ) на f ( x ) согласно (1.25) и (1.29), запишем

и = f { x ) ~ ,х ~*х+]Х S(x) 1х ’

_ S(x + 1) lx+l

а д ix ’

t qx = \ - p x ^ 1̂

Л ( 0 =

кЛ х + 0 _ - 1х+,+1

Six ) L

П = п — п ~ ^х+1+иt\u“ x t + и Ч х t H x — j 9

X

, , ( _ • / ' ( * *0 ~ — ^ x + t + l

0 i +7 i +rе ' = з д j / ,r fU,Six)

Л Л

2 9 +°°^ г 2 ( д с ) = . И * + ' М = — K +, ^ ,

4 W О '* о

0 1 "f 1 "fe *'n| = sT T j ^ + (№ = т ~ \ lx+<dL

W n l x о

34

1.5. ТАБЛИЦЫ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТИ ЖИЗНИ

Функцию дожития, а точнее связанную с ней величину lx = l0s(x) , выражающую среднее число живых представителей некоторой группы из /0 = 100000 новорожденных к возрасту х лет, в актуарной математике, традиционно задают в виде таблицы, которую называют таблицей продолжительности жизни. В качестве шага таблицы обычно рассматривают один год, то есть табулируют значения функции 1х(х) для дг = 0,1,2,... лет.

Для удобства пользования в таблицы продолжительности жизни обычно включают ряд дополнительных величин: d x - l x - lx+l- число представителей группы, умерших в возрасте от х до х +1 лет, qx = d x /1х - доля представителей группы, доживших до возраста дг лет, которые умрут в течении ближайшего года и др. (приложение 1).

Простейшими являются таблицы, содержащие информацию о статистических свойствах времени жизни случайно выбранного индивида, относительно которого известен только его возраст. Однако анализ применяемых страховыми компаниями методик сбора статис­тической информации показывает, что при заключении договора страховщик руководствуется вполне определенными правилами и тем самым производит целенаправленный отбор страхователей. Например, страхователями определенной страховой компании (или ее филиала) являются жители конкретного государства. При этом известно, что средние продолжительности жизни в разных странах существенно различны.

В пределах одной страны продолжительность жизни разных социальных демографических групп населения различна. Во всем мире женщины живут в среднем дольше, чем мужчины.

Страховая компания работает с конкретными людьми, относи­тельно которых доступна определенная социально-демографическая информация (пол, возраст, профессия, семейное положение и т.д.), на основании которой их можно разделить на группы с различной ожидаемой продолжительностью жизни. Кроме того, компания имеет возможность организовать сбор дополнительной информации для проведения более качественного отбора, например, организовать медицинское обследование страхователей перед заключением дого­вора. Это позволяет строить таблицы продолжительности жизни диф­ференцированно для каждой обследованной группы населения.

35

Таблицы продолжительности жизни, построенные для отобранных (по определенным признакам) групп населения, называют селективными таблицами, или таблицами отбора риска. Их использование позволяет делать более точные выводы при актуарных расчетах. Поэтому ясно, что каждой страховой компании необходимо иметь определенный набор таблиц продолжительности жизни для различных групп населения.

ГЛАВА 2. МЕТОДЫ РАСЧЕТА СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ

Наряду с теорией вероятностей и математической статистикой в вопросах страхования жизни фундаментальную роль играет теория сложных процентов. Ее основное назначение состоит в разработке математических методов расчета накопления капитала и обосновании размеров выплаты по договорам.

В силу многообразия возможных форм страхования жизни и прироста дохода потребовалось создание теории процентов. Краткому введению в эту теорию посвящена настоящая глава.

2.1. ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ

В финансовых операциях суммы денег обязательно привязаны к конкретным моментам или периодами времени. Более того, фактор времени, особенно в долгосрочных операциях, играет не меньшую, а иногда большую роль, чем размеры денежных сумм. Так, например, 1000 р., которые могут быть получены через пять лет, неравноценны этой же сумме, поступившей сегодня. Поэтому при изложении методов расчетов всегда указывают время их действия.

Под процентными деньгами или, кратко, процентами понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг в любой форме. Процентной ставкой называют отношение величины дохода к сумме долга за единицу времени. Процентная ставка измеряется в процентах и в виде десятичной или натуральной дроби. Интервал времени, к которому приурочена процентная ставка, называют периодом начисления. Используют также и другую терминологию.

В зависимости от условий договора могут использоваться различные способы начисления процентов. Соответственно применяют разные виды процентных ставок, которые можно классифицировать по различным признакам.

