Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Сибирский государственный автомобильно-дорожный университет (СибАДИ)»

Р.Б. Карасева

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Учебное пособие

Омск 2017

СибАДИ

УДК 519.6 Согласно 436-ФЗ от 20.12.2010 «О защите детей от информации,

ББК 22.19 причиняющей вред их здоровью и развитию» данная продукция

К21 маркировке не подлежит.

Рецензенты:

д-р техн. наук, проф. С.М. Мочалин (СибАДИ);

канд. физ.-мат. наук, доц. О.В. Гателюк (ОмГУПС)

Работа утверждена редакционно-издательским советом СибАДИ в качестве

учебного пособия.

Карасева, Римма Борисовна.

К21 Численные методы [Электронный ресурс] : учебное пособие / Р.Б. Карасе-

ва. – Электрон. дан. – Омск : СибАДИ, 2017.– Режим доступа:

http://bek.sibadi.org/fulltext/esd419.pdf, свободный после авторизации. – Загл. сэкрана.

Содержит теоретический материал дисциплин ««Математическое модели-

рование и численные методы решения инженерных задач», «Методы математиче-

ского моделирования и планирование эксперимента», разделов «Численные ме-

тоды», «Методы приближенных вычислений» дисциплины «Математика» для

технических, строительных, экономических направлений бакалавриата, специа-

литета всех форм обучения.

Имеет интерактивное оглавление в виде закладок. Содержит видеофраг-

менты обучающего и демонстрационного характера, которые воспроизводятся с

помощью проигрывателя Windows Media.

Содержит примеры решения задач, задания для практических занятий, а

также вопросы и задания для самопроверки, типовой расчет по разделу «Уравне-

ния математической физики».

Может быть полезно магистрам, аспирантам, а также преподавателям мате-

матики технических вузов.

Работа подготовлена на кафедре «Высшая математика».

Мультимедийное издание (5,5 МБ)Системные требования : Intel, 3,4 GHz ; 150 МБ ; Windows XP/Vista/7 ; DVD-ROM ;

1 ГБ свободного места на жестком диске ; программа для чтения pdf-файлов Adobe Acrobat Reader; Google Chrome ; Windows Media Player, колонки

Редактор И.Г. Кузнецова Техническая подготовка Н.В. Кенжалинова

Издание первое. Дата подписания к использованию 21.12.17.Издательско-полиграфический комплекс СибАДИ. 644080, г. Омск, пр. Мира, 5

РИО ИПК СибАДИ. 644080, г. Омск, ул. 2-я Поселковая, 1

© ФГБОУ ВО «СибАДИ», 2017

СибАДИ

3

Введение

Вычислительные (численные) методы – это методы решения

математических задач в численном виде.

Основа вычислительной математики – решение задач математи-

ческого моделирования численными методами. Решение задач этими

методами даёт приближенное решение, но в ряде случаев это выгод-

но, так как часто аналитически получить решение очень сложно и да-

же невозможно, а само решение имеет вид, проблемный для проект-

ного применения. Численные методы позволяют часто получать ре-

шение задачи при небольших затратах времени и не прибегая к гро-

моздким выкладкам.

Главная задача вычислительной математики – фактическое на-

хождение решений с требуемой точностью, тогда как классическая

математика решает в основном задачи существования и свойств ре-

шения.

Разработанные на сегодняшний момент численные методы пе-

рекрыли практически всю классическую математику моделирования.

Вычислительная математика начала свое развитие достаточно

давно и в своем движении прошла три этапа:

I. Первый этап начался 3–4 тысячи лет назад. Он был связан с

несложными задачами арифметики, алгебры и геометрии. Например,

вычисление площадей и объемов, расчета простейших механизмов.

Вычислительные средства – палочки, пальцы, камешки и вершина –

счеты.

II. Второй период начался с Ньютона. В этот период решались

задачи астрономии, геодезии и расчета механических конструкций,

сводящиеся либо к обыкновенным дифференциальным уравнениям,

либо к алгебраическим системам с большим числом неизвестных.

Вычислительные средства – таблицы элементарных функций, ариф-

мометры и логарифмические линейки.

III. Третий период начался примерно с 1940 г. Толчком к разви-

тию прикладной математики послужили военные задачи, требующие

высокой скорости решения. Появились электронные вычислительные

машины.

Учебное пособие «Численные методы» предназначено для обу-

чающихся технических, строительных экономических направлений

бакалавриата и специалитета, может использоваться магистрами и ас-

пирантами.

СибАДИ

4

Учебное пособие состоит из разделов: «Методы приближенных

вычислений» и «Приближенное вычисление определенных интегра-

лов», «Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных

уравнений», «Уравнения математической физики гиперболического

типа», «Уравнения математической физики параболического типа»,

«Уравнения математической физики эллиптического типа», «Числен-

ное интегрирование уравнений с частными производными», «Вариа-

ционное исчисление», «Корреляция». В учебном пособии «Численные

методы» подробно представлен необходимый теоретический матери-

ал, который сопровождается примами решения задач по изучаемым

темам. Пособие содержит также задачи для самостоятельного реше-

ния, вопросы для самопроверки, типовой расчет по разделу «Уравне-

ния математической физики».

СибАДИ

5

Раздел I. МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

1. Приближенное решение уравнения

Различают два класса нелинейных уравнений – уравнения ал-

гебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями на-

зывают уравнения, содержащие только алгебраические функции –

целые, рациональные, иррациональные, в частности многочлен.

Уравнения, содержащие тригонометрические, показательные, лога-

рифмические и другие неалгебраические функции, называются

трансцендентными.

Методы решения нелинейных уравнений делятся на две группы:

точные методы и итерационные методы.

При решении уравнений итерационными методами за счет се-

рии последовательных приближений получают решение с необходи-

мой точностью. Точные методы решения основываются на поиске

равносильных преобразований алгебраических выражений. Напри-

мер, перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с проти-

воположным знаком, деление обеих частей уравнения на одинаковое

число, не равное нулю. Точные способы решений позволяют записать

корни уравнения в виде некоторого конечного выражения или фор-

мулы. Точные решения существуют только для некоторых уравнений,

например линейных, квадратных, тригонометрических и некоторых

других. Для большинства уравнений приходится использовать графи-

ческие или численные методы приближенного решения с заданной

точностью. В первую очередь это относится к большинству трансцен-

дентных уравнений. Отметим, что доказан факт, что нельзя построить

формулу для решения произвольного алгебраического уравнения

выше четвертой степени.

Например, уравнение 0cos3 xx нельзя решить путем равно-

сильных алгебраических преобразований. Но это уравнение можно

решать приближенно графическими и численными методами при-

ближенных вычислений.

