- Escoamentos c/ Ausência de Parede - ‘Free Shear Flows’
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- Escoamentos c/ Ausência de Parede -
‘Free Shear Flows’
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Caracterização (I)
JATO 2D - Taxa de Abertura Experimental: /x 0.100 a 0.110
ESTEIRA 2D - Taxa de Abertura Experimental: /x 0.365
CORRENTES PARALELAS - Taxa de Abertura Experimental: /x 0.115
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Jato Axi-simétrico,Re = 2300
Esteira Cilindro:dist. origem 50 D & ReD=1770)
Camada Mistura
Caracterização (II)
Deve-se destacar:
• As grandes escalas;
• As pequenas escalas;
• Estruturas coerentes;
• Proporção: largura x
tamanho grande escala;
• Taxa abertura das
camadas;
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Similaridade (I)
• A transformação de similaridade reduz: o número de variáveis independentes do problema, a ordem da EDP, e o número de condições de contorno.
• Nem todos os problemas permitem solução por similaridade, aqueles que permitem satisfazem as três condições acima.
• Problemas 2D ou axi-simétricos pode-se buscar sol. similar expressando a velocidade na direção principal do escoamento por:
x
yF
xU
yxU
R ;
, '
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Similaridade (I)
• (x,y) - direções paralela (principal) e ortogonal ao escoamento
•U(x,y) - velocidade na direção principal
•UR(x) - velocidade de referência, varia ao longo da direção principal
• (x) - escala característica para direção transversal ao escoamento
• (x,y) - variável similar
• F() - função similar a ser determinada
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Similaridade (II)
• A transformação de similaridade é aplicada com sucesso em problemas parabólicos típicos em camada limite hidrodinâmica.
y
U C. C. ( = 0)
C. C. ( )
xC. C. (y = 0)
C. C. (y )
Não requer C.C.
C. C. Entrada(x = xe)
EDP ParabólicaU = U(x,y)Satisfaz 3 C.C.
• EDO: variável independente ()• U = U() produz um único perfil de velocidadessimilar. A velocidade em qualquer posição (x,y)é mapeada por • Satisfaz 2 C.C. ( a 3a c.c. do problema parabólica deve ser similar as 2 c.c. já satisfeitas.
yx
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Escalas Características ( Jatos 2D)Velocidade linha de centro: depende do fluxo de momento,densidade e distância da origem
1
CT
L
T Udy/du'v'u
dyy,xUM 2
xy
;FxUy,xU '
C
d'FxxUM
C
1
1
22
x
x,,MUU CC constMx
UC 2
1 xUC
Análise Dimensional
Var. Vel.Linha Centro
UC não depende da visc.molecular desde que:Ausência de paredes causa um fluxo de Momento constante:
Transf.Similar
.constU C
2
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Escalas Características ( Esteiras 2D)Déficite de Vel. linha de centro: depende do arrasto do corpo, densidade e distância da origem
1
CT
L
T Udy/du'v'u
x,,DUU CC constDx
UC
21
xUC
Análise Dimensional
Var. Vel.Linha Centro
UC não depende da visc.molecular desde que:
Ausência de paredes causa um fluxo de Momento constante:
Transf.Similar
dyUUUD 0
d'FxxUUD C
1
10 .constU
C
xy
;FxU
y,xUU '
C
0
21
x
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Escalas Características ( Camadas de Misturas)• A camada rápida induz velocidade na camada lenta por meio da difusão turbulenta da quantidade de movimento.
• Não há propriedade integral a ser conservada (distintamente do jato e esteira).
• Para os extremos, y , as vel. são constantes e iguais a de cada camada!
• A velocidade referência é uma constante dada pela diferença de velocidade entre camadas:
1
CT
L
T Udy/du'v'u
UC não depende da visc.molecular desde que:
Observações experimentais mostram que a razão entre a espessura da camada limite e a distância da origem variam é constante:
.constUUUU CR 01
x constx
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Escalas Características Quadro Resumo
Vel. ReferênciaUR
Espessura C.L.