36

Будем различать по базе их начисления, в зависимости от того, является она постоянной или переменной. При постоянной базе ис­пользуют простые, при переменной - сложные процентные ставки.

Получим формулу для наращивания капитала по простой про­центной ставке.

Пусть на счет помещена сумма денег F0, по которому ежегодно начисляется одна и та же процентная ставка. Обозначим ее через i и будем считать, что измеряется в виде десятичной дроби. Найдем, так называемую, наращенную сумму Fn за п лет.

Очевидно, что каждый год приносит проценты в сумме iF0 . Начисленные за весь срок проценты составят

I := iF0n, а наращенная сумма будет равна

Fn = Fo + ^ = ^о(1 + '" ) (2Л)Выражение (2.1) называют формулой наращения по простым

процентам или кратко - формулой простых процентов, а множитель (l 4- ni) - множителем наращения простых процентов.

С помощью формулы (2.1) легко решить обратную задачу об определении размера начального вклада S , чтобы спустя п лет полу­чить сумму р при начислении ежегодной процентной ставки / . Ис­пользуя соотношение (2.1), легко находим

1 + т

2.2. НАКОПЛЕНИЕ КАПИТАЛА ПО ФАКТИЧЕСКИМ ПРОЦЕНТНЫМ СТАВКАМ

Как уже отмечалось, процентную ставку устанавливают в соче­тании с основной единицей времени, например год, квартал и др. На­ряду с этим указывают период конверсии (капитализации). Другими словами, интервал времени, в конце которого процентный доход при­ходуется, и полученный суммарный капитал рассматривается как вновь помещенный или выплачивается. Процентную ставку называют фактической, если период конверсии совпадает с основной единицей времени.

Выведем формулу наращивания капитала по фактическим про­центным ставкам.

37

Пусть i - фактическая годовая процентная ставка, одинаковая для всех лет и измеряемая в виде десятичной дроби. Так же, как и раньше, обозначим F0 начальный капитал, помещенный на счет. К концу 1 -го года этот капитал возрастет на F0 ■ i и станет равным

F\ = F 0 + F 0 -i = F0(1 + г)К концу 2-го года капитал F] возрастет на F, • i и станет равным

F2 =F 0(1 + /)+ F, ■ i = F0(l + /)+ F0(l + i )= F 0(l + i f и т.д.Нетрудно видеть, что

Fn =F0(l + i)n (2.3)является формулой прироста капитала по фактическим процентным ставкам.

Степени числа 1 + / называют коэффициентами накопления, или накопительными множителями. Они определяют, согласно (2.3), накопительную стоимость начального капитала за п лет.

С помощью (2.3) легко ответить на вопрос о том, какую сумму F0 надо положить на счет, чтобы спустя п лет получить сумму Fn. Из (2.3)

F0 = ---- ----- F„ = v nFn,(1 + 0"

1где v :=

l + iКоэффициент v , называемый дисконтирующим множителем,

или коэффициентом дисконтирования, характеризует текущую стои­мость v" с начального капитала с за п лет.

Рассмотрим более общий случай, когда в конце к - ого года на счет поступают дополнительные суммы гп, к - 1 , п .

Пусть, как и раньше, Fk - баланс в конце к -ого года, включаю­

щий платеж гк , к - \ , п . Тогда процентный доход баланса от преды­дущего года будет равен Fk_x, а суммарный капитал

Fk = Fk-1 + ’ Fk-1 + rk = Fk-10 + 0 + h • к=1’П (2-4)Тем самым получили рекуррентную формулу для нахождения

F к при заданных начальных условиях F0 и г0 — 0. При помощи этой

38

формулы можно найти выражение для Fn методом математической индукции. Однако это можно сделать более простым способом.

Запишем к -е соотношение (2.4) в виде

^ - ( 1 + /)*’*->='* ■ (2-5)Умножим обе части равенства (2.5) на (l + г)” *• Тогда вместо (2.4)получим

(1 + i)"~k Fk - (l + i)n~k+' Fk_x = rk ( 1 + i)n' k ,k=l ,n . (2.6)Запишем систему уравнений (2.6) в виде

(l + i)"-, F1 - ( l + i)"F0 = (l + i r , r„

(l + i)n~2 F2 - (l + F] = (l + г)" 2 r2,

(l + ;)л~3 F3 - (l + i f ' 2 F2 = (l + /)n"3 r3,

Fn -О+ *>„-, = V После сложения уравнений этой системы в правой части, оче­

видно, все члены сократятся за исключением двух Fn и - (l + г)” F0 и получим

F„={l + i Y F 0 + Y t (l + iY -k rk . (2.7)к =I

Как и следовало ожидать, при гк = 0, к=\,п формула (2.7) сов­падает с (2.3). Уравнение (2.7) отражает очевидный результат: капитал в конце каждого года складывается из накопленной стоимости началь­ного капитала и суммы накопленной стоимости промежуточных вкла­дов.

