第五章IIR DF 的设计方法

第一节引言

一、滤波器的设计方法• 因为， DF 是一种具有频率选择性的离散线性系统。它是在确定信号与随机信号的数字处理中有着广泛的应用。• 所以，数字滤波器的设计是确定其系统函数并实现的过程。

二、滤波器设计的步骤1. 根据任务，确定性能指标。2. 用因果系统的线性时不变系统函数去逼近。3. 用有限精度算法实现这个系统函数。（包括选择运算结构、选择合适的字长、有效数字处理方法。）4. 用适当的软、硬件技术实现包括采用：通用计算机软件、数字滤波器硬件、或者二者结合。

三、性能指标• 我们在进行滤波器设计时，需要确定其性能指标。• 因为理想滤波器物理不可实现的。（由于从一个频带到另一个频带之间的突变）• 要物理可实现：应从一个带到另一个带之间设置一个过渡带且在通带和止带内也不应该严格为 1 或零。应给以较小容限。

1 、低通滤波器的性能指标

fsws

fpwp

δ2

1-δ11 Ap

Asfw

|H(ejw)| 或 |H(f) δ1: 通带的容限δ2 ：阻带容限

通带截止频率： fp(wp) 又称为通带上限频率。通带衰减： Ap

阻带截止频率： fp(ws) 又称阻带下限截止频率。阻带衰减： As

2 、高通滤波器的性能指标

fsws

fpwp

1Ap

Asfw

|H(ejw)| 或 |H(f) 通带截止频率： fp(wp) 又称为通带下限频率。通带衰减： Ap

阻带截止频率： fp(ws) 又称阻带上限截止频率。阻带衰减： As

3 、带通滤波器的性能指标

fs1ws1

fp1wp1

1Ap

Asfw

|H(ejw)| 或 |H(f) 通带截止频率：上限截止频率 fp2(wp2) ，下限截止频率 fp1(wp1) 。通带衰减： Ap

阻带截止频率：上限截止频率 fs2(ws2) ，下限截止频率 fs1(ws1) 。阻带衰减： As

fp2wp2

fs2ws2

4 、带阻滤波器的性能指标

fs1ws1

fp1wp1

1Ap

Asfw

|H(ejw)| 或 |H(f) 通带截止频率：上限截止频率 fp2(wp2) ，下限截止频率 fp1(wp1) 。通带衰减： Ap

阻带截止频率：上限截止频率 fs2(ws2) ，下限截止频率 fs1(ws1) 。阻带衰减： As

fp2wp2

fs2ws2

5 、通常具体技术指标

，即归一化）（式中均假定：

：阻带应达到的最小衰减

通带允许最大衰减：

1

)()(lg20)(

)(lg20

)()(lg20)(

)(lg20

0

0

0

j

jwsjwp

j

jwpjwp

j

eH

dBeHeH

eHAs

dBeHeH

eHAp

四、 H(z) 如何推导出（ 1 ）根据提出对滤波器的性能要求、频率特性（低、高、带通、带阻）来设计系统H(z).

(2) 根据时域波形提出要求来设计 --> 单位冲激响应 h(n) 或 g(n) 的形状。（ 3 ）有时也直接给出 H(z).( 但要求因果稳定 ).

五、确定 DF 的采用的结构及运算结构的好坏• 确定 DF 的采用的结构将会影响 DF 的精度、稳定性、经济性及运算速度等很多重要性质。• 1. 计算复杂性 一个运算结构应含有最少的乘法器和最少的延时器。乘法器最费时间，乘法器少，运算速度快， 延时器最费存储单元，延时器少，存储器用的少，计算少。• 2. 有限存储器的长度的影响与运算结构有关。即有时会希望使用一种运算结构，虽然它的乘法器和延时器并不是最少的，但它对存储器的有限字长效应是最不敏感的。

六、本章主要内容• 1. 设计 IIR DF 两种变换法（模拟频率变换法，数字频率变换法）。• 2. 利用模拟滤波器来设计数字滤波器的两种方法（冲激不变法、双线性变换法）。• 3. （计算机辅助设计）最优化技术设计（最小均方误差法、最小误差设计法）

第二节IIR DF 设计方法

一、 IIR DF 系统函数IIR DF 是一个递归型系统，其系统函数：

作。性能要求，并能稳定工以使滤波器满足给定的或零极点确定的设计系统

至少有一个不为其中，iiii

i

N

ii

M

ii

N

i

ii

M

i

ii

dcbazHNia

zd

zCA

za

zbzH

,,,)(.0),1(

)1(

)1(

1)(

1

1

1

1

1

1

0

二、 IIR DF 频率特性• 它是由三个参量来表征：1. 幅度平方响应2. 相位响应3. 群延时

决定。、群时延它又等效由、相频特性决定，的设计指标由幅频特性通常

滤波器

)()(

)()( )(arg

wgeHDF

eeHeH

jw

eHjjwjw jw

1. 幅度平方响应

来进行设计。就可根据幅度平方响应管相位时，当只需要逼近幅度而不

＊

jwezjwjw

jwjwjw

zHzHeHeHeHeHeH

)()()()(

)()()(1

2

2. 相位响应

jw

jw

jw

ez

jw

jw

jw

jwjw

ejjwjw

jw

jw

jw

jwjw

jwjw

eHjjwjw

zHzH

j

eHeH

jeHeH

je

eeHeHeHeH

jeHeHe

eHjeHeeHeH

)()(ln

21

)()(ln

21

)()(ln

21)(

)()()()(1

)(Re)(Imtan)(

)](Im)(Re[)()(

*

)(

1

)(arg

＊又

3. 群延时 它是滤波器平均延迟的一个度量，定义为相频特性对角频率 w 的一阶导数的负值。即：

更方便。表达比用用，当只需考虑相频特性时的线性函数。是即相频特性，

具有线性相位，常数时，当

)(arg)(

)(arg)(

)()]([arg)(

jw

jw

jwjw

eHwg

weHDFwg

dwed

dweHdwg

三、 IIR DF 的设计方法• 设 计 IIR 数 字 滤 波 器 系 统 函 数 有 两 种 方 法：• 1 、简单滤波器的零、极点累试法• 2 、间 接 方 法• 3 、直 接 方 法

1 、简单滤波器的零、极点累试法 在 z 平面上直接设计 IIR 数字滤波器，即以所希望的滤波器响应作为依据，直接在 z 平面上，通过多次选定极点和零点位置以逼近该响应。即在单位园内， 在处设置一对共轭极点的话，那么，频响在 w0 处就有一峰值。 当 r越近于 1 ，即极点位置越接近单位园，则峰值就越尖锐。同理，若在单位园上，设置一对零点， 则频响就会在 w1 处出现各值，即可实现陷波。这样如果，特性尚达不到要求，可再移动零、极点，这样作二、三次调整后，就可以获得一些简单的要求 DF. 这种方法，可以设计一些简单阶数很低（ 1~2 阶 ) 的 DF 。

0jwre

1jwrec

*

*

*

*

1jwe

1jwe 0w 1w w

)( jweH

Re[z]

Im[z]

2 、间 接 方 法• 由于模拟滤波器设计技术是非常成熟的，归一化各种模拟低通滤波器的系统函数已有表可查，利用成熟的设计技术，可得到一个间接设计 IIR DF的方法，即间接设计方法。• 这 种 方 法 通 常 要 先 设 计 一 中 间 滤 波 器 ， 然 后 通 过 映 射 或 频 率 变 换 完 成 最 终 IIR 数 字 滤 波 器 的 设 计。这 种 间 接 设 计 方 法 包 括： (1) 由模 拟滤波器设计数字滤波器 (2) 频 率 变 换 法（分为模拟频率变换法和数字频率变换法）来设计数字滤波器

3 、直 接 方 法• 直 接 方 法 ( 计 算 机 辅 助 设 计 法 ) （ 1 ）在频域利用幅度平方误差最小法直接设计 IIR 数字滤波器。

（ 2 ）在时域直接设计 IIR 数字滤波器 此 法 根 据 性 能 指 标 和 一 定 的 逼 近 准 则， 直 接 利 用 计 算 机 完 成 设 计。

第三节由模拟滤波器设计数字滤波器的方法

一、由模拟滤波器设计数字滤波器步骤• 用间接方法之一即由模拟滤波器设计 IIR

DF 的 系 统 函 数 . 这 种 方 法 设 计 ， 要 经 过 以 下 三 步：• 1 、数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器指标• 2 、模拟滤波器设计• 3 、映射实现：从模拟滤波器再转换在数字滤波器

1 、数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器指标• 根 据 给 定 设 计 要 求， 把 数 字 滤 波 器 的 性 能 指 标 变 成 模 拟 滤 波 器 的 性 能 指 标。

2 、模拟滤波器设计• 设 计 出 符 合 要 求 的 模 拟 滤 波 器 的 系 统 函 数。可以选择多种类型的滤波器。如 Butterworth,Chebyshev,Elliptic,Bessel等。

3 、 映 射 实 现• 利 用 一 定 的 映 射 方 法， 把 模 拟 滤 波 器 系 统 函 数 数 字 化， 完 成 IIR 数 字 滤 波 器 系 统 函 数 的 设 计。

二、由模拟滤波器设计数字滤波器条件• 完成由模拟变换到数字的映射必须满足两条基 本 要 求：• 条 件①为 保 持 模 拟 滤 波 器 的 频 率 轴 的 映 射 关 系，

S 平 面 的 虚 轴 jΩ 必 须 映 射 到 Z 平 面 的 单 位 圆上， 即 [S=jΩ,∞＜ Ω ∞＜ ]→[Z=,－ π＜ ω＜ π]

• 条 件②为 保 持 滤 波 器 稳 定 性， S 平 面 的 左 半 平 面 必 须 映 射 到 Z 平 面 的 单 位 圆 内， 即 Re[s]<0 → |z|<1

