ФИЗИКА - fizika-i-himia.narod.ru · 4 которых прикрепляется...

1

ФИЗИКАКОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Мо с к в а – 2 0 0 4

Руководство к выполнениюлабораторных работдля студентов II курса

инженерно-технических специальностей

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

МИНИСТЕРСТВА ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯРОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

4/1/14

Одобрено кафедрой«Физика и химия»

2

С о с т а в и т е л и : канд. техн. наук, доц. А.В. Яcкеляин,канд. техн. наук, доц. Т.Ф. Климова,ст. преп. Д.В. Климова,канд. физ.-мат. наук, доц. В.М. Пушин,ст. преп. В.Э. Геогджаев,канд. физ.-мат. наук, доц. Е.В. Панкратова

Р е ц е н з е н т — канд. физ.-мат. наук, доц. В.С. ФОКИН

© Российский государственный открытый технический университетпутей сообщения Министерства путей сообщения РоссийскойФедерации, 2004

3

ВВЕДЕНИЕ В ФИЗИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ

В современной науке и технике одной из важнейших задачявляется проведение эксперимента. Каким бы ни был сложнымтот или иной эксперимент, форма представления его результа-тов мало отличается от обычных студенческих отчетов по ла-бораторным работам. Любой эксперимент заканчивается пред-ставлением результатов, формулировкой основных выводов, апри необходимости выдачей соответствующих рекомендаций.

1.1. НАЗНАЧЕНИЕ ЛАБОРАТОРНОГО

ПРАКТИКУМА

Назначение физического лабораторного практикума сводит-ся к следующему:

• проверке теоретических положений курса физики;• приобретению опыта работы с приборами;• приобретению опыта в проведении эксперимента — это

наиболее важная задача лабораторного практикума. Она состо-ит в том, чтобы научить студента:а) планировать эксперимент так, чтобы точность измерений

соответствовала поставленной цели;б) учитывать возможность систематических ошибок и при-

нимать меры для их устранения;в) анализировать результаты проведенного эксперимента и

делать правильные выводы;г) оценивать точность окончательного результата;д) вести запись результатов измерений и расчетов аккурат-

но, ясно и кратко.

1.2. ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ ЛАБОРАТОРНОГО

ПРАКТИКУМА

1.2.1. Организация работы студентов

Работой студенческой группы в лаборатории руководят пре-подаватели. Группа разбивается на подгруппы, к каждой из

4

которых прикрепляется преподаватель на период работы в дан-ной лаборатории.

1.2.2. Подготовка студентов к выполнениюлабораторных работ

Необходимо внимательно изучить описание предстоящейлабораторной работы, ознакомиться по лекциям и соответству-ющей литературе с новыми понятиями и изучаемыми в даннойработе закономерностями. Затем необходимо усвоить положе-ния и физические понятия, используемые в данной лаборатор-ной работе. Далее важно хорошо разобраться в устройстве иработе установки или прибора.После этого составляется бланк отчета в соответствии с об-

разцом, приведенным на стенде в лаборатории. Все записи вы-полняются аккуратно синей или черной ручкой. Рисунки вы-полняются карандашом. Измерения и расчеты должны бытьзаписаны в системе СИ. Для записи результатов измерений со-ставляют таблицу.Кратные и дольные единицы в системе СИ образуются умно-

жением или делением их на степень 10 (табл. 1).

Таблица 1Обозначения Степень Обозначения Степень пико – п 10-12 дека – да 101 нано – н 10-9 гекто – г 102

микро – мк 10-6 кило – к 103 милли – м 10-3 мега – м 106 санти – с 10-2 гига – г 109 деци – д 10-1 тера – т 1012

Для выполнения графиков вклеиваются листы миллиметро-вой бумаги в соответствии с пределами изменения измеряемыхвеличин.На занятиях студент должен иметь чертежные инструменты

(карандаш, линейку, циркуль) и вести все записи с максималь-ной аккуратностью. Категорически запрещается ведение черно-виков, а также запись результатов эксперимента в бланк отчетакарандашом.

5

Проверка подготовленности студента и допуск к выполне-нию очередной лабораторной работы осуществляется препо-давателем, ведущим занятие в подгруппе. К выполнению лабо-раторной работы можно приступить только с разрешения пре-подавателя. Описание лабораторной работы, необходимыеинструменты и материалы студенты получают в обмен на сту-денческий билет. За полученное оборудование студент несетперсональную ответственность.В случае обнаружения неподготовленности студента к вы-

полнению лабораторной работы разрешается проработка ма-териала на данном занятии. Выполнение работы переноситсяна другое время.

1.2.3. Порядок выполнения работ в лаборатории

Перед выполнением необходимо изучить установку, осуще-ствить ее наладку, приобрести навыки работы с ней. При обна-ружении неисправности установки необходимо сообщить оней преподавателю. В процессе измерений каждым студентомв своем отчете внимательно и аккуратно производится записьрезультатов измерений (все записи выполняются ручкой, а некарандашом). Записи ведутся в точном соответствии с показа-ниями измерительных приборов. Данные с измерительногоприбора снимаются и записываются с точностью до цены деле-ния шкалы.В конце занятия студент подает отчет на подпись препода-

вателю, ведущему занятие в его группе. Отчет, не подписанныйпреподавателем, считается недействительным, а работа — не-выполненной.К следующему занятию в лаборатории необходимо полнос-

тью оформить отчет по предыдущей выполненной работе ипредставить его на подпись преподавателю.

1.2.4. Анализ результатов лабораторныхизмерений и их обработка

Выполняя лабораторные работы физического практикума, мыпроводим физический эксперимент. Конечным результатом лю-

6

бого эксперимента является набор необработанных данных —это информация, снятая непосредственно с измерительных при-боров. После анализа и обработки результатов измерений мы по-лучаем обработанные данные эксперимента, на основе которыхможно делать соответствующие выводы и рекомендации.Чтобы правильно и достоверно обработать эксперимент в

каждой лабораторной работе, необходимо хорошо разобрать-ся в основах теории обработки результатов физических измере-ний как прямых, так и косвенных. Недопустимо путать обра-ботку результатов прямых и косвенных измерений, так как онисущественным образом отличаются друг от друга.При обработке результатов эксперимента приходится чис-

ленные значения подставлять в соответствующие расчетныеформулы. При этом необходимо выбрать одну систему единицизмерения всех физических величин. Для студентов рекоменду-ется СИ.Запись расчетной формулы с подставленными числовыми зна-

чениями должна обязательно содержаться в отчете. Все расчетыосуществляют на микрокалькуляторах и записывают их с уче-том правил приближенных вычислений.При расчете погрешностей полезно помнить некоторые прак-

тические советы:• все вычисления ошибок нужно проводить только с одной

или, максимум, двумя значащими цифрами;• если не указана погрешность измерительного прибора, то

ее максимальное значение принимается равным половине деле-ния шкалы прибора;

• если результат содержит две значащие цифры, то неопреде-ленность измерения лежит в пределах 10%, если три значащиецифры — 1 %, если четыре значащие цифры — 0,1%;

• при определении окончательной относительной погрешно-сти частного или произведения складываются квадраты отно-сительных погрешностей. Соответственно, можно пренебречьвсеми относительными погрешностями, не превышающими од-ной трети от максимальной.Оценку качества проведенного эксперимента следует давать

только анализируя обработанные результаты измерений. Сред-

7

нее значение любой выборки никогда не совпадает с истиннымзначением физической величины. Поэтому полученный резуль-тат необходимо оценить и взвесить с учетом рассчитанных по-грешностей. Расчет погрешностей производится по формулам,приводимым в образцах отчетов к каждой лабораторной ра-боте.

1.2.5. Выводы по лабораторным работам

По каждой выполненной работе необходимо сделать соот-ветствующие выводы. При составлении выводов рекомендует-ся отразить следующие моменты:а) какая физическая величина, какими приборами и каким

методом определяется;б) краткое обсуждение полученного результата и его досто-

верность;в) анализ погрешностей с указанием причин, снизивших ка-

чество измерений;г) какие закономерности изучены экспериментально в дан-

ной работе;д) общее заключение о качестве полученных результатов;е) замечания по работе экспериментальной установки.

1.2.6. Защита лабораторных работ

Каждую выполненную лабораторную работу студент обязанзащитить. Студент допускается к защите при наличии соответ-ствующего разрешения преподавателя (подпись преподавате-ля). На защите студент должен показать знание теории и мето-дов измерения, используемых в данной работе; уметь формули-ровать и понимать встречающиеся в данной работе физическиезаконы и закономерности; знать определения всех встречающих-ся в работе физических понятий и величин; уметь анализиро-вать и объяснять полученные результаты; знать теорию погреш-ностей применительно к данной работе.Студент, полностью выполнивший и защитивший все лабо-

раторные работы, предусмотренные графиком, получает в концесеместра зачет по лабораторным работам.

8

1.2.7. Организация работ в лабораториях

Работая в лаборатории, студент обязан соблюдать правилатехники безопасности, с которыми его знакомит преподавательна вводном занятии.При выполнении работ в лаборатории не разрешается хож-

дение студентов и громкие разговоры. По всем непонятнымвопросам следует обращаться за разъяснениями только к пре-подавателю или лаборанту. После выполнения лабораторнойработы рабочее место приводится студентом в порядок, а по-лученные описания и приборы возвращаются лаборанту.

1.3. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ФИЗИЧЕСКИХ

ИЗМЕРЕНИЙ

При проведении лабораторных работ приходится измерятьвсевозможные физические величины. Под измерением понима-ют нахождение числового значения физической величины экс-периментальным путем в результате прямого или косвенногосравнения ее с однородной величиной, принятой за единичную.Измерение физических величин осуществляется с помощью спе-циальных технических средств.

1.3.1. Классификация измерений и погрешностей

Все физические измерения делятся на прямые и косвенные.При прямых измерениях значение физической величины опре-деляется непосредственно показаниями измерительного прибо-ра (измерение длины тела обычной линейкой или микрометром;измерение температуры тела термометром и т.д.).При косвенных измерениях значение физической величины

вычисляют на основании известной математической зависимо-сти от величин, определяемых на основе прямых измерений (оп-ределение объема параллелепипеда по его длине, ширине и вы-соте; определение скорости тела по измерениям пути и времении т.д.).Как бы совершенно не было техническое средство, невозмож-

но выполнить измерение абсолютно точно. Результат измере-

9

ния xi отличается от истинного значения физической величины

x0. Отклонение ,ii xxx −=∆ называется абсолютной погрешно-

стью измерения, где n

xx

n

ii∑

== 1 — среднее арифметическое зна-

чение измеряемой величины, n — число измерений.Для оценки результата измерений важно знать относитель-

ную погрешность измерения %. 0x

x∆=ε

Относительная погрешность безразмерна; ее часто выража-ют в процентах.Погрешность измерений зависит от многих факторов прове-

дения эксперимента. Погрешности классифицируются следую-щим образом: грубые (промахи), систематические и случайные.Грубые погрешности (промахи) обусловлены низкой органи-

зацией проведения эксперимента (неправильный отсчет иливременная неисправность измерительного прибора, кратковре-менное воздействие внешних раздражителей и т.д.). При обра-ботке результатов измерений они выявляются и не учитыва-ются.Систематические погрешности порождаются как несовер-

шенством измерительных приборов, так и недостатками мето-дики измерений (смещение нуля прибора и т.д.). Они всегдаприводят к отклонению результата измерения x

i в одну и ту же

сторону от истинного значения x0. Данные погрешности устра-

няются путем тщательной проверки приборов и углубленнойпроработки методики измерений. К неустранимым системати-ческим погрешностям относятся и н с т р у м е н т а л ь н ы е п о -г р е ш н о с т и ∆x

n, зависящие от свойств измерительного инст-

румента. Оцениваются они предельным значением по классуточности измерительных приборов (для обычной линейки∆x

n = 0,5 мм; для микрометра ∆x

n = 0,01 мм и т.д.).

При неоднократном измерении одной и той же физическойвеличины, одним и тем же прибором, по одной и той же мето-дике результаты каждого измерения отличаются друг от друга.

10

Причиной этому является случайная погрешность серии изме-рений ∆x

c. Случайные погрешности ∆x

c обусловлены множе-

ством разнообразных неконтролируемых факторов, и, как пра-вило, дают отклонение результата измерения в обе стороны отистинного значения x

0. При большом числе измерений случай-

ные погрешности наиболее часто подчиняются нормальному за-кону распределения случайных погрешностей. При обработкерезультатов физических измерений ставятся две основные за-дачи:1) нахождение числа, наилучшим образом отражающего ис-

тинное значение физической величины;2) определение погрешности и вероятности, с которой она

установлена (вероятность P некоторого события в математи-ческом понимании определяется отношением числа благопри-ятствующих случаев к числу возможных случаев в данной се-рии опытов).

1.4. ЗАКОН НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Предположим, что в одних и тех же условиях проведена се-рия (выборка) большого числа измерений некоторой физичес-кой величины, истинное значение которой x

0. В результате экс-

перимента получен ряд значений x1, x

2, x

3,...,x

n, каждое из кото-

рых отличается в большую или меньшую сторону от истинногозначения измеряемой физической величины.Считаем, что случайные погрешности измерений в данном

случае подчиняется закону нормального распределения (зако-ну Гаусса), который описывается функцией Гаусса:

( )( )

.21 2

2

2σ−−

σπ=

ixx

i exf

В показателе экспоненты находится величина , являющаясяпогрешностью отдельного измерения. Поэтому функция Гаус-са представляет фактически функцию плотности распределениявероятности случайных погрешностей измеряемой величины.

11

В формуле Гаусса ∑=

=n

iix

nx

1

1 — среднее арифметическое изме-

ряемой величины; ( )

11

2

−

−=σ

∑=

n

xxn

ii

— среднее квадратичное

отклонение серии измерений, σ2 называется дисперсией случай-ной величины; n — число измерений в данной серии опытов.Кривая нормального распределения симметрична, положе-

ние ее максимума для данной серии измерений соответствуетx–, а расстояние между точками перегиба равно 2σ и характери-зует степень влияния случайных погрешностей на результатыизмерений (рис. 1). Чем ýже Гауссова кривая, тем точнее прове-ден эксперимент (σ

1 < σ

2). В теории погрешностей доказывает-

ся, что среднее арифметическое x– наилучшим образом отражаетистинное значение искомой величины x

0. Тогда можно принять

x– = x0 . При этом погрешность каждого измерения из серии бу-

дет равна:

.ii xxx −=∆

Среднее значение многих выборок x– также подчиняется нор-

мальному закону распределения с дисперсией .2

n

σ При этом

Рис. 1

12

среднее квадратичное отклонение среднего результата серии из-мерений определяется по формуле:

( )

( ) .1

1

2

nnn

xx

S

n

ii

xσ=

−

−=

∑=

1.5. СЛУЧАЙНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ,

НАДЕЖНОСТЬ И ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ

Вероятность того, что истинное значение x0 измеряемой вели-

чины находится в интервале [ ],, cc xxxx ∆+∆− называется на-дежностью или доверительной вероятностью. Здесь x

c — случай-

ная погрешность серии измерений. Надежность определяется так:

( ) ( ) ,0 ∫∆+

∆−=∆+≤≤∆−=α

c

c

xx

xxcc dxxfxxxxxP

т.е. равна площади заштрихованной криволинейной трапеции.Площадь под всей кривой нормального распределения рав-

на единице, т.е. надежность или вероятность того, что истин-ное значение x

0 лежит в интервале от 0 до ∞, равна единице

(α = 1). Это достоверное событие.Интервал [ ]сc хxxx ∆+∆− , называется доверительным. Чем

он больше, тем выше надежность, тем больше вероятностьтого, что истинное значение попадает в этот интервал. Следо-вательно, случайная погрешность и надежность взаимно свя-заны между собой.

1.6. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТЬЮДЕНТА,

КОЭФФИЦИЕНТ СТЬЮДЕНТА, СЛУЧАЙНАЯ

ПОГРЕШНОСТЬ

При проведении эксперимента с малым числом измерений(малая выборка) закон распределения среднего значения отли-

13

чается от нормального и представляет собой так называемоераспределение Стьюдента. Сравнение распределения Гаусса ираспределения Стьюдента показывает, что при числе измеренийn ≥ 20 оба распределения практически совпадают. При n = 10среднее квадратичное отклонение результата серии измеренийотличается от S

x, вычисленного по формуле, приведенной в раз-

деле 1,4, примерно на 13%, а при n = 5 — приблизительно на40%. Если же n < 5, то различие будет намного больше.При выполнении лабораторных работ число измерений яв-

ляется, как правило, небольшим. Принимая, что при 5 ≤ n ≤ 20,среднее квадратичное отклонение S

x можно определять по при-

веденному выше соотношению. Из распределения Стьюдентавытекает, что случайная погрешность серии измерений будетравна

,xnc Stx α=∆

где tαn — коэффициент Стьюдента, являющийся функцией задан-

ной надежности α и числа измерений n (определяется потаблицам).