Из (2.4) следует, что приращение AFk накоплений за к - ый годравно

&Fk = Fk ~ Fk-1 = i ' Fk-1 +rk , а суммарное приращение дохода

'El * Fk = Fn ~ F>о = Z *' Fk-1 + 2 rk (2.8)i=l k=\ k=1

складывается из полученного суммарного процентного дохода и сум­мы всех промежуточных вкладов.

Поделив выражение (2.7) на (l + i)n и полагая v = — , найдем1 + 1

39

Согласно (2.10), для получения суммы Fn спустя п лет, вкла­

дывая ежегодно на счет суммы гк, к=\,п , необходим начальный капи­тал F0.

2.3. НАКОПЛЕНИЕ КАПИТАЛА ПО НОМИНАЛЬНЫМ ПРОЦЕНТНЫМ СТАВКАМ

Процентную ставку называют номинальной, если период кон­версии не совпадает с основной единицей времени. Годовая процент­ная ставка 8% (0,08) с трехмесячным периодом конверсии означает, что процентный доход 8 / 4=2% (0,02), выплачивается в конце каждого квартала. Несложно понять, что при этом начальный капитал С воз­растает за год до С(1.02)4 = С ■ 1,0816. Таким образом, годовая про­центная ставка 8%, конвертируемого ежеквартального, эквивалентна годовой фактической процентной ставке 8,16%.

Обозначим /(т) номинальную процентную ставку с выплатой в год т раз ( т - целое число). Из приведенного выше примера видно,что / (т) соответствует эквивалентная годовая фактическая ставка / , удовлетворяющая уравнению

1 + / = 1 + -;(* )

тили (2.11)

1 + -т

\ т

1.V У

Уточним, что соотношение (2.11) означает равенство накопи­тельных множителей.

Используя выражение (2.11), несложно решить обратную зада­чу. По заданной годовой фактической процентной ставке i найти эк­вивалентную номинальную процентную ставку i 40

(m) . Ясно, что

/(m) =m[(l + 0 '/m -1 ] • (2-12)При ежедневной конверсии число т — 365 является достаточно

большим. Поэтому представляет интерес рассмотрение предельного случая, когда т —» оо . Характеристику

6 := lim i(m) = lim w[(l + /)1/m -1 ] (2.13)m—>oo m—>ooназывают силой или нормой процентного дохода, эквивалентной став­ке i .

Для нахождения предела 8 преобразуем выражение (2.13) квиду

(l + /)1/m - 1д — lim -

т —И) 1/171

Обозначая затем Х/т—. х , запишем

х->0 х

и, применяя правило Лопиталя, найдем8 - ln(l + г) . (2.14)

В силу соотношения (2.14) накопительный множитель для пе­риода п лет равен (l + г)" = е1*1; дисконтирующий множитель для

того же периода есть v - еХарактер убыва]

г = 0,06 следующей таблицей:Характер убывания функции г(т) , по т иллюстрируется для

т 1 2 3 4 6 ооjM 0,0600 0,5913 0.05884 0.05870 0,05855 0.05827

2.4. НАКОПЛЕНИЕ КАПИТАЛА ПРИ НЕПРЕРЫВНЫХ ПЛАТЕЖАХ

Рассмотрим теперь случай, когда платежи поступают на счет непрерывно во времени с годовой мгновенной интенсивностью r ( t ) .Тогда за бесконечно малый промежуток времени } ,/ + At] на счет поступит сумма * r( t ) A t . Кроме того, будем считать, что процентный доход выплачивается также непрерывно с нормой S { t ) . Обозначим F(t) баланс на счету в момент времени t . Тогда за промежуток вре­

41

мени \ t , t + А/] процентный доход составит » F{t )5{ t)d t . Суммарное приращение капитала dF( t ) за этот промежуток времени будет равно

dF(t) = S( t)F(t)dt + r(t)dt.Итак, установлено, что для нахождения функции F(t) необ­

ходимо решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка

F ' ( t ) - S ( t ) F ( t ) = r(t) (2.15)при начальном условии

F(0) = F0. (2.16)Напомним, как это делается.