Решение уравнения проводят численно в два этапа. На первом

этапе производится отделение корней – поиск интервалов, на которых

содержится только по одному корню. Второй этап решения связан с

уточнением корня на выбранном интервале, то есть нахождением

значения корня с заданной точностью.

СибАДИ

6

Отделение корней уравнения может проводиться графически, то

есть путем построения графика функции xfy . Для уравнения ви-да 0xf , где xf – некоторая непрерывная функция, корень иликорни этого уравнения являются точкой или точками пересечения

графика функции с осью абсцисс.

Пусть имеется уравнение вида

0xf ,

где xf – алгебраическая или трансцендентная функция.Решить уравнение – значит найти все его корни, то есть те зна-

чения x, которые обращают уравнение в тождество.

Если уравнение достаточно сложно, то задача точного определения

корней является в некоторых случаях неразрешимой. Поэтому ста-

вится задача найти такое приближенное значение корня прx , которое

отличается от точного значения корня 0x на величину, по модулю не

превышающую указанной точности (малой положительной вели-чины), то есть

прxx0 .

Величину также называют допустимой ошибкой, которую можно задать по своему усмотрению.

Рассмотрим задачу решения уравнения x

x1

s i n , где угол x

задан в градусах. Это уравнение можно переписать в виде

01

180sin

xx

. Для графического отделения корней достаточно

построить график функции x

xy1

180sin

(рис. 1).

СибАДИ

7

Рис. 1

Из рис. 1 видно, что корень уравнения лежит в промежутке

8;6x .Аналитическое отделение корней основано на следующих тео-

ремах.

Теорема 1. Если непрерывная функция xf принимает на кон-цах отрезка [ ba , ] значения разных знаков, то есть 0 bfaf , тона этом отрезке содержится по крайней мере один корень уравнения.

Теорема 2. Если непрерывная на отрезке [ ba , ] функция xfпринимает на концах отрезка значения разных знаков, а производ-

ная xf сохраняет знак внутри указанного отрезка, то внутри отрез-ка существует единственный корень уравнения 0xf .

Для уточнения корней может использоваться один из следую-

щих методов:

– метод последовательных приближений (метод итераций);

– метод Ньютона (метод касательных);

– метод секущих (метод хорд);

– метод половинного деления (метод дихотомии).

2. Метод последовательных приближений решенияуравнения

Метод последовательных приближений (метод итераций) –

численный метод решения математических задач, используемый для

приближённого решения алгебраических уравнений и систем. Суть

метода заключается в нахождении по приближённому значению ве-

СибАДИ

http://prog-cpp.ru/digital-find/#iterhttp://prog-cpp.ru/digital-find/#newtonhttp://prog-cpp.ru/digital-find/#sechttp://prog-cpp.ru/digital-find/#chord

8

личины следующего приближения, являющегося более точным. Ме-

тод позволяет получить решение с заданной точностью в виде преде-

ла последовательности итераций. Характер сходимости и сам факт

сходимости метода зависит от выбора начального приближения ре-

шения.

Функциональное уравнение может быть записано в виде

xxf . Функцию xf называют сжимающим отображением.Последовательность чисел 0x , 1x ,…, xn называется итерационной,

если для любого номера 0n элемент xn выражается через элемент

1nx по рекуррентной формуле

1 nn xfx ,

а в качестве 0x взято любое число из области задания функции xf .Получили рекуррентное соотношение для нахождения корня

уравнения 0xf методом итераций.

Пример. Для решения уравнения x

x1

sin построить рекур-

рентную формулу.

Решение. Уравнение перепишем в форме

x

x

180sin

1

. Ре-

куррентная формула решения уравнения методом последовательных

приближений имеет вид

1180

sin

1

n

n

x

x

.

3. Метод Ньютона (метод касательных) решения уравнения

Пусть функция xfy непрерывна и дифференцируема на от-резке [ ba , ] и выполняется условие 0 bfaf . Предположим, чтоизвестно начальное приближение 0x корня уравнения 0xf ..Пустьнайдено приближение 1nx корня уравнения 0xf . Проведем каса-тельную к кривой xfy , проходящую через точку 11 ; nn xfx .

СибАДИ

9

Уравнение касательной имеет вид

111 nnn xxxfxfy .

Найдем координату пересечения касательной с осью Оx:

1

11

n

nnn

xf

xfxx .

Получили рекуррентное соотношение для нахождения корня

уравнения 0xf методом Ньютона.Процесс продолжаем до тех пор, пока не будет достигнута тре-

буемая точность вычисления.

Графическая интерпретация метода касательных представлена

на рис. 2.

Рис. 2

Пример. Для уравнения 01

180sin

xxxf

производная

равна 2

1

180cos

180 xxxf

.

Получаем, что рекуррентная формула решения уравнения мето-

дом Ньютона имеет вид

СибАДИ

10

21

1

1

1

11

180cos

180

1

180sin

n

n

n

n

nn

xx

xx

xx

.

4. Метод секущих (метод хорд) решения уравнения

Пусть функция xfy непрерывна на отрезке [ 1nx , 2nx ], где

1nx , 2nx – приближенные значения корня уравнения 0xf , и вы-полняется условие 021 nn xfxf .

Проведем хорду, соединяющую точки 11 ; nn xfx и 22 ; nn xfx . Уравнение хорды

21

2

21

2

nn

n

nn

n

xx

xx

xfxf

xfy.

Найдем координату пересечения хорды с осью Оx:

2121

11

nn

nn

nnn xx

xfxf

xfxx .

Получили рекуррентное соотношение для нахождения корня

уравнения 0xf методом хорд.Графическая интерпретация метода хорд представлена на рис. 3.

Рис. 3

СибАДИ

11

Точка nx делит отрезок [ 1nx , 2nx ] на два. Выбираем тот отре-

зок, на концах которого функция xfy принимает разные знаки.Процесс продолжаем до тех пор, пока не будет достигнута требуемая

точность вычисления.

Методом хорд называют также метод, при котором один из кон-

цов отрезка закреплен, то есть вычисление приближения корня урав-

нения 0xf производят по формуле

0101

11 xx

xfxf

xfxx n

n

nnn

.

Пример. Для уравнения 01

180sin

xxxf

рекуррент-

ные формулы приближения решения методом хорд имеют вид

21

2

2

1

1

1

1

111

sin

1sin

nn

n

n

n

n

n

n

nn xx

xxf

xx

xx

xx .

В отличие от двух рассмотренных выше методов метод хорд

предполагает наличие двух начальных приближений, представляю-

щих собой концы отрезка, внутри которого располагается искомый

корень.