0 Ω

S

ω

z

- π π

0 Ω

S

ω

z

- π π

三、由模拟滤波器设计数字滤波器这种方法的局限性• 用 这 方 法 设 计 IIR 数 字 滤 波 器 存 在 一 定 的 局 限 性：• (1) 这 种 方 法 只 适 于 设 计 振 幅 响 应 分 段 恒 定 的 滤 波 器， 不 能 解 决 多 带 或 任 意 幅 度 的 滤 波 器 的 设 计 问 题。• (2) 它 只 是 一 种 可 行 的 方 法， 而 不 是 最 优 的 方 法。

四、映射实现的方法• 由模拟滤波器映射成数字滤波器的方法，也即，数字滤波器能模仿滤波器的特性。主要有以下几种映射方法： • 冲 激 响 应 不 变 法 • 阶 跃 响 应 不 变 法（不讲，同学们自已看）• 双 线 性 变 换 法

第四节常用模拟低通滤波器的设计

一、为何要设计模拟低通滤波器• 由于模拟滤波器来设计数字滤波器：必须先将数字滤波器的设计技术指标转换成模拟低通滤波器的设计指

标，设计出模拟低通滤波器的原型，然后进行映射。再此节我们先复习如何设计模拟低通滤波器。• 首先将要设计的数字滤波器的指标，转变成模拟低通原型滤波器的指标 (此节不讲 )后，我们就只设计“模拟低通原型”滤波器。• 模拟滤波器的设计 ( 逼近 ) 不属于本课程的范围，但由于没学过 , 在此介绍常用的二种模拟低通滤波器的设计。• 1、 Butterworth巴特渥斯滤波器 ( 最平幅度 )• 2 、 Chebyshev切比雪夫滤波器 ( 通带或阻带等波纹）

二、模拟滤波器设计思想• 将一组规定的设计要求，转换为相应的模拟系统函数 Ha(s) 使其逼近某个理想滤波器的特性。 ( 滤波器的特性包括有：幅度特性、相位特性 / 群时延特性 ) ，模拟滤 波器经常借助其幅度平方函数特性来设计。

三、根据幅度平方函数确定系统函数1 、求滤波器的幅度平方函数

• 设 计 模 拟 滤 波 器 经 常 要 借 助 其 幅 度 平 方 函 数 其中 :Ha(s) 是模拟滤波器的系统函数。• 假 设 p1, z1为 Ha(s) 的一个零点和一个极点，则 -p1, -

z1必为 Ha(-s) 的一个零点和极点， Ha(s)、 Ha(-s) 的零极点成象限对称分布。所以必然有如下形式：

)(2 A jsaaaaa sHsHjHjHjHA )()()()()()( *22

)())(()())((

)()()( 2222

221

2

2222

221

222

N

mjsaa zzz

pppksHsHA

＊＊ -z1

-p1

z1

p1

＊ ＊

2 、根据幅度平方函数设计模拟滤波器的系统函数的步骤• 我 们 知 道， 实 际 滤 波 器 都 是 稳 定 的， 因 此 其 极 点 一 定 位 于 S 平 面 左 半 平 面， 这 样 可 根 据 幅 度 平 方 函 数 通 过 如 下 步 骤 分 配 零、 极 点 来 设 计 出 模 拟 滤 波 器 的 系 统 函 数 。• (1) 由 来 确 定 象 限 对 称的 S 平 面 函 数。• (2) 将 因 式 分 解， 得 到 各 零 点 和 极 点。• (3) 按 照 与 Ha(s) 的 低 频 特 性 或 高 频 特 性 的

对 比 就 可 确 定 出 增 益 常 数。

)()()(2 sHsHA aa

)()( sHsH aa

)(A

(1) 由 来 确 定 象 限 对 称的 S 平 面 函 数。• 将 • 代入 中即得到 s 平面函数。

)()()(2 sHsHA aa

22 s

)(2 A

(2) 将 因 式 分 解， 得 到 各 零 点 和 极 点。• 将左半平面的极点归于 Ha(s)。• 如无特殊要求，可取 的对称零点的任一半作为 Ha(s) 的零点。• 如要求是最小相位延时滤波器，则应取左半平面零点作为 Ha(s) 的零点。且 轴上的零点或极点都是偶次

的，其中一半属于 Ha(s) 。

)()( sHsH aa

j

)()( sHsH aa

(3) 按 照 与 Ha(s) 的 低 频 特 性 或 高 频 特 性 , 确 定 出 增 益 常 数。• 由 的条件，代入可求得增益常数。

)0()0( aa AH

)(A

例子• 根据以下幅度平方函数 确定系统函数 Ha(s).)(2 A

)36)(49()25(16)( 22

222

A

2131004

)6)(7()25(4)(

4,3649

2516)0()0(42

25)0()0(

,)6)(7(

)25()(

)((5;6,7

(5;6,7)36)(49(

)25(16)()(

2

22

2

2

22

222

22

22

sss

ssssH

KAHKKAH

sssKsHK

sHjsss

jsssss

sAsHsH

s

a

a

a

a

a

saa

最后

：益常数的条件，低通，可得增由

，则得设增益常数为

的零点。一对虚轴零点）为取取左半平面极点：

皆为二阶）零点：其极点：

）（

代入：解：用

四、 Butterworth巴特渥斯低通滤波器1 、幅度平方函数• Butterworth 低 通 滤 波 器 具 有 通 带 最 大 平 坦 的 幅 度 特 性， 是 一 全 极 点 型 滤 波 器，且极点均匀分布上 Ωc 的园上，并且与虚轴对称。

• 其特点：在通带内，幅频特平坦，随着频率的升高而单调下降。其幅 度 平 方 函 数为

• 其 中 N 为 整 数， 表 示 滤 波 器 的 阶 次， Ωc 定 义 为 截 止 频 率， 为 振 幅 响 应 衰 减 到 - 3dB 处 的 频 率。

N

c

a

jj

jHA2

22

)(1

1)()(

2、 Butterworth 滤波器的极点分布• 由 • 可知 Butterworth 的零点全部在 S=∞ 处，它是全极点型滤波器，且分布在半径为 Ωc 的圆上 ,呈象限对称分布。• 为了得到稳定的滤波器， s左半平面的极点必须分配给

Ha(s)， s右半平面的极点分配给 Ha(-s)。

• 取其分布在左平面的极点 , 设计出巴特沃斯低通滤波器 .

N

c

a jH2)(1

1)(

Nkejs

js

sHsH

Nk

j

ccN

k

N

c

aa

2,2,1,)()1(

0,)(1

1)()(

]2

1221

[21

2

，得令分母即：

3、 Butterworth 的幅度响应及极点分布

其中左半平面构成 Butterworth 滤波器的系统函数极点不会落在 S 平面上的虚轴上

4、 Butterworth 滤波器阶数 N与幅度响应的关系当 N增大时，滤波器的特性曲线变得陡峭，则更接近理想矩形幅度特性。

5 、 3dB 带宽衰减即相当于

或）（时，当

dBdBjH

jHA

ca

cac

3,3)(log20

707.02

1)(212

6、 Butterworth 滤波器的特点• (1)N 阶滤波器在 Ω=0 处幅度平方函数的前

(N-1) 阶导数等于零。即 在 Ω=0 处，最平坦，且随着 Ω 的增加单调下降。

• (2) 在止带内的逼近是单调变化的，不管 N为多少，所有 都经过 点（ -3dB) 处。• (3) 滤波器的特性完全由其阶数 N决定。 N越大，则通带内在更大范围内更接近于 1 ，在止带内迅速地接近于零，因而振幅特性更接近于理想的矩形频率特性。

22 )()( jHA a

)( jH a 21

7 、归一化的 Butterworth 滤波器的系统函数• 在一般设计中，都先把 Ωc 设为 1rad/s ，这样使频率得到归一化。归一化的 Butterworth 滤波器的极点分布以及相应系数都有现成表可查（ P14

8 ）。• 即若令

NNN

ssaa

c

ssasasasHsH

ss

c

11

2211

1)()(

8、 Butterworth 滤波器设计步骤 (1) 根 据 设 计 规 定， 确 定 Ωc 和 N。

(2) 由 确 定 Ha(s)Ha(-s) 的 极 点。 (3) Sk 的 前 N 个值 (k=1,2,...,N) ， 即 Re(Sk)<0部 分 的极点，构成 Ha(s).

(4) 常 数 K0 可 由 A(Ω) 和 Ha(s) 的 低 频 或 高 频 特 性 对 比 确 定。

Nkes Nk

j

ck 2,2,1,]

212

21

[

Nksss

KsHa kN

kk

,2,1,0]Re[,(

)(

1

0

其中）

9 、例子• 导出 Butterworth 低通滤波器的系统函数，设 Ωc=1rad/

s， N =3。解：方法一：根据幅度平方函数：

322211)(

ssssH a

1,1)0()0(0

122)(

23

21,1,

23

21

6,1,1

1)()(

,1

1)()(

0

230

321

]2

)21

([

6

226

22

KAHsK

sssK

sH

jssjs

kess

sHsH

sjHA

a

a

kN

j

kaa

a

则可得时，代入。求常数

取前三个根，

，各极点满足：

则有，令

方法二方法二：由于 Ωc=1rad/s,查表得

322211)(

ssssH a

10、 Butterworth 滤波器的阶数N 设计公式

则有：

则有作为止带起始频率，选一个范围内若在

N

c

ssa

s

c

jH2

2

)(1

1)(

,

范围叫滤波器的止带从范围叫滤波器的过渡带从范围叫滤波器的通带从

ssc

c0

(1)已知 Ωc 、 Ωs和 As求Butterworth DF 阶数 N

c

s

sA

N

N

sjaHsAsAssc

N

c

s

lg2

)11010lg(

)(1

1lg102

)(lg102

求出

从

处的止带衰减和、若设计时给定

（ 2 ）已知 Ωc 、 Ωs和 Ω=Ωp 的衰减 Ap 求 Butterworth DF 阶数 N

c

p

pA

NN

pjaHpA

dBppApsc

N

c

p

lg2

)11010lg(

)(1

1lg102

)(lg10

,3

2

，求出

从

此时

，处的通带衰减和、若设计时给定

（ 3 ）已知 Ωp 、 Ωs和 Ω=Ωp 的衰减Ap 和 As 求 Butterworth DF 阶数 N

s

p

pApA

N

pjaHpA

ApAsp

s

P

sP

A

A

N

s

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AN

c

sA

N

c

p

N

c

p

s

lg2

])11010()11010(lg[,110

110)(

,110)(,110)(

)(1

1lg102

)(lg10

10

102

102102

2

由此求出

对除

从

，和衰减、若设计时给定

例子• 试设计一个模拟低通 Butterworth 滤波器

32

211023

6.17.0

)1587.0()1587.0(2)1587.0(211)()(

1587.0)110(

,122

1)(

3,3

8.2)176.0(2

]110110lg[

lg2

])11010()11010(lg[

,16,3.072.0

ssssHsH

ssssH

NNs

p

pApA

N

dBAsdBpAp

c

ss

aa

NApp

ca

s

去归一化，

数，查表得归一化系统函根据阶取

）（）（解：

求阶数，，

作业1.试设计一个模拟低通Butterworth（ BW ）型滤波器，要求截止频率 fp=5000Hz, 通带最大衰减 Ap=3dB,阻带超始频率 fs=10000Hz,阻带衰减 As=30dB