Решение F ( t ) будем искать в виде произведения и ■ v двухфункций, одно из которых u(t) удовлетворяет соответствующему од­

нородному дифференциальному уравнению и' — 5и = 0 или иначеd In и с---------- ■ = о .

dtОтсюда получаем

u{t) = expj jV(0<# j.

Заменяя в (2.15) функции F на и -v, получаем к дифференци­альному уравнению

v' = r(/)expj- J<£(/)dfj.

Следовательно,

v (0 = Jr(O exp|- J j ( 0 * | + C.

Здесь С - константа интегрирования.Согласно начальному условию (2.16), получаем

F0 = F ( 0 ) = M(0)v(0) = C.Таким образом,

F(O = F0 exp| - J*(O A

42

+ e x p |- jV (/)exp | (2.17)

Из соотношение (2.17) следует, что стоимость начальной суммы jР0, подлежащей выплате в момент времени t (т.е. ее текущая стои­мость получается умножением ее на коэффициент)

e x p j- (2.18)

(см. первый член правой части (2.17)). Накопленная стоимость получа­ется умножением ее на коэффициент

ехр (2-19)

При постоянной норме процентного дохода (S(t) = S) коэффи­циенты (2.18) и (2.19) совпадают с коэффициентами дисконирования и накопления соответственно.

2.5 РАСЧЕТ АВАНСОВОГО ПРОЦЕНТНОГО ДОХОДА

В рассмотренных ранее моделях процентный доход приходуется в конце каждого периода конверсии (т.е. является задолженным). Бу­дем теперь исходить из того, что процентный доход приходуется аван­сом в начале каждого периода конверсии. Выплачиваемый таким обра­зом процентный доход называют дисконтом, а соответствующую став­ку - ставкой дисконта или учетной ставкой.

Обозначим d годовую фактическую ставку дисконта. Предпо­ложим, что лицо инвестирует сумму С . Тогда ему сразу же выплачи­вается процентный доход d C , а остальная сумма С будет возвращена в конце года. Если же он пожелает инвестировать сумму dC , то полу­чит аванс d(dC) - d 2C , а исходная сумма dC будет возвращена в конце второго года и т.д. За п лет инвестор получит общую сумму

1 — /У”+|C + dC + ... + d nC = — - — С,

1- й ?а при п —> оо

C + dC + ... + d nC + ... = —L_ с . 1 -d

43

Отсюда следует, что эквивалентная фактическая годовая процентная ставка i связана с годовой фактической ставкой дисконта d соотно­шением

——7 = 1 + » (2.20)1 + d

или

= (2 .21)1 + г

Как и следовало ожидать, процентный доход d C , выплачивае­мый в начале года, равен дисконтированной стоимости процентного дохода С ,, выплачиваемого в конце года. В силу соотношения (2.20) имеем

i = - ^ — . (2.22)1 - d

Другими словами, процентный доход, выплачиваемый в конце года, равен накопительной стоимости процентного дохода, выплачи­ваемого в начале года.

Рассмотрим теперь случай, когда выплата производится т раз

в год. Пусть, как и раньше, - номинальная ставка авансового про­центного дохода, выплачиваемого т раз в год. Тогда инвестор полу-

d (m)чает доход ------ С в начале периода конверсии, а первоначальный

твложенный капитал С возвращается в конце этого периода. Заменяя в

^("0в выражении (2.20) d и / н а ------ и ----- соответственно, запишем

т т1 ,

— 7 ^ = 1 + ----- = 0 + 0 ,/И- (2.23)d K) тт

Уточним, что последнее равенство справедливо в силу (2.11). Согласно выражению (2.23) находим

d (m) = m(l - (l + /)~1/т ) (2.24)В соответствии с указанной выше заменой соотношение (2.21)

приводим к виду

44

.• ( " О

d (m)= ------i - y r - (2.24)1 + i{mTJm

ИЛИЛ”*)

1 1 + ” 1 1- т = — +

d (m) i(m) т ?(m)При т —> со из последней формулы следует, что

lim - 4 - = lim 1/И->СО 1Я->ОО

Поэтомуlim rf(m) = lim /(т) = <5. (2.25)

Ш ->00 /И —>00

Этот результат является очевидным, поскольку при непрерыв­ном поступлении дохода различие между авансовым и процентным доходами исчезает.

Рассмотрим значения функции af(m) для / = 6%.

