FIR i IIR filtarske strukture
description
Transcript of FIR i IIR filtarske strukture
FIR i IIR filtarske strukture
Digitalna obradba signala
2
SadržajSadržaj
FIR strukture direktna realizacija transponirana realizacija FIR filtri linearne faze kaskadna realizacija
IIR strukture direktne I i II realizacije transponirana direktna II realizacija kaskadna realizacija paralelna realizacija
3
Filtarske struktureFiltarske strukture
konvolucijska sumacija može biti korištena u realizaciji diskretnih vremenski stalnih linearnih sustava (LTI – linear time invariant)
neprikladna za IIR filtre zbog beskonačne duljine impulsnog odziva
realizacija IIR filtara se temelji na izravnoj implementaciji jednadžbe diferencija odnosno prijenosne funkcije
4
Filtarske struktureFiltarske strukture
ulazno izlazni model IIR filtra pretpostavlja konačnu sumu produkata
s druge strane, FIR filtri se mogu realizirati konvolucijskom sumacijom koja je konačna suma produkata
1 0
[ ] [ ] [ ]N M
m mm m
y n a y n m b u n m
0
[ ] [ ] [ ]N
m
y n h m u n m
5
Filtarske struktureFiltarske strukture
realizacija LTI digitalnih filtara može biti, ovisno o primjeni, programska ili sklopovska
u oba slučaja vrijednosti uzoraka signala i vrijednosti filtarskih koeficijenata prikazuju se s konačnom preciznosti
6
međutim, direktna implementacija digitalnih filtara temeljena bilo na jednadžbi diferencija bilo na konačnoj konvolucijskoj sumaciji često može rezultirati nezadovoljavajućim performansama zbog aritmetike konačne preciznosti
od praktičnog je interesa razviti alternativne realizacije i izabrati strukture koje daju zadovoljavajuće performanse uz aritmetiku konačne preciznosti
Filtarske struktureFiltarske strukture
7
strukturalni prikaz pomoću elementarnih blokova - blok dijagram - je prvi korak u sklopovskoj ili programskoj realizaciji LTI digitalnih filtara
blok dijagram omogućava dobar uvid o odnose unutarnjih varijabli te ulaza i izlaza
Filtarske struktureFiltarske strukture
8
Elementi blok dijagramaElementi blok dijagrama računalne algoritme za realizaciju digitalnih
filtara moguće je pogodno prikazati pomoću blok dijagrama koristeći elementarne gradivne blokove
Au[n] y[n]u[n] y[n]
w[n]
y[n]1zu[n]
x[n] x[n]
x[n]
zbrajalo
element za kašnjenje
množilo s konstantom
čvor račvanja
9
Blok dijagramiBlok dijagrami
prednosti prikaza sustava pomoću blok dijagrama
(1) jednostavno je napisati računalni algoritam uvidom u blok dijagram
(2) jednostavno je analizirati blok dijagram kako bi se odredio eksplicitni odnos ulaza i izlaza
10
Blok dijagramiBlok dijagrami
(3) jednostavan je preustroj blok dijagrama kako bi se izgradio “ekvivalentni” blok dijagram koji vodi na različite računalne algoritme
(4) jednostavno je definirati zahtjeve na sklopovlje za realizaciju
(5) jednostavno je razviti prikaze blok dijagrama izravno iz prijenosne funkcije
11
Problem petlji bez elemenata za kašnjenjeProblem petlji bez elemenata za kašnjenje
fizička realizacija filtarskih struktura je nemoguća ako postoje petlje u blok dijagramu koje ne sadrže elemente za kašnjenje
