材料力学を楽しむ会...

2018年10月13日

中本昭

新しい材料力学第3版第10回

材料力学を楽しむ会 2018年度第8回

第10章有限要素法

仮想仕事の原理

最小ポテンシャルエネルギの原理

4角形要素の内挿関数

ヤコビアンとロッキングについて

等価節点力

傾斜節点

外圧を受ける円環のFEM解析

Proprietary and Confidential

10. 有限要素法

2018年第8回材料力学を楽しむ会

仮想仕事の原理 P. 114

仮想変位は，Su における境界条件を満足するものとする

図 7.37仮想変位

（7.109）

（7.110）

：体積力

：表面力

仮想変位による仮想ひずみ：

（7.113）

1 / 41


10. 有限要素法


仮想仕事の原理 P. 114,115

外力が仮想変位に対してなす仕事と応力が仮想ひずみに対して仕事は等しい

外部仮想仕事：

（7.111）

内部仮想仕事：

仮想仕事の原理：

（7.114）

（7.115）

2 / 41


10. 有限要素法


仮想仕事の原理－構造力学：田村武著から追加

力のつり合い式（1）式と関係式（2）式より（3）式は恒に成立する。

を仮想変位とみなすと，内部仮想仕事と外部仮想仕事は等しい

外力と節点変位部材力と変形（引張を正とする）

節点での力のつり合い式

恒等式を仮想変位とみなすと，

内部仮想仕事外部仮想仕事

（1）

（2）

（3）

3 / 41


10. 有限要素法


仮想仕事の原理－非線形CAE基礎勉強会：瀧澤先生から追加

力のつり合い式（4）式と関係式（5）式より（6）式は恒に成立する。

を仮想変位とみなすと，外部仮想仕事と内部仮想仕事は等しい

内部仮想仕事外部仮想仕事

力（応力）のつり合い式

ゼロに何かを掛けて積分してもゼロ

を仮想変位とみなせば，

（4）

（6）

（5）

（1）

4 / 41


10. 有限要素法


ガウスの発散定理追加

ある関数の偏導関数の体積積分は，

その関数に外向き単位法線ベクトルを掛けて表面積分したものに等しい

5 / 41


10. 有限要素法


仮想仕事の原理 P. 103

物体内部の応力のつり合い式と力学境界での応力と表面力のつり合い式に

ガウスの発散定理を適用する

応力のつり合い方程式

（7.36）

力学的境界条件

（7.37）

6 / 41


10. 有限要素法


仮想仕事の原理追加

表面力と体積力に任意の関数をを掛けて，物体表面と物体体積で積分する。それぞれ第1項のみ記すと，

7 / 41


10. 有限要素法



第2,3項にそれぞれ任意の関数を掛けて積分すると，

関数を変位の次元を持つ仮想的な量（仮想変位）と考えると，これらをで微分した量は仮想ひずみだから，これらをなどと書くと，

となって，応力が仮想ひずみに対してなす仕事：内部仮想仕事をあらわす。一方，（1）式の第1項は表面力が仮想変位に対してなす仕事，第2項は体積力が仮想変位に対してなす仕事であり，これらの合計は外部仮想仕事に等しい。