т 1 2 3 4 6 60.05660 0.05743 0.05771 0,05785 0,05799 0.05827

Отметим, что предельные значения и совпадают меж­ду собой.

2.6. РАСЧЕТ ТЕКУЩИХ СТОИМОСТЕЙ РЕНТ

Рассмотрим вначале бессрочные платежные потоки или бес­срочные ренты, состоящие из ежегодных выплат, величиной 1. Под­считаем их текущие стоимости в зависимости от момента времени первой выплаты.

Если первая выплата осуществляется в начальный момент 0 , то такую ренту называют прямой бессрочной рентой (или бессрочной рентой пренумерандо).

Принято обозначать а - ее текущую стоимость. Очевидно, что

1 1a - = l + v + v + . . . = ------ . (2.26)“I 1 — v

45

Если первую выплату производят в конце первого года, то та­кую называют непосредственно бессрочной рентой (или бессрочной рентой постнумерандо). Ее текущую стоимость обозначают через а —,

и она равна

a - = v + v 2 + ... + = —— = /. (2.27)001 1 — v

Аналогично определяют ренты, когда сумма \ /т выплачивает­ся т раз в году.

Обозначим а^ текущую стоимость ренты, платежи которой

осуществляются авансом; первая выплата суммы \ /т производится в начальный момент времени 0 .

Для подсчета а—̂ воспользуемся формулой (2.26), заменяя в0О|

ней выплачиваемый капитал 1 на 1 /т и v на v^m . Тогда получим

й (_"> = — + — v1/m + - U 2/m + . . . + = - ---- l— . (2.28)m m m m \ - v1/m

С помощью приведенных формул легко подсчитать текущие стоимости рент с ограниченным сроком действия. Их называют аннуи­тетами, или правильными рентами.

Обозначим через йщ текущую стоимость прямого аннуитета с

п ежегодными выплатами по 1. Очевидно, чтоa-T=l + v + v2 + . . . + v"~l ."I

Представим этот аннуитет в виде разности двух бессрочных рент (одной - начинающей в момент 0 , а другой - в момент п ). Тогда получим

.. .. „.. 1 „ 1 1 - v "a - = a - . - v a - = -----v — = ---------.«! «I ®| d d d

Аналогично находим текущую стоимость а аннуитета с вы-Л1платой т раз в год. Используя формулу (2.28), легко получить, что

"I £j(m)

46

ГЛАВА 3. МОДЕЛИ СТРАХОВАНИЯ ЖИЗНИ

Модели страхования жизни делятся на две большие группы: краткосрочные и долгосрочные. К первой группе относятся модели, в которых не учитывается изменение ценности денег во времени, обу­словленное инфляцией и другими факторами. Обычно в качестве вре­менного интервала выбирают 1 год. Если же расчеты осуществляются с учетом возможной инфляции, то модели страхования называют дол­госрочными.

Человек покупает за р рублей страховой полис на следующих условиях. Если он умрет в течении года, то его наследникам будет вы­плачена сумма Ъ . Естественно, что значение b должно быть сущест­венно больше р . Если же человек проживег год, то вся сумма денег р остается в страховой компании. Нахождение “правильного” соот­ношения между р и b является одной из задач актуарной ма­тематики.

Обозначим £ индивидуальный иск человека, который он мо­жет предъявить страховой компании. Очевидно* £ - случайная вели­чина. Ее распределение имеет вид

Здесь х - возраст застрахованного, р х - вероятность того, что человек проживет еще год, a qx = 1 - р х - вероятность того, что человек умретв течении ближайшего года. ■

Математическое ожидание иска

3.1. КРАТКОСРОЧНОЕ СТРАХОВАНИЕ

р х, если / = 0, "qx, если / = Ъ.

= 0 • 7Г0 + Ъ ■ 7ГЬ°= b - q x ,

а дисперсияDZ = E £ 2 - { E t f = 0 2 п 0 +Ъ2я ь - (bqx ) 2

b2qx - b 2q 2x = b 2p xqx .

47

Найдем средний “доход” страховой компании D . Очевидно, она получит доход р с вероятностью р х и потерпит убытки в разме­ре b - р с вероятностью qx . Суммарный “доход” равен

D = р - Е£, = р - bqx . (3.1)Используя формулу (3.1), можно найти наибольшее значение

b , называемое нетто-премией, которое должна выдать страховая ком­пания:

Ч х

чтобы ее средний доход D был неотрицателен. В действительности, страховая компания должна учитывать другие свои расходы, связан­ные с содержанием административного аппарата, с гарантией не разо­рения и др.