ilustrirajmo ovaj problem na slijedećem primjeru
12
Problem petlji bez elemenata za Problem petlji bez elemenata za kašnjenjekašnjenje
analiza ove strukture vodi na
što kombinacijom rezultira u
izračunavanje trenutne vrijednosti y[n] zahtjeva poznavanje iste vrijednosti
][][][ nynwnu ])[][(][ nAunvBny
])[][(][][ nynwAnvBny
13
ovo je fizički nemoguće postići zbog konačnog vremena potrebnog za izvođenje aritmetičkih operacija na digitalnom računalu
potrebno je detektirati postojanje takvih petlji o nekoj strukturi i odgovarajućim postupkom ih ukloniti ne narušavajući ukupne ulazno izlazne odnose
Problem petlji bez elemenata za kašnjenjeProblem petlji bez elemenata za kašnjenje
14
uklanjanje se postiže zamjenom dijela strukture s ekvivalentnom realizacijom koja ne sadrži petlju bez elemenata za kašnjenje
primjer jedne takve realizacije
Problem petlji bez elemenata za kašnjenjeProblem petlji bez elemenata za kašnjenje
])[][(][][ nynwAnvBny 1[ ] [ ] [ ] [ ]
1y n w n w n Bv n
AB
15
Ekvivalentne struktureEkvivalentne strukture
dvije su strukture digitalnog filtra ekvivalentne ako imaju istu prijenosnu funkciju
postoji niz metoda za generaciju ekvivalentnih struktura
vrlo je koristan postupak generiranja ekvivalentne strukture tzv. postupkom transponiranja izvorne strukture
16
Ekvivalentne struktureEkvivalentne strukture
Postupak transponiranja blok dijagrama
(1) okrenuti sve tokove signala
(2) zamijeniti sve čvorove račvanja sa zbrajalima i obrnuto
(3) zamijeniti ulazni i izlazni čvor sve ostale metode za gradnju ekvivalentnih
struktura temelje se na specifičnom algoritmu za svaku strukturu
17
Ekvivalentne struktureEkvivalentne strukture
postoji zapravo beskonačan broj ekvivalentnih struktura koje realiziraju istu prijenosnu karakteristiku
zato je nemoguće razviti sve ekvivalentne realizacije
ovdje ćemo se ograničiti samo na najčešće korištene strukture
18
Ekvivalentne struktureEkvivalentne strukture
korištenjem aritmetike beskonačne preciznosti bilo koja realizacije digitalnih filtara ponašala bi se identično za bilo koju ekvivalentnu strukturu
međutim, u praksi, zbog konačne duljine riječi , specifična realizacija se može ponašati potpuno drugačije od svoje ekvivalente realizacije
19
Ekvivalentne struktureEkvivalentne strukture važno je stoga izabrati strukturu koja
pokazuje najmanju osjetljivost na efekte kvantizacije u slučaju korištenja aritmetike konačne preciznosti
očigledan pristup u pronalaženju takve strukture temelji se na analizi utjecaja konačne duljine riječi i aritmetike konačne preciznosti za veliki broj ekvivalentnih struktura čime je omogućen izbor najpovoljnije
20
Pojednostavljeno crtanje blok Pojednostavljeno crtanje blok dijagramadijagrama
u2[n]
z-1
u[n]
u1[n]
y[n]= u1[n]+ u2[n]
a y[n]= au[n]
u[n] y[n]= u[n-1]
u2[n]
u[n]
u1[n]
y[n]= u1[n]+ u2[n]
a y[n]= au[n]
u[n] y[n]= u[n-1] z-1
21
Direktna realizacija FIR filtraDirektna realizacija FIR filtra
M
mm mnuhny
0
][][
z-1 z-1
h1 h2
z-1
h3 h0
u[n]
hM-1
z-1
hM
y[n]
22
Transponirana strukturaTransponirana struktura
]2[]1[][][][ 210
2
0
nuhnuhnuhmnuhnym
m