5. Метод половинного деления (метод дихотомии) решения

уравнения

Пусть функция xfy непрерывна на отрезке [ 0x , 1x ]. Ес-ли 0x , 1x – приближенные значения корня уравнения 0xf и вы-полняется условие 010 xfxf , то последующие приближения находится по формуле

2

12

nnn

xxx

СибАДИ

12

и вычисляется 2nxf . Если 02 nxf , то корень найден. В про-тивном случае из отрезков выбирается тот, на концах которого xfпринимает значения разных знаков, и проделывается аналогичная

операция. Процесс продолжается до получения требуемой точности.

Геометрическая интерпретация метода дихотомии показана на

рис. 4.

Рис. 4

6. Приближенные вычисления с помощью дифференциала

значений функции одной переменной

Пусть функция )(xfy имеет в точке x отличную от нуля про-

изводную 0lim0

xy

x

y

x. Тогда стоящее под пределом отноше-

ние x

y

можно представить в виде суммы xxy

x

y

, где

x является бесконечно малой величиной при 0 x , то есть 0lim

0

x

x . Это означает, что приращение функции y можно

представить в виде

xxxxyy .

Таким образом, приращение функции y представляет собой

сумму двух слагаемых. При этом первое слагаемое является беско-

нечно малой величиной одного порядка малости с приращением ар-

СибАДИ

13

гумента x . Второе слагаемое является бесконечно малой величиной

более высокого порядка в сравнении с приращением аргумента x .

Главная линейная часть приращения xxxxyy ,то есть слагаемое xxy называется дифференциалом функции

)(xfy и обозначается dy : dy= xxy .Поскольку приращение аргумента равно дифференциалу аргу-

мента dx= x , дифференциал функции одной переменной можно за-

писать в виде

dy= xdxy .

Если приращение аргумента x мало по абсолютной величине,

то dy y , и мы получаем ydxyxxyy xxy и

00 xyxxy xxy 0 . (1)

Это формула приближенного вычисления значения функции

)(xfy в точке xx 0 .

Примеры. 1. Покажем, как производятся приближенные вычис-

ления на примере вычисления 4 620 .

Решение. Вычислять 4 620 будем по формуле (1). Рассмотрим

функцию 4 xy при .5625620 x То есть 6250 x ; 5 x .

Находим 5625625 40 yxy . Вычисляем производную:

4 3

4

4

1

xxy

; 1254

1

6254

1625

4 3 y . Теперь подставляем

найденные значения в формулу (1):

.99,401,0551254

156204

Итак, .99,46204

2. Теперь по формуле (1) вычислим приближенно o183sin .

Решение. Используем функцию xy sin при o183x

.3180 oo То есть o0 180x ; 60

3180

3o

x .

СибАДИ

14

Находим .0180sin o0 xy

Вычисляем производную: xxy cossin ; o180y1180cos o . Теперь используем формулу (1):

.052,0160

0183sin o

Получили .052,0183sin o

7. Приближенные вычисления с помощью дифференциала

значений функции нескольких переменных

По аналогии с линеаризацией функции одной переменной мож-

но при приближенном вычислении значений функции нескольких пе-

ременных, дифференцируемой в некоторой точке, заменять ее прира-

щение дифференциалом.

Полный дифференциал функции ),...,,( 21 nxxxfz n перемен-

ных имеет вид

nnxxxdxfdxfxdfdz ...2211 .

Поскольку zdz ; ii xdx при ni ,...,2,1 , получаем форму-

лу для приближенных вычислений

nnxxxxfxfxfz ...2211 .

В частности, для функции двух переменных z f (x, y) форму-ла приближенных вычислений с помощью дифференциала имеет вид

yyxfxyxfz yx 0000 ,, ,

или

yyxfxyxfyxzyyxxz yx 00000000 ;;;; . (2)

СибАДИ

15

Пример. Вычислим приближенное значение функции

xyyxz 532 в точке М (3,04;3,95) с помощью полного диффе-

ренциала по формуле (2).

Решение. Имеем x=3,04=3+0,04, то есть 30 x ; .04,0 x Ана-

логично y=3,95= 05,04 , то есть 40 y ; .05,0 y

Вычислим значение функции xyyxz 532 в точке 4;3 :

.2135434324;3 z

Вычислим частные производные первого порядка в точке 4;3 :

52532 yxyyxz xx , 35424;3 xz ;

32532 xxyyxz yy , .93324;3 yz

Таким образом, по формуле приближенного значения функции

в точке М (2) получаем

.67,2005,0904,032195,3;04,3 z

Получили, что приближенное значение функ-

ции xyyxz 532 в точке М (3,04;3,95) равно

.67,2095,3;04,3 zОтметим, что точность вычисления повышается при уменьше-

нии приращений аргументов x , y .

8. Приближенные вычисления значений функцийс помощью рядов

Разложение функции в степенной ряд является одним из мето-дов вычисления значения функции с любой точностью.

Разложение функции в степенной ряд можно выполнить на ос-

новании следующей теоремы:

Теорема. Если функция )(xf является бесконечно дифференци-

руемой в окрестности точки 0xx и в этой окрестности 0lim

nn

R , то

функция )(xf представляется рядом Тейлора (расположенным по

степеням 0xx ) вида

СибАДИ

16

.!!2!1

002

00

00

0

n

n

xxn

xfxx

xfxx

xfxfxf

При 00 x получаем формулу Маклорена (степенной ряд, рас-

положенный по степеням x )

nn

xn

fx

fx

fx

ffxf

!

0

!3

0

!2

0

!1

00 32 .

Разложим в ряд по степеням x функцию xеxf . Используем формулу Маклорена

nn

xn

fx

fx

fx

ffxf

!

0

!3

0

!2

0

!1

00 32 .

Найдем значения функции и ее производных при 0x :

10 0 ef ; 10 00

eefx

x ; 10 00

eefx

x ; …

10 00

eefx

xn .

Составляем ряд Тейлора:

!1!3!2!11

132

n

xxxx n.

Теперь найдем интервал и радиус сходимости получившегося

ряда. Для этого применим признак Даламбера к ряду из модулей

1

1

!1n

n

n

x:

101

!1

!limlim 1

nx

n

x

n

x

nn

n

n

.

Это означает, что полученное разложение сходится при

x , R .

СибАДИ

17

Теперь докажем, что функция xеxf есть сумма построенно-

го ряда. Так как ряд

0n !n

xnявляется абсолютно сходящимся на всей

числовой прямой, то по необходимому признаку сходимости верно

равенство 0!

limn

n

xn

. Так как xn exf )()( , то остаточный член за-

писывается в виде nx

nn

n xn

ex

n

xfxR

!!

