- · PDF file . Nguyễn Tất Thu 01699257507 Trường THPT Lê Hồng Phong 1....

Nguyễn Tất Thu 01699257507

Trường THPT Lê Hồng Phong

CHƯƠNG 3. GIỚI HẠN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

A. Tóm tắt lí thuyết I. Giới hạn hàm số 1. Định nghĩa: 1.1. Giới hạn hàm số: Cho khoảng K chứa điểm 0x . Ta nói rằng

hàm số f(x) xác định trên K (có thể trừ điểm 0x ) có giới hạn là L

khi x dần tới 0x nếu với dãy số n(x ) bất kì, n 0x K \ {x }Î

và n 0x x® , ta có: nf(x ) L® . Ta kí hiệu:

0x xlim f(x) L®

= hay f(x) L® khi 0x x® .

1.2.Giới hạn một bên: * Cho hàm số ( )y f x= xác định trên 0( ; )x b .Số L gọi là giới hạn

bên phải của hàm số ( )y f x= khi x dần tới 0x nếu với mọi dãy

0( ) :n nx x x b< < mà 0nx x® thì ta có: ( )nf x L® . Kí

hiệu:

0lim ( )

x xf x L

+®= .

* Cho hàm số ( )y f x= xác định trên 0( ; )a x .Số L gọi là giới hạn bên

trái của hàm số ( )y f x= khi x dần tới 0x nếu với mọi dãy

0( ) :n nx a x x< < mà 0nx x® thì ta có: ( )nf x L® . Kí

hiệu:

0lim ( )

x xf x L

-®= .

Chú ý: Ta có: 0 00

lim ( ) lim ( ) lim ( )x x x x x x

f x L f x f x L+ -® ® ®

= Û = = .

1.3. Giới hạn tại vô cực * Ta nói hàm số ( )y f x= xác định trên ( ; )a +¥ có giới hạn là L khi

x ® +¥ nếu với mọi dãy số ( ) :n nx x a> và nx ® +¥ thì

( )nf x L® . Kí hiệu: lim ( )x

f x L®+¥

= .

www.VNMATH.com



* Ta nói hàm số ( )y f x= xác định trên ( ; )b-¥ có giới hạn là L khi

x ® -¥ nếu với mọi dãy số ( ) :n nx x b< và nx ® -¥

thì ( )nf x L® . Kí hiệu: lim ( )x

f x L®-¥

= .

1.4.Giới hạn vô cực * Ta nói hàm số ( )y f x= có giới hạn dần tới dương vô cực khi x dần

tới 0x nếu với mọi dãy số 0( ) :n nx x x® thì ( )nf x ® +¥ . Kí

hiệu:0

lim ( )x x

f x®

= +¥ .

* Tương tự ta cũng có định nghĩa giới hạn dần về âm vô cực * Ta cũng có định nghĩa như trên khi ta thay 0x bởi -¥ hoặc+¥ .

2. Các định lí về giới hạn Định lí 1: Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương (mẫu số dẫn về

0L ¹ ) khi 0x x® (hay ;x x® +¥ ® -¥ ) bằng tổng, hiệu, tích,

thương của các giới hạn đó khi 0x x® (hay ;x x® +¥ ® -¥ ) .

Chú ý: Định lí trên ta chỉ áp dụng cho những hàm số có giới hạn là hữu hạn. Ta không áp dụng cho các giới hạn dần về vô cực Định lí 2: (Nguyên lí kẹp) Cho ba hàm số ( ), ( ), ( )f x g x h x xác định trên K chứa điểm 0x (có thể

các hàm đó không xác định tại 0x ). Nếu ( ) ( ) ( ) g x f x h x x K£ £ " Î

và 0 0

lim ( ) lim ( )x x x x

g x h x L® ®

= = thì0

lim ( )x x

f x L®

= .

3. Một số gới hạn đặc biệt

* 2

( )lim k

xx

x®+¥®-¥

= +¥ ; 2 1

( )lim ( )k

xx

x +®+¥®-¥

= +¥ -¥

* 0 0

lim ( ) ( ) lim 0 ( 0)( )x x x xkf x kf x® ®

= +¥ -¥ Û = ¹

*0 0

sinlim lim 1sinx xx x

x x® ®= = , từ đây suy ra

0 0tanlim lim 1tanx x

x xx x® ®

= = .

www.VNMATH.com



*

1

01lim (1 ) lim (1 )xx

x xx ex® ®±¥

+ = + =

0 0ln(1 ) 1lim lim 1

x

x xx e

x x® ®+ -Þ = =

Chú ý : Ta thường sử dụng các giới hạn đặc biệt trên để tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực, giới hạn các hàm số lượng giác và giới hạn hàm lũy thừa, mũ và logarít. II. Hàm số liên tục 1. Định nghĩa : *Cho hàm số ( )y f x= xác định trên khoảng K và 0x KÎ .

( )y f x= liên tục tại 0

0 0lim ( ) ( )x x

x f x f x®

Û = .

* ( ) y f x= liên tục trên một khoảng nếu nó kiên tục tại mọi điểm của khoảng đó

* ( ) y f x= liên tục trên đoạn ;a bé ùë û nếu nó liên tục trên ( );a b

và lim ( ) ( )x a

f x f a+®

= , lim ( ) ( )x b

f x f b-®

=

2. Định lý : Định lý 1 : a) Hàm số đa thức liên tục trên tập R b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng Định lý 2 : Các hàm số ( )y f x= , ( )y g x= liên tục tại 0x . Khi đó

tổng,hiệu,tích liên tục tai x0,thương ( )( )

f xy

g x= liên tục nếu 0( ) 0g x ¹

Định lý 3 : Cho hàm số f liên tục trên đoạn ;a bé ùë û .Nếu ( ) ( )f a f b¹

và M là một số nằm giữa ( ) , ( )f a f b thì tồn tại ít nhất một số

( );c a bÎ sao cho ( ) f c M=

Hệ quả : Cho hàm số f liên tục trên đoạn ;a bé ùë û .

Nếu ( ) ( ) 0f a f b < thì tồn tại ít nhất một số ( );c a bÎ sao cho

( ) 0f c = . III. Đạo hàm

www.VNMATH.com



1. Đạo hàm tại một điểm Hàm số ( )y f x= liên tục trên ( ; )a b , được gọi là có đạo hàm tại

0 ( ; )x a bÎ nếu giới hạn sau tồn tại (hữu hạn): 0

00

( ) ( )limx x

f x f xx x®

-

- và

giá trị của giới hạn đó gọi là giá trị đạo hàm của hàm số tại điểm

0x .Ta kí hiệu 0'( )f x .

Vậy 0

00

0

( ) ( )'( ) limx x

f x f xf x x x®

-=

-

2. Đạo hàm bên trái, bên phải

0

00

0

( ) ( )'( ) limx x

f x f xf x x x+

+

®

-=

-.

0

00

0

( ) ( )'( ) limx x

f x f xf x x x-

-

®

-=

-.

Hệ quả : Hàm ( )f x có đạo hàm tại 0 0 ( )x f x+Û $ và 0'( )f x- đồng

thời 0 0'( ) '( )f x f x+ -= .

3. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn * Hàm số ( )f x có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên ( ; )a b nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc ( ; )a b . * Hàm số ( )f x có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên [ ; ]a b nếu nó có đạo

hàm tại mọi điểm thuộc ( ; )a b đồng thời tồn tại đạo hàm trái '( )f b-

và đạo hàm phải '( )f a+ . 4. Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục Định lí: Nếu hàm số ( )f x có đạo hàm tại 0x thì ( )f x liên tục tại

0x .

Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm 0x nhưng hàm đó không có đạo hàm tại 0x .

Chẳng hạn: Xét hàm ( ) | |f x x= liên tục tại 0x = nhưng không liên tục tại điểm đó.

Vì0

( ) (0)lim 1x

f x fx+®

-= , còn

0

( ) (0)lim 1x

f x fx-®

-= - .

IV. Nguyên hàm

www.VNMATH.com



1. Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên K . Hàm số F được gọi

là nguyên hàm của f trên K nếu '( ) ( ) F x f x x K= " Î .

2. Các tính chất

Định lí 1. Nếu F là một nguyên hàm của hàm f trên K thì mọi

nguyên hàm của f trên K đều có dạng ( ) , F x C C+ Î ¡ . Do vậy

( )F x C+ gọi là họ nguyên hàm của hàm f trên K và được kí hiệu

( ) ( )f x dx F x C= +ò .

Định lí 2. Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K

Định lí 3. Nếu ,f g là hai hàm liên tục trên K thì:

a) [ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = +ò ò ò

b) . ( ) ( )k f x dx k f x dx=ò ò với mọi số thực 0k ¹ .

Định lí 4. Nếu ( ) ( )f x dx F x C= +ò thì

( ( )). '( ) ( ( )). ( ( )) ( ( ))f u x u x dx f u x d u x F u x C= = +ò ò .

3. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp

Các hàm sơ cấp thường gặp Nguyên hàm các hàm hợp

( ( ))u u x=

* xdx x C= +ò

*

1 ( 1)1

xx dx Ca

a aa

+= + ¹ -

+ò

* ln | |dx x Cx = +ò

* x xe dx e C= +ò

* udu u C= +ò

* 1

1uu du Ca

aa

+= +

+ò

* ln | |du u Cu = +ò

* u ue du e C= +ò

www.VNMATH.com



* lnxx aa dx Ca= +ò

* sin cosxdx x C= - +ò

* cos sinxdx x C= +ò

* 2 tancosdx x C

x= +ò

* 2 cotsindx x C

x= - +ò

* 2dx x Cx= +ò

* lnuu aa du Ca= +ò

* sin . cosu du u C= - +ò

* cos sinudu u C= +ò

* 2 tancosdu u C

u= +ò

* 2 cotsindu u C

u= - +ò

* 2dx u Cu= +ò

Nếu u ax b= + thì ta có:

* 1 ln | |dx ax b Cax b a= + +

+ò

* 1ax b ax be dx e Ca

+ += +ò

*cos( )sin( ) ax bax b dx Ca

++ = - +ò

*sin( )cos( ) ax bax b dx Ca

++ = +ò

* 21 tan( )

cos ( )dx ax b Caax b

= + ++

ò

* 21 cot( )

sin ( )dx ax b Caax b

= - + ++

ò

*2dx ax b Caax b

= + ++

ò

www.VNMATH.com



4. Các phương pháp tính nguyên hàm

Phương pháp phân tích: Để tìm nguyên hàm ( )f x dxò , ta phân tích

1 1 2 2( ) . ( ) . ( ) ... . ( )n nf x k f x k f x k f x= + + +

Trong đó: 1 2( ), ( ),..., ( )nf x f x f x có trong bảng nguyên hàm hoặc ta dễ

dàng tìm được nguyên hàm

Khi đó: 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ... ( )n nf x dx k f x dx k f x dx k f x dx= + + +ò ò ò ò .

Phương pháp từng phần

Cho hai hàm số u và v liên tục trên ;a bé ùë û và có đạo hàm liên tục

trên ;a bé ùë û . Khi đó : udv uv vdu= -ò ò (1)

Để tính tích phân ( )b

aI f x dx= ò bằng phương pháp từng phần ta làm

như sau:

B1: Chọn ,u v sao cho ( )f x dx udv= (chú ý: ( ) ’dv v x dx= ).

Tính v dv= ò và ' .du u dx= .

B2: Thay vào công thức (1) và tính vduò .

Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và

tích phân vduò dễ tính hơn udvò . Ta thường gặp các dạng sau

Dạng 1 :sin( ) cos

xI P x dxxé ù

= ê úê úë û

ò , trong đó ( )P x là đa thức

Với dạng này, ta đặt sin( ), cos

xu P x dv dxxé ù

= = ê úê úë û

.

Dạng 2 : ( ) ax bvI x e dx+= ò

www.VNMATH.com



Với dạng này, ta đặt ( )ax b

u P xdv e dx+

ì =ïí

=ïî, trong đó ( )P x là đa thức

Dạng 3 : ( )ln( )I P x mx n dx= +ò

Với dạng này, ta đặt ln( )

( )u mx ndv P x dxì = +ïí =ïî

.

Dạng 4 : sincos

xxI e dxxé ù

= ê úê úë ûò

Với dạng này, ta đặt

sincosx

xu xdv e dx

ì é ù=ï ê úï

í ê úë ûï =ïî

để tính vduò ta đặt

sincosx

xu xdv e dx

ì é ù=ï ê úï

í ê úë ûï =ïî

.

Phương pháp đổi biến số

Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm ( )I f x dx= ò , trong đó ta có thể

phân tích

( )( ) ( ) '( )f x g u x u x dx= thì ta thức hiện phép đổi biến số

( ) '( )t u x dt u x dx= Þ = . Khi đó:

( ) ( ) ( ( ))I g t dt G t C G u x C= = + = +ò

Chú ý: Sau khi ta tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay

( )t u x=

III. Tích phân

1.Định nghĩa: Cho hàm số ( )y f x= liên tục trên K ; ,a b là hai phần tử bất kì thuộc K , ( )F x là một nguyên hàm của ( )f x trên K . Hiệu số ( ) ( )F b F a- gọi là tích phân của của ( )f x từ a đến b và được kí hiệu:

( ) ( ) ( ) ( )b

ba

af x dx F x F b F a= = -ò .

2. Các tính chất của tích phân:

www.VNMATH.com



1) ( ) 0a

af x dx =ò 2) ( ) ( )

a b

b af x dx f x dx= -ò ò

3) . ( ) . ( )b b

a ak f x dx k f x dx=ò ò

4) [ ( ) ( )] ( ) ( )b b b

a a af x g x dx f x dx g x dx± = ±ò ò ò

5) ( ) ( ) ( )b c b

a a cf x dx f x dx f x dx= +ò ò ò .

6) Nếu ( ) ( ) ;f x g x x a bé ù³ " Î ë û thì ( ) ( )b b

a af x dx g x dx³ò ò .

3. Các phương pháp tính tích phân

Phương pháp phân tích : Để tính tích phân ( )b

aI f x dx= ò ta phân

tích

1 1( ) ( ) ... ( )m mf x k f x k f x= + + . Trong đó các hàm

( ) ( 1,2, 3,..., )if x i n= có trong bảng nguyên hàm.

Phương pháp đổi biến số loại 1

Giả sử cần tính ( )b

aI f x dx= ò ta thực hiện các bước sau

B1: Đặt ( )x u t= (với ( )u t là hàm có đạo hàm liên tục trên [ ; ]a b , ( ( ))f u t xác định trên [ ; ]a b và ( ) , ( )u a u ba b= = ) và xác định ,a b . B2: Thay vào ta có:

( )( ( )). '( ) ( ) ( ) ( )I f u t u t dt g t dt G t G Gb b

ba

a a

b a= = = = -ò ò .

Một số dạng thường dùng phương pháp đổi biến số dạng 1

* Hàm số dưới dấu tích phân chứa 2 2 2a b x- ta thường đặt

sinax tb=

www.VNMATH.com



* Hàm số dưới dấu tích phân chứa 2 2 2b x a- ta thường đặt

sinax b t=

* Hàm số dưới dấu tích phân chứa 2 2 2a b x+ ta thường đặt ax tgtb=

* Hàm số dưới dấu tích phân chứa ( )x a bx- ta thường đặt

2sinax tb=

Phương pháp đổi biến số loại 2 Tương tự như nguyên hàm, ta có thể tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số (ta gọi là loại 2) như sau.

Để tính tích phân ( )b

aI f x dx= ò , nếu ( ) [ ( )]. '( )f x g u x u x= , ta có thể

thực hiện phép đổi biến như sau B1: Đặt ( ) '( )t u x dt u x dx= Þ = . Đổi cận ( ), ( )x a t u a x b t u b= Þ = = Þ =

B2: Thay vào ta có ( )

( )( ) ( )

u bba

u aI g t dt G t= =ò .

Phương pháp từng phần : Cho hai hàm số u và v liên tục trên [a;b]

và có đạo hàm liên tục trên [a;b]. Khi đó : b b

ba

a audv uv vdu= -ò ò

(1) III. Ứng dụng tích phân

1. Tính diện tích hình phẳng Định lí 1. Cho hàm số ( )y f x= liên tục, không âm trên ;a bé ùë û .

Khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số ( )y f x= , trục hoành và hai đường thẳng

,x a x b= = là: ( )b

aS f x dx= ò .

O

y

x

b

a

( )y f x=

www.VNMATH.com



Bài toán 1: Cho hàm số ( )y f x= liên tục trên ;a bé ùë û . Khi đó diện

tích S của hình phẳng (D) giới hạn bởi: Đồ thị hàm số ( )y f x= ;

trục Ox : ( 0y = ) và hai đường thẳng ;x a x b= = là:

( )b

aS f x dx= ò .

Bài toán 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ

thị: ( ) ( )1 :C y f x= , ( ) ( )2 :C y g x= và hai

đường đường thẳng ,x a x b= = . Được xác

định bởi công thức: ( ) ( )baS f x g x dx= -ò .

Chú ý: 1) Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm như sau:

* Giải phương trình : ( ) ( )f x g x= tìm nghiệm ( )1 2, ,..., ;nx x x a bÎ

( )1 2 ... nx x x< < < .

Tính:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 21

...n

x x ba x xS f x g x dx f x g x dx f x g x dx= - + - + + -ò ò ò

( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 ...n

x ba xf x g x dx f x g x dx= - + + -ò ò .

Ngoài cách trên, ta có thể dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. 2) Trong nhiều trường hợp, bài toán yêu cầu tính diện tích hình phẳng

giới hạn bởi hai đồ thị ( ) ( )1 :C y f x= , ( ) ( )2 :C y g x= . Khi đó, ta

có công thức tính như sau:

1

| ( ) ( ) |nx

xS f x g x dx= -ò . Trong đó: 1, nx x

tương ứng là nghiệm nhỏ nhất, lớn nhất của phương trình : ( ) ( )f x g x= .