3.2. ДОЛГОСРОЧНОЕ СТРАХОВАНИЕ

Будем исходить из того, что изменение ценности денег за счет коммерческой деятельности страховых компаний за п лет осущест­вляется в соответствии с законом

Л(1 + 0 " .

Здесь t - постоянное число, характеризующее годовой прирост капи­тала, А - постоянное число.

По таблице продолжительности жизни определим ряд чисел ^ а ’ N а+\ ,..., N a+j,...,

где N a+i+i - число лиц, которые из N a доживают до возраста а + i + 1 лет. Тогда отношение

^ а +1 + 1

будет представлять собой оценку вероятности того, что лицо в возрас­те а + i лет проживет еще один год, а дробь

^ 0+, - We+I>iХ а+,

- оценку вероятности его смерти в ближайшем году. Аналогичный смысл имеет отношение

48

N4 a+i+n

N a+i '

Эта оценка вероятности того, что лицо в возрасте а + / лет проживет еще п лет. Дроби

^ a+i ~ ^ a + i +1 ^ a+i+\ ~ ^ a+i+2

К а+, U a+iсоответствуют оценке вероятности того, что лицо в возрасте а + i лет, умрет в возрасте от а + / до а + / +1 лет соответственно, от а + i +1 до a + i + 2 лет и т.д.

Введем новые числа

п •=__^ __ Q •=________ Q ■- N. Л, ’ хСа+1 ‘ „ ч/м+1 л̂ а+/ 'а +1 /~\ ._ 1 a+i

(1 + 0 “ ’ ^ й+1 (1 + 0 “+l ’ ’ а+/ _ (1 + 0 " +< ’ ’где со - некоторое постоянное число, например а .

Кроме того, из Qa+i, z = 0,1... составим еще один ряд

S a '■= Qa+\ + Qa+2 + Qa+i + -

S a+1 := Qa+2 + Qa+3 + -

$ 0+2 Qa+i + —

С помощью введенных чисел решим ряд задач, возникающих при долгосрочном страховании жизни.

ЗАДАЧА 1. Определить стоимость единицы капитала, кото­рую должны уплатить лицу в возрасте с лет, чтобы его (капитал рав­ный 1) получить в возрасте d лет.

Покажем, что эта стоимость равна

— ----- Ц — (3.2)N c ( 1 + 0

или по другому Qd / Q( .Пусть N c - лица, достигшие возраста с лет и каждое из них

внесет в общую кассу капитал /см. (3.2)/. Тогда страховая компания получит сумму денег

N d(1 + t)“-c ’

49

которая через d — с лет превратится в N d . Но, согласно таблице про­должительности жизни, доживут до возраста d лет N d лиц. Каждо­му из них страховая компания может заплатить по единице капитала.

ЗАДАЧА 2. Лицо в возрасте с лет желает получать ежегод­ную постоянную пенсию А , начиная с момента достижения им воз­раста с + / лет до смерти. Определить сумму X , которую он должен заплатить.

Для простоты рассуждений будем считать, что ежегодная пен­сия выплачивается целиком, т.е по достижении возраста с + i лет, с + i +1 лет, c + i + 2 лет,...

Согласно решению задачи 1 он должен заплатить вначале за каждый год

ЗАДАЧА 3. Определить сумму Y , которую должна потребо­вать страховая компания за выплату наследникам лица, достигшего возраста с , суммы А после смерти этого лица.

Для простоты рассмотрения будем предполагать, что смерть застрахованного лица наступает по достижении возраста с лет, с +1 лет, с + 2 лет и т.д. Если смерть наступает между возрастами с + i лет и с + i +1 лет, то можно выплачивать наследникам из расчета, что смерть наступила с + i лет (или с + / +1 лет). В первом случае увели­чивается (во втором случае - уменьшается) стоимость выплаты.

Для более точных расчетов возраст человека следует считать с точностью полугода, квартала, месяца и т.д.

В силу постановки задачи (с учетом сделанных оговорок) можно рассматривать пожизненное страхование человека как сово­купность последовательных годовых страхований:

- на случай смерти в возрасте от с до с +1 лет;- на случай смерти в возрасте от с +1 до с + 2 лет;

что в сумме составляет

X = ? s ± ± A '

в с

И Т.Д.