Значение коэффициентов Стьюдента для различного числаизмерений приведены в табл. 2.

Таблица 2

Коэффициент надежности α Число измерений 0,95 0,98 0,99

1 12,7 31,8 663,7 2 4,3 7,7 99,9 3 3,2 4,5 5,8 4 2,8 3,8 4,6 5 2,6 3,4 4,0 6 2,5 3,1 3,7 7 2,4 3,0 3,5 8 2,3 2,9 3,4 9 2,3 2,9 3,3

10 2,2 2,8 3,2 50 1,7 2,0 2,6

100 1,6 2,0 2,6

14

Измерительные приборы вносят в полную погрешность при-борную погрешность ∆x

n, которую легко определить, исходя из

класса точности прибора. Если класс точности прибора неиз-вестен, то за приборную погрешность принимают половинуцены деления шкалы.С учетом изложенного, полная погрешность результата се-

рии измерений определяется по формуле:

.22nc xxx ∆+∆=∆

Если при повторных измерениях прибор показывает одно ито же значение, это означает, что погрешность измерительногоприбора ∆x

n много больше случайной погрешности ∆x

c. Слу-

чайная погрешность при этом не рассчитывается, и полная по-грешность ∆x

= ∆x

n. Если одно из слагаемых подкоренного вы-

ражения значительно меньше другого, то им можно пренебречь,что справедливо в двух случаях:1) погрешность измерения является чисто случайной;2) погрешность измерения является чисто приборной.Последнее справедливо и при однократном измерении.

1.7. ДЕЙСТВИЯ НАД ПРИБЛИЖЕННЫМИ

ЧИСЛАМИ

Все вычисления в физике проводят с приближенными числа-ми, в силу чего необходимо уметь производить приближенныевычисления.Значащими цифрами называют все цифры кроме нуля, а так-

же нуль в двух случаях:1) когда он стоит между значащими цифрами;2) когда он стоит в конце числа и точно известно, что единиц

соответствующего разряда в данном числе нет.В числе 0,01020 четыре значащих цифры, в числе 120,01 —

пять значащих цифр.При округлении последняя сохраняемая цифра остается без

изменения, если старшая отбрасываемая меньше 5, и последняясохраняемая цифра увеличивается на единицу, если старшая

15

отбрасываемая больше или равна 5. Если после округления ока-жется, что последняя сохраняемая цифра нуль, то его также сле-дует записывать. Например, число 1,0197 округляют до тысяч-ных долей, получая 1,020.На практике обычно используется стандартная форма запи-

си чисел. Число представляют в виде числа с одной значащейцифрой перед запятой, умноженное на 10 в соответствующейстепени. Например, 5,2 · 1011 или 2,3·10-6 и т.д.Арифметические действия над приближенными числами про-

изводят с соблюдением следующих правил.1. При сложении и вычитании окончательный результат ок-

ругляют так, чтобы он не имел значащих цифр в тех младшихразрядах, которые отсутствуют хотя бы в одном числе из ис-ходных данных:

27,8 + 1,324 + 0,66 = 29,8.

2. При умножении и делении сохраняют столько значащихцифр в ответе, сколько их в исходном данном с наименьшимколичеством значащих цифр:

30,9·1,8364 = 30,9·1,84 = 56,9,

56,9:2,412 = 56,9:2,41 = 23,6.

3. При возведении в степень и извлечении корня сохраняютв результате столько значащих цифр, сколько их имеется в ос-новании степени или подкоренном выражении:

(1,32)2 = 1,74,

.72,195,2 =

4. При логарифмировании в результате вычисления остав-ляют в мантиссе столько значащих цифр, сколько имеется их влогарифмируемом числе (при любой характеристике):

ln 772,3 = 6,649.

16

1.8. ОКРУГЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ

И СРЕДНЕГО АРИФМЕТИЧЕСКОГО

ИЗМЕРЯЕМОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Погрешность ∆x результата измерений обычно округляетсядо одной значащей цифры. После этого среднее арифметичес-кое измеряемой величины приводят в соответствие с погреш-ностью ∆x, т.е. значение округляют, оставляя значащие цифрыв том младшем десятичном разряде, который соответствует раз-ряду погрешности.Например, при измерении длины ∆x =1,6.10–4 м; x– = 5,3.10–2 м

после округления записываем ∆x = 0,02.10–2 м; x– = 5,30.10–2 м.Тогда окончательный результат имеет вид x = (5,30±0,02).10–2м.

1.9. СХЕМА ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ

ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Обработку результатов серии прямых измерений после выпол-нения соответствующих лабораторных работ лучше проводить,придерживаясь следующей схемы:1. Вычисляют среднее арифметическое x– данной серии изме-

рений.2. Находят погрешности отдельных измерений ∆x

i.

3. Вычисляют квадраты ( )22ii xxx −=∆ и суммируют их.

4. Определяют среднее квадратичное отклонение среднего

результата серии измерений .xS

5. Задают надежность α.6. Зная надежность α и число измерений n, по таблицам ко-

эффициентов Стьюдента находят tαn.

7. Вычисляют случайную погрешность серии измерений.8. Устанавливают приборную погрешность ∆x

n, исходя из

класса точности прибора.9. Вычисляют полную погрешность данной серии измерений.10. Округляют до одной значащей цифры и приводят сред-

нее арифметическое в соответствие с ней.

17

11. Окончательный результат записывают в виде xxx ∆±=с указанием размерностей измеряемых величин.12. Оценивают меру точности результата прямых измерений

данной серии, используя относительную погрешность:

%.100⋅∆=εx

x

13. Формулируют выводы по лабораторной работе.

1.10. ПОГРЕШНОСТИ ПРИ КОСВЕННЫХ

ИЗМЕРЕНИЯХ

При косвенных измерениях искомое значение физической ве-личины вычисляют на основании известной зависимости меж-ду этой величиной и величинами, полученными в результатепрямых измерений.Пусть искомая величина является функцией нескольких из-

меряемых величин x1, x

2, x

3,...,x

n:

).,,,,( 321 nxxxxfz K=

Серию прямых измерений величин x1, x

2, x

3,...,x

n обрабаты-

вают в соответствии с методикой обработки результатов пря-мых измерений. Используя средние арифметические значениякаждой измеряемой величины x

1, x

2, x

3,...,x

n, вычисляют сред-

нее арифметическое значение искомой величины

).,,,( 21 nxxxfz K=

Погрешности результатов прямых измерений ∆x1, ∆x

2,

∆x3,...,∆x

n определяют для одного и того же значения надежно-

сти α. Погрешность результата косвенных измерений находятпо формуле:

.22

22

2

2

21

2

1n

n

xx

zx

x

zx

x

zz ∆⋅

∂∂++∆⋅

∂∂+∆⋅

∂∂=∆ K

18

Значения частных производных ix

z

∂∂

вычисляют при сред-

них значениях .,...,, 21 nxxx

Если функцию z можно представить в виде ,21δγβ ⋅⋅⋅= nxxxz K

удобном для логарифмирования, то с помощью соответствую-щих формул легко получить простое выражение для относитель-ной погрешности результата косвенных измерений через отно-сительные погрешности прямых измерений, т.е.:

,22222221 nxxx εδ++εγ+εβ=ε K

а через него найти погрешность измеряемой величины z, т.е.

.zz ε=∆

1.11. ПОГРЕШНОСТИ ТАБЛИЧНЫХ

И ПОСТОЯННЫХ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

При косвенных измерениях в расчетные формулы могут вхо-дить величины, значения которых берут из таблиц. Погреш-ность табличных величин принимают равной половине едини-цы наименьшего разряда. Например, при использовании таб-личного значения плотности алюминия ρ = 2,7 г/см3 погреш-ность будет равна ∆ρ = ± 0,05 г/см3.Если в расчетные формулы входят некоторые константы,

например, физические постоянные g, h и т.п., то величина ихберется с такой точностью, чтобы число цифр в них было наединицу больше, чем число значащих цифр в измеряемых вели-чинах. Этим приемом удается достичь того, что константы прак-тически не вносят погрешностей в результат измерения.

1.12. СХЕМА ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ

КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

1. Все величины, необходимые для нахождения искомой ве-личины , измеряют соответствующими приборами и обрабаты-

19

вают по правилам обработки результатов прямых измеренийпри одном и том же значении надежности α.

2. Используя математическую зависимость, определяют сред-нее значение через средние значения измеряемых величин.

3. Находят погрешность косвенных измерений ∆zc.

4. Полученный результат округляют до одной значащей циф-ры и приводят среднее арифметическое в соответствии с ней.

5. Окончательный результат записывают в виде:

.zzz ∆±=

6. Оценивают меру точности результата косвенных измере-ний, используя относительную погрешность:

%.100⋅∆=εz

z

7. Формулируют выводы по лабораторной работе.

1.13. ГРАФИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ

ИЗМЕРЕНИЙ

При выполнении многих лабораторных работ применяетсяграфический метод обработки результатов эксперимента. Онпозволяет представить экспериментальные данные наглядно, вудобной для анализа форме.Графики строят на миллиметровой бумаге. По горизонталь-

ной оси (оси абсцисс) откладывают независимую переменную, т.е.величину, значение которой задает сам экспериментатор, а повертикальной оси (оси ординат) — определяемую величину.Перед построением графика следует, исходя из пределов, в

которых заключены значения функции и аргумента, выбратьразумные независимые друг от друга масштабы по осям. Привыборе масштаба необходимо учитывать, что эксперименталь-ные точки не должны сливаться друг с другом и масштаб дол-жен быть простым. Проще всего, если единица измеряемой ве-личины (или 10; 100; 0,1 единицы и т.д.) соответствует 1 см.Построение графика не обязательно вести от начала коорди-нат, правильнее строить его от нижних пределов измеряемых

20

величин. На осях координат указывают масштабные единицы,у концов осей за пределами графика (левее оси ординат и нижеоси абсцисс) пишут буквенные обозначения соответствующихвеличин в принятых сокращениях. Ни в коем случае не следуетуказывать на осях координат данные опыта.Экспериментальные данные отмечают на графике хорошо

выделяющимися точками. Через экспериментальные точки про-водят карандашом «наилучшую» плавную кривую. Нельзя точ-ки соединять ломаной линией, поскольку такая линия указыва-ет на скачкообразный характер соотношения между двумя вели-чинами, что весьма маловероятно.Для раскрытия содержания каждый график должен иметь

смысловую подпись.В экспериментах часто встречается линейная зависимость

двух величин x и y:

y = kx + b,

где k и b — постоянные параметры.

Угловой коэффициент находят как соотношение приращенияфункции к приращению аргумента, взятое на выбранной пря-мой на возможно большем интервале изменения аргумента:

.x

yk

∆∆=

Угловой коэффициент есть тангенс угла наклона прямой коси абсцисс и большей частью представляет собой размернуюфизическую величину.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Я в о р с к и й А.А., Д е т л а ф Б.И. Курс физики. — М.:Высшая школа, 2003.

2. Т р о ф и м о в а Т.И. Курс физики. — М.: Высшая школа,2002.

21

3. Т р о ф и м о в а Т.И. Краткий курс физики. — М.: Высшаяшкола, 2003.

4. Дм и т р и е в а В. Ф., Пр о к о ф ь е в В.Л. Основы физи-ки. — М.: Высшая школа, 2001.

5. А й з е н ц о н Е. Курс физики. — М.: Высшая школа, 1996.6. С а в е л ь е в И.В. Курс физики. — М.: Высшая школа,1998.7. А л е к с е е в Б.Ф. и др. Лабораторный практикум по фи-

зике. — М.: Высшая школа, 1988.8. В е н т ц е л ь Л.И. и др. Погрешности при физических из-

мерениях и обработка результатов измерений. — М.: Приборо-строение, 1989.

9. Д и д е н к о В.И. Метрология. — М.: Наука, 1985.10. К о в а л е н к о С.Г., С о л о м а х о Г.И. Практикум по фи-

зике. — М.: Изд. МГУ, 1990.11. Л а г и д е Р.М. Ошибки измерений физических вели-

чин. — М.: Высшая школа, 1989.12. Ма й с о в а Н.Н. Практикум по курсу общей физики. —

М.: Высшая школа, 1970.

22

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1

Изучение свободных колебанийматематического маятника

Приборы и принадлежности: установка, линейка, секундомер.Цель работы:1) экспериментальное изучение свободных колебаний мате-

матического маятника;2) определение ускорения силы тяжести из наблюдений ко-

лебаний математического маятника.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

В данной работе проводится определение ускорения силы тя-жести g с помощью математического маятника.Математическим маятником называется материальная точ-

ка, подвешенная на нерастяжимой нити и совершающая коле-бания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.Математический маятник представляет собой предельный слу-чай физического маятника, вся масса которого сосредоточенав его центре масс.На практике математическим маятником можно считать

массивное тело, подвешенное на легкой нити, длина которойпревышает линейные размеры тела.

Рис. 1.1

Если отклонить маятник от положенияравновесия на некоторый угол, а затем от-пустить его, то он начнет совершать коле-бания в вертикальной плоскости. В любоймомент времени на маятник действуютдве силы: сила тяжести mg и сила натяже-ния нити R, лежащие в плоскости чертежа(рис. 1.1).

Для получения закона зависимости углаотклонения ααααα от времени воспользуемся ос-новным законом динамики вращательногодвижения тела

23

,2

2M

dt

dI =α

(1.1)

где I = ml2 — момент инерции маятника;m —масса маятника;l — длина нити маятника;

2

2

dt

d α=ε — его угловое ускорение.

Момент действующих сил M относительно оси O вращениячисленно равен

M = –mgl sinα.

Знак минус выражает тот факт, что момент силы M стремит-ся уменьшить угол α. При малых углах отклонения α ~ 5–6° сбольшой точностью можно считать, что sinα = α, и тогда

M = –mglα. (1.2)

Уравнение (1.1) с учетом (1.2) приведем к виду

.02

2=α+α

l

g

dt

d(1.3)

Если обозначить ,20ω=

l

g то уравнение колебаний математи-

ческого маятника (1.3) примет вид

.0202

2=αω+α

dt

d(1.4)

Решением линейного однородного дифференциального урав-нения (1.4) является выражение

).sin( 00 ϕ+ωα=α t (1.5)

Из выражения (1.5) следует, что при малых колебаниях ма-тематический маятник совершает гармонические колебания с

циклической частотой .0 l

g=ω

24

Периодом колебаний маятника называется промежуток вре-мени, в течение которого маятник совершает одно полное ко-лебание. Период малых колебаний математического маятника

.22

0 g

lT π=

ωπ= (1.6)

Из формулы (1.6) видно, что период колебаний маятника Тзависит от ускорения силы тяжести g и длины нити l и не зави-сит от его массы m.Малые колебания математического маятника являются при-

мером изохронных колебаний, т. е. колебаний, частоты и перио-ды колебаний которых не зависят от амплитуды.В настоящей работе используется массивный шарик радиу-

сом r на подвесе длиной l (рис 1.1). Пренебрегая моментом инер-ции нити, можно записать в соответствии с теоремой Штей-нера

.4,0 220 mlmrI += (1.7)

Поскольку r << l, можно считать:

I = ml2. (1.8)

Такой маятник приближенно можно считать математичес-ким с периодом колебаний (1.6).В работе проводится экспериментальная проверка соотно-

шения (1.6), т.е. проверяется, насколько применяемый маятникудовлетворяет модели математического маятника.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Экспериментальная установка и метод измерения

Применяемый в данной работе маятник представляет собоймассивный шарик, подвешенный на длинной нити. Маятникукреплен на кронштейне, а его длина определяется с помощьюлинейки.

25

Если определить периоды колебаний Tn и T

m двух маятников

с различными длинами ln и l

m, то, согласно формуле (1.6), мож-

но написать

,22g

lT

g

lT m

mn

n π=π= и

oткуда после простых преобразований получим формулу длярасчета ускорения силы тяжести:

.)(422

nm

nm

TT

llg

−−π= (1.9)

Таким образом для того, чтобы определить ускорение силытяжести, достаточно знать периоды колебаний и разность длиндвух математических маятников.Для обработки экспериментальных данных в рассматривае-

мой работе используется метод парных точек. Имеющуюся вы-борку отсчетов разбивают на две равные (по количеству отсче-тов) группы (например, от первого отсчета до шестого, от шес-того до десятого). Для точек 1 и 6 с экспериментальнымиданными l

1, l

6 и T

1, T

6 в соответствии с формулой (1.8) имеем

.)(42

62

1

61

TT

llg

−−π= (1.10)

Аналогично рассматриваются все пары точек. Этот методдает удовлетворительные результаты лишь тогда, когда вели-чины (l

1 – l

2), (l

2 – l

7) и т.д. примерно одинаковы или эквидис-

тантны.