][]1[]2[][ 012 nuhnuhnuhny
z-1 z-1
h1 h2
h0
u[n]
y[n]
z-1 z-1
h1 h2
h0
u[n]
y[n]
z-1 z-1
h1 h0
h2
u[n]
y[n]
23
Transponirana strukturaTransponirana struktura
z-1 z-1
h M-1 hM-2
z-1
hM-3 hM
u[n]
h1
z-1
h0
y[n]
24
Strukture za FIR filtre linearne fazeStrukture za FIR filtre linearne faze
4 tipa FIR filtara linearne faze
Tip I: h[n] = h[M-n] 0 n M, M je paran
Tip II: h[n] = h[M-n] 0 n M, M je neparan
Tip III: h[n] = -h[M-n] 0 n M, M je paran
Tip IV:h[n] = -h[M-n] 0 n M, M je neparan
25
Strukture za FIR filtre linearne fazeStrukture za FIR filtre linearne faze
za tipove I i III možemo pisati:
M
m
mnumhny0
][][][
M
Mm
MM
M
m
mnumhnuhmnumh1
2
22
1-2
0
][][][][][][
1
2
022
12
0
][][][][][][][-
M
m
MM
-M
m
mMnumMhnuhmnumhny
*
1
2
0
0
12
11 ][][][][
1
M
mMm
mMnumMhmMnumMh
* uvodimo zamjenu m1 =M-miz čega slijedi:
26
Strukture za FIR filtre linearne fazeStrukture za FIR filtre linearne faze
za Tip I vrijedi: h[n] = h[M-n], M je paran
]2
[]2
[]}[][]{[][1
2
0
Mnu
MhmMnumnumhny
-M
m
za Tip III vrijedi: h[n] = -h[M-n], M je paran
1
2
0
]}[][]{[][-
M
m
mMnumnumhny0]
2
M[ h
1
2
0
12
0
][][]2
[]2
[][][][
-M
m
-M
m
mMnumMhM
nuM
hmnumhny
27
Strukture za FIR filtre linearne fazeStrukture za FIR filtre linearne faze
za Tip II vrijedi: h[n] = h[M-n], M je neparan
]}[][{][][2
1
0
mMnumnumhny
M-
m
za Tip IV vrijedi: h[n] = -h[M-n], M je neparan
][][{][][2
1
0
mMnumnumhny
M-
m
28
Strukture za FIR filtre linearne fazeStrukture za FIR filtre linearne faze
M paran
M neparan
z-1 z-1
h1 h2
h0
u[n]
hM/2-1
z-1
hM/2
y[n]
z-1 z-1 z-1
z-1 z-1
h1 h2
h0
u[n]
h(M-3)/2
z-1
h(M-1)/2
y[n]
z-1 z-1 z-1 z-1
29
Kaskadna realizacija FIR filtaraKaskadna realizacija FIR filtara
razbijanje transfer funkcije H[z] na sekcije drugog reda
M
n
nznhzH0
][][
s
m
zzM
1
22m
11m0m )bb(b
gdje je Ms najveći cijeli broj sadržan u (M+1)/2
uMs[n] yMs-1[n]
H1(z) H2(z) HMs(z) u[n] = u1[n]
u3[n] u2[n] y1[n] y2[n] yMs[n]
30
Kaskadna realizacija FIR filtaraKaskadna realizacija FIR filtara
realizacija2
2m1
1m0m bbb)(H zzzm
]2[b]1[b][b][y 2m1m0m nununun mmmm
z-1
b0m um[n]
) ym[n]
b1m
b2m
z-1
31
Kaskadna realizacija FIR filtaraKaskadna realizacija FIR filtara
pa je izgled cijele strukture:
z-1
b01 u[n]
b11
b21
z-1
z-1
b02
b12
b22
z-1
z-1
b0Ms y[n]
b1Ms
b2Ms
z-1
32
Polifaznna realizacija FIR filtaraPolifaznna realizacija FIR filtara
polifazna dekompozicija H(z) – paralelna struktura postupak dekompozicije za kauzalni FIR filtar reda M=8
8765
4321
8765+
4321]0[
zhzhzhzh
zhzhzhzhhzH
)7531(
)8642]0[(7531
8642
zhzhzhzh
zhzhzhzhhzH
izvršimo grupiranje na slijedeći način:
33
Polifaznna realizacija FIR filtaraPolifaznna realizacija FIR filtara
2 4 6 8
1 2 4 6
[0] 2 4 6 8
1 3 5 7
H z h h z h z h z h z
z h h z h z h z
uvođenjem notacije:
8642]0[ 43210
zhzhzhzhhzE
3211 7531 zhzhzhhzE
možemo pisati:
)()()( 21
120 zEzzEzH
34
Polifaznna realizacija FIR filtaraPolifaznna realizacija FIR filtara
izvršimo li grupiranje na slijedeći način:
)852(
)741(
)63]0[(
632
631
63
zhzhhz
zhzhhz
zhzhhzH
uvođenjem notacije: 21
0 63]0[ zhzhhzE
211 74]1[ zhzhhzE
212 85]2[ zhzhhzE
slijedi:
32
231
130)( zEzzEzzEzH