)()(

)( , где 10 .

Так как !

e!

)(x

n

xx

n

exR

n

nx

n

и 0!

limn

n

xn

, получаем, что

0)(Rlimn

xn . Это означает, что верно равенство

!1!3!2!11

132

n

xxxxe

nx , R .

Приведем некоторые формулы разложения в ряд Маклорена.

Разложение функций в ряд Маклорена

1.

!1!3!2!11

132

n

xxxxe

nx , R ;

2.

!11

!3!2!11

11

32

n

xxxxe

nnx , R ;

3.

!121

!7!5!31sin

121

753

n

xxxxxx

nn

, R ;

4.

!2

1!6!4!2

1cos2642

n

xxxxx

nn

, R ;

5. n

xxxxxx

nn 1

432

14321

1ln , 1R ;

6.

32

321

21

21

111 x

mmmx

mmmxx

m, 1R ;

при 0m интервал сходимости 11 x ;

при 01 m интервал сходимости 11 x ;

при 1m интервал сходимости 11 x .

СибАДИ

18

Для вычисления приближенного значения функции xf спомощью рядов необходимо разложить функцию xf в степеннойряд, при этом сохраняют первые n членов разложения, а остальные

члены отбрасывают. Сумма отброшенных членов является ошиб-

кой вычисления, поэтому ее нужно оценивать. Если функция разло-

жена в знакопостоянный ряд, то ряд, составленный из отброшенных

членов, оценивают с помощью бесконечно убывающей геометриче-

ской прогрессии. В случае знакопеременного ряда, члены которого

удовлетворяют теореме Лейбница, используется оценка 1 nn aR ,

где 1na − первый из отброшенных членов ряда.

Приведем теорему Лейбница.

Теорема Лейбница. Если для ряда nn

a1

1

, 0na выполнены ус-

ловия а) и б) то знакочередующийся ряд nn

a1

1

сходится:

а) 0lim

nn

a ;

б) nn aa 1 , начиная с некоторого номера.

При этом выполнено неравенство 1 nn aR .

Рассмотрим несколько примеров приближенных вычислений.

Примеры. 1. Вычислить e с точностью 0,00001.

Решение. Используем разложение в ряд функции xe .

При 2

1x получаем

32

2

1

2!3

1

2!2

1

2!1

11ee .

Определим необходимое для достижения заданной точности

число слагаемых. Для этого оценим остаток ряда:

1321 2!1

1

2!3

1

2!2

1

2!1

1nnnnn nnnn

R

32 2432

1

232

1

22

11

nnnnnn

СибАДИ

19

<

.2!1

1

2

11

1

2!1

1

2

1

2

1

2

11

2!1

11321 nnn nnn

Путем подбора определим, при каком значении n будет выпол-

няться неравенство .,Rn 000010 Полагаем, например, 4n , получа-

ем, что 000260,Rn . При 5n 00000220,Rn . При 6n

000000160,Rn

20

166666,0000000,16!4

1

6!3

1

6!2

1

6!1

11

1432

6

1

6e

e

+ 0,013888+0,000771 0000320, 0,8479610,84796.

Все вычисления проводились с одним запасным знаком. Полу-

ченный результат округлили до пяти знаков после запятой.

Мы нашли, что

84796,01

6

e.

3. Вычислить o18cos с точностью 0,0001.

Решение. Используем разложение в ряд функции xcos . Имеем

42o

10!4

1

10!2

11

10cos18cos

.

Ряд знакочередующийся, поэтому для достижения точности ис-

пользуем теорему Лейбница. Поскольку 00010106

16

6 ,!

a

, то

достаточно взять три слагаемых ряда

9511024

009740

2

098700118cos o ,

,, .

Итак,

9511,018cos o .

4. Вычислим 3 130 с точностью 0,001.

Решение. Найдем ближайшее к 130 число, которое является ку-

бом целого числа. Это 125= 35 . Сделаем преобразования:

СибАДИ

21

31

33 33 0401525

11555130 ,

000064,0!3

3

5

3

2

3

1

0016,0!2

13

1

3

1

04,03

115

00032,0!8

5008,0

9

102,0

3

15 .

Четвертое слагаемое меньше 0,001, поэтому его и следующие за

ним члены в сумме не превышают точности 0,001, их мы отбрасыва-

ем. Итак,

.,,, 0665000900667051303

Отметим, что при решении было использовано разложение в ряд

функции 31

1 x . Нашли, что .066,51303

9. Приближенные вычисления пределов с помощью рядов

При вычислении пределов иногда удобно разложить функции в

степенные ряды. Покажем это на примерах.

Примеры.

1. Найти3

0

arctgsinlim

x

xx

x

.

Используем разложения в ряды по степеням x функций xsin и

xarctg . Получаем

3

5353

03

0

5353lim

arctgsinlim

x

xxx

!

x

!

xx

x

xx

xx

СибАДИ

22

=6

1

5

1

5

1

3

1

3

1lim

2

0

x!!x

.

2. Найтиxx

xxex

x sin

222lim

2

0

.

Заменяем функции xe и xsin на их разложения в ряды Макло-

рена, получаем

!

x

!

xxx

xx!

x

!

xx

xx

xxe

x

x

x

53

2232

12

limsin

222lim

53

232

0

2

0

2

53

1

4

2

3

2

lim

53

4

2

3

2

lim 20

53

43

0

!

x

!

!

x

!

!

x

!

x

!

x

!

x

xx

.

10. Задачи для самостоятельного решения

1. Найти корень уравнения 06)3ln(73 xx :

а) методом последовательных приближений;

б) методом касательных;

в) методом хорд;

г) методом половинного деления.

2. Найти корень уравнения 01)2ln(2 xx :

а) методом последовательных приближений;

б) методом касательных;

в) методом хорд;

г) методом половинного деления.

3. Найти корень уравнения 044 xex :

а) методом последовательных приближений;

б) методом касательных;

в) методом хорд;

СибАДИ

23

г) методом половинного деления.

4. Определить интервал длиной не больше 0,01, которому принадле-

жит действительный корень уравнения 04

1

4

1 xex .

5. Провести три итерации метода половинного деления для решения

уравнения 03,372 x на отрезке 8;0 .

6. Написать формулу для вычисления с помощью полного дифферен-

циала значения функции 4 xy в точке xx 0 .

7. Извлечь с помощью формулы приближенных вычислений для пол-

ного дифференциала квадратный корень из 3654.

8. Найти 1,210 .

9. Вычислить без таблиц tg o46 .

