monografias.ufrn.br · Created Date: 7/3/2018 2:26:03 PM
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DANIEL ALVES DE LIMA
DIMENSIONAMENTO AUTOMÁTICO DE PILARES DE
CONCRETO ARMADO
NATAL-RN
2018
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
i
DANIEL ALVES DE LIMA
Dimensionamento automático de pilares de concreto armado
Trabalho de Conclusão de Curso na modalidade
Monografia, submetido ao Departamento de
Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio
Grande do Norte como parte dos requisitos
necessários para obtenção do Título de Bacharel em
Engenharia Civil.
Orientadora: Prof.ª. Dra. Fernanda Rodrigues
Mittelbach.
Natal-RN
2018
ii
Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN
Sistema de Bibliotecas - SISBI
Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede
Lima, Daniel Alves de.
Dimensionamento automático de pilares de concreto armado / Daniel Alves de Lima. - 2018.
132 f.: il.
Monografia (graduação) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Tecnologia, Curso de Engenharia Civil.
Natal, RN, 2018.
Orientador: Prof.ª Dr.ª Fernanda Rodrigues Mittelbach.
1. Engenharia civil - Monografia. 2. Estruturas de concreto
armado - Monografia. 3. Pilares de concreto armado -
Monografia. 4. Cálculo estrutural - Monografia. 5. Código computacional - Monografia. I. Mittelbach, Fernanda Rodrigues.
II. Título.
RN/UF/BCZM CDU 624.012.4
iii
DANIEL ALVES DE LIMA
Dimensionamento automático de pilares de concreto armado
Trabalho de conclusão de curso na modalidade
Monografia, submetido ao Departamento de
Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio
Grande do Norte como parte dos requisitos
necessários para obtenção do título de Bacharel em
Engenharia Civil.
Aprovado em 25 de junho de 2018:
___________________________________________________
Prof.ª Dra. Fernanda Rodrigues Mittelbach – Orientadora
___________________________________________________
Prof. Dr. Rodrigo Barros – Examinador interno
___________________________________________________
Eng. Pedro Mitzcun Coutinho – Examinador externo
Natal-RN
2018
iv
DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho à minha mãe, Maria do
Socorro Alves Lima, por todo o amor, cuidado,
dedicação e educação que foram fundamentais
para o meu sucesso.
v
AGRADECIMENTOS
À minha família, em especial minha mãe Socorro e meu pai Duda (in memoriam) por
todo o amor, carinho, cuidado e suporte que foram essenciais para tornar essa jornada possível,
minha avó Terezinha, minha tia Maria, minha tia e madrinha Diná, pelas orações, por cuidarem
de mim na infância e ainda hoje em dia quando estou passando alguns dias em Caicó.
À minha melhor amiga e namorada, Carla Mariana, por todo o amor, apoio e ótimos
momentos compartilhados nessa caminhada.
A todos os bons professores que tive durante a graduação, em especial à minha
orientadora Fernanda Mittelbach por toda a ajuda na realização deste trabalho e por ser uma
referência profissional para mim. Sua forma de ensinar, tratar e incentivar seus alunos me
encantam, espero um dia ser um professional como você..
Aos amigos de infância e adolescência de Caicó que levo até hoje: Gil Pablo Alves,
Enver Souza, Emmanuel Dantas, Clayson Bezerra, Lucas Dutra, Heitor Cabral, Judas Tadeu,
Agatha Christie, Bruna Lucena, Juliana Nóbrega e Valenia Mariz por toda a amizade e bons
momentos vividos que me deram alegria para continuar e pelos muitos que ainda virão!
Aos amigos que fiz na primeira parte do curso na UFCG, o Hulê: Gibran Holanda,
Vicenthe Marinho, Wagner Filho, João Victor Souza e Aryelle Azevedo por toda amizade,
momentos engraçados e bons aperreios que passamos (e ainda passaremos) em Campina
Grande!
Aos amigos que fiz na segunda parte do curso na UFRN: Josian Filho, Iasnara Chagas,
Wagno Júnior, Carlos Henrique, Danilo Barbosa, Nicole Nahara, Rafael Ângelo e Eduardo
Loami por toda a amizade nessa jornada, pela ajuda nos trabalhos e em vésperas de provas, aos
últimos cinco em especial por me acompanharem nas matérias de Estruturas quando todas as
pessoas fugiam destas!
Daniel Alves de Lima
vi
RESUMO
O objetivo deste trabalho é desenvolver um código computacional na linguagem
FORTRAN capaz de dimensionar seções de pilares de concreto armado de forma automática,
no que se diz respeito ao estado limite último de solicitações normais. O dimensionamento é
otimizado visando fugir do uso de ábacos e de outros métodos que possam gerar resultados
contra a segurança destes elementos que são as partes mais vitais de uma estrutura, sempre
respeitando os aspectos normativos da ABNT NBR 6118/2014. O cálculo se dá através de um
procedimento iterativo devido à própria natureza do problema. São apresentados resultados do
cálculo manual através de ábacos para as seções mais simples como retangular e circular, e
resultados de verificações obtidos do software CypeCAD 2018.j para as seções mais complexas,
para as quais não foram encontrados ábacos na literatura, como L, U, retangular vazada e coroa
circular, os resultados encontrados foram então comparados com os obtidos no programa.
Palavras-chave: pilares de concreto armado, dimensionamento de estruturas
de concreto armado, fortran, código computacional, dimensionamento automático
vii
ABSTRACT
Title: Automatic design of reinforced concrete columns
The objective of this work is developing a computational code in the FORTRAN
language capable of automatically designing sections of reinforced concrete columns to the
ultimate limit state of normal stresses. The design is optimized to avoid the use of tables and
other methods that can generate results against the safety of these elements, which are the most
vital parts of a structure, always respecting the normative aspects of ABNT NBR 6118/2014.
The calculation takes place through an iterative procedure due to the very nature of the problem.
Results are presented via manual calculation through tables for the simpler sections such as
rectangular and circular, and results of verifications obtained from the software CypeCAD
2018.j for the more complex sections, for which there were no tables in the literature, such as
L-shaped, U-shaped, voided rectangular and circular crown, the results were then compared to
those obtained in the program.
Keywords: reinforced concrete columns, reinforced concrete structures design,
fortran, computational code, automatic design
viii
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1 - Diagrama de tensão-deformação do concreto ............................................. 6
Figura 2 - Elemento de concreto armado do grupo I no estádio III ............................. 8
Figura 3 - Diagrama de tensão deformação do aço ...................................................... 9
Figura 4 - Domínios de deformação de uma seção transversal de concreto armado . 11
Figura 5 - Caminho das cargas em uma estrutura de concreto armado ...................... 13
Figura 6 - Tipos de flexão composta em pilares ........................................................ 14
Figura 7 - Tipos de excentricidade de primeira ordem .............................................. 15
Figura 8 - Excentricidade de forma ............................................................................ 15
Figura 9 - Pilar submetido a flexão composta oblíqua ............................................... 20
Figura 10 - Arranjos de barras disponíveis nos ábacos .............................................. 23
Figura 11 - Combinações disponíveis de posicionamento das barras ........................ 24
Figura 12 - Ábaco 10B ............................................................................................... 25
Figura 13 - Pontos da poligonal e barra de uma seção heptagonal vazada ................ 29
Figura 14 - Eixos locais para desenvolvimento do problema .................................... 30
Figura 15 - Variação periódica do parâmetro de deformação D ................................ 32
Figura 16 - Exemplo de arquivo de entrada para o Exemplo 1 .................................. 43
Figura 17 - Botão para verificação da seção .............................................................. 47
Figura 18 - Seção inserida no arquivo ........................................................................ 47
Figura 19 - Parte da composição bruta dos dados ...................................................... 48
Figura 20 - Dados da planilha tratados e prontos para o arquivo de entrada ............. 49
Figura 21 - Pilar retangular do Exemplo 1 ................................................................. 50
Figura 22 - Uso do ábaco 14B para determinação do ω ............................................. 51
Figura 23 - Arquivo de entrada do exemplo 1 ............................................................ 52
Figura 24 – Parte do arquivo de saída do Exemplo 1 pelo programa computacional 53
Figura 25 - Pilar retangular do Exemplo 2 ................................................................. 54
Figura 26 - Uso do ábaco 5A com ν=0,6 para determinação do ω............................. 55
Figura 27 - Uso do ábaco 5B com ν=0,8 para determinação do ω ............................. 56
Figura 28 - Arquivo de entrada do exemplo 2 ............................................................ 57
Figura 29 – Parte do arquivo de saída do Exemplo 2 pelo programa computacional 58
Figura 30 - Pilar retangular do Exemplo 3 ................................................................. 59
Figura 31 - Uso do ábaco 20A para determinação do ω ............................................ 60
Figura 32 - Arquivo de entrada do exemplo 3 ............................................................ 61
ix
Figura 33 – Parte do arquivo de saída do Exemplo 3 pelo programa computacional 62
Figura 34 - Pilar retangular do Exemplo 4 ................................................................. 63
Figura 35 - Ábaco para seção circular ........................................................................ 64
Figura 36 - Arquivo de entrada do exemplo 4 ............................................................ 65
Figura 37 – Parte do arquivo de saída do Exemplo 4 pelo programa computacional 66
Figura 38 - Pilar do Exemplo 5 .................................................................................. 67
Figura 39 - Arquivo de entrada do exemplo 5 ............................................................ 68
Figura 40 – Parte do arquivo de saída do Exemplo 5 pelo programa computacional 69
Figura 41 - Pilar do Exemplo 6 .................................................................................. 70
Figura 42 - Arquivo de entrada do exemplo 6 ............................................................ 71
Figura 43 – Parte do arquivo de saída do Exemplo 6 pelo programa computacional 72
Figura 44 - Pilar do Exemplo 7 .................................................................................. 73
Figura 45 - Arquivo de entrada do exemplo 7 ............................................................ 74
Figura 46 – Parte do arquivo de saída do Exemplo 7 pelo programa computacional 75
Figura 47 - Pilar do Exemplo 8 .................................................................................. 76
Figura 48 - Arquivo de entrada do exemplo 8 ............................................................ 77
Figura 49 – Parte do arquivo de saída do Exemplo 8 pelo programa computacional 78
x
ÍNDICE DE TABELAS
Tabela 1 - Classes de resistência do concreto .............................................................. 5
Tabela 2 - Resumo de características dos aços CA ...................................................... 9
Tabela 3 – Correspondência entre domínios e valores do parâmetro D ..................... 32
Tabela 4 - Derivadas das funções S (D) e i (D) em relação ao parâmetro D ............ 39
Tabela 5 – Tabela de dados iniciais ............................................................................ 44
Tabela 6 - Tabela de entrada dos vértices da seção .................................................... 45
Tabela 7 - Tabela de entrada das barras fixas ............................................................ 45
Tabela 8 – Tabela de entrada para as barras otimizáveis ........................................... 46
Tabela 9 - Tabela de entrada dos casos de carga e esforços solicitantes de cálculo .. 47
Tabela 10 - Comparação entre os resultados obtidos no trabalho .............................. 79
xi
SIMBOLOGIA
SÍMBOLO SIGNIFICADO
[DP] Matriz gradiente
[ER] Vetor de esforços resistente
[ES] Vetor de esforços solicitantes
[REv] Vetor de incremento das incógnitas
ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas
Ac Área de concreto da seção
Acc Área da seção de concreto comprimido
AcReg1 Área de concreto comprimida na região 1
AcReg2 Área de concreto comprimida na região 2
As Área de aço necessária para equilibrar a seção
Asi Área da seção transversal da barra genérica i
asi Área de cada barra fixa
asi Área de cada barra fixa
c Cobrimento do da seção
CG Centro geométrico da seção
D Parâmetro de deformação da seção
d’x Distâncias da borda da seção até o eixo da barra na direção X
d’y Distâncias da borda da seção até o eixo da barra na direção Y
dA Elemento infinitesimal de área
dx Dimensão x do elemento infinitesimal de área
dy Dimensão y do elemento infinitesimal de área
Eci Módulo de elasticidade longitudinal tangente do concreto
Ecs Módulo de elasticidade longitudinal secante do concreto
Es Módulo de elasticidade longitudinal do aço
ex Excentricidade ao longo do eixo x, que gera um momento em torno do
eixo Y
ey Excentricidade ao longo do eixo x, que gera um momento em torno do
eixo X
fcd Resistência de cálculo do Concreto à Compressão
fck Resistência Característica do Concreto à Compressão
xii
SIMBOLOGIA
SÍMBOLO SIGNIFICADO
fyd Resistência de cálculo do aço ao Escoamento
fyk Resistência Característica do aço ao Escoamento
hx Dimensão da seção na direção do eixo x
hy Dimensão da seção na direção do eixo y
k0 Curvatura do eixo do elemento estrutural no plano de flexão.
LN Linha neutra
MPa Megapascal
MxRd Momento fletor em torno do eixo X resistente de cálculo
MxSd Momento fletor em torno do eixo X solicitante de cálculo
MyRd Momento fletor em torno do eixo Y resistente de cálculo
MySd Momento fletor em torno do eixo Y solicitante de cálculo
MηRd Momento fletor em torno do eixo η resistente de cálculo
MξRd Momento fletor em torno do eixo ξ resistente de cálculo
n Número de barras
NBF Número de barras fixas
NBF Número de barras fixas
NBO Número de barras otimizáveis
NBO Número de barras otimizáveis
NBR Norma brasileira
NzRd Esforço normal na direção Z resistente de cálculo
NzSd Esforço normal na direção Z solicitante de cálculo
NζRd Esforço normal na direção ζ resistente de cálculo
pi Porcentagem de armadura de cada barra otimizável em relação ao
total
Rcc Resultante de compressão no concreto
Rs Resultante de tração no concreto
x Abscissa do elemento infinitesimal de área dx·dy
xsi Abscissa da barra genérica i
y Ordenada do elemento infinitesimal de área dx·dy
ysi Ordenada da barra genérica i
xiii
SIMBOLOGIA
SÍMBOLO SIGNIFICADO
α Ângulo de inclinação da linha neutra
αE Parâmetro de cálculo do Eci que faz referência ao tipo de agregado
usado no concreto
αi Coeficiente redutor do Eci função do fck tendo seu valor limitado em
1
γc Coeficiente de minoração da resistência do concreto
ϵ0 Deformação da fibra passando pelo CG;
ϵc2 Deformação específica de encurtamento do concreto no início da
plastificação
ϵcu Deformação específica de encurtamento do concreto na ruptura
ϵi Deformação na fibra inferior da seção
ϵs Deformação específica no aço
ϵs Deformação na fibra superior da seção
ϵyd Deformação específica de escoamento do aço
η Distância da fibra em questão ao centro de gravidade (CG) da seção
medida no sentido perpendicular à linha neutra (LN);
ηi Coordenada da fibra inferior da seção
ηs Coordenada da fibra superior da seção
μx Momento fletor em torno de Y reduzido
μy Momento fletor em torno de X reduzido
ν Força normal reduzida
σcd Tensão no concreto comprimido
σsid Tensão na barra genérica i
Φl O diâmetro da barra longitudinal
Φt O diâmetro do estribo
ω Taxa de armadura mecânica da seção
xiv
ÍNDICE GERAL
Sumário 1 INTRODUÇÃO .................................................................................................... 1
1.1 Considerações iniciais ................................................................................... 1
1.2 Objetivos ....................................................................................................... 2
1.2.1 Geral ......................................................................................................... 2
1.2.2 Específicos ................................................................................................ 2
1.3 Estrutura do trabalho ..................................................................................... 3
2 O CONCRETO ARMADO .................................................................................. 4
2.1 Concreto ........................................................................................................ 4
2.1.1 Resistência à compressão ......................................................................... 4
2.1.2 Resistencia à tração ................................................................................... 5
2.1.3 Diagrama de tensão-deformação .............................................................. 5
2.1.4 Módulo de elasticidade ............................................................................. 6
2.1.5 Estádios de tensão ..................................................................................... 7
2.2 Aço ................................................................................................................ 8
2.3 Concreto Armado ........................................................................................ 10
2.3.1 Domínios de deformação ........................................................................ 10
3 PILARES ............................................................................................................ 13
3.1 Definição ..................................................................................................... 13
3.2 Pontos a serem considerados no dimensionamento .................................... 13
3.3 Resolução da seção submetida a flexão composta oblíqua ......................... 19
3.4 Uso dos ábacos de flexão composta oblíqua ............................................... 21
4 O CÓDIGO COMPUTACIONAL ..................................................................... 27
4.1 Utilização .................................................................................................... 27
4.2 Sub-rotinas .................................................................................................. 28
4.3 Formulação para o programa....................................................................... 29
4.3.1 Hipóteses e mudança dos eixos locais .................................................... 29
xv
4.4 Parâmetros de descrição da deformada ....................................................... 30
4.5 Características mecânicas dos materiais ..................................................... 32
4.5.1 Concreto .................................................................................................. 33
4.5.2 Aço .......................................................................................................... 33
4.6 Esforços solicitantes e resistentes ............................................................... 34
4.6.1 Esforços solicitantes ............................................................................... 34
4.6.2 Esforços resistentes ................................................................................. 34
4.7 Formulações do problema ........................................................................... 36
4.7.1 Dimensionamento ................................................................................... 36
4.8 Manual de utilização do programa .............................................................. 42
5 RESULTADOS E DISCUSSÕES ...................................................................... 50
5.1 Exemplo 1 ................................................................................................... 50
5.1.1 Cálculo através de ábacos ....................................................................... 50
5.1.2 Cálculo automatizado com o programa .................................................. 52
5.2 Exemplo 2 ................................................................................................... 53
5.2.1 Cálculo através de ábacos ....................................................................... 54
5.2.2 Cálculo automatizado com o programa .................................................. 56
5.3 Exemplo 3 ................................................................................................... 58
5.3.1 Cálculo através de ábacos ....................................................................... 59
5.3.2 Cálculo automatizado com o programa .................................................. 61
5.4 Exemplo 4 ................................................................................................... 62
5.4.1 Cálculo através de ábacos ....................................................................... 63
5.4.2 Cálculo automatizado com o programa .................................................. 64
5.5 Exemplo 5 ................................................................................................... 66
5.5.1 Cálculo através do software comercial CypeCAD ................................. 67
5.5.2 Cálculo automatizado com o programa .................................................. 67
5.6 Exemplo 6 ................................................................................................... 70
5.6.1 Cálculo através do software comercial CypeCAD ................................. 70
5.6.2 Cálculo automatizado com o programa .................................................. 70
xvi
5.7 Exemplo 7 ................................................................................................... 72
5.7.1 Cálculo através do software comercial CypeCAD ................................. 73
5.7.2 Cálculo automatizado com o programa .................................................. 74
5.8 Exemplo 8 ................................................................................................... 75
5.8.1 Cálculo através do software comercial CypeCAD ................................. 76
5.8.2 Cálculo automatizado com o programa .................................................. 76
5.9 Comparação entre os resultados obtidos ..................................................... 78
6 CONCLUSÃO .................................................................................................... 80
7 REFERÊNCIAS ................................................................................................. 81
APÊNDICE A – INTEGRAÇÃO NÚMERICA ........................................................ 83
APÊNDICE B – RELATÓRIOS DE CÁLCULO DO CYPECAD ........................... 85
1
1 INTRODUÇÃO
1.1 Considerações iniciais
O dimensionamento estrutural é um processo que demanda tempo e atenção, um erro
cometido no início do processo, e percebido nas etapas avançadas pode resultar em um imenso
retrabalho, sendo assim, o uso de ferramentas computacionais é adequado para essa atividade,
porém devemos sempre lembrar que o cálculo computacional veio para auxiliar a engenharia
de estruturas, e não para substituí-la.
O concreto armado é o sistema construtivo mais utilizado no Brasil e os engenheiros
constantemente se deparam com a necessidade de dimensionar pilares, que são as peças que
exigem maior atenção na análise da estrutura visto que estes têm seu carregamento
incrementado ao receberem as cargas de cada pavimento, diferente de lajes e vigas que recebem
as cargas somente de um pavimento, e nos quais não há possibilidade de redistribuição de
cargas, resultando em colapso.
A ABNT NBR6118/2014 – Projeto de estruturas de concreto – Procedimento define
pilares como: “Elementos lineares de eixo reto, usualmente dispostos na vertical, em que as
forças normais de compressão são preponderantes.”, porém é sabido que os pilares
frequentemente estão submetidos também a momentos fletores o que joga os pilares no caso
que foi mencionado acima, as flexões compostas ou flexo-compressões.
Segundo Pinheiro (2009), a flexo-compressão oblíqua é muito comum em peças de
concreto armado, principalmente em pilares. Entretanto, nos problemas de dimensionamento,
como são desconhecidas a distância e a inclinação da linha neutra, obter uma solução geral é
praticamente impossível.
De acordo com Carvalho (2013), as incógnitas do sistema de equações são: a
inclinação α da linha neutra, sua profundidade e a taxa mecânica da armadura. A solução do
sistema, embora complicada, é possível utilizando-se um processo iterativo, bastante adequado
para programação em computador.
A ruptura de um pilar é algo extremamente indesejável pelos motivos já citados acima,
sendo assim devemos sempre ter um cuidado extra com pilares, procurando dimensiona-los
pelo método mais eficiente e menos passível de erros.
2
O dimensionamento de pilares atualmente, inclusive o que é abordado na graduação,
consiste no uso de ábacos em que o usuário entra com os esforços solicitantes, propriedades
dos materiais e disposição de barras, encontrando assim um valor de taxa mecânica de armadura
e muitas vezes, tendo que “interpolar” visualmente no ábaco que geralmente só contém as
isolinhas referentes a múltiplos de 0,1.
O trabalho tratará do desenvolvimento de um código computacional capaz de
dimensionar seções de pilares de concreto armado submetidos a flexão composta reta ou
oblíqua usando diversos parâmetros de entrada fornecidos pelo usuário como: resistência
característica a compressão do concreto, geometria da seção, quantidade e disposição das barras
de aço, resistência característica de escoamento do aço, coeficiente de minoração da resistência
do aço e do concreto e esforços solicitantes de cálculo atuantes na seção.
Conforme mencionado anteriormente, o dimensionamento de pilares atualmente é
realizado através de ábacos, e erros nesse processo geram retrabalhos e consequentemente falta
de segurança no dimensionamento dos pilares, os elementos mais vitais de uma edificação,
desta forma o desenvolvimento desta rotina é extremamente válido, além disso temos o tempo
ganho no dimensionamento que é evidente.
1.2 Objetivos
1.2.1 Geral
Desenvolver uma rotina computacional usando a linguagem de programação
FORTRAN, capaz de resolver o sistema de equações de equilíbrio das forças provenientes das
tensões normais nas seções de pilares de concreto armado no estado limite último de acordo
com as recomendações normativas da ABNT NBR 6118/2014, obtendo a armadura exata
necessária para equilibrar a seção, sem os erros provenientes da leitura, interpolação e
arredondamentos da utilização de ábacos.
1.2.2 Específicos
a) Dimensionar armaduras de pilares
b) Otimizar o processo, gerando assim economia de tempo e dinheiro para o
engenheiro
3
c) Desenvolver uma ferramenta computacional de fácil manuseio para
engenheiros e discentes
1.3 Estrutura do trabalho
O trabalho é composto por seis capítulos, sendo o primeiro esta introdução.
No Capítulo 2, discute-se sobre os materiais e métodos envolvidos no
dimensionamento de pilares de concreto armado, no caso aço e concreto bem como as
prescrições normativas destes materiais.