2. Tính thể tích khối tròn xoay a. Tính thể tích của vật thể

y

O a b

( )y f x=

( )y g x=

www.VNMATH.com



Định lí 2. Cắt một vật thể C bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại , ( )x a x b a b= = < . Một mặt phẳng bất kì vuông góc với Ox tại điểm ( )x a x b£ £ cắt C theo một thiết diện có diện tích ( )S x . Giả sử ( )S x là hàm liên tục trên [ ; ]a b . Khi đó thể tích của vật thể C giới hạn bởi hai mp(P) và (Q) được tính theo công

thức: ( )b

aV S x dx= ò .

b.Tính thể tích vậy tròn xoay Bài toán 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền D được giới hạn bởi các đường

( ); 0; ;y f x y x a x b= = = = quanh trục Ox Thiết diện của khối tròn xoay cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ bằng x là một hình tròn có bán kính

| ( ) |R f x= nên diện tích thiết diện bằng 2 2( ) ( )S x R f xp p= = . Vậy thể tích khối tròn

xoay được tính theo công thức :

2( ) ( )b b

a aV S x dx f x dxp= =ò ò .

Chú ý: Nếu hình phẳng D được giới hạn bởi các đường ( ), ( ),y f x y g x= = ,x a x b= = (Với ( ). ( ) 0 [ ; ]f x g x x a b³ " Î ) thì

thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay D quanh trục Ox được tính

bởi công thức: 2 2( ) ( )b

aV f x g x dxp= -ò .

Bài toán 2. Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường ( ), , , x g y y a y b Oy= = = quanh trục

Oy được tính theo công thức: 2( )b

aV g y dyp= ò .

B. Các ví dụ minh họa Ví dụ 1.3. Tìm các họ nguyên hàm sau

x

( )y f x=

a b

y

x O

www.VNMATH.com



1) 221(3 sin 2 cos tan )

sinI x x x dx

x= - + +ò 2) 4cos 2I xdx= ò

3) 4

2sincos

xI dxx

= ò 4) 32 1

3 2xI dx

x x+

=- +

ò .

Lời giải.

1) Ta có: 221(3 sin 2 cos 1 tan 1)

sinI x x x dx

x= - + + + -ò

3 cos 2 sin cot tanx x x x x C= - - - + - + .

2) Ta có: ( ) ( )24 21 1cos 2 1 cos 4 1 2cos 4 cos 44 4x x x x= + = + +

( )1 1 cos 8 11 2cos 4 3 4 cos 4 cos 84 2 8xx x xæ ö+

= + + = + +ç ÷è ø

1 1 1(3 4 cos 4 cos 8 ) 3 sin 4 sin 88 8 8I x x dx x x x Cæ öÞ = + + = + + +ç ÷

è øò

3) Ta có: 22

1 cos 2cos

I x dxx

æ ö= + -ç ÷

è øò

( )1 3 1tan 2 cos2 2 tan sin22 4 2 4dxx x xd x x x x C= - + + = - + +ò ò .

4) Ta có: 3 2 22 1 2 1

1 23 2 ( 1) ( 2) ( 1)x x a b c

x xx x x x x+ +

= = + +- +- + - + -

2

2( 2) ( 1)( 2) ( 1)

( 1) ( 2)a x b x x c x

x x+ + - + + -

=- +

22 1 ( 2) ( 1)( 2) ( 1)x a x b x x c xÛ + = + + - + + - (1)

Ở (1) ta cho 1; 2; 0x x x= = - = ta có tìm được: 1 11; ;3 3a b c= = = -

21 1 1 1 1

3 1 3 2( 1)I dxx xx

æ öÞ = ç + - ÷

ç ÷- +-è øò

www.VNMATH.com



1 1 1 1 1 1ln | 1 | ln | 2 | ln1 3 3 1 3 2xx x C Cx x x-

= - + - - + + = - + +- - +

Ví dụ 2.3. Tính các tích phân sau

1) 1 2

0 1

xI dxx=+ò 2)

22

0| |I x x dx= -ò 3)

2 2

0sin (2 ) 4I x dx

p

p= -ò

4) 3 2

32

2 3x xI dxx x+ +

=-

ò 5) 2

0

cossin 2 cos

xI dxx x

p

=+ò .

Lời giải.

1) Ta có: 1 12

0 0

1( 1 )1 1xI dx x dxx x= = - ++ +ò ò

1

2

0

1 1[ ln( 1)] ln2 2 2x x x= - + + = - .

2) Ta có: 2

22

khi [1;2]| | khi [0;1]

x x xx xx x x

ì - Îï- = í- + Îïî

Nên 1 2

2 2

0 1( ) ( )I x x dx x x dx= - + + -ò ò

1 23 2 3 2

0 1 13 2 3 2

x x x xæ ö æ öç ÷ ç ÷= - + + - =ç ÷ ç ÷è ø è ø

.

3) Ta có:2 2

0 0

1 1[1 cos(4 )] (1 sin 4 )2 2 2I x dx x dx

p p

p= - - = -ò ò

20

1 1 cos 42 4 4x xp pé ù

= + =ê úë û

.

4) Ta phân tích: 2 2 3 ( 1) ( 1) ( 1)( 1)x x ax x bx x c x x+ + = - + + + - + Cho 0; 1; 1x x x= = - = ta tìm được: 1; 3; 3a b c= = = -

www.VNMATH.com



332

2

1 3 3 ln | 1 | 3 ln | 1 | 3 ln |1 1I dx x x xx x xé ù

é ùÞ = + - = + + - -ê ú ë û+ -ë ûò

48 ln2 4 ln 3 4 ln 3IÞ = - = .

5) Ta xác định ,a b sao cho:

cos (sin 2 cos ) (cos 2 sin )x a x x b x x= + + -2 1,5 5a bÞ = =

220

0

2 1 cos 2 sin 2 1( ) ( ln | sin 2 cos |)5 5 sin 2 cos 5 5x xI dx x x xx x

pp-

Þ = + = + ++ò

ln2

5p -

= .


1

201)

3 2xI dxx x

=+ -

ò

32

1

12) (2 )xI dxx x+

=-

ò

0

2 21

3) ( 2 2)

dxIx x-

=+ +

ò 4) 1

30 1

xI dxx

=+

ò .

Lời giải.

1) Ta có: 1

20 4 ( 1)xdxIx

=- -

ò

Đặt 1 2 sin 2 cos .x t dx t dt- = Þ =

Đổi cận: 0 ; 1 06x t x tp= Þ = - = Þ =

0 0 02 6

6 6

(1 2 sin )2 cos (1 2 sin ) ( 2 cos ) 4 4 sin

t tdtI t dt t tt

pp p

-- -

+Þ = = + = -

-ò ò

3 2 6p

= - + .

www.VNMATH.com



2) Đặt 22 sin , 0; 4 sin cos2x t t dx t tdtpé ù= Î Þ =ê ú

ë û

Đổi cận:

1 3 31 sin ; sin4 2 2 32x t t x t tp p= Þ = Þ = = Þ = Þ =

23 3 22 2

4 4

(2 sin 1)4 sin cos 2 (2 sin 1)2 sin (2 2 sin )

t t tdtI t dtt t

p p

p p

+Þ = = +

-ò ò

3 3

44

1 2 6 3 32 (2 cos2 ) 2(2 sin2 ) 2 6t dt t t

p p

pp

p + -= - = - =ò .

3) Ta có: 0

221 ( 1) 1

dxIx-

=é ù+ +ê úë û

ò

Đặt 21 tan , [0; ) (1 tan )2x t t dx t dtp+ = Î Þ = +

Đổi cận: 1 0; 0 4x t x t p= - Þ = = Þ = .

24 4 422 2

0 0 0

1 tan 1cos (1 cos2 )2(1 tan )tI dt tdt t dtt

p p p

+Þ = = = +

+ò ò ò

4

0

1 1 2( sin2 ) 2 2 8t tp

p += + = .

4) Ta có: 1

30 1xdxI

x=

+ò .

Đặt 22

3 2tan (1 tan )2 3 cosdtx x t xdx t dt xdx

t= Þ = + Þ =

www.VNMATH.com



4 4 4

22 20 0 0

2 2 2 (sin )3 cos 3 1 sin3.cos 1 tan

dt dt d tI t tt t

p p p

Þ = = =-+

ò ò ò

( )4

0

1 1 sin 2ln ln 2 1 .3 1 sin 3tt

p

+= = +

-

Ví dụ 4.3. Tính các tích phân

3

4

6

1) 1 tan

dxIx

p

p

=+

ò 4

02) ln(1 tan )I x dx

p

= +ò

3) 1

3 2

1ln ( 1)I x x dx

-

= + +ò 4) 2 2

2

2 12 1xxI dx

-

+=

+ò

5) 20

sin4 sinx xI dx

x

p=

+ò .

Lời giải.

1) Đặt 2t x dx dtp= - Þ = -

Đổi cận: ; 3 6 6 3x t x tp p p p= Þ = = Þ = .

4 43 3 3

4 4 4

6 6 6

tan . tan .1 cot 1 tan 1 tan

dt t dt x dxIt t x

p p p

p p p

Þ = = =+ + +

ò ò ò

43 3 3

4 4

6 6 6

tan .2 .6 121 tan 1 tandx x dxI I I dx I

x x

p p p

p p p

p pÞ = + = + = = Þ =

+ +ò ò ò

2) Đặt 4x t dx dtp= - Þ = - . Đổi cận

0 ; 04 4x t x tp p= Þ = = Þ = .

www.VNMATH.com



0 4

04

1 tanln[1 tan( )] ln(1 )4 1 tantI t dt dtt

p

p

p -= - + - = +

+ò ò

4

0[ln2 ln(1 tan )]t dt

p

= - +ò4

0

ln2ln2. 2 4dt I I

p

p= - Þ =ò

. ln2 .8I pÞ =

3) Ta có: 0 1

3 2 3 2

1 0ln ( 1) ln ( 1)I x x dx x x dx

-

= + + + + +ò ò

Đặt t x dx dt= - Þ = - . Khi đó: 0 1

3 2 3 2

1 0ln ( 1) ln ( 1)x x dx t t dt

-

+ + = - + +ò ò

1 13 2 3 2

0 0ln ( 1) ln ( 1)t t dt x x dx= - + + = - + +ò ò 0IÞ = .