10. Методом хорд определить с точностью до 0,001 корни следующих

уравнений:

а) 0263 xx ;

б) 014 xx ;

в) 2sin1,0 xx ;

г) 2cos xx .

11. Методом касательных определить с указанной точностью корни

следующих уравнений:

а) xx

x 1012

2 (с точностью до 310 );

б) 1lg xx (с точностью до 410 );

в) 0 xex (с точностью до 510 );

г) 1th xx (с точностью до 610 ).

12. Заменяя приращение функции дифференциалом, приближенно

вычислить:

а) 32 004,3003,2002,1 ;

СибАДИ

24

б) 33 97,102.1 ;

в) oo 46tg29sin ;

г) 05,197,0 .

13. На сколько изменятся диагональ и площадь прямоугольника со

сторонами 6x м; 8y м, если первая сторона увеличится на 2 мм,

а вторая сторона уменьшится на 5 мм?

14. Центральный угол сектора o60 увеличился на o1 . На

сколько следует уменьшить радиус сектора 20R см, чтобы площадь

сектора осталась без изменения?

15. Раскладывая функцию в ряд, вычислить ее приближенное значе-

ние с точностью :

а) 2

1sin ; 0010, ;

б) 041ln , ; 00010, ;

в) 5 11, ; 00010, ;

г) 2ln ; 00010, ;

д) o9sin ; 00010, ;

е) 3 061, ; 00010, .

16. Раскладывая функцию в ряд, вычислить пределы:

а) xe

xx

x

1

cos1lim

0

; б)6

26

2

2sin

2sin

limx

xx

x

n

;

в) 3

0

arctglim

x

xx

x

; г) 3

32

2

coslim

3

x

xe x

n

.

СибАДИ

25

Ответы:

7. 60,45.

8. 123,0 (по формуле приближенных вычислений с помощью полного

дифференциала); точное значение 125,9.

9. 1,0350 (по формуле приближенных вычислений с помощью полно-

го дифференциала); точное значение 1,0355.

10. а) 602,21 x ; 340,02 x ; 262,23 x ;

б) 724,01 x ; 221,12 x ;

в) 53119arctg087,2 o x ;

г) 824,0 .

11. а) 472,01 x ; 999,92 x ;

б) 5062,2x ;

в) 56715,0x ;

г) 199678,1 .

12. а) 972,108 ;

б) 95,2 ;

в) 502,0 ;

г) 97,0 .

13. Диагональ уменьшится приблизительно на 3 мм, площадь умень-

шится приблизительно на 140 см2.

14. Уменьшить на 1,7 мм.

15. а) 0,479;

б) 0,0392;

в) 1,0192;

г) 0,6931;

д) 0,1564;

е) 1,0196.

16. а) 1;

б) 48

49 ;

в) 3

1;

г) 1.

СибАДИ

26

Вопросы и задания для самопроверки [1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10]

1. Какие методы могут использоваться для уточнения корней

уравнения?

2. В чем заключается метод последовательных приближений

(метод итераций) нахождения корней уравнения?

3. В чем заключается метод Ньютона (метод касательных) на-

хождения корней уравнения?

4. В чем заключается метод секущих (метод хорд) нахождения

корней уравнения?

5. В чем заключается метод половинного деления (метод дихо-

томии) нахождения корней уравнения?

6. Напишите формулу полного дифференциала для функции од-

ной действительной переменной.

7. Напишите формулу полного дифференциала для функции не-

скольких переменных.

8. Напишите формулу приближенных вычислений с помощью

полного дифференциала для функции одной действительной пере-

менной.

9. Напишите формулу приближенных вычислений с помощью

полного дифференциала для функции нескольких переменных.

10. Напишите разложение в ряд Маклорена функций xe , xsin .

11. Как вычислить значение функции с заданной точностью с

помощью рядов?

12. Как достигается заданная точность вычислений с помощью

радов?

СибАДИ

http://prog-cpp.ru/digital-find/#iterhttp://prog-cpp.ru/digital-find/#iterhttp://prog-cpp.ru/digital-find/#iterhttp://prog-cpp.ru/digital-find/#iterhttp://prog-cpp.ru/digital-find/#iterhttp://prog-cpp.ru/digital-find/#iterhttp://prog-cpp.ru/digital-find/#chordhttp://prog-cpp.ru/digital-find/#chord

27

Раздел II. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ

ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

1. Квадратурные формулы

Вычисление определённых интегралов по формуле Ньютона–

Лейбница не всегда возможно, так как далеко не все функции интег-

рируются в конечном виде, то есть первообразные таких функций не

выражаются через элементарные функции с помощью конечного чис-

ла арифметических действий и операций взятия функции от функции.

Даже если первообразная функция известна, но имеет весьма

сложный и неудобный для вычисления вид, то и в этом случае приме-

нение формулы Ньютона–Лейбница затруднительно. В этих случаях

прибегают к приближенным методам вычисления определённого ин-

теграла.

Эти методы дают возможность вычислить определённый инте-

грал, если он существует и если численные значения подынтеграль-

ной функции известны. Формулы, при помощи которых ведётся чис-

ленное интегрирование, получили название квадратурных формул.

Сложные вычислительные задачи, возникающие при исследова-

нии физических и технических проблем, можно разбить на ряд эле-

ментарных – таких как вычисление интегралов, например, и других.

Многие элементарные задачи являются несложными и хорошо изуче-

ны. Для этих задач разобраны методы численного решения, нередко

имеются стандартные программы их решения.

Приближенные методы вычисления основаны на том, что опре-

деленный интеграл можно рассматривать как площадь криволиней-

ной трапеции. Площадь такой трапеции можно вычислить, если заме-

нить ее более простой для вычисления площади фигурой – суммой

прямоугольников, трапеций или другими.

Приведем теорему, имеющую огромное теоретическое значение

в обосновании численных методов интегрирования.

Теорема о среднем значении. Пусть функция xfy непре-рывна на отрезке [ ba , ], тогда на этом отрезке найдется такая точка c,

что

abcfdxxfb

a

.

СибАДИ

28

Отметим, что геометрически теорема означает, что площадь

криволинейной трапеции равна площади прямоугольника со сторона-

ми cf и ab . Поэтому, по существу, все численные методы ос-нованы на том, что необходимо возможно точнее найти значение точ-

ки с.

Методами приближенного вычисления определённого интеграла

являются:

– формулы прямоугольников;

– формула трапеций;

– формула Симпсона (парабол).

Если функция xf непрерывна на [ ba ; ], то определённый ин-теграл от этой функции в пределах от a до b существует и равен

aFbFxdxfb

a

,

где xF – первообразная для функции xf .Для большинства элементарных функций первообразную xF

не удаётся выразить через элементарные функции. Кроме того, при

практических расчетах подынтегральная функция часто задается в

виде таблиц. Всё это приводит к необходимости замены интегрирова-

ния численными методами.