O Capítulo 3, trata-se sobre o elemento estrutural pilar, seu procedimento de
dimensionamento segundo as normas e literatura apresentadas, a nível de graduação.
No Capítulo 4, descreve-se o programa desenvolvido, as sub-rotinas criadas, as
metodologias do dimensionamento automático e modo de utilização do programa.
No Capítulo 5, são mostrados os exemplos resolvidos com resultados obtidos pelos
métodos apresentados no Capítulo 3 e no Capítulo 4, além de exemplos resolvidos com auxílio
do software comercial CypeCad, finalmente são feitas comparações entre os modelos de
cálculo.
No Capítulo 6, apresentam-se as conclusões sobre o trabalho e sugestões de
continuidade do trabalho.
4
2 O CONCRETO ARMADO
Segundo a NBR 6118/2014, elementos de concreto armado são aqueles cujo
comportamento estrutural depende da aderência entre o concreto e a armadura, e nos quais não
se aplicam alongamentos inicias das armaduras antes da materialização dessa aderência.
Do texto anterior podemos verificar que o concreto armado é constituído por dois
materiais principais, o concreto e o aço, e a aderência mencionada faz com que estes materiais
trabalhem em conjunto. Com isso podemos afirmar que em uma determinada fibra da seção de
concreto armado, o aço e o concreto apresentam a mesma deformação.
A NBR 6118/2014 aborda concretos com resistência característica a compressão entre
20 e 90 MPa, sendo os que ficam abaixo de 50MPa considerados concretos do grupo I de
resistência e os que tem resistência característica de compressão maior ou igual a 55 MPa os
concretos do grupo II. Neste trabalho abordaremos somente os concretos do grupo I.
2.1 Concreto
O concreto simples é concebido a partir da mistura de cimento, agregado miúdo,
agregado graúdo e água, podendo também ter adições minerais e aditivos químicos que visam
melhorar as propriedades do concreto.
2.1.1 Resistência à compressão
A propriedade mais visada do concreto é sua resistência à compressão, já que ensaios
em laboratório constataram, ao longo do tempo, que esse material resiste extremamente bem a
esforços de compressão, mas muito pouco a esforços de tração (da ordem de 10% da resistência
a compressão), daí veio a necessidade de utilizar aço no concreto, para suprir a deficiência de
resistência à tração.
Essa resistência é obtida através de ensaios de curta duração em corpos de prova por
compressão centrada. São comprimidos vários corpos de prova até a ruptura e os resultados
obtidos para a carga de ruptura são tratados estatisticamente, visando obter a resistência
característica à compressão do concreto, que a partir de agora chamaremos de fck, sendo o
significado desse valor a probabilidade de 95% dos resultados obtidos para a resistência do
corpo de prova no ensaio sejam maiores que o fck. Os concretos então são batizados em função
do seu fck, conforme a tabela abaixo.
5
Tabela 1 - Classes de resistência do concreto
Nome fck (MPa)
C20 20
C25 25
C30 30
C35 35
C40 40
C45 45
C50 50
C55 55
C60 60
C70 70
C80 80
C90 90 Fonte: Autor (2018)
2.1.2 Resistencia à tração
Conforme mencionado anteriormente, a resistência à tração do concreto tem valor
baixo. Constantemente, a resistência do concreto à tração é desprezada visando deixar os
resultados a favor da segurança, porém tem importância em alguns casos, como na verificação
do cisalhamento em lajes e como parte da resistência ao cisalhamento. No caso desse trabalho,
esta resistência não será utilizada, devido ao fato de estarmos dimensionando seções a
solicitações normais no estado limite último, que representa o estádio 3 do concreto armado,
onde não é mais considerado nenhuma resistência a tração do concreto devido a existência de
fissuras.
2.1.3 Diagrama de tensão-deformação
O diagrama de tensão-deformação do concreto idealizado pela norma consiste de duas
regiões.
• Região 1
A tensão no concreto varia com a deformação ao longo da faixa de deformação maior
que 0‰ e menor que ϵc2
• Região 2
6
A tensão no concreto atinge seu valor de pico e segue constante a partir de ϵc2
até seu valor máximo de encurtamento ϵcu
Figura 1 - Diagrama de tensão-deformação do concreto
Fonte: Adaptado de ABNT NBR 6118/2014
Onde:
fcd é a resistência à compressão de cálculo do concreto definido por fck/γc, sendo γc o
coeficiente de minoração da resistência do concreto, que tem valor 1,4
ϵcu é a deformação específica de encurtamento do concreto na ruptura
ϵc2 é a deformação específica de encurtamento do concreto no início da plastificação
Conforme dito anteriormente, trabalharemos com concretos do grupo I, que tem:
ϵc2 = 2‰
ϵcu = 3,5‰
n = 2
2.1.4 Módulo de elasticidade
O módulo de elasticidade é uma grandeza que relaciona a proporção entre tensão e
deformação de um material sólido.
7
A NBR 6118/2014 trata de dois módulos de elasticidade do concreto, o tangente inicial
e o secante. Sendo estes definidos pelas seguinte equações para concretos do grupo I.
𝐸𝑐𝑖 = 𝛼𝐸 × 5600 × √𝑓𝑐𝑘 (2.1)
𝐸𝑐𝑠 = 𝛼𝑖 × 𝐸𝑐𝑖 (2.2)
Onde:
αE é um parâmetro que faz referência ao tipo de agregado usado no concreto
αi é um coeficiente redutor função do fck tendo seu valor limitado em 1
O cálculo desenvolvido nesse trabalho não utilizará os módulos supracitados, sendo
assim, não iremos nos aprofundar. Estes valores têm grande importância para análise das
estruturas em serviço, bem como para cálculo da estabilidade global de edifícios.
2.1.5 Estádios de tensão
Segundo Carvalho e Figueiredo Filho (2014), podem-se caracterizar três estádios em
um elemento de concreto.
Estádio I - Sob a ação de momentos fletores de baixa intensidade, a tensão de tração
no concreto não ultrapassa sua resistência característica à tração do concreto.
• A variação da tensão normal ao longo da direção perpendicular à linha neutra
da seção é linear
• As tensões nas fibras mais comprimidas são proporcionais às deformações,
correspondendo ao trecho linear do diagrama de tensão-deformação do
concreto
• Não há fissuras visíveis.
Estádio II - Aumentado o valor do momento fletor, as tensões de tração na maioria
dos pontos abaixo da linha neutra (LN) terão valores superiores ao da resistência
característica à tração do concreto.
• Considera-se que apenas o aço passa a resistir aos esforços de tração.
8
• Admite-se que a variação da tensão de compressão no concreto ao longo da
direção perpendicular à linha neutra da seção permaneça linear.
• As fissuras de tração na flexão do concreto são visíveis.
Estádio III - Aumentado o valor do momento fletor até um valor próximo do momento
de ruptura, acontece, para os concretos do grupo I:
• A fibra mais comprimida do concreto começa a plastificar a partir da
deformação ϵc2, chegando a atingir, sem aumento de tensão, a deformação
específica ϵcu.
• Diagrama de tensões tende a ficar vertical em relação a linha neutra (uniforme),
com quase todas as fibras trabalhando com sua tensão máxima, ou seja,
praticamente todas as fibras atingem deformações superiores a ϵc2 e chegando
até ϵcu.
• A peça está bastante fissurada, com fissuras aproximando-se da linha neutra
• Supõe-se que a distribuição de tensões no concreto, em relação a linha neutra,
ocorra segundo um diagrama parábola-retângulo (Figura 1)
O estádio III corresponde a ruptura, ou estado limite último, da peça, sendo assim as
seções nesse estudo serão dimensionadas para resistir aos esforços atendendo as hipóteses deste
estádio.
Figura 2 - Elemento de concreto armado do grupo I no estádio III
Fonte: PINHEIRO, (2007)
2.2 Aço
9
O aço é uma liga de ferro-carbono com até cerca de 2% de carbono, porém os aços
utilizados em armaduras de concreto armado possuem, normalmente, teor de carbono entre
0,08% e 0,50% (Carvalho e Figueiredo Filho, 2014). É um material vastamente utilizado na
construção civil, seja para uso de perfis de aço para estruturas metálicas ou para o uso de
vergalhões e fios destinados a reforçar o concreto. O módulo de elasticidade longitudinal desse
material, ES, tem valor 210 GPa. Os aços utilizados como vergalhões e fios nas estruturas de
concreto armado tem denominação CA-25, CA-50 e CA-60, sendo CA a abreviatura de
concreto armado e o número seguinte a este a resistência característica do aço ao escoamento,
que iremos chamar a partir de agora de fyk, em kN/cm². Abaixo temos uma ilustração do
diagrama de tensão-deformação do aço e uma pequena tabela de resumo das propriedades dos
aços.
Figura 3 - Diagrama de tensão deformação do aço
Fonte: Adaptado de ABNT NBR 6118/2014
Tabela 2 - Resumo de características dos aços CA
Nome fyk (MPa) fyd (MPa) ϵyd (‰)
CA-25 250 217,39 1,04
CA-50 500 434,78 2,07
CA-60 600 521,74 2,48 Fonte: Autor (2018)
Onde:
10
fyd é a resistência de cálculo do aço ao escoamento, tendo seu valor definidor por fyk/γs
γs é o coeficiente de minoração da resistência do aço, tem valor 1,15
ϵyd é a deformação específica de escoamento do aço, tendo seu valor definido por
fyd/ES
2.3 Concreto Armado
Conforme dito anteriormente, quando garantida a aderência entre o aço e o concreto,
sendo o aço ausente de tensões iniciais, temos o concreto armado.
O concreto armado é um material excelente para a construção civil, porém tendo suas
vantagens e desvantagens como qualquer outro. Entre as vantagens podemos citar:
• Liberdade na forma dos elementos
• Resistência as agressões químicas do meio ambiente, desde que respeitados as
prescrições normativas relacionadas a cobrimentos
E entre as desvantagens:
• Elevado peso próprio
• Necessidade de formas para a execução, quando moldado in situ.
2.3.1 Domínios de deformação
A ruína da seção transversal para qualquer tipo de flexão no estado limite último é
caracterizada pelas deformações específicas de cálculo do concreto e do aço, que atingem (uma
delas ou ambas) os valores últimos das deformações especificas destes materiais.
(CARVALHO E FIGUEIREDO FILHO, 2014).
11
Figura 4 - Domínios de deformação de uma seção transversal de concreto armado
Fonte: ABNT NBR 6118/2014
O estudo dos domínios de deformação é fundamental para o cálculo em questão, já
que iremos calcular as tensões nos materiais a partir destes valores e então encontrar as áreas
de aço necessárias para o equilíbrio dos esforços resistentes e solicitantes da seção.
Conforme visto na Figura 4, existem diversos domínios nos quais a peça pode
trabalhar, estes domínios são classificado com suas devidas considerações e observações, da
seguinte forma:
a) Domínio 1
Ínicio: ϵs = 10‰ e ϵc = 10‰
Término: ϵs = 10‰ e ϵc = 0
Linha neutra não corta a seção, com a distância em relação à fibra mais comprimida
da seção variando de -∞ até 0
Aço resiste integralmente aos esforços, já que o concreto está tracionado e, portanto,
fissurado.
b) Domínio 2
Ínicio: ϵs = 10‰ e ϵc = 0
Término: ϵs = 10‰ e ϵc = -3,5‰
Linha neutra corta a seção, com a distância em relação à fibra mais comprimida da
seção variando de 0 até 0,259d, gerando esforços de tração e compressão na seção
Estado limite último caracterizada pelas grandes deformações do aço
12
c) Domínio 3
Ínicio: ϵs = 10‰ e ϵc = -3,5‰
Término: ϵs = ϵyd e ϵc = -3,5‰
Linha neutra corta a seção, com a distância em relação à fibra mais comprimida da
seção variando de 0,259d até 0,0035𝑑
𝜖𝑦𝑑+0,0035, indicando tensões de tração e compressão na
seção. Observar que o valor limite do domínio varia de acordo com o tipo de aço
empregado.
Ruptura acontece com avisos, grandes deformações. A ruptura dos dois materiais
ocorre simultaneamente, ou seja, os materiais são aproveitados ao máximo.
d) Domínio 4
Ínicio: ϵs = ϵyd e ϵc = -3,5‰
Término: ϵs = 0 e ϵc = -3,5‰
Linha neutra corta a seção, com a distância em relação à fibra mais comprimida da
seção variando de 0,0035𝑑
𝜖𝑦𝑑+0,0035 até d, indicando tensões de tração e compressão na seção.
Observar que o valor limite do domínio varia de acordo com o tipo de aço empregado.
Ruptura acontece de forma frágil devido ao rompimento do concreto comprimido e
sem avisos, já que o aço não está escoando.
e) Domínio 4a
Similar ao domínio 4, porém a linha neutra passa a cortar a região de cobrimento e a
seção fica com uma região mínima de concreto tracionado
Além disso, a seção resistente é composta por aço e concreto comprimidos.
Ruptura frágil e sem avisos, ausência total de fissuras no concreto
f) Domínio 5
Ínicio: ϵs < 0 e ϵc = -3,5‰
Término: ϵs = -2‰ e ϵc = -2‰
Linha neutra não corta a seção, com a distância em relação à fibra mais comprimida
variando de h até +∞. A seção está completamente comprimida.
Ruptura acontece de forma frágil devido ao rompimento do concreto comprimido e
sem avisos, já que o aço não está escoando.
13
3 PILARES
3.1 Definição
A definição de pilares pela NBR6118/2014 é “Elementos lineares de eixo reto,
usualmente dispostos na vertical, em que as forças normais de compressão são
preponderantes”. A norma em questão define ainda os pilares-parede que são pilares que
apresentam uma das dimensões pelo menos cinco vezes maior que a outra.
Os pilares são elementos vitais para a edificação visto que recebem incrementos de
carga a cada nível de pavimento, conforme é demonstrado na figura abaixo.
Figura 5 - Caminho das cargas em uma estrutura de concreto armado
Fonte: Adaptado de KIMURA, (2007)
3.2 Pontos a serem considerados no dimensionamento
O dimensionamento de pilares deve ser feito de modo que os esforços resistentes sejam
maiores que os seguintes esforços internos:
• Esforços normais
• Momentos fletores em torno dos eixos contidos na seção reta.
• Esforços cortantes na direção dos eixos contidos na seção reta, quando há
forças transversais incidindo sobre o pilar.
14
Nosso estudo só trata de solicitações normais, sendo assim dos esforços citados nos
resta a análise dos esforços normais e os momentos fletores.
Como mencionado anteriormente, frequentemente os pilares estão submetidos a
momentos fletores em uma ou ambas as direções principais, sendo os dois casos possíveis de
flexão composta ilustrados na figura abaixo.
Figura 6 - Tipos de flexão composta em pilares
Fonte: BASTOS (2015)
Em casos práticos, muito raramente iremos nos deparar com um caso de flexão
composta normal (reta), devido as excentricidades mínimas e iniciais, além dos efeitos de
segunda ordem local, que devem ser consideradas no estudo de pilares, entre elas temos:
• Excentricidade inicial ou de primeira ordem (𝑒1);
A excentricidade de primeira ordem, ou (𝑒1), é a excentricidade que ocorre devido aos
momentos fletores solicitantes externos ou devido ao ponto de aplicação da carga axial
no pilar ser deslocado do centro geométrico deste. Na Figura 7 são ilustrados os
possíveis casos de excentricidade inicial de primeira ordem.
15
Figura 7 - Tipos de excentricidade de primeira ordem
Fonte: BASTOS (2017)
• Excentricidade de forma (𝑒𝑓);
Trata-se da excentricidade resultante da não coincidência dos eixos de vigas e pilares,
conforme mostrado na Figura 8.
Figura 8 - Excentricidade de forma
Fonte: PINHEIRO, (2007)
16
• Excentricidade acidental (𝑒𝑎);
É a excentricidade levada em consideração devido as imperfeições geométricas do
pilar que são acumuladas durante a fase de execução, ou desaprumo do pilar. Essa
excentricidade é regida pelo angulo 𝜃1 que é função da altura do lance do pilar, conforme a
equação (3.1).
𝜃1 = 1
100 × √𝑙
(3.1)
Devendo θ1 respeitar os valores máximo e mínimo estabelecidos pela NBR
6118:2014, no item 11.3.3.4.1.
𝜃1,𝑚á𝑥 =1
200
𝜃1,𝑚𝑖𝑛 =1
300
(3.2)
Após a determinação do angulo 𝜃1, pode-se calcular a excentricidade acidental
na seção de extremidade e na seção intermediaria, respectivamente, do pilar, através das
equações:
𝑒𝑎 = 𝜃1 × 𝑙
𝑒𝑎 ∗ = 𝜃1 ×
𝑙
2
(3.3)
• Excentricidade mínima (𝑒1,𝑚𝑖𝑛)
No caso das excentricidades citadas anteriormente resultarem em valores de baixa
intensidade, devemos verificar ainda se o valor da excentricidade mínima é respeitado:
17
𝑒1𝑚í𝑛 = 0,015 + 0,03 ∙ ℎ (3.4)
Onde:
h é a dimensão da seção em cada uma das direções a serem analisadas
Lembrando que o h deve ser usado em ambas as direções da peça, de modo a gerar um
valor de momento mínimo, relativo a cada dimensão da peça.
• Excentricidade de segunda ordem (𝑒2);
A excentricidade de segunda ordem se manifesta em pilares cujo índice de esbeltez é
superior à esbeltez limite. Conforme a classificação do pilar, podem ser utilizados métodos
diferentes para o cálculo dessa excentricidade.
Sendo o índice de esbeltez definido em cada direção por:
𝜆𝑥 =𝑙𝑒,𝑥
𝑖𝑥 (3.5)
Onde,
𝜆𝑥 → Índice de esbeltez segundo a direção X;
𝑙𝑒,𝑥 → Comprimento de flambagem na direção X;
𝑖𝑥 → Raio de giração da seção reta na direção X;
Analogamente, para Y, tem-se:
𝜆𝑦 =𝑙𝑒,𝑦
𝑖𝑦 (3.6)
Segundo algumas bibliografias, como Carvalho (2013), os pilares são classificados
conforme sua esbeltez em: curtos, medianamente esbeltos, esbeltos, ou muito esbeltos.
𝜆 < 𝜆1 → Curto
𝜆1 < 𝜆 < 90 → Medianamente esbelto
90 < 𝜆 < 140 → Esbelto
140 < 𝜆 ≤ 200 → Muito esbelto
18
É importante frisar que a NBR 6118:2014 não recomenda o dimensionamento de
pilares que possuem índice de esbeltez igual ou superior a 200, exceto em casos onde o pilar
esteja comprimido por uma força normal de intensidade inferior a 0,10 𝑓𝑐𝑑𝐴𝑐.
Onde:
Ac é a área da seção de concreto
A esbeltez limite representa o ponto a partir do qual o pilar deixa de ser classificado
como curto e passa a ser medianamente esbelto.
De acordo com a NBR 6118:2014, o valor de 𝜆1 pode ser calculado pela expressão:
35 ≤ 𝜆1 =25 + 12,5 ∙
𝑒1ℎ⁄
𝛼𝑏≤ 90 (3.7)
Onde:
𝑒1 → Excentricidade de primeira ordem;
𝛼𝑏 → Parâmetro de instabilidade; varia conforme vinculação de peça e
intensidade das cargas que solicitam a peça;
Esses são efeitos de segunda ordem local, e podem ser calculadas de acordo com
métodos apresentados na NBR 6118/2014, entre os mais populares temos o método do pilar
padrão com curvatura aproximada e o método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada, para
pilares medianamente esbeltos. Para o caso de pilares esbeltos e muito esbeltos devemos usar
métodos mais precisos como o método geral.
• Excentricidade suplementar (𝑒𝑐);
É a excentricidade devido a fluência a ser considerada quando o índice de esbeltez do
pilar for maior que 90.
Após calcular todas essas excentricidades, devemos combina-las de modo a procurar
o caso mais desfavorável para o pilar.
19
Para as seções de extremidade, deve-se considerar para efeito de combinação apenas
a soma das excentricidades iniciais e acidentais, a fim de comparar com o valor da
excentricidade mínima segundo a direção de interesse.
Para as seções intermediárias, é necessário efetuar a redução das excentricidades
iniciais, a fim de obter-se a excentricidade inicial reduzida na seção em análise. Havendo efeitos
de segunda ordem, estes serão considerados atuando na seção intermediária de modo que a
excentricidade total na seção intermediária será a parcela correspondente aos efeitos de segunda
ordem somada à maior entre a soma da inicial reduzida com a acidental ou a excentricidade
mínima.
𝑒𝑖𝑛𝑡 ≥ {𝑒∗ + 𝑒𝑎,𝑖𝑛𝑡
𝑒𝑚í𝑛 + 𝑒2 (3.8)
Esses efeitos não são calculados automaticamente pelo programa, devendo o usuário
fazer os cálculos, combinações e majorações prescritas por norma. Os dados de entrada do
programa serão os esforços solicitantes de cálculo.
Antes de fazer essas combinações, facilmente percebe-se que é muito comum que os
pilares resultem em flexões compostas oblíquas, o que torna a criação desta ferramenta
computacional adequada, já que, como foi dito anteriormente, o dimensionamento analítico de
seções submetidas à flexão composta oblíqua é extremamente trabalhoso e necessita de um
processo iterativo. A seguir, na Figura 9, temos uma foto da situação final de um pilar.
3.3 Resolução da seção submetida a flexão composta oblíqua
20
Figura 9 - Pilar submetido a flexão composta oblíqua
Fonte: Adaptado de PINHEIRO, (2009)
Conforme tratado anteriormente, para equilibrar uma seção desta natureza devemos
obter esforços resistentes maiores ou iguais aos esforços solicitantes, sendo assim:
𝑁𝑅𝑑 ≥ 𝑁𝑆𝑑
𝑀𝑥𝑅𝑑 ≥ 𝑀𝑥𝑆𝑑
𝑀𝑦𝑅𝑑 ≥ 𝑀𝑦𝑆𝑑
(3.9)
Onde:
𝑁𝑆𝑑 𝑒 𝑁𝑅𝑑 são os esforços normais solicitante de cálculo e resistente de cálculo,
respectivamente.
𝑀𝑥𝑆𝑑𝑒 𝑀𝑥𝑅𝑑 são os momentos fletores em torno do eixo X solicitante de cálculo e
resistente de cálculo, respectivamente.
𝑀𝑦𝑆𝑑 𝑒 𝑀𝑦𝑅𝑑 são os momentos fletores em torno do eixo Y solicitante de cálculo e
resistente de cálculo, respectivamente.
Os esforços solicitantes são obtidos da análise estrutural e das prescrições normativas,
enquanto que os resistentes podem ser obtidos através do equilibro da seção transversal,
utilizando as Equações (3.10), conforme prescreve Pinheiro (2009).