ЗАДАНИЕ 1

Изучение свободных колебанийматематического маятника

Порядок выполнения

Формула (1.6) справедлива для идеализированной моделиматематического маятника. При ее выводе предполагалось, что:

26

1) маятник совершает малые колебания, и поэтому его пе-риод не зависит от амплитуды (изохронность колебаний);

2) затуханием колебаний можно пренебречь.Необходимо выяснить, выполняются ли эти предположения

в условиях эксперимента.1. Исходя из данных установки (r = 0,5 cм, l = 20–25 cм), оце-

нивают наибольшую погрешность в случае замены формулы(1.7) на формулу (1.8) при расчете момента инерции маятника I.

Убеждаются, что ,0

0

I

II −=ε меньше 0,1%. Данные заносят в

табл. 1.1.

Таблица 1.1

Таблица 1.2

m, кг r, м l, м I = ml2, кг.м2

I0 = m(0,4.r2 + 22l ),

кг.м2 % ,

0

0

I

II −=ε

2. Определяют диапазон изохронности колебаний. Для это-го измеряют время десяти колебаний маятника при l = 25 см,меняя угол отклонения нити подвеса, начиная с 35–40° и посте-пенно через 5° доводя его до минимума. Затем вычисляют пе-

риод колебаний ,n

tT = где n — число колебаний. Результаты

заносят в табл. 1.2.

ϕ 40° 35° 30° 25° 20° 15° 10° 5° t, с T, с

3. Результаты наносят на график T = f(ϕ) и по нему опреде-ляют диапазон изохронности (углы, при которых период коле-баний не зависит от амплитуды).

4. Исследуют влияние затухания на период колебаний. Дляэтого, установив максимально возможную длину маятника,

27

отклоняют его на угол 5–10° и определяют (без остановки ма-ятника) время 5, 10, 15 и 20 колебаний. Вычисляют период ко-лебаний. Данные опыта заносят в табл. 1.3.

Таблица 1.3

Таблица 1.4

5. Устанавливают наибольшую длину маятника, отклоняютего на малый угол и измеряют время 10 колебаний. Опыт про-водят 5 раз. Данные заносят в табл. 1.4.

n 5 10 15 20 t, с T, с

N 1 2 3 4 5 l, м t1, с t2, с t3,с t4, с t5, с t , с Tпр, с Ттеор, с α, %

6. Уменьшая длину нити подвеса маятника на 5 см и дове-дя ее до 25 см, повторяют измерения 5 раз. Данные заносят втабл. 1.4.

Обработка результатов измерений

1. По графику T = f(ϕ) оценивают диапазон изохронности.2. По данным табл. 1.4 с учетом заданного коэффициента на-

дежности рассчитывают период колебаний Tпр

и его погреш-ность по следующей схеме:

28

а) вычисляют среднее время колебаний маятника:

;5)( 54321 tttttt ++++=

б) вычисляют периоды колебания маятника .n

tT =пр

3. Рассчитывают по формуле (1.6) теоретическое значениепериода Т

теор.

4. Определяют по формуле ,%теор

пртеор

T

TT −=α расхождение

опытных и теоретических значений периода колебания.

ЗАДАНИЕ 2

Определение ускорения силы тяжестис помощью математического маятника

Порядок выполнения работы

1. Освобождая нить, опускают шарик маятника как мож-но ниже. Измеряют длину нити l и значения записывают втабл. 1.5.

2. Отклоняют маятник на небольшой угол α ~ 5–6° и отпус-кают. С помощью секундомера отсчитывают время t, за кото-рое маятник совершает n = 10 полных колебаний. Измеренияпроводят три раза, значения заносятся в табл. 1.5.

3. Последовательно уменьшая длину нити маятника каждыйраз на 5 см, производят измерения, указанные в пунктах 1–2.Результаты заносят в табл. 1.5.


1. Находят среднее значение время колебаний маятника

.3)( 321 tttt ++=

2. Вычисляют периоды колебаний маятника:

.n

tT =

29

Таблица

1.5

N

n l, м

t 1, с

,tс

T, с

g,

м/с

2 ,

gм/с2

σ, м

/с2

S g, м

/с2

t αn

∆g, м

/с2

ε, %

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

30

3. Рассчитывают значения ускорения силы тяжести по фор-муле (1.8).

4. Рассчитывают среднее арифметическое значение

.1010

1021

10

1 gggg

g ii +++==

∑= K

5. Находят среднее квадратичное отклонение ( )

.1

2

1−

−=σ

∑=

N

ggN

ii

6. По заданному преподавателем коэффициенту надежностиα из табл. 2 введения определяется коэффициент Стьюдента tαn

.7. Определяется стандартный доверительный интервал

( ).

)1(1

2

−

−=

∑=

NN

ggS

N

ii

g

8. Рассчитывается погрешность опыта ∆g = tαnS

g.

9. Рассчитывают относительную погрешность измерений

%.100⋅∆=εg

g

10. Окончательный результат записывают в виде

.ggg ∆±=

11. Строят график зависимости ),(2 lfT = из которой опре-

деляют котангенс угла наклона ,)( 2T

lctgk

∆∆=α= и с помощью

формулы (1.7) находят .4 2kg π=′12. Сравнивают полученные в пунктах 10 и 11 значения g и g′

и дают в выводах качественную оценку.

31

13. Для установления достоверности полученных данныхрассчитывают расхождение полученного экспериментальнозначения g со справочным значением ускорения силы тяжестиg

0 в данной местности:

.00 ggg −=δ

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Выведите формулу для периода колебаний математичес-кого маятника.

2. Почему при выполнении работы необходимо брать малыеуглы отклонений?

3.Что дает точка пересечения графика с осью абсцисс?4. От чего зависит величина g?5. От чего зависит ускорение математического маятника?6. В каких точках скорость (ускорение) колеблющегося ма-

ятника максимальна?7. Является ли движение математического маятника к поло-

жению равновесия равноускоренным?8. От чего зависит период колебания математического маят-

ника?9. Почему изменится период колебания математического

маятника, если его поднять на высокую гору?10. Будут ли отличаться периоды колебаний шариков раз-

личной массы, подвешенных на нитях одинаковой длины?11. Как изменится период колебаний математического маят-

ника, если его поместить в воду?12. Что произойдет с периодом колебаний математического

маятника, если стальной шарик заменить деревянным того жедиаметра?13. Как изменится период колебаний математического, если

его перенести из Москвы на полюс?14. Как изменится период колебаний математического, если

его перенести из Москвы на экватор?15. Математический маятник помести в сосуд, из которого

откачали воздух. Что произойдет с периодом колебаний?

32

16.В момент прохождения положения равновесия математи-ческим маятником обрывается нить. Как будет двигаться маят-ник?17. Поясните, как происходит превращение энергии при не-

затухающих колебаниях математического маятника?18. Как изменится период колебаний математического маят-

ника, если его перенести с Земли на Луну?19. Как изменится частота колебаний математического ма-

ятника при увеличении его длины в 2 раза?20. Какие колебания математического маятника называют-

ся изохронными и как определить диапазон изохронности?

33


Определение ускорения свободного паденияпри помощи оборотного маятника

Цель работы: Изучение колебательного движения физичес-кого и математического маятника. Исследование зависимостипериода колебаний от распределения масс на оборотном маят-нике. Определение ускорения свободного падения.Приборы и принадлежности: универсальный маятник

ФПШ-4.


Для определения ускорения свободного падения пользуют-ся физическим маятником.Физическим маятником называется всякое твердое тело, ко-

торое может колебаться под действием силы тяжести вокруггоризонтальной оси, не проходящей через центр масс.На рис. 2.1 показан маятник, откло-

ненный от положения равновесия.Здесь О — точка подвеса, вокруг ко-торой совершаются качания, С —центр тяжести (точка к которой при-ложена сила тяжести).При колебаниях маятника роль

смещения играет угол смещения. Рольвозвращающей силы играет моментсилы тяжести относительно точки О,равный по величине

,sin α−= mglM (2.1)

где М — момент силы тяжести mg.

Рис. 2.1

При малых углах отклонения ,sin α≈α

тогда

.α−= mglM (2.2)

34

Согласно основному закону динамики

,ε=rr

IM (2.3)

где I — момент инерции относительно оси вращения;

2

2

dt

d α=ε — угловое ускорение.

Приравняв (2.2) и (2.3), получим

2

2

dt

dImgl

α=α−

или

.02

2

=α+αI

mgl

dt

d(2.4)

Введем обозначение

.20 I

mgl=ω (2.5)

Запишем уравнение (2.4) в виде

.0202

2

=αω+αdt

d(2.6)

Решение этого уравнения имеет вид

).cos( 000 ϕ+ωα=α t (2.7)

При малых углах отклонения физический маятник соверша-ет гармонические колебания с амплитудой α

0 и циклической ча-

стотой

.0 I

mgl=ω (2.8)

35

Из уравнения (2.8) найдем период колебаний

.22

0 mgl

IТ π=

ωπ= (2.9)

Выражение

ml

IL = (2.10)

называют приведенной длиной физического маятника. Пери-од колебаний физического маятника, выраженный из уравне-ния (2.9) через приведенную длину, определяется формулой

.2g

LТ π= (2.11)

Введем понятие математического маятника как маятника,вся масса которого сосредоточена в центре тяжести. Его можнопредставить в виде материальной точки, подвешенной на нера-стяжимой нити длиной l.Таким образом, приведенной длиной физического маятника

называется длина некоторого воображаемого математическо-го маятника, который имеет тот же период колебаний, что иданный физический маятник.Назовем центром качания физического маятника точку О

2,

находящуюся от точки подвеса О1 на расстоянии, равном при-

веденной длине физического маятника (2.10).Согласно теореме Гюйгенса: Если физический маятник под-

весить за центр качаний, то его период не изменится и прежняяточка подвеса будет новым центром качания.Для доказательства теоремы Гюйгенса используем теорему

Штейнера, согласно которой момент инерции тела относитель-но произвольной оси равен сумме момента инерции относитель-но оси параллельной данной и проходящей через центр масстела и произведению массы тела на квадрат расстояния междуосями:

36

.20 mlII += (2.12)

Если маятник качается вокруг оси, проходящей через точкуО и имеет приведенную длину L, то момент инерции относи-тельно точки О равен

,2101 mlII +=

где l1 — расстояние от точки О до центра масс.

Подставив это выражение в формулу (2.10), получим

.11

0

1

210 l

ml

I

ml

mlIL +=+= (2.13)

Точка О1 является центром качания. Приведенная длина ма-

ятника относительно этой точки равнa

.22

02 l

ml

IL += (2.14)

Из рис 2.1. видно, что L = l1 + l

2.

Из уравнения (2.13) получим

.1

012 ml

IlLl =−= (2.15)

Подставив (2.15) в выражение (2.14), получим

.1

01

1

0

1

210

2 Lml

Il

ml

I

ml

mlIL =+=++=

Таким образом, L = L2, т.е. приведенная длина, а, следова-

тельно и период колебаний остались без изменения, что и явля-ется содержанием теоремы Гюйгенса.

37

Оборотный маятник

Оборотный маятник является частным слу-чаем физического маятника; он состоит изсплошного однородного стержня на которомфиксируются две повернутых друг к другупризмы и два подвижных груза чечевичнойформы. Период колебаний маятника можноменять, перемещая грузы вдоль стержня.Оборотным маятником называется физи-

ческий маятник, который может быть подве-шен на опору в двух положениях (прямом иперевернутом) с помощью специальныхпризм. Перемещая один из грузов по стерж-ню маятника, находят такое положение, прикотором периоды в прямом и перевернутомположении равны. При этом расстояние меж-ду призмами называется приведенной длиноймаятника, оно равно длине математическогомаятника, период колебаний которого равенпериоду колебаний физического маятника.

Рис. 2.2

Период малых колебаний физического маятника определяетсявыражением (2.9).Расчетная формула для определения ускорения свободного

падения с помощью оборотного маятника имеет вид:

,4

2

2

T

Lg

π= (2.16)

где L — расстояние между опорными призмами;Т — период колебаний оборотного маятника с приведенной

длиной, равной заданному расстоянию L между опорны-ми призмами.

Значение периода определяется измерением продолжитель-ности времени t полных n колебаний

.n

tТ = (2.17)

38

Рабочей формулой для определения ускорения силы тяжес-ти с помощью математического маятника является формулаГюйгенса

.4

2

2

T

lg

π= (2.18)


Описание экспериментальной установки

Общий вид универсального маятника ФМШ—04 представ-лен на рис. 2.3Основание установки снабжено регулировочными винтами,

которые позволяют произвести выравнивание прибора в гори-

Рис. 2.3

зонтальной плоскости. В осно-вании закреплена колонка, накоторой зафиксированы верх-ний и нижний кронштейны сфотоэлектрическими датчика-ми.После отвинчивания ворот-

ка верхний кронштейн можноповорачивать вокруг колонки;затягивание воротка фиксиру-ет кронштейн в любом произ-вольном положении. С однойстороны кронштейна находит-ся математический маятник, сдругой стороны на вмонтиро-ванных вкладышах — оборот-ный.Длину математического ма-

ятника можно регулироватьпри помощи воротка и изме-рять по шкале на колонке.

39

Оборотный маятник выполнен в виде стального стержня, накотором зафиксированы две повернутые друг другу призмы идва груза чечевичной формы. На стержне через каждые 10 ммвыполнены кольцевые нарезки, служащие для точного опреде-ления длины оборотного маятника (расстояние между призма-ми). Призмы и грузы можно перемещать вдоль от стержня ификсировать в любом положении. Эти элементы выполненытаким образом, что их размер вдоль стержня является кратным10 мм, а фиксирующие воротки размещены так, что при помо-щи кольцевых нарезок их можно наглухо блокировать.Нижний кронштейн вместе с фотоэлектрическим датчиком

можно перемещать вдоль колонки и фиксировать в произволь-ном избранном положении. Фотоэлектрический датчик соеди-нен с вмонтированным в основание универсальным миллисе-кундомером.


1. Закрепляют призмы маятника на расстояниях 150 и 40 ммот противоположных концов стержней, обратив их друг другувершинами. Грузы располагают на противоположных концахстержней на расстоянии 150 и 160 мм от краев.

2. Закрепляют маятник на вкладыше верхнего кронштейнана призме, находящейся вблизи конца стержня. Нижний крон-штейн вместе с фотоэлектрическим датчиком помещают такимобразом, чтобы стержень пересекал оптическую ось датчика.

3. Отклоняют маятник на 4–5° от положения равновесия иотпускают. Нажимают клавишу «сброс», при первом прохож-дении маятником положения равновесия начинается отсчет вре-мени t

1 и числа n полных колебаний маятника. Когда счетчик

покажет число n = 9, нажимают клавишу «стоп», при этом пре-кратится счет после 10 полных колебаний. Показания записы-вают в табл. 2.1.

4. Перемещают верхний груз вдоль стержня с шагом равнымрасстоянию между нарезками, повторяют измерения согласнопункту 3 с тем, чтобы груз переместился последовательно отближайшей призмы до конца стержня.

40

5. Снимают маятник и, перевернув, закрепляют на второйпризме. Нижний кронштейн перемещают таким образом, что-бы маятник пересекал оптическую ось фотоэлектрического дат-чика. Затем производят измерения времени t

2 10 полных коле-

баний, повторяя опыты п. 3–4, результаты заносят в табл. 2.1.6. Сравнивая значения t

1 и t

2, выбирают такие положения

грузов, при которых t1 ≈ t

2 и повторяют измерения 3–4 раза.

7. Определяют приведенную длину оборотного маятника,подсчитав число нарезок между призмами.

8. Повернув верхний кронштейн на 180° вокруг вертикаль-ной оси, подбирают длину математического маятника (до цен-тра масс), равную приведенной длине оборотного маятника.Согласно пункту 3 измеряют 3 раза время 10 полных колеба-ний. Результаты измерений записывают в табл. 2.2.

Т а б л и ц а 2.1

Определение ускорение свободного падения при помощиоборотного маятника

№ у, м t1 ,с t2 ,с Т, с L, м g, м/с2 α, % 1 2 3 4 5 6 7 8


Определение ускорения свободного падения при помощиматематического маятника

№ l, м t, с T, с g, м/с2 <g>, м/с2 ε, % 1 2 3

41


1. По данным табл. 2.1 строят графики зависимостей t1(y) и

t2(y) в одной системе координат.

2. Определяют значения точки пересечения графиков. Этизначения определяют положение груза, при котором периодыколебаний в прямом и перевернутом положении равны и, сле-довательно, расстояние между призмами равно приведеннойдлине физического маятника.

