회로이론회로이론Ch14 라플라스 변환을 이용한 회로해석

김 영 석

충북대학교 전자정보대학

2015.9.1

E il ki @ b kEmail: kimys@cbu.ac.kr

Ch14-1전자정보대학 김영석

14.1 라플라스 회로 해석 예제

)1( 이용해미분방정식

)()()(

0)()()(:

)1(

tditRtdidt

tdiLtRitvKVL S =++−

이용해미분방정식

1

1 ,)(

)0( 10)(1000)( ,)()()(

/ meKKti

ttidt

tdiLtvti

LR

dttdi

tcp

S

− =+=∴

>=+=+

ττ

)()1(1.0)(

1.0,0)0( : ,1.01)( :

1000

2

tueti

KKKiKKR

iK

t

ccppp

−

+

−=∴

−=∴+=====∞

0)]0()([)()(.0)()()(

)2(

issILsRIsVTLaplaced

tdiLtRitv SS =−++−=>=++−

이용라플라스변환

)0)0( ,/1)(( 111)(

1)()(

)]()([)()()()(

issV)

LRR(s

-sR)

LRs(s

/LsLRssLR

sVsI

pdt

SS

SS

==+

=+

=+

=+

=

)()1(1.0)()1(1)( 1000/ tuetueR

ti

LLtLRt −− −=−=∴

Ch14-2전자정보대학 김영석

14.2 회로 소자 모델

저항 R저항 R

)()()()( sRIsVtRitv =⇒=

커패시터 C

vIVditt )0()(1)()0()(1)( ∫ s

sICs

sVvdxxiC

tv )()()()0()()(0

+==>+= ∫

)0()()( )()( CvsCsVsId

tdvCti −==>= )()()()(dt

Ch14-3전자정보대학 김영석

회로 소자 모델

인덕터 L인덕터 L

))0()(()()()( issILsVtdtdiLtv −=⇒=dt

si

LssVsIidxxv

Lti

t )0()()()0()(1)(0

+==>+= ∫

결합 인덕터

sLsL 0∫

)()()(

)()()(

21

2111

tdiLtdiMt

tdtdiMt

dtdiLtv

+

+=

)()()( 22

12 t

dtLt

dtMtv +=

)0()()0()()( MisMsIiLssILsV +=)0()()0()()()0()()0()()(

22112

2211111

LisLsIMisMsIsVMisMsIiLssILsV

−+−=−+−=

Ch14-4전자정보대학 김영석

14.3 해석 기법

114예제

)(/1

/1)(]

1||[)(:

1.14

sIRCs

CsI

sCRsVSol SSo

⎞⎛⎞⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

==

예제

)(][40)(

4

40

1

40

)1)(4(

120

1

003.0

4

000,40

4 tueetv

sssssstt

o−− −=

+−

+=

++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

:

2.14

AnalysisLoopSol

a예제

0)()0()()0()0(

))(1

(:@

0)0()0(

))(1

()0(

)1

()(:@

22222112

1212

112

211

2

11

1

11

=−+++−+−+

=+−−+++++−

sViLIRsLiLv

IILIKVL

iLs

vIIL

sCs

vI

sCRsVIKVL

B

A

0)()0()()0())((:@ 2222211121

2

2 =+++++ sViLIRsLiLs

IILsC

IKVL B

Ch14-5전자정보대학 김영석

해석 기법

0)0()0(

))(1

()0(

)1

()(:@

:

2.14

112

1211

111 =−+−++−+− vCi

VVsCi

VGsIVKCL

AnalysisNodalSol

b

A

예제

0)()0()()0()0(

))(1

(:@

0)0())(()()(:@

22222112

211

2

2

11121

2

1

1

11

=+−+−+−−+

=++++

sIvCVsCGvCs

iVVsC

sLVKCL

vCs

VVsCsLs

VsL

GsIVKCL

B

A

Ch14-6전자정보대학 김영석

예제 14.3 )1( AnalysisNodal

11

1 0

21

12)(

4:@ =

+−

−−+

V

ss

sV

sVKCL

21

)3(82

)12(

)12)(3(4)(

2

++++

=

+

sss

sssV

s

21)1(

)3(8

21

2)()(:

++

=+

=s

s

s

sVsVo전압분배이용

Ch14-7전자정보대학 김영석

예제 14.3

11

112

/4:@

)2(

= sIIKVL

AnalysisLoop

222

2122

)1(

)3(8)(,

)1(

)3(4)(

0)21

()(12

:@

++

=++

=

=++−+−

s

ssV

s

ssI

Is

IIss

IKVL

oQ)1()1( ++ ss

Ch14-8전자정보대학 김영석

예제 14.3

)3( iS it

2

'

12

82

)21

(

4)(

)3(

++=

++=

ss

s

ss

s

ssV

ionSuperposit

o

2

"

12

24

21

212)(

++=

++=

sss

ss

sV

s

o

2

"'

)1(

)3(8)()()(

++

=+=s

ssVsVsV

s

ooo

Ch14-9전자정보대학 김영석

예제 14.3

22 )1(

)3(82

21

124)(

)4(

++

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

s

s

s

s

sssVo

전원교환

)1(2

+++⎠⎝ ss

ss

Ch14-10전자정보대학 김영석

예제 14.3

124412)(

)5(

+=+=

s

s

ss

ssV

Thevenin

OC

정리

2

)3(82124)(

11

+=

+=

+=+=

sssV

s

ss

sZTh

22 )1(2

1)(

+=

++=

s

s

sssVo

Ch14-11전자정보대학 김영석

예제 14.3

124/124)(:)5( Z

ssIN t

+정리

)1(

)3(82

21

124)(

,/

)(:)5(

22

2

s

s

s

s

s

ssV

sZsss

sINorton

o

ThSC

++

=++

+=

==+=정리

?)(

2

tv

ss

o

++

16)3(8)()1(

1)1()1(

)3(8)(

1

211

12

2

11

2

ssVsK

s

K

s

K

s

ssV

o

o

=+=+=

++

+=

++

=

)()816()(

8)3(8)()1(

)()()(

11

211

1111

tuetetv

sds

dsVs

ds

dK

tt

sso

sso

−−

−=−=

−=−=

+=

=+=+=

Ch14-12전자정보대학 김영석

)()816()( tuetetvo +=

예제 14.4

01

)()(2

/2

)(

2

)( -:

: )1(

211 =+

−+−s

sVsI

s

sVsVsupernode KCL@

Analysis Nodal

12)()(:

2

)()( : 1

=−

−=

sVsV

sVsI

constraintSupernode

variable gControllin

)54(

)3)(1(12)(

)()( :

22

12

++++

=

=−

sss

sssV

ssVsVconstraintSupernode

)54(

)3(12)(

1

1)( :divider Voltage

220 +++

=+

=sss

ssV

ssV

Ch14-13전자정보대학 김영석

0'2/12

:sup@)(:)2( IsV

ernodeKCLc OC +−

>회로정리Thevenin

12)( ,

2

/12'