21
𝑁𝑅𝑑 = ∬𝜎𝑐𝑑. 𝑑𝑥. 𝑑𝑦 + ∑𝐴𝑠𝑖 . 𝜎𝑠𝑖𝑑
𝑛
𝑖=1
𝐴𝑐𝑐
𝑀𝑦𝑅𝑑 = ∬𝜎𝑐𝑑. 𝑥. 𝑑𝑥. 𝑑𝑦 + ∑𝐴𝑠𝑖 . 𝜎𝑠𝑖𝑑
𝑛
𝑖=1
. 𝑥𝑠𝑖
𝐴𝑐𝑐
𝑀𝑥𝑅𝑑 = ∬𝜎𝑐𝑑. 𝑦. 𝑑𝑥. 𝑑𝑦 + ∑𝐴𝑠𝑖. 𝜎𝑠𝑖𝑑
𝑛
𝑖=1
. 𝑦𝑠𝑖
𝐴𝑐𝑐
(3.10)
Onde:
σcd: tensão no concreto comprimido
Acc: área da seção de concreto comprimido
n: número de barras
Asi: área da seção transversal da barra genérica i
σsid: tensão na barra genérica i
x: abscissa do elemento infinitesimal de área dx·dy
y: ordenada do elemento infinitesimal de área dx·dy
xsi: abscissa da barra genérica i
ysi: ordenada da barra genérica i
O processo iterativo consiste em variar a inclinação da linha neutra, a profundidade da
linha neutra e a área de aço na peça até que a condição de equilíbrio apresentada na página
anterior seja satisfeita. No caso de códigos computacionais, pode ser feita uma verificação de
modo a tornar o erro do processo quase zero e, desta forma, otimizar ao máximo o uso de aço,
o que não é possível com a utilização de ábacos.
3.4 Uso dos ábacos de flexão composta oblíqua
O uso dos ábacos consiste na transformação dos esforços solicitantes, dimensões dos
pilares e fck do concreto nos parâmetros adimensionais ν, μx e μy, que representam,
respectivamente, a força normal reduzida, momento fletor reduzido em torno do eixo y e
momento fletor reduzido em torno do eixo x. Observa-se que a nomenclatura é invertida, isso
22
se dá pelo fato de que quando estamos lidando com ábacos, os momentos são tratados na direção
do vetor curvo, por exemplo, um momento na direção x no ábaco seria um momento causado
por uma excentricidade ao longo do eixo x, o mesmo vale para o momento na direção y. Para
não causar confusão com os resultados que serão obtidos posteriormente no programa, iremos
desde já trabalhar com a nomenclatura dos vetores de seta dupla, que é a utilizada no código
computacional.
Cada um desses parâmetros adimensionais pode ser calculado segundo as Equações
(3.11).
ν =NSd
𝐴𝑐 × 𝑓𝑐𝑑
μx =𝑀𝑦𝑆𝑑
ℎ𝑥 × 𝐴𝑐 × 𝑓𝑐𝑑=
ν × ex
ℎ𝑥
μy =𝑀𝑥𝑆𝑑
ℎ𝑦 × 𝐴𝑐 × 𝑓𝑐𝑑=
ν × ey
ℎ𝑦
(3.11)
Onde:
Ac é a área da seção de concreto
hx é a dimensão da seção na direção do eixo x
hy é a dimensão da seção na direção do eixo y
ex é a excentricidade ao longo do eixo x, que gera um momento em torno do eixo Y
ey é a excentricidade ao longo do eixo x, que gera um momento em torno do eixo X
Em posse desses valores, devemos ainda estimar distâncias d’ da borda da seção até o
eixo da barra em cada direção, d’x e d’y, que é dada no caso geral por:
𝑑′ = 𝑐 + 𝜙𝑡 +𝜙𝑙
2 (3.12)
Onde:
c é o cobrimento da seção, obtido da norma de acordo com a classe de agressividade
ambiental.
23
Φt é o diâmetro do estribo
Φl é o diâmetro da barra longitudinal
Perceba que as incertezas do ábaco já começam nesta etapa, onde você estima um
diâmetro para a armadura longitudinal, sem saber se este realmente vai ser o diâmetro usado.
Procedendo com os cálculos, em posse dos valores de d’x e d’y devemos calcular
adimensionais relativos a distância da borda da seção até o eixo da armadura através de:
𝑑′𝑥
ℎ𝑥
𝑑′𝑦
ℎ𝑦
(3.13)
Com isso, temos todos os parâmetros necessários para utilizar o ábaco, só nos resta
escolher o arranjo de barras, usaremos como exemplo os ábacos do professor Libânio Miranda
Pinheiro, cujos arranjos se encontram ilustrados na Figura 10.
Figura 10 - Arranjos de barras disponíveis nos ábacos
Fonte: PINHEIRO, (2009)
24
Além do limitado arranjo de barras, não há valores de d’x e d’y para todos os casos, a
seguir, na Figura 11, podemos verificar as combinações disponíveis.
Figura 11 - Combinações disponíveis de posicionamento das barras
Fonte: PINHEIRO (2009)
Conforme pode ser visto, cada vez mais temos imprecisões se acumulando, no caso de
posições relativas diferentes dos valores tabelados, temos que adotar alguma combinação
próxima, além disso, não há arranjos que possuam entre 5 e 9 barras por face, sendo nesse caso
preciso trabalhar com o ábaco de 10 barras por face, obter uma armadura daquele arranjo e
distribuir em diâmetros de modo que a quantidade não ultrapasse 10 barras por face. O
recomendado é que se use uma quantidade menor ou igual de barras em relação ao arranjo
escolhido.
Após escolhido o arranjo de barras, e calculados os parâmetros podemos proceder para
visualização do ábaco escolhido, usando como exemplo o ábaco 10B. (Figura 12)
25
Figura 12 - Ábaco 10B
Fonte: PINHEIRO, (2009)
Para obter o valor da armadura, devemos utilizar primeiramente o valor da força
normal reduzida, supondo que neste caso o valor da força normal reduzida está entre 0,8 e 1,4,
estamos com o ábaco correto, no caso da força normal reduzida entre 0 e 0,6, precisaríamos
consultar o ábaco 10A. Supondo que o valor de ν foi 0,8 , usaríamos o quadrante superior direito
do ábaco e traçaríamos duas retas, uma paralela a direção vertical passando pelo ponto de μx
calculado e outra paralela a direção horizontal passando pelo ponto de μy calculado. No caso de
ν não coincidente com algum dos valores da tabela é recomendado calcular a área necessária
26
para os dois valores mais próximos do ν real e interpolar linearmente o valor da armadura
encontrada. O ponto de encontro dessas duas retas será a taxa de armadura mecânica, ω,
necessária, caso o ponto coincida com alguma das isolinhas do gráfico, o valor do ω será o valor
da isolinha em questão, caso fique entre duas isolinhas, precisamos interpolar o valor
visualmente e estima-lo a partir da sua posição, por exemplo: ponto entre a isolinha de ω = 0,3
e ω = 0,4, de acordo com a proximidade do ponto de cada uma das linhas estimar um valor
intermediário.
Em posse do valor de ω podemos então calcular a área de aço, As, necessária para
equilibro da seção, isolando-a da equação apresentada na parte superior do ábaco:
𝜔 =𝐴𝑠 × 𝑓𝑦𝑑
𝐴𝑐 × 𝑓𝑐𝑑→ 𝐴𝑠 =
𝜔 × 𝐴𝑐 × 𝑓𝑐𝑑𝑓𝑦𝑑
(3.14)
A partir daí, escolheríamos um diâmetro de armadura longitudinal e calcularíamos a
quantidade de barras necessárias para atender o calculado, lembrando que se a quantidade de
barras resultasse em uma quantidade maior que 4 barras, precisaríamos repetir o cálculo com
outro ábaco, gerando retrabalho para o usuário.
27
4 O CÓDIGO COMPUTACIONAL
Como mencionado anteriormente, o programa foi desenvolvido na linguagem
FORTRAN, o código consiste em um programa principal (DIMEN) e várias sub-rotinas e
módulos.
4.1 Utilização
Para utilizar o programa, deve ser criado um arquivo de entrada, usualmente feito no
bloco de notas.
Cada linha do arquivo de texto é lida e interpretada pelo programa, sendo eles:
a) Quantidade de vértices da seção mais um, isso se dá pelo fato de precisarmos
de um contorno fechado para a seção de concreto, desta forma o último vértice
sempre será igual ao primeiro, a entrada dos vértices é realizada no sentido
anti-horário. Vale ressaltar que na existência de furos na seção, este contorno
deve ser feito no sentido horário.
b) Indicação do vértice (1, 2, 3, … n), coordenada X, coordenada Y, raio de
geração de pontos (caso não utilizado, 0).
c) Quantidade de barras fixas (não dimensionadas)
d) Indicação da barra fixas (1, 2, 3, … n), coordenada X, coordenada Y, raio de
geração de pontos (caso não utilizado, recebe o valor 0), área da barra fixa,
resistência característica do aço ao escoamento.
e) Quantidade de barras otimizáveis
f) Indicação da barra otimizável (1, 2, 3, … n), coordenada X, coordenada Y, raio
de geração de pontos (caso não utilizado, recebe o valor 0), Porcentagem de
armadura no ponto, resistência característica do aço ao escoamento.
g) Coeficiente de minoração da resistência do aço
h) Coeficiente de minoração da resistência do concreto
i) Módulo de elasticidade longitudinal do aço
j) Resistência característica do concreto à compressão
k) Número de casos de carga
28
l) Indicação do caso de carga (1, 2, 3, … n), momento fletor em torno do eixo X
do caso, momento fletor em torno do eixo Y do caso, esforço Normal do caso,
tipo de flexão (fcr ou fco)
4.2 Sub-rotinas
O programa Dimen é a implementação computacional para o dimensionamento e
verificação da segurança da seção de concreto armado descrita neste trabalho.
Segue-se um pequeno resumo com as principais sub-rotinas e suas funções no
programa:
• Sub-rotina cria_dados:
Cria o arquivo de dados do programa de maneira iterativa, imprimindo todos os dados
referentes ao problema.
• Sub-rotina Leitura:
Lê os dados de um arquivo, cujo nome é fornecido pelo usuário. Caso o arquivo tenha
sido gerado o programa o considera, automaticamente, como o arquivo de entrada de dados
• Sub-rotina Características:
Calcula as características geométricas da seção de concreto, tais como: área, momentos
estáticos e de inércia, produto de inércia, coordenadas do CG.
• Sub-rotina Estima:
Através das características da seção e dos esforços aplicados faz a estimativa inicial
da inclinação da linha neutra (α) e do parâmetro de deformação (D).
• Sub-rotina Esforços:
Calcula os esforços resistentes e forma a matriz gradiente. Para isso faz uso de várias
sub-rotinas menores que calculam tensões, deformações e contribuições nos esforços e na
formação da matriz para as diferentes regiões de compressão do concreto.
• Sub-rotina Asmi:
Calcula a área mínima e máxima de armadura para a seção.
• Sub-rotina resolução:
Resolve o problema de dimensionamento pelo método iterativo de Newton-Raphson,
para a resolução do sistema de equação lineares gerado faz uso da sub-rotina Gauss.
• Sub-rotina Segurança:
29
Calcula a reserva de segurança da seção pelo método iterativo de Newton-Raphson,
para a resolução do sistema de equação lineares gerado faz uso da sub-rotina Gauss.
• Sub-rotina Cria_saída:
Imprime os resultados em um arquivo de saída.
4.3 Formulação para o programa
4.3.1 Hipóteses e mudança dos eixos locais
A seção de concreto será definida por um contorno, uma poligonal fechada onde o
último ponto se sobrepõe ao primeiro, no sentido anti-horário para a o contorno externo e
horário para contorno interno, no caso de furos na seção.
As barras são definidas como pontos internos a esta seção, possuindo área no caso de
barras fixas ou porcentagem da área total no caso de barras otimizáveis.
Um exemplo de pontos da seção e barras pode ser visto na Figura 13.
Figura 13 - Pontos da poligonal e barra de uma seção heptagonal vazada
Fonte: MITTELBACH, (2000)
Para o desenvolvimento deste trabalho, considera-se que as seções transversais
solicitadas a flexão composta obliqua trabalham conforme a hipótese de Navier, ou seja, as
seções transversais, que são planas e perpendiculares ao eixo médio antes da deformação,
continuam, após a deformação, planas e perpendiculares ao eixo médio encurvado, sendo assim
ϵ(n) de uma fibra da seção pode ser descrita como
30
𝜖(𝜂) = 𝑘0 × 𝜂 + 𝜖0 (4.1)
Onde:
η é a distância da fibra em questão ao centro de gravidade (CG) da seção, medida na
direção perpendicular à linha neutra (LN);
ϵ0 é a deformação da fibra passando pelo CG;
k0 é a curvatura do eixo do elemento estrutural no plano de flexão.
Outra hipótese adotada, é a da perfeita aderência entre aço e concreto, o que garante
que em uma determinada fibra que contem uma barra de aço, esta terá a mesma deformação do
concreto.
Com isso, estabelece-se que a configuração deformada que corresponde a um domínio
de deformação de ruína por ruptura do concreto ou deformação excessiva da armadura, de
acordo com a NBR6118.
Figura 14 - Eixos locais para desenvolvimento do problema
Fonte: MITTELBACH, (2000)
4.4 Parâmetros de descrição da deformada
31
De acordo com Mittelbach, (2000), são necessários alguns elementos para descrição
da deformada:
- Determinação de um plano normal à LN;
- Caracterização de um estado limite último.
Para a determinação do plano o parâmetro adotado é o ângulo de inclinação da LN (α).
Na caracterização do estado limite último será utilizado um parâmetro de deformação
D.
• Ângulo α de inclinação da linha neutra
Define-se um eixo local (x, y), paralelo ao eixo global (X, Y), com a origem no C.G.
da seção de concreto.
O ângulo que a linha neutra forma com o eixo x local é denominado α.
Tendo-se o ângulo de inclinação α, é possível se definir um terceiro sistema de eixos
(ξ,η), com origem no C.G. da seção, onde ξ é o eixo na direção da linha neutra e η é
perpendicular a ξ.
A partir do sistema de eixos (ξ,η) são definidas as fibras extremas da seção: a fibra
superior é aquela que apresenta a máxima ordenada η = ηs; analogamente, a fibra inferior é
aquela que possui mínima ordenada η = ηi. Como está sendo desconsiderada a resistência à
tração do concreto, para deformação de encurtamento as fibras extremas se associam a pontos
do contorno da seção de concreto, no caso de deformação de alongamento as fibras extremas
estarão relacionadas com as barras de aço.
• Parâmetro de Deformação (D)
As coordenadas das fibras extremas da seção (ηs e ηi) estão associadas às deformações
extremas (ϵs e ϵi).
A partir destes quatro parâmetros define-se a curvatura da seção e sua deformação em
seu centro de gravidade (k0 e ϵ0 respectivamente):
𝑘0 = (𝜂𝑠 – 𝜂𝑖) / (𝜖𝑠 − 𝜖𝑖)
𝜖0 = 𝜖𝑠 − 𝑘0 × 𝜂𝑠 (4.2)
32
Num estado limite último as deformações extremas podem ser expressas como funções
periódicas de um parâmetro D, ϵs(D) , ϵi(D), conforme apresentado Figura 15 para um período
arbitrário de D = 26.
Figura 15 - Variação periódica do parâmetro de deformação D
Fonte: MITTELBACH, (2000)
Na Tabela 3, temos a correspondência entre os domínios de deformação e o valor do
parâmetro de deformação D.
Tabela 3 – Correspondência entre domínios e valores do parâmetro D
ESTADO DOMÍNIO D S (D) ‰ i (D) ‰
Tração Centrada - D = 0 10 10
Flexo - Tração 1 0 < D < 2 10 - 5D 10
F. Simples/Comp. 2 2 D < 7 1,4 - 0,7D 10
F. Simples/Comp. 3/4 7 D < 12 -3,5 24 - 2D
Flexo - Compressão 5 12 D <
13 1,5D - 21,5 24 - 2D
Compressão Centrada - D = 13 -2 -2
Fonte: MITTELBACH (2000)
4.5 Características mecânicas dos materiais
33
4.5.1 Concreto
Conforme mostrado anteriormente, para o problema de flexão o concreto pode
trabalhar na região 1 ou 2 do seu diagrama de tensão-deformação, além de uma região 0, onde
o concreto não seria solicitado, podendo isso ser devido a fibra em análise estar tracionada ou
com deformação igual a 0. Sendo assim, os possíveis valores para a tensão no concreto são:
𝜎𝑐(𝜖) = {
0 | 0 ≤ 𝜖
[0,85 × 𝑓𝑐𝑑 × (250000𝜖2 + 1000𝜖)] | − 2‰ < 𝜖 < 00,85 × 𝑓𝑐𝑑 | − 3,5‰ < 𝜖 < −2‰
(4.3)
Sendo os valores acima obtidos a partir da manipulação da equação apresentada na
NBR 6118 para a curva do diagrama de tensão-deformação do concreto, apresentada na Figura
1.
A tensão no concreto também pode ser escrita em função dos eixos auxiliares criados
para resolução do problema, utilizando a equação apresentada no item 4.3.1,
𝜖(𝜂) = 𝑘0 × 𝜂 + 𝜖0
𝜎𝑐(ξ, 𝜂) = {
0 | 0 ≤ 𝜖
[0,85 × 𝑓𝑐𝑑 × (𝐷0 + 𝐷1𝜂 + 𝐷2𝜂2)] | − 2‰ < 𝜖 < 0
0,85 × 𝑓𝑐𝑑 | − 3,5‰ < 𝜖 < −2‰
(4.4)
Onde:
D0 = 1000ϵ0 + 250000 ϵ0²
D1 = 1000 k0 + 500000 k0ϵ0
D2 = 250000 k0²
4.5.2 Aço
O aço trabalha em três regiões distintas, sendo uma delas com tensão igual 0, quando
a deformação for igual a zero, e as outras duas mostradas na Equação (4.5).
34
𝜎𝑠(𝜖) = {𝐸𝑆 × 𝜖 | |𝜖| < 𝜖𝑦𝑑
𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙(𝜖) × 𝑓𝑦𝑑 | 𝜖𝑦𝑑 ≤ 𝜖 < 10‰ (4.5)
Onde:
ϵyd = fyd/ES
Na ausência de ensaios pode-se adotar o módulo de elasticidade longitudinal do aço
igual a 210 GPa, conforme permite a NBR 6118.
4.6 Esforços solicitantes e resistentes
4.6.1 Esforços solicitantes
Os esforços solicitantes são MxSd, MySd e NzSd, tendo estas siglas os mesmos
significados já mostrados anteriormente, referidos ao centro da gravidade da seção de acordo
com o sistema local de eixos (x, y, z), sendo o eixo z orientado na direção normal a seção de
concreto, sendo assim o esforço de tração terá sinal positivo e o de compressão sinal negativo.
O conjunto dos três valores denomina-se caso de carga.
4.6.2 Esforços resistentes
Com orientação similar aos esforços solicitantes, temos os esforços resistentes, MxRd,
MyRd e NzRd, obtidos da integração das tensões na seção de concreto e barras de aço para uma
determinada configuração de deformada de ruptura.
A obtenção destes esforços passa pela determinação dos esforços atuantes no sistema
local de eixos (ξ, η, ζ), através da matriz da rotação a seguir.
[𝑀𝑥𝑅𝑑
𝑀𝑦𝑅𝑑
𝑁𝑧𝑅𝑑
] = [𝑐𝑜𝑠 𝛼 −𝑠𝑒𝑛 𝛼 0𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛼 0
0 0 1] × [
𝑀ξ𝑅𝑑
𝑀η𝑅𝑑
𝑁ζ𝑅𝑑
] (4.6)
35
Sendo os valores de MξRd, MηRd e NζRd determinados de forma análoga ao mostrado
no item 3.3, fazendo as devidas alterações nas integrais referentes aos eixos x, y e z para ξ , η e
ζ, bem como separando o aço em barras fixas e otimizáveis.
𝑁ζ𝑅𝑑 = ∬𝜎𝑐𝑑(𝜖). 𝑑𝐴 + ∑ 𝑎𝑠𝑖. 𝜎𝑠𝑖𝑑(𝜖𝑖)
𝑁𝐵𝐹
𝑖=1
+ ∑ 𝑝𝑖 . 𝐴𝑠. 𝜎𝑠𝑖𝑑(𝜖𝑖)
𝑁𝐵𝑂
𝑖=1
𝐴𝑐𝑐
𝑀η𝑅𝑑 = ∬𝜎𝑐𝑑(𝜖). ξ. 𝑑𝐴 + ∑ 𝑎𝑠𝑖 . 𝜎𝑠𝑖𝑑(𝜖𝑖). ξi
𝑁𝐵𝐹
𝑖=1
+ ∑ 𝑝𝑖 . 𝐴𝑠. 𝜎𝑠𝑖𝑑(𝜖𝑖). ξi
𝑁𝐵𝑂
𝑖=1
𝐴𝑐𝑐
𝑀ξ𝑅𝑑 = ∬ 𝜎𝑐𝑑(𝜖). η. 𝑑𝐴 + ∑ 𝑎𝑠𝑖 . 𝜎𝑠𝑖𝑑(𝜖𝑖). ηi
𝑁𝐵𝐹
𝑖=1
+ ∑ 𝑝𝑖 . 𝐴𝑠. 𝜎𝑠𝑖𝑑(𝜖𝑖). ηi
𝑁𝐵𝑂
𝑖=1
𝐴𝑐𝑐
(4.7)
Onde:
NBO é o número de barras otimizáveis
NBR é o número de barras fixas
pi é a porcentagem de armadura de cada barra otimizável em relação à área otimizável
total
asi é a área de cada barra fixa
As é área total de aço otimizada para equilibrar a seção
Pode-se ainda reescrever as parcelas das integrais que envolvem o concreto em função
da formulação apresentada no item 4.5.1, que descreve as tensões no concreto em função da
deformação.
𝑁ζ𝑅𝑑𝑐= 0,85𝑓𝑐𝑑 ( ∫ (𝐷0 + 𝐷1𝜂 + 𝐷2𝜂
2). 𝑑𝐴
𝐴𝑐𝑅𝑒𝑔1
+ ∫ 𝑑𝐴
𝐴𝑐𝑅𝑒𝑔2
) (4.8)
36
𝑀η𝑅𝑑𝑐= 0,85𝑓𝑐𝑑 ( ∫ (𝐷0 + 𝐷1𝜂 + 𝐷2𝜂
2). ξ. 𝑑𝐴
𝐴𝑐𝑅𝑒𝑔1
+ ∫ ξ. 𝑑𝐴
𝐴𝑐𝑅𝑒𝑔2
)
𝑀ξ𝑅𝑑𝑐= 0,85𝑓𝑐𝑑 ( ∫ (𝐷0 + 𝐷1𝜂 + 𝐷2𝜂
2). η. 𝑑𝐴
𝐴𝑐𝑅𝑒𝑔1
+ ∫ η. 𝑑𝐴
𝐴𝑐𝑅𝑒𝑔2
)
4.7 Formulações do problema
O sistema de equações a ser resolvido será:
[DP][REv] = [ES]- λ[ER] (4.9)
Onde:
[DP] é a matriz gradiente
[REv] é o vetor de incremento das incógnitas
[ES] é o vetor de esforços solicitantes
[ER] é o vetor de esforços resistente
4.7.1 Dimensionamento
Os dados do problema de dimensionamento são as características dos materiais, as
características geométricas da seção de concreto armado, as áreas das armaduras fixas e a
distribuição percentual das armaduras otimizáveis.
As incógnitas são a inclinação da linha neutra (α), o parâmetro D e a armadura total
dimensionada (As).