Taxa abertura(experimental)
Jato 2D UC x -1/2 x 1 0.100 a 0.110Esteira 2D UC x -1/2 x 1/2 0.365Camada Mistura UC x 0 x 1 0.115Jato Axisimétrico UC x -1 x 1 0.086 a 0.096Esteira Axisimétrica UC x –2/3 x 1/3 ----Taxa de abertura da C.L. é definida como sendo o arco tangente da razão y/x onde y é:
Jato - a distância onde a vel. U é igual a 1/2 da velocidade da linha de centro;Esteira - a distância y onde o déficite de velocidade é igual 1/2 de seu máximo;Camada Mistura - usualmente definida entre os valores de y/x onde
(U-U1)2/(U0-U1)2 é 9/10 e 1/10, e U0 e U1 são as velocidades das correntes.
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Modelo de Comprimento de Mistura
• Para escoamentos com ausência de parede, o comprimento de mistura é proporcional a largura da região de mistura da camada limite (Prandtl).
.constxx
Const.
Comp. Mist.l
Jato 2D 0.098 x 1
Esteira 2D 0.180 x 1/2
Camada Mistura 0.071 x 1
Jato Axisimétrico 0.080 x 1
Esteira Axisimétrica x 1/3
onde a é uma constante de fechamento do modelo.
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Modelo de Comprimento de Mistura
• Os valores da constante foram obtidos por otimização numérica do modelo contra dados experimentais.
• O modelo possui um único coeficiente para fechamento, no caso a constante ,
• varia para cada tipo de escoamento e constitui uma das deficiências do modelo pois não tem universalidade, isto é, ela varia de escoamento para escoamento!
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Modelo de Viscosidade Turbulenta
• Para escoamentos com ausência de parede, Prandtl propôs um modelo de viscosidade turbulenta.
•O modelo possui um único coeficiente para fechamento, no caso a constante • A velocidade de referência é dada pela diferença: UR = Umáx - Umín
•Este modelo permite generalizar as soluções em regime laminar e turbulento para escoamentos livres com pequenas modificações.
dydU
T2
• Reconhecendo-se que T pode ser expressa em função do comprimento de mistura:• Estimando-se o gradiente de velocidadepor meio da vel. de referência e da espessura da camada limite• Chega-se ao modelo da visc. turbulenta.Ele não contêm grad. vel. Associado mas, somente o produto UR
RU
dydU
RT U
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Equação Similar p/ Comprimento Mistura
• Equação Movimento: • Transformação Similar:
• Modelo p/ tensão:
• Para haver transf. similar é necessário que os parâmetros C1 e C2 sejam constantes! Caso contrário não há redução do número de variáveis (x,y)
• Isto impõe restrições a variação de UR e e somente alguns escoamentos podem satisfazer.
• A transformação têm sucesso quando ela também é capaz de reduzir o número de C.C.
• Equação Transformada:
yyU
VxU
U
y & 'F*xUy,xU R
''F''FUx
''FUx
''FUx
dydU
dydU
RRR
22222
''FF
U
U'F
U
'U''F''F
R
'R
R
R
22
2
C1 C2
muita álgebra
...
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Modelo de Comprimento de Mistura
• Para escoamentos com ausência de parede, o comprimento de mistura é proporcional a largura da região de mistura da camada limite (Prandtl).
.constxx
Const.
Comp. Mist.l
Jato 2D 0.098 x 1
Esteira 2D 0.180 x 1/2
Camada Mistura 0.071 x 1
Jato Axisimétrico 0.080 x 1
Esteira Axisimétrica x 1/3
onde a é uma constante de fechamento do modelo.
• Os valores da constante foram obtidos por otimização numérica do modelo contra dados experimentais.
• O modelo possui um único coeficiente para fechamento, no caso a constante ,
• varia para cada tipo de escoamento e constitui uma das deficiências do modelo pois não tem universalidade, isto é, ela varia de escoamento para escoamento!
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Modelo de Viscosidade Turbulenta• Para escoamentos com ausência de parede, Prandtl propôs um modelo de viscosidade turbulenta.
•O modelo possui um único coeficiente para fechamento, no caso a constante
• A velocidade de referência é dada pela diferença: UR = Umáx - Umín
•Este modelo permite generalizar as soluções em regime laminar e turbulento para escoamentos livres com pequenas modificações.