Chú ý: Bằng cách làm tương tự ta giải được bài toán tổng quát sau

Cho ( )a

aI f x dx

-

= ò . Ta có a) 0

2 ( )a

I f x dx= ò nếu f là hàm số chẵn

b) 0I = nếu f là hàm số lẻ

4) Ta có 0 12 2

2 0

2 1 2 12 1 2 1x xx xI dx dx

-

+ += +

+ +ò ò

Đặt t x= - ta có : 0 2 22 2 2

2 0 0

2 1 2 1 (2 1)22 1 2 1 2 1

t

x t tx t tdx dt dt

--

+ + += =

+ + +ò ò ò

2 2

0

(2 1)22 1

x

xx dx+

=+

ò

2 2 22 22

0 0 0

(2 1)2 2 1 (2 1)2 1 2 1

x

x xx xI dx dx x dx+ +

Þ = + = ++ +

ò ò ò

www.VNMATH.com



2

3

0

2 22( ) 3 3x x= + = .

Chú ý : Với cách làm tương tự ta có tính chất tổng quát sau

Nếu f là hàm số chẵn thì 0

( ) ( )1

b b

xb

f x dx f x dxa-

=+

ò ò .

5) Đặt x tp= - ta có

2 2 20 0 0

( )sin sin sin4 sin 4 sin 4 sin

I

t t t t tI dt dt dtt t t

p p pp p-= = -

+ + +ò ò ò

1442443

2 20 0 0

sin (cos ) 5 cosln 2 24 sin 5 cos 4 5 5 cosx d x xI dx

x x x

pp pp p p += = =

+ - -ò ò

5 1 5 1 5 5 1ln ln ln5 24 5 5 1 5 1

p pé ù- + -= - =ê ú

ê ú+ -ë û.

Chú ý: Tương tự ta có: 0 0

(sin ) (sin )2xf x dx f x dxp pp

=ò ò .


1) 2 2 2

3

1 xI dxx+

= ò 2 3

25

2) 4

dxIx x

=+

ò (A – 2003 )

3) 3

312

2 2xdxIx

-

=+

ò (A1-2008) 4) 2

1 1 1xI dxx

=+ -

ò (A – 2004 )

Lời giải.

1) Ta có 2 2 2

23

1.x xdxIx+

= ò .

Đặt 2 2 21 1t x x t xdx tdt= + Þ = - Þ =

Đổi cận: 3 2; 2 2 3x t x t= Þ = = Þ =

www.VNMATH.com



33 3

22 2 2

. 1 1 1(1 ) ln ( 1)( 1) 2 11t tdt tI dt tt t tt

æ ö-= = + = +ç ÷ç ÷- + +- è øò ò

1 1 1 1 1 33 ln 2 ln 1 ln .2 2 2 3 2 2= + - - = +

2) Ta có: 2 3

2 25 4

xdxIx x

=+

ò

Đặt 2 2 24 4t x x t xdx tdt= + Þ = - Þ =

Đổi cận: 5 3; 2 3 4x t x t= Þ = = Þ = 44 4

2 23 3 3

1 2 1 5ln ln4 2 4 3( 4) 4tdt dt tI tt t t

-Þ = = = =

+- -ò ò .

3) Đặt 33 3 22 32 2 2 2 2 2tt x t x x dx t dt-

= + Û = + Û = Þ =

Đổi cận : 1 12x t= - Þ = ; 3 2x t= Þ = .Ta có :

22 23 2 4 5 2

11 1

( 2) 3 3 3 3 3.2 2 4 2 20 4tI t dt t t dt t tt

æ ö æ ö-= = - = -ç ÷ ç ÷

è ø è øò ò

24 3 3 1235 20 4 5æ ö æ ö

= - - - =ç ÷ ç ÷è ø è ø

.

4) Đặt 21 1 1 ( 1) 2( 1)t x x t dx t dt= + - Þ = + - Þ = - Đổi cận: 1 1; 2 2x t x t= Þ = = Þ =

2 222

1 1

( 2 2)( 1) 22 2 ( 3 4 )t t tI dt t t dtt t- + -

Þ = = - + -ò ò

23 2

1

3 112 4 2 ln 4 ln23 2 3t t t tæ öç ÷= - + - = -ç ÷è ø

.

www.VNMATH.com



Chú ý: Khi gặp tích phân dạng 1,n k k kI f ax b x x dxb

a

-é ù= +ê úë ûò ta có

thể đổi biến bằng cách đặt n kt ax b= + . Ví dụ 6.3. Tính các tích phân sau

2 5

01) sinI xdx

p

= ò 2

0

sin2 sin2) 1 3 cos

x xI dxx

p

+=

+ò (A – 2005 )

3

03)

cos .cos 3

dxIx x

p

p=

æ ö-ç ÷

è ø

ò 4

30

sin4) (sin 2 cos )

xdxIx x

p

=+

ò

46

0

tan5) cos2xI dxx

p

= ò (A – 2008 )

6) 2

2 20

sin24 sin cos

xI dxx x

p

=+

ò (A – 2006 ).

Lời giải.

1) Ta có: 2 2 2

0(1 cos ) sinI x xdx

p

= -ò . Đặt sin cost x dt xdx= Þ =

Đổi cận : 0 0; 12x t x tp= Þ = = Þ =

1 12 2 2 4

0 0

8(1 ) (1 2 ) 15I t dt t t dtÞ = - = - + =ò ò .

2) Đặt

2 1cos 31 3cos 3 sin2 1 3cos

txt x xdt dx

x

ìï -ïï =ïï= + Þ íïï = -ïï +ïî

www.VNMATH.com



Đổi cận: 0 2, 12x t x tp= Þ = = Þ = .

( )1 22 2

2 1

1 2 22 1 2 13 3 9tI dt t dt

æ öæ ö÷-ç ÷÷çç ÷= + - = +÷çç ÷÷çç ÷ç÷è ø÷çè øò ò

23

1

2 2 349 3 27

t t æ ö÷ç ÷ç= + =÷ç ÷ç ÷÷çè ø

.

3) Ta có: 3 3

20 0

2 2cos (cos 3 sin ) cos (1 3 tan )

dx dxIx x x x x

p p

= =+ +

ò ò

Đặt 2tancosdxt x dt

x= Þ =

Đổi cận: 0 0; 33x t x tp= Þ = = Þ =

3 3

00

2 3 4 32 ln | 1 3 | ln23 31 3dtI t

tÞ = = + =

+ò .

4) Ta có: 4 4

3 3 2 30 0

sin tancos (2 tan ) cos (2 tan )

xdx xdxIx x x x

p p

= =+ +

ò ò

Đặt 2tancosdxt x dt

x= Þ =

Đổi cận: 0 0; 14x t x tp= Þ = = Þ =

1 1

3 2 30 0

1 2(2 ) ( 2) (2 )

tdtI dtt t t

æ öÞ = = ç - ÷

ç ÷+ + +è øò ò

1

20

1 1 1 2 36( 2)t tæ ö

= ç- + ÷ =ç ÷+ +è ø

.

5) Đặt 2tan1dtt x dxt

= Þ =+

. Khi đó: 2

21cos21

txt

-=

+

www.VNMATH.com



Đổi cận:10 0; 6 3

x t x tp= Þ = = Þ = .

1 1 13 3 34 2 4

22 2 2 2

0 0 0

(1 ) 1(1 )(1 ) 1 1t t dt t dt dtI t dt

t t t tæ ö+

Þ = = = - -ç ÷+ - - -è ø

ò ò ò

13 3

0

1 1 1 3 1 10 3ln ln2 1 3 2 273 1t t tt

æ ö- -ç ÷= - - = -ç ÷+ +è ø

.

6) Đặt 2 22 2

3 sin24 sin cos4 sin cos

xt x x dt dxx x

= + Þ =+

2 2sin2 1

3sin cosx dx dt

a x b xÞ =

+.

Đổi cận 0 1; 22x t x tp= Þ = = Þ =

2

1

1 13 3I dtÞ = =ò .

Chú ý:

1) Khi gặp tích phân có dạng sinnI xdx= ò

* Nếu n chẵn thì ta hạ bậc * Nếu n lẻ ta đặt sint x=

2) Đối với tích phân sin .cosb

n m

aI x xdx= ò ta có các TH sau

* Nếu n chẵn, m lẻ ta đặt sint x= * Nếu n lẻ, m chẵn ta đặt cost x= 3) Ngoài những cách trên ta lưu ý khi gặp tích phân

(sin , cos )b

aI R x x dx= ò ta có thể đặt tan 2

xt = ta chuyển được tích

phân đã cho về tích phân của hàm hữu tỉ.