Sendo assim a matriz gradiente pode ser escrita da seguinte forma:
[𝐷𝑃] =
[ 𝜕𝑀𝑥𝑅𝑑
𝜕𝛼+ 𝑀𝑦𝑅𝑑
𝜕𝑀𝑥𝑅𝑑
𝜕𝐷
𝜕𝑀𝑥𝑅𝑑
𝜕𝐴𝑠
𝜕𝑀𝑦𝑅𝑑
𝜕𝛼− 𝑀𝑥𝑅𝑑
𝜕𝑀𝑦𝑅𝑑
𝜕𝐷
𝜕𝑀𝑦𝑅𝑑
𝜕𝐴𝑠
𝜕𝑁𝑧𝑅𝑑
𝜕𝛼
𝜕𝑁𝑧𝑅𝑑
𝜕𝐷
𝜕𝑁𝑧𝑅𝑑
𝜕𝐴𝑠 ]
= [𝑅] ×
[ 𝜕𝑀ξ𝑅𝑑
𝜕𝛼
𝜕𝑀ξ𝑅𝑑
𝜕𝐷
𝜕𝑀ξ𝑅𝑑
𝜕𝐴𝑠
𝜕𝑀𝜂𝑅𝑑
𝜕𝛼
𝜕𝑀𝜂𝑅𝑑
𝜕𝐷
𝜕𝑀𝜂𝑅𝑑
𝜕𝐴𝑠
𝜕𝑁𝜁𝑅𝑑
𝜕𝛼
𝜕𝑁𝜁𝑅𝑑
𝜕𝐷
𝜕𝑁𝜁𝑅𝑑
𝜕𝐴𝑠 ]
(4.10)
37
Onde:
[𝑅] = [𝑐𝑜𝑠 𝛼 −𝑠𝑒𝑛 𝛼 0𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛼 0
0 0 1]
Tem-se então, um sistema de três equações e três incógnitas resolvido de maneira
iterativa, já que os esforços resistentes dependem da inclinação da linha neutra, da armadura
total otimizada e do parâmetro de deformação.
O problema foi resolvido através do método de Newton-Raphson e, a cada iteração
deste solucionou-se o sistema de equações pelo método de Gauss com pivoteamento.
Para o cálculo do matriz gradiente é necessária a determinação das derivadas parciais
dos esforços resistentes.
Derivando as equações dos esforços resistentes na seção de concreto armado tem-se:
𝜕𝑀ξ𝑅𝑑
𝜕𝛼= ∫
𝜕𝜎𝑐𝑑(𝜖)
𝜕𝜖.𝜕𝜖
𝜕𝛼. η. 𝑑𝐴
𝐴𝑐𝑐
+ ∑ 𝑎𝑠𝑖 .𝜕𝜎𝑠𝑖𝑑(𝜖𝑖)
𝜕𝜖.𝜕𝜖
𝜕𝛼. ηi
𝑁𝐵𝐹
𝑖=1
+ ∑ 𝑝𝑖 . 𝐴𝑠 .𝜕𝜎𝑠𝑖𝑑(𝜖𝑖)
𝜕𝜖.𝜕𝜖
𝜕𝛼
𝑁𝐵𝑂
𝑖=1
. ηi
𝜕𝑀η𝑅𝑑
𝜕𝛼= − ∫
𝜕𝜎𝑐𝑑(𝜖)
𝜕𝜖.𝜕𝜖
𝜕𝛼. ξ. 𝑑𝐴
𝐴𝑐𝑐
− ∑ 𝑎𝑠𝑖 .𝜕𝜎𝑠𝑖𝑑(𝜖𝑖)
𝜕𝜖.𝜕𝜖
𝜕𝛼. ξi
𝑁𝐵𝐹
𝑖=1
− ∑ 𝑝𝑖 . 𝐴𝑠.𝜕𝜎𝑠𝑖𝑑(𝜖𝑖)
𝜕𝜖.𝜕𝜖
𝜕𝛼. ξi
𝑁𝐵𝑂
𝑖=1
𝜕𝑁ζ𝑅𝑑
𝜕𝛼= ∫
𝜕𝜎𝑐𝑑(𝜖)
𝜕𝜖.𝜕𝜖
𝜕𝛼. 𝑑𝐴
𝐴𝑐𝑐
+ ∑ 𝑎𝑠𝑖.𝜕𝜎𝑠𝑖𝑑(𝜖𝑖)
𝜕𝜖.𝜕𝜖
𝜕𝛼
𝑁𝐵𝐹
𝑖=1
+ ∑ 𝑝𝑖 . 𝐴𝑠 .𝜕𝜎𝑠𝑖𝑑(𝜖𝑖)
𝜕𝜖.𝜕𝜖
𝜕𝛼
𝑁𝐵𝑂
𝑖=1
𝜕𝑀ξ𝑅𝑑
𝜕𝐷= ∫
𝜕𝜎𝑐𝑑(𝜖)
𝜕𝜖.𝜕𝜖
𝜕𝐷. η. 𝑑𝐴
𝐴𝑐𝑐
+ ∑ 𝑎𝑠𝑖 .𝜕𝜎𝑠𝑖𝑑(𝜖𝑖)
𝜕𝜖.𝜕𝜖
𝜕𝐷. ηi
𝑁𝐵𝐹
𝑖=1
+ ∑ 𝑝𝑖 . 𝐴𝑠 .𝜕𝜎𝑠𝑖𝑑(𝜖𝑖)
𝜕𝜖.𝜕𝜖
𝜕𝐷
𝑁𝐵𝑂
𝑖=1
. ηi
𝜕𝑀η𝑅𝑑
𝜕𝐷= − ∫
𝜕𝜎𝑐𝑑(𝜖)
𝜕𝜖.𝜕𝜖
𝜕𝐷. ξ. 𝑑𝐴
𝐴𝑐𝑐
− ∑ 𝑎𝑠𝑖 .𝜕𝜎𝑠𝑖𝑑(𝜖𝑖)
𝜕𝜖.𝜕𝜖
𝜕𝐷. ξi
𝑁𝐵𝐹
𝑖=1
− ∑ 𝑝𝑖 . 𝐴𝑠.𝜕𝜎𝑠𝑖𝑑(𝜖𝑖)
𝜕𝜖.𝜕𝜖
𝜕𝐷. ξi
𝑁𝐵𝑂
𝑖=1
𝜕𝑁ζ𝑅𝑑
𝜕𝐷= ∫
𝜕𝜎𝑐𝑑(𝜖)
𝜕𝜖.𝜕𝜖
𝜕𝐷. 𝑑𝐴
𝐴𝑐𝑐
+ ∑ 𝑎𝑠𝑖 .𝜕𝜎𝑠𝑖𝑑(𝜖𝑖)
𝜕𝜖.𝜕𝜖
𝜕𝐷
𝑁𝐵𝐹
𝑖=1
+ ∑ 𝑝𝑖. 𝐴𝑠.𝜕𝜎𝑠𝑖𝑑(𝜖𝑖)
𝜕𝜖.𝜕𝜖
𝜕𝐷
𝑁𝐵𝑂
𝑖=1
𝜕𝑀ξ𝑅𝑑
𝜕𝐴𝑠= 𝑝𝑖. 𝜎𝑠𝑖𝑑(𝜖𝑖). ηi
𝜕𝑀η𝑅𝑑
𝜕𝐴𝑠= −𝑝𝑖 . 𝜎𝑠𝑖𝑑(𝜖𝑖). ξi
𝜕𝑁ζ𝑅𝑑
𝜕𝐴𝑠= 𝑝𝑖 . 𝜎𝑠𝑖𝑑(𝜖𝑖)
(4.11)
38
Precisamos agora encontrar valores para as derivadas parciais da tensão no concreto
em relação a deformação e da tensão no aço em relação a deformação, para isso derivaremos
as equações já mostradas anteriormente.
4.7.1.1 Concreto
𝜕𝜎𝑐(𝜖)
𝜕𝜖= {
0 | 0 ≤ 𝜖[0,85 × 𝑓𝑐𝑑 × (500000𝜖 + 1000)] | − 2‰ < 𝜖 < 0
0 | − 3,5‰ < 𝜖 < −2‰ (4.12)
Substituindo para os termos em função de ξ e η, conforme mostrado no item 4.5.1,
tem-se:
𝜕𝜎𝑐(ξ, 𝜂)
𝜕𝜖= {
0 | 0 ≤ 𝜖
[0,85 × 𝑓𝑐𝑑 × (𝑏𝜖′𝜂 + 𝑐′𝜖)] | − 2‰ < 𝜖 < 0
0,85 × 𝑓𝑐𝑑 | − 3,5‰ < 𝜖 < −2‰ (4.13)
Onde:
b'ϵ = 500000k0
c'ϵ = 500000ϵ0 + 1000
4.7.1.2 Aço
𝜕𝜎𝑠(𝜖)
𝜕𝜖= {
𝐸𝑆 | |𝜖| < 𝜖𝑦𝑑
0 | 𝜖𝑦𝑑 ≤ 𝜖 < 10‰ (4.14)
4.7.1.3 Determinação da função ∂ϵ/∂D
Substituindo as Equações (4.2) na Equação (4.1), temos:
39
𝜖(ξ, η) = |𝜖𝑠 − 𝜖𝑖
𝜂𝑠 − 𝜂𝑖| 𝜂 + 𝜖𝑠 − |
𝜖𝑠 − 𝜖𝑖
𝜂𝑠 − 𝜂𝑖| 𝜂𝑠 (4.15)
Derivando a Equação (4.15) em relação ao parâmetro D, tem-se:
𝜕𝜖(ξ, η)
𝜕𝐷= 𝑏𝐷
′ 𝜂 + 𝑐𝐷′ (4.16)
Onde:
𝑏𝐷′ = |
1
𝜂𝑠 − 𝜂𝑖| . |
𝜕𝜖𝑠 − 𝜕𝜖𝑖
𝜕𝐷|
𝑐𝐷′ =
𝜕𝜖
𝜕𝐷− |
𝜂𝑠
𝜂𝑠 − 𝜂𝑖| . |
𝜕𝜖𝑠 − 𝜕𝜖𝑖
𝜕𝐷|
E ∂ϵs/∂D e ∂ϵi/∂D são as derivadas em relação a D das funções S (D) e i (D),
apresentadas na Tabela 4
Tabela 4 - Derivadas das funções S (D) e i (D) em relação ao parâmetro D
D S (D) ‰ i (D) ‰ ∂S/ ∂D ∂i/ ∂D
D = 0 10 10 0 0
0 < D < 2 10 - 5D 10 -5 0
2 D < 7 1,4 - 0,7D 10 -0,7 0
7 D < 12 -3,5 24 - 2D 0 -2
12 D < 13 1,5D - 21,5 24 - 2D 1,5 -2
D = 13 -2 -2 0 0
Fonte: MITTELBACH, (2000)
4.7.1.4 Determinação da função ∂ϵ/∂α
A Equação (4.15) pode ser reescrita da seguinte forma:
40
𝜖(ξ, η) = |𝜖𝑠 − 𝜖𝑖
𝜂𝑠 − 𝜂𝑖| (𝜂 − 𝜂𝑠) + 𝜖𝑠 (4.17)
Derivando a Equação (4.17) em relação a α e considerando-se que as deformações nas
fibras extremas da seção, ϵs e ϵi, não mudam para incrementos infinitesimais de α, tem-se:
𝜕𝜖(ξ, η)
𝜕𝛼= (𝜖𝑠 − 𝜖𝑖). |
(𝜂𝑠 − 𝜂𝑖).𝜕(𝜂 − 𝜂𝑠)
𝜕𝛼− (𝜂 − 𝜂𝑖).
𝜕(𝜂𝑠 − 𝜂𝑖)𝜕𝛼
(𝜂𝑠 − 𝜂𝑖)²| (4.18)
As coordenadas (ξ,η) se relacionam com as coordenadas locais (x,y) através de:
ξ = x. cosα + y. senα
η = −x. senα + y. cosα (4.19)
Destas relações, tem-se:
𝜕(𝜂 − 𝜂𝑠)
𝜕𝛼= ξs − ξ
𝜕(𝜂𝑠 − 𝜂𝑖)
𝜕𝛼= ξi − ξs
(4.20)
Substituindo na derivada principal e rearranjando os termos tem-se:
𝜕𝜖
𝜕𝛼= 𝑎𝛼
′ ξ + bα′ 𝜂 + 𝑐𝛼
′ (4.21)
Onde:
𝒂𝜶′ = −(
𝝐𝒔 − 𝝐𝒊
𝜼𝒔 − 𝜼𝒊)
41
𝐛𝛂′ =
(𝝐𝒔 − 𝝐𝒊). (𝛏𝒔 − 𝛏𝒊)
(𝜼𝒔 − 𝜼𝒊)²
𝒄𝜶′ =
(𝝐𝒔 − 𝝐𝒊). (𝜼𝒔𝛏𝒊 − 𝛈𝐢𝛏𝒔)
(𝜼𝒔 − 𝜼𝒊)²
Agora temos todos os valores de derivadas necessários para resolução da formulação
principal apresentada no item 4.7.1, podemos reescrever as parcelas referentes conforme o item
seguinte.
4.7.1.5 Parcelas referentes ao concreto
𝜕𝑀ξ𝑅𝑑
𝜕𝛼= 0,85𝑓𝑐𝑑 ∫ (𝐹0𝜂 + 𝐹1𝜂
2 + 𝐹2𝜂3 + 𝐻0ξη + 𝐻2ξη
2). 𝑑𝐴𝐴𝑐𝑅𝑒𝑔1
𝜕𝑀η𝑅𝑑
𝜕𝛼= −0,85𝑓
𝑐𝑑∫ (𝐹0ξ + 𝐹1ξ𝜂 + 𝐹2ξ𝜂
2 + 𝐻0ξ² + 𝐻2ξ²η) . 𝑑𝐴𝐴𝑐𝑅𝑒𝑔1
𝜕𝑁ζ𝑅𝑑
𝜕𝛼= 0,85𝑓𝑐𝑑 ∫ (𝐹0 + 𝐹1𝜂 + 𝐹2𝜂 + 𝐻0ξ + 𝐻2ξη). 𝑑𝐴
𝐴𝑐𝑅𝑒𝑔1
(4.22)
Onde:
𝐹0 = 𝑐𝜖′ . 𝑐𝛼
′
𝐹1 = 𝑏𝜖′ . 𝑐𝛼
′ + 𝑐𝜖′ . 𝑏𝛼
′
𝐹2 = 𝑏𝜖′ . 𝑏𝛼
′
𝐻0 = 𝑐𝜖′ . 𝑎𝛼
′
𝐻2 = 𝑏𝜖′ . 𝑎𝛼
′
e
𝜕𝑀ξ𝑅𝑑
𝜕𝐷= 0,85𝑓𝑐𝑑 ∫ (𝐸0𝜂 + 𝐸1𝜂
2 + 𝐸2𝜂3). 𝑑𝐴
𝐴𝑐𝑅𝑒𝑔1
𝜕𝑀η𝑅𝑑
𝜕𝐷= −0,85𝑓
𝑐𝑑∫ (𝐸0ξ + 𝐸1ξ𝜂 + 𝐸2ξ𝜂
2) . 𝑑𝐴
𝐴𝑐𝑅𝑒𝑔1
(4.23)
42
𝜕𝑁ζ𝑅𝑑
𝜕𝐷= 0,85𝑓𝑐𝑑 ∫ (𝐸0 + 𝐸1𝜂 + 𝐸2𝜂²). 𝑑𝐴
𝐴𝑐𝑅𝑒𝑔1
Onde:
𝐸0 = 𝑐𝜖′ . 𝑐𝐷
′
𝐸1 = 𝑏𝜖′ . 𝑐𝐷
′ + 𝑐𝜖′ . 𝑏𝐷
′
𝐸2 = 𝑏𝜖′ . 𝑏𝐷
′
As expressões resultantes são apenas definidas para o concreto comprimido na região
1 (AcReg1), uma vez que, para a região 2, a função (∂σc(ϵ))/∂ϵ é nula. Observa-se, também que
são integrais de polinômios sobre a área AcReg1, podendo ser numericamente avaliadas através
da técnica que será apresentada no apêndice 1.
4.8 Manual de utilização do programa
Finalmente, trata-se da resolução de seções com o auxílio do programa. Para iniciar,
indica-se como funciona o arquivo de entrada de dados do exemplo 1 que terá seu cálculo
manual apresentado no item 5.1.1 e terá seu cálculo automatizado mostrado no item 5.1.2.
O arquivo de entrada para a seção, com vinte barras, resulta:
43
Figura 16 - Exemplo de arquivo de entrada para o Exemplo 1
Fonte: Autor (2018)
44
O processo de criação do arquivo de entrada pode ser um pouco trabalhoso e extenso,
além da possibilidade de entrada de dados incorretos que não podem ser visualizados pelo
usuário no ambiente do FORTRAN. Para combater essa ineficiência foi desenvolvida pelo
autor, uma planilha no Microsoft Excel para auxiliar a criação do arquivo de entrada, a planilha
será mostrada a seguir:
Começamos inserindo alguns dados iniciais do problema na primeira tabela da
planilha.
Tabela 5 – Tabela de dados iniciais
Tipo de
cálculo Dimensionamento
Número de
Vértices mais
um
5
Número de
barras fixas 0
Número de
barras
otimizáveis
20
γs 1,15
γc 1,4
fck (MPa) 20
Es (MPa) 210000
Número de
casos de
carga
1
Fonte: Autor (2018)
O número de vértices mais um se dá pelo fato do código necessitar de uma poligonal
fechada para definição da seção, sendo assim o último ponto deve ser igual ao primeiro,
conforme pode ser visto na Figura 13.
Depois, há quatro tabelas onde o usuário irá inserir as coordenadas dos vértices das
seções, das barras fixas e das barras otimizáveis além de descrever os casos de cargas através
dos esforços solicitantes na seção.
45
Tabela 6 - Tabela de entrada dos vértices da seção
Coordenadas dos vértices
Vértice Coordenada
X (cm)
Coordenada
Y (cm) Raio (cm)
1 0 0 0
2 20 0 0
3 20 50 0
4 0 50 0
5 0 0 0 Fonte: Autor (2018)
Após isso, temos a tabela das barras fixas, neste caso está vazia porque não utilizamos
barras fixas para este exemplo.
Tabela 7 - Tabela de entrada das barras fixas
Coordenadas / Características das Barras fixas
Nº Barra
Fixas
Coordenada
X (cm)
Coordenada
Y (cm) As (cm²) fyk (MPa)
Fonte: Autor (2018)
Depois temos a tabela das barras otimizáveis a serem inseridas na seção
46
Tabela 8 – Tabela de entrada para as barras otimizáveis
Coordenadas / Características das Barras otimizáveis
Nº Barra
Otimizável
Coordenada
X (cm)
Coordenada
Y (cm)
Raio
(cm)
Porcentagem
de armadura fyk (MPa)
1 4 4 0 0,0500 500
2 16 4 0 0,0500 500
3 16 8,67 0 0,0500 500
4 16 13,33 0 0,0500 500
5 16 18,00 0 0,0500 500
6 16 22,67 0 0,0500 500
7 16 27,33 0 0,0500 500
8 16 32,00 0 0,0500 500
9 16 36,67 0 0,0500 500
10 16 41,33 0 0,0500 500
11 16 46,00 0 0,0500 500
12 4 46 0 0,0500 500
13 4 41,33 0 0,0500 500
14 4 36,67 0 0,0500 500
15 4 32,00 0 0,0500 500
16 4 27,33 0 0,0500 500
17 4 22,67 0 0,0500 500
18 4 18,00 0 0,0500 500
19 4 13,33 0 0,0500 500
20 4 8,67 0 0,0500 500 Fonte: Autor (2018)
Vale salientar que estas tabelas também permitem que o usuário insira fórmulas para
preencher mais rapidamente, pode-se, por exemplo, calcular o espaçamento entra barras e gerar
várias somas da coordenada anterior mais ou menos o espaçamento entre barras.
Por último, temos a tabela de casos de carga e esforços solicitantes de cálculo de cada
um destes.
47
Tabela 9 - Tabela de entrada dos casos de carga e esforços solicitantes de cálculo
Tabela de casos de carga
N Caso de
Carga MxSd (kN.m) MySd (kN.m) NzSd (kN)
Tipo de
solicitação
1 34,440 41,420 -1148 fco
Fonte: Autor (2018)
Desta forma, finalizamos a inserção de dados na planilha. A seção inserida pode ser
verificada ao clicar em um dos botões da planilha “Verificar desenho da seção”
Figura 17 - Botão para verificação da seção
Fonte: Autor (2018)
O usuário então é movido para outra aba da planilha onde os dados são transformados
em um gráfico e então pode-se verificar os dados inseridos e confirmar se estão corretos.
Figura 18 - Seção inserida no arquivo
Fonte: Autor (2018)
48
Verifica-se que a seção está correta com hx=20cm e hy=50cm e temos as vinte barras
otimizáveis desejadas.
Neste ponto os dados estão inseridos de forma bruta na planilha, conforme a imagem
a seguir:
Figura 19 - Parte da composição bruta dos dados
Fonte: Autor (2018)
Ao clicar no botão “Formatar”, os dados são tratados e transformados em uma
sequência que pode ser copiada e colada em um arquivo de texto e teremos então um arquivo
igual ao apresentado na Figura 16.
A seguir temos os dados após o uso do botão “Formatar”
49
Figura 20 - Dados da planilha tratados e prontos para o arquivo de entrada
Fonte: Autor (2018)
50
5 RESULTADOS E DISCUSSÕES
Neste capítulo apresentam-se os cálculos manuais, os do programa comercial e os
exemplos computacionais e a comparação dos resultados.
5.1 Exemplo 1
Exemplo adaptado da apostila de Bastos (2015).
Figura 21 - Pilar retangular do Exemplo 1
Fonte: Autor (2018)
Calcular a área de aço necessária para equilibrar a seção de um pilar de hx =20cm e
hy=50cm, fck = 20MPa, aço CA-50, distância do eixo de armadura até a face da seção igual a 4
cm e os seguintes esforços solicitantes de cálculo: NSd = 1148 kN, MxSd = 34,44 kN.m e MySd
= 41,42 kN.m.
5.1.1 Cálculo através de ábacos
fcd =fck1,4
=20
1,4= 14,29 𝑀𝑃𝑎 = 1,43 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
40
20
30
50
20
30
80
100
40
60
40
20
20
60
y
x
y
xy
xNz = -980 kN
fck = 25 MPa
Nz = -1409,79 kN
fck = 25 MPa
Nz = -849,27 kN
fck = 25 MPa
Nz = -4957,58 kN
fck = 25 MPa
y
x
4020
50
y
x
Nz = -1148 kNfck = 20 MPa 14
50
y
x
Nz = -1148 kN
fck = 35 MPa
y
xNz = -504 kN
fck = 20 MPa
y
x
Nz = -2000 kN
fck = 25 MPa30
20
MxSd = 34,44 kN.m
MxSd = 34,44 kN.m
MySd = 41,42 kN.m
MySd = 70,82 kN.mMySd = 26,83 kN.m
MxSd = 11,05 kN.m
MySd = 90,00 kN.m
MxSd = 70,00 kN.m
MySd = 114,80 kN.m
MxSd = 49,00 kN.m
MxSd = 1400,00 kN.m
MySd = 2100,00 kN.m
MxSd = 93,39 kN.m
MySd = 70,00 kN.mMySd = 109,20 kN.m
MxSd = 95,20 kN.m
51
fyd =𝑓𝑦𝑘
1,15=
500
1,15= 434,78 𝑀𝑃𝑎 = 43,48 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
ν =NSd
𝐴𝑐 × 𝑓𝑐𝑑=
1148
20 × 50 × 1,43= 0,80
μx =𝑀𝑦𝑆𝑑
ℎ𝑥 × 𝐴𝑐 × 𝑓𝑐𝑑=
ν × ex
ℎ𝑥=
4142
20 × 20 × 50 × 1,43= 0,14
μy =𝑀𝑥𝑆𝑑
ℎ𝑦 × 𝐴𝑐 × 𝑓𝑐𝑑=
ν × ey
ℎ𝑦=
3444
50 × 20 × 50 × 1,43= 0,05
𝑑′𝑥
ℎ𝑥=
4
20= 0,20
𝑑′𝑦
ℎ𝑦=
4
50= 0,08 → 𝑈𝑠𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 0,10 (𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑙𝑖𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒 á𝑏𝑎𝑐𝑜𝑠)
Utilizando o ábaco 14B de Pinheiro (2009), que tem geometria de 10 barras por face e
contém o valor da força normal reduzida igual a 0,8, para evitar que tenhamos que voltar e usar
outro ábaco dependendo do resultado, temos:
Figura 22 - Uso do ábaco 14B para determinação do ω
Fonte: Adaptado de PINHEIRO (2009)
52
Verificamos que o encontro das retas está um pouco abaixo, porém muito próximo, da
isolinha de ω = 0,5, sendo assim usaremos esse valor, visto que não gerará resultados contra a
segurança, com esse valor podemos então calcular a armadura.