02/22

:sup@)(: )2(

ssV

sVI

Is

ernodeKCLc

OCOC

OC

=∴−

−=

=++

−=>회로정리Thevenin

3

2

)(

)(,

s

3)6(s6"3

/62/)/12(",0"2)/2/()/12(")(

ssI

sVZII

ssIIIssId

SC

OCTHSC

SC

+==∴

+=+=∴

===−++=>회로

)2)(2(

)3(12

)54(

)3(1212

3

21

1)(

20 jsjss

s

sss

s

ss

s

sV++−+

+=

+++

=×

+++

=

5/36)(

22

000

*110

sVsK

js

K

js

K

s

K

s==

+++

−++=

=

)()]57.161cos(58.72.7[)(

57.16179.3)()2(

2

201

0

tutetv

sVjsK

to

js

s

°++=

°∠=−+=

−

+−=

=

Ch14-14전자정보대학 김영석

예제 14.5

1)0(1)0( AiV

01)(4

:@

)()(

1)0(,1)0(

2111 =−−++−

=>

==

IIsIIKVL

AnalysisLoopcb

AiVv LC

회로회로

721212

01

)2

1()(1:@

)(@

2122

2111

+

=+++−+

ss

sI

sIIsIKVL

s

)]()cos(||2[7373

)(

232

721)(

2)(,

232

12)(

11

*

1

2222

1 ∠+↔+=

+++

=+=++

−=

− tuKteKKK

sV

ss

s

ssI

ssV

ss

ssI

to

o

βα

)(73

4

7

4

3

4

7

4

3

1

11

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

−+=

++−+

sVjsK

jsjs

o

o

)5.764

7cos(28.4)(

)(44

4

7

4

3

1

°−=

⎟⎠

⎜⎝

++−=

ttv

sVjsK

o

js

o

4

Ch14-15전자정보대학 김영석

14.4 전달함수

)(sX )(sYSystem with allinitial conditionsset to zero

)()()(

sXsYsH =

......

equation aldifferenti a is system the for model the If

11

1

111

1

1 xadt

dxa

dt

xda

dt

xdayb

dt

dyb

dt

ydb

dt

ydb om

m

mm

m

mon

n

nn

n

n ++++=++++−

−

−−

−

−

)()(...)()()(...)(

)( :zero are conditions initial all If

0101 sXassXasXsasYbssYbsYsb

sYsdt

yd

mm

nn

k

k

k

+++=+++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡L

회로망함수전달함수 ) (:...

...

)(

)()(

)()(...)()()(...)(

01

01

0101

orfunctionTransferasasa

bsbsb

sX

sYsH

sXassXasXsasYbssYbsYsb

mm

nn

mn

++++++

==

++++++

역변환라플라스함수의전달회로망응답은임펄스 )(

)()( ,1)()()( function impulse the For sHsYsXttx ==⇒= δ

Ch14-16전자정보대학 김영석

Impulse responset

Kτ −Keth

s

KsHSystemOrderFirst τ

ω

ττ −

=⇒+

=

2

)(1

)(: .1

fld did i

ss

sssHSystemOrder

ωςω

ωςωω

++

++=

200

2

200

2

0

)()(

2:

2)(: Second .2

비제동고유주파수제동비

특성방정식

tt eKeKth

s

frequencynaturalundampedratiodamping

ςωςωςωςω

ςωςως

ως

−−−−+− +=

−±−=>

==

)1()1(

2002,1

0

)(

1 network, Overdamped :1 :1 Case (a)

) (), (

200

200

비제동고유주파수제동비

js

eKeKth

ςωςως −±−=<

+=

2002,1

21

1 poles, network, dUnderdampe :1 :2 Case (b)

)(

oto

s

tKeth ςω

ως

φςω−

−==

+−=

021

2

network,dampedCritically:1:3Case(c)

)1cos()(

tt oo eKteKth

sωω

ως−− += 21

02,1

)(

network,dampedCritically 13Case (c)

Ch14-17전자정보대학 김영석

예제 14.6

?)()(10)()(RI lQ 2h tt

10)(,

1H(s)

:A

?)(),(10)(,)( ResponseImpulse :Q 2

sV

tvtuetveth

i

ot

it −−

==

==

10|)()2(10|)()1(

21)2)(1(

10H(s))()(

2s)(,

1sH(s)

21

VKVK

s

K

s

K

sssVsV

sV

io

i

++

+=

++==

++

( ) )(10)(

10|)()2(,10|)()1(2

2211

tueetv

sVsKsVsKtt

o

soso

−−

−=−=

−=

−=+==+=

Ch14-18전자정보대학 김영석

예제 14.7 AnalysisLoop

0)1

()(:@

0)(1

:@ 2111

IsIIIKCL

IIIs

IKCL

=++−

=−++−

/1)2/1(

)2/1()(

1)(

0)()(:@

22

2122

Css

CsI

sCsV

IsC

sIIIKCL

o ++==

=++

16/1)(

25.025.0 :poles ,:8 )( 2,1

sV

jsdunderdampeFCa

=

±−==

)()]1354/cos(2

15.0[)(

)25.025.0)(25.025.0()(

4/ tutetv

jsjsssV

to

o

− °++=

++−+=

)(])5.08

(5.0[)(,)25.0(

32/1)(

25.0 :poles damped, critically:16FC (b)