35
Polifaznna realizacija FIR filtaraPolifaznna realizacija FIR filtara
prikazana dekompozicija H(z) naziva se polifazna dekompozicija
u općem slučaju polifazna dekompozicija na L grana je oblika
)()(1
0
L
m
Lm
m zEzzH
gdje je
0
( ) [ ] za 0 1
cjelobrojna vrijednost od
ML
nm
n
M ML L
E z h Ln m z m L
36
Polifaznna realizacija FIR filtaraPolifaznna realizacija FIR filtara
u[n] y[n]
z-1
z-1
E0(z3)
E1(z3)
E2(z3)
+
+u[n] y[n]
z-1
E0(z2)
E1(z2)
+
37
Polifaznna realizacija FIR filtara Polifaznna realizacija FIR filtara
u[n] y[n]E0(z3)
E1(z3)
E2(z3)
<<
<<
<<
<<
<
u[n]y[n]E0(z3)
E1(z3)
E2(z3)
<<
<<
<<
<<
<
u[n] y[n]E0(z3)
E1(z3)
E2(z3)
<
<
transponirana struktura
z-1
z-1
z-1
z-1
38
u[n] y[n]
z-1
z-1
E0(z3)
E1(z3)
E2(z3)
+
+
y[n]E0(z3)
E1(z3)
E2(z3)
<<
<<
<<
<<
< y[n]E0(z3)
E1(z3)
E2(z3)
<
z-1
z-1
u[n]
Polifaznna realizacija FIR filtaraPolifaznna realizacija FIR filtara
39
Polifaznna realizacija FIR filtaraPolifaznna realizacija FIR filtara
u[n]
h[0]
h[3]
h[6]
h[1]
h[4]
h[7]
h[2]
h[5]
h[8]
z-3z-3< < < <
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
z-1<
<<
z-1
y[n]
40
Realizacija IIR filtaraRealizacija IIR filtara
Z transformacijom pišemo prijenosnu funkciju:
M
mm
N
mm mnubmnyany
01
][][][
N
m
mm
M
m
mm
za
zbz
1
0
1)(H
polinomi od z-1 u brojniku i nazivniku
sustav ima nule i polove
41
Realizacija IIR filtaraRealizacija IIR filtara
nule od H(z):
)(H)(H1
)(H 21N
1
M
0 zzza
zbz
m
mm
m
mm
N
1
2
1
1)(H
m
mm za
z
M
01 )(H
m
mm zbz
polovi od H(z):
42
Direktna I realizacija IIR filtraDirektna I realizacija IIR filtra
M+N+1 množenja
M+N zbrajanja M+N+1
memorijskih lokacija
All-Zero System
z-1
b0 u[n]
b1
b2
z-1
-a1
-a2
y[n]
b3
z-1
bM-1
bM
z-1
-a3
-aN-1
-aN
z-1
z-1
z-1
z-1
All-Pole System
43
Direktna II realizacija IIR filtraDirektna II realizacija IIR filtra
M+N+1 množenja M+N zbrajanja max(M, N)
memorijskih lokacija
kompaktnija struktura jer vrijedi:
z-1
b0 u[n]
b1
b2
z-1
-a1
-a2
y[n]
b3
z-1
bM-1
bM
z-1
-a3
-aN-1
-aN
w[n]
w[n-1]
w[n-2]
N
mm numnwanw
1
][][][
M
mm mnwbny
0
][][
44
Nedostaci direktnih realizacija IIR filtraNedostaci direktnih realizacija IIR filtra
izuzetno osjetljive na promjene koeficijenata
nisu preporučljive u praktičnim aplikacijama kvantizacija koeficijenata
aritmetika konačne duljine riječi
45
Transponirana direktna II strukturaTransponirana direktna II struktura
z-1
b0 u[n]
b1
b2
z-1
-a1
-a2
y[n]
b3
z-1
bN-1
bN
z-1
-a3
-aN-1
-aN
w1
w2
y[n] = w1[n-1] + b0u[n]
wm[n] = wm+1[n-1] – amy[n] + bmu[n]
m = 1, 2, ..., N-1
wN[n] = bNu[n] – aNy[n]
M
mm
N
mm mnubmnyany
01
][][][
46
IIR sustav drugog reda – direktna I IIR sustav drugog reda – direktna I realizacijarealizacija
y[n] = b0u[n] + b1u[n –1] + b2u[n-2] – a1y[n-1] – a2y[n-2]
22
11
22
110
aa1
bbb)(H
zz
zzz
z -1
u[n] b0
z -1
b1
b2
-a1
-a2
z -1
z -1
y[n]
47
IIR sustav drugog reda – direktna II IIR sustav drugog reda – direktna II realizacijarealizacija
w[n] = – a1w[n-1] – a2w[n-2] + u[n]
y[n] = b0w[n] + b1w[n-1] + b2w[n-2]
1 20 1 2
1 21 2
b b bH( )
1 a a
z zz
z z
z -1
u[n] b0
z -1
b1
b2
-a1
-a2
y[n] w[n]
w[n-1]
w[n-2]
48