𝐴𝑠 =𝜔 × 𝐴𝑐 × 𝑓𝑐𝑑
𝑓𝑦𝑑=
0,5 × 20 × 50 × 1,43
43,48= 16,44 𝑐𝑚²
5.1.2 Cálculo automatizado com o programa
Arquivo de entrada para este exemplo:
Figura 23 - Arquivo de entrada do exemplo 1
Fonte: Autor (2018)
Após construção do arquivo de entrada e execução do programa, obtêm-se os
resultados apresentados na Figura 24.
53
Figura 24 – Parte do arquivo de saída do Exemplo 1 pelo programa computacional
Fonte: Autor (2018)
O valor da armadura encontrado pelo programa foi 16,31 cm², valor bem próximo se
comparado ao encontrado pelo ábaco.
5.2 Exemplo 2
Exemplo adaptado da apostila de Bastos (2015).
54
Figura 25 - Pilar retangular do Exemplo 2
Fonte: Autor (2018)
Calcular a área de aço necessária para equilibrar a seção de um pilar de hx =14cm e
hy=50cm, fck = 35MPa, aço CA-50, distância do eixo de armadura até a face da seção igual a 4
cm e os seguintes esforços solicitantes de cálculo: NSd = 1148 kN, MxSd = 34,44 kN.m e MySd
= 70,82 kN.m.
5.2.1 Cálculo através de ábacos
fcd =fck1,4
=35
1,4= 25 𝑀𝑃𝑎 = 2,5 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
fyd =𝑓𝑦𝑘
1,15=
500
1,15= 434,78 𝑀𝑃𝑎 = 43,48 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
ν =NSd
𝐴𝑐 × 𝑓𝑐𝑑=
1148
14 × 50 × 2,5= 0,66
μx =𝑀𝑦𝑆𝑑
ℎ𝑥 × 𝐴𝑐 × 𝑓𝑐𝑑=
ν × ex
ℎ𝑥=
7082
14 × 14 × 50 × 2,5= 0,29
μy =𝑀𝑥𝑆𝑑
ℎ𝑦 × 𝐴𝑐 × 𝑓𝑐𝑑=
ν × ey
ℎ𝑦=
3444
50 × 14 × 50 × 2,5= 0,04
40
20
30
50
20
30
80
100
40
60
40
20
20
60
y
x
y
xy
xNz = -980 kN
fck = 25 MPa
Nz = -1409,79 kN
fck = 25 MPa
Nz = -849,27 kN
fck = 25 MPa
Nz = -4957,58 kN
fck = 25 MPa
y
x
4020
50
y
x
Nz = -1148 kNfck = 20 MPa 14
50
y
x
Nz = -1148 kN
fck = 35 MPa
y
xNz = -504 kN
fck = 20 MPa
y
x
Nz = -2000 kN
fck = 25 MPa30
20
MxSd = 34,44 kN.m
MxSd = 34,44 kN.m
MySd = 41,42 kN.m
MySd = 70,82 kN.mMySd = 26,83 kN.m
MxSd = 11,05 kN.m
MySd = 90,00 kN.m
MxSd = 70,00 kN.m
MySd = 114,80 kN.m
MxSd = 49,00 kN.m
MxSd = 1400,00 kN.m
MySd = 2100,00 kN.m
MxSd = 93,39 kN.m
MySd = 70,00 kN.mMySd = 109,20 kN.m
MxSd = 95,20 kN.m
55
𝑑′𝑥
ℎ𝑥=
4
14= 0,29 → → 𝑈𝑠𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 0,25 (𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑙𝑖𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒 á𝑏𝑎𝑐𝑜𝑠)
𝑑′𝑦
ℎ𝑦=
4
50= 0,08 → 𝑈𝑠𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 0,10 (𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑙𝑖𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒 á𝑏𝑎𝑐𝑜𝑠)
Utilizando os ábacos 5A e 5B de Pinheiro (2009), que tem geometria de 4 barras por
face e contém os valores das forças normais reduzidas iguais a 0,6 e 0,8, respectivamente, tem-
se:
Figura 26 - Uso do ábaco 5A com ν=0,6 para determinação do ω
Fonte: Adaptado de PINHEIRO (2009)
56
Figura 27 - Uso do ábaco 5B com ν=0,8 para determinação do ω
Fonte: Adaptado de PINHEIRO (2009)
Verificamos que o encontro das retas no primeiro caso está entre isolinha de ω = 1,1 e
ω = 1,2, sendo assim usaremos o valor ω = 1,15, e no segundo caso entre isolinha de ω = 1,2 e
ω = 1,3, sendo assim usaremos o valor ω = 1,25, devemos então interpolar linearmente o valor
de ω, já que nosso ν tem valor 0,66, com esse valor podemos então calcular a armadura.
𝜔0,66 = 𝜔0,6 + [(𝜔0,8 − 𝜔0,6
0,8 − 0,6) × (0,66 − 0,6)] = 1,18
𝐴𝑠 =𝜔 × 𝐴𝑐 × 𝑓𝑐𝑑
𝑓𝑦𝑑=
1,18 × 14 × 50 × 2,5
43,48= 47,49 𝑐𝑚²
5.2.2 Cálculo automatizado com o programa
Arquivo de entrada para este exemplo:
57
Figura 28 - Arquivo de entrada do exemplo 2
Fonte: Autor (2018)
Após construção do arquivo de entrada e execução do programa, obtêm-se os
resultados apresentados na Figura 29.
58
Figura 29 – Parte do arquivo de saída do Exemplo 2 pelo programa computacional
Fonte: Autor (2018)
O valor da armadura encontrado pelo programa foi 59,01 cm², valor ligeiramente
superior ao encontrado pelo ábaco.
5.3 Exemplo 3
Exemplo adaptado da apostila de Bastos (2015).
59
Figura 30 - Pilar retangular do Exemplo 3
Fonte: Autor (2018)
Calcular a área de aço necessária para equilibrar a seção de um pilar de hx =30cm e
hy=20cm, fck = 20MPa, aço CA-50, distância do eixo de armadura até a face da seção igual a 4
cm e os seguinte esforços solicitantes de cálculo: NSd = 504 kN, MxSd = 11,05 kN.m e MySd =
26,83 kN.m.
5.3.1 Cálculo através de ábacos
fcd =fck1,4
=20
1,4= 14,29 𝑀𝑃𝑎 = 1,43 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
fyd =𝑓𝑦𝑘
1,15=
500
1,15= 434,78 𝑀𝑃𝑎 = 43,48 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
ν =NSd
𝐴𝑐 × 𝑓𝑐𝑑=
504
30 × 20 × 1,43= 0,59
μx =𝑀𝑦𝑆𝑑
ℎ𝑥 × 𝐴𝑐 × 𝑓𝑐𝑑=
ν × ex
ℎ𝑥=
2683
30 × 30 × 20 × 1,43= 0,10
40
20
30
50
20
30
80
100
40
60
40
20
20
60
y
x
y
xy
xNz = -980 kN
fck = 25 MPa
Nz = -1409,79 kN
fck = 25 MPa
Nz = -849,27 kN
fck = 25 MPa
Nz = -4957,58 kN
fck = 25 MPa
y
x
4020
50
y
x
Nz = -1148 kNfck = 20 MPa 14
50
y
x
Nz = -1148 kN
fck = 35 MPa
y
xNz = -504 kN
fck = 20 MPa
y
x
Nz = -2000 kN
fck = 25 MPa30
20
MxSd = 34,44 kN.m
MxSd = 34,44 kN.m
MySd = 41,42 kN.m
MySd = 70,82 kN.mMySd = 26,83 kN.m
MxSd = 11,05 kN.m
MySd = 90,00 kN.m
MxSd = 70,00 kN.m
MySd = 114,80 kN.m
MxSd = 49,00 kN.m
MxSd = 1400,00 kN.m
MySd = 2100,00 kN.m
MxSd = 93,39 kN.m
MySd = 70,00 kN.mMySd = 109,20 kN.m
MxSd = 95,20 kN.m
60
μy =𝑀𝑥𝑆𝑑
ℎ𝑦 × 𝐴𝑐 × 𝑓𝑐𝑑=
ν × ey
ℎ𝑦=
1105
20 × 30 × 20 × 1,43= 0,06
𝑑′𝑥
ℎ𝑥=
4
30= 0,13 → 𝑈𝑠𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 0,15 (𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑙𝑖𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒 á𝑏𝑎𝑐𝑜𝑠)
𝑑′𝑦
ℎ𝑦=
4
50= 0,2
Utilizando o ábaco 20A de Pinheiro (2009), que tem geometria de duas barras por face
e contém o valor da força normal reduzida igual a 0,6, temos:
Figura 31 - Uso do ábaco 20A para determinação do ω
Fonte: Adaptado de PINHEIRO (2009)
Verificamos que o encontro das retas está um pouco abaixo, porém muito próximo, da
isolinha de ω = 0,2, sendo assim usaremos esse valor, visto que não gerará resultados contra a
segurança, com esse valor podemos então calcular a armadura.
𝐴𝑠 =𝜔 × 𝐴𝑐 × 𝑓𝑐𝑑
𝑓𝑦𝑑=
0,2 × 30 × 20 × 1,43
43,48= 3,95 𝑐𝑚²
61
5.3.2 Cálculo automatizado com o programa
Arquivo de entrada para este exemplo:
Figura 32 - Arquivo de entrada do exemplo 3
Fonte: Autor (2018)
Após construção do arquivo de entrada e execução do programa, obtêm-se os
resultados apresentados na Figura 33.
62
Figura 33 – Parte do arquivo de saída do Exemplo 3 pelo programa computacional
Fonte: Autor (2018)
O valor da armadura encontrado pelo programa foi 3,806 cm², valor bem próximo se
comparado ao encontrado pelo ábaco.
5.4 Exemplo 4
Calcular a área de aço necessária para equilibrar a seção de um pilar seção circular de
diâmetro igual a 40 cm, fck = 25MPa, aço CA-50, distância do eixo de armadura até a face da
seção igual a 2 cm e os seguintes esforços solicitantes de cálculo: NSd = 2000 kN, MxSd = 70
kN.m e MySd = 90 kN.m.
63
Figura 34 - Pilar retangular do Exemplo 4
Fonte: Autor (2018)
5.4.1 Cálculo através de ábacos
Não foram encontrados ábacos na literatura que calculassem pilares circulares
submetidos a flexão composta oblíqua, porém sabe-se que se este tipo de pilar tem armadura
simétrica, a flexão pode ser tratada como uma flexão composta reta com momento atuante igual
a:
𝑀𝑆𝑑 = √𝑀𝑥𝑆𝑑2 + 𝑀𝑦𝑆𝑑
2 = √702 + 902 = 114,02 𝑘𝑁. 𝑚
fcd =fck1,4
=25
1,4= 17,86 𝑀𝑃𝑎 = 1,79 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
fyd =𝑓𝑦𝑘
1,15=
500
1,15= 434,78 𝑀𝑃𝑎 = 43,48 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
A partir daqui os parâmetros mudam um pouco
ν1 =NSd
𝐷2 × 𝑓𝑐𝑑=
2000
402 × 1,79= 0,69
40
20
30
50
20
30
80
100
40
60
40
20
20
60
y
x
y
xy
xNz = -980 kN
fck = 25 MPa
Nz = -1409,79 kN
fck = 25 MPa
Nz = -849,27 kN
fck = 25 MPa
Nz = -4957,58 kN
fck = 25 MPa
y
x
4020
50
y
x
Nz = -1148 kNfck = 20 MPa 14
50
y
x
Nz = -1148 kN
fck = 35 MPa
y
xNz = -504 kN
fck = 20 MPa
y
x
Nz = -2000 kN
fck = 25 MPa30
20
MxSd = 34,44 kN.m
MxSd = 34,44 kN.m
MySd = 41,42 kN.m
MySd = 70,82 kN.mMySd = 26,83 kN.m
MxSd = 11,05 kN.m
MySd = 90,00 kN.m
MxSd = 70,00 kN.m
MySd = 114,80 kN.m
MxSd = 49,00 kN.m
MxSd = 1400,00 kN.m
MySd = 2100,00 kN.m
MxSd = 93,39 kN.m
MySd = 70,00 kN.mMySd = 109,20 kN.m
MxSd = 95,20 kN.m
64
μ1 =ν1 × e
𝐷=
𝑀𝑆𝑑
𝐷3 × 𝑓𝑐𝑑=
11402
403 × 1,79= 0,10
Não é necessário calcular o d’x e d’y pois o ábaco escolhido já considera a distância
igual a 0,05D = 2 cm.
Entrando no ábaco:
Figura 35 - Ábaco para seção circular
Fonte: Retirado de http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAYkYAK/abaco-concreto-armado-pilar
Do ábaco podemos extrair o valor de ω que é 0,35, e assim podemos calcular a
armadura necessária, através das equações apresentadas no ábaco.
𝐴𝑠 = 𝜔 ×𝑓𝑐𝑑𝑓𝑦𝑑
×𝜋𝐷2
4= 0,35 ×
1,79
43,48×
𝜋 × 402
4= 18,10 𝑐𝑚²
5.4.2 Cálculo automatizado com o programa
Para seções circulares, aproximamos a seção através de um icoságono, polígono
regular de 20 lados.
65
Arquivo de entrada para este exemplo:
Figura 36 - Arquivo de entrada do exemplo 4
Fonte: Autor (2018)
Após construção do arquivo de entrada e execução do programa, obtêm-se os
resultados apresentados na Figura 37.
66
Figura 37 – Parte do arquivo de saída do Exemplo 4 pelo programa computacional
Fonte: Autor (2018)
O valor da armadura encontrado pelo programa foi 23,39 cm², valor maior do que o
encontrado pelo ábaco.
5.5 Exemplo 5
O exemplo 5 trata de um pilar com seção em L e fck=25MPa, conforme a Figura 38.
De forma semelhante aos exemplos acima as distâncias entre o eixo das barras e a face da seção
em cada direção, d’x e d’y, valem 4 cm, assim como nos itens subsequentes.
67
Figura 38 - Pilar do Exemplo 5
Fonte: Autor (2018)
O pilar está submetido aos seguintes esforços:
𝑁𝑧𝑆𝑑 = −980𝑘𝑁
𝑀𝑥𝑆𝑑 = −95,20 𝑘𝑁𝑚
𝑀𝑦𝑆𝑑 = 109,20 𝑘𝑁𝑚
5.5.1 Cálculo através do software comercial CypeCAD
O módulo de pilares com seção genérica do CypeCAD não dimensiona a armadura,
porém verifica a armadura introduzida pelo usuário, para esse exemplo introduzimos na seção
16 barras com 12,5mm de diâmetro o que resulta uma armadura de 19,63 cm² e o fator de
segurança calculado para a seção com essa armadura foi de 0,997, valor muito próximo de 1,00
que é o caso de verificação que se iguala ao dimensionamento. Vale salientar que para estas
seções calculadas no CypeCAD sempre foram utilizadas barras de mesmo diâmetro para
facilitar a entrada de dados do programa (porcentagem igual para todas as barras). Os relatórios
de dimensionamento gerados pelo programa podem ser encontrados no apêndice B
5.5.2 Cálculo automatizado com o programa
40
20
30
50
20
30
80
100
40
60
40
20
20
60
y
x
y
xy
xNz = -980 kN
fck = 25 MPa
Nz = -1409,79 kN
fck = 25 MPa
Nz = -849,27 kN
fck = 25 MPa
Nz = -4957,58 kN
fck = 25 MPa
y
x
4020
50
y
x
Nz = -1148 kNfck = 20 MPa 14
50
y
x
Nz = -1148 kN
fck = 35 MPa
y
xNz = -504 kN
fck = 20 MPa
y
x
Nz = -2000 kN
fck = 25 MPa30
20
MxSd = 34,44 kN.m
MxSd = 34,44 kN.m
MySd = 41,42 kN.m
MySd = 70,82 kN.mMySd = 26,83 kN.m
MxSd = 11,05 kN.m
MySd = 90,00 kN.m
MxSd = 70,00 kN.m
MySd = 114,80 kN.m
MxSd = 49,00 kN.m
MxSd = 1400,00 kN.m
MySd = 2100,00 kN.m
MxSd = 93,39 kN.m
MySd = 70,00 kN.mMySd = 109,20 kN.m
MxSd = 95,20 kN.m
68
Arquivo de entrada para este exemplo:
Figura 39 - Arquivo de entrada do exemplo 5
Fonte: Autor (2018)
Após construção do arquivo de entrada e execução do programa, obtêm-se os
resultados apresentados na Figura 40.
69
Figura 40 – Parte do arquivo de saída do Exemplo 5 pelo programa computacional
Fonte: Autor (2018)
O valor da armadura encontrado pelo programa foi 20,74 cm², valor relativamente
próximo do encontrado no programa computacional comercial.
70
5.6 Exemplo 6
O exemplo 6 trata de um pilar com seção em U e fck=25MPa, conforme a Figura 41.
Figura 41 - Pilar do Exemplo 6
Fonte: Autor (2018)
O pilar está submetido aos seguintes esforços:
𝑁𝑧𝑆𝑑 = −849,27𝑘𝑁
𝑀𝑥𝑆𝑑 = −93,39 𝑘𝑁𝑚
𝑀𝑦𝑆𝑑 = 70,00 𝑘𝑁𝑚
5.6.1 Cálculo através do software comercial CypeCAD
Para esse exemplo introduzimos na seção 36 barras com 10mm de diâmetro o que
resulta uma armadura de 28,26 cm² e o fator de segurança calculado para a seção com essa
armadura foi de 0,997.
5.6.2 Cálculo automatizado com o programa
Arquivo de entrada para este exemplo:
40
20
30
50
20
30
80
100
40
60
40
20
20
60
y
x
y
xy
xNz = -980 kN
fck = 25 MPa
Nz = -1409,79 kN
fck = 25 MPa
Nz = -849,27 kN
fck = 25 MPa
Nz = -4957,58 kN
fck = 25 MPa
y
x
4020
50
y
x
Nz = -1148 kNfck = 20 MPa 14
50
y
x
Nz = -1148 kN
fck = 35 MPa
y
xNz = -504 kN
fck = 20 MPa
y
x
Nz = -2000 kN
fck = 25 MPa30
20
MxSd = 34,44 kN.m
MxSd = 34,44 kN.m
MySd = 41,42 kN.m
MySd = 70,82 kN.mMySd = 26,83 kN.m
MxSd = 11,05 kN.m
MySd = 90,00 kN.m
MxSd = 70,00 kN.m
MySd = 114,80 kN.m
MxSd = 49,00 kN.m
MxSd = 1400,00 kN.m
MySd = 2100,00 kN.m
MxSd = 93,39 kN.m
MySd = 70,00 kN.mMySd = 109,20 kN.m
MxSd = 95,20 kN.m
71
Figura 42 - Arquivo de entrada do exemplo 6
Fonte: Autor (2018)
72
Após construção do arquivo de entrada e execução do programa, obtêm-se os
resultados mostrados na Figura 43.
Figura 43 – Parte do arquivo de saída do Exemplo 6 pelo programa computacional
Fonte: Autor (2018)
O valor da armadura encontrado pelo programa foi 29,14 cm², valor relativamente
próximo do encontrado no programa computacional comercial
5.7 Exemplo 7
73
O exemplo 7 trata de um pilar com seção retangular vazada e fck=25MPa, conforme a
figura mostrada abaixo.
Figura 44 - Pilar do Exemplo 7
Fonte: Autor (2018)
O pilar está submetido aos seguintes esforços:
𝑁𝑧𝑆𝑑 = −4957,68 𝑘𝑁
𝑀𝑥𝑆𝑑 = −1400,00 𝑘𝑁𝑚
𝑀𝑦𝑆𝑑 = 2100,00 𝑘𝑁𝑚
5.7.1 Cálculo através do software comercial CypeCAD
Para esse exemplo introduzimos na seção 32 barras com 25mm de diâmetro o que
resulta uma armadura de 157,09 cm² e o fator de segurança calculado para a seção com essa
armadura foi de 0,999.
40
20
30
50
20
30
80
100
40
60
40
20
20
60
y
x
y
xy
xNz = -980 kN
fck = 25 MPa
Nz = -1409,79 kN
fck = 25 MPa
Nz = -849,27 kN
fck = 25 MPa
Nz = -4957,58 kN
fck = 25 MPa
y
x
4020
50
y
x
Nz = -1148 kNfck = 20 MPa 14
50
y
x
Nz = -1148 kN
fck = 35 MPa
y
xNz = -504 kN
fck = 20 MPa
y
x
Nz = -2000 kN
fck = 25 MPa30
20
MxSd = 34,44 kN.m
MxSd = 34,44 kN.m
MySd = 41,42 kN.m
MySd = 70,82 kN.mMySd = 26,83 kN.m
MxSd = 11,05 kN.m
MySd = 90,00 kN.m
MxSd = 70,00 kN.m
MySd = 114,80 kN.m
MxSd = 49,00 kN.m
MxSd = 1400,00 kN.m
MySd = 2100,00 kN.m
MxSd = 93,39 kN.m
MySd = 70,00 kN.mMySd = 109,20 kN.m
MxSd = 95,20 kN.m
74
5.7.2 Cálculo automatizado com o programa
Arquivo de entrada para este exemplo:
Figura 45 - Arquivo de entrada do exemplo 7
Fonte: Autor (2018)
75
Neste exemplo pode-se perceber a orientação no sentido horário da abertura na seção,
conforme mencionado nos itens anteriores.
Após construção do arquivo de entrada e execução do programa, obtém-se os
resultados ilustrados na Figura 46.
Figura 46 – Parte do arquivo de saída do Exemplo 7 pelo programa computacional
Fonte: Autor (2018)
O valor da armadura encontrado pelo programa foi 155,83 cm², valor próximo do
encontrado no programa computacional comercial.
5.8 Exemplo 8
O exemplo 8 trata de um pilar com seção em forma de coroa circular e fck=25MPa,
conforme a Figura 47.