五、切贝雪夫低通滤波器Chebyshev

1 、引入原因• Butterworth 滤波器频率特性，无论在通带与阻带都随频率而单调变化，因此如果在通带边缘满足指标，则在通带内肯定会有富裕量，也就是会超过指标的要求，因而并不经济，所以更有效的方法是将指标的精度要求均匀地分布在通带内，或均匀分布在阻带内，或同时均匀在通带与阻带内，这时就可设计出阶数较低的滤波器。这种精度均匀分布的办法可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来完成。

2、 Chebyshev 滤波器的种类• 在一个频带中，通带或阻带具有这种等纹特性可分为：• （ 1） Chebyshev I 型：在通带中是等波纹的，在阻带内是单调的；• （ 2 ） Chebyshev II 型：在通带中是单调的，在阻带内是等波纹的；• 由应用的要求，决定采用哪种型式的 Cheby

shev 滤波器

（ 1） Chebyshev I 型幅频特性和零极点图（ N=3 ）

N=3Chebyshev I 型 ，下面我们仅讲此类型

（ 2） Chebyshev II 型幅频特性和零极点图（ N=3 ）

N=3Chebyshev II 型，其设计思想同 Chebyshev I 型，在此课程中我们就不作介绍。

3、 Chebyshev I 型幅度平方函数 Chebyshev I 型模拟滤波器的振幅平方函数为：

带宽时的截止频率一定小于

时的通带宽度

滤波器中，当即在处，为截止频率，它不是在

越大，波纹也越大；表示通带波纹大小。

其中

dB

jH

ChebyshevdB

CjH

c

ca

c

cN

a

3,101

1)(

3

,10,)(1

1)(

2

22

2

4、 CN(x):N阶 Chebyshev 多项式(1) 函数 Chebyshev 多项式：

)()(2)(

;34)(3;12)(2;)(1;1)(0

)1)(

10)coscos()

)

,

11

33

22

10

1

1

xCxxCxCChebyshev

xxxCNxxCNxxCNxCN

xxCxxNchch

xxNxC

NxCChebyshev

x

NNN

N

N

N

c

多项式的递推公式：由此可归纳出

多项式的形式，其中：可以展开成（阻带曲线通带曲线

（

阶多项式为（滤波器则

归一化频率，设

（ 2） Chebyshev 多项式图形

0

1

-1

1-1 x

C4(x)

C5(x)

2

2

2

11)(10

1)(00

jHCN

jHCN

aN

aN

）（偶数时，当

）（奇数时，当由上图可见：

CN(x)

5 、通带等波纹振荡

单调下降。

在通带外，

特性）等幅振荡（等波纹幅度

的范围内在

内，在通带内，

,1)(

1)(,1,

1

1~1)(

1)(0,10

0

2

2

2

jHa

xCx

jHa

xCx

Nc

c

Nc

c

6 、确定通带内波纹值 ε

110110)1lg(10

1

1)(,1)(

)()(

lg20)(

)(lg10

1.01022

2minmax

min

max2

min

2

max

jHjH

jHjH

jH

jHdB

NChebyshev

aa

a

a

a

a

c

表示）（以定义通带波纹及，滤波器特性有三个参数

7 、确定阶数 N（ 1） N 阶特性

• 阶数 N 等于通带内最大和最小值个数的总和。可由幅频特性中看出 N 阶数。且当：N=奇数，则Ω=0 处有一最大值，N=偶数，则Ω=0 处有一最小值。

N=3和N=5

N=4和N=6

（ 2） N 阶公式

)(

1)(

11

1)(

11)()(1

)(1

1)

1

21

21

22

2

c

s

s

sc

s

c

sN

c

s

c

sN

s

s

ch

Ach

N

ANchchC

CA

Chebyshev

（

的阶数求出处的关系由止带起始点

8 、求滤波器的系统函数 Ha(s)(1) 求极点 --1

1sincos

sincos)cos(

21)cos(

1)(cos)(cos

1)(coscos

1),1),0)1

)(1

1)()()(1

1)(

11

1

2222

2222

2

jshjch

shjchj

jjN

jNj

sjjsN

jjsN

jjsC

jsC

jsC

jsC

sHsHC

jH

cc

c

cN

cN

cN

cN

sj

c

sN

a

根据欧拉公式：

）（

）（令

因为在通带内：

（（（令

8 、求滤波器的系统函数 Ha(s)(1) 求极点 --2

Nch

Nj

Nsh

N

Nsh

Nj

Nch

Nj

Nj

Njs

shsh

ich

sh

ch

jshjch

cc

cci

cossin

sincoscos

1

4113

2)12(,1sin,0cos0

1sin

0cos

,1sincos

1

）式，求出极点代入（、将所求得

）（

）（且，又

由虚部、实部知

8 、求滤波器的系统函数 Ha(s)(1) 求极点 --3

为短轴的椭园上的点。以为长轴，是一组分布在以

型滤波器的极点，长轴短轴

则可得：

且令

令

令

c

c

c

i

c

i

ci

ci

iii

ab

ChebyshevI

ba

abN

chbN

chN

Nsha

Nsh

N

js

1

)(cos

sin

22

9、 Chebyshev I 型滤波器的归一化系统函数

)149(,1

(

)()(

,1

,1

1)0(

00

,1)0(

00

)()(

012

0

0

012

21

1

2

0

20

00

012

21

1

1

paaNa

Nak

asasasask

sHsH

Chebyshevss

bk

bkH

sN

bkbkH

sNk

bsbsbsbsk

ss

ksH

NN

NN

NN

NN

ssa

c

a

a

NN

NN

NN

ii

a

c

有表可查（以上为奇数）（

为偶数）式中：

滤波器系统函数为则归一化后的设

，时，即偶数时，当若

，时，即奇数时，当若为归一化系数式中

10、 Chebyshev DF 设计步骤• ① 首 先 要 先 确 定 ε， N 和Ωc 。• ② 计 算 a， b。• ③ 确 定 Ha(s)Ha(-s) 的 极 点。• ④ 取 Re(Si)<0 的 极 点， 得 到 Ha(s)。•