（1）

（2）

8 / 41


10. 有限要素法



（1）,（2）式より，

となって，仮想仕事の原理が成立する。

応力のつり合い式に任意の関数を掛けて式変形し，新しい解釈を与えた結果を

「仮想仕事の原理」をよぶ。

9 / 41


10. 有限要素法


最小ポテンシャルエネルギの原理 P. 116,117

部分積分法とガウスの発散定理を適用すると，

全ポテンシャルエネルギが最小になる

材料がフックの法則に従う（7.122）

（7.128）

（7.130）

（7.132）

10 / 41


10. 有限要素法


最小ポテンシャルエネルギの原理追加

真の変位に対するひずみエネルギと全ポテンシャルエネルギ

棒が弾性体とすると，

ひずみエネルギは

全ポテンシャルエネルギは

11 / 41


10. 有限要素法



変位が真の変位からずれると，必ず全ポテンシャルエネルギは増加する

変位が真の変位からだけずれている場合

（1）

12 / 41


10. 有限要素法


材料の構成則とエネルギ追加

線形弾性体に対する2通りの見方

ばね連続体

ひずみエネルギ

外力のポテンシャルエネルギ

：体積力

：表面力

フックの法則

13 / 41


10. 有限要素法


最小ポテンシャルエネルギの原理－ばね追加

真の変位に対する全ポテンシャルエネルギ

偽の変位に対する全ポテンシャルエネルギ

14 / 41


10. 有限要素法


最小ポテンシャルエネルギの原理－連続体追加

：真の変位に対する全ポテンシャルエネルギ

15 / 41


10. 有限要素法



偽の変位に対する全ポテンシャルエネルギ

16 / 41


10. 有限要素法



17 / 41


10. 有限要素法



真の変位に対する全ポテンシャルエネルギは最小になる

力学的境界条件応力のつり合い式

18 / 41


10. 有限要素法



正しい変位モード（左）を仮定すれば，正しい解が得られる。

適当な変位モード（右）を仮定しても，そこそこの解が得られる

変位モードを仮定して解く

19 / 41


10. 有限要素法


ヤコビアンについて追加

全体座標系におけるいろいろな形状のヤコビアンを計算してみよう

：ヤコビアン

全体座標系局所座標系

20 / 41


10. 有限要素法


ヤコビアンについて追加

ヤコビアンは座標系と座標系の面積の比率を表す

21 / 41


10. 有限要素法


4角形要素の剛性マトリックス追加

1辺の長さが2で座標軸に平行な正方形の要素の内挿関数は，アイソパラメトリック要素と双一次関数要素で一致する。

ヤング率と板厚

22 / 41


10. 有限要素法



23 / 41


10. 有限要素法



（8）式は，（7）式あるいは2次のガウス積分により得られた剛性マトリックス

（9）式は，1次のガウス積分による剛性マトリックス

（7）

（8）（9）

24 / 41


10. 有限要素法


ロッキングについて追加

正方形が台形に変形

節点のひずみ

25 / 41


10. 有限要素法



要素中心の積分点のひずみは成分はすべてゼロになる。

アワーグラスモードの原因である

積分点のひずみ

26 / 41


10. 有限要素法



1次のガウス積分では，節点力が作用しなくても台形の変形が生じることになる

（アワーグラスモード）

節点力

（8）式より

（9）式より

アワーグラスモード

27 / 41


10. 有限要素法



有限要素法による応力と側面の相対回転角は材料力学による解のであり，

剛性が高めに評価されている ⇒ ロッキングの原因のひとつではないか?

有限要素法と材料力学の比較

有限要素法

材料力学の曲げモード有限要素法の変形モード

材料力学

28 / 41


10. 有限要素法



材料力学の曲げモードに関する全ポテンシャルエネルギのほうが有限要素法のそれよりも小さく，真の変形モードに近いと考えられる

ポテンシャルエネルギの比較

全ポテンシャルエネルギ

材料力学の曲げモード有限要素法の変形モード

＞

29 / 41


10. 有限要素法


等価節点力 P. 157,165

仮想変位に対する仕事が等しくなるように等価な節点力を決定する

（10.24）

（10.25）

（10.23）

30 / 41


10. 有限要素法


等価節点力 P. 165

アイソパラメトリック要素の等価節点力は，技術者の直感とは合わない

1次要素

2次要素

アイソパラメトリック要素の等価節点力

分布荷重等価節点力

1 : 1

1 : 4 : 1

31 / 41


10. 有限要素法


等価節点力 P. 165

一様な圧力が作用する20節点6面体要素の等価節点力は想像さえできない

アイソパラメトリック6面体要素の等価節点力

8節点6面体要素 20節点6面体要素

32 / 41


10. 有限要素法


傾斜節点追加

独立な2つの自由度の間に関係がある⇒自由度をひとつ消去できる

傾斜境界に垂直な方向の変位がゼロ

33 / 41


10. 有限要素法


多点拘束 P. 132,201

独立な個の自由度の間に関係がある⇒ 個の自由度を消去できる

図 8.19

方向に一様に変位

剛体パンチの押し込み

34 / 41


10. 有限要素法


外圧を受ける円環のFEM解析追加

理論解とFEM解析結果の不一致の理由を考える

理論解

35 / 41


10. 有限要素法



1次の内挿関数を設定し，剛性マトリックスを得る

36 / 41


10. 有限要素法



1次要素は，要素内で応力が一定だから内外径で境界条件を満足しない。

変位は，4要素程度で理論解とほぼ一致する

要素数半径方向座標

1次要素による解析結果

37 / 41


10. 有限要素法



変位についてはそこそこだが，応力の精度が低い

アイソパラメトリック要素による解析結果

321 要素数

積分次数

要素次数

1 2 3

38 / 41


10. 有限要素法



2次要素，3次要素の変位の精度は1要素でも十分


39 / 41


10. 有限要素法



2次要素でも半径方向応力の精度は不十分


40 / 41

以上

材料力学を楽しむ会...

Documents

Transcript of 材料力学を楽しむ会...