• Reconhecendo-se que T pode ser expressa em função do comprimento de mistura:• Estimando-se o gradiente de velocidadepor meio da vel. de referência e da espessura da camada limite• Chega-se ao modelo da visc. turbulenta.Ele não contêm grad. vel. Associado mas, somente o produto UR
dydU
T2
RU
dydU
RT U
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Equação Similar p/ Comprimento Mistura
• Equação Movimento: • Transformação Similar: • Modelo p/ tensão:
• Para haver transf. similar é necessário que os parâmetros C1 e C2 sejam constantes! Caso contrário não há redução do número de variáveis (x,y)
• Isto impõe restrições a variação de UR e e somente alguns escoamentos podem satisfazer.
• A transformação têm sucesso quando ela também é capaz de reduzir o número de C.C.
• Equação Transformada:
yyU
VxU
U
y & 'F*xUy,xU R
''F''FUx
''FUx
''FUx
dydU
dydU
RRR
22222
''FF
U
U'F
U
'U''F''F
R
'R
R
R
22
2
C1 C2
muita álgebra
...
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Jato Plano Livre I (comprimento mistura)
Axx xx
222
11
2
'UMU &
xM
U C'CC
22
2222
2
22
1
21
A'C
A'U
U
U
'UC
C
C
R
R
022
22
22
''FFA
'FA
'''F''F
• A largura do jato e o comprimento de mistura são proporcionais às constantes A e , respectivamente
tetanconsd'F
0
2
• A velocidade na linha de centro e sua derivada são determinadas pelas expressões e • A transf. Similar têm
êxito, parâmetros C1 e C2 são constantes!
A equação da quantidade de movimento transformada
0
''FU
dydU
''F''F C
'''F''F''F''F''F 22
u
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Solução Similar Jato Plano Livre II (comprimento mistura)
022
22
22
''FFA
' FA
'''F''F
Eq. Momento Sujeita a satisfazer apenas 3 c.c.
Y=0 V=0 e U = máx F(0)=0, F’(0)=1 e F’’(0)=0
Y U = 0 então F’() = 0• Necessário encontrar melhor ajusta-se aos dados experimentais do perfil médio de velocidades.
• Como F(0) = F’’(0) = 0, então F’(0) = 0 para que seja satisfeita a equação da quantidade de movimento. Isto implica em dizer que a vel. na linha de centro do jato é nula!
• Isto sugere que o modelo de comp. mistura não pode atender a todas as c.c. especificadas.
• Notando-se que a Eq. Momento pode ser integrada analiticamente uma ordem reduzindo a EDO de 3a para 2a ordem:
02 2
2
'FF
A''F
dd
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Solução Similar Jato Plano Livre III (comprimento mistura)
Eq. Momento Sujeita a satisfazer apenas 2 c.c.
04
22
2
FddA
''F = 0 F(0) = 0 e F’(0) = 1
• A EDO não apresenta solução analítica. Ela é obtida por meio de rotinas numéricas de integração (Runge-Kutta por exemplo).
• Comparação entre a solução de Reichardt e a do modelo de comprimento de mistura
CUU
Reichardt
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Esteira 2D I (comprimento mistura)• O déficite de velocidade é definido como sendo a dif. entre a vel. da corrente livre e a do fluido na esteira:
0 UUUd U
U
Ud• Para uma região suficientemente afastada da origem, a eq. do momento pode ser aproximada por:
yxU
U d
U = Uinf-Ud. O termo inercial (Uinf-Ud)dUd/dx+VdUd/dy = UinfdUd/dx
-UddUd/dx+VdUd/dy,
mas Eq. massa -> V Ud/L e para distâncias grandes Ud -> 0 e
os termos: UddUd/dx+VdUd/dy são da mesma ordem de
magnitude porém menores que UinfdUd/dx
doespecifica valor U xxlivre corrente 0F' U y
mínimo de ponto 00'F' y
dref
d
yUd
0
00• A Eq. da quantidade de movimento deve satisfazer as C.C.:
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Esteira 2D II (comprimento mistura)
Equação do Momento Transformada
Isolando-se o termo de derivada superior e após manipulações algébricas, onde ‘a’ é uma constante.