• K 可 由 A(Ω) 和 Ha(s) 低 频 或 高 频 特 性 对 比 确 定。

N

ii

a

ss

ksH

1

)()(

例 1--1• 设 N=4 ，确定 Chebyshev I 型，极点位置。解： N=4 ，则有 8 个极点，我们要求在 S左半平面上为稳定系统的四个极点。

σ

jΩ

个极点。求出左半平面的，代入上述方程中，由画出大园；根据画出小园，根据

其中根据

44

2)12(cos

2)12(sin

4,81,

Nba

NibN

ia

Nijs

c

c

ci

ci

iii

例 1--2

5.157cos,5.157sin27sin14

5.112cos,5.112sin25sin13

5.67cos,5.67sin23sin22

5.22cos,5.22sin2

sin11

1

1

1

1

baN

a

baN

a

baN

a

baN

a

ccc

ccc

ccc

ccc

极点：第

极点：第

极点：第

极点：第

：由上可知，左半平面上

看出：对于 N=4 ，只须求出一点，即可求出其它共轭。画极点：过小园交点画垂直线；过大园交点画水平线。

例 1--3由上图可知，确定 Chebyshev I 型滤波器极点在椭园上的位置办法：(1)先求出大园（半径为 b Ωc) 和小园半径 a Ωc。

(2) 等间隔角 均分，各点是虚轴对称的，且一定不落在虚轴上，N 为奇数时，有落在实轴上的点；N 为偶数时，实轴上也没有。

(3) 幅度平方函数的极点 ( 在椭园上 ) 的位置确定：其垂直坐标由落在大园上的各等间隔点规定；其水平坐标由落在小园上的各等间隔点规定

N

)]1(1[

)]1(1[

1

1

shN

chb

shN

sha

cc

cc

例 2--1• 试导出 2阶 Chebyshev I 型 DF 系统函数 (已知通带波纹为 , 归一化频率为

Ωc=1rad/s 。dB1

25892541.10357016.10357016.11)144(1

1

)(1

1

)(1

1)(

12

,,1

25892541.01101

24

242

22

222

22

2221

102

ccN

a

cc

CCjHA

CC

x

dB

）（

及）（，）（

代入则又

，解：由于

例 2--2

波纹）与查表

为偶数，系统稳定左半平面

的极点从分母多项式的根求出

可得即令

dBPss

sH

bk

Nsseseseses

sHsHss

AsHsHsjs

a

jj

jjaa

saa

1,151(1025103.10977343.1

9826135.0)(

9826135.010

25892541.1

1

2),,(0500049.1,0500049.1

,0500049.1,0500049.1)()(

25892541.10357016.10357016.11)()()(

,

2

1.02

0

42

51543.1214

484569.583

51543.1212

484569.581

24

2

22

22

例 3--1• 设 Chebyshev 模拟滤波器的技术指标

查表，，取

解：根据，求其阶数。通带波动参数

处的衰减小于在，

2.03

435.2)(

1)(

110316227.010)()(

15)(lg102.0

,154222

2

1

21

1522

2

2

ChebyshevN

ch

Ach

N

jHAdBjH

dBkHzkHz

c

s

s

sas

sa

s

sc

例 3--2

)9834.02689.0(104

9834.0)2

cos(

2689.0)2

sin(1

,

5148283.0111041022

)()(

31

1

1

1

331

jsN

bN

a

chashb

shN

ss

ksH

p

c

c

cccc

c

N

ipi

a

极点第

又

其系统函数，

例 3--3

级联）

并联）将

在实轴上）

同理：

())()((

()(

)9834.02689.0(1046

5cos6

5sin

(5379.01042

cos2

sin

321

3

1

2

1

1

1

3

3

3

2

ppp

pppa

ccp

ccp

ssssssk

ssC

ssC

ssC

sH

j

chjshs

chjshs

例 3--4

38.1532313

3213

18033212

3212

3.1533121

3211

2709.0104))((

5225.0104))((

2709.0104))((

jpppp

ppp

jpppp

ppp

jpppp

ppp

essss

sssC

essss

sssC

essss

sssC

式中

作业• 设计一个 Chebyshev(CB) 型低通滤波器其指标为：

)(

,lg20)1(6)lg(20)(

110

.,80/8000)(

5.0)/2000)(

10

sHN

NNA

NCBdBAsradc

AdBbsrada

a

s

c

ss

c

c

，再查表得出求得

在阻带内：

提示：根据

，其系统函数的阶数求的最小衰减在阻带

通带波动衰减（通带边界频率

六、椭 圆 (Elliptic)低 通 滤 波 器 • 椭 圆 低 通 滤 波 器 是 一 种 零、 极 点 型 滤 波 器， 它 在 有 限 频 率 范 围 内 存 在 传 输 零 点 和 极 点。椭 圆 低 通 滤 波 器 的 通 带 和 阻 带 都 具 有 等 波 纹 特 性，因 此 通 带，阻 带 逼近 特 性 良 好。 对 于 同 样 的 性 能 要 求， 它 比 前 两 种 滤 波 器 所 需 用 的 阶 数 都 低， 而 且 它 的 过 渡 带 比 较 窄。

1 、 幅 度 平 方 函 数

• 其 中 是 雅 可 比 (Jacobi) 椭 圆 函 数，

ε 为 与 通 带 衰 减 有 关 的 参 数。

）（ 22

22

11)()(N

a RjHA

)（NR

2 、 幅 度 特 性

3 、特点• 从上看出：椭园滤波器即有极点也有零点，由于误差均匀分布在通带和 阻带内。• 与 Butterworth 和 Chebyshev 两种滤波器相比，在同样误差指标下，阶数最小。即同样阶数 N 下，通带到阻带变化最陡峭，看出它是最优秀滤波器。• 在给出同样通点平滑度，瞬变带宽和阻带衰减指标下，三种滤波器所需的阶数 :Butterworth 6 阶， Chebyshev 4 阶椭园 3 阶

七、其它滤波器• Butterworth 和 Chebyshev 及椭园 Elliptic都是从幅度响应去逼近，并未考虑相位响应 ( 由于对信号实现无失真传输的重要条件：系统函数具有线性相位特性），为此往往在相位失真比较严重情况下，常常采取在原滤波器后面组联上一个相移网络，即全通滤波器 ( 幅频等于常数，相频是频率的函数），在相位上给以均衡补偿，使之接近无失真传输的条件。• 考虑最平时延 (MFTD) 逼近也即相位响应，其主要特点：直流附近使群时延最平• 这类 ( 最平时延 ) 滤波器是以人名命名的有：• 贝塞尔 (Bessel) 滤波器 ( 用到贝塞尔多项式 ).• 高斯（ Gauss) 滤波器 ( 用到高斯特性）• 托马森（ Thomson) 滤波器• 斯托奇（ Storch) 滤波器（由他提出方法而得名）

第五节模拟低通滤波器至其他类型 ( 高通、带通、带阻）类型的变换

一、各种模拟滤波器的理想幅频特性

w2

Ω

|H(ej Ω) |H(ej Ω)|H(ej Ω) |H(ej Ω)

2

2

2

2wc

wc w1 w2ΩΩΩw1

（低通） （高通） （带通）（带阻）

二、低通 AF--> 高通 AF 的变换 --1

• 即如何从归一化模拟低通 --> 归一化模拟高通。

归一化高通系统函数，归一化低通系统函数，

变换；为归一化高通变换，为归一化低通变换；为高通变换，为低通设：

:)(:)(

,,,

sHpH

ssjsppjp

LsLpLsLp

ah

al

cc

|Hal(p)| |Hah(s)|

c c

二、低通 AF--> 高通 AF 的变换 --2

• 即用低通 变成高通

1

j

j 1

)()(

:)(:)(

1 sHpH

HH

ahs

pal

a

a

即：

变化）具有高通特性（随变化）具有低通特性（随

看出：高通系统函数的阶次与低通系统函数阶次相同。

例子 --1• 设计模拟高通滤波器的系统函数。满足如下条件：• (a)3 个极点 (b)Butterworth 响应 (c)3dB 截止频率 =100Hz.

代入用

则通截止频率将其去归一化，因为低

滤波器响应为阶归一化解：低通

c

cc

c

lp

pp

fHzf

ppppH

hButterwort

2002100

1221)(

3

23

例子 --2

83233

3

1

23

104805021.2108956835.7102566371.1

)()

1)200

(2)200

(2)200

(

1)(

ssss

pHsH

ppppH

pp

sp

lpah

lp

c

（

经变换得

：代入归一化系统函数得用

三、低通 --> 带通的变换 --1• 即如何从归一化模拟低通变换到归一化模拟带通。设 p 为低通 L 变换， s 为带通 L 变换。

原点。通过频率变换成低通的，中心频率带通滤波器是以带通的

为带通几何中心频率为带通高端截止频率，为带通低端截止频率，为低通截止频率，为带通系统函数；为低通系统函数，

变换；为归一化带通变换，为归一化低通

0

0

)()(

L

L

c

ap

alsHpH

LsLp

三、低通 --> 带通的变换 --2平移中心频率至坐标原点

00 0

0 0

|Hap(p)|

平移至高端平移压缩

变成低通滤波器ccL

h

b

2 a1

三、低通 --> 带通的变换 --3

）（）式得：代入（当

）（）式得：代入（当

）（）式得：代入（，当

可求得带通滤波器即将上面两部分相加，

）（

且带通滤波器低通滤波器

41,

31,

210

)()(

1

0

200

21

0

LLcLc

hhchc

apba

aL

Lhc

Lh

cc

ba

baab

HH

ba

三、低通 --> 带通的变换 --4

)6(

)(2)11()(2

43

5

0)11(

43

0

20

Lh

c

LhLh

Lhc

Lh

Lh

Lh

Lh

Lh

LhLh

a

aba

ab

ab

ba

）得：（）（

）（几何中心

）（

）得：（）（

三、低通 --> 带通的变换 --5

)8()1

11,

)7(1

(

)(

1,

0

00

0

00

ssQp

jjQjjQj

jQ

BQ

ba

cLh

Lh

c

（

低通至带通关系为：

）（）（

得：两边同时乘

）（

（归一化带通频率）

归一化低通频率），令

）式，求得：代入（将

三、低通 --> 带通的变换 --6

阶。阶，则带通为看出：如果原型低通是

又

去归一化

kk

pHsH

ss

p

BsB

sp

ss

Bp

ss

paLap

Lhcc

c

2

)()(

)(

,)(

)(

22

20

2

20

2

0

0

0

例子 --1• 设计一模拟带通滤波器具有如下特性：(a)4 个极点 (b)Butterworth 响应 (c)3dB 截止频率 =20

0Hz(d)几何中心频率 =1kHz.

1400

414213.1)400

(

1)(

400,

1022,2200)2(

1414213.11)(

2241

2

300

2

pppH

pppp

fB

pppH

hButterwortN

aL

c

c

aL

去归一化

低通滤波器阶的即设计一个个极点。须为个极点，则低通函数必）带通函数有解：（

例子 --2

151027334

6

220

22

20

2

2

105585.1100159197.7100535973.8107771532.1105791367.1

)400(400414213.1)(

)400(

)()( 20

2

ssss

ss

ss

pHsHs

sp

aLap

四、低通 --> 带阻变换 --1• 即如何从归一化模拟低通变换到归一化模拟带阻。设 p 为低通 L 变换， s 为带阻 L 变换。

原点和负无穷大点处。通过频率变换成低通的，中心频率带阻滤波器是以带阻的

为带通几何中心频率为带阻高端截止频率，为带阻低端截止频率，为低通截止频率，为带阻系统函数；为低通系统函数，

变换；为归一化带通变换，为归一化低通

0

0

)()(

L

L

c

ap

alsHpH

LsLp

四、低通 --> 带阻变换 --2

0

0 0

|Has(s)|

ccL h

平移压缩

平移压缩

|HaL(p)|

四、低通 --> 带阻变换 --3

阶。阶，则带阻为看出：低通阶次

且

推出

且定义带通滤波器低通滤波器带通滤波器低通滤波器

kk

pHsH

B

ss

p

ss

paLas

c

Lh

cLh

Lh

c

Lh

Lh

cc

2

)()(

,/

000

220

20

20

220

20

20

20

0

0

例子 --1

110

414213.1)10

(

1)(

10,

102

)2(1414213.1

1)(

2241

42

4

4

420

2

pppH

ppppB

pppH

hButterwortN

aL

c

c

aL

去归一化

低通滤波器阶的即设计一个个极点。须为个极点，则低通函数必）带通函数有解：（

• 设计一模拟带阻滤波器具有如下特性：(a)4 个极点 (b)Butterworth 响应 (c)3dB 截止频率 =200Hz(d)几何中心频率 =1kHz.