4) Khi gặp tích phân dạng (tan )b

aI f x dx= ò (hoặc (cot )

b

aI f x dx= ò )

Ta có thể đặt tant x= (hoặc cott x= ).

www.VNMATH.com




1) 1

1 3 ln .lne x xI dxx+

= ò (B – 2004)

2) ln 8

2

ln 31 .x xI e e dx= +ò (D1 – 2004 ).

22

03) ln(sin 1 sin )I x x dx

p= + +ò

4) 2 1 sin

0

(1 cos )ln 1 sinxxI dxx

p++

=+ò .

Lời giải.

1) Đặt 2 1 21 3 ln ln 3 3t dxt x x tdtx-

= + Þ = Þ =

Đổi cận: 1 1; 2x t x e t= Þ = = Þ = 22 2 5 3

2 4 2

1 1 1

2 2 2 116( 1) ( ). ( ) 9 9 9 5 3 135t tI t t tdt t t dtÞ = - = - = - =ò ò .

2) Ta có: ln 8

ln 31 . . .x x xI e e e dx= +ò

Đặt 21 1 2x x xt e e t e dx tdt= + Þ = - Þ = Đổi cận: ln 3 2; ln 8 3x t x t= Þ = = Þ =

33 3 5 32 4 2

2 2 2

10762 ( 1) 2 ( ) 2 5 3 15t tI t t tdt t t dtæ öç ÷Þ = - = - = - =ç ÷è ø

ò ò .

Chú ý :

* Khi gặp tích phân dạng (ln )b

a

dxI f x x= ò thì ta đặt :

lnt x=dxdt xÞ = .

www.VNMATH.com



* Khi gặp tích phân dạng ( )b

mx n

aT f e dx+= ò thì ta đặt mx nt e +=

1mx n dtdt me dx dx m t+Þ = Þ = .

3) Đặt t x dx dtp= - Þ = Đổi cận: 0 ; 2x t x tp p p= Þ = - = Þ =

2ln sin 1 sinI x x dxp

p-

æ öÞ = - + +ç ÷è øò

Vì hàm số 2( ) ln sin 1 sinf x x xæ ö= - + +ç ÷è ø

là hàm số lẻ nên

0IÞ = .

4) Ta có: 2 2

0 0(1 sin )ln(1 cos ) ln(1 sin )I x x dx x dx M N

p p

= + + - + = -ò ò

Đặt 2

0(1 cost)ln(1 sin )2t x M t dt

p

p= - Þ = + +ò

2

0cos .ln(1 sin )N x x dx

p

= + +ò

2 2

0 0cos . ln(1 sin ) cos ln(1 sin )I N x x dx N x x dx

p p

Þ = + + - = +ò ò

Đặt cosln(1 sin )

1 sincos sin 1

xu x du dxxdv xdx v x

ìì = + =ï ïÞ +í í=ï ï = +î î

22200 0

(1 sin ).ln(1 sin ) cos . 2 ln2 sin|I x x x dx x

ppp

Þ = + + - = -ò

2 ln2 1= - .

www.VNMATH.com



Ví dụ 8.3. Tính các tích phân sau 2

2 1

01) ( 2) xI x e dx+= -ò

02

12) (2 1)ln( 2)I x x x dx

-

= + + +ò

2 2

03) cos . xI x e dx

p

= ò 2

04) sin .ln(1 sin )I x x dx

p

= +ò

3

20

sin5) cosx xI dx

x

p

= ò 1

2

06) ln( 1 )I x x dx= + +ò .

Lời giải.

1) Đặt 2 1 2 12

12

x x

du dxu xdv e v e+ +

ì =ì = -ï ïÞí í= =ï ïî î

2 32 1 2 2 1 2 1 2

0 00

1 1 1 5( 2)2 2 4 4x x x e eI x e e dx e e+ + + -

Þ = - - = - =ò .

2) Đặt 2 3 2

1ln( 2) 22 1(2 1)3 2

du dxu x xdv x x dx v x x x

ì=ì = + ïï ï +Þí í

= + +ï ïî = + +ïî

0 3 23 2 0

11

2 1 1 4 3 6( )ln( 2)3 2 6 2x x xI x x x x dxx-

-

+ +Þ = + + + -

+ò

02 3 2 0

11

1 32 1 4 5(4 5 16 ) ( 16 32 ln( 2))6 2 6 3 2x x dx x x x xx --

= - - + - = - - + - ++ò

16 119ln23 396= - .

3) Đặt : 2 2

sincos12

x x

du xu xdv e dx v e

ì = -ì =ï ïÞí í= =ï ïî î

www.VNMATH.com



22 220

0

1 1 1 1cos . sin .2 2 2 2x xI x e x e dx J

pp

Þ = + = - +ò

Tính2 2

0sin . xJ x e dx

p

= ò :

Đặt 2 2

cossin12

x x

du xdxu xdv e dx v e

ì =ì =ï ïÞí í= =ï ïî î

222 20 0

1 1 1 1sin | cos .2 2 2 2x xJ e x x e dx e I

pp

pÞ = - = -ò

1 1 1 1 5 2 2( )2 2 2 2 4 4 5I e I I Ip p p- -Þ = - + - Þ = Þ = .

4) Đặt cosln(1 sin )

1 sinsin cos

xu x du dxxdv xdx v x

ìì = + =ï ïÞ +í í=ï ï = -î î

.

22 220

0 0

coscos . ln(1 sin ) (1 sin )1 sinxI x x dx x dxx

p pp

= - + + = -+ò ò

20( cos ) 12x xp p

= + = - .

5) Đặt 2

sin 1coscos

u x du dxxdv dx v xx

ì = ì =ï ïÞí í= =ï ïîî

330

0

2|cos cos 3x dxI Jx x

pp

pÞ = - = -ò

Mà : 3 3

20 0

cos (sin )(1 sin )(1 sin )1 sin

xdx d xJ x xx

p p

= =- +-

ò ò

www.VNMATH.com



3 3

00

1 1 1 1 1 sin( ) (sin ) ln | | ln(2 3)2 1 sin 1 sin 2 1 sinxd xx x x

p p+

= + = = +- + -ò

2 ln(2 3)3I p

Þ = - + .

6) Đặt 2

2ln( 1)1

dxduu x xxdv dx v x

ìì =ï= + +ï Þí í +=ï ï =î î

12 1

0 20ln( 1) |

1xdxI x x xx

Þ = + + -+

ò

2 10ln(1 2) 1 | ln(1 2) 1 2I x= + - + = + + - .


1 522

4 21

11) 1

xI dxx x

+

+=

- +ò

1 6 11 2 62 22

6 31 5

2

( 1)( 2 1)2) 14 1

x x xI dxx x

+ + +

+

+ + -=

+ -ò

3) 2 2 2

0.

aI x x a dx= +ò

Lời giải.

1) Ta có:

1 5 1 52 22 2

2 21 12

1 11 1

1 11 ( ) 1x xI dx dx

x x xx

+ ++ +

= =+ - - +

ò ò .

www.VNMATH.com



Đăt 21 1(1 )t x dx dxx x

= - Þ = + .

Đổi cận:1 51 0; 12x t x t+

= Þ = = Þ =

1

20 41

dtIt

pÞ = =

+ò .

2) Đặt 1 6 11 2 6

2a + + += . Ta có :

2 2

3 21 5 1 532 2

1 1 1 1( 2)(1 ) ( 2)(1 )

1 1 114 ( )[( ) 3] 14

a ax xx xx xI dx dxx x xx xx

+ +

- + + - + += =

- + - - + +ò ò

Đặt 21 1(1 )t x dt dxx x

= - Þ = +

Đổi cận : 1 5 1; 1 62x t x a t+

= Þ = = Þ = + .

6 6 6

3 2 21 1 1

2 23 14 ( 2)( 2 7) 2 7

t t dtI dt dtt t t t t t t

+ +Þ = = =

+ + + - + - +ò ò ò .

Đặt 21 6 tan 6(1 tan )t u dt u du- = Þ = +

Đổi cận : 1 0; 1 6 4t u t u p= Þ = = + Þ =

24

20

6(1 tan ) 646(1 tan )

u duIu

p

p+Þ = =

+ò .

3) Đặt : 2 2 2 22 2 1 ( )3

du dxu xv x a x adv x x a dx

ì =ì =ï ïÞí í= + += +ï ïî î

www.VNMATH.com



3 22 2 2 2 2 2 22

0 00

1 1( )3 3 3

a a aaI x x a x x a dx x a dx= + - + - +ò ò

3 2

2 21 1(2 )3 3 3aa a I J= - - .

Tính 2 2

0

aJ x a dx= +ò ?

2 2 22 2

2 2 2 2 2 20 0 0

a a ax a x dxJ dx dx a M a Nx a x a x a+

= = + = ++ + +

ò ò ò

Tính 2

2 20

a xM dxx a

=+

ò ?

Đặt 2 22 2

u x du dxxdv dx v x a

x a

ì = ì =ï ïÞí í= = +ï ïî+î

2 2 2 2 20 0

2aa

M x x a x a dx a JÞ = + - + = -ò

Tính 2 20

a dxNx a

=+

ò ?

Đặt 2 2 2 20

ln( ) ln(1 2)a

t x x a N x x a= + + Þ = + + = +

2 2 22 ln(1 2)2 ln(1 2) 2J a J a J a+ +Þ = - + + Þ =

Vậy 47 2 ln(1 2)8I a- +

= .