3. Рассчитывают по формуле (2.17) периоды колебаний фи-зического и математического маятников, а затем, согласно (2.16)и (2.18) вычисляют ускорения свободного падения и заносят ихв таблицы 2.1 и 2.2.

4. Рассчитывают расхождение полученных значений ускоре-ния свободного падения с табличным значением:

%.100T

T

g

gg −=α


1. Дайте определение физического маятник, сделайте чертежи покажите силы, действующие на него.

2. Что называется моментом силы относительно неподвиж-ной оси вращения? Напишите уравнение и дайте объяснение.

3. Напишите дифференциальное уравнение колебаний физи-ческого маятника и объясните его.

4. От чего зависит циклическая частота колебаний физичес-кого маятника?

5. Запишите и объясните формулу периода колебаний физи-ческого маятника.

6. Напишите решение дифференциального уравнения коле-баний физического маятника и дайте объяснение.

7. Что называется приведенной длиной физического маят-ника?

8. Как определить приведенную длину физического маят-ника?

42

9. От чего зависит приведенная длина физического маятни-ка?10. Сформулируйте теорему Штейнера и примените ее к фи-

зическому маятнику.11. Сформулируйте теорему Гюйгенса и примените ее к фи-

зическому маятнику.12. Что называется центром качаний физического маятника

и как его можно определить?13. В чем состоит свойство взаимозаменяемости оси подвеса

и центра качаний физического маятника?14. Что представляет собой оборотный маятник и для чего

он используется?15. Как определить ускорение свободного падения с помо-

щью оборотного маятника?16. Как определить ускорение свободного падения с помо-

щью математического маятника?17. Имеется два стержня одинаковых размера и массы —

сплошной и полый. Сравните их периоды колебаний, если осьвращения проходит через концы стержней.18. Имеется два стержня одинакового размера — стальной

и деревянный. Сравните их периоды колебаний, если ось вра-щения проходит через концы стержней.19. Что произойдет с периодом колебаний физического ма-

ятника, если ось вращения будет совмещена с центром качаний?20. Какое движение будет совершать физический маятник,

если ось вращения совместить с его центром масс?

43


Изучение собственных колебанийпружинного маятника

Цель работы:1) определение коэффициента упругости пружины;2) проверка формулы периода колебаний пружинного маят-

ника;3) определение логарифмического декремента затухания пру-

жинного маятника методом сравнения амплитуд.Приборы и принадлежности: пружина с держателем грузов,

закрепленная на штативе, набор грузов, зеркальная шкала наштативе, сосуд с вязкой жидкостью, секундомер.


1. Гармонические колебания

Простейшим примером колебательного движения являетсядвижение небольшого груза массой m, подвешенного на пру-жине или нити (рис. 3.1).

Рис. 3.1

При отсутствии сопротивле-ния внешней среды, периодичес-ки через равные промежутки вре-мени повторяется последователь-ность значений физических ве-личин х, υ, а, изменяющихся впроцессе колебаний. Такие коле-бания являются незатухающимипериодическими колебаниями.Простейшим типом периодичес-ких колебаний являются гармо-нические колебания. Колебания называются гармоническими,если смещение тела (точки) от положения равновесия, а такжескорость и ускорение выражаются функцией синуса или коси-нуса:

44

),sin( 01ϕ+ω⋅= tAx

),cos( 02ϕ+ω⋅= tAx

причем величины А, ω, ϕ01

, ϕ02

с течением времени не изменя-ются.

2. Величины, характеризующие колебательное

движение

1. Амплитуда колебания, А (м) – наибольшее отклонение ко-леблющегося тела от положения равновесия.

2. Период колебания, Т (с) – время одного полного колеба-ния.

3. Фаза колебания ϕ (рад), ϕ = ωt + ϕ0 — аргумент синуса или

косинуса, определяет значение колеблющейся величины в лю-бой момент времени.

4. Начальная фаза колебания ϕ0 (рад) определяет значение

колеблющейся величины в начальный момент времени t = 0.

5. Круговая или циклическая частота T

π=ω 2 (рад/с) – число

колебаний за 2π секунд.6. Частота колебаний v (Гц) – число колебаний в единицу

времени.

3. Скорость и ускорение при колебательном движении

Пусть смещение колеблющегося тела от положения равно-весия выражается формулой

).sin( 0ϕ+ω⋅= tAx (3.1)

Величина скорости колеблющегося тела равна производнойот смещения по времени

).cos( 0ϕ+ωω==υ tAdt

dx(3.2)

45

Ускорение колеблющегося тела равно второй производной отсмещения по времени или первой производной от скорости повремени:

).sin( ; ; 02

2

2

ϕ+ωω−=υ== tAadt

da

dt

xda (3.3)

Сравнивая формулы (3.1) и (3.3), имеем

a = ω2x. (3.4)

Из формулы (3.4) видно, что при гармоническом колебатель-ном движении тела его ускорение пропорционально смещению инаправлено в сторону, противоположную смещению.По второму закону Ньютона имеем

F = –mω2x, (3.5)

т.е. cила F, действующая на колеблющееся тело, пропорциональ-на смещению тела от положения равновесия и направлена в сто-рону, противоположную смещению.Примером сил, удовлетворяющих соотношению (3.5), явля-

ются упругие силы.Силы, имеющие другую природу, но также удовлетворяю-

щие (3.5), называются квазиупругими (упругоподобными). Соот-ношение (3.5) можно переписать так:

F = –kx, (3.6)

где k — коэффициент упругости.

Сравнивая формулы (3.5) и (3.6), имеем

k = mω2. (3.7)

4. Энергия гармонического колебательного движения

Кинетическую энергию гармонически колеблющегося тела

можно найти из формулы ,2

2υ= mWk подставив в неe значение

v из (3.2):

).(cos2

10

222 ϕ+ωω= tmAWk (3.8)

46

Для того, чтобы сместить колеблющееся тело от положенияравновесия на dx, нужно совершить против упругой силы ра-боту

dA = –Fdx,

где F = –kx.

После интегрирования в пределах от 0 до x, получим значе-ние работы при смещении тела:

.2

)(2

00

kxkxdxdxFA

xx

∫∫ ==−=

Эта работа идет на увеличение потенциальной энергии ко-леблющегося тела. Следовательно, потенциальная энергия ко-леблющегося тела, при его смещении на расстояние x, равна:

.2

2kxWp = (3.9)

Подставив значение смещения из формулы (1) в формулу (3.9),получим:

)(sin2

10

22 ϕ+ω= tkAWp (3.10)

или, выразив k из (3.7), имеем

).sin(2

10

22 ϕ+ωω= tmAWp (3.11)

Полная механическая энергия колеблющегося тела W равна:

),(sin2

1)(cos

2

10

2220

222 ϕ+ωω+ϕ+ωω=+= tmAtmAWWW pk

откуда

.2

22 AmW

ω= (3.12)

47

Полная механическая энергия колеблющегося тела пропор-циональна квадрату амплитуды, квадрату циклической часто-ты и массе этого тела.

5. Затухающие колебания

Если колеблющаяся система находится в вязкой среде, токолебания через некоторое время прекратятся. Это явлениепредставляет собой затухающие колебания.Затухающими колебаниями называются колебания, энергия

которых уменьшается с течением времени.Из формулы полной энергии (3.12) видно, что энергия ко-

леблющегося тела пропорциональна квадрату амплитуды, по-этому при убывании энергии уменьшается амплитуда колеба-ний. График колебаний с уменьшающейся амплитудой изобра-жен на рис. 3.2.В качестве примера колебательной системы, совершающей

затухающие колебания, можно рассмотреть тело массой m, под-вешенное к пружине и погруженное в сосуд с водой (рис. 3.3).В данном случае расход энергии колебательной системы обус-ловлен внутренним трением жидкости. Сила трения в жидко-сти при небольших скоростях пропорциональна скорости ко-леблющегося тела:

Рис. 3.2 Рис. 3.3

48

,тр υ−= rF

где r — коэффициент трения;υ — скорость движения колеблющегося тела;

знак минус указывает на то, что сила трения имеет на-правление, противоположное скорости.

На колеблющееся тело в данном случае действуют две силы:1) сила упругости со стороны пружины F = –kx;2) сила трения F

тр = –êυ.

Применив второй закон Ньютона для движения колеблюще-гося тела, можно записать, что

.0 или 2

2

=++υ−−= kxxrxmrkxdt

xdm &&& (3.13)

Это и есть дифференциальное уравнение затухающих коле-баний, которое удобно привести к следующему виду:

,02 20 =ω+β+ xxx &&& (3.14)

где m

r

2=β — коэффициент затухания;

m

k=ω0 — собственная циклическая частота свободных коле-

баний системы ( в отсутствии вязкой среды).

Решение уравнения (3.14) даeт зависимость смещения x отвремени t

),cos()cos( 000 ϕ+ω⋅=ϕ+ω⋅= β− tAteAx t

где teAA β−= 0 — амплитуда затухающих колебаний;е — основание натурального логарифма;

220 β−ω=ω — циклическая частота затухающих колебаний в

вязкой среде.

49

Для затухающих колебаний круговая частота и период зави-сят не только от упругости пружины и массы колеблющегосятела, но и от коэффициента затухания.Отношение двух последующих амплитуд A

t и A

t+T, отстоя-

щих друг от друга на период T, равно:

const,===δ β

+

T

Tt

t eA

A(3.15)

и называется декрементом затухания.Натуральный логарифм от этого выражения

,ln TA

A

Tt

t β==λ+

(3.16)

называется логарифмическим декрементом затухания.

6. Пружинный маятник

Если колебания в системе возникают не в результате действияпеременных внешних сил, а в результате какого-либо началь-ного отклонения колебательной системы от устойчивого поло-жения равновесия, то такие колебания называются собствен-ными или свободными колебаниями. Произведем проверку фор-мулы периода собственных колебаний пружинного маятника иопределение коэффициента упругости.Рассмотрим простейшую колебательную систему. Гирька

массой m (рис. 3.4, а) подвешена на спиральной пружине (пру-

Рис. 3.4

50

жинный маятник). Сначала гирьку оттягивают вниз, затем от-пускают ее. Выведенная из равновесия гирька начнет совершатьгармонические колебания за счет периодического преобразо-вания потенциальной энергии упругодеформированной пружи-ны в кинетическую энергию движущейся гирьки. В воздухе этиколебания можно считать незатухающими, и гирька будет дви-гаться от x = A до х = –А достаточно долго. Уравнение такихколебаний имеет вид

,02

2

=+ kxdt

xdm (3.17)

где k — коэффициент упругости пружины,

,2

, 020 T

mkπ=ωω=

следовательно,

,4

2

2

Tmk

π= (3.18)

откуда

.2k

mT π= (3.19)

По формуле (3.19) определяется период собственных коле-баний пружинного маятника.Период собственных колебаний пружинного маятника мож-

но вычислить по статическому растяжению пружины х0, вызы-

ваемому грузиком весом P = mg.Согласно закону Гука можно записать:

P = mg = kx0.

Учитывая, что 0x

g

m

k = и подставив k из (3.18), найдeм:

51

,4

2

2

0 Tx

g π=

oткуда выразим Т:

.2 0

k

xT π= (3.20)

Формула (3.20) сходна с формулой периода колебаний мате-матического маятника.Период собственных колебаний пружинного маятника про-

порционален корню квадратному из начального растяженияпружины, вызванного силой Р, растягивающей пружину.


ЗАДАНИЕ 1

Определение коэффициента упругости

Порядок выполнения работыи обработка результатов измерений

1. Подвешивают к концу пружины груз.2. Отмечают на зеркальной шкале начальное положение ука-

зателя S0 (для чего помещают глаз таким образом, чтобы конец

стрелки совпал с еe зеркальным отражением).3. На технических весах с точностью до 0,1 г определяется

масса m1 одного из грузов набора.

4. Грузик помещают на держатель и отмечают на зеркаль-ной шкале полученное новое положение указателя S

1, вызван-

ное весом грузика P1 = m

1g.

Обозначим растяжение пружины буквой x1:

.011 SSx −=

5. По этим данным подсчитывают коэффициент упругости k:

.1

11 x

gmk =

52

Коэффициент упругости является характеристикой свойствпружины. Коэффициент упругости есть физическая величина,показывающая, какую силу надо приложить к пружине, чтобыизменить еe длину на единицу длины.Опыт повторяют несколько раз, для каждого следующего

опыта увеличивают массу груза. Так, например, вес двух грузи-ков P

2 = m

2g вызывает растяжение x

2 = S

2 – S

0, соответственно

.2

22 x

gmk =

Из вычисленных значений k находят среднее:

.21ср l

kkkk l+++= K

Все данные заносятся в табл. 3.1. Измерения проводят длякаждой пружины при различных грузах Р.


№ пружины № опыта mi Pi xi ki kср

1

2 1

3

1

2 2

3

1

2 3

3

Построить график зависимости растяжения пружины от на-грузки.

53

ЗАДАНИЕ 2

Проверка формулы периода собственныхколебаний пружинного маятника


Определяют зависимость периода собственных колебаний пру-жинного маятника от массы груза. Для этого измеряют секун-домером период T

i собственных колебаний для одной из пру-

жин (i) с коэффициентом упругости ki при разных грузах Р и

строят график зависимости T2i от m (по оси х откладывают мас-

су m). Данные заносятся в табл. 3.2.


№ Р х x

Pki = ti ni

i

ii n

tT = T0 ∆T ε

1

2

3

Среднее значение

× × × × × × ×

Период Ti измеряют из 10 полных колебаний

,i

ii n

tT =

где ti — время n

i полных колебаний.

Теоретическое значение периода собственных колебаний пру-жинного маятника вычисляется по формуле

54

,20срk

mT π=

где m – масса колеблющегося груза, значение kcp

берeтся из пер-вой части работы.

Для каждого опыта определяют абсолютную погрешностьпо формуле

∆T = |T0 – T

i|

и относительную погрешность в процентах по формуле:

ε = ∆T/T0.100%.

ЗАДАНИЕ 3

Определение логарифмического декрементазатухания пружинного маятника методом

сравнения амплитуд


1. Один из грузов Р помещают в сосуд с вязкой жидкостью(рис. 4, б) и приводят в колебание. Измеряют время ∆t, за кото-рое начальная амплитуда A

0 уменьшится в 10 раз, т.е. A

t = 10 A

0.

Первоначальную амплитуду берут равной 70–100 мм.Вычисляют отношение d двух амплитуд для времени t

0 = 0 и

t = t0 + nT

0, т.е.

,0

0

nTA

Ad =

где T0 — период затухающих колебаний.

В это выражение подставляют значения

00 0

nTnT eAA β−=

55

и получают:

.0nTed β=

После логарифмирования будем иметь:

,ln 0 λ=β= nTnd

отсюда

,lnln1 0 d

t

Td

n ∆==λ (3.21)

где ∆t — время, за которое маятник совершил n полных колеба-ний, т.е. ∆t = nT

0;

d — отношение двух амплитуд, отличающихся друг от дру-га на время ∆t.

В нашем случае d = 10 (амплитуда уменьшилась в 10 раз) иокончательная формула для λ пружинного маятника будет:

.3,210ln 00

t

T

t

T

∆=

∆=λ (3.22)

По этой формуле вычисляют λ не менее трех раз, меняя на-чальную амплитуду A

0. Значения T

0 в этих опытах берут из пер-

вого упражнения для той пружины, с которой проводилось дан-ное измерение.

2. Из формулы m

r

2=β и (3.22) вычисляют коэффициент со-

противления (трения) среды:

.2

0T

mr

λ=

Измерения и результаты вычислений записывают в табл. 3.3.

56


1. Какие колебания называются гармоническими? Дайте оп-ределение величин, характеризующих эти колебания.

2. Запишите дифференциальное уравнение гармоническихколебаний и дайте объяснение.

3. Запишите решение уравнения гармонических колебаний идайте объяснение.

4. Дайте определение периода, частоты и циклической час-тоты гармонических колебаний.

5. Дайте определение пружинного маятника. Под действиемкакой силы происходят его колебания.

6. Выведите формулу периода собственных колебаний пру-жинного маятника.

7. Сформулируйте и запишите закон Гука.8. Какие силы называются квазиупругими?9. Зависит ли коэффициент упругости от величины груза,

вызывающего растяжение пружины?


A0 ∆t λ r T0=

m = 1 2

'0A

3

×

Средние значения

× ×

1 2

"0A

3


1 2

'''0A

3


57

10. Начертите график зависимости деформации пружины отнагрузки. Что характеризует тангенс угла наклона графика?11. Что называется коэффициентом упругости пружины и как

он определяется в работе?12. Начертите графики зависимости деформации пружин от

нагрузки с разным значением коэффициента жесткости.13. От чего зависит коэффициент упругости пружины?14. Как изменится период колебаний пружинного маятника

при увеличении массы груза в 4 раза?15. Четыре одинаковых пружины соединены последователь-

но. Сравните их колебания с периодом колебаний одной пру-жины, если масса подвешенного груза неизменна.16. Какие физические величины характеризуют затухающие

колебания?17. Запишите дифференциальное уравнение затухающих ко-

лебаний и дайте объяснение.18. Какой вид имеет решение дифференциальное уравнение

затухающих колебаний?19. Как меняются амплитуда и период затухающих колеба-

ний? Начертите график зависимости смещения затухающих ко-лебаний от времени.