例子 --2

151027334

272

105585.1100159197.7100535973.8107771532.1)109478418.3(

)()(20

2

20

sssss

pHsHss

paLas

第六节冲激不变法（脉冲响应不变法）由雷道（ Rader),戈尔德（ Gold) 提出

一、冲 激 响 应 不 变 法引入• 上节我们讲到模拟滤波器设计方法，现在我们要讲如何将设计好的模拟滤波器系统函数转换成我们所需的数字滤波器系统函数。在此我们介绍两种方法（冲激不变法，双线性变换法）之一的冲激不变法。• 冲 激 响 应 不 变 法由雷道（ Rader),戈尔德（ Gold) 提出 .

一、变 换 原 理1 、什么是冲激不变法

• 冲 激 响 应 不 变 法 是 从 时 域 出 发， 要 求 数 字 滤 波 器 的冲 激 响 应 h(n) 对 应 于 模 拟 滤 波 器 ha(t) 的 等 间 隔 抽 样。h(n)=ha(nT) ， 其 中 T 是 抽 样 周 期。 因 此 时 域 逼 近 良 好。

2 、数字滤波器与模拟滤波器的频率的响应映射关系• 由 于 在 时 域 抽 样， 导 致 在 频 域 内， 数 字 滤 波 器 的 频 率 响 应 H(ejw) 为 模 拟 滤 波 器 频 率 响 应 的 周 期 延 拓 .

存 在 多 对 一 的 映 射 关 系。

la

jw

TkwjH

TeH )2(1)(

3 、冲激响应不变法的映射规则 • 冲激响应不变法的映射规则为 :z=esT ( T 为 抽 样 周 期 ). 这 种 映 射 并 不 是 简 单 的 代 数 映 射， 故 不 能 将 其 直 接 代 入Ha(s) 来 得 到 H(z).

4 、映射规则的要点• S 平面上每一条宽为 的横带部分，将重叠映射到 z 平面的整个平面上。• 每一横条的左半边映射到 z 平面单位园内，每一横条的右半边映射到 z 平面单位园外。• S 平面的虚轴（ j )轴映射到 z 平面单位园上，虚轴上每一段长为 的线段都映射到 z 平面单位园上一周。• 数字滤波器的频响并不是简单地重现模拟滤波器的频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓。

T2

T2

二、性 能 分 析• 数 字 滤 波 器 的 冲 激 响 应 为 对 应 模 拟 滤 波 器 冲 激 响 应 的 抽 样， 由 抽 样 定 理 可 知 其 频 谱 为 模 拟 滤 波 器 频 谱 的 周 期 延 拓。

• 只 有 模 拟 滤 波 器 的 频 谱 限 带 于 折 叠 频 率 内 时， 即 要 满 足• 才 能 避 免 混 叠 失 真。 而 实 际 的 滤 波 器 并 非 严 格 限 带， 所 以 用 冲 激 响 应 不 变 法 设 计 的 数 字 滤 波 器 不 可 避 免 地 会 产 生 混 叠 失 真。 所 以 此 法 只 适 于 设 计 带 限 滤 波 器。

ka

jw

TkwjH

TeH )2(1)

（

2,0)( s

a TjH

三、设计流程的公式推导1 、设计步骤

• 冲激响应不变法设计数字滤波器的思路为 :(1) 先根据要求，设计出中间模拟滤波器系统函数 ,(2) 然后经下列 变 换 设 计 出 H(z)： Ha(s) →ha(t)→ h(n)→H(z)即： Ha(s) 求 ha(t)=L-1[Ha(s)] ha(t)抽样， h(n)=ha(t)|t=nT=Ha(nT)( 会导致频谱中幅度变小） Th(n)=Tha(t)|t=nT （把幅度加大，让它频谱幅度一样） H(z)=Z[Th(n)]可见整个过程很复杂。

2 、设计流程中注意点• 冲 激 响 应 不 变 法是 Ha(s)-->H(z).即 : 将 S 平 面 极 点 sk 映 射 --> 到 Z 平 面 极 点 z=eskT

因而只有极点有这种简单映射关系，而零点不满足这种简单 的 对 应关系。• 将模 拟 滤 波 器 系 统 函 数 展 开为并联 形式（即部分分式展开），且要求其分母的阶次大于分子的阶次。（因为只有这样才是一个稳定的模拟系统）• 下面通过推导变换 关 系 完 成 数 字 滤 波 器 系 统 函 数 设 计。

3 、设计公式推导

N

kTsk

n

nTsN

kk

n n

nN

k

Tsk

n

N

k

nTsk

N

k

nTska

a

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tskaaaa

N

k k

kaa

zeA

zeAzeAznhzH

zHznh

nueAnueAnThnh

thtu

tueAsHLththsH

ssA

sHsH

k

kk

kk

k

11

0

1

10 0

1

1

11

1

1

1

1

)()()()(

).()()4(

)()()()()(

)(3)(

)()]([)()()()2(

)()()1(

求变换求对

的抽样。等于滤波器的单位抽样响应）由冲激不变法，数字（数。是连续时间单位阶跃函其中

：求由

展成部分分式：将

平面）（平面） zze

AzHs

ssA

sHN

kTsk

N

k k

ka k

1

11 1

)(()(

四、模拟滤波器与数字滤波器的变换关系

1

*

*

*

221

1

22

221

1

22

11

11

1

1

11

1

*

1

)(cos21)(sin

)(

)(cos21)(cos1

)(

)1

1()!1(

)1()(

1

;1

111

1)(()(

ze

Ass

AzezbTe

zbTebas

bzezbTe

zbTebas

aszeds

dmss

zess

zeA

ssA

zze

AzHs

ssA

sH

Tsk

k

k

aTaT

aT

aTaT

aT

Tsmi

mm

mi

Tsi

Tsk

k

k

N

kTsk

N

k k

ka

k

i

i

k

k

即当：

平面）（平面）

五、数字滤波器的频率响应• 数 字 滤 波 器 的 频 率 响 应：

与 抽 样 周 期 T 成 反 比， 当 抽 样 频 率 很 高 时， 将 产 生 很 高 的 增 益， 为 稳 定 增 益， 令 h(n)=Tha(nT) • 则

ka

jw

TkwjH

TeH )2(1) （

ka

jw

TkwjHeH )2()(

六、用冲激不变法设计 IIR DF 的一般流程（总结）• 用冲激响应不变法设计 IIR 滤波器的一般流程：1 、根据设计要求，设定指标。2 、将数字滤波器性能指标变换为中间模拟滤波器的性能指标。3 、设计出符合要求的中间模拟滤波器的系统函数

Ha(s)。4 、将 Ha(s)展成部分分式的并联形式，利用 式设计出 H(z) 。5 、 将 H(z) 乘 以 抽 样 周 期 T ， 完 成 数 字 滤 波 器 系 统 函 数 H(z) 的 设 计。

N

kTsk

N

k k

ka ze

AzH

ssA

sHk

11

1 1)()(

七、冲激不变法设计 IIR DF 的优缺点• （ 1 ）冲激不变法使得数字滤波器的冲激响应完全模仿模拟滤波器的冲激响应，也就是时域逼近良好。• （ 2 ）模拟频率 Ω 和数字频率 w 之间呈线性关系： w=ΩT如：一个线性相位的模拟滤波器（例贝塞尔滤波器）可以映射成一个线性相位的数字滤波器。• （ 3 ）缺点：由于有频率混叠效应，所以冲激响应不变法只适用于限带的模拟滤波器。

八、冲激不变法应用的局限性• 由于具有频率的混叠效应，所以高通和带阻滤波器不宜采用冲激不变法。因为它们高频部分不衰减，将完全混淆在低频中，从而使整个频响面目全非。• 若要对高通和带阻实行冲激不变法，则必须先对高通和带阻滤波器加一保护滤波器，滤掉高于折叠频率以上的频带。它会增加设计的复杂性和滤波器的阶数，因而只有在一定要追求频率线性关系或保持网络瞬态响应不变时才使用。• 对于带通和低通滤波器，需充分限带，若阻带衰减越大，则混叠效应越小。

例子 1

21

1

42131

131

1311

1

21

2

01831.04177.013181.0

)(1)()(

1111

)(

3,1

31

11

342)(

zzz

ezeezzeezH

Tze

Tze

Tze

AzH

ssIIRssss

sH

TT

N

kTsk

a

k

令

得：解：用冲激不变法公式滤波器。字利用冲激不变法设计数

，

器的系统函数为：设计根据模拟原型滤波

|Ha(jΩ)|

Ω

T

w|H(ejw)|由于模拟滤波器不是充分限带，所以数字滤波器产生很大的频谱混叠失真。

例子 2--1• 设低通 DF 的 3dB 带宽频率 wc=0.2π,

止带频率 ws=0.4π,在 w=ws 处的止带衰减 20lg|H(ejws)|=-15dB, 试用脉冲响应不变法（冲激不变法）设计一个 But

terworth 低通 DF 。解：设计分为 4步。（ 1 ）将数字滤波器的设计指标转变为模拟滤波器的设计指标。采样频率由采样定理决定，设为 fs=20kHz,则采样间隔为 T=1/fs=1/20kHz

例子 2--2• 对于冲激不变法，频率变换是线性的。

dBAsradsraddB

dBjHaeH

T

T

ss

c

sjw

ss

cc

s

15,/108/1043

15)(lg20)(lg20

108

102014.0

104

102012.0

3

3

3

3

3

3

且止带截止频率为带宽频率

波器这样要设计模拟低通滤令

带截止频率为：模拟滤波器的通带和止

例子 2--3• (2) 设计 Ha(s)将上述设计指标代入 求出 N 阶数

1221)(

153

468.2)