Задача численного интегрирования состоит в следующем: найти

определённый интеграл на [ ba ; ], если подынтегральная функция на

отрезке [ ba ; ] задана не в явном виде, а, например, таблично или гра-

фически. Рассмотрим некоторые формулы приближенного вычисления

определённого интеграла.

2. Метод прямоугольников приближенного вычисленияопределённого интеграла (Метод Эйлера)

Пусть на отрезке [ ba ; ] задана непрерывная функция xfy .

Требуется вычислить определённый интеграл xdxfb

a

.

Разделим отрезок [ ba ; ] точками a= 0x , 1x ,…, xn=b на п равных

частей длины x : n

abx

.

СибАДИ

29

Теперь вычислим значения функции xf в точках2

~ 1 iiixx

x

( 1...;;1;0 ni ), которые являются серединами отрезков [ 1; ii xx ], по-

лучившихся при делении [ ba ; ] на п частей. Произведение

2

1ii xxf x равно площади прямоугольника, основанием кото-

рого является отрезок [ 1; ii xx ], а высота равна

2

1ii xxf .

Составим сумму

1

0

1

2

n

i

ii xxf x .

Каждая из этих сумм (для любого п) является интегральной

суммой для xf на отрезке [ ba ; ] и поэтому приближенно вычисляетинтеграл

1

0

1

2

n

i

iib

a

xxfxf

n

ab .

Это и есть формула прямоугольников (рис. 5).

Рис. 5

Отметим, что в приведенной формуле значение функции xf

можно вычислять не только в серединах отрезков 2

~ 1 iiixx

x , но и в

любой точке отрезков [ 1; ii xx ].

СибАДИ

30

Ошибка, совершаемая при вычислении интеграла по формуле

прямоугольников, будет тем меньше, чем больше число п (то есть чем

меньше шаг деления n

abx

).

Если подынтегральная функция xfy на отрезке [ ba ; ] име-ет непрерывную производную xfy , то для оценки погрешно-

сти n при вычислении интеграла xdxfb

a

по формулам прямо-

угольников служит неравенство

1

2

2M

n

abn

,

где 1M есть наибольшее значение абсолютной величины производной

xf на отрезке [ ba ; ], то есть наибольшее значение xf на данномотрезке.

3. Формула трапецийДля воспроизведения видео нажмите на кнопку

Пусть на отрезке [ ba ; ] задана непрерывная функция xfy .

Требуется вычислить определённый интеграл xdxfb

a

.

Кривую xfy заменим теперь не ступенчатой линией, как вформуле прямоугольников, а вписанной ломаной. В результате вы-

числений получим более точное значение определённого интеграла.

При этом площадь криволинейной трапеции, которая вычисля-

ется с помощью определенного интеграла xdxfb

a

, заменится сум-

мой площадей прямолинейных трапеций

1

0

1

2

n

i

ii xfxf x ,

где 1...;;1;0 ni . При этом n

abhx

(рис. 6).

СибАДИ

31

Рис. 6

Получили формулу трапеций

1

0

1

2

n

i

iib

a

xfxfxdxf x

или

1

01210 ...2

n

inn

b

a

xfxfxfxfxfxfn

ab

2

.

Полученная приближенная формула оказывается тем более точ-

ной, чем больше число п.

Ошибка, которую мы допускаем при вычислении, не превышает

M

n

abn

2

3

12 ,

где M – наибольшее значение xfy на отрезке [ ba ; ].

4. Метод парабол (метод Симпсона)

Пусть функция xfy непрерывна на отрезке [ ba ; ]. Требует-

СибАДИ

32

ся вычислить определенный интеграл xdxfb

a

.

Использовав три точки отрезка интегрирования, можно заме-

нить подынтегральную функцию параболой. Обычно в качестве таких

точек используют концы отрезка и его среднюю точку.

Докажем предварительно две теоремы.

Теорема 1. Через любые три точки М1 (х1; у1), М2 (х2; у2),

М3 (х3; у3) с различными абсциссами можно провести единственную

кривую вида у=Ах2+Вх+С .

Доказательство. Подставим в уравнение параболы у=Ах2+Вх+С

координаты точек М1 , М2 , М3 , получим систему трех уравнений пер-

вой степени с тремя неизвестными А, В, С:

.

;

;

3323

2222

1121

yCBxAx

yCBxAx

yCBxAx

Так как числа х1, х2, х3 различны, то определитель этой системы

отличен от нуля:

0

1

1

1

132312

323

222

121

xxxxxx

xx

xx

xx

.

Следовательно, данная система имеет единственное решение,

т.е. коэффициенты А, В, С определяются однозначно и парабола

у=Ах2+Вх+С будет единственной.

Заметим, что если 0A , то кривая у=Ах2+Вх+С является парабо-

лой, если А=0, то прямой.

Теорема 2. Площадь S криволинейной трапеции, ограниченной

кривой у=Ах2+Вх+С, проходящей через точки М1 (–h; y1), M2 (0, y2),

M3 (h, y3) выражается формулой

СибАДИ

33

321 43

yyyh

S .

Доказательство. Подставляя в уравнение CxBxAу 2

координаты точек М1, М2, М3, получаем

ChBhAу 21 ;

у2= С;

ChBhAу 23 ,

откуда следует, что 312 22 yyChA ; С= у2 .

Поэтому получаем

dxCAxdxxBdxCAxxdCBxAxSh

h

hh

h

h

h 0

222 2

3212 43

623

yyyh

CAhh

.

Теорема доказана.

Разобьем отрезок [ ba ; ] на n отрезков [ ii xx 222 ; ],

ni ...;;1;0 длины n

abhx

22 точками a= 0x < 2x < 4x

34

ния интеграла xdxfix

ix

2

2-2

взять xdCxBxAix

ix

iii

2

22

2 , который мы

можем вычислить по формуле Ньютона–Лейбница. В этом и заключа-

ется суть метода парабол (рис. 7).

Геометрически это выглядит так:

Рис. 7

Выведем формулу метода Симпсона (парабол).

В силу свойства определенного интеграла имеем

dxCxBxAdxxfxdxfn

i

ix

ix

iii

n

i

ix

ix

b

a

1

0

2

22

2

1

2

22

.

Значение определенного интеграла xdCxBxAix

ix

iii

2

22

2 най-

дено в теореме 2:

xdCxBxAix

ix

iii

2

22

2 iii xfxfxfh

21222 43

.