20. Как практически определить логарифмический декрементзатухания и коэффициент сопротивления среды?

58


Определение коэффициента Пуассонапо скорости звука в газе

Цель работы: изучение распространения звуковых волн вгоризонтальной трубе с газом, закрытой с обоих концов; экс-периментальное определение коэффициента Пуассона.Приборы и принадлежности: звуковой генератор ЗГ-2, элект-

ронный осциллограф 30-7, микрофон и телефон, скользящиевдоль деревянного бруска с линейкой.


1. Коэффициент Пуассона

Коэффициент Пуассона vp CC /=γ можно определить с по-

мощью метода, который основан на измерении скорости звукав трубе, наполненной газом.Звуковые волны в газе представляют собой продольные

механические волны. Малое изменение давления газообразнойсреды вблизи колеблющегося тела ведет к изменению ее плот-ности, и возмущения газа в виде попеременных сжатий и раз-режений распространяются в пространстве. Этот процессне сопровождается переносом вещества. Частицы среды лишьсовершают колебания относительно своих положений рав-новесия. Бегущие звуковые волны переносят импульс и энер-гию.Скорость распространения продольных упругих волн в уп-

ругой среде равна:

,ρ

=υ E(4.1)

где Е — модуль Юнга объемной упругости среды;ρ — плотность.

Для газов

59

,

V

dVdp

E = (4.2)

где V

dV — относительное изменение объема, вызванное измене-

нием давления dp.

Звуковые колебания происходят настолько быстро(ν = 20...20 000 Гц), что сжатия и разрежения газа при распро-странении волны не сопровождаются теплообменом. Соответ-ственно, процесс можно считать адиабатическим, поэтому из-менение состояния газа удовлетворяет уравнению Пуассона:

,const=γPV (4.3)

где vp CC /=γ — отношение теплоемкостей газа при постоянном

давлении и постоянном объеме.

Продифференцируем уравнение Пуассона:

,01 =⋅γ+ −γ pVdpV

получим

.V

p

dV

dp γ−= (4.4)

Подставим (4.4) в (4.2):

,pE ⋅γ=

после чего формула (4.1) примет вид

.ρ

γ=υ P(4.5)

60

Используя уравнение Клапейрона-Менделеева

RTm

pVµ

=

для плотности газа имеем:

.TRV

m η⋅ρ==ρ (4.6)

Учитывая (4.5) и (4.6), найдем, что скорость звука в газе оп-ределяется формулой

,µ

γ=υ RT(4.7)

где Т — температура воздуха;R — универсальная газовая постоянная (R = 8,31 Дж/(моль.К)),µ — молярная масса газа (для воздуха 29.10–3 кг/моль);γ — показатель адиабаты.

Выразим γ:

.2υ=γRT

M(4.8)

Cоответственно, для определения коэффициента Пуассонадостаточно измерить температуру газа и скорость распростра-нения звука.

2. Упругие волны и их характеристики

Волнами называются всякие возмущения состояния веществаили пóля, распространяющиеся в пространстве с течением вре-мени.Упругие волны — механические возмущения, которые распро-

страняются в упругой среде.Среда считается упругой, когда между ее частицами суще-

ствуют силы взаимодействия, препятствующие деформации этойсреды.

61

Если тело совершает колебания в упругой среде, то оно воз-действует на частицы среды, прилегающие к нему и заставляетих совершать вынужденные колебания. Среда вблизи колеблю-щегося тела деформируется, в ней возникают упругие силы. Этисилы действуют на все более удаленные от тела частицы среды,выводя их из положения равновесия. В результате в простран-стве распространяется волна.

Поперечные и продольные волны

Волна называется поперечной, если частицы среды колеблют-ся в направлениях, перпендикулярных к направлению распрос-транения волны.

Модель поперечной волны

Представим себе цепочку, состоящую из равностоящих другот друга материальных точек, которые связаны между собойпружинками.Если мы приведем какую-либо точку «а» в колебательное

движение в направлении, перпендикулярном к линии цепочки,то и другие точки последовательно включатся в колебательныйпроцесс. Все частицы будут совершать колебания, тождествен-ные с точкой «а», но не одновременно, а постепенно запазды-вая по фазе. Возникнет поперечная волна (рис. 4.1).Волна называется продольной, если колебания частиц среды

происходят в направлении распространения волны.

Рис. 4.1

62

Модель продольной волны

Возьмем горизонтально подвешенную длинную пружину итолкнем ее с одного конца вдоль оси. В результате толчка воз-никнет сгущение витков пружины, а затем сгущение сменитсяразрежением. Сгущения и разрежения будут распространятьсявдоль пружины, т.е. образуется волна. Витки пружины будутсовершать колебания вправо и влево около положений равно-весия.

Длина волны

О колеблющихся точках, занимающих одинаковое положе-ние по отношению к положению равновесия и имеющих одина-ковое направление скорости, говорят, что они находятся в оди-наковой фазе.Расстояние между двумя ближайшими частицами бегущей

волны, находящимися в одинаковой фазе, называют длиной вол-ны и обозначают λ.Распространение колебаний в упругой среде происходит с

постоянной скоростью, поэтому можно считать, что

,υν=ν=λ T (4.9)

где υ — скорость распространения волнового движения;Т — период колебаний;ν — частота;

.1

Tv = (4.10)

Уравнение плоской синусоидальной волны

Волновой поверхностью (фронтом волны) называется геомет-рическое место точек среды, колеблющихся в одинаковых фазах.В плоской волне такими поверхностями являются плоско-

сти, перпендикулярные к вектору скорости.Пусть в источнике волн колебания происходят по закону:

63

),cos( 0ϕ+⋅ω⋅= tAs (4.11)

где А — амплитуда;ω — циклическая частота;ϕ

0 — начальная фаза.

Тогда колебания частиц фронта плоской волны в точке, от-стоящей на расстоянии х от источника, запаздывают по време-ни на ∆t:

[ ], )(cos 0ϕ+∆−ω⋅= ttAsx (4.12)

где .ν

=∆ xt

Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси ОХ:

. cos 0

ϕ+

ν−ω⋅= x

tAsx (4.13)

3. Интерференция волн. Стоячие волны

Интерференцией волн называется явление наложения когерен-тных волн, при котором происходит их взаимное усиление водних точках пространства и ослабление — в других.Волны считаются когерентными, если разность их фаз не за-

висит от времени и их частоты одинаковы.Частным случаем интерференции волн являются стоячие

волны.Стоячие волны образуются при наложении двух встречных

когерентных волн с одинаковыми амплитудами.Запишем уравнения двух таких волн, распространяющихся

вдоль оси ОХ в противоположных направлениях:

. cos

, cos

2

1

ν+ω⋅=

ν−ω⋅=

xtAs

xtAs

x

x

(4.14)

64

Начало координат и начало отсчета времени выбираем так,что начальные фазы равны нулю.При сложении, применив формулу для суммы косинусов,

получим

).cos(cos221

txAsss xxx ω⋅

νω⋅=+= (4.15)

Учтем, что :2

ωπν=ν=λ T

).cos(2

cos2 txAsx ω⋅

λπ⋅=

В точках, координаты которых удовлетворяют условию

,2

λ±= nx (n = 0, 1, 2,…),

амплитуда колебаний максимальна и равна 2А. Эти точки на-зываются пучностями стоячей волны.В точках, где

,22

1 λ

±±= nx (n = 0, 1, 2,…),

амплитуда колебаний обращается в нуль. Эти точки называют-ся узлами стоячей волны.

4. Собственные колебания струны и воздуха в трубе

В закрепленной с обоих концов натянутой струне при воз-буждении поперечных колебаний устанавливаются стоячие вол-ны. При этом на струне длиной L укладывается целое числополуволн:

,2nnL

λ= (n = 0, 1, 2, 3…),

65

отсюда

,2

n

L

nn =

υν=λ

где nυ — собственные частоты струны;

L21ν=υ — собственная частота.

Собственная частота колебания столба воздуха (или друго-го газа) в трубе, закрытой с обоих концов, аналогичны собствен-ным колебаниям струны. Только в струне частицы совершаютпоперечные колебания, а в газе — продольные.Для измерения скорости звука служит установка, изображен-

ная на рис. 4.2.

Рис. 4.2

66

Звуковые колебания в трубе возбуждаются телефоном Т. Ониулавливаются микрофоном М. Мембрана телефона приводит-ся в движение переменным током звуковой частоты; в качествеисточника переменной ЭДС используется звуковой генераторЗГ. Возникающий в микрофоне сигнал наблюдается на осцил-лографе ЭО.Звуковая волна, распространяющаяся вдоль трубы, испыты-

вает многократные отражения от торцов.Если длина трубы L равна целому числу полуволн, т.е.

,2λ= nL (4.16)

где λ — длина звуковой волны в трубе;п — любое целое число,

то падающие и отражение волны совпадают по фазе и усилива-ют друг друга. Амплитуда звуковых колебаний при этом резковозрастает — наступает резонанс.

5. Схема установки (рис. 4.3)

Рис. 4.3

67

При постоянной длине трубы можно изменять частоту зву-ка. Плавно изменяя частоту звукового генератора ν, а, следова-тельно и длину звуковой волны λ, мы будем наблюдать на ос-циллографе возникновение резонанса по резкому возрастаниюамплитуды колебаний.Для последовательных резонансов имеем:

.)(

2

,)1(

2

,2

1

kn

L

n

Ln

L

kn

n

n

+=λ

+=λ

=λ

+

+ (4.17)

Скорость звука υ связана с его частотой и длиной волны λсоотношением

.υν=λ (4.18)

Из (4.17) и (4.18) имеем

,2...2

2)(2 221 k

LLL nknknk

ν−ν⋅==ν−ν⋅=ν−ν⋅=ν +++ (4.19)

где п — «номер резонанса» в первом опыте при наименьшей час-тоте;k = 0, 1, 2, 3, 4 (при 5 опытах).



1. Собрать установку по схеме, указанной на рис. 4.3.2. Включить осциллограф, действуя в следующем порядке.

Переключатель «диапазон частот» и ручку «усиление» в пра-вом нижнем углу передней панели (горизонтальное усиление)

68

поставить в среднее положение. Включить тумблер «сеть» и датьустановке прогреться 5...7 мин. Включить тумблер «луч» и по-вернуть ручку «яркость». При этом на экране должна появить-ся развертка. Ручками «ось X» и «ось У» установить разверткув центре экрана. Ручками «яркость» и «фокус» добиться макси-мальной четкости луча.

3. Включить звуковой генератор ЗГ-2. Тумблер включения всеть находится в левом верхнем углу передней панели. Послевключения следует дать установке прогреться 5...7 мин. Ручку«переключатель выхода» поставить в положение 20 в, лимбы«частота» и «расстройка» установить на нулевое деление, а руч-ку «регулировка выхода» — приблизительно в среднее положе-ние.Вращая ручку «установка нуля», добиться того, чтобы стрел-

ка вольтметра остановилась на нулевом делении шкалы илиначала медленно колебаться. После этого нулевое значениешкалы частот окажется установлено правильно. Эту ручку вра-щать больше не следует.

4. Подключить выходные клеммы звукового генератораЗГ-2 к вертикальному входу осциллографа и получить на егоэкране устойчивую синусоиду. Проследить, какие измененияпретерпевает эта синусоида при изменении частоты и амплиту-ды сигнала, даваемого звуковым генератором, а также при из-менении усиления и частоты развертки осциллографа. По из-менению картины на экране осциллографа уяснить назначениевсех ручек на передней панели осциллографа и звукового гене-ратора (ручки «расстройка» и «установка нуля» трогать приэтом не следует).

5. Подключить телефон к выходным клеммам звукового ге-нератора, а микрофон — к вертикальному входу осциллографаи добиться того, чтобы картина на экране осциллографа имелавид устойчивой синусоиды. Выяснить, почему и каким образомамплитуда звуковой волны зависит от частоты и выходной мощ-ности звукового генератора и от расстояния между телефономи микрофоном. Особое внимание следует обратить на те часто-ты, которым соответствует резкое возрастание амплитуды си-нусоиды на экране осциллографа. Если при этом происходит

69

заметное искажение синусоиды на экране осциллографа или еслимембрана телефона возбуждается на второй или более высокойгармонике, то необходимо понижать выходную мощность дотех пор, пока эти явления не исчезнут.Указанные частоты следует записать.Поместите ладонь между микрофоном и телефоном. Пере-

двигайте и поворачивайте ее. Какие изменения при этом наблю-даются на экране осциллографа? Объясните их причину.

6. Поставьте ручку осциллографа «диапазон частот» в поло-жение «выключено». Подключите микрофон к вертикальномувходу осциллографа, а ЗГ-2 — к его горизонтальному входу. По-лучите на экране осциллографа эллипс. Как его форма и размерызависят от частоты и амплитуды колебаний, создаваемых звуко-вым генератором; от расстояния между телефоном и микрофо-ном; от наличия посторонних предметов (например, руки) напути звукового луча? Как влияет на параметры эллипса положе-ние ручек «усиление» и «ослабление» на панели осциллографа?

7. Медленно отодвигая микрофон от телефона, замечайтеположения, при которых эллипс на экране осциллографа стя-гивается в линию. Проделайте те же наблюдения в обратномпорядке. Всю серию опытов повторите не менее трех раз. Пост-ройте график зависимости координаты микрофона от номераположения, в котором эллипс превращается в прямую линию(первое положение, второе и т.д.). Из графика найдите К, а за-тем v по формуле (1).

8. Проделайте измерения п. 7 не менее чем для пяти — семиразличных частот звукового генератора. Зависит ли скоростьзвука от частоты?

9. Для каждого значения v оцените погрешность измерения.


1. Запишите уравнение гармонического колебания и объяс-ните смысл всех величин, входящих в уравнение.

2. Что называется периодом колебания и его частотой?3. Что называется волной? Чем отличается поперечная вол-

на от продольной?

70

4. Получите уравнение бегущей волны. Что называется дли-ной волны?

5. Получите уравнение стоячей волны. Что такое узлы и пуч-ности стоячей волны? Как определить их координаты?

6. Найдите расстояние между двумя соседними пучностями.7. Каково условие акустического резонанса в трубе, откры-

той с одного конца? Почему в ней возникает стоячая волна?Запишите рабочую формулу и объясните значение величины ∆X.

8. В каком порядке проводятся измерения?9. Назовите основные параметры состояния термодинами-

ческой системы.10. Какой газ называется идеальным газом?11. Дайте понятие внутренней энергии тел, идеального газа.12. Приведите формулу для расчета работы газа при изменя-

емом объеме от V1 до V

2.

13. Что называется теплоемкостью тела?14. Чему равно значение C

p/C

v для одноатомного, двухатом-

ного и многоатомного газов.15. Какой процесс называют адиабатным? Напишите урав-

нение адиабатного процесса.16. Выведите уравнение Клапейрона–Менделеева.17. Сформулируйте закон сохранения и превращения энер-

гии для адиабатного и многоатомного процесса.18. Сформулируйте первый закон термодинамики.19. Сделайте вывод уравнения Пуассона.20. Начертите графики основных термодинамических про-

цессов в координатах p, V.

71


Определение показателя преломлениястекла с помощью микроскопа

Приборы и принадлежности: измерительный микроскоп смикрометрическим винтом, микрометр, измеряемые стеклянныепластинки со штрихами на обеих поверхностях, осветитель.


При прохождении света через ровную и плоскую границудвух прозрачных веществ неодинаковой оптической плотнос-ти, падающий луч света АО разделяется на два луча — отра-женный луч ОВ и преломленный луч ОО (рис. 5.1). Направленияэтих лучей определяются следующими законами отражения ипреломления света.1. Луч АО, падающий на преломляющую поверхность, нор-

маль к поверхности в точке падения РОР, луч отраженный ОВ илуч преломленный OD лежат в одной плоскости.

2. Угол отражения РОВ равен углу падения РОА.3. Синус угла падения i относится к синусу угла преломления

r, как скорость света в первой среде υ1 ОТносится к скорости све-

та во второй среде υ2:

.sin

sin

2

1

υυ=

r

i(5.1)

Последний закон говорит о том, что свет распространяетсяв различных средах с различной скоростью.Для двух данных сред и для луча данной длины волны отно-

шение скорости света в среде 1 к скорости света в среде 2 илиотношение синуса угла падения к синусу угла преломления естьвеличина постоянная, т.е.