A Eq. da quantidade de movimento apresenta a solução analítica:
02
22
dyd
C
dxdu
U
CC ''Fdd
xU
''F'
UU'F'UU
d
02
2
'F
U
'U''F
dd
a
C
Sujeita as C.C.:
F’’(0)=0
F’(1)=0
A constante ‘a’ e o déficite de velocidade na linha de centro são determinados com o auxílio da integral do arrasto. O parâmetro a deve ser determinado pelo melhor ajuste aos dados experimentais.
a
'F
2
2
3
19
xD
UUC
Ua
5
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Esteira 2D III (comprimento mistura)
Resultados do modelo: Tese de Doutorado do Schilichting (1930)
Perfil de Velocidades:
Largura da esteira:
Coeficiente de Arrasto:
0.247 A e . ,xCx D 18010
LU
DCD
2
21
x
Cy,xU x
yDd
22
3
118
10
Comparação entre as soluções
similares obtidas resultantes do
modelo de comprimento de mistura,
(vermelha) e da viscosidade
turbulenta, (linha verde).
C
d
U
U
y
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Camada de Mistura I (comprimento mistura)
Perfil de velocidades, velocidade de referência e condições de contono:
0UUU 21R
U1
U2
x
y
simetria 00F0v,0y
0 (-1)'F' e UU)1('F0y e Uu,y C22
0 (1)'F' e UU)1('F0 y e Uu,y R11
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Camada de Mistura I (comprimento mistura)
C1 é nula, dU/dy > 0 logo | F’’| = F’’ e a eq. transformada passa a ser:
0F2
''''F
2
Equação linear e têm solução analítica porém sua forma é complexa e envolve diversos termos.
Mais conveniente buscar solução numérica (Runge-Kutta).
Comparação da solução com o ajuste proposto por
Reichardt aos dados experimentais do perfil médio de velocidades
Reichardt
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Equação Similar p/ Viscosidade Turbulenta
yyU
VxU
U
• Equação Movimento:
• Transformação Similar: • Modelo p/ tensão:
• Para haver transf. similar é necessário que os parâmetros C1 e C2 sejam constantes! Caso contrário não há redução do número de variáveis (x,y)
• Isto impõe restrições a variação de UR e e somente alguns escoamentos podem satisfazer.
• A transformação têm sucesso quando ela também é capaz de reduzir o número de C.C.
• Equação Transformada:
C2
muita álgebra
...
y & 'F*xUy,xU R
C1
''FUx
''FUU
dy
dUU 2
RR
RR
T
''FF'
''FF'FU
'U'''F 2
R
R
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Jato Plano Livre (mod. visc. turbulenta)
• A velocidade na linha de centro e sua derivada são definidas pelas escalas características.
• A Equação transformada da Q. Mov. apresenta um termo isolado de derivada de terceira ordem enquanto que no modelo de comprimento de mistura ele vem multiplicado pela derivada de segunda ordem.
• A transf. Similar têm êxito, parâmetros C1 e C2 são constantes!