IIR sustav drugog reda – transponirana IIR sustav drugog reda – transponirana direktna II realizacijadirektna II realizacija
y[n] = b0u[n] + w1[n-1]
w1[n] = b1u[n] – a1y[n] + w2[n-1]
w2[n] = b2u[n] – a2y[n]
1 20 1 2
1 21 2
b b bH( )
1 a a
z zz
z z
z -1
u[n] b0
z -1
-a1
-a2
b1
b2
y[n]
w1[n]
w2[n]
49
Kaskadna realizacija IIR filtaraKaskadna realizacija IIR filtara
)()()(
)()()(
)(
)()(H
321
321
zAzAzA
zBzBzB
zA
zBz
razlaganje transfer funkcije H(z) na sekcije nižeg reda polinomi u brojniku i nazivniku prikazuju se kao produkti polinoma nižeg reda primjer:
različite kaskadne realizacije (36) postiže se različitim uparivanjem polova i nula ili/i izmjenom redoslijeda sekcija u kaskadi
50
Kaskadna realizacija IIR filtaraKaskadna realizacija IIR filtara
)(
)(
1
1
zA
zB
)(
)(
2
2
zA
zB
)(
)(
3
3
zA
zB
)(
)(
2
1
zA
zB
)(
)(
3
2
zA
zB
)(
)(
1
3
zA
zB
)(
)(
3
1
zA
zB
)(
)(
1
2
zA
zB
)(
)(
2
3
zA
zB
)(
)(
2
1
zA
zB
)(
)(
1
2
zA
zB
)(
)(
3
3
zA
zB
)(
)(
1
1
zA
zB
)(
)(
3
2
zA
zB
)(
)(
2
3
zA
zB
)(
)(
3
1
zA
zB
)(
)(
2
2
zA
zB
)(
)(
1
3
zA
zB
različite ekvivalentne kaskadne realizacije različitim uparivanjem polova
51
Kaskadna realizacija IIR filtaraKaskadna realizacija IIR filtara
)(
)(
1
1
zA
zB
)(
)(
2
2
zA
zB
)(
)(
3
3
zA
zB
)(
)(
2
2
zA
zB
)(
)(
1
1
zA
zB
)(
)(
3
3
zA
zB
)(
)(
2
2
zA
zB
)(
)(
3
3
zA
zB
)(
)(
1
1
zA
zB
)(
)(
3
3
zA
zB
)(
)(
1
1
zA
zB
)(
)(
2
2
zA
zB
)(
)(
3
3
zA
zB
)(
)(
2
2
zA
zB
)(
)(
1
1
zA
zB
)(
)(
1
1
zA
zB)(
)(
2
2
zA
zB
)(
)(
3
3
zA
zB
različite ekvivalentne kaskadne realizacije promjenom redoslijeda sekcija
52
Kaskadna realizacija IIR filtaraKaskadna realizacija IIR filtara
razbijanje transfer funkcije H(z) na sekcije drugog reda
L
1
)(HG)(Hl
l zz
gdje je L najveći cijeli broj sadržan u (N+1)/2 G = bo
G = G1 G2 GL
voditi računa o uparivanju polova i nula u aritmetici konačne duljine riječi
22
11
22
11
aa1
bb1)(H
zz
zzz
ll
lll
53
Kaskadna realizacija IIR filtaraKaskadna realizacija IIR filtara
y0[n] = u[n]
wl[n] = al1wl[n-1] –al2wl[n-2] + yl-1[n] l = 1, 2,..., L
yl[n] = wl[n] + bl1wl[n-1] + bl2wl[n-2]
y[n] = GyL[n]
uL[n] yL-1[n]
H1(z) H2(z) HL(z) u[n] = u1[n]
u3[n] u2[n] y1[n] y2[n] y[n]
1
-al1
-al2
1
bl1
bl2 z -1
z -1
ul[n] yl[n]
wl[n]
54
Paralelna realizacija IIR filtaraParalelna realizacija IIR filtara
N
111
A C)(H
l l
l
zpz
gdje su pl polovi, a Al koeficijenti u rastavu na parcijalne razlomke
N M
n
n
a
b C
u[n] C
H1(z)
H2(z)
HN(z)
+
+
+ y[n]
55
Paralelna realizacija IIR filtaraParalelna realizacija IIR filtara
kombiniraju se konjugirano kompleksni polovi
22
11
110
aa1
bb)(H
zz
zz
ll
lll
N
1
)(H C)(Hl
l zz
1
-al1
-al2
bl1
bl0
z -1
z -1
ul[n] yl[n]
wl[n]
wl[n] = -al1wl[n-1] – al2wl[n-2] + ul[n]
yl[n] = bl0wl[n] + bl1wl[n-1]
L
ll nnn
1
][y ]Cu[][y
56
LiteraturaLiteratura
A. V. Oppenheim, R. W.Schafer: Discrete-Time Signal Processing (poglavlje 6.5: Basic Network Structures for FIR Systems)
John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis: Introduction to Digital Signal Processing (poglavlje 7: Realization of Discrete-Time Systems)
S. K. Mitra: Digital Signal Processing (poglavlje 6: Digital Filter Structures)