76
Figura 47 - Pilar do Exemplo 8
Fonte: Autor (2018)
O pilar está submetido aos seguintes esforços:
𝑁𝑧𝑆𝑑 = −1409,79 𝑘𝑁
𝑀𝑥𝑆𝑑 = −49,00 𝑘𝑁𝑚
𝑀𝑦𝑆𝑑 = 114,80 𝑘𝑁𝑚
5.8.1 Cálculo através do software comercial CypeCAD
Para esse exemplo introduzimos na seção 20 barras com 12,5mm de diâmetro o que
resulta uma armadura de 24,54 cm² e o fator de segurança calculado para a seção com essa
armadura foi de 0,999.
5.8.2 Cálculo automatizado com o programa
Arquivo de entrada para este exemplo:
40
20
30
50
20
30
80
100
40
60
40
20
20
60
y
x
y
xy
xNz = -980 kN
fck = 25 MPa
Nz = -1409,79 kN
fck = 25 MPa
Nz = -849,27 kN
fck = 25 MPa
Nz = -4957,58 kN
fck = 25 MPa
y
x
4020
50
y
x
Nz = -1148 kNfck = 20 MPa 14
50
y
x
Nz = -1148 kN
fck = 35 MPa
y
xNz = -504 kN
fck = 20 MPa
y
x
Nz = -2000 kN
fck = 25 MPa30
20
MxSd = 34,44 kN.m
MxSd = 34,44 kN.m
MySd = 41,42 kN.m
MySd = 70,82 kN.mMySd = 26,83 kN.m
MxSd = 11,05 kN.m
MySd = 90,00 kN.m
MxSd = 70,00 kN.m
MySd = 114,80 kN.m
MxSd = 49,00 kN.m
MxSd = 1400,00 kN.m
MySd = 2100,00 kN.m
MxSd = 93,39 kN.m
MySd = 70,00 kN.mMySd = 109,20 kN.m
MxSd = 95,20 kN.m
77
Figura 48 - Arquivo de entrada do exemplo 8
Fonte: Autor (2018)
78
Neste exemplo pode-se perceber a orientação no sentido horário da abertura na seção,
conforme mencionado nos itens anteriores, além disso de forma semelhante ao exemplo 4, os
círculos foram aproximados através de icoságonos.
Após construção do arquivo de entrada e execução do programa, obtêm-se os
resultados ilustrados na Figura 49.
Figura 49 – Parte do arquivo de saída do Exemplo 8 pelo programa computacional
Fonte: Autor (2018)
O valor da armadura encontrado pelo programa foi 24,76 cm², valor bem próximo do
encontrado no programa computacional comercial.
5.9 Comparação entre os resultados obtidos
79
Os resultados obtidos do programa são resumidos, apresentados e comparados com os
calculados através da tabela abaixo.
Tabela 10 - Comparação entre os resultados obtidos no trabalho
Exemplo As, ábacos
(cm²)
As,CypeCAD
(cm²)
As,Programa
(cm²)
Diferença
Percentual
Exemplo 1 16,44 - 16,31 0,791%
Exemplo 2 47,49 - 59,01 -24,258%
Exemplo 3 3,95 - 3,81 3,544%
Exemplo 4 18,1 - 23,39 -29,227%
Exemplo 5 - 19,63 20,74 -5,655%
Exemplo 6 - 28,26 29,14 -3,114%
Exemplo 7 - 157,09 155,83 0,802%
Exemplo 8 - 24,54 24,76 -0,896% Fonte: Autor (2018)
Percebe-se que os resultados de forma geral resultaram próximos, as maiores
diferenças foram nos exemplos 2 e 4, que são resolvidos através de ábacos. No exemplo 2
aproximamos o d’x/hx que resultava em 0,29 para 0,25 devido a uma limitação da lista de
ábacos, e essa direção é a qual atua o maior momento deste exemplo, o que potencializa o erro.
No exemplo 4 transformamos uma flexão oblíqua em flexão reta e além disso a seção circular
foi aproximada através de um polígono de vinte lados, essas aproximações podem ter acarretado
no erro um pouco maior. Porém, pode-se checar os esforços resistentes nas telas de saída do
programa apresentadas no trabalho e verificar que estes estão extremamente próximos aos
esforços solicitantes, quando não idênticos. Sendo assim o programa está gerando resultados
satisfatórios.
80
6 CONCLUSÃO
O código desenvolvido comprova, através dos exemplos realizados e comparados,
eficácia e precisão no cálculo de pilares com seções usuais que podem ser encontradas em
ábacos e expande o leque de possibilidades do engenheiro estrutural para o uso de pilares de
seções diversas.
A montagem da seção e introdução nas barras no programa é simplificada através da
planilha auxiliar criada, porém ainda é um pouco trabalhosa se comparada ao uso de ábacos.
No entanto percebemos que nos exemplos 2 e 4 tivemos uma diferença de esforços solicitantes
e resistentes relativamente alta, sendo assim a praticidade do uso dos ábacos pode levar a
resultados contra a segurança, sendo o uso do programa também indicado para as seções
simples. Já para as seções mais complexas, as quais não existem ábacos disponíveis, o uso do
programa é extremamente válido, já que os resultados apresentaram diferenças percentuais
muito baixas, a maior delas foi em torno 5% para a seção em forma de “L” em relação a
programas comerciais que realizam a verificação da seção.
Espera-se que esse programa computacional possa ser utilizado por estudantes e
projetistas de modo a ajuda-los no dimensionamento de pilares além de ser uma fonte extra para
comparação dos resultados obtidos dos ábacos, visto que nem sempre temos um software
comercial disponível para este auxilio e os resultados do programa ficaram bastante
semelhantes aos obtidos do CypeCAD. Vale ressaltar que o programa comercial realiza
somente a verificação da seção e não o dimensionamento da área de aço.
Como sugestão para próximos trabalhos podemos citar a inclusão de uma formulação
extra para determinação das tensões atuantes nos concreto do grupo II da NBR 6118 que se
refere aos concretos de fck ≥ 55 MPa, implementação das sub-rotinas de verificação de seção e
criação das sub-rotinas para geração de superfícies de interações, ou ábacos, de seções não
convencionais como as abordadas neste trabalho nos exemplos 5, 6, 7 e 8. Desta forma, não
seria necessário fazer uso de um software comercial para comparação dos resultados.
81
7 REFERÊNCIAS
ARAÚJO, JOSÉ MILTON DE. Curso de Concreto Armado. Rio Grande:
Dunas, 2014. v.3, 4.ed.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (2014). NBR
6118:2014 – Projeto de estruturas de concreto. Rio de Janeiro.
BASTOS, P. S. S. Pilares de Concreto Armado. Disciplina 2333 – Estruturas
de Concreto II. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia -
Universidade Estadual Paulista (UNESP): agosto/2015, 104p.
CARVALHO, R.C., FIGUEIREDO FILHO, J.R. Cálculo e Detalhamento de
Estruturas Usuais de Concreto Armado. Volume 1. São Carlos, 4ª edição, EdUFSCar,
2014.
CARVALHO, R.C; PINHEIRO, L.M. Cálculo e detalhamento de estruturas
usuais de concreto armado: volume 2. São Paulo: PINI, 2013.
FUSCO, P.B. Estruturas de concreto - Solicitações normais. Rio de Janeiro,
Ed. Guanabara Dois, 1981, 464p.
FERNANDES, F. A. Programação FORTRAN para engenharia. 2003.
Disponível em: <http://www.eq.ufc.br/MD_Fortran.pdf>. Acesso em: 04 dez. 2017.
Introducão ao Fortran 90/95. 2010. Disponível em:
<http://wp.ufpel.edu.br/diehl/files/2016/10/Apostila_links.pdf>. Acesso em: 04 dez. 2017.
KIMURA, A. Informática aplicada em estruturas de concreto armado:
cálculo de edifícios com o uso de sistemas computacionais. São Paulo: PINI, 2007.
MITTELBACH, F.R . Projeto Final de Graduação. Rio de Janeiro/RJ,
Departamento Engenharia Civil, Escola Politécnica da UFRJ: agosto/2000, 64p.
82
PINHEIRO, L.M. ; BARALDI, L.T. ; POREM, M.E. Concreto Armado:
Ábacos para flexão oblíqua. São Carlos, Departamento de Engenharia de Estruturas, Escola
de Engenharia de São Carlos – USP, 1994.
PINHEIRO, L.M. Fundamentos do Concreto e Projeto de Edifícios. São
Carlos, UFSCAR, 2010.
VENTURINI, W.S. Dimensionamento de peças retangulares de concreto
armado solicitadas à flexão reta. São Carlos, Departamento de Engenharia de Estruturas,
Escola de Engenharia de São Carlos – USP, 1987.
83
APÊNDICE A – INTEGRAÇÃO NÚMERICA
Pela aplicação do Teorema de Green, pode-se transformar uma integral de domínio em
uma integral de contorno. Sendo o termo polinomial genérico, tem-se:
∫ξk. 𝜂𝑚. 𝑑Ω
Ω
= ∮(ξk+1. 𝜂𝑚)
𝑘 + 1. 𝑑𝜂 = ∑𝐺𝑘𝑚𝑖
𝑁𝑆
𝑖=1
𝐶
Esta integral pode ser discretizada pelos NS segmentos que forma a poligonal de
contorno, de forma que:
𝐺𝑘𝑚𝑖=
1
𝑘 + 1 . ∫ ξk+1. 𝜂𝑚. 𝑑η
𝜂𝑖+1
ηi
Sendo 𝐺𝑘𝑚𝑖 a parcela da integração sobre o segmento i, definido e orientado do vértice
i ao i+1.
Considerando a parametrização das coordenadas (ξ, η ) sobre este segmento i, definido
por:
𝜂 = 𝜂𝑖 + 𝑡
ξ = ξi +ΔξiΔ𝜂𝑖
. 𝑡
Onde:
0 ≤ 𝑡 ≤ Δ𝜂𝑖
Δξi = ξi+1 − ξi
Δηi = ηi+1 − ηi
Com isso o termo 𝐺𝑘𝑚𝑖 pode ser escrito como:
𝐺𝑘𝑚𝑖=
1
𝑘 + 1 . ∫ [(ξi +
ΔξiΔ𝜂𝑖
. 𝑡)𝑘+1
× (𝜂𝑖 + 𝑡)𝑚] . 𝑑t
Δ𝜂𝑖
0
84
A seguir, apresentamos os polinômios equivalentes à integração dos termos ξk ηm sobre
Ω, para diversos valores de k e m:
𝐺00 = (𝜉𝑖 +Δ𝜉𝑖
2)Δ𝜂𝑖
𝐺01 = (𝜉𝑖 (𝜂𝑖 +Δ𝜂𝑖
2) + Δ𝜉𝑖 (
𝜂𝑖
2+
Δ𝜂𝑖
3))Δ𝜂𝑖
𝐺02 = (𝜉𝑖 (𝜂𝑖2 + 𝜂𝑖Δ𝜂𝑖 +
Δ𝜂𝑖2
3) + Δ𝜉𝑖 (
𝜂𝑖2
2+
2𝜂𝑖Δ𝜂𝑖
3+
Δ𝜂𝑖2
3))Δ𝜂𝑖
𝐺03 = (𝜉𝑖 (𝜂𝑖3 +
3𝜂𝑖2Δ𝜂𝑖
2+ 𝜂𝑖Δ𝜂𝑖
2 +Δ𝜂𝑖
3
4) + Δ𝜉𝑖 (
𝜂𝑖3
2+
3𝜂𝑖Δ𝜂𝑖2
4+
Δ𝜂𝑖3
5))Δ𝜂𝑖
𝐺10 = (𝜉𝑖(𝜉𝑖 + Δ𝜉𝑖) +Δ𝜉𝑖
2
3) .
Δ𝜂𝑖
2
𝐺11 = (𝜉𝑖2 (𝜂𝑖 +
Δ𝜂𝑖
2) + 𝜉𝑖Δ𝜉𝑖 (𝜂𝑖 +
2Δ𝜂𝑖
3) + Δ𝜉𝑖
2 (𝜂𝑖
3+
Δ𝜂𝑖
4)) .
Δ𝜂𝑖
2
𝐺12 = (𝜉𝑖2 (𝜂𝑖
2 + 𝜂𝑖Δ𝜂𝑖 +Δ𝜂𝑖
2
3) + 𝜉𝑖Δ𝜉𝑖 (𝜂𝑖
2 +4ηiΔ𝜂𝑖
3+
Δ𝜂𝑖2
2) + Δ𝜉𝑖
2 (𝜂𝑖
2
3+
ηiΔ𝜂𝑖
2+
Δ𝜂𝑖
5)) .
Δ𝜂𝑖
2
𝐺20 = (𝜉𝑖3 +
3𝜉𝑖2Δ𝜉𝑖
2+ 3𝜉𝑖Δ𝜉𝑖
2 +Δ𝜉𝑖
3
4) .
Δ𝜂𝑖
3
𝐺21 = (𝜂𝑖 (𝜉𝑖3 +
3𝜉𝑖2Δ𝜉𝑖
2+ 𝜉𝑖Δ𝜉𝑖
2 +Δ𝜉𝑖
3
4) + Δ𝜂𝑖 (
𝜉𝑖3
2+ 𝜉𝑖
2Δ𝜉𝑖 +3𝜉𝑖Δ𝜉𝑖
2
4+
Δ𝜉𝑖3
5)) .
Δ𝜂𝑖
3
85
APÊNDICE B – RELATÓRIOS DE CÁLCULO DO CYPECAD
1.- PISO 1 (0 - 3 M)
Dados do pilarGeometria
Seção : Pilar LTramo : 0.000/3.000 mAltura livre : 3.00 mTamanho máximo agregado : 15 mm
Materiais Comprimento de flambagemConcreto : C25, em geralAço das barras : CA-50 e CA-60
Plano ZX : 3.00 mPlano ZY : 3.00 m
LongitudinalTaxa : 1.23 %Armadura longitudinal : Cantos: 8Ø12.5 + Faces: 7Ø12.5 + Face: 1Ø12.5
Armadura mínima e máxima (ABNT NBR 6118:2014, Artigo 17.3.5.3)
A área total de armadura longitudinal As não deverá ser inferior a As,min
(Artigo 17.3.5.3.1):
19.63 cm² ≥ 6.40 cm²
Onde:As: Área da armadura longitudinal. As : 19.63 cm²
As,min : 6.40 cm²
Sendo:Ac: Área total da seção de concreto. Ac : 1600.00 cm²
A área da armadura longitudinal As não deverá ser superior a As,max
(Artigo 17.3.5.3.2):
19.63 cm² ≤ 64.00 cm²
Onde:As: Área da armadura longitudinal. As : 19.63 cm²
As,max : 64.00 cm²
Sendo:Ac: Área total da seção de concreto. Ac : 1600.00 cm²
A área total de armadura longitudinal As não deverá ser inferior a As,min
(Artigo 17.3.5.3.1):
19.63 cm² ≥ 3.44 cm²
Onde:As: Área total de armadura comprimida. As : 19.63 cm²
As,min : 3.44 cm²
Sendo:Nd: Esforço axial de compressão de cálculo. Nd : 996.48 kNfyd: Resistência ao escoamento do aço da armaduralongitudinal. fyd : 434.78 MPa
Verificações do pilar P5
Página 1 - 7
Estado limite de ruptura frente a solicitações normais (ABNT NBR 6118:2014, Artigos 11.3.3.4.3,15.8 e 17)
Os esforços de cálculo desfavoráveis são obtidos em 'Ext.Superior', para a combinaçãode hipóteses "1.4·PP+1.4·CP".Deve satisfazer:
η : 0.997
(109.2;95.2;980)
(109.51;95.47;982.75)
Myy
(kN
·m)
Mxx (kN·m)
N (kN)
Volume de capacidade
(109.2;95.2;980)
(109.51;95.47;982.75)
(-3.6;-7.87;-853.57)
(3.6;7.87;3282.18)
M (kN·m)
N (kN)
Vista N, M
(109.2;95.2;980)
(109.51;95.47;982.75)
(56.98;-284.07;1402.3)
(-56.51;277.03;650.34)
(-169.82;114.41;1402.3)
(153.43;-105.32;650.34)
Myy (kN·m)
Mxx
(kN
·m)
N (kN)
Vista Mx, My
Verificação de resistência da seção (η1)N1d,M1d são os esforços de cálculo de primeira ordem, incluindo, no seucaso, a excentricidade mínima segundo 11.3.3.4.3:
N1d: Esforço normal de cálculo. N1d : 980.00 kNM1d: Momento de cálculo de primeira ordem. M1d,x : 95.20 kN·m
M1d,y : 109.20 kN·mNRd,MRd são os esforços resistentes da seção com as mesmasexcentricidades que os esforços atuantes de cálculo, desfavoráveis.
NRd: Esforço normal resistente. NRd : 982.75 kNMRd: Momento resistente MRd,x : 95.47 kN·m
MRd,y : 109.51 kN·m
Onde:
Sendo:ee: Excentricidade de primeira ordem. Calcula-se levandoem conta a excentricidade mínima ea segundo o ponto11.3.3.4.3.
ee,x : 111.43 mm
ee,y : 97.14 mmNeste caso, as excentricidades e0,x e e0,y sãosuperiores à mínima.
Onde:No eixo x:
ea : 33.00 mm
Verificações do pilar P5
Página 2 - 7
Sendo:h: Altura da seção no plano de flexãoconsiderado. h : 600.00 mm
e1 : 97.14 mm
Onde:Md: Momento de cálculo de primeiraordem. Md : 95.20 kN·mNd: Esforço normal de cálculo. Nd : 980.00 kN
No eixo y:
ea : 27.00 mm
Sendo:h: Altura da seção no plano de flexãoconsiderado. h : 400.00 mm
e1 : 111.43 mm
Onde:Md: Momento de cálculo de primeiraordem. Md : 109.20 kN·mNd: Esforço normal de cálculo. Nd : 980.00 kN
Verificação do estado limite de instabilidadeNo eixo x:Os efeitos de segunda ordem podem ser desprezados, já que a esbeltezmecânica do pilar λ é menor que a esbeltez limite inferior λ1 indicada em15.8.2.
λ : 20.50
Onde:
le : 3.600 m
Sendo:l0: Comprimento de flambagem. l0 : 3.000 mh: Altura da seção no plano de flexão considerado. h : 600.00 mml: Distância entre as faces internas dos elementosestruturais que vinculam o pilar. l : 3.000 m
Ac: Área total da seção de concreto. Ac : 1600.00 cm²Ic: Inércia. Ic : 493333.33 cm4
λ1 : 35.00Onde:
e1: Excentricidade relativa de primeira ordem. e1 : 97.14 mm
No eixo y:Os efeitos de segunda ordem podem ser desprezados, já que a esbeltezmecânica do pilar λ é menor que a esbeltez limite inferior λ1 indicada em15.8.2.
λ : 32.67
Onde:
le : 3.400 m
Sendo:
Verificações do pilar P5
Página 3 - 7
l0: Comprimento de flambagem. l0 : 3.000 mh: Altura da seção no plano de flexão considerado. h : 400.00 mml: Distância entre as faces internas dos elementosestruturais que vinculam o pilar. l : 3.000 m
Ac: Área total da seção de concreto. Ac : 1600.00 cm²Ic: Inércia. Ic : 173333.33 cm4
λ1 : 35.00Onde:
e1: Excentricidade relativa de primeira ordem. e1 : 111.43 mm
Cálculo da capacidade resistenteO cálculo da capacidade resistente última das seções é efetuado a partir dashipóteses gerais seguintes (Artigo 17):
(a) A ruptura caracteriza-se pelo valor da deformação emdeterminadas fibras da seção, definidas pelos domínios dedeformação de ruptura.
(b) As seções transversais se mantêm planas após deformação.
(c) A deformação εs das barras passivas aderentes deve ser o mesmodo concreto em seu entorno.
(d) A distribução de tensões no concreto se faz de acordó com odiagrama parábola-retângulo, definido em 8.2.10.O diagrama de cálculo tensão-deformação do concreto é do tipoparábola retângulo. Não se considera a resistência do concreto àtração.
εcu: Deformação de ruptura do concreto em flexão. εcu : 0.0035εc0: Deformação de ruptura do concreto em compressão simples. εc0 : 0.0020fcd: Resistência de cálculo à compressão do concreto. fcd : 15.18 MPa
Sendo:fck: Resistência característica à compressão do concreto. fck : 25.00 MPaγc: Coeficiente parcial de segurança para o concreto. γc : 1.4
(e) A tensão nas armaduras deve ser obtida a partir dos diagramastensão-deformação, com valores de cálculo, definidos em 8.3.6.
Verificações do pilar P5
Página 4 - 7
εuk: Deformação de ruptura do concreto em flexão. εuk : 0.0200fyd: Resistência ao escoamento do aço. fyd : 434.78 MPa
Sendo:fyk: Resistência característica do aço. fyk : 500.00 MPaγs: Coeficiente parcial de segurança para o aço. γs : 1.15
(f) Aplicam-se às resultantes de tensões na seção as equações gerais deequilíbrio de forças e de momentos.
Equilíbrio da seção para os esforços de ruptura, calculados com as mesmas excentricidades queos esforços de cálculo desfavoráveis:
CcCs
T
1
2
3
4
5
6
7
8
910
11
1213
14
15
16
εmáx = 3.48 ‰
εmín = -4.19 ‰
σmáx = 15.18 MPaε = 3.5 ‰
ε = 2.0 ‰
ε = 0.0 ‰x =
202.
86 m
m
Barra Designação Coord. X(mm)
Coord. Y(mm)
σs
(MPa) ε
1 Ø12.5 -113.75 -213.75 -434.78 -0.0033622 Ø12.5 13.75 -213.75 -293.17 -0.0013963 Ø12.5 213.75 -213.75 +354.45 +0.0016884 Ø12.5 213.75 -86.25 +434.78 +0.0026505 Ø12.5 13.75 -86.25 -91.12 -0.0004346 Ø12.5 13.75 313.75 +434.78 +0.0025857 Ø12.5 -113.75 313.75 +129.91 +0.0006198 Ø12.5 -113.75 -86.25 -434.78 -0.0024009 Ø12.5 -113.75 220.00 -18.66 -0.00008910 Ø12.5 -113.75 120.00 -177.13 -0.000843
Verificações do pilar P5
Página 5 - 7
Barra Designação Coord. X(mm)
Coord. Y(mm)
σs
(MPa) ε
11 Ø12.5 -113.75 20.00 -335.60 -0.00159812 Ø12.5 13.75 20.00 +77.26 +0.00036813 Ø12.5 13.75 120.00 +235.73 +0.00112314 Ø12.5 13.75 220.00 +394.20 +0.00187715 Ø12.5 120.00 -86.25 +252.93 +0.00120416 Ø12.5 120.00 -213.75 +50.87 +0.000242
Resultante(kN)
e.x(mm)
e.y(mm)
Cc 911.62 71.65 62.10Cs 290.17 87.14 62.49T 219.05 -86.30 -94.60
NRd : 982.75 kN
MRd,x : 95.47 kN·m
MRd,y : 109.51 kN·m
Onde:Cc: Resultante de compressões no concreto. Cc : 911.62 kNCs: Resultante de compressões no aço. Cs : 290.17 kNT: Resultante de tração no aço. T : 219.05 kNecc: Excentricidade da resultante de compressão no concreto na direção doseixos X e Y.
ecc,x : 71.65 mm ecc,y : 62.10 mm
ecs: Excentricidade da resultante de compressão no aço na direção dos eixosX e Y.
ecs,x : 87.14 mm ecs,y : 62.49 mm
eT: Excentricidade da resultante de tração no aço na direção dos eixos X e Y. eT,x : -86.30 mm eT,y : -94.60 mm
εcmax: Deformação na fibra de concreto mais comprimida. εcmax : 0.0035εsmax: Deformação da barra de aço mais tracionada. εsmax : 0.0034σcmax: Tensão na fibra de concreto mais comprimida. σcmax : 15.18 MPaσsmax: Tensão da barra de aço mais tracionada. σsmax : 434.78 MPa
Equilíbrio da seção para os esforços atuantes de cálculo, desfavoráveis:
CcCs
T
1
2
3
4
5
6
7
8
910
11
1213
14
15
16
εmáx = 3.45 ‰
εmín = -4.15 ‰
σmáx = 15.18 MPaε = 3.5 ‰
ε = 2.0 ‰
ε = 0.0 ‰x =
202.