Таким образом, можно вывести формулу метода парабол

dxCxBxAxdxfn

i

ix

ix

iii

b

a

1

0

2

22

2

СибАДИ

http://www.cleverstudents.ru/integral/definite_integral_properties.html

35

n

iiii xfxfxf

h

121222 4

3

432210 (443

xfxfxfxfxfxfh

)4... 21222 nnn xfxfxf

n

n

ii

n

ii xfxfxfxf

h2

1

12

1120 24

3.

Формула метода Симпсона (парабол) имеет вид

xdxfb

a

n

n

ii

n

ii xfxfxfxf

h2

1

12

1120 24

3.

Абсолютная погрешность метода Симпсона оценивается как

M

n

abn

4

5

180 ,

где M – наибольшее значение xfy 44 на отрезке [ ba ; ].

Рассмотрим применение метода Симпсона (парабол) при при-

ближенном вычислении определенных интегралов.

Обычно встречается два типа задач: в первом случае требуется

приближенно вычислить определенный интеграл по формуле Симп-

сона для заданного n, во втором случае просят найти приближенное

значение определенного интеграла методом Симпсона (парабол) с за-

данной точностью n , например с точностью до одной тысячной.

Возникает вопрос: «С какой степенью точности проводить про-

межуточные вычисления?»

Ответ прост – точность промежуточных вычислений должна

быть достаточной. Промежуточные вычисления следует проводить с

точностью на 3–4 порядка выше, чем порядок требуемой точности n .

Также точность промежуточных вычислений зависит от числа n –

чем больше n, тем точнее следует проводить промежуточные вычис-

ления.

СибАДИ

36

Примеры. 1. Вычислить определенный интеграл xdx

x

5

04 4

методом Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 5 частей.

Решение. Из условия мы знаем, что a = 0; b = 5; n = 5;

44

x

xxf .

Формула метода Симпсона (парабол) имеет вид

xdxfb

a

n

n

ii

n

ii xfxfxfxf

h2

1

12

1120 24

3.

Для ее применения необходимо вычислить шаг n

abh

2

, найти

узлы ihaxi , ni 2...;;1;0 и вычислить соответствующие значения

подынтегральной функции ihafxf i , ni 2...;;1;0 .Промежуточные вычисления будем проводить с точностью до

четырех знаков (округлять на пятом знаке).

Итак, вычисляем шаг 5,052

05

2

n

abh .

Теперь находим узлы и значения функции в них:

040

0005,000

400

fxfihax ;

12308,045,0

5,05,05,05,010

411

fxfihax ;

…

00795,045

5555,0100

41010

fxfihax .

Результаты расчетов приведены в табл. 1. Таблица 1

i 0 1 2 3 4 5

ix 0 0,5 1 1,5 2 2,5

ixf 0 0,12308 0,2 0,16552 0,1 0,04806

СибАДИ

37

Окончание табл. 1

i 6 7 8 9 10

ix 3 3,5 4 4,5 5

ixf 0,03529 0,02272 0,01538 0,01087 0,00795

Подставляем полученные результаты в формулу метода пара-

бол:

xdx

x

5

04 4

n

n

ii

n

ii xfxfxfxf

h2

1

12

1120 24

3

00795,0

01538,0

03529,0

1,02,0

2

01087,0

02272,004806,0

16552,012308,0

403

3,0

37171,0 .

Заметим, что определенный интеграл xdx

x

5

04 4

можно вы-

числить точно по формуле Ньютона–Лейбница:

37274,02

25arctg

4

1

2arctg

4

1

42

1

4

5

0

5

0

2

22

25

04

x

x

xdxd

x

x.

Результаты совпадают с точностью до сотых.

2. Вычислим теперь определенный интеграл xdx

0 2

1

2

3sin

методом Симпсона с точностью до 0,001.

Решение. В нашем примере a = 0; b ; 2

1

2

3sin

xxf ;

001,0n .

Сначала нужно определить число разбиений отрезка n. Для это-

го используем неравенство для оценки абсолютной погрешности ме-

тода Симпсона

СибАДИ

38

M

n

abn

4

5

180 ,

где M – наибольшее значение xfy 44 на отрезке [ ;0 ].

Найдем такое n, для которого будет выполняться неравенство

001,0

180 4

5

Mn

abn .

Тогда при использовании метода парабол для вычисления ис-

ходного определенного интеграла абсолютная погрешность не превы-

сит 0,001. Последнее неравенство перепишем в виде

M

abn

18,0

54 .

Выясним, какое наибольшее значение принимает модуль чет-

вертой производной подынтегральной функции на отрезке интегри-

рования.

2

3cos

2

3

2

1

2

3sin

xxxf

2

3sin

4

9

2

3cos

2

3 xxxf

2

3cos

8

27

2

3sin

4

9 xxxf

2

3sin

16

81

2

3cos

8

274 xxxf

.

СибАДИ

39

Областью значений функции 2

3sin

16

814 xxf является интер-

вал

16

81;

16

81, при этом отрезок интегрирования [ ;0 ] содержит

точки экстремума, поэтому 16

81M .

Подставляем найденное значение в неравенство для нахождения

n и решим его:

M

abn

18,0

54

16

81

18,0

05

4 n

6319,98037,86064 nn .

Так как n является натуральным числом (n – количество отрез-

ков, на которые разбивается отрезок интегрирования), то можно вы-

брать n = 10, 11, 12, … .Пусть n = 10.

Теперь действуем, как в предыдущем примере. В промежуточ-

ных вычислениях округление будем проводить на шестом порядке.

Вычисляем шаг 20102

0

2

n

abh .

Теперь находим узлы и значения подынтегральной функции в

узлах:

5,02

10

2

3sin00

2000 00 fxfihax

;

733445,02

1

202

3sin

20202010 11

fxfihax ;

…

5,02

1

2

3sin

20200 120

fxfihax .

Результаты всех расчетов приведены в табл. 2.

СибАДИ

http://www.cleverstudents.ru/functions/range_of_function.html

40

Таблица 2

i 0 1 2 3 4 5

ix 0

20

10

20

3

5

4

ixf 0,5 0,733445 0,953990 1,149448 1,309017 1,423880

Продолжение табл. 2

i 6 7 8 9 10

ix10

3

20

7

5

2

20

9

2

ixf 1,487688 1,496917 1,451056 1,352640 1,207107

Продолжение табл. 2

i 11 12 13 14 15

ix20

11

10

6

20

13

10

7

4

3

ixf 1,022499 0,809017 0,578469 0,343566 0,117317

Окончание табл. 2

i 16 17 18 19 20

ix

5

4

20

17

10

9

20

19

ixf – 0,087785 – 0,260405 – 0,391007 – 0,472370 – 0,5

Подставляем найденные значения в формулу метода парабол:

xdx

0 2

1

2

3sin

n

n

ii

n

ii xfxfxfxf

h2

1

12

1120 24

3

237475,2 .

