Квадратные уравнения

Исследования свойств корней квадратных уравнений в зависимости от коэффициентов

Работу выполнила: Гребенькова Иулиания Ученица 8 «а» класса МБОУ СОШ №137Руководитель: Колосова Ольга ВладимировнаУчитель математики МБОУ СОШ №137

г.Новосибирск2010

Квадратное уравнение- это уравнение вида

ax2 + bx + c=0 ,

где

а ≠ 0 и a, b ,c – некоторые числа,

x – переменная

Один из способов решения

квадратных уравнений – через дискриминант:

D = b2 – 4ac или D1= к2 - ac , где b- четное

D>0, уравнение имеет 2 корня D<0, уравнение не имеет корней D=0, уравнение имеет 1 корень

Рассмотрим случай

a +b + c=0

Решим уравнение:

7х 2 +3х – 10=0D=b 2 – 4ac; D=289.

X1,2=

Ответ: X1=1, Х2 =

х1 х2

7x 2 +3x-10=0 1 - 10/7

2x 2 -10x+8=0 1 4

3/7x 2 -4/7x+1/7=0 1 1/3

2,3x 2 -6,5x+4,2=0 1 42/23

если в квадратном уравнении

ах2 + b х + с=0 сумма коэффициентов a + b + с=0, то корни

уравнения равны

х1= 1 и х2 =

Доказательство:

Если a + b + c=0 => a + =-c

D=b 2 +4a( a+ b) = 4a 2 +4ab + b 2 = (2a+b) 2

X1=

Попробуем найти закономерность в решении уравнений , в которых:

a + b = сДля этого рассмотрим некоторые примеры:

2x 2 + 3x + 5= 0

D=b 2 – 4ac, D= -31

D<0, корней нет

10x 2 +12x+22=0D= - 736, D<0 корней нет33x 2 + 3x + 36 = 0D= - 4743, D<0 корней нетРешая эти квадратные уравнения, мы заметили:

если a+b=c, то в таком уравнении

корней нет

Рассмотрим уравнения, в которых

a + c= b 11x 2 + 24x + 13=0D= b 2 - 4ac, D=4

X1,2=

X1= -1; Х2=

Ответ: -1;

3x 2 + 10x+7=0

D=b 2 - 4ac,D=16

X1,2=

X1= 1; x2=

Ответ:-1,

х1 х2

3x 2 +10x+7=0 -1 -7/3

2x 2 +10x+8=0 -1 - 4

3/7x 2 +4/7x+1/7=0 -1 - 1/3

2,3x 2 +6,5x+4,2=0 -1 - 42/23

если a+b=c, то

х1= -1 и х2= -

Далее рассмотрим, что произойдет с корнями уравнения, если поменять местами а и с

3x 2 -14x+16=0

D=b 2 -4ac, D=4

X1,2=

X1= x2=2

Ответ: ; 2.

А теперь поменяем местами коэффициенты a и с:

16x 2 -14x+3=0

D=b 2 - 4ac, D=4

X1,2=

X1=

x2=

Ответ: ;

5x 2 -11x+2=0

D= b 2 - 4ac; D=81

X1,2=

X1=2; x2 =

Ответ: 2; .

Меняем a и с местами:

2x 2 - 11x+5=0

D= b 2 - 4ac D=81

X1,2=

X1=5 x2=

Ответ: 5;

x 2 - 8x - 84=0

D= b 2 - 4ac D=400

X1,2=

X1=14 x2= -6

Ответ:14; -6.

Меняем местами a и с:

- 84x 2 - 8x+1=0

D= b 2 - 4ac

X1,2=

X1= x2=

Ответ , .

х1 х2

3x 2 -14x+16=0 8/3 2

16x 2 -14x+3=0 1/2 3/8

х1 х2

5x 2 -11x+2=0 2 1/5

2x 2 - 11x+5=0 5 1/2

х1 х2

84x 2 - 8x+1=0 14 -6

x 2 - 8x - 84=0 - 1/6 1/14

х1 1/ х2

х2 1/ х1

Если в квадратном уравнении поменять

местами коэффициенты а и с,

то значения корней в полученном уравнении

будут взаимно обратными корням в исходном

уравнении

Рассмотрели уравнения и решили их, используя формулы дискриминанта

2х2+5х + 2 = 0 ( х1= -2, х2 =- ½) , 3х2-10х + 3 = 0 ( х1= 3, х2 =1/ 3), 4х2 + 17х + 4 = 0 ( х1= -4, х2 =- 1/4), 5х2-26х + 5 = 0 ( х1= 5, х2 =1/5)

Нашли общую формулу записи этих уравнений

ax ± (a 2 +1)x + a=0

Выяснили, чему равны корни, если уравнения имеют вид

ах2 ± (а2 + 1)х + а = 0•для случая, когда второй коэффициент отрицательный•для случая, когда второй коэффициент положительный

Если уравнения имеют вид

ax 2 ± (a 2 +1)x + a=0, то его корнями являются

соответственно числа• 1/а, а (для случая, когда

второй коэффициент отрицательный);

• - 1/а, -а (для случая, когда второй коэффициент

положительный)