Ví dụ 10.3. Tính diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường

1) ; 1; 2xy xe x x= = - = và trục Ox .

2) ( ) 2: 3P y x x= + - và đường thẳng 2 1y x= - .

www.VNMATH.com



3) 2| 4 3 |y x x= - + và 3y x= + (A-2002).

4) 2 2; y x x y= = - .

5) y x= ; 2(2 tan )y x x= + và 4x p= .

6) 2

2 8; ;8xy x y y x= = =

Lời giải.

1) Ta có: 2 3 2 2

2 2

| sin cos | sin (1 sin )cosDS x x dx x x xdxp p

p p

= = - -ò ò

Đặt sin cos .t x dt x dx= Þ = . Đổi cận:

1; 02x t x tp p= Þ = = Þ =

10 1 3 52 2 2 4

1 0 0

2(1 ) ( ) 3 5 15Dt tS t t dt t t dtæ öç ÷Þ = - - = - = - =ç ÷è ø

ò ò (đvdt).

2) Parabol (P) và đường thẳng : 2 1d y x= - cắt nhau tại hai điểm lần

lượt có hoành độ 1; 2x x= - = . Trên đoạn 1;2é ù-ë û ta thấy đường

thẳng d nằm trên Parabol (P) nên ta có diện tích cần tính là: 2

2

1(2 1) ( 3)S x x x dx

-

é ù= - - + -ê úë ûò

22 3 22

1 1( 2) 23 2

x xx x dx x- -

æ öç ÷= - + + = - + +ç ÷è ø

ò

8 1 1 92 4 23 3 2 2= - + + - - + = (đvdt).

3) Ta thấy phương trình : 2| 4 3 | 3x x x- + = + có hai nghiệm 0; 5x x= =

Dựa vào đồ thị, ta có: 5

2

0( 3 | 4 3 |)S x x x dx= + - - +ò

y

www.VNMATH.com



1 3 52 2 2

0 1 3(5 ) ( 3 6) (5 )x x dx x x dx x x dx= - + - + + -ò ò ò

1 3 52 3 3 2 2 3

0 1 3

5 3 5( ) ( 6 ) ( )2 3 3 2 2 3x x x x x xx= - + - + + -

1096= .

4) Hình phẳng D được giới hạn bởi hai đồ thị 2y x= và y x= - . Hai đồ thị này cắt nhau tại hai điểm lần lượt có hoành độ là

1; 0x x= - = .

( )0 1

2 2

1 0( )DS x x dx x x dx

-

Þ = - - = -ò ò13

0

2 13 3 3

xx xæ öç ÷= - =ç ÷è ø

.

5) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường đã cho

2(2 tan ) 0x x x x= + Û =

và 2 2(2 tan ) (1 tan ) 0 0; 4x x x x x x pé ù+ - = + ³ " Î ê ú

ë û nên diện tích

1

3

8

53O

y

1

1-

x

www.VNMATH.com



cần tính là: 4 2

0(1 tan )DS x x dx

p

= +ò

Đặt 2 tan(1 tan )u x du dx

v xdv x dxì = ì =ï ïÞí í == + ïï îî

44 40 0

0

1tan tan ln | cos | ln24 4 2DS x x xdx x

pp pp p

Þ = - = + = -ò .

6) Hai đường 2y x= và 2

8xy = cắt nhau tại

điểm có hoành độ 0x = .

Hai đường 2y x= và 8y x= cắt nhau tại điểm

có hoành độ 2x = .

Hai đường 8y x= và

2

8xy = cắt nhau tại

điểm có hoành độ 4x = .

Ta có: 2 42 2

2

0 2

8( ) ( )8 8Dx xS x dx dxx= - + -ò ò

2 43 3

0 2

7 8 ln 3 24x xx

æ ö æ öç ÷ ç ÷= + - =ç ÷ ç ÷è ø è ø

21 8 ln2- .

Ví dụ 11.3. Xét hình phẳng (H) bị chắn phía dưới bởi Parabol (P): 2y x= và phía trên bởi đường thẳng đi qua (1;4)A có hệ số góc k .

Tìm k để (H) có diện tích nhỏ nhất? Lời giải. 1) Đường thẳng D đi qua A , hệ số góc k có phương trình :

( 1) 4 4y k x kx k= - + = - + . Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và D :

2 24 4 0 (1)x kx k x kx k= - + Û - + - = Dễ thấy (1) luôn có hai nghiệm 1 2x x< .

_x

_y

0 2 4

8y x=2y x=

2

8xy =

www.VNMATH.com



Khi đó, diện tích (H) là:

2

1

2( 4 )x

xS kx k x dx= - + -ò

2

1

32 (4 ) 2 3

x

x

k xx k xæ öç ÷= + - -ç ÷è ø

2 2 3 32 1 2 1 2 1

1( ) (4 )( ) ( )2 3k x x k x x x x= - + - - - -

22 11 2 1 2 1 23 ( ) 6(4 ) 2( ) 26

x x k x x k x x x x- é ù= + + - - + +ê úë û

22 1 ( 4 16)6x x k k-

= - + .

Do 2 2 22 1 2 1 1 2( ) ( ) 4 ( 2) 12 12x x x x x x k- = + - = - + ³

2 3 .12 4 36SÞ ³ = . Đẳng thức xảy ra 2kÛ = .

Vậy 2k = là giá trị cần tìm.

Ví dụ 12.3. Tìm m để đồ thị ( ) :C 4 22 2y x mx m= - + + cắt Ox tại bốn điểm phân biệt và diện tích hình phẳng nằm trên Ox giới hạn bởi ( )C và Ox bằng diện tích hình phẳng phía dưới trục Ox giới hạn bởi ( )C và Ox . Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và Ox :

4 22 2 0x mx m- + + = (1).

Đặt 2, 0t x t= ³ , ta có phương trình : 2 2 2 0t mt m- + + = (2). Yêu cầu bài toán (2)Û có hai nghiệm 0t > phân biệt

2' 2 02 0 2

2 0

m mS m mP m

ìD = - - >ïïÛ = > Û >íï = + >ïî

.

Gọi 1 2 1 2, (0 )t t t t< < là hai nghiệm của (2).

Khi đó (1) có bốn nghiệm theo thứ tự tăng dần là:

1 2 2 1 3 1 4 2; ; ;x t x t x t x t= - = - = = .

www.VNMATH.com



Do tính đối xứng của (C) nên yêu cầu bài toán

3 4

3

4 2 4 2

0( 2 2) ( 2 2)

x x

xx mx m dx x mx m dxÛ - + + = - + - -ò ò

5 34 24 4

4 4 42 ( 2) 0 3 10 15( 2) 05 3

x mx m x x mx mÛ - + - + = Û - + + =

4xÞ là nghiệm của hệ: 4 24 4

4 24 4

2 2 03 10 15( 2) 0x mx mx mx m

ì - + + =ïí

- + + =ïî

2 24 4

3( 2)4 12( 2) 0 mmx m x m+

Þ - + = Þ = thay vào hệ ta có được

22

2( 2)9 6( 2) 2 0 9( 2) 5 0m m m m m

m+

- + + + = Û + - = (do

2m > ) 25 9 18 0 3m m mÛ - - = Û = 4 5xÞ = .

Với 4 2 13 (1) 6 5 0 5

xm x x x

é = ±ê= Þ Û - + = Û

= ±êë.

Vậy 3m = là giá trị cần tìm. Ví dụ 13.3. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên do ta quay hình D quanh trục Ox, với D là hình giới hạn bởi các đường:

21) cos sin , 0, 0, 2y x x x y x x p= + = = = .

2) , 0, 0, 1xy xe y x x= = = = .

3) 2ln(1 ), 0, 1y x x y x= + = = . Lời giải. 1) Ta có thể tích khối tròn xoay cần tính là:

2 2 2 22 2 2

0 0 0 0( cos sin ) cos sinV y dx x x x dx x xdx xdx

p p p p

p p p p= = + = +ò ò ò ò.

www.VNMATH.com



Ta có: 2 2 22

0 0 0

1 1 1sin (1 cos2 ) sin2 2 2 2 4xdx x dx x x

p p p

pæ ö= - = - =ç ÷

è øò ò .

Đặt cos sinu x du dxdv xdx v xì ì= =ï ïÞí í= =ï ïî î

2 220

0 0cos sin sin 12x xdx x x xdx

p pp p

Þ = - = +ò ò

Vậy (3 4)( 1)2 4 4V p p p pp p +

= + + = .

2) Thể tích khối tròn xoay cần tính là: 1

2 2

0

xV x e dx= ò

Đặt 2

22

212

xx

du xu xv edv e dx

ì =ì =ï ïÞí í==ï ïî î

1 1212 2 2 20 0 0

12 2

x x xeV x e xe dx xe dxÞ = - = -ò ò

Đặt 2 212

x x

du dxu xdv e dx v e dx

ì =ì =ï ïÞí í= =ï ïî î

11 1 2 2 212 2 200 0 0

1 1 1 2 2 2 4 4x

x x x e e exe dx xe e dx +Þ = - = - =ò ò

2 2 21 12 4 4e e eV + -

Þ = - = .

3) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường 2ln(1 )y x x= +

và 0y = : 2ln(1 ) 0 0x x x+ = Û = .

Thể tích cần tính: 1

2 2

0ln(1 )V x x dxp= +ò .

www.VNMATH.com



Đặt 2 2

2 3

2ln(1 ) 1

3

xdu dxu x xdv x dx xv

ì=ì ï= +ï ï +Þí í

=ï ïî =ïî

11 13 42 2 2

20 00

2ln(1 ) ln(1 )3 3 1x xx x dx x dx

xÞ + = + -

+ò ò

12

20

ln2 2 1( 1 )3 3 1x dx

x= - - +

+ò

1 13

200

ln2 2 2( )3 3 3 3 1x dxx

x= - - -

+ò

ln2 4 2 12 ln2 16 6.3 9 3 4 36p p+ -

= + - = (đvtt).

Ví dụ 14.3. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên do ta quay D quanh trục Oy , với D là hình giới hạn bởi các đường:

1) , 2 , 0y x y x y= = - = 2 22) ( 2) 1x y- + = . Lời giải. 1) Ta có D giới hạn bởi các đường

2; 2 ; 0x y x y y= = - = .

Đường 2x y= cắt đường 2x y= - tại điểm 1y = Nên thể tích cần tính là:

1 12 4 2 4

0 0(2 ) (4 4 )V y y dy y y y dyé ù= - - = - + -ê úë ûò ò

13 52

0

324 2 3 5 15y yy y

æ öç ÷= - + - =ç ÷è ø

(đvtt).

2) Hình phẳng D được giới hạn bởi hai đường

22 1x y= - - và 22 1x y= + - Do D đối xứng qua Ox , nên thể tích cần tính là:

12 2 2 2

02 (2 1 ) (2 1 )V y y dyé ù= + - - - -ê úë ûò

12

016 1 y dy= -ò

Đặt sin cos .y t dy t dt= Þ = .

1

O x

www.VNMATH.com



Đổi cận: 0 0; 1 2y t y t p= Þ = = Þ = .

2 2 22

0 0 0

116 cos . 8 (1 cos2 ) 8 sin2 42V t dt t dt x x

p p p

pæ ö

Þ = = + = + =ç ÷è ø

ò ò

(đvtt). Ví dụ 15.3. Tính các giới hạn sau

1) 3

17 1 5 1lim 1xx xA x®

+ - -=

- 2)

347

2 20lim9 2x

x xBx®

+ - +=

+ -

3) 3

201 2 1 3lim

xx xCx®

+ - += 4)

2

3 31 2 1lim

2 2 1xx x xD

x®+¥

+ - +=

- +

5) 2 2lim ( 2 2 )x

E x x x x x x®+¥

= + - + + .

Lời giải.

1) 3

17 1 2 ( 5 1 2)lim 1xx xA x®

+ - - - -=

-

3

1 17 1 2 5 1 2lim lim1 1x xx x I Jx x® ®

+ - - -= + = +

- -

31 237( 1)lim

( 1)( (7 1) 2 7 1 4)xxI

x x x®

-=

- - + - +

31 23

7 7lim 12(7 1) 2 7 1 4x x x®= =

- + - +.

1 15( 1) 5 5lim lim 3( 1)( 5 1 1) 5 1 1x xxJ

x x x® ®

-= = =

- - + - +

Vậy94A = .

2) Ta có:

www.VNMATH.com



33

4 47 7

2 3 20 32 20 7 7lim lim

9 2 9 27

x x

x xx x x xB

x xx

® ®

+ - + --+ - + - -= =+ - + -

-

mà: 7 7

2 3 1 1lim lim7 62 3x xxx x® ®

+ -= =

- + +

3

3 327 720 3 1 1lim lim7 27( 20) 3 20 9x x

xx x x® ®

+ -= =

- + + + +.

4

4 4 43 27 79 2 1 1lim lim7 32( 9) 2( 9) 4 9 8x x

xx x x x® ®

+ -= =

- + + + + + +

Vậy

1 11126 27

1 2732

B-

= = .

3) Ta có 3

2 20 01 2 (1 ) 1 3 (1 )lim lim

x xx x x xCx x® ®

+ - + + - += -

2 3

2 320 01 2 (1 ) 1 3 (1 )lim lim( 1 2 1 ) ( 1 3 1 )x x

x x x xx x x x x x® ®

+ - + + - += -

+ + + + + +

30 01 3lim lim

1 2 1 1 3 1x xx

x x x x® ®

- - -= -

+ + + + + +1= .

4) Ta có:

22 2

3 3

1 2 1( 1 )lim

2 1( 2 )x

x xx xDx xx

®+¥

+ - +=

- +

2 2

3 3

1 2 1( 1 )

2 12

x xx x

xx

+ - += = +¥

- +

(do tử® +¥ , mẫu 3 2® ).

www.VNMATH.com



5) ) Ta có: 2 2 22 2

2 22 2 2 2 4 42 2

2 2x x x x x x xx x x x x

x x x x x+ + + - -

+ - + + =+ + + +

2

2 22 12

2 2x x xx

x x x x x+ - -

=+ + + +

2 2 2

2( 2 2 )( 2 1)

xx x x x x x x x

-=

+ + + + + + +

2

2 2 22lim

( 2 2 )( 2 1)xxE

x x x x x x x x®+¥

-Þ =

+ + + + + + +

2 1lim 42 1 2 1( 1 2 1 1)( 1 1 )x

x x x x®+¥

-= = -

+ + + + + + +

.

Ví dụ 16.3. Tìm các giới hạn sau

1) 201 coslim

xaxA

x®

-= (a là số thực khác 0)

2) 201 cos .cos2 .cos 3lim

xx x xB

x®

-=

3) 2

30tan 2lim

1 cos2xxCx®

=-

4) 2

0lim

1 sin 3 cos2xxD

x x x®=

+ -

5) 32 2

01 2 1 3lim 1 cosx

x xE x®

+ - +=

-

Lời giải.

www.VNMATH.com



1) Ta có:

22 2 220 0

2 sin sin2 2lim lim2 22

x x

ax axa aA axx® ®

æ öç ÷

= = =ç ÷ç ÷ç ÷è ø

.

2) Ta có: 21 cos .cos2 .cos 3x x x

x-

21 cos cos cos2 (1 cos 3 ) cos (1 cos2 )x x x x x x

x- + - + -

=

2 2 21 cos 1 cos 3 1 cos 2cos . cos 2 cosx x xx x x

x x x- - -

= + + .

Sử dụng kết quả bài 1 ta có:

2 20 01 cos 1 cos 3lim lim cos .cos2

x xx xB x x

x x® ®

- -= +

201 cos2lim cos 3

xxx

x®

-+ = .

3) 332 2 2

30 0tan 2 tan 2 (1 cos2 cos 2 )lim lim 1 cos21 cos2x x

x x x xC xx® ®

+ += =

--

332 2

20332 2 2

0

tan 2 (1 cos 2 cos 2 )lim2 sin

tan 22 lim ( ) .( ) (1 cos 2 cos 2 ).2 sin

x

x

x x xx

x x x xx x

®

®

+ +=

= + +

Vậy 6C = .

4) Ta có: 0

2

1lim1 sin 3 cos2x

Dx x x

x®

=+ -

Mà: 2 20 01 sin 3 cos2 1 sin 3 1lim lim

x xx x x x x

x x® ®

+ - + -= +

201 cos2lim

xx

x®

-+

0sin 3 1 53 lim ( . ) 13 21 sin 3 1x

xx x x®

= + =+ +

.

www.VNMATH.com



Vậy: 25D = .

5) Ta có:

32 2

2

02

1 2 1 3lim 1 cosx

x xxE xx

®

+ - +

=-

Mà 3 32 2 2 2

2 20 01 2 1 3 ( 1 2 1) ( 1 3 1)lim lim

x xx x x x

x x® ®

+ - + + - - + -=

30 02 2 2 232 3lim lim 0

1 2 1 (1 3 ) 1 3 1x xx x x® ®= - =

+ + + + + +;

2

20 0 2

sin1 cos 1 12lim lim2 2( )2x x

xx

xx® ®

-= = .

Vậy 0E = . Ví dụ 17.3. Tìm các giới hạn sau

1)

32 1 1 1 3 1

0lim

x x

xe eA x

+ - - -

®

-=

2) 3

0ln | | ln( 3 1 1) | 1 1 |]lim

xx x xB x®

- + + + -=

3)

2 42

03 1lim

ln( 3 4 1)

x x

xe xC

x

-

®

- +=

+ -

4) 3 1 1

204 sin 3lim

ln( 1)

x

xxD

x x

+ -

®

-=

- +.

5) tan

2

lim (sin ) x

xE x

p®

=

Lời giải. 1) Ta có:

www.VNMATH.com



3

2 1 142 0 0

31 3 130 0

1 2 1 1lim . lim2 1 1

1 1 3 1 lim . lim1 3 1

x

x xx

x x

e xA xxe x

xx

+ -

® ®

- -

® ®

- + -= -

+ -

- - --

- -

Mà

32 1 1 1 3x 1

30 01 1lim lim 1

2 1 1 1 3x 1

x

x xe e

x

+ - - -

® ®

- -= =

+ - - -;

02 1 1lim 1

xx

x®

+ -= và

3

01 3x 1lim 1

x x®

- -= -

Nên A 1 1 2Þ = + = .