.sin

sin ;const 1221

2

1

r

inn ===

υυ

(5.2)

Величина n21

называется относительным показателем (коэф-фициентом) преломления второй среды по отношению к первой.

72

Если одна из сред, на-пример 1 — вакуум иливоздух, то показатель пре-ломления п данной среды 2по отношению к вакуумуназывается абсолютнымпоказателем преломленияданной среды или простопоказателем (коэффициен-том) преломления.Абсолютный показа-

тель преломления среды 2(рис. 5.1):

,sin

sin ; 2

22 r

in

cn =

υ= (5.3)

где с — скорость света в вакууме (c = 3.108 м/с);υ

2— скорость света в данной среде 2, т.е. показатель прелом-

ления среды есть отношение скорости света в вакууме кскорости света в данной среде:

.υ

= cn (5.4)

Показатель преломления зависит от длины волны света и отсвойств среды. Абсолютные показатели преломления всегда боль-ше единицы. Это означает, что скорость распространения све-та в данной среде всегда меньше, чем в вакууме.Относительный показатель преломления двух сред п

21 связан

с абсолютными показателями преломления сред п1 и n

2 следую-

щим соотношением:

.1

2

1

2

2

121 n

n

cn

cnn ==

υυ= (5.5)

Для определения показателей преломления веществ существу-ют различные методы. Одним из них является метод определенияпоказателя преломления стекла при помощи микроскопа.

Рис. 5.1

73

В основе данного метода лежит явление кажущегося умень-шения толщины стеклянной пластинки вследствие преломлениясветовых лучей, проходящих в стекле при рассматривании пла-стинки нормально к ее поверхности. Схема прохождения лучейчерез стеклянную пластинку дана на рис. 5.2.В точку А, находящую-

ся на нижней поверхностистеклянной пластинки, па-дают два луча света 1 и 2.Луч 2 падает на пластинкунормально к ее поверхнос-ти; поэтому он проходитсквозь пластинку и выходитв воздух в точке С, не испы-тывая преломления. Луч 1преломляется и выходит изпластинки в точку О по на-правлению к точке D. Рис. 5.1

При выходе из пластинки луч OD образует угол преломле-ния r — больший, чем угол падения i. Если смотреть из точки Dпо направлению DO, то наблюдатель будет видеть точку пере-сечения лучей OD и АС не в точке А, а в точке Е, т.е. толщинапластинки будет казаться равной СЕ.Из рис. 5.2 видно, что кажущаяся толщина пластинки СЕ = h

меньше истинной, т.е. действительной ее толщины СА = Н.Для лучей, близких к нормально падающим лучам, углы па-

дения и преломления малы. В этом случае синусы можно заме-нить тангенсами и по закону преломления света написать (рас-сматривая обратный ход лучей, т.е. от D к А):

.sin

sinстекла tgi

tgr

i

rn == (5.6)

При рассмотрении рисунка и после соответствующих пре-образований имеем:

. или стекла h

Hn

COh

HCOn =

⋅⋅= (5.7)

74

Следовательно, показатель (коэффициент) преломления стек-ла можно найти из отношения истинной толщины стекляннойпластинки к кажущейся ее толщине. Истинная толщина плас-тинки измеряется микрометром, а кажущаяся — микроскопомс микрометрическим винтом.


Измерения и обработка результатов измерений

1. Измеряют истинную толщину стеклянной пластинки Н иберут ее значение в миллиметрах. Для этого индикатор часо-вого типа опускают до соприкосновения с движущейся час-тью микроскопа и записывают нулевое значение Н

0, учитывая

при этом, что по малой шкале отсчет берется в миллиметрах,а по большой в сотых долях. Затем между индикатором иподвижной частью вставляют измеряемую пластинку и сноваберут отсчет Н

1. Истинная толщина стеклянной пластинки

равна

Н = Н1 – Н

0.

2. Определяют кажущуюся толщину стеклянной пластин-ки h. Для этого пластинку кладут на столик микроскопа подобъектив так, чтобы оба штриха пересекали оптическую осьприбора. Затем:а) двигая тубус, добиваются четкого изображения видимого

в микроскоп штриха, нанесенного на нижнюю поверхность пла-стинки. Записывают отсчет индикатора и считают его за нуле-вое деление h

0 (от этого нулевого деления производят дальней-

шие отсчеты);б) поднимают тубус микроскопа до получения четкого изоб-

ражения штриха на верхней поверхности пластинки. Новыйотсчет на индикаторе дает нам величину h

1. Очевидно, что ка-

жущуюся толщину пластинки можно определить как

h = h1 – h

0.

75

3. Вычисляют показатель (коэффициент) преломления стек-ла по формуле

.h

Hn =

4. Измерение истинной и кажущейся толщины пластинкипроизводят не менее пяти раз и определяют среднее и истинноезначение показателя преломления стекла.Результаты измерения заносят в табл. 5.1.


Отсчет индикатора часового типа

Истинная толщина пластинки

Отсчет индика-тора

Кажущаяся толщина пластинки

№ измерения

H0, мм

H1, мм

H, мм

H , мм

h0 h1 h h

n nnn ∆±=

5. Находят среднее квадратичное отклонение ( )

.4

25

1∑=

−=σ i

i nn

6. По заданному преподавателем коэффициенту надежностиα из табл. 2 (см. введение в физический практикум) определяет-ся коэффициент Стьюдента tαn

.7. Определяется стандартный доверительный интервал:

( ) ( ).

20)15(5

5

1

25

1

2 ∑∑==

−=

−

−= i

ii

i

n

nnnn

S

8. Рассчитывается погрешность опыта .nnStn α=∆

76

9. Рассчитывают относительную погрешность измерений

%.100⋅∆=εn

n

10. Окончательный результат записывают в виде

.nnn ∆±=


1. Как рассматривают свет волновая и корпускулярная тео-рии?

2. Что называется лучом? Можно ли назвать лучом узкийсветовой пучок?

3. Сформулируйте закон прямолинейного распространениясвета.

4. Что называется отражением света. Что называется зеркаль-ным и диффузным отражением света?

5. Сформулируйте законы отражения света и сделайте чер-теж.

6. Что называется преломлением света?7. Сформулируйте законы преломления света.8. Сделайте чертеж и дайте объяснение, в каком случае угол

преломления больше угла падения.9. В чем состоит явление полного отражения? Сделайте чер-

теж и дайте объяснение.10. Что называется предельным углом полного внутреннего

отражения? Какая формула отражает смысл полного внутрен-него отражения света?11. Напишите формулу, выражающее связь относительного

показателя преломления двух граничащих сред с их абсолют-ными показателями преломления.12. Что называется абсолютным и относительным показате-

лем преломления среды?13. Начертите ход лучей в плоскопараллельной пластине.14. От чего зависит смещения луча при выход из плоскопа-

раллельной пластины?

77

15. Начертите ход лучей в треугольной призме, дайте объяс-нение.16. Сформулируйте и поясните рисунком принцип Гюйген-

са. Что можно определить с его помощью?17. Какой физический смысл имеют абсолютный и относи-

тельный показателей преломления среды.18. Как определить скорость света в веществе, если известен

его абсолютный показатель преломления?19. Какое явление лежит в основе метода определения пока-

зателя преломления стекла с помощью микроскопа?20. Напишите расчетную формулу для определения показа-

теля преломления стекла, дайте объяснение.

78


Измерение длины световой волны с помо8щью дифракционной решетки

Цель работы: определение длины световой волны при помо-щи дифракционной решетки.Оборудование: дифракционная решетка, светофильтры, оп-

тическая скамья, осветитель со шкалой.


1. Волновая оптика

По современным представлениям свет имеет двойственнуюприроду (корпускулярно-волновой дуализм): в одних случаяхон ведет себя как электромагнитная волна, а в других как потокособых частиц или корпускул (фотонов). Свет, с точки зренияэлектромагнитной природы света, представляет собой попереч-ные электромагнитные волны, распространяющиеся в вакуумесо скоростью с = 3.108 м/с. Видимая область спектра электро-магнитных волн, т.е. воспринимаемых человеческим глазом, со-ставляет интервал с длинами волн 0,38...0,76 мкм. Электромаг-нитные волны с длинами волн 7,4.10–7 > λ > (1–2).10–3 м называ-ются инфракрасными волнами; волны с длиной волны λ > 3,9.10–7 мназываются ультрафиолетовыми. Еще более короткие волны —это рентгеновское и γ-излучение.Белый свет (полихроматический) представляет собой совокуп-

ность различных монохроматических волн. Монохроматичес-кий свет — это свет, в котором λ = const или ν = const.Длина волны монохроматического света

,Tυ=νυ=λ (6.1)

где υ — скорость распространения волны;ν — частота;T — период.

79

В явлениях интерференции, дифракции, поляризации и интер-ференции наиболее проявляется волновая природа света. Вол-ны — возмущения, распространяющиеся с конечной скоростьюв пространстве и несущие энергию. Электромагнитные волныраспространяются в пространстве в результате того, что появ-

Рис. 6.1

ляющиеся в каком-либо местеэлектрическое поле возбужда-ет в соседних областях маг-нитное поле и, наоборот, воз-никающее в этом месте магнит-ное поле возбуждает в соседнихобластях электрическое поле;возбуждая друг друга, эти поляв виде единого электромагнит-ного поля распространяются впространстве (рис. 6.1).Таким образом, в электромагнитной волне колеблются век-

тор напряженности электрического поля Еr

и вектор напряжен-

ности магнитного поля Нr

.Как показывает опыт, физиологическое, фотоэлектрическое

и другие действия света вызываются колебаниями вектора на-

пряженности электрического поля световой волны Еr

, которыйпринято называть световым вектором.

2. Дифракция света

Дифракцией называют совокупность явлений, наблюдаемыхпри распространении света в среде с явно выраженными нео-днородностями (например, вблизи границ непрозрачных илипрозрачных тел, при прохождении света сквозь малые отвер-стия и т.д.) При этом свет дифрагирует, т.е. отклоняется от пер-воначального направления.Явление дифракции может быть объяснено на основе принци-

па Гюйгенса – Френеля. Согласно принципу Гюйгенса, каждуюточку фронта волны можно рассматривать как самостоятель-ный источник колебаний. Френель дополнил этот принцип, вве-

80

дя представления о том, что волновое возмущение в любой точ-ке пространства можно рассматривать как результат интерфе-ренции вторичных волн от фиктивных источников, на которыеразбивается волновой фронт. Френель впервые высказал пред-положение, что эти фиктивные источники когерентны и могутинтерферировать в любой точке пространства, в результате чегоэлементарные волны могут гасить или усиливать друг друга.Существует два вида дифракции:1. Дифракция Френеля — дифракция сферических волн, осу-

ществляемая в том случае, когда дифракционная картина на-блюдается на конечном расстоянии от препятствия, вызвавше-го дифракцию.

2. Дифракция Фраунгофера — дифракция в параллельных лу-чах наблюдается, если источник света и точка наблюдения бес-конечно удалены от препятствия, вызвавшего дифракцию.

3. Дифракционная решетка

Дифракционная решетка представляет собой совокупностьодинаковых параллельных узких щелей, расположенных на оди-наковых весьма малых расстояниях (рис. 6.2, а).Щель и расположенная рядом непрозрачная часть называ-

ются элементом решетки; ширина одного элемента называетсяпериодом или постоянной решетки

d = a + b, (6.1)

где а — ширина каждой щели решетки;b — ширина непрозрачного промежутка между щелями.

,1

0Nd = (6.2)

где N0 — число целей, приходящихся на единицу длины.

Наличие многократно повторяющихся элементов решеткивносит в явление дифракции новые качества. Дифракционныекартины, образуемые отдельными щелями, накладываются друг

81

на друга на экране. Если каждаяиз налагающихся дифракционныхкартин имеет в данном месте ми-нимум, то суммарная картинатоже имеет минимум. Если каж-дая из накладываемых картинимеет в данном месте экрана неко-торую освещенность, то в суммар-ной картине может быть и боль-шая освещенность, и полное ее от-сутствие.Пусть на решетку MN падает

плоскопараллельный пучок коге-рентных волн (рис. 6.2, б) Выбе-рем некоторое направление вто-ричных волн вторичных волн подуглом относительно нормали к ре-шетке. Лучи, идущие от крайнихточек А и В двух соседних щелейимеют разность хода:

.sinϕ⋅==∆ dBC (6.3)

Такая же разность хода и у вто-ричных волн, идущих от соответ-ственно расположенных пар точексоседних щелей. Если эта разностьхода кратна целому числу длинволн, то при интерференции воз-никнут главные максимумы, длякоторых условие ∆ = kλ или

Рис. 6.2

,sin λ±=ϕ⋅ kd (6.4)

где k = 0,1,2, ... — порядок главных максимумов.

Они расположены симметрично относительно центрально-го максимума (k = 0; ∆ϕ = 0). Между главными максимумамиобразуются минимумы, число которых зависит от числа N всехщелей решетки. Чем больше N, тем более резко выражены глав-ные максимумы.

82

Условия главных минимумов:

,sin λ±=ϕ ka (6.5)

где k = 1, 2, 3...;дополнительных минимумов:

,sinN

md

λ±=ϕ (6.6)

где k = 1, 2, 3..., кроме 0, N, 2N...

В случае N щелей между двумя главными максимумами рас-полагаются N – 1 дополнительных минимумов, разделенныхN – 2 вторичными максимумами, создающими слабый фон.Число максимумов, даваемое дифракционной решеткой

,λ

≤ dm (6.7)

поскольку .1|sin| ≤ϕНа рис 6.2, в представлены дифракционные спектры, полу-

ченные от решеток с разным числом щелей, но с одинаковымизначениями d.Все указанное выше относится к случаю, когда на решетку

падает монохроматический свет.Дифракционная решетка разлагает белый свет в спектр и

может использоваться в качестве спектрального прибора. Приосвещении дифракционной решетки белым светом происхо-дит его разложение в спектр, только центральные полосы илинулевые максимумы (k = 0) остаются белыми; остальные мак-симумы имеют радужную окраску и располагаются симмет-рично относительно центрального. Как следует из рис. 6.2,лучи разных длин волн образуют максимумы в различных на-правлениях. Например, при k = 1 в двух первых максимумах,расположенных симметрично по обе стороны от центрально-го, происходит разложение белого света в спектр, которыйобращен к центральному (белому) максимуму фиолетовым

83

концом. Это свидетельствует о том, что дифракционная ре-шетка разлагает белый свет в спектр по длине волн, т.е. лучис большей длиной волны отклоняются на больший угол. Дли-на волны фиолетовых лучей 0,38 мкм, красных — 0,76 мкм.Спектр начинается фиолетовым цветом и заканчивается крас-

ным.Аналогичная картина наблюдается при k = 2,3,… .

4. Дифракционная решетка как спектральный прибор

Дифракционные решетки широко применяются в спект-ральном анализе в тех случаях, когда необходимо определитьдлину световой волны. Из формулы (6.1) видно, что для из-мерения длины световой волны необходимо измерить лишьдифракционный угол ϕ, так как значения d и k известны, при-чем чем меньше постоянная решетки, тем ярче выраженыглавные максимумы, и тем можно точнее измерить длину вол-ны λ.Поскольку дифракционные решетки являются спектральны-

ми приборами, они характеризуются разрешающей силой, т. е.способностью разделять близкие спектральные линии с длинойволны λ

1 и λ

2. Разрешающей способностью решетки называют

безразмерную величину

,mNR =δλλ= (6.8)

где δλ — абсолютное значение минимальной разности длин волндвух соседних спектральных линий, при которой эти ли-нии регистрируются отдельно;

m — порядок максимума;N — число щелей решетки.

Эта формула показывает, что разрешающая способностьдифракционной решетки определяется числом штрихов на нейи порядком спектра. В современных дифракционных решеткахчисло штрихов составляет 2000 на 1 мм, а общее число штриховдостигает значения 1.106.

84

Явление дифракции широко применяется в науке и технике.В настоящее время выпускаются спектрографы с дифракцион-ными решетками для спектрального анализа. Детальное изуче-ние интерференции и дифракции легло в основу новой отраслифизики — голографии.

5. Теория метода и описание установки

Данный метод определения длины волны с помощью диф-ракционной решетки заключается в том, что дифракционныйспектр рассматривается непосредственно на экране без помо-щи линзы L; роль линзы выполняет хрусталик глаза, которыйфокусирует параллельные лучи, полученные в результате диф-ракции на сетчатой оболочке глаза (рис. 6.3).