50

Стоимости этих годовых страхований равняются соответст­венно

N c ~ N c+i N c+l - N c+2 А N c ’ N c 1 +

Суммарная стоимость составляет N , ~ N c+l . N c+l- N c+2 А , N c+2 ~ N c+3 A

С

N c N c 1 + t N c (1 + 0

= A -----— ) - ANc+1 (1 - — ) +... =N c l + t N c(l + t) 1 + /

A A N c+x t A N C+1 t | =N c \ + t N c (1 + / )2

= A - t A Qc" +Qc+2 + "'' = A ( \ - t ^ ~ ) .Q c Q c

Таким образом, получаем

Q c

ЗАДАЧА 4. Человек возраста с лет выплачивает страховой компании ежегодно сумму д:, начиная с достижения возраста d лет до своей смерти, с тем условием, что его наследникам будет выданасумма А после его смерти. Определить минимальную значение отно­шения х/ А .

При решении задачи 2 было показано, что лицо заплатит стра­ховой компании сумму, в пересчете на начало страхования, равную

0 + ^ ) * - (3.3)

Согласно решению задачи 3, на начало страхования стоимость суммы А , которая должна быть выплачена наследникам, составила

Д 1 - А . (3.4)

Приравнивая (3.3) и (3.4), получаем

(1 + ^ ) х = Л ( 1 - ' — )•Q c Q c

Откуда находим отношение

51

1- /X~А

Qc _ Q c ~ t s c

i + Qc + s c

52

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Фалин Г.И., Фалин А.И. Введение в актуарную математику. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1994. - 85 с.

Гербер X. Математика страхования жизни: Пер. с нем. М.: Мир, 1995. - 156 с.

Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расче­тов. - М.: ДЕЛО ЛТД., 1995. - 320 с.

Фалин Г.И. Математические основы теории страхования жиз­ни и пенсионных схем. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1996. 221 с.

Баскаков В.Н., Карташов Г.Д. Методические указания к реше­нию задач по актуарной математике. (Модели дожития). М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1997. 42 с.

53

Приложение 1Таблица продолжительности жизни населения (СССР 1984-1985 годы)

Возраст(*)

Число лиц, доживших до определенного возраста из

100000 родившихся (1х )

Число лиц, умерших в воз­расте от х до х + 1 лет из 100000 родившихся (dx)

Доля лиц, доживших до возраста х лет, которые

умрут в течении года (qx)

Мужчины Женщины Мужчины Женщины Мужчины Женщины1 2 3 4 5 6 71 97099 97743 642 591 0.00666 0.006052 96457 97152 222 198 0.00231 0.002043 96235 96954 127 104 0.00132 0.001074 96108 96850 93 76 0.00097 0.000785 96015 96774 76 59 0.00079 0.000616 95939 96715 70 49 0.00073 0.000517 95869 96666 69 44 0.00072 0.000468 95800 96622 67 41 0.00070 0.000429 95733 96581 65 38 0.00068 0.0003910 95668 96543 61 36 0.00064 0.0003711 95607 96507 57 34 0.00060 0.0003512 95550 96473 55 33 0.00058 0.0003413 95495 96440 57 33 0.00060 0.0003414 95438 96407 65 36 0.00068 0.0003715 95373 96371 78 40 0.00082 0.0004116 95295 96331 97 45 0.00101 0.00047

1 2 3 4 5 6 717 95198 96286 118 51 0.00124 0.0005318 95080 96235 142 57 0.00149 0.0005919 94938 96178 164 62 0.00173 0.0006520 94774 96116 186 66 0.00196 0.0006921 94588 96050 205 69 0.00216 0.0007222 94383 95981 221 71 0.00234 0.0007423 94162 95910 235 73 0.00249 0.0007624 93927 95837 247 75 0.00263 0.0007825 93680 95762 260 77 0.00277 0.0008126 93420 95685 274 80 0.00293 0.0008427 93146 95605 290 84 0.00312 0.0008828 92856 95521 310 89 0.00333 0.0009329 92546 95432 330 95 0.00356 0.0009930 92216 95337 352 101 0.00381 0.0010631 91864 95236 372 108 0.00405 0.0011332 91492 95128 389 116 0.00425 0.0012133 91103 95012 406 125 0.00445 0.0013134 90697 94887 422 135 0.00465 0.0014235 90275 94752 440 147 0.00487 0.0015536 89835 94605 462 159 0.00514 0.0016837 89373 94446 492 172 0.00550 0.0018238 88881 94274 529 185 0.00595 0.0019639 88352 94089 573 199 0.00649 0.00212

