ВВЕДЕНИЕ В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНУЮ МАТЕМАТИКУ

ВВЕДЕНИЕ В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНУЮ МАТЕМАТИКУ

Лекция 4

29 сентября 2009

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

2. Вычислительная линейная алгебраМетод простых итераций

○ Влияние ошибок округления на результат численного решения СЛАУ

Будем трактовать суммарный эффект ошибок округления при выполнении одного итерационного шага, как возмущение правой части в итерационном процессе

1 .kk u Bu F


1 ,M Mk k k u Bu F δ

1.q B

2. Вычислительная линейная алгебра

22

2 1kMk k kq q u u δ δ

11k kM Mk k kq u u u u δ

01

0 (max )(1 ),k M ki

iq q q u u δ


0 0 0.M u u max ii

δ

01

0 (max )(1 ),k M ki

iq q q u u δ

1

1 1

kMk k

q

q q

u u


Теорема. Пусть итерационный метод

сходится. Тогда предельная погрешность. Связанная с округлением, не зависит от числа итераций

1kk u Bu F


* 0 A A

( , ) ( , )Ax x x x 0

2. Вычислительная линейная алгебра Метод простых итераций

-1A Ω ΛΩ

1E Ω EΩ

1( ) E A Ω E Λ Ω


0

[ , ](max 1 ) .i i

l L r r

max 1 , 1 ,q l L

0 2 .L


0 arg min max 1 , 1l L

2. Вычислительная линейная алгебраМетод простых итераций с оптимальным

параметром

21 lL l

02

l L

0 0 0( ) 1q q l

L l

L l

1 1 11

1 1

1 1 21 2

1 1

2. Вычислительная линейная алгебраЧисло итераций

1ln ln ln1 1 1 ln 1.

ln ln(1 2 / ) ( 2 ) 2

Li

q l L l L l

2. Вычислительная линейная алгебраМетод с оптимальным набором

параметров1

1( ).i i ii

u u Λu f

11( ) ,i i

i

r Ε Λ r 0

1( ) .

ii

jj

r E Λ r


параметров

{ } 1[ , ]min max (1 ) .

i

jjl Lj


параметров

Найти полином, наименее уклоняющийся от 0!

1(1 )

i

jj

Полиномы Чебышёва 1 рода Пафнутий Львович

Чебышёв

Полиномы Чебышёва 1 родаОпределение

( ) cos ( arccos ),nT t n t 1,1t

0 ( ) 1,T t 1( )T t t

Полиномы Чебышёва 1 родаРекуррентная формула

arccos ,t ( ) cos ,nT t n

cos( 1) cos( 1) 2cos cos ,n n n

1 1 1( ) ( ) 2 ( ) ( ),n n nT t T t T t T t

1 1( ) 2 ( ) ( ).n n nT t tT t T t

Полиномы Чебышёва 1 родаРекуррентная формула

22 2 1,T t

33( ) 4 3 ,T t t t

4 24 ( ) 8 8 1T t t t

Полиномы Чебышёва 1 родаПриведенный (нормированный)

полином Чебышева

1

( )( ) .

2n

n n

T tT t

Полиномы Чебышёва 1 родаНоли полинома Чебышёва

2 1cos ,m

mt

n

1,2, ,m n

Полиномы Чебышёва 1 родаНоли полинома Чебышева

Полиномы Чебышёва 1 родаОртогональность

1

21

1( ) ( )

1k l klT t T t dt

t

Полиномы Чебышёва 1 рода Теорема Чебышева (без

доказательства). Среди всех многочленов степени , со

старшим коэффициентом an равным единице, наименьшее уклонение от нуля имеет нормированный полином Чебышева первого рода

2. Вычислительная линейная алгебраОптимальный набор параметров

Скорость сходимости

1(2 1)

2 2 2cos ,j

L l L l j

N

1 2 1 ,q

2. Вычислительная линейная алгебра При i = 2 перебираем корни полинома

Чебышева в их естественном порядке (в фигурных скобках указываем номер корня) {1, 2} или в порядке убывания номера {2, 1}. Далее последовательность номеров корней получаем следующим образом. Каждый номер корня меняется на пару чисел: первое число — номер корня, второе — дополняет сумму в каждой паре до значения i + 1 (2r + 1). Таким образом, при i = 4 получаем два упорядоченных набора. Из последовательности {1, 2} получаем {1, 4, 2, 3}, а из {2, 1} -- {2, 3, 1, 4}.

2. Вычислительная линейная алгебра Действуя аналогично далее, имеем при i = 8

{1, 8, 4, 5, 2, 7, 3, 6} в первой последовательности чебышевских параметров или {2, 7, 3, 6, 1, 8, 4, 5} во второй последовательности. Следующий шаг дает i = 16 {1, 16, 8, 9, 4, 13, 5, 12, 2, 15, 7, 10, 3, 14, 6, 11} в первой последовательности чебышевских параметров или {2, 15, 7, 10, 3, 14, 6, 11, 1, 16, 8, 9, 4, 13, 5, 12} во второй. Построение таких упорядоченных наборов легко можно продолжить. Приведенное упорядочение является универсальным — оно обеспечивает устойчивость любых методов, где необходим чебышевский набор итерационных параметров.

2. Вычислительная линейная алгебра Вопросы?

ВВЕДЕНИЕ В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНУЮ МАТЕМАТИКУ

Documents

Transcript of ВВЕДЕНИЕ В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНУЮ МАТЕМАТИКУ