A'C2 &
2
A
U
'U1C
R
R
0''FF2
A'F
2
A'''F 2
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Jato Plano Livre (mod. visc. turbulenta)
As condições de contorno satisfeitas pela equação transformada são:
F(0) = 0 (simetria com a linha de centro, V = 0)
F’() = 0 (afastado da linha de centro a velocidade decai p/ 0)
F’’(0) = 0 (velocidade é máxima na linha de centro)Na linha de centro o modelo. não apresenta a inconsistência física do modelo de comprimento de mistura, isto é, F’(0)0. De fato p/, =0, encontra-se que [F’(0)]2 = -2/A.F’’’(0)
y
3
2Tanh1
x
M426.1
U
U
x246.0
138.0
2
c
• O valor do parâmetro , espessura C.L. e a solução da EDO tem solução analítica com perfil de velocidades no Jato plano
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Esteira 2D (mod. visc. turbulenta)
• A aproximação a equação da Q. Mov. aplica-e para escoamentos distantes do corpo, L/x > 200 (L dim. corpo) . Equação transformada da Q. Mov. passa a ser, onde o parâmetro ‘a’ é uma constante. As condições de contorno satisfeitas pela equação transformada são:
F(0) = 0 (simetria com a linha de centro, V = 0)F’(0) = 1 (vel. Na linha de centro, Ud=UC)F’() = 0 (afastado da linha de centro a velocidade
decai p/ 0)F’’(0) = 0 (velocidade é máxima na linha de centro)
Sendo um diferencial perfeito a EDO pode ser integrada sucessivamente até chegar-se aos valores dos parâmetros e perfis que melhor representam os dados médios experimentais
0''F'FU
UU'''F
a
2
'
C
C
x
D38.1
U
U
U
Dx805.0x
88.3ExpU
U
76.7a 0836.0
c
2
2y
c
d
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Camada de Mistura (mod. visc. turbulenta)
•Equação transformada da Q. Mov. passa a ser:•Sujeita às condições de contorno:• F(0) = 0 (simetria com a linha de centro,
V = 0)
F’(1) = U1/UC (vel. em y = , U=U1)
F’(-1) = U2/UC (vel. em y = -, U=U2)• A EDO não tem solução analítica conhecida requerendo portanto integração numérica.
• Reichardt propôs uma aproximação à solução numérica por meio do ajuste:
''FF'
'''F
xymimmax erf1
2
UUU
onde o parâmetro que melhor se ajusta aos dados experimentais é, = 13.5.
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Estimativas Grandezas Turbulentas I
dy
dU'v'u T
T
A tensão turbulenta é determinada, para ambos os modelos, com o auxílio da viscosidade turbulenta:
'v'uk A energia cinética do escoamento também pode ser estimada a partir da tensão turbulenta, onde a constante de proporcionalidade vêm dos dados experimentais, 0.09.
dy
dU2T mimmaxT UU Os modelos para viscosidade
turbulenta: comprimento de mistura e Prandtl-Reichardt
A aproximação para k não é válida próx. linha de centro pois u’v’=0 porém k0. Para y/d > 0.4ela se constitui uma boa aproximação.
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Estimativas Grandezas Turbulentas - Esteira 2D Mod. Comprimento de Mistura
medido • O modelo não atende o comportamento assintótico, y+ u’v’ =0, nem tão pouco da velocidade média
•A viscosidade turbulenta varia somente na direção transversal ao escoamento.
• Na direção paralela ela é constante e independe da distância da origem.
• Isto não representa físicamente o que ocorre para regiões muito afastadas da origem pois espera-se que o escoamento se relaminarize!
• O modelo dá T=0 p/ y=0, porém é fato que T 0. Isto gera problemas em transferência de calor e massa.
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Estimativas Grandezas Turbulentas II
• Para regiões afastadas da origem, o termo convectivo da equação de k pode ser aproximado por:
• Estimativas para um balanço dos mecanismos de produção, dissipação, transporte e destruição de k.
'p
21 k'v
dy
d
dy
dU'v'u
dx
dkU
dy
dk
dy
dk'v
dy
d (Difusão)
dy
dU
dy
dU'v'u (Produção)
dy
dU
dx
dU'v'u
dx
dU
dx
dkU (Conveção)
T'p
21
2
T
T
finalmente o termo de dissipação, , é estimado como a diferença da soma algébrica dos demais termos.
• Aproximações (modelos) para cada termo da eq. transporte de k:
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Estimativas Grandezas Turbulentas - Esteira 2D Mod. Comprimento de Mistura
• Na região central, y/< 0.6 dk/dx = P - e - (-D) O valor de k atinge um máximo, Produção e dissipação são aproximadamente iguais e intensas ; e a difusão transporta k [-(-D)>0] para o centro e para a periferia da esteira. ‘C’ transporta paralelo ao escoamento enquanto “D” transversalmente
• Na região y/> 0.6 dk/dx = - (D) os mecanismos ‘C’ e ‘D’ se invertem. A difusão remove k pq. a esteira se propaga num ambiente de fluido não perturbado.
PkD
C
Representação qualitativa do balanço de energia cinética. Linhas pontilhadas são baseadas em medidas exp.