2) Ta có: 33 ( 3 1 1)( 3 1 1)( 1 1)

1 1x xx x

x+ +

+ + + - =+ +

3 3ln( 3 1 1) | 1 1 | ln | | ln( 3 1 1) ln( 1 1)x x x x xÞ + + + - = + + + - + +

3

0ln( 3 1 1) ln( 1 1)lim

xx xB x®

+ + - + +Þ = =

3

0 0ln(1 1 3x) ln 2 ln(1 1 ) ln 2lim lim

x xx

x x® ®

+ + - + + -= -

3

0 0

1 1ln(1 ( 1 3x 1)) ln(1 ( 1 1))2 2lim limx x

xI Jx x® ®

+ + - + + -= - = -

Mà

3 3

0 3

1ln(1 ( 1 3 1))1 1 3 1 1 12lim . .1.12 1 2 2( 1 3 1)2x

x xI xx®

+ + - + -= = =

+ -.

0

1ln(1 ( 1 1))1 1 1 1 1 12lim . .1. .2 1 2 2 4( 1 1)2x

x xJ xx®

+ + - + -= = =

+ -

Vậy 1 1 1 .2 4 4B = - =

www.VNMATH.com



3) Ta có:

2 42 3 1ln( 3 4 1)

x xe xx

- - +=

+ -

2 422

1 3 1 1 3 4 2 (2 1). .(2 1) ln(1 ( 3 4 2)) 3 4 22

x xe x x x xx x x xx x

-é ù- + - + - -ê ú= -

ê ú- + + - + --ê úë û

.

Mặt khác :

22

20 01 3 4 2lim lim 1

ln(1 ( 3 4 2))2

x x

x xe x

xx x

-

® ®

- + -= =

+ + --

và 4 4

0 0 03 1 1 3 1 1 1 3lim lim . lim(2 1) 2 1 4x x xx x

x x x x® ® ®

+ - + -= = -

- -;

0(2 1) 2lim 33 4 2x

x xx®

-= -

+ -

3 2 7(1 ).1.( )4 3 6CÞ = + - = - .

4) Ta có: 3 1 1

24 cos 3

ln( 1)

x xx x

+ - -=

- +

3 1 1 22 2

4 1 1 cos 3 3 1 13 1 1 3 1 1 ln( 1)

x x x x xx x x x x x

+ -é ù- - - + -ê ú= +ê ú+ - + - - + -ë û

.

Mà3 1 1

04 1lim 2 ln 2

3 1 1

x

x x

+ -

®

-=

+ -;

20 0 03 1 1 3 1 1 1 3lim lim . lim 1 2x x xx x

x xx x® ® ®

+ - + -= = -

--

2 2

0 0 02

3sin ( )1 cos 3 9 2lim lim . lim 02 33 1 1 3 1 1( )2x x x

xx x

x xx® ® ®

-= =

+ - + -;

2

20lim 1

ln( 1)xx xx x®

-=

- +3 ln2DÞ = - .

www.VNMATH.com



5) Ta có: 2

sin 1lim(sin 1)1 cot.sin 1 cot

2

lim [1 (sin 1)] x

xx x

x xx

E x ep

p

®

--

-

®

= + - =

Mà

2 2

sin sinsin 1 2lim limcot tan( )2x x

xxx xp p

p

p® ®

--=

-

2

2 cos( )sin( )2 4 2 4limtan( )2x

x x

xp

p p

p®

+ -=

-

2

sin( )2 4 2lim [ cos( )] 02 4 tan( )2 4 2x

x xxx xp

p pp

p p®

- -= - + =

- -.

Vậy 0 1E e= = . Ví dụ 18.3. Tính đạo hàm của hàm số sau tại 0x =

2 1sin khi 0( )0 khi 0x xf x x

x

ì¹ï= í

ï =î

.

Lời giải.

Ta có 2 210 sinx xx£ £ và 20

lim 0x

x®

=

Nên suy ra 20

1lim sin 0 (0) ( )x

x f f xx®= = Þ liên tục tại 0x = .

0 0( ) (0) 1lim lim sin 0

x xf x f xx x® ®

-= =

Vậy '(0) 0f = . Bài tập. Bài 1.3. Tính các tích phân sau

www.VNMATH.com



1) 2

0

sin2 cos1 cos

x xI dxx

p

= +ò (B – 2005 )

2) ( )2sin

0cos cosxI e x xdx

p

= +ò (D – 2005 )

3) 3

2

0sin .tanI x xdx

p

= ò (A1 – 2005 )

4) 7

30

21

xI dxx+=+ò (A2 – 2005 )

5) 21 lneI x xdx= ò (B1 – 2005 )

6) ( )sin40 tan cos . xI x x e dxp

= +ò (B2 – 2005 )

7) 3 2

1lnln 1

e xI dxx x

=+ò (D1 – 2005 )

8) ( ) 220 2 1 cosI x xdxp

= -ò (D2 – 2005 )

9) ln 5

ln 3 2 3x xdxI

e e -= ò

+ - (B – 2006 )

10) 1 20( 2) xI x e dx= -ò (D – 2006 )

11) 6

2 2 1 4 1dxI

x x=

+ + +ò (A1 – 2006 )

12) 105 2 1

dxIx x

=- -ò (B1 – 2006 )

www.VNMATH.com



13) 13 2 ln1 2 ln

e xI dxx x

-=+ò (B2 – 2006 )

14) ( )20 1 sin2I x xdxp

= +ò (D1 – 2006 )

15) ( )21 2 lnI x xdx= -ò (D2 – 2006 )

16) 3 21

lne

I x xdx= ò (D – 2007 )

17) 4

0

2 1 1 2 1

xI dxx+

=+ +

ò (A1 – 2007 )

18) ( )1

20

14

x xI dx

x-

=-

ò (D1 – 2007 )

19) 2 2

0cosI x xdx

p

= ò (D2 – 2007 )

20) 4

0

sin( )4sin2 2(1 sin cos )

xI dxx x x

p p-=

+ + +ò (B – 2008 )

21) 2

31

lnxI dxx

= ò (D – 2008 )

22) 2

0

sin23 4 sin cos2

xdxI x x

p

=+ -ò ( A2 – 2008 )

23) 2

0

14 1xI dxx+

=+

ò (B1 – 2008 )

24) 1 3

20 4xI dx

x=

-ò (B2 – 2008 )

www.VNMATH.com



25) 1

220 4

x xI xe dxx

æ öç ÷= -ç ÷-è øò (D1 – 2008 )

26) ( )1

2

01 xI x x e dx= + +ò (D2 – 2008 )

Bài 2.3.

1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 3y x x= - + và 2 1y x= + (A2 – 2006 ).

2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: ( )1 ,y e x= +

( )1 xy e x= + (A – 2007 )

3) Cho hình H giới hạn bởi các đường ln , 0, .y x x y x e= = = Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi H quay quanh trục Ox (B – 2007 ).

4) Trong mặt phẳng Oxy cho hình ( )H giới hạn bởi các đường

24y x= và y x= . Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra do hình

( )H quay quanh trục Ox một lần (A2 – 2007 )

5) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 0y = và

( )21

1x x

yx

-=

+ (B1 – 2007 )

6) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2y x= và

22y x= - (B2 – 2007 ). Bài 3.3. Tìm các giới hạn sau

1) 4 2

325 4lim

8xx xA

x®- +=

-

2) 3 4

01 1 1 1lim

xx x xB x

a b g®

+ + + -=

3) 3

23 2lim3 2 2xx xCx®

+ -=

- -

www.VNMATH.com



4) 2

23 2 1lim

1 1xx xD

x®-¥

- + +=

+ -

5) 30sinlim

xx xE

x®

-=

6) 3 3 2

4 43 1 2 1lim

4 2xx x xF

x®-¥

+ - + +=

+

7) 3 3 2 2lim ( 3 2 )

xH x x x x

®-¥= - + -

8) 1 2lim [ ( )( )...( ) ]n nxG x a x a x a x

®+¥= + + + -

9) 01 sin coslim 1 sin cosx

mx mxM nx nx®

+ -=

+ -

10) 2

3 40sin 2lim

cos cosxxN

x x®=

-

11) 0

1lim sin ( 0)x

P x xa a

®= >

12) 2

11

1lim 2 ) xx xx

Q e --

®

æ ö= -ç ÷

è ø

13)

2 12 320

1lim1

xx

xx xRx x

+

®

æ ö- +ç ÷=ç ÷+ +è ø

14) cos cos3

20cos2lim

x x

xe xI

x

-

®

-=

15) 0ln(sin cos )lim

xx xJ x®

+=

16) 2

2

30 2 2ln(1 )lim

1x xxK

e x® -

+=

- +

Bài 4.3. Tìm m để hàm số sau có đạo hàm tại 0x = và tính '(0)f

www.VNMATH.com



tan sin

21 khi 0( )

2 1 khi 0

x xe xf x xm x

-ì -¹ï= í

ï + =î

www.VNMATH.com

- · PDF file . Nguyễn Tất Thu 01699257507 Trường THPT Lê Hồng Phong 1....

Documents

Transcript of - · PDF file . Nguyễn Tất Thu 01699257507 Trường THPT Lê Hồng Phong 1....