48lg(2

110lg

)lg(2

110lg

23

1015

10)(lg20

ssssHa

dBN

N

s

c

s

jHa s

数；查表，得归一化系统函更满足设计指标。

还小处的衰减比此时，，取

例子 2--4

))()(()(

,,

3,2,1,0,

)()(

22)(

32

32

3

32

2132

0

]2

)21

([

1

0

3223

3

j

cc

j

c

c

j

ccj

c

j

c

iN

j

ci

N

ii

Nc

ccc

c

c

essessHa

eseses

Nies

sssHa

ssssHa

ss

其中

极点将其进行因式分解求各

代入得去归一化

例子 2--5

23

23

,

,

23

23

)(

)(

21

0

32

21

32

0

0

jCC

jsHaC

es

CsC

es

CsHa

cc

css

j

ccj

c

其中：

由留数法求得：

例子 2--6

21

21

1

21

1

1

33

11

1

1

533.0241.11306.0001.1333.1

534.0112.0

533.0241.1159.12

534.011)(

10201104

1

23

23

11

23

23

)(

1

)(),(

32

32

zzzz

z

zzz

zzH

Tze

j

zeze

jzH

zeA

ssA

zHDFsHa

c

e

c

Tc

e

c

Tsk

k

k

jc

cjc

k

代入上式得和将

可得：

即用

的由冲激不变法，求已知

例子 2--7

x(n)

2.0

0.5341z

2.0

1z1z-0.533

1.241

1.599

y(n)

0.5341z 1.241

-0.533

1z

1z

1.001

0.306

y(n)x(n) 2.0

并联型

级联型

21

1

1 533.0241.1159.12

534.011)(

zz

zz

zH

21

211

533.0241.11306.0001.1333.1

534.0112.0)(

zzzz

zzH

例 3--1• 设通带范围为 0≤w≤0.2 π, 在通带边缘 wc=0.2 π处幅频特性的衰减大于 -1dB ，即通带波纹在 1

dB 内；止带范围为 0.3 π ≤w≤π ，在止带起始频率 ws=0.3π 处的幅频特性衰减小于 -15dB, 设采样周期 T=1/ （ 20＊ 103 )s, 试用脉冲响应不变法（冲激不变法）设计一个 Chebyshev 低通 DF 。解：设计分为 4步。（ 1 ）将数字滤波器的设计指标转变为模拟滤波器的设计指标 .

例 3--2

0316227.010)(5088.0258925412.0110

11

1lg20)(lg201

1)(

15)(lg20)(lg201)(lg20)(lg20

60004000

5.12

1.02

2

2

s

c

c

sjw

cjw

ss

cc

jHa

dBjHa

jHa

dBjHaeHdBjHaeH

TT

s

c

，

，则：此为切贝雪夫滤波器，

，

带截止频率为：模拟滤波器的通带和止

例子 3--3• (2) 设计 Ha(s)将上述设计指标代入 求出 N 阶数 .

5148283.0)1(1)

212cos()

212sin(

)()()()(

3

435.2)(

1)(

11

1

3

3

2

2

1

1

1

21

shN

Nichj

Nishs

sss

sss

sss

sHa

N

ch

jHach

N

ccpi

p

p

p

p

p

p

c

s

s

，其系统函数；取

例子 3--4

3.153

2313

3212

1803

3212

3212

3.153

3121

3211

3

3

2

2

1

1

33

32

31

2709.0104))((

5225.0104))((

2709.0104))((

)(

)9834.02689.0(1046

5cos6

5sin

5379.01042

cos2

sin

)9834.02689.0(1046

cos6

sin

j

pppp

ppp

j

pppp

ppp

j

pppp

ppp

ppp

ccp

ccp

ccp

essss

sssC

essss

sssC

essss

sssC

ssC

ssC

ssC

sHa

jchjshs

chjshs

jchjshs

例子 3--5

的。这个数字滤波器是稳定单位园内部，且这三个极点皆在

，有两个零点，三个极点

代入上式得和将

可得：

即用

的由冲激不变法，求已知

1||)(

)4893.06884.0)(7132.0)(4893.06884.0()0663.00829.0(

2.0)(1020

1104111

)(

1

)(),(

33

13

12

11

1

321

zzH

jzzjzzzz

zHT

zeTC

zeTC

zeTC

zH

zeA

ssA

zHDFsHa

c

TsTsTs

Tsk

k

k

ppp

k

例子 3--6

21

21

71330905.03768.110663.00829.0

7132.0112.0)(

zzzz

zH

-0.713309

0.71321z 1.3768 1z

1z

0.0829

0.0663

y(n)x(n) 2.0

级联型

第七节双线性变换法• 冲激不变法（和阶跃响应）：是使数字滤波器在时域上模仿模拟滤波器，但它的缺点：产生频率响应的混叠失真。这是由于从 S 平面 ->Z 平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点，我们采用双线性变换法

一、变换原理1 、定义

• 双线性变换法：是从频域出发，使 DF 的频率响应与 AF 的频率响应相似的一种变换法。

2 、双线性变换法的映射关系• 实现 S 平面与 Z 平面一一对应的关系。

第一次变换：频率压缩

第二次变换：数字化

j

1j

]Im[zj

]Re[z

S平面S1平面

Z平面

3 、双线性变换法的映射规则• 双线性变换法的映射规则：（ 1 ）频率压缩：把整个 S 平面压缩变换到某一中介的 S1 平面的一条横带里。• （ 2 ）数字化：将 S1 平面通过标准变换关系• 变换到 z 平面。

Tsez 1

（ 1 ）频率压缩• 把整个 S 平面压缩变换到某一中介的 S1 平面的一条横带里。

)2

tan( 1T

1

)2

(

2tan

00,2

tan

,2

1

22

22

22

22

1

11

1

11

11

11

11

Tsth

ee

ee

ee

ee

TjjsT

TTTT

TsTs

TsTs

TjTj

TjTj

又

，，

这样满足：

采用如下变换关系：，从宽度为

Ts

Ts

ees

1

1

11

（ 2 ）数字化• 将 S1 平面通过标准变换关系变换到 z 平面。

sCsCz

zzCsez

eeC

TsthCs

CT

C

C

ssz

zzs

zszsTeeez

Ts

Ts

Ts

TjTsj

,11

11)

2(

)2

tan(2

tan(

11

11

,

1

1

1

1

1

1

11

1

1

1

11

可得：代入

）

要引入常数频率有对应的关系，与数字化滤波器的任一波器的某一频率实际中，为了使模拟滤式带入即可。以后变换只须用上面公

或

平面的单值映射关系：平面则可得到，此时，

（ 3 ）变换常数 C 的选择 1• 调节 C ，可使 AF 与 DF 在不同频率点处有对应的关系。• （ a ）使 AF 与 DF 在低频处有较确切的对应关系。

• 看出在低频处， AF 的低频特性近似等于 DF的低频特性。T

C

CT

C

TTTTT

22

)2

tan(222

)2

tan(

1

11

1

由

（ 3 ）变换常数 C 的选择 2

止频率的位置。它可以较准确地控制截，频率响应是严格相等的

处，和特定在特定看出：此方法优点：是

即：

严格相对应。的某一特定频率与止频率的某一特定频率（例截利用（

DFAFff

ff

ctgT

ctgc

TC

AFDFb

s

cc

s

cc

cc

cc

c

c

)cot(

22

)2

(

)2

tan(

))

二、性能分析 1• 1.解决了冲激不变法的混叠失真问题。• 2. 它是一种简单的代数关系。只须将上述关系代入 AF 的 Ha(s) 中（对直接、级联、并联结构都适用）即可求出 DF 的 H(z),设计十分方便。• 3. 由于双线性变换中，• 即模拟角频率与数字角频率存在非线性关系。• 所以双线性变换避免了混叠失真，却又带来了非线性的频率失真。

1

1

112

zz

Ts

)2

tan(2 T

二、性能分析 2

• 4. 双线性变换法不适用于设计：• （ 1 ）设计线性相位的 DF• （ 2 ）它要求 AF 的幅频响应是分段常数型 .( 即幅度变换是线性的）。（一般低通，高通，带通，带阻型滤波器的频率响应特性都是分段常数）

二、性能分析 3

• 5.同时，看出双线性变换：• （ 1 ）在零频附近，模拟角频率与数字角频率变换关系接近线性关系。• （ 2 ）又要求 AF 的幅频响应是分段常数型，即幅度变换是线性的• 所以称之为双线性变换。• 频率升高时，非线性失真严重。

22 T

二、性能分析 4

• 6. 对于分段常数型 AF 滤波器，经双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的DF. 但在各个分段边缘的临界频率点产生畸变，这种频率的畸变，可通过频率预畸变加以校正。

例 1• 一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位。如一个模拟微分器将不能通过双线性变换成为数字微分器。

21

21

12

)(tan2 1

c

)( jH a

)( jH a

模拟微分器

数字

例 2--1• 对于分段常数的滤波器，双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的滤波器，但是各个分段边缘临界频率点产生了畸变。这种频率的畸变，可以通过频率的预畸变加以校正，也就是临界频率事先加以畸变，然后经变换后正好映射到所需要的频率。

例 2--2

4321

4321

4321

1

44

33

22

11

4321

,,,,

2(2

,,

)2

(2

,,,)(

，变换成一组模拟频率

，率），将以上这组数字频

畸变，即利用因此，要将频率加以预。，的显然就不等于原来要求

换关系：如果用非线性的频率变

，，，

：的四个截止频率分别为模拟滤波器如按线性变换所对应的

，为即临界频率的四个截止频率如要求数字带通滤波器

tgT

TtgTTTT

三、设计流程• 1. 根据要求，设定指标。• 2. 将各分段频率临界点预畸变。• 3. 将数字滤波器的性能指标转换为中间模拟滤波器的性能指标。• 4. 根据设计要求，选定双线性变换常数 C。• 5. 设计中间模拟滤波器的系统函数 Ha(s).• 6. 将 代入 Ha(s) 中，得到 DF 的 H(z).