1 2 3 4 5 6 740 87779 93890 622 214 0.00708 0.0022841 87157 93676 671 231 0.00770 0.0024742 86486 93445 719 249 0.00831 0.0026743 85767 93196 762 270 0.00888 0.0028944 85005 92926 801 292 0.00943 0.0031445 84204 92634 840 316 0.00997 0.0034146 83364 92318 881 341 0.01057 0.0036947 82483 91977 929 367 0.01126 0.0039948 81554 91610 985 394 0.01208 0.0043049 80569 91216 1050 424 0.01303 0.0046550 79519 90792 1121 459 0.01409 0.0050651 78398 90333 1193 500 0.01522 0.00554

Р 52 77205 89833 1264 548 0.01637 0.0061053 75941 89285 1332 601 0.01754 0.0067354 74609 88684 1397 656 0.01872 0.00740

1 55 '73212 88028 1462 709 0.01997 0.00806

56 71750 87319 1532 756 0.02136 0.0086657 70218 86563 1610 795 0.02293 0.0091958 68608 85768 1695 831 0.02470 0.0096959 66913 84937 1783 869 0.02665 0.0102360 65130 84068 1870 919 0.02871 0.0109461 63260 83149 1949 992 0.03080 0.0119362 61311 82157 2021 1083 0.03296 0.01318

1 2 3 4 S 6 763 59290 81074 2089 1189 0.03523 0.0146764 57201 79885 2153 1305 0.03765 0.0163465 55048 78580 2217 1430 0.04027 0.0181966 52831 77150 2277 1561 0.04310 0.0202467 50554 75589 2333 1700 0.04616 0.0224968 48221 73889 2385 1845 0.04947 0.0249769 45836 72044 2431 1997 0.05304 0.0277170 43405 70047 2470 2153 0.05691 0.0307371 40935 67894 2500 2212 0.06108 0.0340672 38435 65582 2521 2474 0.06558 0.0377273 35914 63108 2530 2635 0.07044 0.0417674 33384 60473 2527 2794 0.07568 0.0462075 30857 57679 2508 2945 0.08129 0.0510676 28349 54734 2477 3088 0.08738 0.0564277 25872 51646 2430 3218 0.09393 0.0623278 23442 48428 2367 3331 0.10098 0.0687979 21075 45097 2288 3423 0.10857 0.0758980 18787 41674 2193 3487 0.11672 0.0836881 16594 38187 2082 3521 0.12548 0.0922182 14512 34666 1957 3520 0.13489 0.1015583 12555 31146 1820 3481 0.14497 0.1117684 10735 27665 1672 3400 0.15577 0.1229185 9063 24265 1517 3277 .016733 0.13507

1 2 3 4 5 6786 7546 20988 1509 4197 0.20000 0.20000

87 6037 16791 2414 6716 0.40000 0.4000088 3623 10075 2174 6045 0.60000 0.600008g 1449 4030 1159 3224 0.80000 0.8000090 290 806 290 806 1.00000 1.00000

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение............................................................................................. 31. Вероятностное описание продолжительности жизни....... 5

1.1. Основная модель............................................................... 51.2. Краткие сведения из теории вероятностей...................... 61.3. Вероятностные характеристики продолжительности

жизни................................................................................. 121.4. Статистические характеристики продолжительности

жизни................................................................................. 291.5. Таблицы продолжительности жизни................................ 35

2. Методы расчета сложных процентов.................................. 362.1. Простые проценты............................................................ 362.2. Накопление капитала по фактическим процентным

ставкам......................... .................................................... 372.3. Накопление капитала по номинальным процентным

ставкам.............................................................................. 402.4. Накопление капитала при непрерывных платежах........ 412.5. Расчет авансового процентного дохода........................... 432.6. Расчет текущих стоимостей рент...................................... 45

3. Модели страхования жизни................................................ 473.1. Краткосрочное страхование.............................................. 473.2. Долгосрочное страхование................................................ 48

Список литературы...................................................................... 53Приложение 1............................................................................... 54

Редакция заказной литературы

Валерий Николаевич Баскаков Геннадий Дмитриевич Карташов

Введение в актуарную математику

Заведующая редакцией Н.Г.Ковалевская Редактор Г.А. Нилова

Корректор Л.И. Малютина

Подписано в печать 03.09.98. Формат 60x84/16. Бумага тип. №2. Печ. л.4,0 Усл.печ.л. 3,72. Уч.-изд.л. 3,59.

Тираж 600 экз. Изд Ns 140 Заказ 2703

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.107005, Москва, 2-я Бауманская, 5.