98 m
m
Verificações do pilar P5
Página 6 - 7
Barra Designação Coord. X(mm)
Coord. Y(mm)
σs
(MPa) ε
1 Ø12.5 -113.75 -213.75 -434.78 -0.0033252 Ø12.5 13.75 -213.75 -289.66 -0.0013793 Ø12.5 213.75 -213.75 +351.14 +0.0016724 Ø12.5 213.75 -86.25 +434.78 +0.0026245 Ø12.5 13.75 -86.25 -89.75 -0.0004276 Ø12.5 13.75 313.75 +434.78 +0.0025597 Ø12.5 -113.75 313.75 +128.90 +0.0006148 Ø12.5 -113.75 -86.25 -434.78 -0.0023739 Ø12.5 -113.75 220.00 -18.09 -0.00008610 Ø12.5 -113.75 120.00 -174.88 -0.00083311 Ø12.5 -113.75 20.00 -331.67 -0.00157912 Ø12.5 13.75 20.00 +76.84 +0.00036613 Ø12.5 13.75 120.00 +233.63 +0.00111314 Ø12.5 13.75 220.00 +390.43 +0.00185915 Ø12.5 120.00 -86.25 +250.68 +0.00119416 Ø12.5 120.00 -213.75 +50.76 +0.000242
Resultante(kN)
e.x(mm)
e.y(mm)
Cc 909.04 71.74 62.10Cs 288.58 87.21 62.63T 217.62 -86.48 -95.00
N1d : 980.00 kN
M1d,x : 95.20 kN·m
M1d,y : 109.20 kN·m
Onde:Cc: Resultante de compressões no concreto. Cc : 909.04 kNCs: Resultante de compressões no aço. Cs : 288.58 kNT: Resultante de tração no aço. T : 217.62 kNecc: Excentricidade da resultante de compressão no concreto na direção doseixos X e Y.
ecc,x : 71.74 mm ecc,y : 62.10 mm
ecs: Excentricidade da resultante de compressão no aço na direção dos eixosX e Y.
ecs,x : 87.21 mm ecs,y : 62.63 mm
eT: Excentricidade da resultante de tração no aço na direção dos eixos X e Y. eT,x : -86.48 mm eT,y : -95.00 mm
εcmax: Deformação na fibra de concreto mais comprimida. εcmax : 0.0034εsmax: Deformação da barra de aço mais tracionada. εsmax : 0.0033σcmax: Tensão na fibra de concreto mais comprimida. σcmax : 15.18 MPaσsmax: Tensão da barra de aço mais tracionada. σsmax : 434.78 MPa
Verificações do pilar P5
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1.- PISO 1 (0 - 3 M)
Dados do pilarGeometria
Seção : U MenorTramo : 0.000/3.000 mAltura livre : 3.00 mTamanho máximo agregado : 15 mm
Materiais Comprimento de flambagemConcreto : C25, em geralAço das barras : CA-50 e CA-60
Plano ZX : 3.00 mPlano ZY : 3.00 m
LongitudinalTaxa : 3.14 %Armadura longitudinal : Canto: 12Ø10 + Face: 24Ø10
Armadura mínima e máxima (ABNT NBR 6118:2014, Artigo 17.3.5.3)
A área total de armadura longitudinal As não deverá ser inferior a As,min
(Artigo 17.3.5.3.1):
28.26 cm² ≥ 3.60 cm²
Onde:As: Área da armadura longitudinal. As : 28.26 cm²
As,min : 3.60 cm²
Sendo:Ac: Área total da seção de concreto. Ac : 900.00 cm²
A área da armadura longitudinal As não deverá ser superior a As,max
(Artigo 17.3.5.3.2):
28.26 cm² ≤ 36.00 cm²
Onde:As: Área da armadura longitudinal. As : 28.26 cm²
As,max : 36.00 cm²
Sendo:Ac: Área total da seção de concreto. Ac : 900.00 cm²
A área total de armadura longitudinal As não deverá ser inferior a As,min
(Artigo 17.3.5.3.1):
28.26 cm² ≥ 2.93 cm²
Onde:As: Área total de armadura comprimida. As : 28.26 cm²
As,min : 2.93 cm²
Sendo:Nd: Esforço axial de compressão de cálculo. Nd : 849.27 kNfyd: Resistência ao escoamento do aço da armaduralongitudinal. fyd : 434.78 MPa
Verificações do pilar P6
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Estado limite de ruptura frente a solicitações normais (ABNT NBR 6118:2014, Artigos 11.3.3.4.3,15.8 e 17)
Os esforços de cálculo desfavoráveis são obtidos em 'Ext.Inferior', para a combinaçãode hipóteses "1.4·PP+1.4·CP".Deve satisfazer:
η : 0.884
η : 0.997
(70;93.39;849.27)
(70.21;93.67;851.87)
Myy (k
N·m)
Mxx (kN·m)
N (kN)
Volume de capacidade
(70;93.39;849.27)
(70.21;93.67;851.87)
(0;-12.97;-1228.7)
(0;12.97;2594.79)
M (kN·m)
N (kN)
Vista N, M
(70;93.39;849.27)
(70.21;93.67;851.87)
(0;-129.03;856.84)
(0;119.88;161.66)
(-294.85;-1.18;509.25)
(294.85;-1.18;509.25)
Myy (kN·m)
Mxx
(kN
·m)
N (kN)
Vista Mx, My
Verificação de resistência da seção (η1)N1d,M1d são os esforços de cálculo de primeira ordem, incluindo, no seucaso, a excentricidade mínima segundo 11.3.3.4.3:
N1d: Esforço normal de cálculo. N1d : 849.27 kNM1d: Momento de cálculo de primeira ordem. M1d,x : 78.40 kN·m
M1d,y : 70.00 kN·mNRd,MRd são os esforços resistentes da seção com as mesmasexcentricidades que os esforços atuantes de cálculo, desfavoráveis.
NRd: Esforço normal resistente. NRd : 960.32 kNMRd: Momento resistente MRd,x : 88.65 kN·m
MRd,y : 79.15 kN·m
Onde:
Sendo:ee: Excentricidade de primeira ordem. Calcula-se levandoem conta a excentricidade mínima ea segundo o ponto11.3.3.4.3.
ee,x : 82.42 mm
ee,y : 92.31 mmNeste caso, as excentricidades e0,x e e0,y sãosuperiores à mínima.
Verificações do pilar P6
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Onde:No eixo x:
ea : 24.00 mm
Sendo:h: Altura da seção no plano de flexãoconsiderado. h : 300.00 mm
e1 : 92.31 mm
Onde:Md: Momento de cálculo de primeiraordem. Md : 78.40 kN·mNd: Esforço normal de cálculo. Nd : 849.27 kN
No eixo y:
ea : 30.00 mm
Sendo:h: Altura da seção no plano de flexãoconsiderado. h : 500.00 mm
e1 : 82.42 mm
Onde:Md: Momento de cálculo de primeiraordem. Md : 70.00 kN·mNd: Esforço normal de cálculo. Nd : 849.27 kN
Verificação do estado limite de instabilidade (η2)NSd,MSd esforços atuantes de cálculo desfavoráveis, obtidos a partir dosesforços de primeira ordem incrementados para levar em conta osefeitos de segunda ordem, em função da esbeltez.
NSd: Esforço axial atuante de cálculo desfavorável. NSd : 849.27 kNMSd: Momento fletor solicitante de cálculo, desfavorável. MSd,x : 93.39 kN·m
MSd,y : 70.00 kN·mNRd,MRd são os esforços resistentes da seção com as mesmasexcentricidades que os esforços atuantes de cálculo, desfavoráveis.
NRd: Esforço normal resistente. NRd : 851.87 kNMRd: Momento resistente MRd,x : 93.67 kN·m
MRd,y : 70.21 kN·mNo eixo x:Os efeitos de segunda ordem não podem ser desprezados, já que aesbeltez mecânica do pilar λ é maior que a esbeltez limite inferior λ1
indicada em 15.8.2.
λ : 38.11
Onde:
le : 3.300 m
Sendo:l0: Comprimento de flambagem. l0 : 3.000 mh: Altura da seção no plano de flexão considerado. h : 300.00 mml: Distância entre as faces internas dos elementosestruturais que vinculam o pilar. l : 3.000 m
Ac: Área total da seção de concreto. Ac : 900.00 cm²
Verificações do pilar P6
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Ic: Inércia. Ic : 67500.00 cm4
λ1 : 35.00Onde:
e1: Excentricidade relativa de primeira ordem. e1 : 92.31 mm
A verificação do estado limite de instabilidade realiza-se segundo oscritérios do artigo 15.8.3.3.2, somando à excentricidade de primeiraordem uma excentricidade fictícia, que representa os efeitos de segundaordem, como se detalha em seguida:
NSd : 849.27 kN
MSd : 93.39 kN·m
Onde:
etot : 109.96 mm
Sendo:ee: Excentricidade de primeira ordem. Calcula-se levando emconta a excentricidade mínima ea segundo o ponto 15.8.2. ee : 92.31 mme2: Excentricidade para levar em conta os efeitos de segundaordem (Artigo 15.8.3.3.2). e2 : 17.65 mm
Onde:
le : 3.300 m
Sendo:l0: Comprimento de flambagem. l0 : 3.000 mh: Altura da seção no plano de flexãoconsiderado. h : 300.00 mml: Distância entre as faces internas doselementos estruturais que vinculam o pilar. l : 3.000 m
1/r : 0.016 m
Sendo:
ν : 0.53
Onde:Ac: Área total da seção de concreto. Ac : 900.00 cm²fcd: Resistência de cálculo à compressão doconcreto. fcd : 17.86 MPa
No eixo y:Os efeitos de segunda ordem podem ser desprezados, já que a esbeltezmecânica do pilar λ é menor que a esbeltez limite inferior λ1 indicada em15.8.2.
λ : 20.30
Onde:
le : 3.500 m
Sendo:l0: Comprimento de flambagem. l0 : 3.000 mh: Altura da seção no plano de flexão considerado. h : 500.00 mm
Verificações do pilar P6
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l: Distância entre as faces internas dos elementosestruturais que vinculam o pilar. l : 3.000 m
Ac: Área total da seção de concreto. Ac : 900.00 cm²Ic: Inércia. Ic : 267500.00 cm4
λ1 : 35.00Onde:
e1: Excentricidade relativa de primeira ordem. e1 : 82.42 mm
Cálculo da capacidade resistenteO cálculo da capacidade resistente última das seções é efetuado a partir dashipóteses gerais seguintes (Artigo 17):
(a) A ruptura caracteriza-se pelo valor da deformação emdeterminadas fibras da seção, definidas pelos domínios dedeformação de ruptura.
(b) As seções transversais se mantêm planas após deformação.
(c) A deformação εs das barras passivas aderentes deve ser o mesmodo concreto em seu entorno.
(d) A distribução de tensões no concreto se faz de acordó com odiagrama parábola-retângulo, definido em 8.2.10.O diagrama de cálculo tensão-deformação do concreto é do tipoparábola retângulo. Não se considera a resistência do concreto àtração.
εcu: Deformação de ruptura do concreto em flexão. εcu : 0.0035εc0: Deformação de ruptura do concreto em compressão simples. εc0 : 0.0020fcd: Resistência de cálculo à compressão do concreto. fcd : 15.18 MPa
Sendo:fck: Resistência característica à compressão do concreto. fck : 25.00 MPaγc: Coeficiente parcial de segurança para o concreto. γc : 1.4
(e) A tensão nas armaduras deve ser obtida a partir dos diagramastensão-deformação, com valores de cálculo, definidos em 8.3.6.
Verificações do pilar P6
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εuk: Deformação de ruptura do concreto em flexão. εuk : 0.0200fyd: Resistência ao escoamento do aço. fyd : 434.78 MPa
Sendo:fyk: Resistência característica do aço. fyk : 500.00 MPaγs: Coeficiente parcial de segurança para o aço. γs : 1.15
(f) Aplicam-se às resultantes de tensões na seção as equações gerais deequilíbrio de forças e de momentos.
Equilíbrio da seção para os esforços de ruptura, calculados com as mesmas excentricidades queos esforços de cálculo desfavoráveis:
CcCs
T
1
2
3
45
67
8
9
1011
12
1314
1516
17181920
2122
2324
25262728
29 30 31 32
33343536
εmáx = 3.48 ‰
εmín = -1.68 ‰
σmáx = 15.18 MPaε = 3.5 ‰
ε = 2.0 ‰
ε = 0.0 ‰
x =
266.
10 m
m
Barra Designação Coord. X(mm)
Coord. Y(mm)
σs
(MPa) ε
1 Ø10 -215.00 -81.67 -239.18 -0.0011392 Ø10 -185.00 -81.67 -222.59 -0.0010603 Ø10 185.00 -81.67 -18.04 -0.0000864 Ø10 215.00 -81.67 -1.45 -0.0000075 Ø10 215.00 -51.67 +79.32 +0.0003786 Ø10 215.00 148.33 +434.78 +0.0029427 Ø10 185.00 148.33 +434.78 +0.0028638 Ø10 185.00 -51.67 +62.73 +0.0002999 Ø10 -185.00 -51.67 -141.83 -0.00067510 Ø10 -185.00 148.33 +396.61 +0.001889
Verificações do pilar P6
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Barra Designação Coord. X(mm)
Coord. Y(mm)
σs
(MPa) ε
11 Ø10 -215.00 148.33 +380.02 +0.00181012 Ø10 -215.00 -51.67 -158.41 -0.00075413 Ø10 215.00 -6.67 +200.46 +0.00095514 Ø10 215.00 33.33 +308.15 +0.00146715 Ø10 215.00 73.33 +415.84 +0.00198016 Ø10 215.00 113.33 +434.78 +0.00249317 Ø10 185.00 113.33 +434.78 +0.00241418 Ø10 185.00 73.33 +399.25 +0.00190119 Ø10 185.00 33.33 +291.56 +0.00138820 Ø10 185.00 -6.67 +183.88 +0.00087621 Ø10 -185.00 -6.67 -20.68 -0.00009822 Ø10 -185.00 33.33 +87.01 +0.00041423 Ø10 -185.00 73.33 +194.69 +0.00092724 Ø10 -185.00 113.33 +302.38 +0.00144025 Ø10 -215.00 113.33 +285.80 +0.00136126 Ø10 -215.00 73.33 +178.11 +0.00084827 Ø10 -215.00 33.33 +70.42 +0.00033528 Ø10 -215.00 -6.67 -37.26 -0.00017729 Ø10 -108.00 -81.67 -180.02 -0.00085730 Ø10 -36.00 -81.67 -140.22 -0.00066831 Ø10 36.00 -81.67 -100.41 -0.00047832 Ø10 108.00 -81.67 -60.61 -0.00028933 Ø10 108.00 -51.67 +20.16 +0.00009634 Ø10 36.00 -51.67 -19.65 -0.00009435 Ø10 -36.00 -51.67 -59.45 -0.00028336 Ø10 -108.00 -51.67 -99.26 -0.000473
Resultante(kN)
e.x(mm)
e.y(mm)
Cc 530.30 51.17 85.68Cs 439.25 64.56 91.29T 117.68 -125.13 -69.19
NRd : 851.87 kN
MRd,x : 93.67 kN·m
MRd,y : 70.21 kN·m
Onde:Cc: Resultante de compressões no concreto. Cc : 530.30 kNCs: Resultante de compressões no aço. Cs : 439.25 kNT: Resultante de tração no aço. T : 117.68 kNecc: Excentricidade da resultante de compressão no concreto na direção doseixos X e Y.
ecc,x : 51.17 mm ecc,y : 85.68 mm
ecs: Excentricidade da resultante de compressão no aço na direção dos eixosX e Y.
ecs,x : 64.56 mm ecs,y : 91.29 mm
eT: Excentricidade da resultante de tração no aço na direção dos eixos X eY.
eT,x : -125.13 mm eT,y : -69.19 mm
εcmax: Deformação na fibra de concreto mais comprimida. εcmax : 0.0035εsmax: Deformação da barra de aço mais tracionada. εsmax : 0.0011
Verificações do pilar P6
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σcmax: Tensão na fibra de concreto mais comprimida. σcmax : 15.18 MPaσsmax: Tensão da barra de aço mais tracionada. σsmax : 239.18 MPa
Equilíbrio da seção para os esforços atuantes de cálculo, desfavoráveis:
CcCs
T
1
2
3
45
67
8
9
1011
12
1314
1516
17181920
2122
2324
25262728
29 30 31 32
33343536
εmáx = 3.45 ‰
εmín = -1.67 ‰
σmáx = 15.18 MPaε = 3.5 ‰
ε = 2.0 ‰
ε = 0.0 ‰
x =
266.
08 m
m
Barra Designação Coord. X(mm)
Coord. Y(mm)
σs
(MPa) ε
1 Ø10 -215.00 -81.67 -237.04 -0.0011292 Ø10 -185.00 -81.67 -220.61 -0.0010513 Ø10 185.00 -81.67 -17.91 -0.0000854 Ø10 215.00 -81.67 -1.48 -0.0000075 Ø10 215.00 -51.67 +78.63 +0.0003746 Ø10 215.00 148.33 +434.78 +0.0029187 Ø10 185.00 148.33 +434.78 +0.0028398 Ø10 185.00 -51.67 +62.20 +0.0002969 Ø10 -185.00 -51.67 -140.50 -0.00066910 Ø10 -185.00 148.33 +393.57 +0.00187411 Ø10 -215.00 148.33 +377.14 +0.00179612 Ø10 -215.00 -51.67 -156.93 -0.00074713 Ø10 215.00 -6.67 +198.80 +0.00094714 Ø10 215.00 33.33 +305.61 +0.00145515 Ø10 215.00 73.33 +412.42 +0.00196416 Ø10 215.00 113.33 +434.78 +0.00247317 Ø10 185.00 113.33 +434.78 +0.00239418 Ø10 185.00 73.33 +395.99 +0.00188619 Ø10 185.00 33.33 +289.18 +0.00137720 Ø10 185.00 -6.67 +182.36 +0.00086821 Ø10 -185.00 -6.67 -20.33 -0.00009722 Ø10 -185.00 33.33 +86.48 +0.00041223 Ø10 -185.00 73.33 +193.30 +0.00092024 Ø10 -185.00 113.33 +300.11 +0.00142925 Ø10 -215.00 113.33 +283.67 +0.00135126 Ø10 -215.00 73.33 +176.86 +0.00084227 Ø10 -215.00 33.33 +70.05 +0.00033428 Ø10 -215.00 -6.67 -36.77 -0.00017529 Ø10 -108.00 -81.67 -178.42 -0.000850
Verificações do pilar P6
Página 8 - 9
Barra Designação Coord. X(mm)
Coord. Y(mm)
σs
(MPa) ε
30 Ø10 -36.00 -81.67 -138.98 -0.00066231 Ø10 36.00 -81.67 -99.54 -0.00047432 Ø10 108.00 -81.67 -60.10 -0.00028633 Ø10 108.00 -51.67 +20.01 +0.00009534 Ø10 36.00 -51.67 -19.43 -0.00009335 Ø10 -36.00 -51.67 -58.87 -0.00028036 Ø10 -108.00 -51.67 -98.31 -0.000468
Resultante(kN)
e.x(mm)
e.y(mm)
Cc 528.97 51.23 85.81Cs 436.89 64.82 91.39T 116.59 -125.09 -69.21
NSd : 849.27 kN
MSd,x : 93.39 kN·m
MSd,y : 70.00 kN·m
Onde:Cc: Resultante de compressões no concreto. Cc : 528.97 kNCs: Resultante de compressões no aço. Cs : 436.89 kNT: Resultante de tração no aço. T : 116.59 kNecc: Excentricidade da resultante de compressão no concreto na direção doseixos X e Y.
ecc,x : 51.23 mm ecc,y : 85.81 mm
ecs: Excentricidade da resultante de compressão no aço na direção dos eixosX e Y.
ecs,x : 64.82 mm ecs,y : 91.39 mm
eT: Excentricidade da resultante de tração no aço na direção dos eixos X eY.
eT,x : -125.09 mm eT,y : -69.21 mm
εcmax: Deformação na fibra de concreto mais comprimida. εcmax : 0.0035εsmax: Deformação da barra de aço mais tracionada. εsmax : 0.0011σcmax: Tensão na fibra de concreto mais comprimida. σcmax : 15.18 MPaσsmax: Tensão da barra de aço mais tracionada. σsmax : 237.04 MPa
Verificações do pilar P6
Página 9 - 9
1.- PISO 1 (0 - 3 M)
Dados do pilarGeometria
Seção : Retangular VazadaTramo : 0.000/3.000 mAltura livre : 3.00 mTamanho máximo agregado : 15 mm
Materiais Comprimento de flambagemConcreto : C25, em geralAço das barras : CA-50 e CA-60
Plano ZX : 3.00 mPlano ZY : 3.00 m
LongitudinalTaxa : 2.81 %Armadura longitudinal : Canto: 4Ø25 + Face: 28Ø25
Armadura mínima e máxima (ABNT NBR 6118:2014, Artigo 17.3.5.3)
A área total de armadura longitudinal As não deverá ser inferior a As,min (Artigo 17.3.5.3.1):
157.09 cm² ≥ 22.40 cm²
Onde:As: Área da armadura longitudinal. As : 157.09 cm²
As,min : 22.40 cm²
Sendo:Ac: Área total da seção de concreto. Ac : 5600.00 cm²
A área da armadura longitudinal As não deverá ser superior a As,max
(Artigo 17.3.5.3.2):
157.09 cm² ≤ 224.00 cm²
Onde:As: Área da armadura longitudinal. As : 157.09 cm²
As,max : 224.00 cm²
Sendo:Ac: Área total da seção de concreto. Ac : 5600.00 cm²
A área total de armadura longitudinal As não deverá ser inferior a As,min (Artigo 17.3.5.3.1):
157.09 cm² ≥ 17.10 cm²
Onde:As: Área total de armadura comprimida. As : 157.09 cm²
As,min : 17.10 cm²
Sendo:Nd: Esforço axial de compressão de cálculo. Nd : 4957.68 kNfyd: Resistência ao escoamento do aço da armaduralongitudinal. fyd : 434.78 MPa
Verificações do pilar P7
Página 1 - 6
Estado limite de ruptura frente a solicitações normais (ABNT NBR 6118:2014, Artigos 11.3.3.4.3,15.8 e 17)
Os esforços de cálculo desfavoráveis são obtidos em 'Ext.Inferior', para a combinaçãode hipóteses "1.4·PP+1.4·CP".Deve satisfazer:
η : 0.999
(2100;1400;4957.68)
(2101.77;1401.19;4961.85)
Myy
(kN
·m)
Mxx (kN·m)
N (kN)
Volume de capacidade
(2100;1400;4957.68)
(2101.77;1401.19;4961.85)
(0;0;-6829.92)
(0;0;15330.1)
M (kN·m)
N (kN)
Vista N, M
(2100;1400;4957.68)
(2101.77;1401.19;4961.85)
(0;-3348.62;3242.81)
(0;3348.62;3242.81)
(-2848.73;0;3242.81)
(2848.73;0;3242.81)
Myy (kN·m)
Mxx
(kN
·m)
N (kN)
Vista Mx, My
Verificação de resistência da seção (η1)N1d,M1d são os esforços de cálculo de primeira ordem, incluindo, no seucaso, a excentricidade mínima segundo 11.3.3.4.3:
N1d: Esforço normal de cálculo. N1d : 4957.68 kNM1d: Momento de cálculo de primeira ordem. M1d,x : 1400.00 kN·m
M1d,y : 2100.00 kN·mNRd,MRd são os esforços resistentes da seção com as mesmasexcentricidades que os esforços atuantes de cálculo, desfavoráveis.