)2

(2|)

2(

tgT

ctg

在低频处

1

1

11

zzCS

例子 1-1试用双线性变换法设计 Butterworth 低通 DF。已知低通 DF 的 3dB 带宽频率　　　　，止带起始频率　　　　，在　　　处的止带衰减解：（ 1 ）将 DF 的设计指标转换为模拟滤波器的设计指标。对双线性变换法根据 3dB 带宽频率求出 :

2.0c

4.0s s

dBeH sjw 15)(lg20

22 c

c tgT

2.0c

scs

cc

fTHzff

Hzwf

1,2002

10022.0

2

根据采样定理

例子 1-2

1)(2)(2)(

1)(

,3,3

126.234949.02

110lg

lg2

110lg

)lg2015)(lg20),(2

7265.022.022

2

3249.021.022

2

23

5.110

)(lg20

ccc

c

s

jH

sajw

a

ss

cc

ssssH

NN

N

jHdBeHsHT

tgT

tgT

Ttg

Ttg

T

sa

s

查表根据取

（其中）设计（

例子 1-3

1)(2)(2)(

1)(

,3,3

)1(3249.01

)2

(2112

112

).()(3

23

1

11

1

1

1

ccc

cc

aa

ssssH

NN

zz

wtgT

zz

Ts

zz

Ts

zHsH

查表根据取

求出

其中

求）由（

例子 2• 试用双线性变换法设计一个切比雪夫数字滤波器，使其逼近一个低通切比雪夫模拟滤波器的技术指标。

1

11

1

1

1

3

2

110776835.31

12

,112

07768.32)2

(2),2

(22

3110201

2.0,1542,22

zzz

zTs

zz

Ts

Tctgtg

T

N

T

dBkHzkHz

cc

cc

cc

s

sc

用先预畸变：）采用双线性变换，应（阶：夫滤波器指标可以求得）根据模拟低通切比雪解：（

取样周期

通带波动参数处衰减小于在

第八节数字频带变换法----- 将原型低通数字滤波器变换成其它数字滤波器

（ z 平面变换法）

一、变换函数• 如果已经有一个低通数字滤波器的系数函数 Hp(z),• 可以通过一个变换来设计其它各种不同类型的数字滤波器的系统函数 H(z). 这种变换是一种映射变换。

1. 变换关系函数表示式

。都是以负幂形式出现的和是因为系统函数中和而不是用及注：此中变量选用

则：

其变换关系用函表示：平面。平面仍为变换后

平面，平面定义为设：变换前

uzzuzu

uHzHzgu

zzuz

zguL

,,)()(

)(

11)(

11

11

2. 变换关系 g(z-1) 的形式 --1• 要求：（ 1 ）变换以后的系统函数应保持稳定性不变。所以要求 u 的单位园内部必须对应 z 的单位园内部。• （ 2) 两个函数的频响要满足一定的变换要求。即 z 的单位园起码要映射到 u 的单位园上。

.1)(1)(()(

)((::

1

)(

恒等于在单位园上的幅度必须即：）的相位函数，是其中）则：

单位园，表示；单位园，表示若

zgegegw

eegegeezzeeuue

jwjw

wjjwjwj

jwjwjj

2. 变换关系 g(z-1) 的形式 --2

称为全通函数的阶数。全在单位园外，点的共轭倒数，的所有零点，都是其极

即但都必须在单位园内，也可以是共轭复数

数，是它的极点，可以是实其中

表达为任何全通函数，都可以函数。是有理分式，称为全通

Nzg

zz

zg

zg

i

i

N

i i

i

)(;1

1)(

)()3(

1

11

*11

1

3. 变换关系 g(z-1) 的特性 --1

2*2

22**

112

1

*

1

*1

1

)Re(2

)Re(21)()()(

11

)(

2

(0()1(

ii

ii

i

i

i

i

zz

zzzfzfzf

zz

zz

zf

zu

N

由此可写出：

：设全通函数的单个因子平面的单位园平面的单位园映射到）（

本特性。这是全通函数的第一基。）的变化量为或时，由当

）

3. 变换关系 g(z-1) 的特性 --2

111111

)(1),(

)10(1)10(1)10(1

)(

0)1(,1)1)(1(1)Re(2)Re(21

111

1

2

222222

2*222*

zzz

u

zfuzfu

zvzvzv

zf

zzzzzzzv

ii

iii

iiii

在在在

或在或在或在

故因子

将分子减去分母得：

二、低通 --- 低通 --1

1

111

11

*11

1)(

1)(

1)1(,1)1(111010)2(

1)()1(00

))

zzzgu

zz

zg

gguzwuzw

NNw

w

eHeH

N

i i

i

jwL

jL

低通的映射函数为：低通为实数即”号，“应取

根据全通函数公式：

即点的点时，点的点时，

则全通函数的阶数必须的性质变化量为根据全通函数

从从它们仅截止频率不同

也是低通数字滤波器（低通数字滤波器（

＊

映射

映射

二、低通 --- 低通 --2)j

L eH（ )jwL eH（

cw0 2 2c w

原型低通 另一指标的低通

cos)1(2sin)1(,

)2

sin(

)2

sin(

:,,)

2sin(

)2

sin(1

,1

,

2

21

)(

tgww

w

ww

we

eee

ee

ezeu

cc

cc

cc

wj

jjw

jw

jwj

jwj

代入求得若已知解得：

求出

率变换关系可以找出这个变换的频将

二、低通 --- 低通 --3

的频率段被扩展。由的频率段被压缩，由而言，对

映射到

代入，得：时，若时，）讨论：（

220

22,

2)

54(cos

221)2(,01

11

ww

w

ww

21

0 21

12

2

2

低通 -- 低通变换特性

)jL eH（

0

21

止带压缩）

（通带扩展

21

三、低通 -- 高通• 通过将单位圆旋转 180 。，能使低通数字滤波器变到高通数字滤波器。

)2

cos(

)2

cos(

1

"1

1

1

111

1

cc

cc

w

w

zzu

zzz

zu

，

变成负号，即可。“并将原来取

代入用中即只要将

例 1--1• 试设计一个高通 Chebyshev 数字滤波器。其指标是：通带宽度为：

38197.0)

26.02.0cos(

)2

6.02.0cos(

)2

cos(

)2

cos(

)6493.05548.11)(8482.04996.11()1(001836.0)(

.15,3.0,2.01)(lg20

1157)1(

.1,6.0

2121

41

:

cc

cc

P

sc

jP

w

w

uuuuuuH

dBdBeH

dBP

dBw

c

器要设计的数字高通滤波

字滤波器的系统函数为由此设计出原型低通数且在止带处衰减小于

通带内波动幅度型滤波器页的低通滤波器作为原取书解：

通带波动振幅小于

例 1--2

)75157.02252.0)(4575.0)(7515.02252.0()1(109.7

)()(

38197.0138197.0

1

321

1

1

1

11

1

11

jzzjzz

uHzH

chebyshev

zz

zzu

zz

uP

滤波器的系统函数为高通

三、低通 -- 带通 --1

11

1

10

0

0

11

0

w

eeweewew

zu

hc

Lc

jwjhc

jwjLc

jw

带通变量低通变量带通频率低通频率带通关系：数字低通

三、低通 -- 带通 --2

c c0

)( jL eH

Lw hw0 w

)( jwp eH

0w

低通滤波器

带通滤波器

可以看出：根据全通函数的相位变化量为 N 的性质，应取 N=2

三、低通 -- 带通 --3

11

211

11

12

)(

2)

2(

)2

cos(

)2

cos(,

)(1

)(

111)(

1)(

12

12

11

221*

21*2

1*

1

1

*12

11

*111

11

*11

zk

kzkk

kkz

kkz

zgu

tgww

ctgk

ww

ww

zz

zz

zz

zz

zz

zgu

zz

zg

cLh

Lh

Lh

i i

i

N

i i

i

则：

令

且

换的全通函数：从低通变换到带通的变

“ ”中应取 一 号。且全通函数：

例 1--1• 试由 Butterworth 低通滤波器，通过映射变换，设计一个带通的数字滤波器。

)533.0241.11

59.12534.011(2.0)(

)1(2.0

,5

3,5

2

21

1

1

uuu

uuH

hButterwort

ww

p

c

hL

滤波器的系统函数为：低通解：模拟低通滤波器：

其中带通数字滤波器：

例 1--2

)533.0241.11

59.12534.011(2.0

)()(

11

211

11

12

110102

)2

(

,0)

10cos(

)2

cos(

)2

cos(

)2

cos(

)2(

42

2

2

21,0

12

12

1

21

zzz

z

uHzH

zz

kkz

kk

kkz

kkz

u

tgctgtgww

ctgk

ww

ww

zup

ka

cLh

Lh

Lh

映射关系：

四、低通 -- 带阻 --1

01

11

10

00

0

11

jw

jwjLc

jwjhc

eweeweew

zu

Lc

hc

带阻变量低通变量带阻频率低通频率带阻关系：数字低通

四、低通 -- 带阻 --2

c c0

)( jL eH

Lw hw0 w

)( jwp eH

0w

低通滤波器

带通滤波器

可以看出：根据全通函数的相位变化量为 N 的性质，应取 N=2

四、低通 -- 带阻 --3

11

21

11

11

2

)(

2)

2(

)2

cos(

)2

cos(,

)(1

)(

111)(

1)(

12

12

11

221*

21*2

1*

*1

1

12

11

*111

11

*11

zk

zk

kk

kzk

zzgu

tgww

tgk

ww

ww

zz

zz

zz

zz

zz

zgu

zz

zg

cLh

Lh

Lh

i i

i

N

i i

i

则：

令

且

换的全通函数：从低通变换到带通的变

”号。“中应取且全通函数：

总结

第八节频率变换法

一、频率变换法• 从上面几节可以看出设计各类数字滤波器可以有以下两种方法：（ 1 ）模拟频率变换法（ 2 ）数字频率变换法

二、模拟频率变换法1 、原理

• 把一个归一化原形模拟低通滤波器经模拟频带变换成所需要类型（截止频率为另一低通、或高通、带通、带阻）的模拟滤波器。然后再通过冲激响应不变法或双线性变换法数字化为所需的数字滤波器。