4/

2

2,1

tuet

tvs

sV

s

too

−+−=+

=

−==

)(]603.0103.05.0[)(,)0730)(4270(

64/1)(

073.0,427.0 :poles ,overdamped :32FC (c)

)(

073.0427.0

2,1

tueetvsss

sV

s

ttoo

−− −+=++

=

−−==

Ch14-19전자정보대학 김영석

)073.0)(427.0( sss ++

예제 14.8

0)()()()()()(

:@

:

? )( , )( , )(

01111 sVsVsVsVsVsVVKCL

Ans

cba

S =−

+++−

단위계단응답제돟형태전달함수

01

)(

1

)(:0 ""

01111

:@

1

1

sVsV

s

VKCL

o =+=−

=+++

전류단자에서

)38.0)(62.2(

1

2

1

13

1

)(

)(

11

200

22 sswswssssV

sV

s

S

o

++−

=++

−=

++−

=ζ

17.117.011)(

:

:15.1

sV

responsestepunit

overdamped

+−

+−

=−

=

>=ζ

)()17.117.01()(

38.062.2)38.0)(62.2()(

38.062.2 tueetv

sssssssV

tto

o

−− +−−=

++

++=

++=

Ch14-20전자정보대학 김영석

부족 제동

ωςω

ωςωω

2:

2)(:

200

2

200

2

20

++

++=

특성방정식

전달함수

ss

sssH

ςωςω

ς

1 :poles

:1

2002,1

00

−±−=

<

js

dunderdampe

θς cos=θς cos=

그림에서

Ch14-21전자정보대학 김영석

부족 제동

예제 14 9예제 14.9

21

1

1

1

)(

)()(

22

20

2 ssRLCCs

sV

sVsG o

v ++=

⎟⎞

⎜⎛

===ωςω

ω

2,1

211)(

2

002

L

R

LC

ss

LCs

L

RsRLs

CssV

oo

in

==

+++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

ςωω

ωςω

)(0.1 ,75.0 ,50.0 ,25.0

40 ,30 ,20 ,10,10

dunderdampe

RmHL

LLC

==>Ω==

ς

Ch14-22전자정보대학 김영석

14.6 정상상태 응답

과도응답은 제외하고 정상상태 응답만 원할때과도응답은 제외하고 정상상태 응답만 원할때

)(sincos)(o

MoMoM

tjM js

XsXtjXtXeXtx o

ωωωω

−==>+==

|)(||)(|)(

...|)(|

...)(

)()()()(

))(()(

)(

jtjjjtj

o

jjoM

o

oM

o

M

o

ejHXeejHXty

js

ejHX

js

jHX

js

XsHsXsHsY

oooo

o

ωω

ωω

ωω

ωωφωωφω

ωφ

+=+=

+−

=+−

=−

==

+

))(cos(|)(|)(

|)(|)(

...|)(|...|)(|)())((

oooMss

jtjoMss

oMoM

jtjHXty

ejHXty

ejHXeejHXty

oo

ωφωωω

ωωωφω

+=

=

+=+=+

Ch14-23전자정보대학 김영석

예제 14.11

sVsV

s

V

s

VVVo

i

1/2

1)( ,0

122

:KCL@V 1111

1 +==

+++

−

j

ss

ssHsV

ss

ssV

s

io

)2(

443)()(

443)(

2

2

2

2

2

++=⇒

++=

Vtty

jtjHXty

jj

jjH

oooMss

)452cos(543)(

))(cos(|)(|)(

45354.04)2(4)2(3

)2()2(

2

°+∴

+=

°∠=++

=

ωφωωVttyss )452cos(54.3)( °+=∴

Ch14-24전자정보대학 김영석