Рис. 6.3

На рис. 6.3: RR — дифракционная решетка, на которую па-дает параллельный пучок лучей от проекционного фонаря Ф,l — расстояние от дифракционной решетки до экрана ММ, х —расстояние между средними точками полос одного и того жецвета для спектров 1-го, 2-го и т.д. порядков.Для определения длины волны в формуле (2) необходимо

знать sinϕ. Так как l >> x, то sinϕ = tgϕ и тогда из рис. 6.3

.2

sinl

xtg =ϕ=ϕ (6.9)

Подставляя значение sinϕ в формулу (6.1), получим оконча-тельную формулу для нахождения длины волны:

85

.2kl

dx=λ (6.10)

Длина волны измеряется в нанометрах, 1 нм = 10–9 м.



1. Включают лампочку проекционного фонаря в сеть пере-менного тока и за экраном.

2. Устанавливают экран на таком расстоянии от дифракци-онной решетки, чтобы на нем получилось четкое изображениецентральной полосы и спектров 1 и 2-го порядков.

3. Измеряют расстояние от экрана до дифракционной решет-ки l.

4. Измеряют линейкой на экране расстояние между середи-нами фиолетовых полос спектров 1-го порядка — x

1, и 2-го по-

рядка — x2.

5. Затем повторяют п. 2–4 для полос зеленого и красного цвета.6. Результаты наблюдений заносят в табл. 6.1.


d =1·10–5 м, l = ____ м

Полосы спектра видимого света

Порядок максимума k

xi, м λi, м <λ>, м

1 Фиолетовая полоса 2

1 Зеленая полоса 2

1 Красная полоса 2

7. Для наблюдения дифракционного спектра от монохрома-тического света между дифракционной решеткой и проекцион-ным фонарем ставят последовательно светофильтры разногоцвета (фиолетовый, синий, красный, зеленый) и проводят изме-рения согласно п. 2–4.

86

8. Результаты наблюдений заносят в табл. 6.2.9. Вычисляют длину волны согласно формуле (6.10) и нахо-

дят среднее значение .2

21 λ+λ>=λ<


1. Какие диапазоны различают для электромагнитного из-лучения?

2. Каким длинам волн соответствуют оптический, ультрафи-олетовый и инфракрасный диапазоны электромагнитных волн?

3. Что называется электромагнитной волной?4. Какими величинами характеризуются электромагнитные

волны?5. Какие волны называются монохроматическими и полихро-

матическими?6. В чем состоит принцип Гюйгенса?7. Сформулируйте принцип Гюйгенса – Френеля?8. Что называется дифракцией света?9. В чем особенность дифракции Френеля?10. В чем особенность дифракции Фраунгофера?11. Что называется дифракционной решеткой?12. Что называется постоянной решетки?13. Напишите условие образования главных максимумов?14. Напишите условие образования главных и дополнитель-

ных максимумов?


d =1·10–5 м, l = ___ м

Светофильтр Порядок максимума k

xi, м xi, м <λ>, м

1 Красный 2

1 Зеленый 2

1 Синий 2

87

15. Какова область применения дифракционных решеток?16. Напишите и объясните основную формулу дифракцион-

ной решетки?17. Начертите и объясните ход лучей через дифракционную

решетку?18. От чего зависит ширина дифракционного спектра?19. В чем отличие дифракционных спектров монохромати-

ческого и белого света?20. Объясните, как определяется длина световой волны при

помощи дифракционной решетки.

88


Определение радиуса кривизны линзыс помощью колец Ньютона,

полученных в монохроматическом свете

Цель работы: изучение интерференции света; измерение ра-диуса кривизны выпуклой линзы.Приборы и принадлежности: источник монохроматического

света (лазер), плоскопараллельная пластинка, короткофокуснаялинза, экран, блок питания.


Свет, с волновой точки зрения, представляет собой попереч-ные электромагнитные волны, распространяющиеся в вакуумесо скоростью с = 3.108 м/с (см. теоретическую часть в лаб. рабо-те № 5). Волновая природа света проявляется наиболее отчет-ливо в явлениях интерференции, дифракции, поляризации и дис-персии света.

1. Когерентность и монохроматичность световых волн

Согласованное протекание во времени и пространстве не-скольких колебательных или волновых процессов называетсякогерентностью волн.Этому условию удовлетворяют монохроматические волны –

неограниченные в пространстве волны одной определенной истрого постоянной частоты.Ни один реальный источник света не дает монохроматичес-

кого света, поэтому волны, излучаемые любыми независимы-ми источниками света, всегда некогерентны.Когерентные волны можно получить только от одного ис-

точника путем разделения одного светового потока на два, пу-стив их по различным оптическим путям и затем снова соеди-нив их. Тогда разность фаз определяется разностью хода лу-чей; при постоянной разности хода разность фаз также постоян-на. Существуют два способа разделения волны от первичного

89

источника на две когерентные между собой волны: деление вол-нового фронта (метод Юнга, зеркала Френеля) и деление ампли-туды (интерференция в тонких пленках).Пусть разделение на две когерентные волны происходит в

определенной точке О. До точки М, в которой наблюдаетсяинтерференционная картина, одна волна в среде с показателемпреломления n

1 прошла путь s

1, вторая (в среде с показателем

преломления n2) — путь s

2. Произведение геометрической дли-

ны пути на показатель преломления этой среды называется оп-тической длиной пути:

d = ns.

Оптическая разность хода лучей –— разность оптическихдлин проходимых волнами путей в этом случае равна:

.1122 snsn −=∆ (7.1)

Разность фаз колебаний, возбуждаемых в точке М равна:

.2 ∆λπ=δ (7.2)

2. Интерференция света

Интерференцией света называется пространственное пере-распределение светового потока при наложении двух (или не-скольких) когерентных световых волн в однородной среде, в ре-зультате чего в одних местах возникают максимумы, а в дру-гих — минимумы интенсивности, т.е. происходит перераспре-деление энергии в пространстве. Необходимым условием ин-терференции является их когерентность, т.е. равенство их час-тот (ν

1 = ν

2) и постоянная во времени разность фаз ∆ϕ = const

и совпадение плоскостей колебания вектора .Er

Если оптическая разность хода

π±=δ=λ±=∆ kkk 2 то,....)3 ,2 ,1 ,0( (7.3)

90

и колебания, возбуждаемые в точке М обеими волнами, будутприходить в одной фазе и усиливать друг друга, то будет иметьместо оптический максимум.Если оптическая разность хода

π+±=δ=λ+±=∆ )12( то,....)3 ,2 ,1 ,0( ;)12( kkk (7.4)

и колебания, возбуждаемые в точке М обеими волнами, будутприходить в противофазе и гасить друг друга, то будет иметьместо оптический минимум.При отражении света от оптически более плотной среды на

границе раздела происходит потеря длины полуволны ,2

λ что

равносильно увеличению длины пути на .2

λ

3. Интерференция в тонких пленках

Наиболее типичным и распространенным примером интер-ференции света является интерференция света в тонких плен-ках (мыльная пленка, тонкая стеклянная пластина и т.д.)На рис 7.1 представлена тонкая пленка толщиной d, на нее

под углом α к нормали падает параллельный пучок лучей. Рас-

Рис. 7.1

смотрим результат интерференции влучах, отраженных от пленки. Луч АВпадает на верхнюю поверхность плен-ки ММ1 в точке В. Он частично отра-жается, а частично преломляется. Пре-ломленный луч испытывает отражениеот нижней поверхности пленки и, пре-ломляясь в точке К, выходит из пленкиВ точку К попадает еще луч ДК. Этилучи когерентны. Оптическая разностьхода этих лучей равна

.2

sin2 22 λ+α−=∆ nd (7.5)

91

Разность хода зависит от толщины пленки, показателя пре-ломления материала, угла падения лучей и длины волны пада-ющего света.Результат интерференции в отраженном свете определяется

следующими условиями, выраженными через оптическую раз-ность хода

22

2sin2 22 λ=λ+α− knd (условие максимума) (7.6)

2)12(

2sin2 22 λ+=λ+α− knd (условие минимума). (7.7)

4. Кольца Ньютона

Кольца Ньютона — пример полос равной толщины, возни-кающих в результате интерференции света от мест одинаковойтолщины.При прохождении монохроматического света через си-

стему, состоящую из плотно прижатых друг к другу плоскопа-раллельной пластины и выпуклой линзы на экране, постав-

Рис. 7.2

ленном за этой системой, на-блюдается интерференционнаякартина, представляющая со-бой чередование светлых и тем-ных колец Ньютона. Здесь рольтонкой пленки выполняет воз-душная прослойка между вы-пуклой поверхностью линзы иплоскопараллельной пластин-кой (рис. 7.2).Разность хода лучей

,2

2λ+=∆ d (7.8)

где d — толщина воздушного зазора.

92

На границе, где стеклянные пла-

стины соприкасаются d = 0 и ,2

λ=δ

поэтому в отраженном свете на-блюдается темная полоса (мини-мум).Кольца Ньютона возникают и в

проходящем свете. В этом случаеразность хода лучей равна

.2

22λ+=∆ d (7.9)

Из рис. 7.4 видно, что шириназазора d является высотой шарово-го сегмента; из геометрии извест-но, что

,2

2

R

rd

k= (7.10)

где R — радиус кривизны линзы, аr

k — радиус кольца.

Рис. 7.3

Рис. 7.4

Подставив (7.10) в (7.9) получим

.2

λ+=∆R

r k(7.11)

Для темных колец

.2

)12(2 λ+=λ+ k

R

rk (7.12)

Откуда следует, что

.)2

1(

2

λ−= kR

rk (7.13)

Для m-го темного кольца запишем аналогично93

.)2

1(

2

λ−= kR

rm (7.14)

Вычтя из уравнения (7.14) выражение (7.13), получим:

.)(22

λ−=−

kmR

rr km (7.15)

Откуда найдем

.)(

22

λ−−

=km

rrR km (7.16)


1. Установить на оптической скамье лазер 1 (рис. 7.5), под-ключив его к входному гнезду блока питания.

2. Установить на противоположном конце скамьи обойму 3с линзой и плоской пластиной, так как это показано на ри-сунке.

Рис. 7.5

94

3. Включив блок питания в сеть 220 В, нажать кнопку на вер-хней его крышке, подав напряжение на лазер.

4. Вращая ножку 4 , а также перемещая лазер в горизонталь-ной плоскости направить луч в центр обоймы 3.

5. Установить вплотную к лазеру короткофокусную линзу 2.При этом рассеянный луч должен равномерно засвечивать по-верхность линзы 3.

6. Вращая ножку 5, а также перемещая оправку 3, направитьотраженное рассеянное излучение на экран, на котором с помо-щью магнитов закреплен лист бумаги.

7. Получив четкое изображение колец Ньютона на экране,присваивают номера первым шести темным кольцам, начинаяот центра. Затем, закрепив на экране лист бумаги, отмечаютна нем середины первых шести темных колец в двух взаимно-перпендикулярных направлениях, измеряют их диаметры и рас-считывают среднее значение диаметра D

cp каждого темного

кольца. Полученные результаты заносят в таблицу.8. Поскольку кольца Ньютона наблюдаются в отраженном

расходящемся луче лазера (для чего и применяется линза 2), тона экране размеры их увеличены по сравнению с реальными.Это увеличение N нужно определить. Его рассчитывают как от-ношение диаметра всей световой картины на экране к диаметруапертурного отверстия обоймы 3.10. По записанным в таблице D

cp определяют реальные ради-

усы r, темных колец Ньютона с учетом N:

,2

cp

N

Drx =

что также записывают в таблицу.11. Определяют радиус кривизны линзы R по формуле (7.16).

При расчетах R длину волны монохроматического излучениялазера считать известной: λ = 630 нм.12. Рассчитывают R линзы для трех пар колец, достаточно

далеко отстоящих друг от друга (например: m = 6, k = 2 илиm =5, k = l) и находят затем среднее значение R. Данные запи-сывают в таблицу.

95

13. Затем рассчитывают абсолютную погрешность

cp ii RR −=∆

и вычисляют ∆cp

.14. Окончательный результат записывают в виде

.cpcp RRR ∆±=


1. Какие волны и источники света называются когерент-ными?

2. Почему реальные источники света не являются когерент-ными?

3. Что называется интерференцией световых волн?4. Какие условия необходимы для возникновения интерфе-

ренции световых волн?5. Что называется оптической длиной пути?6. Что называется оптической разностью хода световых волн?7. Чему равна разность фаз двух когерентных волн?8. Запишите условие интерференционного максимума и дай-

те объяснение.9. Запишите условие интерференционного минимума и дай-

те объяснение.

Диаметры колец № темного кольца Db,

м Dг, м

Dcp, м

Увеличение N

Радиус кольца r, м

Радиус кривизны линзы R,

м 1 2 3 4 5 6

Т а б л и ц а

96

10. Объясните как происходит интерференция света в тон-ких пленках.11. Запишите условие образования максимумов в тонких

пленках.12. Запишите условие образования минимумов в тонких плен-

ках.13. Сделайте рисунок колец Ньютона и объясните как они

образуются.14. Запишите, чему равна оптическая разность хода в коль-

цах Ньютона в отраженном свете.15. Запишите, чему равна оптическая разность хода в коль-

цах Ньютона в проходящем свете.16. Выведите уравнения радиусов темных колец в проходя-

щем свете.17. Выведите уравнения радиусов темных колец в отражен-

ном свете.18. Где применяется интерференция света?19. Приведите примеры интерференции света в природе.20. Почему при освещении белым светом возникают цвет-

ные кольца Ньютона?

97


Проверка закона Малюса

Цель работы: изучение поляризации света; проверка законаМалюса.Приборы и принадлежности: оптическая скамья, источник

монохроматического света (лазер), фотодиод, лимб с указате-лем, вращающийся поляризатор (поляроидная пленка), муль-тиметр, экран.


1. Естественный и поляризованный свет

Вектор напряженности Еr

электрического поля световой вол-ны (это название обусловлено тем, что при действии света навещество основное значение имеет электрическая составляющаяполя волны, действующая на электроны в атомах вещества).Световые волны поперечны, поэтому векторы Е

r и Н

r взаим-

но перпендикулярны и колеблются перпендикулярно вектору,vr

а потому для описания поляризации достаточно знать пове-дение одного вектора – светового.Естественным светом называется свет со всевозможными

равновероятными ориентациями вектора Еr

. Равномерно рас-

пределение векторов Еr объясняется большим числом атомар-

ных излучателей, а равенство амплитудных значений векторовЕr

— одинаковой (в среднем) интенсивностью излучения каж-дого из атомов.Поляризованным светом называется свет с преимуществен-

ным (но не исключительным) направлением вектора Еr

.Плоскополяризованным светом называется свет, в котором

вектор Еr

(а следовательно, и Нr

) колеблется только в одномнаправлении, перпендикулярно лучу.Плоскость поляризации — плоскость, проходящая через на-

правление колебаний светового вектора плоскополяризованнойволны в направлении распространения волны.

98

Степенью поляризации света называется величина

,minmax

minmax

II

IIР

+−= (8.1)

где Imax

и Imin

— соответственно максимальная и минимальная ин-тенсивность частично поляризованного света,пропускаемого анализатором.

Для естественного света Imax

= Imin

, P = 0; для плоскополяри-зованного света I

min=0, P = 0.

2. Закон Малюса

Поляризаторы используются для преобразования естествен-ного света в плосокополяризованной. Они пропускают колеба-ния параллельные главной оптической плоскости поляризато-ра и полностью задерживают колебания, перпендикулярныеэтой плоскости. В качестве поляризаторов могут использоватьсясреды, анизотропные в отношении колебаний А

r (диэлектрики,

кристаллы турмалина, призмы Николя, поляроиды)Пластинка, преобразующая естественный свет в плосокопо-

ляризованный, называется поляризатором. Пластинка, служа-щая для анализа степени поляризации света, называется анали-затором.Если взять два поляроида (рис. 8.1): на поляроид падает ес-

тественный свет поляроид Р — поляризатор; из него выходитплоскополяризованный свет (вектор Е колеблется по направ-лению РР), второй поляроид А — анализатор (колебания Е поАА) помещен на пути луча, то интенсивность света, прошедше-го сквозь поляроиды, подчиняется закону Малюса:Интенсивность света I, прошедшего через анализатор, пря-

мо пропорциональна интенсивности I0 света, падающего на ана-

лизатор, квадрату косинуса угла между плоскостью пропуска-ния поляризатора и плоскостью колебаний светового вектораE

0 в падающем луче:

.cos20 α= II (8.2)

99

Интенсивность света I0, прошедшего сквозь поляризатор, в

два раза меньше интенсивности естественного сета, падающегона поляризатор:

.2

10 ectII = (8.3)

Закон Малюса легко выводится. Как известно, интенсивностьсветовой волны пропорциональна квадрату амплитуды коле-баний светового вектора (рис. 8.1):

, ; 220 Ap EIEI ∝∝ (8.4)

где Ep и E

A — амплитуды колебаний светового вектора, прошед-

шего через поляризатор и анализатор. Из рисун-ка 8.1 видно, что

.cos α= PA EE (8.5)

Рис. 8.1

100

Подставляя выражение (8.5) в (8.4), получим:

.cos)cos( 2222 α⋅=α=∝ ppf EEEI (8.6)

Если направления плоскостей колебаний поляризатора ианализатора перпендикулярны α = 90°, то говорят, что поля-ризатор и анализатор скрещены (установлены на гашение све-та — через скрещенные поляризаторы свет не проходит). Еслинаправления плоскостей поляризатора РР и анализатора ААсовпадают, α = 0, то интенсивность проходящего света будетмаксимальной. Для любого другого угла α интенсивность све-та вычисляется по формуле (8.2).