2 、模拟频率变换法的原理框图模拟归一化低通原型

模拟低通、高通、带通、带阻数字低通、高通、带通、带阻

频带变换 数字化

先模拟频率变换，再数字化

双线性变换法或冲激不变法

3 、注意点• 实际上把以上合成二步来实现。• 模拟归一化低通原型变换到模拟低通、高通、带通、带阻等滤波器的公式 + 与双线性变换得到相应数字滤波器的公式。• 将以上两公式合并，就可直接从模拟低通归一化原型通过一定的频率变换的关系，一步完成各类数字滤波器的设计。• 这里只谈双线性变换法，因为冲激响应不变法有频率混叠失真效应，只对能严格限带的数字低通、带通滤波器的设计才能应用。对于数字高通、带阻滤波器，不能直接应用。

4 、设计方案和步骤• （ 1 ）频率变换• （ 2 ）去归一化（模拟归一化 --> 模拟滤波）• （ 3 ）频率预扩展• （ 4 ）数字化

5 、数字低通滤波器设计公式 --1• 要设计数字低通滤波器无须频率变换。

率。为数字滤波器的截止频其中

频率预扩展：

为截止频率其中去归一化

查表得。由求归一化模拟低通原型

c

wtg

T

pp

aLpp

aLaL

cpp

aLaL

aL

w

pHpHpH

pHpH

pH

cC

C

)2

(2

)()()(

)3(

,)()()2(

)()1(

5 、数字低通滤波器设计公式 --2

)11

)(2

(

)2

(2

)11

(2

1

1

1

1

)()(

)()(:4

zzw

ctgpaLL

wtg

T

zz

Tp

aL

c

c

pHzH

pHzH

直接公式为：

）数字化（

6 、数字高通滤波器设计公式 --1

止频率。为高通数字滤波器的截其中

频率预扩展：为截止频率其中

去归一化

查表得。由求归一化模拟低通原型

c

s

tgT

sp

aLah

c

ssp

aLah

aL

w

pHsH

pHsH

pH

c

c

c

)2

(2

1

)()(

)3(

)()()2(

)()1(

6 、数字高通滤波器设计公式 --2

)11

)(2

(

)11

(2

)2

(2

1

1

1

1

)()(

)()(:4

zzw

tgpaLh

zz

T

wtg

Ts

p

aL

c

c

c

pHzH

pHzH

直接公式为：

）数字化（

7 、数字带通滤波器设计公式 --1

、下截止频率。为带通数字滤波器的上心频率为带通数字滤波器的中其中

频率预扩展：率为带通滤波器的中心频为带宽，其中

去归一化

查表得。由求归一化模拟低通原型

（

Lh

wtg

Tw

tgT

s

wtg

Ts

p

aLap

sBs

ss

Bp

aLap

aL

www

pHsH

B

pHsH

pH

Lh

,

)()(

)3(

)()()2(

)()1(

0

)]2

(2

)2

(2

[

))2

(2

(

0

)

202

20

20

0

0

7 、数字高通滤波器设计公式 --2

)]2

(2

)2

(2

)[112

(

))2

(2

()112

(

1

1

1

1

2021

1)()(

112:4

Lh wtg

Tw

tgTz

zT

wtg

Tzz

Tp

aLp pHzH

zz

Ts

直接公式为：

令）数字化（

8 、数字带阻滤波器设计公式 --1

心频率为带阻数字滤波器的中其中

频率预扩展：率为带阻滤波器的中心频其中

去归一化

查表得。由求归一化模拟低通原型

0

))2

(2

(

))2

(2

(

0

202

20

20

2

20

)()(

)3(

)()()2(

)()1(

w

pHsH

pHsH

pH

wtg

Ts

wtg

Ts

p

aLas

ss

paLas

aL

8 、数字带阻滤波器设计公式 --2

2021

1

201

1

)2

(2

)112

(

))2

(2

)(112

(

1

1

)()(

112:4

wtg

Tzz

T

wtg

Tzz

Tp

aLs pHzH

zz

Ts

（

直接公式为：

令）数字化（

三、数字频率变换法1.原理

• 由模拟低通原型先利用冲激响应不变法或双线性变换法进行数字化成数字低通滤波器，然后利用数字频带变换法，将它变换成所需要的各型数字滤波器（另一截止频率的数字低通、高通、带通、带阻）。

2 、数字频率变换法的原理框图模拟归一化低通原型 数字低通 数字低通、高通、带通、带阻

频带变换数字化

先数字化，再频率变换。

双线性变换法或冲激不变法

3. 设计步骤• (1) 模拟归一化原型 Ha(s).• (2) 去归一化• (3) 数字化• (4) 频率变换

4 、具体公式 --1• 采用数字频率变换法，设计步骤的前三步都一样。

1

1

112

1 11

)()(

1)()(

)3(

)()()2(

)()1(

zz

Ts

a

N

k

N

kTsk

k

ka

c

pp

aLaL

aL

sHzH

zeA

zHss

AsH

pHsH

pH

k

c

双线性变换法

冲激不变法

数字化：心频率为模拟低通滤波器的中其中

去归一化

查表得。由求归一化模拟低通原型

4 、具体公式 --2

)2

cos(

)2

cos(,)()(

)2

sin(

)2

sin(,)()(

)4(

1

11

1

11

1

1

cc

cc

azaz

uLphp

cc

cc

azaz

uLpLp

auHzH

auHzH

低通到高通：

低通到低通：频率变换：

4 、具体公式 --3

2)

2(,

)2

cos(

)2

cos(

)()(

11

211

11

12

12

12

1

cLh

Lh

Lh

zkak

zkk

kk

zkak

zu

Lpbp

tgctgka

uHzH

低通到带通：

4 、具体公式 --4

2)

2(,

)2

cos(

)2

cos(

)()(

112

11

11

12

12

12

1

cLh

Lh

Lh

zka

zkk

kk

zka

zu

Lpbs

tgtgka

uHzH

低通到带阻：

作业• 第 104页第 7题，第 11题。要求一题用模拟频率变换法，一题用数字频率变换法求解。

第九节计算机辅助设计法

一、计算机辅助设计法• 计 算 机 辅 助 设 计 法 是 一 种 最 优 化 的 设 计 法。 所 谓 最 优 化 设 计 是 在 某 种 准 则 下 使 逼 近 误 差 最 小 所 进 行 的 设 计。• 这 种 方 法 的 特 点 是 不 直 接 给 出 滤 波 器 系 统 函 数 的 显 式 解， 而 是 在 所 要 求 的 频 率 响 应 与 实 际 设 计 出 来 滤 波 器 频 率 响 应 之 间 规 定 一 个 误 差 范 围， 用 某 种 最 优 化 算 法 确 定 滤 波 器 系 统 函 数。

二、计算机辅助设计法的种类• 下 面， 我 们 介 绍 四 种 最 优 化 的 设 计 法：• 1 、 最 小 均 方 误 差 设 计 法（讲）• 2 、 最 小 P 误 差 设 计 法（讲）• 3 、 线 性 规 划 设 计 法（不讲）• 4 、 最 小 平 方 逆 设 计 法（不讲）

三、最 小 均 方 误 差 设 计 法(施泰格利茨 steiglitz)

1. 方法准则• 最 小 均 方 误 差 设 计 法 的 最 佳 准 则 是 一 种 在 有 限 频 率 点上，频率 响 应 幅 度 均 方 误 差 最 小 的 准 则。设 在 一 组 离 散 频 率 点 wi(i=1,2,3…M) 上 所 要 求 的 频 率 响 应 为 Hd(ejw) ， 实 际 频 率 响 应 为 H(ejwi) ， 则 这 种 设 计 法 要 求：

最 小。

M

i

jwd

jw ii eHeHE1

2)()(

2.几点注意• 1 、 这 种 最 优 化 算 法， 对 零 、 极 点 位 置 没 有 任 何 限 制， 因 此 有 可 能 得 到 不 稳 定 的 滤 波 器（ 极 点 在 单 位 圆 外）。在 这 种 情 况 下，可 级 联 一 全 通 网 络 将 单 位 圆 外 极 点 反 射 到 单 位 圆 内。• 2 、 通 过 级 联 全 通 网 络 得 到 稳 定 滤 波 器 后， 可 再 次 用 此 最 优 化 算 法， 使 均 方 误 差 更 小。• 3 、 所 选 频 率 组 wi(i=1,2…M) 可 以 是 均 匀 分 布， 也 可 以 是 不 均 匀 分 布 的。

3.例 1 ：校正不稳定滤波器 --1• 对于不稳定的滤波器，我们可以通过级联一个全通网络把单位圆外的极点反射到单位圆内，把它变成一稳定的滤波器。• 设不稳定滤波器有一对极点在单位圆外，现在用一个全通网络，其零点对应于不稳定滤波器的一对单位圆外的极点位置，因此其极点是不稳定滤波器单位园外的极点反射到单位园内。级联后，由于不稳定滤波器的极点与全通网络的零点抵消，我们得到了稳定系统的滤波器。

3.例 1 ：校正不稳定滤波器 --2

不稳定滤波器 全通网络 级联后的稳定滤波器

四、最 小 P 误 差 设 计 法（德克茨基 Deczky)1 、逼近准则

• 最 小 P 误 差 设 计 法 是 最 小 均 方 误 差 设 计 法 的 推 广， 是 误 差 的 P 次 幂 的 加 权 平 均 的 最 小 化 作 为 逼 近 准 则。 即 使

最 小。

为正的加权函数其中 )()()()(

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dweHeHwWE

a

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a

四、最 小 P 误 差 设 计 法2 、应用

• 这 种 方 法 除 了 用 来 设 计 最 佳 的 幅 度 响 应， 还 可 用 于 群 时 延 均 衡 器 的 最 佳 设 计。 其 误 差 表 示 为

• 注 意：最 小 P 误 差 设 计 法 所 得 最 佳 参 数 对 应 于 稳 定 的 滤 波 器。

为正的加权函数其中 )(

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