NRd: Esforço normal resistente. NRd : 4961.85 kNMRd: Momento resistente MRd,x : 1401.19 kN·m
MRd,y : 2101.77 kN·m
Onde:
Sendo:ee: Excentricidade de primeira ordem. Calcula-selevando em conta a excentricidade mínima ea segundo oponto 11.3.3.4.3.
ee,x : 423.58 mm
ee,y : 282.39 mmNeste caso, as excentricidades e0,x e e0,y sãosuperiores à mínima.
Onde:No eixo x:
ea : 45.00 mm
Verificações do pilar P7
Página 2 - 6
Sendo:h: Altura da seção no plano deflexão considerado. h : 1000.00 mm
e1 : 282.39 mm
Onde:Md: Momento de cálculo de primeiraordem. Md : 1400.00 kN·mNd: Esforço normal de cálculo. Nd : 4957.68 kN
No eixo y:
ea : 39.00 mm
Sendo:h: Altura da seção no plano deflexão considerado. h : 800.00 mm
e1 : 423.58 mm
Onde:Md: Momento de cálculo de primeiraordem. Md : 2100.00 kN·mNd: Esforço normal de cálculo. Nd : 4957.68 kN
Verificação do estado limite de instabilidadeNo eixo x:Os efeitos de segunda ordem podem ser desprezados, já que a esbeltezmecânica do pilar λ é menor que a esbeltez limite inferior λ1 indicadaem 15.8.2.
λ : 12.27
Onde:
le : 4.000 m
Sendo:l0: Comprimento de flambagem. l0 : 3.000 mh: Altura da seção no plano de flexão considerado. h : 1000.00 mml: Distância entre as faces internas dos elementosestruturais que vinculam o pilar. l : 3.000 m
Ac: Área total da seção de concreto. Ac : 5600.00 cm²Ic: Inércia. Ic : 5946666.67 cm4
λ1 : 35.00Onde:
e1: Excentricidade relativa de primeira ordem. e1 : 282.39 mm
No eixo y:Os efeitos de segunda ordem podem ser desprezados, já que a esbeltezmecânica do pilar λ é menor que a esbeltez limite inferior λ1 indicadaem 15.8.2.
λ : 14.31
Onde:
le : 3.800 m
Sendo:
Verificações do pilar P7
Página 3 - 6
l0: Comprimento de flambagem. l0 : 3.000 mh: Altura da seção no plano de flexão considerado. h : 800.00 mml: Distância entre as faces internas dos elementosestruturais que vinculam o pilar. l : 3.000 m
Ac: Área total da seção de concreto. Ac : 5600.00 cm²Ic: Inércia. Ic : 3946666.67 cm4
λ1 : 35.00Onde:
e1: Excentricidade relativa de primeira ordem. e1 : 423.58 mm
Cálculo da capacidade resistenteO cálculo da capacidade resistente última das seções é efetuado a partir dashipóteses gerais seguintes (Artigo 17):
(a) A ruptura caracteriza-se pelo valor da deformação emdeterminadas fibras da seção, definidas pelos domínios dedeformação de ruptura.
(b) As seções transversais se mantêm planas após deformação.
(c) A deformação εs das barras passivas aderentes deve ser o mesmodo concreto em seu entorno.
(d) A distribução de tensões no concreto se faz de acordó com odiagrama parábola-retângulo, definido em 8.2.10.O diagrama de cálculo tensão-deformação do concreto é do tipoparábola retângulo. Não se considera a resistência do concreto àtração.
εcu: Deformação de ruptura do concreto em flexão. εcu : 0.0035εc0: Deformação de ruptura do concreto em compressão simples. εc0 : 0.0020fcd: Resistência de cálculo à compressão do concreto. fcd : 15.18 MPa
Sendo:fck: Resistência característica à compressão do concreto. fck : 25.00 MPaγc: Coeficiente parcial de segurança para o concreto. γc : 1.4
(e) A tensão nas armaduras deve ser obtida a partir dos diagramastensão-deformação, com valores de cálculo, definidos em 8.3.6.
Verificações do pilar P7
Página 4 - 6
εuk: Deformação de ruptura do concreto em flexão. εuk : 0.0200fyd: Resistência ao escoamento do aço. fyd : 434.78 MPa
Sendo:fyk: Resistência característica do aço. fyk : 500.00 MPaγs: Coeficiente parcial de segurança para o aço. γs : 1.15
(f) Aplicam-se às resultantes de tensões na seção as equações gerais deequilíbrio de forças e de momentos.
Equilíbrio da seção para os esforços de ruptura, calculados com as mesmas excentricidades queos esforços de cálculo desfavoráveis:
CcCs
T
1
2
3
45
67
89
1011
12
1314
1516
1718
1920
2122
2324
2526
2728
2930
3132
εmáx = 3.48 ‰
εmín = -2.59 ‰
σmáx = 15.18 MPaε = 3.5 ‰
ε = 2.0 ‰
ε = 0.0 ‰
x =
670.
18 m
m
Barra Designação Coord. X(mm)
Coord. Y(mm)
σs
(MPa) ε
1 Ø25 -357.50 -457.50 -434.78 -0.0022932 Ø25 357.50 -457.50 +212.52 +0.0010123 Ø25 357.50 457.50 +434.78 +0.0031854 Ø25 -357.50 457.50 -25.10 -0.0001205 Ø25 -357.50 365.56 -70.95 -0.0003386 Ø25 -357.50 261.11 -123.05 -0.0005867 Ø25 -357.50 156.67 -175.14 -0.0008348 Ø25 -357.50 52.22 -227.23 -0.0010829 Ø25 -357.50 -52.22 -279.32 -0.00133010 Ø25 -357.50 -156.67 -331.42 -0.001578
Verificações do pilar P7
Página 5 - 6
Barra Designação Coord. X(mm)
Coord. Y(mm)
σs
(MPa) ε
11 Ø25 -357.50 -261.11 -383.51 -0.00182612 Ø25 -357.50 -365.56 -434.78 -0.00207413 Ø25 357.50 -365.56 +258.38 +0.00123014 Ø25 357.50 -261.11 +310.47 +0.00147815 Ø25 357.50 -156.67 +362.56 +0.00172616 Ø25 357.50 -52.22 +414.65 +0.00197517 Ø25 357.50 52.22 +434.78 +0.00222318 Ø25 357.50 156.67 +434.78 +0.00247119 Ø25 357.50 261.11 +434.78 +0.00271920 Ø25 357.50 365.56 +434.78 +0.00296721 Ø25 264.29 457.50 +434.78 +0.00275422 Ø25 158.57 457.50 +434.78 +0.00226623 Ø25 52.86 457.50 +373.19 +0.00177724 Ø25 -52.86 457.50 +270.59 +0.00128925 Ø25 -158.57 457.50 +167.98 +0.00080026 Ø25 -264.29 457.50 +65.38 +0.00031127 Ø25 -264.29 -457.50 -390.98 -0.00186228 Ø25 -158.57 -457.50 -288.38 -0.00137329 Ø25 -52.86 -457.50 -185.77 -0.00088530 Ø25 52.86 -457.50 -83.17 -0.00039631 Ø25 158.57 -457.50 +19.44 +0.00009332 Ø25 264.29 -457.50 +122.04 +0.000581
Resultante(kN)
e.x(mm)
e.y(mm)
Cc 3888.20 217.59 133.76Cs 2759.19 269.55 168.20T 1685.54 -303.76 -247.41
NRd : 4961.85 kN
MRd,x : 1401.19 kN·m
MRd,y : 2101.77 kN·m
Onde:Cc: Resultante de compressões no concreto. Cc : 3888.20 kNCs: Resultante de compressões no aço. Cs : 2759.19 kNT: Resultante de tração no aço. T : 1685.54 kNecc: Excentricidade da resultante de compressão no concreto na direção doseixos X e Y.
ecc,x : 217.59 mm ecc,y : 133.76 mm
ecs: Excentricidade da resultante de compressão no aço na direção doseixos X e Y.
ecs,x : 269.55 mm ecs,y : 168.20 mm
eT: Excentricidade da resultante de tração no aço na direção dos eixos X eY.
eT,x : -303.76 mm eT,y : -247.41 mm
εcmax: Deformação na fibra de concreto mais comprimida. εcmax : 0.0035εsmax: Deformação da barra de aço mais tracionada. εsmax : 0.0023σcmax: Tensão na fibra de concreto mais comprimida. σcmax : 15.18 MPaσsmax: Tensão da barra de aço mais tracionada. σsmax : 434.78 MPa
Verificações do pilar P7
Página 6 - 6
1.- PISO 1 (0 - 3 M)
Dados do pilarGeometria
Seção : Coroa CIrcular (polig 20 lados)Tramo : 0.000/3.000 mAltura livre : 3.00 mTamanho máximo agregado : 15 mm
Materiais Comprimento de flambagemConcreto : C25, em geralAço das barras : CA-50 e CA-60
Plano ZX : 3.00 mPlano ZY : 3.00 m
LongitudinalTaxa : 2.58 %Armadura longitudinal : 20Ø12.5
Armadura mínima e máxima (ABNT NBR 6118:2014, Artigo 17.3.5.3)
A área total de armadura longitudinal As não deverá ser inferior a As,min
(Artigo 17.3.5.3.1):
24.54 cm² ≥ 3.80 cm²
Onde:As: Área da armadura longitudinal. As : 24.54 cm²
As,min : 3.80 cm²
Sendo:Ac: Área total da seção de concreto. Ac : 950.31 cm²
A área da armadura longitudinal As não deverá ser superior a As,max
(Artigo 17.3.5.3.2):
24.54 cm² ≤ 38.01 cm²
Onde:As: Área da armadura longitudinal. As : 24.54 cm²
As,max : 38.01 cm²
Sendo:Ac: Área total da seção de concreto. Ac : 950.31 cm²
A área total de armadura longitudinal As não deverá ser inferior a As,min
(Artigo 17.3.5.3.1):
24.54 cm² ≥ 4.86 cm²
Onde:As: Área total de armadura comprimida. As : 24.54 cm²
As,min : 4.86 cm²
Sendo:Nd: Esforço axial de compressão de cálculo. Nd : 1409.79 kNfyd: Resistência ao escoamento do aço da armaduralongitudinal. fyd : 434.78 MPa
Verificações do pilar P8
Página 1 - 8
Estado limite de ruptura frente a solicitações normais (ABNT NBR 6118:2014, Artigos 11.3.3.4.3,15.8 e 17)
Os esforços de cálculo desfavoráveis são obtidos em 'Ext.Inferior', para a combinaçãode hipóteses "1.4·PP+1.4·CP".Deve satisfazer:
η : 0.999
(114.8;49;1409.79)
(114.93;49.06;1411.39)
My y ( k N · m
)
Mxx (kN·m)
N (kN)
Volume de capacidade
(114.8;49;1409.79)
(114.93;49.06;1411.39)
(0;0;-1066.96)
(0;0;2509.41)
M (kN·m)
N (kN)
Vista N, M
(114.8;49;1409.79)
(114.93;49.06;1411.39)
(0;-170.09;558.67)
(0;170.09;558.67)
(-170.09;0;558.67)
(170.09;0;558.67)
Myy (kN·m)
Mxx
(kN
·m)
N (kN)
Vista Mx, My
Verificação de resistência da seção (η1)N1d,M1d são os esforços de cálculo de primeira ordem, incluindo, no seucaso, a excentricidade mínima segundo 11.3.3.4.3:
N1d: Esforço normal de cálculo. N1d : 1409.79 kNM1d: Momento de cálculo de primeira ordem. M1d,x : 49.00 kN·m
M1d,y : 114.80 kN·mNRd,MRd são os esforços resistentes da seção com as mesmasexcentricidades que os esforços atuantes de cálculo, desfavoráveis.
NRd: Esforço normal resistente. NRd : 1411.39 kNMRd: Momento resistente MRd,x : 49.06 kN·m
MRd,y : 114.93 kN·m
Onde:
Sendo:ee: Excentricidade de primeira ordem. Calcula-se levandoem conta a excentricidade mínima ea segundo o ponto11.3.3.4.3.
ee,x : 81.43 mm
ee,y : 34.76 mmNeste caso, as excentricidades e0,x e e0,y sãosuperiores à mínima.
Onde:No eixo x:
ea : 27.00 mm
Verificações do pilar P8
Página 2 - 8
Sendo:h: Altura da seção no plano de flexãoconsiderado. h : 400.00 mm
e1 : 34.76 mm
Onde:Md: Momento de cálculo de primeiraordem. Md : 49.00 kN·mNd: Esforço normal de cálculo. Nd : 1409.79 kN
No eixo y:
ea : 27.00 mm
Sendo:h: Altura da seção no plano de flexãoconsiderado. h : 400.00 mm
e1 : 81.43 mm
Onde:Md: Momento de cálculo de primeiraordem. Md : 114.80 kN·mNd: Esforço normal de cálculo. Nd : 1409.79 kN
Verificação do estado limite de instabilidadeNo eixo x:Os efeitos de segunda ordem podem ser desprezados, já que a esbeltezmecânica do pilar λ é menor que a esbeltez limite inferior λ1 indicada em15.8.2.
λ : 30.28
Onde:
le : 3.400 m
Sendo:l0: Comprimento de flambagem. l0 : 3.000 mh: Altura da seção no plano de flexão considerado. h : 400.00 mml: Distância entre as faces internas dos elementosestruturais que vinculam o pilar. l : 3.000 m
Ac: Área total da seção de concreto. Ac : 950.31 cm²Ic: Inércia. Ic : 119781.62 cm4
λ1 : 35.00Onde:
e1: Excentricidade relativa de primeira ordem. e1 : 34.76 mm
No eixo y:Os efeitos de segunda ordem podem ser desprezados, já que a esbeltezmecânica do pilar λ é menor que a esbeltez limite inferior λ1 indicada em15.8.2.
λ : 30.28
Onde:
le : 3.400 m
Sendo:
Verificações do pilar P8
Página 3 - 8
l0: Comprimento de flambagem. l0 : 3.000 mh: Altura da seção no plano de flexão considerado. h : 400.00 mml: Distância entre as faces internas dos elementosestruturais que vinculam o pilar. l : 3.000 m
Ac: Área total da seção de concreto. Ac : 950.31 cm²Ic: Inércia. Ic : 119781.62 cm4
λ1 : 35.00Onde:
e1: Excentricidade relativa de primeira ordem. e1 : 81.43 mm
Cálculo da capacidade resistenteO cálculo da capacidade resistente última das seções é efetuado a partir dashipóteses gerais seguintes (Artigo 17):
(a) A ruptura caracteriza-se pelo valor da deformação emdeterminadas fibras da seção, definidas pelos domínios dedeformação de ruptura.
(b) As seções transversais se mantêm planas após deformação.
(c) A deformação εs das barras passivas aderentes deve ser o mesmodo concreto em seu entorno.
(d) A distribução de tensões no concreto se faz de acordó com odiagrama parábola-retângulo, definido em 8.2.10.O diagrama de cálculo tensão-deformação do concreto é do tipoparábola retângulo. Não se considera a resistência do concreto àtração.
εcu: Deformação de ruptura do concreto em flexão. εcu : 0.0035εc0: Deformação de ruptura do concreto em compressão simples. εc0 : 0.0020fcd: Resistência de cálculo à compressão do concreto. fcd : 15.18 MPa
Sendo:fck: Resistência característica à compressão do concreto. fck : 25.00 MPaγc: Coeficiente parcial de segurança para o concreto. γc : 1.4
(e) A tensão nas armaduras deve ser obtida a partir dos diagramastensão-deformação, com valores de cálculo, definidos em 8.3.6.
Verificações do pilar P8
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εuk: Deformação de ruptura do concreto em flexão. εuk : 0.0200fyd: Resistência ao escoamento do aço. fyd : 434.78 MPa
Sendo:fyk: Resistência característica do aço. fyk : 500.00 MPaγs: Coeficiente parcial de segurança para o aço. γs : 1.15
(f) Aplicam-se às resultantes de tensões na seção as equações gerais deequilíbrio de forças e de momentos.
Equilíbrio da seção para os esforços de ruptura, calculados com as mesmas excentricidades queos esforços de cálculo desfavoráveis:
CcCs
T1
2
3
4
5
678
910
11
12
13
14
15
1617 18
19
20
εmáx = 3.48 ‰
εmín = -1.00 ‰
σmáx = 15.18 MPaε = 3.5 ‰
ε = 2.0 ‰
ε = 0.0 ‰
x =
313.
69 m
m
Barra Designação Coord. X(mm)
Coord. Y(mm)
σs
(MPa) ε
1 Ø12.5 -25.94 -163.75 +54.81 +0.0002612 Ø12.5 25.94 -163.75 +166.02 +0.0007913 Ø12.5 75.27 -147.72 +286.46 +0.0013644 Ø12.5 117.23 -117.23 +404.35 +0.0019255 Ø12.5 147.72 -75.27 +434.78 +0.0024206 Ø12.5 163.75 -25.94 +434.78 +0.0027987 Ø12.5 163.75 25.94 +434.78 +0.0030258 Ø12.5 147.72 75.27 +434.78 +0.0030769 Ø12.5 117.23 117.23 +434.78 +0.00294810 Ø12.5 75.27 147.72 +434.78 +0.002652
Verificações do pilar P8
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Barra Designação Coord. X(mm)
Coord. Y(mm)
σs
(MPa) ε
11 Ø12.5 25.94 163.75 +434.78 +0.00221812 Ø12.5 -25.94 163.75 +354.64 +0.00168913 Ø12.5 -75.27 147.72 +234.19 +0.00111514 Ø12.5 -117.23 117.23 +116.30 +0.00055415 Ø12.5 -147.72 75.27 +12.52 +0.00006016 Ø12.5 -163.75 25.94 -67.02 -0.00031917 Ø12.5 -163.75 -25.94 -114.50 -0.00054518 Ø12.5 -147.72 -75.27 -125.30 -0.00059719 Ø12.5 -117.23 -117.23 -98.35 -0.00046820 Ø12.5 -75.27 -147.72 -36.29 -0.000173
Resultante(kN)
e.x(mm)
e.y(mm)
Cc 892.21 65.85 28.12Cs 573.35 84.61 35.90T 54.17 -141.56 -62.41
NRd : 1411.39 kN
MRd,x : 49.06 kN·m
MRd,y : 114.93 kN·m
Onde:Cc: Resultante de compressões no concreto. Cc : 892.21 kNCs: Resultante de compressões no aço. Cs : 573.35 kNT: Resultante de tração no aço. T : 54.17 kNecc: Excentricidade da resultante de compressão no concreto na direção doseixos X e Y.
ecc,x : 65.85 mm ecc,y : 28.12 mm
ecs: Excentricidade da resultante de compressão no aço na direção doseixos X e Y.
ecs,x : 84.61 mm ecs,y : 35.90 mm
eT: Excentricidade da resultante de tração no aço na direção dos eixos X eY.
eT,x : -141.56 mm eT,y : -62.41 mm
εcmax: Deformação na fibra de concreto mais comprimida. εcmax : 0.0035εsmax: Deformação da barra de aço mais tracionada. εsmax : 0.0006σcmax: Tensão na fibra de concreto mais comprimida. σcmax : 15.18 MPaσsmax: Tensão da barra de aço mais tracionada. σsmax : 125.30 MPa
Verificações do pilar P8
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Equilíbrio da seção para os esforços atuantes de cálculo, desfavoráveis:
CcCs
T1
2
3
4
5
678
910
11
12
13
14
15
1617 18
19
20
εmáx = 3.45 ‰
εmín = -0.99 ‰
σmáx = 15.18 MPaε = 3.5 ‰
ε = 2.0 ‰
ε = 0.0 ‰
x =
313.
88 m
m
Barra Designação Coord. X(mm)
Coord. Y(mm)
σs
(MPa) ε
1 Ø12.5 -25.94 -163.75 +54.83 +0.0002612 Ø12.5 25.94 -163.75 +165.09 +0.0007863 Ø12.5 75.27 -147.72 +284.49 +0.0013554 Ø12.5 117.23 -117.23 +401.35 +0.0019115 Ø12.5 147.72 -75.27 +434.78 +0.0024016 Ø12.5 163.75 -25.94 +434.78 +0.0027767 Ø12.5 163.75 25.94 +434.78 +0.0030018 Ø12.5 147.72 75.27 +434.78 +0.0030519 Ø12.5 117.23 117.23 +434.78 +0.00292410 Ø12.5 75.27 147.72 +434.78 +0.00263111 Ø12.5 25.94 163.75 +434.78 +0.00220112 Ø12.5 -25.94 163.75 +351.92 +0.00167613 Ø12.5 -75.27 147.72 +232.51 +0.00110714 Ø12.5 -117.23 117.23 +115.65 +0.00055115 Ø12.5 -147.72 75.27 +12.78 +0.00006116 Ø12.5 -163.75 25.94 -66.04 -0.00031417 Ø12.5 -163.75 -25.94 -113.10 -0.00053918 Ø12.5 -147.72 -75.27 -123.78 -0.00058919 Ø12.5 -117.23 -117.23 -97.03 -0.00046220 Ø12.5 -75.27 -147.72 -35.49 -0.000169
Resultante(kN)
e.x(mm)
e.y(mm)
Cc 891.18 65.93 28.14Cs 572.04 84.74 35.99T 53.43 -141.62 -62.36
N1d : 1409.79 kN
M1d,x : 49.00 kN·m
M1d,y : 114.80 kN·m
Onde:Cc: Resultante de compressões no concreto. Cc : 891.18 kN
Verificações do pilar P8
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Cs: Resultante de compressões no aço. Cs : 572.04 kNT: Resultante de tração no aço. T : 53.43 kNecc: Excentricidade da resultante de compressão no concreto na direção doseixos X e Y.
ecc,x : 65.93 mm ecc,y : 28.14 mm
ecs: Excentricidade da resultante de compressão no aço na direção doseixos X e Y.
ecs,x : 84.74 mm ecs,y : 35.99 mm
eT: Excentricidade da resultante de tração no aço na direção dos eixos X eY.
eT,x : -141.62 mm eT,y : -62.36 mm
εcmax: Deformação na fibra de concreto mais comprimida. εcmax : 0.0035εsmax: Deformação da barra de aço mais tracionada. εsmax : 0.0006σcmax: Tensão na fibra de concreto mais comprimida. σcmax : 15.18 MPaσsmax: Tensão da barra de aço mais tracionada. σsmax : 123.78 MPa
Verificações do pilar P8
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