3. Поляризация при отражении света от диэлектрика

Пусть свет падает на плоскопараллельную стеклянную пла-стинку (рис. 8.2).

Рис. 8.2. Поляризация при отражении и преломлении света

Если угол падения i1 луча на пластинку удовлетворяет усло-

вию:

tgi1 = n

21, (8.7)

то луч, отраженный от пластин, оказывается линейно поляризо-ванным. Здесь n

1 и n

2 — показатели преломления первой и вто-

101

рой среды вблизи границы их раздела. Выражение (8.7) носитназвание закона Брюстера.Преломленный луч при выполнении условия (8.7) будет час-

тично поляризованным. Можно также показать, что лучи пре-ломленный и отраженный в этом случае будут взаимнопер-пендикулярными. При других углах падения (кроме i = 0) обалуча будут частично поляризованными.

4. Поляризация при двойном лучепреломлении

Опыт показывает, что при прохождении света через некото-рые кристаллы наблюдается не один, а два преломленных лучалинейно поляризованных в двух взаимно перпендикулярныхплоскостях (рис. 8.3). Один из лучей, получивший название обык-новенного луча, имеет одинаковую скорость распространения(а следовательно, и показатель преломления п) во всех направ-лениях в кристалле. На рис. 8.3 он обозначен буквой О. У дру-гого луча скорость распространения и показатель преломленияизменяются в зависимости от угла падения на кристалл. Егоназывают необыкновенным и обозначают буквой е.

Рис. 8.3. Двойное лучепреломление и направление колебаний

Свойством двойного лучепреломления обладают, например,кристаллы исландского шпата (СаСОз), турмалина, герапати-та и другие.Из прозрачных кристаллов исландского шпата изготовля-

ют призмы Николя (их просто называют николями). Николь —это две призмы, вырезанные определенным образом и склеен-ные между собой смолой с показателем преломления n = 1,55.Ход лучей в никoле и направления колебаний светового векто-ра E

r в них показаны на рис. 8.4.

вектора Er

в обыкновенном и необыкновенном лучах

102

В некоторых кристаллах, обладающих двойным лучепре-ломлением, наблюдается сильное поглощение обыкновенногоили необыкновенного луча — явление дихроизма. В результатеэтого при падении на кристалл естественного луча из него вый-дет лишь один линейно поляризованный луч. Такие кристаллыи приборы, изготовленные из них, называют поляризаторами.У поляризаторов имеется плоскость, в которой колебания век-тора Е пропускаются без изменений (плоскость пропускания по-ляризатора) и полностью задерживаются колебания Е, перпен-дикулярные ей.Если на поляризатор падает естественный свет, то, посколь-

ку в естественном луче равновероятны все направления колеба-ний вектора E

0 и углы α принимают любые значения от 0° до

Рис. 8.4. Прохождение луча через николь (обыкновенный лучиспытывает полное отражение от прослойки смолы)

90°, тогда ⊥= EEÉÉ и .20I

I = Поляризатор всегда пропускает

половину интенсивности света. При вращении поляризаторавокруг вектора направления распространения естественноголуча интенсивность прошедшего (линейно поляризованного)света меняться не будет и всегда составляет половину интен-сивности падающего света (если, конечно, не учитывать погло-щения поляризатора).


Измерения и обработка результатов измерения

В данной работе проверяется закон Малюса.

103

Проверка закона Малюса прово-дится на установке (рис. 8.5), состо-ящей из источника монохромати-ческого света S — лазера, поляро-ида А — анализатора. Анализаторможет вращаться вокруг оси 001.Поворачивая анализатор, мы изме-няем интенсивность света, падаю-щего на фотоэлемент ФЭ

соединен-

ный с гальванометром.В зависимости от интенсивнос-

ти света I, сила фототока j в галь-ванометре G будет меняться. Свет,выходящий из поляризатора, плос-кополяризованный. Плоскость ко-

Рис. 8.5

лебания вектора Er

показана направлением PP. Направлениеплоскости колебаний для анализатора — направление АА.В данном упражнении снимают графики зависимости фотото-ка i от квадрата косинуса угла α, для чего поворачивают анали-затор вокруг оси 001 и с того момента, как ток через гальвано-метр достигнет наибольшей величины, снимают показания токачерез каждые 10° поворота анализатора. Отсчеты производятoт 0 до 360°.


1. Установить на оптической скамье лазер 1 (рис. 8.6) и под-ключить его ко входу блока питания.

Рис. 8.6

104

2. Установить на скамье фотодиод 2 и подключить его к ниж-ним гнездам мультиметра. Переключатель пределов установитьв положение DC A 2000 µ А.

3. Включить блок питания в сеть 220 В и, нажав кнопку наверхней крышке блока питания, подать напряжение на лазер.

4. Вращая ножку 4 оптической скамьи, а также перемещаялазер в горизонтальной плоскости, направить луч в центр от-верстия держателя 2 фотодиода и добиться максимального зна-чения тока фотодиода.

5. Установить на оптической скамье устройство 3 с лимбоми вращающимся поляризатором (поляроидной пленкой).

6. Вращая поляризатор, зафиксировать максимальное зна-чение тока, что соответствует нулевому значению угла междуплоскостью колебаний вектора Е луча и плоскостями пропус-кания поляризатора.

7. Вращая поляризатор, через каждые 10° снимать показа-ния мультиметра. Для каждого значения угла α определить ве-личину cosα. Все результаты занести в табл. 8.1.


№ α I, мкА cos2α

1 0 2 10 3 20 4 30 5 40 6 50 7 60 8 70 9 80

10 90 1

9. По данным табл. 8.1 построить график I = I(cos2α). По видуграфика сделать заключение: выполняется ли закон Малюса:I = I

0cos2α.

105


1. Что называется световым вектором и почему?2. Какой свет называется естественным и как он изображает-

ся графически?3. Какой свет называется поляризованным и как он изобра-

жается графически?4. Что называется плоскостью поляризации?5. Что называется степенью поляризации света? Как рассчи-

тывают степень поляризации света?6. Чему равна степень поляризации естественного и плоско-

поляризованного света?7. Объясните как происходит поляризация света при прелом-

лении?8. Объясните устройство и применение призм Николя.9. В чем состоит явление поляризации света? Что такое по-

ляризатор?10. Что называется анализатором?11. Начертите и объясните схему опытов с кристаллами тур-

малина.12. Сформулируйте закон Малюса.13. Какие призмы называются скрещенными? Поясните это

с помощью схемы опыта.14. Какие физические явления лежат в основе получения по-

ляризованного светa?15. Как отличить плоскополяризованный свет от естествен-

ного?16. Объясните физическую природу явления поляризации

света.17. Объясните, как производятся измерения зависимости ин-

тенсивности от угла между плоскостями поляризатора и ана-лизатора.18. Как проверяется в работе выполнение закона Малюса?19. Как выводится закон Малюса?20. Объясните как происходит поляризация при отражении

света. Сформулируйте закон Брюстера.

106


Определение концентрацииводного раствора сахара

Цель работы: Изучение явления поляризации света, опреде-ление концентрации водного раствора сахара с помощью по-ляриметра.Приборы и принадлежности: Поляриметр портативный

П-161; источник света; раствор сахара неизвестной концентра-ции в съемной трубке.


1. Вращение плоскости поляризации

Волновая природа света и явление поляризации света под-робно описаны в теоретической части лабораторных работ№ 5 и 8.Некоторые вещества (например, из твердых тел — кварц,

сахар, киноварь; из жидкостей — водный раствор сахара, вин-ная кислота, скипидар), называемые оптически-активными, об-ладают способностью вращать плоскость поляризации. Враще-ние плоскости поляризации можно наблюдать на следующемопыте (рис. 9.1).Если между скрещенными поляризаторами Р и анализатором

А, дающими темное поле зрения, поместить оптически-активноевещество (например, кювету с раствором сахара), то поле зренияанализатора просветляется. При повороте анализатора на неко-торый угол ϕ можно вновь получить темное поле зрения. Угол ϕи есть угол, на который оптически активное вещество поворачи-вает плоскость поляризации света, прошедшего через поляриза-

Рис. 9.1. Прохождение поляризованного света через водныйраствор сахара

107

тор. Поскольку поворотом анализатора можно получить тем-ное поле зрения, то свет, прошедший через оптически активноевещество, является плоскополяризованным.Опыт показывает, что угол поворота плоскости поляриза-

ции для оптически-активных кристаллов и чистых жидкостей:

ϕ = αd,

для оптически активных растворов

ϕ = [α]Сd. (9.1)

где d — расстояние, пройденное светом в оптически-активном ве-ществе;

[α] — так называемое удельное вращение;С— объемно-весовая концентрация оптически активного ве-

щества в растворе.

Удельное вращение [α] зависит от природы вещества, его тем-пературы и длины волны света в вакууме.Оптически активные вещества, в зависимости от направле-

ния вращения плоскости поляризации, подразделяются на пра-во- и левовращающие. В первом случае плоскость поляризации,если смотреть навстречу лучу, вращается вправо (по часовой

Рис. 9.2. Поляриметр

стрелке), во втором — влево (противчасовой стрелки). Теория вращенияплоскости поляризации разработанаО. Френелем. Согласно этой теории,скорость распространения света в оп-тически активных веществах различ-на для лучей поляризованных по кру-гу вправо и влево.Явление вращения плоскости поля-

ризации и, в частности, формула (9.1)лежат в основе точного метода опре-деления концентрации растворов оп-тически активных веществ, называе-мого поляриметрией (сахариметрией).Для этого используется установка, по-казанная на рис. 9.2.

108

2. Описание прибора и метода измерения

В настоящей работе для измерения угла поворота плоскостиполяризации водным раствором сахара применяется полутене-вой поляриметр (модель П-161).Поляриметр состоит из следующих основных узлов (рис. 9.2):I — головка анализатора 1, 2, 7, 8;II — колонка 6, 9,10, 11;III — поляризационное устройство 3 с зеркалом 4;IV — штатив 5.Головка анализатора состоит из неподвижной градусной

шкалы 1 и совместно вращающихся частей: нониуса и анализа-тора 8, зрительной трубки 7 с вращающейся муфтой для уста-новки на резкость изображения линий раздела тройного (илидвойного) поля, наблюдаемого в окуляр (рис. 9.3).На рис. 9.3: А — нониус находится в крайнем левом положе-

нии; Б — нониус находится в нулевом положении; В — нониуснаходится в крайнем правом положении.В поляриметре применен принцип уравнивания яркостей

разделенного на три части (или две части) поля зрения. Разде-ление на три части поля зрения осуществлено введением в оп-тическую схему прибора кварцевой пластинки, которая зани-мает только среднюю часть поля зрения.Градусная шкала устроена следующим образом (рис. 9.4): на

неподвижном лимбе вправо и влево от нуля нанесены 20 деле-ний, цена одного деления –1°. Внутри лимба на подвижной втул-ке имеются два нониуса — левый и правый. Каждый нониус раз-

Рис. 9.3. Вид тройного поля зренияв зависимости от положения нониуса

Рис. 9.4. Градуснаяшкала

109

делен на 10 делений, цена одного деления 0,9°; точность отсчета–0,1°, Определение нулевого отсчета производится без трубки.Устанавливают окуляр зрительной трубки 7 (см. рис. 9.2) на рез-кое изображение пол зрения. Вращая анализатор 8, устанавли-вают поле зрения на равномерную затемненность тройногополя. Берут отсчет по нониусу. Измерения повторяют пять раз.Среднee значение величины пяти отсчетов является нулевым от-счетом прибора или поправкой на «0». Если нулевой штрих но-ниуса при измерении оказался относительно нулевого штрихалимба смещен по часовой стрелке, то поправке на «0» приписы-вается знак (+), если против часовой стрелки, то приписываетсязнак (–).Для определения угла вращения плоскости поляризации

трубку 6 (см. рис. 9.2) с испытываемым раствором (водный ра-створ сахара) помещают в колонку 9, вновь добиваются резко-го изображения поля зрения. Поворотом анализатор 8 устанав-ливают тройное поле на равномерную затемненность и берутотсчеты по шкале лимба.Порядок взятия отсчета следующий: сначала смотрят, на

сколько полных градусов повернут нуль нониуса по отноше-нию к лимбу (см. рис. 9.4). Затем подсчитывают число деленийот нуля нониуса до штриха нониуса, совпадающего с градус-ным штрихом лимба и умножают полученное число делений на0,1°. К числу градусов, взятых по лимбу, прибавляют отсчет понониусу.Таких наводок делают пять и рассчитывают их среднее зна-

чение. Из полученного среднего значения угла поворота плос-кости поляризации вычитают поправку на «0», обязательноучитывая знак поправки.



и обработка результатов измерений

1. Направьте дневной свет или свет от матовой электричес-кой лампочки на прибор с помощью зеркала.

110

2. Поместите в прибор трубку без раствора. Произведите пятьотсчетов нулевого положения шкалы и подсчитайте среднееарифметическое значение:

.5

05040302010

nnnnnn

++++>=<

3. Поместите в колонку 9 (см. рис. 9.3) прибора трубку с ра-створом сахара неизвестной концентрации С. Произведите пятьизмерений угла вращения плоскости поляризации и определи-те среднее значение его .1 >>< n Запишите результат, учитываяпоправку .0 >< n

.01 ><−>=< nnn

4. Используя формулу (9.1), определите неизвестную концен-трацию раствора сахара С

,][

01

d

nnC

α><−><

=

где [α] — удельное вращение. [α] =10 град см2/г , d = 10 cм.

5. Все результаты занесите в табл. 9.1.

Т а б л и ц а 9.1№ опыта n0 <n0> п1 <n0> п С

6. Произведите обработку результатов измерений в соответ-ствии с методическими указаниями к лабораторным работам.


1. Волновая природа света. Основные характеристики элек-тромагнитных волн.

2. Какой свет называется естественным и как он изображает-ся графически?

111

3. Какой свет называется поляризованным и как он изобра-жается графически?

4. Какой свет называется плоскополяризованным и как онизображается графически?

5. Что называется плоскостью поляризации?6. Что называется степенью поляризации света? Как рассчи-

тывают степень поляризации света?7. Чему равна степень поляризации естественного и плоско-

поляризованного света?8. Объясните, как происходит поляризация света при пре-

ломлении?9. Объясните устройство и применение призм Николя.10. В чем состоит явление поляризации света? Что такое по-

ляризатор? Что называется анализатором?11. Начертите и объясните схему опытов с кристаллами тур-

малина.12. Сформулируйте закон Малюса. Какие призмы называ-

ются скрещенными? Поясните это с помощью схемы опыта.13. Какие физические явления лежат в основе получения по-

ляризованного светa?14. Как отличить плоскополяризованный свет от естествен-

ного?15. Объясните физическую природу явления поляризации

света.16. Объясните, как производятся измерения зависимости ин-

тенсивности от угла между плоскостями поляризатора и ана-лизатора.17. Как проверяется в работе выполнение закона Малюса?

Как выводится закон Малюса?18. Объясните как происходит поляризация при отражении

света. Сформулируйте закон Брюстера.19. Как будет изменяться освещенность в поле зрения поля-

риметра, если анализатор будет вращаться?20. Изменится ли угол поворота плоскости поляризации при

изменении диаметра трубки с исследуемым раствором? При из-менении длины трубки с исследуемым раствором?

Редактор Д.Н. ТихонычевКомпьютерная верстка О.А. Денисова

Корректор В.В. Игнатова

Тип. зак. Изд. зак. 400 Тираж 1 000 экз.Подписано в печать 21.10.04 Гарнитура Times. ОфсетУсл. печ. л. 7,0 Формат 60×901/

16

Издательский центр РГОТУПСа,125993, Москва, Часовая ул., 22/2

Типография РГОТУПСа, 125993, Москва, Часовая ул., 22/2

ФИЗИКА

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Руководство к выполнению лабораторных работ

ФИЗИКА - fizika-i-himia.narod.ru · 4 которых прикрепляется...

Documents

Transcript of ФИЗИКА - fizika-i-himia.narod.ru · 4 которых прикрепляется...