Таким образом, по методу Симпсона получено приближенное

значение определенного интеграла с точностью до 0,001:

237,22

1

2

3sin

0

xd

x.

СибАДИ

41

Вычислим теперь исходный интеграл по формуле Ньютона–

Лейбница:

002

1

2

3cos

3

2

2

1

2

3sin x

xxd

x

22

3cos

3

2 237463,2

3

2

22

0

2

03cos

3

2

.

Результаты совпадают с точностью до десятитысячных.

Точность метода Симпсона (парабол) выше точности метода

прямоугольников и трапеций для заданного n (это видно из оценки

абсолютной погрешности), так что его использование предпочтитель-

нее.

Следует помнить о влиянии вычислительной погрешности на

результат при больших n, что может отдалить приближенное значе-

ние от точного.

5. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов

При вычислении определенных интегралов иногда удобно раз-

ложить функции в степенные ряды.

Рассмотрим примеры приближенного вычисления определенных

интегралов.

Примеры.

1. Вычислим интеграл

30

203 21

,

, x

dx с точностью до 0,0001.

Решение. Разложим подынтегральную функцию в степенной

ряд, пользуясь биномиальным разложением:

323

1

6

3

7

3

4

3

1

2

3

4

3

1

3

111 xxxx

n

n

nx

n

n

!3

237411 (разложение верно при 11 x ).

СибАДИ

42

Теперь подставим 2x вместо x , получим

1

23

12

!3

23741111

n

n

n

nx

n

nx

, при 11 x .

Воспользуемся возможностью почленного интегрирования сте-

пенного ряда:

3,0

2,03 21 x

dx

dxx

n

nxxx n

n

n3,0

2,0

2642

!3

237411

27

14

9

2

3

11

09798,000009,000211,01,0

81

2

45

2

9

13,0

2,0

753 xxxx

.0980,0

После почленного интегрирования получили знакочередую-

щийся ряд, удовлетворяющий условиям теоремы Лейбница. Восполь-

зуемся оценкой остатка сходящегося знакочередующегося ряда

1 nn aR . Поскольку четвертый член ряда по модулю оказался

меньше заданной точности 0,0001, то для вычислений достаточно

взять сумму первых трех слагаемых.

Итак,

30

203 21

,

, x

dx.0980,0

Отметим, что если после почленного интегрирования получится

знакоположительный ряд, то для определения необходимого для вы-

числений числа слагаемых проводят оценку остатка ряда (обычно

СибАДИ

43

оценивают с помощью геометрической прогрессии).

2. Вычислим интеграл

1

0

3

dxe x с точностью до 0,0001.

Решение. Разложим подынтегральную функцию в ряд, исполь-

зуя разложение в ряд Маклорена функции xe , заменяя x на 3x . По-

лучим

1

0

1916131074

1

0

1815129631

0

3

!619!516!413!310!27!14

!6!5!4!3!2!11

xxxxxxx

dxxxxxxx

dxe x

.8074,080744,0

00007,000052,000320,001666,007142,025,01

13680

1

1920

1

312

1

60

1

14

1

4

11

Поскольку мы использовали знакочередующийся ряд, то для

достижения точности вычислений необходимо было найти слагаемое

меньшее точности по модулю, отбросить его и остальные члены ряда.

Так как 0001,000007,013680

1 , то можно отбросить это слагаемое и

все остальные. Возникающая при этом погрешность будет меньше,

чем 0,00007, то есть меньше 0,0001. Все вычисления мы проводили с

пятью знаками после запятой, результат округлили до четырех знаков

после запятой.

Итак,

8074,01

0

3

dxe x .

СибАДИ

44

3. Вычислим теперь интеграл 2

0

sin

dxx

x с точностью до

31050 , .

Решение. Заметим, что неопределенный интеграл dxx

xsin не

вычисляется в конечном виде («неберущийся» интеграл).

Разложим xsin в ряд и поделим почленно на x . Получим ряд

!7!5!3

1sin 642 xxx

x

x,

сходящийся при любом значении x . Интегрируя, получим

35280

2

600

2

18

2

2

!77!55!33

sin

753

2

0

7532

0

xxxxdx

x

x

.,,,,,, 37113707100070015902153057081

Первый отброшенный член

!99

2

9

много меньше, чем 31050 , .

Итак,

371,1sin2

0

dxx

x.

6. Задачи для самостоятельного решения

1. Написать формулу прямоугольников приближенного вычисления

определенного интеграла, соответствующего рис. 8.

СибАДИ

45

Рис. 8

2. Вычислить интеграл 20

0

sin,dx

x

x:

а) по формуле прямоугольников;

б) по формуле трапеций;

в) по формуле Симпсона.

3. Вычислить интеграл 2

0

2sin dxxx :

а) по формуле прямоугольников;

б) по формуле трапеций;

в) по формуле Симпсона.

4. Применяя формулу прямоугольников (n=12), приближенно вычис-

лить интеграл 2

0

sin dxxx и результат вычислений сравнить с точным

значением интеграла.

5. С помощью формулы трапеций вычислить интегралы и оценить их

погрешности:

а)

1

0 1

1dx

x (n=8);

x

у

0y

1y

2y

3y

(

x

)0x 1x 2x 3x

СибАДИ

46

б)

1

031

1dx

x (n=12);

в) 2

0

2sin4

11

dxx (n=6).

6. С помощью формулы Симпсона вычислить интегралы:

а) 9

1

dxx (n=4);

б) 2

0

sin

dxx

x (n=10);

в)

0

cos3 dxx (n=6);

г)

1

0 1lndx

x

x (n=6).

7. Вычислить определенные интегралы с точностью , раскладывая

подынтегральную функцию в ряд:

а) 20

0

sin,dx

x

x , 00010, ;

б) 50

02

cos1,dx

x

x , 00010, ;

в) 10

0

1, xdx

x

e, 0010, ;

г)

10

0

1ln,dx

x

x , 0010, ;

д) ,dxxx,

50

0

21ln 0010, ;

е) dxe x

1

0

2, 0010, .

СибАДИ

47

Ответы:

4. 2832,6 ;

5. а) 069315;

б) 0,83566;

в) 1, 4675.

6. а) 17,333;

б) 5,4024;

в) 1,37039;

г) 0,2288.

7. а) 0,1996;

б) 0,2483;

в) 0,102;

г) 0,098;

д) 0,015;

е) 0,747.